дискретная математика учебное пособие для студентов заочного факультета

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

ЭЛЕКТРОННАЯ

БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА

Самара

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра высшей математики

Блатов И.А., Сергиевская И.М.

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

для студентов заочного факультета

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Дискретная математика

Самара

2011


3

УДК 621.391

Блатов И.А., Сергиевская И.М. Дискретная математика. Учебное пособие

для студентов заочного факультета. - Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2011. - 63

с.

Учебное пособие включает программу экзамена по дискретной математике,

вопросы для самопроверки разной степени сложности по разделамдискретной

математики и ответы к ним, рекомендации к выполнению контрольной работы.

Учебное пособие может быть использовано для самостоятельной работы и

подготовки к тестированию.

Редактор: Старожилова О.В. – к.т.н., доц., доцент кафедры высшей математики ПГУТИ

Рецензент:

Головкина М.В. – к.ф.-м.н., доц., доцент кафедры физики ПГУТИ

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Блатов И.А., Сергиевская И.М., 2011


4

Содержание

Введение……………………………………………………………4

Программа экзамена по дискретной математике.……………….5

Литература………………………………………………………….7

Вопросы для самопроверки………………………………………..9

Рекомендации к выполнению контрольной работы……………30

Ответы на вопросы для самопроверки…………………………..48

Введение

Курс «Дискретная математика» является одним из основных курсов при

подготовке программистов.

В настоящее время широко применяется тестирование как контроль

знаний студентов. Данное пособие содержит рекомендации по выполнению

контрольной работы студентов-заочников, а также может помочь организовать

тестовый контроль знаний студентов специальностей 230100 «Программное

обеспечение средств вычислительной техники и автоматизированных систем»,

230400 «Информационные системы и технологии», поскольку написано в

соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего

профессионального образования по названным специальностям. Пособие

может быть использовано и студентами других специальностей в курсе

дискретной математики.

Тестовые задания затрагивают такие разделы курса как элементы теории

множеств, булевы функции, комбинаторика, графы.

Программа экзамена по дискретной математике.

1. Понятие множества. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-

Венна.Законы алгебры множеств.

2. Прямое произведение множеств.

3. Мощность множества.Теорема о мощности декартова произведения

конечных множеств.Теорема о числе подмножеств конечного

множества.Множества мощности континуума.

4. Понятие n-местного отношения.Бинарные отношения. Свойства отношений.

5. Отношение эквивалентности. Связь между отношением эквивалентности и

разбиением множества. Классы эквивалентности.

6. Отношение частичного порядка. Отношение строгого порядка.

7. Реляционные базы данных.

8. Функции и отображения.Инъекция, сюръекция, суперпозиция, биекция,

обратные функции.

9. Булевы функции одной и двух переменных.

10. Булевы функции. Способы задания. Существенные и фиктивные

переменные.


5

11. Булевы формулы. Свойства логических операций.

12. Разложение булевой функции по переменным. Теоремы существования и

алгоритмы построения СДНФ и СКНФ.

13. Свойства суммы по модулю 2. Алгоритм построения полинома Жегалкина.

14. Функционально полные системы. Теорема о функциональной полноте двух

систем функций.

15. Замкнутые классы функций. Классы 0T , 1T , S , M, L.

16. Теорема о слабой полноте. Теорема Поста. Выделение базиса из

функционально полной системы.

17. Минимизация булевых функций с помощью карт Карно

18. Схемы из функциональных элементов.

19. Неполностью определенные переключательные функции. Ограниченно-

детерминированные функции.Диаграммы Мура.

20. Метод Блейка и метод Нельсона построения сокращенной ДНФ.

21. Основные задачи теории выборок.

22. Правила суммы и произведения.

23. Перестановки, размещения, сочетания без повторения.

24. Перестановки, размещения, сочетания с повторениями.

25. Формула Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов.

26. Треугольник Паскаля. Полиномиальная формула.

27. Формула включения и исключения.

28. Задача о беспорядках.

29. Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами.

30. Графы. Основные понятия и определения. Изоморфизм графов. Некоторые

частные типы графов.

31. Матрица смежности. Матрица инцидентности.

32. Степени и полустепени вершин графа. Свойства.

33. Построение графа с заданным набором степеней вершин. Необходимое и

достаточное условие существования. Алгоритм построения.

34. Маршруты, цепи, циклы. Связность в неориентированных и

ориентированных графах.

35. Метрические характеристики графа.

36. Алгоритм определения достижимости вершин в графе.

37. Алгоритм нахождения кратчайших путей.

38. Транспортные сети.

39. Планарность графов.

40. Теорема Куратовского.

41. Раскраска графа.


6

Литература.

Основная литература.

1. Блатов И.А., Сергиевская И.М. База тестовых заданий по учебной

дисциплине «Дискретная математика» для студентов 2 курса заочной формы

обучения по специальностям 230105, 230105у, 230210у. ПГУТИ, 2010.

2. Бочкарева О.В. Учебное пособие по математике (специальные главы). М.,

Радио и связь. 2001.

3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной

математики. М., Наука. 1992.

4. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. М., Наука.

2000.

5. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для

инженеров. М., Энергоатомиздат. 1988.

6. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. М., Наука.1990.

7. Логинов Б.М. Введение в дискретную математику. Калуга, 1998.

8. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в

примерах и упражнениях. М., Логос. 2000.

9. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М., Изд-во МАИ.

1992.

10. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб, Питер.

2000.

11. Шапорев С.Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических занятий.

СПб, БХВ-Петербург. 2007.

12. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М., Высшая школа.

2001.

Дополнительная литература.

1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванова В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по

теории графов. М., Наука. 1990.

2. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. Курс лекций.

Задачник-практикум и решения. СПб, Лань. 1999.

3. Меньшиков М.В., Ревякин А.М., Копылова А.Н., Макаров Ю.Н., Стечкин

Б.С. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. М.,Наука. 1982.

4. Оре О. Теория графов. М., Мир, 1980.

5.

Методические разработки.

1. Гурзова Г.В. Методические указания к типовому расчету “Исследование и

реализация булевых функций”. Самара, 1995.

2. Гурзова Г.В., Сергиевская И.М., Соловьева Л.А. Методические указания по

разделу дискретной математики “Комбинаторика” (часть I). Самара, 1998.

3. Сергиевская И.М. Методические указания по дискретной математике для

студентов, обучающихся по специальности 220400. Самара, 2001.


7

4. Сергиевская И.М. Методические указания и контрольные задания по

дискретной математике для студентов заочного факультета. Самара, 2001.

Вопросы для самопроверки.

1. Истинное утверждение…

1) 1 1,2,3 .

2) 1 1,2,3 .

3) 1 1,2,3 .

4) 0 1,2,3 .

5) 1 1,2,3 .

2. Истинное утверждение…

1)0 1,2,3 .

2) 1 1,2,3 .

3) 1 1,2,3 .

4) 1 1,2,3 .

5) 1 1,2,3 .

3. Объединение множеств A и B A B …

4. Пересечение множеств A и B A B …

5. Разность множеств A и B \A B …

6. Дополнение множества A …

7. Симметрическая разность множеств A и B … (Укажите не менее двух

пунктов).

8. Свойство коммутативности объединения множеств…

9. Свойство коммутативности пересечения множеств…

10. Свойство ассоциативности объединения множеств…

11. Свойство ассоциативности пересечения множеств…

12. Свойство дистрибутивности пересечения множеств относительно

объединения…

13. Свойство дистрибутивности объединения множеств относительно

пересечения …

14. Свойство ассоциативности симметрической разности множеств…

15. Закон двойного дополнения…

16. Законы де Моргана для множеств… (Укажите не менее двух пунктов).

17. Соответствие между свойствами операций над множествами и формулами…

1) Ассоциативность объединения. 1) A B C A B A C .

2) Коммутативность пересечения. 2) .

3) Ассоциативность симметрической разности. 3) A B C A B C .

A B B A


8

4)Дистрибутивность пересеченияотносительно

объединения. 4) A B C A B C .

5) Коммутативность объединения. 5) A B B A.


1) Закон де Моргана. 1) A B B A.

2) Коммутативность пересечения. 2) A B A B .

3) Ассоциативность пересечения. 3) A B C A B C .


объединения. 4) A B C A B C .

5) Ассоциативность объединения. 5) A B C A B A C .


1) Ассоциативность пересечения. 1) A B C A B C .

2) Коммутативность пересечения. 2) A B B A.

3) Ассоциативность симметрической разности. 3) A B C A B C .

4)Дистрибутивность объединенияотносительно

пересечения. 4) A B A B .

5) Закон де Моргана. 5) A B C A B A C .


1) Закон де Моргана. 1) .

2) Коммутативность объединения. 2) A B C A B A C .

3) Двойное дополнение. 3) A B A B .


объединения. 4) A A .

5) Ассоциативность объединения. 5) A B C A B C .

21. Прямое произведение множеств A и B A B …

22. В общем случае выполняется свойство…

1) A B B A.

2) A B B A.

3) A B B A .

4) A B B A.

5) A B B A .

23. Ассоциативность прямого произведения множеств…

24. A B тогда и только тогда, когда…



27. Множества A и B находятся в общем положении тогда и только тогда,

когда…

Для множеств из вопросов 28-31 справедливы свойства:

1) A B .

2) B A.

A B B A


9

3) A B .

4) A B .

5) A и B находятся в общем положении.

28. 3,2,1A , 4,3B .

29. 1,2A , 1,2,3B .

30. 1,2A , 4,3B .

31. 3,2,1A , 3B .

32. Множество всех подмножеств множества 3,2,1 …

33. Множество всех подмножеств множества 5,4,3 …

34. Множество всех подмножеств множества 5,4 …

35. Если A n , то P A …

36. Если A m , B n , то A B …

37. Мощность конечного множества…

38. Счетным множеством называется множество, эквивалентное множеству…

39. Счетные множества… (Укажите не менее трех пунктов).

1) N .

2) Q .

3) Z .

4) R .

5) C .

40. Мощность континуума имеют множества… (Укажите не менее двух

пунктов).

1) R .

2) Z .

3) C .

4) N .

5) Q .

41. Бинарное отношение на множестве M – это подмножество множества…

Даны свойства бинарного отношения на множестве M :

1) xxMx .

2) yxxyyxMyx ,, .

3) xyyxMyx, .

4) xxMx .

5) zxzyyxMzyx ,,, .

Определить:

42. Свойство рефлексивности бинарного отношения на множестве M …

43. Свойство антирефлексивности бинарного отношения на множестве M …

44. Свойство симметричности бинарного отношения на множестве M …

45. Свойство антисимметричности бинарного отношения на множестве M …

46. Свойство транзитивности бинарного отношения на множестве M …

Даны свойства бинарного отношения на множестве M :


10

1) ,x M x x .

2) , , , ,x y M x y y x x y .

3) , , ,x y M x y y x .

4) ,x M x x .

5) , , , , , ,x y z M x y y z x z .

Дать определения:

47. Свойство рефлексивности бинарного отношения на множестве M …

48. Свойство симметричности бинарного отношения на множестве M …

49. Свойство транзитивности бинарного отношения на множестве M …

50. Отношение эквивалентности на множестве M … (Укажите не менее трех

пунктов).

51. Отношение частичного порядка на множестве M … (Укажите не менее трех

пунктов).

52. Отношение строгого порядка на множестве M … (Укажите не менее трех

пунктов).

53. Отношение эквивалентности на множестве M не… (Укажите не менее двух

пунктов).

54. Отношение строгого порядка на множестве M не… (Укажите не менее двух

пунктов).

55. Отношение частичного порядка на множестве M не… (Укажите не менее

двух пунктов).

56. Данная таблица истинности соответствует булевой функции…

x y yxf ,

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0


x y yxf ,

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1


x y yxf ,

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1



11

x y yxf ,

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1


x y yxf ,

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1


x y yxf ,

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 0

62. Булевой функции yxyxf , соответствует таблица истинности…




66. Булевой функции ,f x y x y соответствует таблица истинности…

67. Булевой функции ,f x y x соответствует таблица истинности…

68. Свойство коммутативности конъюнкции…

69. Свойство ассоциативности конъюнкции…

70. Свойство дистрибутивности конъюнкции…

71. Свойство коммутативности дизъюнкции…

72. Свойство ассоциативности дизъюнкции…

73. Свойство дистрибутивности дизъюнкции…

74. Законы де Моргана для булевых операций… (Укажите не менее двух

пунктов).

75. Соответствие между названиями и формулировками законов булевой

алгебры…

1) Закон противоречия. 1) 1x x .

2) Закон исключения третьего. 2) 0xx .

3) Закон двойного отрицания. 3) x x

76. x …

77. x …

78. x … (Укажите не менее двух пунктов).

79. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма булевой функции

1 2, ,..., nf x x x …


12

80. Совершенная конъюнктивная нормальная форма булевой функции

1 2, ,..., nf x x x …

81. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма булевой функции не

определена для функции 1 2, ,..., nf x x x …

82. Совершенная конъюнктивная нормальная форма булевой функции не

определена для функции 1 2, ,..., nf x x x …

83. При построении совершенной дизъюнктивной нормальной формы

элементарная конъюнкция nnxxx ...2

21

1 соответствует каждому значению

булевой функции, равному…

84. При построении совершенной конъюнктивной нормальной формы

элементарная дизъюнкция nnxxx ...2

21

1 соответствует каждому

значению булевой функции, равному…

85. При построении совершенной дизъюнктивной нормальной формы в

конъюнкции мы записываем ix , если i …


конъюнкции мы записываем ix , если i …

87. При построении совершенной конъюнктивной нормальной формы в

дизъюнкции мы записываем ix , если i …


дизъюнкции мы записываем ix , если i …

89. Полином Жегалкина булевой функции 1 2, ,..., nf x x x …

90. При построении полинома Жегалкина элементарная конъюнкция nnxxx ...2

21

1

соответствует каждому значению булевой функции, равному…

91. При построении полинома Жегалкина выражения ix заменяются по формуле

ix …

92. При построении полинома Жегалкина подобные слагаемые приводятся по

правилу x x …

93. Соответствие между полиномами Жегалкина и их степенями.

1) yyzxzxyz 1) 2.

2) yyzxyxz 2) 3.

3) 1 3) 1.

4) yx 4) 0.

Символические определения:

94. Класс 0T …

95. Класс 1T …

96. Класс S …

97. Класс M …

98. Класс L …

Словесные определения:

99. Класс 0T - это класс…


13

100. Класс 1T - это класс…

101. Класс S - это класс…

102. Класс M - это класс…

103. Класс L - это класс…

104. Система булевых функций F функционально полна, тогда и только

тогда, когда… (Укажите не менее двух пунктов).

105. Функционально полной системе булевых функций соответствует таблица

Поста…

1) 0T 1T S M L

1f - - + - -

2f + + - - -

3f - - + + -

2) 0T 1T S M L

1f + - - - +

2f + - - - -

3f + - + - +

3) 0T 1T S M L

1f + - + - +

2f + + + + -

3f - - + + -

4) 0T 1T S M L

1f + - + - +

2f + + - - +

3f - + + + +

106. Перестановка - это…

107. Размещение из n элементов по m - это…

108. Сочетание из n элементов по m - это…

109. Выборка называется выборкой с повторением, если…

110. Выборка называется выборкой без повторений, если…

111. Множество называется упорядоченным, если…

112. Множество называется неупорядоченным, если…

113. Укажите неупорядоченные выборки…

114. Укажите все упорядоченные выборки (не менее двух пунктов)…

115. Формула числа сочетаний из n элементов по m без повторений…

116. Формула числа размещений из n элементов по m без повторений…

117. Формула числа перестановок из n элементов…


14

118. Формула числа размещений из n элементов по m с повторениями…

119. Формула числа перестановок из n элементов с повторениями…

120. Формула числа сочетаний из n элементов по m с повторениями…

121. Пусть множество 1

k

ii

A A , A n , i iA n , 1,...,i k .

1 2, ,..., kn n n -

разбиением множества A называется совокупность множеств iA , 1,...,i k ,

удовлетворяющих условиям… (Укажите не менее двух пунктов).

122. Число 1 2, ,..., kn n n -разбиений множества A

, ,...,1 2n n nknC …

123. Соответствие между соединениями и формулами…

1) Число сочетаний из n

элементов по m без

повторений.

1) mm

n nA .

2) Число размещений из n элементов по m без

повторений.

2) 1 2( , ,..., )

1 2

1 2

!,

! !... !

... .

k

n

n n n

k

k

nP

n n n

n n n n

3) Число перестановок

из n элементов.

3) !nPn .

4) Число размещений из n элементов по m с

повторениями.

4) !!

!

mnm

nC m

n .

5) Число перестановок

из n элементов с

повторениями.

5) !

!

mn

nAm

n .

124. Соответствие между определениями и терминами…

1) Неупорядоченное

множество из m

элементов, выбранных

из данных n элементов.

1) Перестановка.

2) Установленный в

конечном множестве

порядок.

2) Сочетание из n

элементов по m .

3) Упорядоченное

множество из m

элементов, выбранных

из данных n элементов.

3) Размещение из n

элементов по m .


15

125. Если какой-либо объект A может быть выбран n способами, и после

каждого такого выбора объект B можно выбрать m способами, то выбор

пары ,A B в указанной последовательности осуществляется … способами.

126. Если какой-либо объект A может быть выбран n способами, а какой-либо

объект B - m способами, и ни один из способов выбора объекта A не

совпадает ни с одним из способов выбора объекта B , то выбор либо A , либо

B осуществляется … способами.

127. Число способов выбора 5 карт из 36…

1) !5

!36

.

2) 5

36A .

3) 5P .

4) 5

36C .

5) 120.

128. Число способами выбора 3 карт из 52…

1) 3P .

2) 3

52A .

3) !3

!52.

4) 3

52C .

5) 3!.

129. В правление избрано 10 человек. Из них требуется выбрать председателя,

секретаря и казначея. Это можно сделать … способами.

1) 3

10C .

2) 3

10A .

3) 3P .

4) !7!3

!10.

5) 6.

130. Число способов выбора 2 дам из колоды в 36 карт при случайном

извлечении трех карт…

1) 6.

2) 2

4C .

3) 2P .

4) !3

!32.

5) 1

32

2

4 CC .

131. Число способов выбора 3 тузов из колоды в 36 карт при случайном

извлечении трех карт…

1) 3

4C .


16

2) 3

4A .

3) !3

!36.

4) 3

36C .

5) 3!.

132. В группе 25 студентов. Из них требуется выбрать старосту, заместителя

старосты и финорга. Это можно сделать … способами.

1) 3P .

2) 6.

3) 3

25A .

4) !22!3

!25.

5) 3

25C .

133. n k

nC …

134. 0 1 ... n

n n nC C C …

135. n

a b …

136. n

a b …

137. Общий член разложения n

a b (формулы Ньютона)…


a b …

139. 0 2 2... l

n n nC C C …

140. 1k k

n nC C …

141. Строка треугольника Паскаля с номером n …

142. 1 2 ...n

kx x x …

143. Пусть N предметов могут обладать свойствами 1 2, , ..., n . iN - число

предметов, обладающих свойством i , 1,...,i n , iN - число предметов, не

обладающих свойством i , 1,...,i n . Тогда 1 2 ... nN …



обладающих свойством i , 1,...,i n . Тогда формула включения и

исключения…

145. Беспорядок – это такая перестановка n элементов, при которой…

146. Число беспорядков из n элементов nD …

147. Число перестановок, при которых r элементов остаются на своем месте, а

остальные n r меняются местами ,n rD …

148. Метод рекуррентных соотношений – это метод решения задачи …

149. Линейное рекуррентное соотношение…


17

150. Частное решение линейного рекуррентного соотношения ищут в виде…

151. V G - множество вершин графа G . Пара ,i jx x называется ребром графа

G , если…

1) ,i jx x V G .

2) ,i jx x V G .

3) ix V G ,

jx V G .

4) ix V G ,

jx V G .

5) ix , jx - изолированные вершины графа G .

152. Граф G имеет … ребер.

153. Граф G имеет … вершин.

154. Граф G имеет … вершин.

155. Вершины ix и jx графа G называют смежными, если…

156. В графе G укажите все вершины, смежные вершине 2x …

G

G

G


18

157. Два ребра графа G называют смежными, если…

158. В графе G укажите все ребра, смежные ребру 1 2,x x …

159. Вершина ix графа G инцидентна ребру…

1) ,i jx x E G .

2) ,i jx x E G .

2x

5x 4x

6x

G

1x 3x

2x

5x 4x

6x

G

1x 3x


19

3) ,k lx x E G .

4) ,k lx x E G .

5) ,k jx x E G .

160. Ребро ,i jx x инцидентно… (Укажите не менее двух пунктов).

1) Вершине ix .

2) Вершине kx , не смежной ix .

3) Произвольной изолированной вершине.

4) Вершине jx .

161. Вершина ix графа G инцидентна ребру… (Укажите не менее двух

пунктов).

1) ,k jx x E G .

2) ,i kx x E G .

3) ,k lx x E G .

4) ,k lx x E G .

5) ,i jx x E G .

162. В графе G укажите все вершины, инцидентные ребру 2 5,x x …

163. В графе G укажите все ребра, инцидентные вершине 5x …

2x

5x 4x

6x

G

1x 3x


20

164. Ребро ,i jx x графа G называются неориентированным, если…

165. Нуль-граф – это граф, который…

166. Ребро ,i jx x графа G называется петлей, если…

167. Граф называется ориентированным, если…

168. Граф называется неориентированным, если…

169. Граф называется смешанным, если…

170. Полный граф – это граф, содержащий…

171. Изоморфизм двух графов – это…

172. Матрицей смежности неориентированного графа G с n вершинами

называется матрица…

173. Матрицей смежности ориентированного графа D с n вершинами

называется матрица…

174. Матрицей инцидентности неориентированного графа G с n вершинами и m ребрами называется матрица…

175. Матрицей инцидентности ориентированного графа D с n вершинами и m

ребрами называется матрица…

176. ij n nA G - матрица смежности неориентированного графа G . Тогда

при 1,...,i n , …

1) 0ij ji .

2) ij ji .

3) ij ji .

4) ij ji .

5) ij ji .

177. Степень вершины ix графа G )( ix -…

2x

5x 4x

6x

G

1x 3x


21

178. Положительная полустепень вершины ix орграфа D ( )ix -…

179. Отрицательная полустепень вершины ix орграфа D ( )ix -…

180. Для вершины ix орграфа D выполняется равенство…

1) ( )i i ix x x .

2) ( )i i ix x x .

3) ( )i i ix x x .

4) ( ) 2i i ix x x .

5) ( ) 0i i ix x x .

181. В графе D V D n , E D m . 1

n

i

i

x …

182. В графе D число вершин нечетной степени (поставьте 0, если четно, и 1,

если нечетно)…

183. Граф G называется однородным (регулярным), если…

184. Однородный граф G с 0ix …

185. Однородный граф G с 1ix …

186. Однородный связный граф G с 2ix …

187. Неориентированный граф G называется связным, если…

188. Ориентированный граф D называется несвязным, если…

189. Неориентированный граф G без кратных ребер и петель с заданным

набором степеней вершин 1 2 ... n существует тогда и только тогда,

когда существует граф с набором степеней вершин: …

190. Орграф D называется сильно связным, если…

191. Орграф D называется односторонне связным, если…

192. Орграф D называется слабо связным, если…

193. Маршрут в неориентированном графе G -…

194. Расстояние между двумя вершинами в неориентированном графе G -…

(Укажите не менее двух пунктов).

195. Условный радиус графа G относительно вершины c ( )r G …

196. Радиус графа G ( )r G …

197. Центр графа G C …

198. Диаметр графа G ( )d G …

199. V G - число вершин графа G , E G - число ребер графа G . R G -

число областей, на который граф G разбивает плоскость. Эйлерова

характеристика графа G …

200. Эйлерова характеристика связного планарного графа равна…


22

Рекомендации к выполнению контрольной работы.

Задание 1.

Множество всех подмножеств множества 0,2,9 имеет вид:

1. ,0,2,9, 0,2 , 0,9 , 2,9 , 0,2,9 .

2. , 0 , 2 , 9 , 0,0 , 2,2 , 9,9 , 0,2,9 .

3. , 0 , 2 , 9 , 0,2 , 0,9 , 2,9 , 0,2,9 .

4. , 0 , 2 , 9 , 18 , 0 , 0 , 0 .

5. , 0 , 2 , 9 , 0,0 , 2,2 , 2,9 , 0,2,9 .

Решение.

Множество всех подмножеств состоит из пустого множества,

подмножеств, состоящих из одного элемента, двух элементов, …, и самого

множества. Таким образом, правильный ответ под номером 3.

Задание 2.

12,17,38,49A , 17,38,49,50B , 38,51,53,54С . Тогда множество \A B C ...

1. 12,49 .

2. 17,49 .

3. 12,17 .

4. 17,38 .

5. 38,40 .

Решение.

\A B и x x A x B , то есть разность множеств A и B состоит из

элементов, которые принадлежат A , но не принадлежат B . Следовательно,

\B C 17,49,50 . A B и x x A x B , то есть пересечение двух множеств

состоит из элементов, которые принадлежат каждому из множеств.

Следовательно, \A B C 17,49 . Правильный ответ под номером 2.

Задание 3.

Если 3,5A , 3,4,8B , то множество A B

1. 9,12,24,15,20,40 .

2. 3,4 , 3,8 , 5,3 , 5,4 , 5,8 .

3. 3,3 , 4,3 , 8,3 , 3,5 , 4,5 , 8,5 .

4. 3,3 , 3,4 , 3,8 , 5,3 , 5,4 .

5. 3,3 , 3,4 , 3,8 , 5,3 , 5,4 , 5,8 .

Решение.

Прямое произведение A B , , a b a A b B , то есть это множество пар,

первый элемент пары принадлежит A ,второй - B . Правильный ответ под

номером 5.


23

Задание 4.

Отношение 10,10 , 13,13 , 35,35 , 49,49 , 10,13 , 10,35 , 35,10 , 13,35 , 13,49d на множестве

10,13,35,49M является отношением…

1. Частичного порядка.

2. Эквивалентности.

3. Строгого порядка.

4. Не обладает ни одним из указанных свойств.

Решение.

Проверим все свойства.

Рефлексивность: ,x M x x d . Свойство выполняется. Все пары с

одинаковыми элементами принадлежат d .

Антирефлексивность: ,x M x x d . Свойство не выполняется. В

отношении есть пары с одинаковыми элементами.

Симметричность: , , ,x y M x y d y x d . Свойство не выполняется.

10,13 d , а 13,10 d .

Антисимметричность: , , , ,x y M x y d y x d x y . Свойство не

выполняется. 10,35 d , 35,10 d , но 10 35.

Транзитивность: , , , , , ,x y z M x y d y z d x z d . Свойство не

выполняется. 35,10 d , 10,13 d , но 35,13 d .

Следовательно, правильный ответ под номером 4.

Задание 5.

Отношение 29,29 , 31,31 , 41,41 , 43,43 , 31,41 , 41,31 , 29,43 , 43,29d на множестве






Решение.






Симметричность: , , ,x y M x y d y x d . Свойство выполняется.

Антисимметричность: , , , ,x y M x y d y x d x y . Свойство не

выполняется. 31,41 d , 41,31 d , но 31 41.

Транзитивность: , , , , , ,x y z M x y d y z d x z d . Свойство

выполняется.


24

Отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Это отношение

эквивалентности. Правильный ответ под номером 2.

Задание 6.

Отношение 20,20 , 24,24 , 26,26 , 31,31 , 20,24 , 20,26 , 20,31 , 24,26 , 24,31d на множестве






Решение.







20,24 d , а 24,20 d .

Антисимметричность: , , , ,x y M x y d y x d x y . Свойство

выполняется. В отношении нет симметричных пар, кроме пар с равными

элементами.



Отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Это отношение

частичного порядка. Правильный ответ под номером 1.

Задание 7.

Отношение 13,14 , 13,20 , 13,43 , 14,20 , 14,43 , 20,43d на множестве






Решение.


Рефлексивность: ,x M x x d . Свойство не выполняется. В отношении

нет пар с одинаковыми элементами. Поэтому отношение антирефлексивно (

,x M x x d ).


13,14 d , а 14,13 d .


25

Антисимметричность: , , , ,x y M x y d y x d x y . Свойство

выполняется. В отношении нет симметричных пар.



Отношение антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Это

отношение строгого порядка. Правильный ответ под номером 3.

Задание 8.

Таблица истинности булевой функции ,f x y xy x y …

1.

x y ,f x y

0 0 0

0 1 0

1 0 1

1 1 1

2.

x y ,f x y

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

3.

x y ,f x y

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 0

4.

x y ,f x y

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

5.

x y ,f x y

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 0

Решение.


26

В формуле xy x y определим, какие операции выполняются

первыми. Обычный порядок такой: , , , , , . В нашем случае,

вначале вычисляется xy , затем x y , затем xy x y . Составляем таблицу

истинности:

x y xy x y ,f x y

0 0 0 1 1

0 1 0 1 1

1 0 0 0 0

1 1 1 1 1

Правильный ответ под номером 2.

Задание 9.

Для булевой функции ),,( zyxf , заданной набором значений (11110011),

справедливо утверждение

1. y , z - cущественные переменные, x - фиктивная.

2. x , y , z - cущественные переменные.

3. x , y - cущественные переменные, z - фиктивная.

4. x , z - cущественные переменные, y - фиктивная.

5. x - cущественная переменная, y , z - фиктивные.

Решение.

Переменная ix ( ni1 ) булевой функции ),...,,,,...,( 111 niii xxxxxf

называется фиктивной, если имеет место равенство

),...,,0,,...,( 111 nii xxxxf ),...,,1,,...,( 111 nii xxxxf

для любых значений переменных nii xxxx ,...,,,..., 111 . В противном случае

переменная ix называется существенной. Наборы значений переменных в

последнем равенстве называются соседними по переменной ix .

Для удобства приведем таблицу истинности.

x y z ),,( zyxf 0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

Проверим, является ли переменная x существенной или фиктивной.

Рассмотрим значения функции на наборах, соседних по переменной x :

1)0,0,0(f ,

0)0,0,1(f .

)0,0,0(f )0,0,1(f . Значит, переменная x – существенная.


27

Рассмотрим теперь значения функции на наборах, соседних по

переменной y :

1)0,0,0(f ,

1)0,1,0(f .

1)1,0,0(f ,

1)1,1,0(f .

0)0,0,1(f ,

1)0,1,1(f .

)0,0,1(f )0,1,1(f . Следовательно, переменная y – существенная.

Рассмотрим значения функции на наборах, соседних по переменной z :

1)0,0,0(f ,

1)1,0,0(f .

1)0,1,0(f ,

1)1,1,0(f .

0)0,0,1(f ,

0)1,0,1(f .

1)0,1,1(f ,

1)1,1,1(f .

На всех парах соседних по переменной z наборов значений переменных

функция принимает равные значения, следовательно, переменная z –

фиктивная.


Задание 10.

Совершенная дизъюнктивная форма булевой функции ( , , )f x y z , заданной

набором значений (10111011),…

1. x y z x yz xyz xyz xyz .

2. xyz x yz xyz xyz xyz xyz .

3. x y z x yz xyz xyz xyz xyz .

4. x y z xyz x yz xyz xyz xyz .

5. x y z x yz xyz xyz xyz xyz .

Решение.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) для булевой

функции ),...,( 1 nxxf , не равной тождественно нулю, имеет вид:

nn

nfn

n xxxxf ...),...,( 11

1),...,1(:),...,1(

1 ,

где ,если 1,

,если 0.

xx

x

Алгоритм построения СДНФ.

1. Построить таблицу истинности данной булевой функции.

2. Каждому единичному значению булевой функции будет соответствовать


21

1 , где ),...,,( 21 n – соответствующий

набор значений перемен-ных. В конъюнкции мы записываем ix , если 1i ,

и ix , если 0i . Конъюнкции соединяются знаком .

x y z ),,( zyxf 0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1


28

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

СДНФ имеет вид:

( , , )f x y z x y z x yz xyz xyz xyz xyz .


Задание 11.

Совершенная конъюнктивная форма булевой функции ),,( zyxf , заданной

набором значений (00100111),…

1. x y z x y z x y z .

2. x y z x y z x y z x y z .

3. x y z x y z x y z .



Решение.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) для функции

),...,( 1 nxxf , отличной от тождественной единицы, имеет вид:

)...(),...,( 11

0),...,1(:),...,1(

1n

n

nfn

n xxxxf .

Алгоритм построения СКНФ.


2. Каждому нулевому значению булевой функции будет соответствовать


21

1 , где ),...,,( 21 n -

соответствующий набор значений переменных. В дизъюнкции мы

записываем ix , если 0i , и ix , если 1i . Дизъюнкции соединяются

знаком .

x y z ),,( zyxf 0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

СКНФ имеет вид:


29

( , , )f x y z x y z x y z x y z x y z .


Задание 12.

Полином Жегалкина булевой функции ),,( zyxf , заданной набором значений

(11110011)…

1. 1xy xz .

2. 1xyz x .

3. 1xy x .

4. xy x z .

5. 1xy .

Решение.

Всякая булева функция может быть представлена в виде полинома

Жегалкина:

,......

...),...,,(

2112211

11021

nnn

nnn

xxxaxxa

xaxaaxxxf

где 1,0,...,,...,,1210 nn aaaa , где знак обозначает сумму по модулю 2.

Алгоритм построения полинома Жегалкина.


2. Каждому единичному значению булевой функции будет соответствовать

конъюнкция nnxxx ...2

21

1 , где ),...,,( 21 n - соответствующий набор значений

перемен-ных. Конъюнкции соединяются знаком .

3. Заменить выражения ix по формуле: 1ii xx . Раскрыть скобки и привести

подобные слагаемые по правилу: 0xx .

x y z ),,( zyxf 0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

.1

1

)1()1(

)1()1()1)(1()1)(1)(1(

),,(

xxyxyzxyxyz

yzxyzyyzxyxyzzyz

xzxyzyxxyzxzyzxyz

xyzzxyyzx

zyxzyxzyx

xyzzxyyzxzyxzyxzyxzyxf



30

Задание 13.


справедливо утверждение…

1. 1f T , f S .

2. 0f T , f S , f M , f L .

3. 0f T , 1f T , f S .

4. 0f T , 1f T , f L .

5. 1f T , f S , f L .

Решение.

Таблица истинности булевой функции имеет вид:

x y z ),,( zyxf 0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

(0,0,0) 0f , следовательно 0( , , )f x y z T .

(1,1,1) 1f , следовательно 1( , , )f x y z T .

На всех противоположных наборах значений функция принимает

противоположные значения, следовательно, ( , , )f x y z S .

Для проверки монотонности разобьем строку значений функции пополам:

0110 1001 . 0110 не предшествует 1001, следовательно, ( , , )f x y z M .

Построим полином Жегалкина. ( , , )

( 1)( 1) ( 1) ( 1)

1 ( 1)

.

f x y z x yz xyz xy z xyz

x y z x y z

x y z xyz

xyz xz yz z xyz xy yz y

xyz xy xz x xyz x y z

Функция представляет собой полином Жегалкина первой степени,

следовательно,

( , , )f x y z L .

Правильный ответ под номером4.

Задание 14.


справедливо утверждение…


31

1. 1f T , f S .

2. 0f T , f S , f M , f L .

3. 0f T , 1f T , f S .

4. 0f T , 1f T , f M .

5. 1f T , f S , f L .

Решение.

Таблица истинности булевой функции имеет вид:

x y z ),,( zyxf 0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

(0,0,0) 0f , следовательно, 0( , , )f x y z T .

(1,1,1) 1f , следовательно, 1( , , )f x y z T .

Для проверки самодвойственности разобьем строку значений функции

пополам: 0011 0111 . Вторую половину отбросим, первую отразим

симметрично ( 00111100 ), и возьмем инверсию от новой второй половины:

0011 0011 . Полученные набор не совпадает с исходным, ( , , )f x y z S .

Для проверки монотонности разобьем строку значений функции пополам:

0011 0111 . 0011 предшествует 0111, продолжаем процесс деления пополам.

00 предшествует 11, 01 предшествует 11. Продолжаем. 0 0 , 1 1, 0 1 , 1 1.

Следовательно, ( , , )f x y z M .

Построим полином Жегалкина. ( , , )

1 1 ( 1) 1

( 1)

.

f x y z x yz x yz xy z xyz xyz

x y z x yz x y z

xy z xyz

xyz xy yz y xyz yz xyz xz

xyz xy xyz

xyz xz y

Функция представляет собой полином Жегалкина третьей степени,

следовательно,

( , , )f x y z L .


Задание 15.


32

В вузе 17 отличников, 81 хорошист и 130 троечников. Делегация на

студенческую конференцию включает 10 отличников, 9 хорошистов и 4

троечников. Тогда число возможных делегаций равно...

1. 9 4 10

17 81 130C C C .

2. 10 9 4

17 81 130A A A .

3. 10 9 4

17 81 130A A A .

4. 10 9 4

17 81 130С С С .

5. 10 9 4

17 81 130С С С .

Решение.

Порядок при выборе делегации несущественен, поэтому образуются

сочетания. По правилу произведения получаем, что число способов выбора - 10 9 4

17 81 130С С С . Правильный ответ под номером 4.

Задание 16.

В воинском подразделении служат 43 офицера и 60 рядовых. Оперативная

группа состоит из командира, заместителя командира и 3 рядовых, причѐм

командир и заместитель назначаются случайным образом из числа офицеров.

Тогда число возможных оперативных групп равно...

1. 2 3

43 60A C .

2. 2 3

43 60C A .

3. 43 2

60 3C C .

4. 2 3

60 60A C .

5. 2 3

43 60С C .

Решение.

Порядок при выборе рядовых несущественен, поэтому образуются

сочетания, число способов выбора рядовых - 3

60C . При выборе командира и

заместителя порядок существенен, поэтому образуются размещения. Число

способов выбора командира и заместителя - 2

43A . По правилу произведения

получаем, что число способов выбора - 2 3

43 60A C . Правильный ответ под номером 1.

Задание 17.

Число способов расстановки 28 томов на книжной полке, при которой

первые 24 тома стоят рядом, равно...

Решение.

Расстановка 28 элементов – это перестановка. 24 первых тома стоят

рядом. Считаем их одним элементом, но место за ними не закрепляем, так как

они могут находиться в любом месте. Таким образом, переставляются 5

элементов. Число перестановок из 5 элементов равно 5 5! 120P .


33

Задание18.

Матрица смежности неориентированного графа имеет вид

0100100

1011000

0100001

0100111

1001010

0001101

0011010

.

Тогда степени вершин графа…

1. 1( ) 1x , 2( ) 3x , 3( ) 3x , 4( ) 4x , 5( ) 2x , 6( ) 3x , 7( ) 2x .

2. 1( ) 3x , 2( ) 3x , 3( ) 3x , 4( ) 4x , 5( ) 2x , 6( ) 3x , 7( ) 1x .

3. 1( ) 3x , 2( ) 2x , 3( ) 3x , 4( ) 4x , 5( ) 2x , 6( ) 3x , 7( ) 2x .

4. 1( ) 3x , 2( ) 3x , 3( ) 3x , 4( ) 4x , 5( ) 2x , 6( ) 3x , 7( ) 2x .

5. 1( ) 3x , 2( ) 3x , 3( ) 2x , 4( ) 4x , 5( ) 2x , 6( ) 3x , 7( ) 2x ..

Решение.

Матрица смежности )(GA неориентированного графаG - это матрица

размерности nn , элементы которой определяются следующим образом: 1,если вершины и смежны,

0в противном случае.

i j

ij

x xa

По матрице смежности построим граф G :

Степень (валентность) вершины ix неориентированного графа G - это

число ребер )( ix , инцидентных данной вершине. Таким образом, 1( ) 3x ,

4x

1x

2x

3x

6x 5x 7x

G


34

2( ) 3x , 3( ) 3x , 4( ) 4x , 5( ) 2x , 6( ) 3x , 7( ) 2x . Правильный ответ под

номером 4.

Задание 19.

Для графа из задания 18 расстояние от вершины 1x до вершины 7x равно...

Решение.

Граф нами уже построен. Расстояние ),( yxd между вершинами x и y в

неориентированном графе G - это наименьшее число ребер, соединяющих

вершины x и y . Таким образом, 1 7( , ) 3d x x . Правильный ответ - 3.

Задание 20.

Для графа из задания 18 условный радиус вершины 3x равен…

Решение.

Граф нами уже построен. Найдем расстояния от вершины 3x до

остальных вершин графа.

3 1( , ) 2d x x , 3 2( , ) 1d x x , 3 3( , ) 0d x x , 3 4( , ) 1d x x , 3 5( , ) 3d x x , 3 6( , ) 2d x x , 3 7( , ) 1d x x .

Условный радиус графа G относительно вершины c определяется

формулой:

),(max)()(

xcdcrGVx

.

Здесь )(GV – это множество вершин графа G . Следовательно, 3( ) 3r x .

Правильный ответ - 3.

Ответы на вопросы для самопроверки.

1. Истинное утверждение -1 1,2,3 .

2. Истинное утверждение - 1 1,2,3 .

3. Объединение множеств A и B или A B x x A x B .

4. Пересечение множеств A и B и A B x x A x B .

5. Разность множеств A и B \A B и x x A x B .

6. Дополнение множества A \A U A .

7. Симметрическая разность множеств A и B - \ \A B A B B A или

\A B A B A B .

8. Свойство коммутативности объединения множеств - .

9. Свойство коммутативности пересечения множеств - A B B A.

10. Свойство ассоциативности объединения множеств -

A B C A B C .

11. Свойство ассоциативности пересечения множеств -

A B C A B C .

12. Свойство дистрибутивности пересечения множеств относительно

объединения - A B C A B A C .

A B B A


35

13. Свойство дистрибутивности объединения множеств относительно

пересечения - A B C A B A C .

14. Свойство ассоциативности симметрической разности множеств -

A B C A B C .

15. Закон двойного дополнения - A A .

16. Законы де Моргана для множеств - A B A B и A B A B .

17. – 20. Коммутативность объединения - . Ассоциативность

объединения - A B C A B C . Коммутативность пересечения -

A B B A. Ассоциативность пересечения - A B C A B C .

Дистрибутивность пересечения относительно объединения -

A B C A B A C . Дистрибутивность объединения относительно

пересечения - A B C A B A C .Закон де Моргана - A B A B

и A B A B . Двойное дополнение - A A .Ассоциативность

симметрической разности - A B C A B C .

21. Прямое произведение множеств A и B

A B , , a b a A b B .

22. В общем случае выполняется свойство - A B B A.

23. Ассоциативность прямого произведения множеств - A B C A B C .

24. A B тогда и только тогда, когда a A a B .

25. A B тогда и только тогда, когда ,A B B A .

26. A B тогда и только тогда, когда ,A B A B .

27. Множества A и B находятся в общем положении тогда и только тогда, когда

,a A a B ; ,b B b A; ,c A c B .

28. Множества 3,2,1A и 4,3B находятся в общем положении.

29. Множества 1,2A и 1,2,3B таковы, что A B .

30. Множества 1,2A и 4,3B таковы, что A B .

31. Множества 3,2,1A и 3B таковы, что B A.

32. Множество всех подмножеств множества 3,2,1 -

3,2,1,3,2,3,1,2,1,3,2,1, .

33. Множество всех подмножеств множества 5,4,3 -

5,4,3,4,3,5,3,4,3,5,4,3, .

34. Множество всех подмножеств множества 5,4 - , 4 , 5 , 4,5 .

35. Если A n , то P A 2n.

36. Если A m , B n , то A B mn .

37. Мощность конечного множества – это число элементов множества.

38. Счетным множеством называется множество, эквивалентное множеству N .

39. Счетные множества - N , Q , Z .

40. Мощность континуума имеют множества R и C .

A B B A


36

41. Бинарное отношение на множестве M – это подмножество множества

MM .

42. Свойство рефлексивности бинарного отношения на множестве M -xxMx .

43. Свойство антирефлексивности бинарного отношения на множестве M -

xxMx .

44. Свойство симметричности бинарного отношения на множестве M -

xyyxMyx, .

45. Свойство антисимметричности бинарного отношения на множестве M -

yxxyyxMyx ,, .

46. Свойство транзитивности бинарного отношения на множестве M -

zxzyyxMzyx ,,, .

47. Свойство рефлексивности бинарного отношения на множестве M -

,x M x x .

48. Свойство симметричности бинарного отношения на множестве M -

, , ,x y M x y y x .

49. Свойство транзитивности бинарного отношения на множестве M -

, , , , , ,x y z M x y y z x z .

50. Отношение эквивалентности на множестве M рефлексивное, симметричное

и транзитивное.

51. Отношение частичного порядка на множестве M рефлексивное,

антисимметричное и транзитивное.

52. Отношение строгого порядка на множестве M антирефлексивное,

антисимметричное и транзитивное.

53. Отношение эквивалентности на множестве M не антирефлексивное и

антисимметричное.

54. Отношение строгого порядка на множестве M не рефлексивное

исимметричное.

55. Отношение частичного порядка на множестве M не антирефлексивное и

симметричное.

56. Данная таблица истинности соответствует булевой функции yxyxf , .




60. Данная таблица истинности соответствует булевой функции ,f x y x y .

61. Данная таблица истинности соответствует булевой функции ,f x y x .


x y yxf ,

0 0 0

0 1 1

1 0 1


37

1 1 0


x y yxf ,

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1


x y yxf ,

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1


x y yxf ,

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

66. Булевой функции ,f x y x y соответствует таблица истинности…

x y yxf ,

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

67. Булевой функции ,f x y x соответствует таблица истинности…

x y yxf ,

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 0

68. Свойство коммутативности конъюнкции xyyx .

69. Свойство ассоциативности конъюнкции zyxzyx )()( .

70. Свойство дистрибутивности конъюнкции )()()( zxyxzyx .

71. Свойство коммутативности дизъюнкции xyyx .

72. Свойство ассоциативности дизъюнкции zyxzyx )()( .

73. Свойство дистрибутивности дизъюнкции )()()( zxyxzyx .


38

74. Законы де Моргана для булевых операций x y x y и x y x y .

75. Закон противоречия - 0xx . Закон исключения третьего - 1x x . Закон

двойного отрицания - x x .

76. x, 1,

, 0.

x

x.

77. x x .

78. x x или x .

79. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма булевой функции

1 2, ,..., nf x x x 11

( ,..., ):1( ,...,1 ) 1

... nn

nf n

x x .

80. Совершенная конъюнктивная нормальная форма булевой функции

1 2, ,..., nf x x x 11

( ,..., ):1( ,...,1 ) 0

( ... )nn

nf n

x x .

81. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма булевой функции не

определена для функции 1 2, ,..., nf x x x 0.

82. Совершенная конъюнктивная нормальная форма булевой функции не

определена для функции 1 2, ,..., nf x x x 1.

83. При построении совершенной дизъюнктивной нормальной формы


21

1 соответствует каждому значению

булевой функции, равному 1.

84. При построении совершенной конъюнктивной нормальной формы


21

1 соответствует каждому

значению булевой функции, равному 0.


элементарной конъюнкции мы записываем ix , если i 1.


элементарной конъюнкции мы записываем ix , если i 0.


элементарной дизъюнкции мы записываем ix , если i 0.


элементарной дизъюнкции мы записываем ix , если i 1.

89. Полином Жегалкина булевой функции

1 2

0 1 1 1 1 2 1 22 1

( , ,..., )

... ... ... ,

n

n n n n n

f x x x

a a x a x a x x a x x x где 0 1 2 1

, ,..., ,..., 0,1n na a a a .

90. При построении полинома Жегалкина элементарная конъюнкция nnxxx ...2

21

1

соответствует каждому значению булевой функции, равному 1.

91. При построении полинома Жегалкина выражения ix заменяются по формуле

ix 1ix .

92. При построении полинома Жегалкина подобные слагаемые приводятся по

правилу x x 0.


39

93. Соответствие между полиномами Жегалкина и их степенями:

yyzxzxyz - 3, yyzxyxz - 2, 1 – 0, yx - 1.

94. Класс 0T2 ( ) (0,0,...,0) 0f P n f .

95. Класс 1T2 ( ) (1,1,...,1) 1f P n f .

96. Класс S 2 1 2 1 2( ) ( , ,..., ) ( , ,..., )n nf P n f f .

97. Класс M 2 ( ) , еслиn n n nf P n f f .

98. Класс L 2 1 2 0 1 1 2 2( ) , ,..., ...n n nf P n f x x x a a x a x a x .

99. Класс 0T - это класс булевых функций, сохраняющих ноль.

100. Класс 1T - это класс булевых функций, сохраняющих единицу.

101. Класс S - это класс булевых функций, на противоположных наборах

принимающих противоположные значения.

102. Класс M - это класс монотонных булевых функций.

103. Класс L - это класс булевых функций, которые представляются

полиномом Жегалкина не выше первой степени.

104. Система булевых функций F функционально полна, тогда и только

тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из замкнутых классов,

другими словами, 0 1 0 0 1 1, , , , , , , ,S M L S M Lf f f f f F f T f T f S f M f L .

105. Функционально полной системе булевых функций соответствует таблица

Поста…

1) 0T 1T S M L

1f - - + - -

2f + + - - -

3f - - + + -

106. Перестановка – это установленный в конечном множестве порядок.

107. Размещение из n элементов по m - это упорядоченное множество из m

элементов, выбранных из данных n элементов.

108. Сочетание из n элементов по m - это неупорядоченное множество из m

элементов, выбранных из данных n элементов.

109. Выборка называется выборкой с повторением, если элементы в выборке

повторяются.

110. Выборка называется выборкой без повторений, если элементы в выборке

не повторяются.

111. Множество называется упорядоченным, если порядок элементов

существенен.

112. Множество называется неупорядоченным, если порядок элементов

несущественен.

113. Неупорядоченные выборки – это сочетания.

114. Упорядоченные выборки – перестановки и размещения.

115. Формула числа сочетаний из n элементов по m без повторений

!!

!

mnm

nC m

n .


40

116. Формула числа размещений из n элементов по m без повторений

!

!

mn

nAm

n .

117. Формула числа перестановок из n элементов !nPn .

118. Формула числа размещений из n элементов по m с повторениями mm

n nA .

119. Формула числа перестановок из n элементов с повторениями

nnnnnnn

nP k

k

n

nnn k...,

!!...!

!21

21

),...,,( 21.

120. Формула числа сочетаний из n элементов по m с повторениями m

mn

m

n CC 1

.

121. Пусть множество 1

k

ii

A A , A n , i iA n , 1,...,i k .

1 2, ,..., kn n n -

разбиением множества A называется совокупность множеств iA , 1,...,i k ,

удовлетворяющих условиям 1 2 ... kn n n n и ,i jA A i j .

122. Число 1 2, ,..., kn n n -разбиений множества A

, ,...,1 2n n nknC

1 2

!

! !... !k

n

n n n.

123. Число сочетаний из n элементов по m без повторений - !!

!

mnm

nC m

n .

Число размещений из n элементов по m без повторений - !

!

mn

nAm

n .

Число перестановок из n элементов - !nPn . Число размещений из n

элементов по m с повторениями - mm

n nA . Число перестановок из n

элементов с повторениями - nnnnnnn

nP k

k

n

nnn k...,

!!...!

!21

21

),...,,( 21.

124. Неупорядоченное множество из m элементов, выбранных из данных n

элементов - сочетание из n элементов по m . Установленный в конечном

множестве порядок - перестановка. Упорядоченное множество из m

элементов, выбранных из данных n элементов - размещение из n элементов

по m .

125. Если какой-либо объект A может быть выбран n способами, и после

каждого такого выбора объект B можно выбрать m способами, то выбор

пары ,A B в указанной последовательности осуществляется mn способами.

126. Если какой-либо объект A может быть выбран n способами, а какой-либо

объект B - m способами, и ни один из способов выбора объекта A не

совпадает ни с одним из способов выбора объекта B , то выбор либо A , либо

B осуществляется m n способами.

127. Число способов выбора 5 карт из 36 - 3

36C .

128. Число способами выбора 3 карт из 52 - 3

52C .

129. В правление избрано 10 человек. Из них требуется выбрать председателя,

секретаря и казначея. Это можно сделать 3

10A способами.


41

130. Число способов выбора 2 дам из колоды в 36 карт при случайном

извлечении трех карт - 1

32

2

4 CC .

131. Число способов выбора 3 тузов из колоды в 36 карт при случайном

извлечении трех карт - 3

4C .

132. В группе 25 студентов. Из них требуется выбрать старосту, заместителя

старосты и финорга. Это можно сделать 3

25A способами.

133. n k

nC k

nC .

134. 0 1 ... n

n n nC C C 2n .

135. n

a b0

nk n k k

n

k

C a b .

136. n

a b0

1n

k k n k k

n

k

C a b .


a b (формулы Ньютона) 1

k n k k

k nT C a b .


a b 1 1k k n k k

k nT C a b .

139. 0 2 2... l

n n nC C C 1 3 2 1... l

n n nC C C .

140. 1k k

n nC C 1

1

k

nC .

141. Строка треугольника Паскаля с номером n1 ...o n

n n nC C C .

142. 1 2 ...n

kx x x 1 21 2

... 1 21 2

!...

! !... !

nn n kk

n n n n kk

nx x x

n n n.



обладающих свойством i , 1,...,i n . Тогда

1 2 ... nN

1 2 1 2 1 3

1 1 2 3 2 1

1 2

... ...

... ...

1 ... .

n

n n n n n

n

n

N N N N N N

N N N

N



обладающих свойством i , 1,...,i n . Тогда формула включения и

исключения

1 2 ... nN

1 2 1 2 1 3

1 1 2 3 2 1

1 2

... ...

... ...

1 ... .

n

n n n n n

n

n

N N N N N N

N N N

N

145. Беспорядок – это такая перестановка n элементов, при которой ни один

элемент не остается на своем месте.

146. Число беспорядков из n элементов nD11 1 1

! 1 ...1! 2! 3! !

n

nn

.


42

147. Число перестановок, при которых r элементов остаются на своем месте, а

остальные n r меняются местами ,n rD r

n n rC D .

148. Метод рекуррентных соотношений – это метод решения задачи

сведением ее к аналогичной для меньшего числа предметов.

149. Линейное рекуррентное соотношение - 1 1 2 2 ...n k n k n k n nu a u a u a u .

150. Частное решение линейного рекуррентного соотношения ищут в виде n

nu r .

151. V G - множество вершин графа G . Пара ,i jx x называется ребром графа

G , если ,i jx x V G .

152. Граф G имеет 5 ребер.

153. Граф G имеет 5 вершин.

154. Граф G имеет 5 вершин.

155. Вершины ix и jx графа G называют смежными, если ,i jx x E G .

156. В графе G все вершины, смежные вершине 2x - 1 3 5, ,x x x .

157. Два ребра графа G называют смежными, если они инцидентны одной

вершине.

158. В графе G все ребра, смежные ребру 1 2,x x -

1 4,x x , 2 3,x x ,

2 5,x x .

159. Вершина ix графа G инцидентна ребру ,i jx x E G .

160. Ребро ,i jx x инцидентно вершине ix и вершине jx .

161. Вершина ix графа G инцидентна ребру ,i jx x E G и ,i kx x E G .

162. В графе G все вершины, инцидентные ребру 2 5,x x - 2 5,x x .

163. В графе G все ребра, инцидентные вершине 5x - 2 5,x x ,

4 5,x x , 5 6,x x .

164. Ребро ,i jx x графа G называются неориентированным, если

, ,i j j ix x x x .

165. Нуль-граф – это граф, который состоит из изолированных вершин.

166. Ребро ,i jx x графа G называется петлей, если i jx x .

167. Граф называется ориентированным, если все ребра графа

ориентированы..

168. Граф называется неориентированным, если все ребра графа

неориентированы.

169. Граф называется смешанным, если в графе есть как ориентированные, так

и неориентированные ребра.

170. Полный граф – это граф, содержащий все допустимые ребра.

171. Изоморфизм двух графов – это взаимно однозначное соответствие между

их вершинами и взаимно однозначное соответствие между их ребрами,

сохраняющее отношение инцидентности.

172. Матрицей смежности неориентированного графа G с n вершинами

называется матрица 1, если вершины и смежны,

,0 в противном случае.

i j

ij ijn n

x xA G


43

173. Матрицей смежности ориентированного графа D с n вершинами

называется матрица

1, если вершины и смежны,

, и - начало дуги,

0 в противном случае.

i j

ij ij in n

x x

A D x

174. Матрицей инцидентности неориентированного графа G с n вершинами и

m ребрами называется матрица

1, если вершина инцидентна

ребру ,,

0 в противном случае,

или если - петля.

i

j

ij ijm n

j

x

aB G

a

175. Матрицей инцидентности ориентированного графа D с n вершинами и m

ребрами называется матрица

1, если вершина инцидентна

ребру , - начало дуги,

-1, если вершина ,

инцидентна ребру , - конец дуги,

0 в противном случае,

или если - петля.

i

j i

i

ij ijm nj i

j

x

a x

xB D

a x

a

176. ij n n

A G - матрица смежности неориентированного графа G . Тогда

при 1,...,i n , ij ji .

177. Степень вершины ix графа G )( ix - число ребер, инцидентных вершине

ix .

178. Положительная полустепень вершины ix орграфа D ( )ix - число дуг,

исходящих из вершины ix .

179. Отрицательная полустепень вершины ix орграфа D ( )ix - число дуг,

заходящих в вершину ix .

180. Для вершины ix орграфа D выполняется равенство ( )i i ix x x .

181. В графе D V D n , E D m . 1

n

i

i

x 2m .

182. В графе D число вершин нечетной степени четно. 0.

183. Граф G называется однородным (регулярным), если , 1,..., ii i n x r .

184. Однородный граф G с 0ix состоит из изолированных вершин.

185. Однородный граф G с 1ix представляет собой объединение

изолированных отрезков.

186. Однородный связный граф G с 2ix представляет собой

многоугольник.

187. Неориентированный граф G называется связным, если для любых двух

вершин существует маршрут, связывающий эти вершины.

188. Ориентированный граф D называется несвязным, если граф D не

является слабо связным.

189. Маршрут в неориентированном графе G - последовательность попарно

смежных ребер.


44

190. Орграф D называется сильно связным, если для любых двух вершин ix ,

jx существует путь из ix в jx и путь из jx в ix .

191. Орграф D называется односторонне связным, если для любых двух

вершин ix , jx существует по крайней мере путь из ix в jx или путь из jx в ix .

192. Орграф D называется слабо связным, если для любых двух вершин ix , jx

существует по крайней мере маршрут из ix в jx .

193. Маршрут в неориентированном графе – последовательность попарно

смежных ребер G .

194. Расстояние между двумя вершинами в неориентированном графе G -

длина кратчайшей цепи, соединяющей эти вершины, или наименьшее число

ребер, соединяющих эти вершины.

195. Условный радиус графа G относительно вершины c ( )r G( )

max ( , )x V G

d c x .

196. Радиус графа G ( )r G( )

minc V G

r c .

197. Центр графа G C x V G r c r G .

198. Диаметр графа G ( )d G( )

maxc V G

r c .

199. V G - число вершин графа G , E G - число ребер графа G . R G -

число областей, на который граф G разбивает плоскость. Эйлерова

характеристика графа G V G E G R G .

200. Эйлерова характеристика связного планарного графа равна 2.


Healthcare

дискретная математика учебное пособие для студентов заочного факультета