La distribucin binomialIng. Claudia Roxana Daz Del guila

Departamento de MatemticasFacultad Multidisciplinaria de Occidente

Tabla de contenidoIntroduccin Objetivos de la presentacinInstrucciones de cmo usar la presentacin Glosario de trminos Dato histricoUtilidad Propiedades de un experimento de BernoulliLa distribucin binomialLa funcinEjemplos

Tabla de contenidoLa tabla de la probabilidad binomialEjemplosEjercicio de redaccinLa media y la desviacin estndarResumenEjercicios de pruebaAproximacin a la distribucin normalVdeo de repaso de conceptosReferencias

IntroduccinEn las empresas tenemos muchas situaciones donde se espera que ocurra o no un evento especfico. ste puede ser de xito o fracaso sin dar paso a un punto medio. Por ejemplo, en la produccin de un artculo, ste puede salir bueno o malo. Casi bueno no es un resultado de inters. Para situaciones como stas se utiliza la distribucin binomial. En esta presentacin se describe el uso de la distribucin binomial para obtener la probabilidad de ocurrencia de ese evento que representa un resultado esperado. Esta clase va dirigida a los estudiantes de Licenciatura en Ciencias de la Educacin y Licenciatura en Sociologa.

Objetivo generalEspero que cuando termine esta presentacin pueda utilizar la distribucin binomial para obtener las probabilidades de aquellas situaciones prcticas con dos posibles resultados.

Objetivos especficosAdems, se espera:

Identificar las propiedades de una distribucin binomial.Determinar los valores de xitos p y fracasos q para establecer las bases para el cmputo de las probabilidades.Establecer el promedio, la varianza y la desviacin estndar utilizando las variables de la distribucin binomial.

Dato histrico

El clculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemtico suizo Jacob Bernoulli (1654-1705). Bernoulli defini el proceso conocido por su nombre el cual establece las bases para el desarrollo y utilizacin de la distribucin binomial.

Utilidad La distribucin binomial se utiliza en situaciones cuya solucin tiene dos posibles resultados. Por ejemplo:Al nacer un/a beb puede ser varn o hembra.En el deporte un equipo puede ganar o perder.

En pruebas de cierto o falso slo hay dos alternativas.

UtilidadTambin se utiliza cuando el resultado se puede reducir a dos opciones.

Por ejemplo:

Un tratamiento mdico puede ser efectivo o inefectivo.

La meta de produccin o ventas del mes se pueden o no lograr.

En pruebas de seleccin mltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta.

Estos ejemplos los podemos considerar comoexperimentos de Bernoulli

Propiedades de un experimento de Bernoulli1 - En cada prueba del experimento slo hay dos posibles resultados: xitos o fracasos.

2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores.

3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamos porp, y no vara de una prueba a otra. La probabilidad del complemento es 1- p y la representamos porq .

Si repetimos el experimento nveces podemos obtener resultados para la construccin de la distribucin binomial.

La distribucin binomialLa distribucin de probabilidad binomial es un ejemplo de distribucin de probabilidad discreta. Esta formada por una serie de experimentos de Bernoulli. Los resutados de cada experimento son mutuamente excluyentes.Para contruirla necesitamos:1 - la cantidad de pruebas n 2 - la probabilidad de xitos p3 - utilizar la funcin matemtica.

La funcin P(x=k)

A continuacin vemos La funcin de probabilidad de la distribucin Binomial, tambin denominada Funcin de la distribucin de Bernoulli:

k - es el nmero de aciertos. n - es el nmero de experimentos. p - es la probabilidad de xito, como por ejemplo, que salga "cara" al lanzar la moneda.1-p - tambin se le denomina como q

Ejemplo1 de la funcinF(x=k)

Cul es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?El nmero de aciertos k es 6. Esto es x=6El nmero de experimentos n son 10La probabilidad de xito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% 0.50La frmula quedara:

P (k = 6) = 0.205Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5% .

Ejemplo 2 de la funcinF(x=k)

Cul es la probabilidad de obtener cuatro veces el nmero 3 al lanzar un dado ocho veces?El nmero de aciertos k es 4. Esto es x=4El nmero de experimentos n son 8La probabilidad de xito p (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0.1666)La frmula queda:P (k = 4) = 0.026Es decir, que la probabilidad de obtener cuatro veces el nmeros 3 al tirar un dado 8 veces es de 2.6%.

Tabla de probabilidad binomial Utilizando la tabla de probabilidad binomial se pueden resolver los ejemplos anteriores.

Para esto debe saber los valores k y B (n,p) . k es el nmero de xitos que buscamos. Este valor se encuentra entre 0 y n.En el parmetro B(n,p), n debe ser mayor de 0 y p un valor desde 0 al 1.

En los ejemplos 1 y 2 los parmetros B(n,p) son B(10,0.50) y B(8,0.1666) respectivamente.

Tabla de probabilidad binomial Obtenga ms informacin de cmo asignar probabilidades utilizando las tablas.Cuando llegue al enlance lea las primeras 6 preguntas con sus respuestas y luego practique con los ejercicios 1.1

Ejemplo 3 B(n,p) Busque en la tabla de probabilidad binomialSolucin :Se trata de una distribucin binomial de parmetros B(12, 0.05). Debemos calcular la probabilidadde que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2). Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superiror p=0.05 . La probabilidad estar en x=2 El resultado es 0.0988En una fbrica de cmaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cmaras defectuosas.

Ejemplo 4 B(n,p) Compruebe el cmputo utilizando una calculadora de probabilidad binomialVea otros ejemplos en este enlaceSolucin :Se trata de una distribucin binomial de parmetros B(15, 0.10). Debemos calcular la probabilidad P(X=3). El resultado es 0.1285En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio.

Ejercicio de redaccincon experiencia interactivaObserve el cambio de la distribucin variando el parmetro B(n,p)Cuando llegue al enlance entre:n en Number ot trials p en Prob. of SuccessPresente una descripcin escrita de las observaciones que obtiene al variar los valores n y p.

La media y desviacin estndar

Caractersticas de la distribucin binomial

n = 5 p = 0.1

n = 5 p = 0.5

Media = E(X) = n p= 5 0.1 = 0.5= 5 0.5 = 0.25

Desviacin estndar

0

.2

.4

.6

0

1

2

3

4

5

X

P(X)

.2

.4

.6

0

1

2

3

4

5

X

P(X)

0

En resumenEn este mdulo hemos determinado la probabilidad binomial mediante el uso de la funcin binomial, tablas de distribucin y la calculadora del enlace. Adems, aprendimos que:

La distribucin binomial se forma de una serie de experimentos de Bernoulli La media () en la distribucin binomial se obtiene con el producto de n x p

La desviacin estndar ( ) en la distribucin binomial se obtiene del producto de n x p x q.

El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 p.

Ejercicio de prueba #1 Un comerciante de verduras tienen conocimiento de que el 10% de la caja est descompuesta. Si un comprador elige 4 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que. a) las 4 estn descompuestas. b) de 1 a 3 estn descompuestas.

Para resolver la pregunta b repase el modulo de las reglas de probabilidad.En este caso se resuelve sumando las probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)= 0.6561 + 0.2916 + 0.0486

Ejercicio de prueba #2

En pruebas realizadas a un amortiguador para automvil se encontr que el 20% presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 salgan defectuosos, b) ms de 5 tengan fuga de aceite. c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos. d) Determine el promedio y la desviacin estndar de amortiguadores con defectos.La pregunta b debe sumar las probabilidades desde P(x=6) en adelante. En la c debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).

Ejercicio de prueba #3

Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa elctrica, inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lotes. Si el 15% de los alternadores del lote estn defectuosos. Cul es la probabilidad de que en la muestra, a) ninguno est defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuososd) ms de tres estn con defectosPara la pregunta d puede realizarla siguiente operacin:

1 [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]

Ejercicio de prueba #4

La probabilidad de que un CD de msica dure al menos un ao sin que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15, a) 12 duren menos de un ao, b) a lo ms 5 duren menos de un ao, c) al menos 2 duren menos de un ao.

Ejercicio de prueba #5

Si 6 de 18 proyectos de viviendas violan el cdigo de construccin, cul es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a cuatro de ellas, descubra que: a) ninguna de las casas viola el cdigo de construccin b) una viola el cdigo de construccin c) dos violan el cdigo de construccin d) al menos tres violan el cdigo de construccin

Ejercicio de prueba #6

Sea x una variable aleatoria binomial. Hallar la distribucin de probabilidad de x si = 4 y n= 10. Para resolver esta pregunta utilice la relacin de =npDepejando por p queda P= /n

Al tener el parmetro B(n,p) puede buscar en la tabla las x y sus probabilidades correspondientes. Esto forma la distribucin de probabilidad binomial para este ejercicio.

Glosario de trminos Distribucin de probabilidad discreta - distribucin con un nmero finito de valores.

Distribucin binomial Distribucin discreta que se aplica cuando se realizan ms de una vez y de forma independiente el experimento de Bernoulli.

Experimento de Bernoulli Experimento con dos posibles resultados (xito o fracaso).

Experimento independiente Cuando el resultado de un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento

Glosario de trminos

xitos Es la ocurrencia del evento de inters como cantidad de defectos, llamadas recibidas, servicios completados.

Fracasos Es el complemento de los xitos. Es la ocurrencia del evento que no es de inters.

Resultados mutuamente excluyentes Son resultados que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si un producto sale bueno, no puede salir defectuoso al mismo tiempo.

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