Distribuciones de Probabilidad , Distribuciones de Probabilidad , Distribuciones de Probabilidad , Distribuciones de Probabilidad ,

BinomialBinomialBinomialBinomial & Otros (Cap. 5)& Otros (Cap. 5)& Otros (Cap. 5)& Otros (Cap. 5)

Math. 298Math. 298Math. 298Math. 298

Prof. Gaspar Torres RiveraProf. Gaspar Torres RiveraProf. Gaspar Torres RiveraProf. Gaspar Torres Rivera

Distribución de ProbabilidadDef. Es la distribución de las probabilidadesasociadas con cada uno de los valores de una xvariable aleatoria.

Espacios Finitos de ProbabilidadSeaS un espaciomuestralfinito. Un espaciofinitoSeaS un espaciomuestralfinito. Un espaciofinitode probabilidad se obtiene asignando a cada puntouna probabilidad “p”, que satisface:

(((( ))))

(((( )))) 1xP)ii

1xP0)i

nk

ii

i

====

≤≤≤≤≤≤≤≤

∑∑∑∑====

Distribución de ProbabilidadDef. Variable aleatoria (x)=es un valor funcionaldefinido sobre un espacio muestral que puede serdiscreto o continuo. Para S de algún experimento,una variable aleatoria es cualquier asociación concada resultado en S. Su dominio es S y su recorridoesel conjuntodelosnúmerosreales.esel conjuntodelosnúmerosreales.

(((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]]

(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]] 22

x

22x

222x

xPx.S.D)iii

xPx:Opcional

xPx:lpoblacionaVarianza)ii

xPx:lpoblacionaMedia)i

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ====

⋅⋅⋅⋅µµµµ−−−−====σσσσ

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ

⋅⋅⋅⋅====µµµµ

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

ProbabilidadEj. Considerar el experimento de lanzar dosmonedas una vez. Encuentre:a) Espacio Muestral S={(H, H), (H, T), (T, H),

(T,T)}

H

H

1/2

inicio

H

1/2

1/2

T

1/2

T

1/2

H

1/2

T

1/2

x 0 1 2

ProbabilidadEj. Considerar el experimento de lanzar dos monedas unavez. Encuentre:a) Espacio Muestral S={(H, H), (H, T), (T, H), (T,T)}b) Construir una Distribución de Probabilidad de donde la

variable aleatoria x representa el número de caras (H).

x 0 1 2

P(x)

(((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]]

(((( ))))[[[[ ]]]] 22x

222x

xPx.S.D)iii

xPx:lpoblacionaVarianza)ii

xPx:lpoblacionaMedia)i

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ====

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ

⋅⋅⋅⋅====µµµµ

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

Distribución de ProbabilidadEj. Determinar si p(x) es una función deprobabilidad o no para cada tabla deprobabilidades:

1)x 0 1 2 3 4 5 6

p(x) 0.05 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10

2)

x es el número de exámenes de sangre paraidentificar O+ (((( ))))

(((( ))))[[[[ ]]]](((( ))))[[[[ ]]]] 22

x

222x

xPx.S.D)iii

xPx:lpoblacionaVarianza)ii

xPx:lpoblacionaMedia)i

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ====

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ

⋅⋅⋅⋅====µµµµ

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

x 1 2 3 4

p(x) 0.10 0.15 0.25 0.20

Distribución de ProbabilidadEj. Determinar si p(x) es una función deprobabilidad o no para cada tabla deprobabilidades:

3) Exactamente después de nacer, cada bebé es evaluadoenunaescalallamadaApgar. Lasevaluacionesson0, 1, 2,

(((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]]

(((( ))))[[[[ ]]]] 22x

222x

xPx.S.D)iii

xPx:lpoblacionaVarianza)ii

xPx:lpoblacionaMedia)i

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ====

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ

⋅⋅⋅⋅====µµµµ

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

enunaescalallamadaApgar. Lasevaluacionesson0, 1, 2,…,10, con la evaluación del bebé determinada por color,tono muscular, esfuerzo para respirar, ritmo cardiaco eirritabilidad. x es la evaluación Apgar para un bebéseleccionado aleatoriamente en cierto hospital.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(x) .002 .001 .002 .005 .02 .04 .18 .37 .25 .12 .01

Distribución de ProbabilidadEj. En el supuesto de que una mujer puede dar a “luz” conla misma probabilidad a un varón que a una niña, entoncescalcular la probabilidades si se selecciona una familia contres hijos.Variable aleatoria x=número de varones en una familia de3 hijosS={(B,B,B), (B,B,G), (B,G,B), (B,G,G),(G,B,B), (G,B,G),S={(B,B,B), (B,B,G), (B,G,B), (B,G,G),(G,B,B), (G,B,G),(G,G,B), (G,G,G)}

x 0 1 2 3

P(x)81

83

83

81

inicio

B1/2

B1/2

B1/2

G1/2

G1/2

B1/2

G1/2

B

G1/2

B1/2

B1/2

G1/2

G1/2

B1/2

G1/2

Distribución de ProbabilidadEj. En el supuesto de que una mujer puede dar a “luz” conla misma probabilidad a un varón que a una niña, entoncescalcular la probabilidades al seleccionar aleatoriamenteunafamilia con 4 hijos.Variable aleatoria x=número de niñasS={ }

x 0 1 2 3 4

P(x)

(((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]]

(((( ))))[[[[ ]]]] 22x

222x

xPx.S.D)iii

xPx:lpoblacionaVarianza)ii

xPx:lpoblacionaMedia)i

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ====

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ

⋅⋅⋅⋅====µµµµ

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

Distribución de ProbabilidadEj. Una moneda que está cargada, a favor de las caras arazón 3:1, es lanzada dos veces al aire. Determinar S.S={ }

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))41

TP44

1TP41TPTP3

)axiomaslosver(1TPHPqueNotar

TP3HP

⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====++++

====++++====

x 0 1 2

P(x)(((( ))))

(((( ))))[[[[ ]]]](((( ))))[[[[ ]]]] 22

x

222x

xPx.S.D)iii

xPx:lpoblacionaVarianza)ii

xPx:lpoblacionaMedia)i

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ====

µµµµ−−−−⋅⋅⋅⋅====σσσσ

⋅⋅⋅⋅====µµµµ

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑

(((( )))) (((( )))) (((( )))) .43

TP3HP41

TP

44

============

inicio

H

3/4

H

3/4

T

1/4

T

H

3/4T

1/4 T

1/4

x 0 1 2

P(x) ========⋅⋅⋅⋅161

41

41

========

⋅⋅⋅⋅166

41

43

2 ========⋅⋅⋅⋅169

43

43

Distribución de Probabilidad Binomial (B) y el Experimento Binomial

De acuerdo a Holguin y Hayashi (1974), en algunas distribucionesteóricas el interés se centra en conocer si ocurre o no un resultado enparticular. En el experimento binomial se denomina éxito a laocurrencia de uno de los eventos de la dicotomía éxito o fracaso (osea fracaso a la ocurrenciadel evento contrario, sin que estossea fracaso a la ocurrenciadel evento contrario, sin que estossignifiquen de manera alguna que un evento sea o no de supreferencia, son formas de nombrar la dicotomía). La probabilidadde éxito es representada como “p” y la probabilidad de fracaso como“q” o sea que p+q=1. La probabilidad q=1−p. Ejemplos: lanzamientode las monedas, selección múltiple (examen), C o F, nacimiento deun hijo, entre otras. Según Johnson y Kuby (2004), el experimentode probabilidad binomial es integrado por eventos repetidos (no esque se repiten todos los resultados) con las siguientes propiedades:

�Tenemos “n” eventos repetidos e independientes�Cada evento tiene dos resultados: éxito o fracaso�P(éxito)=p, P(fracaso)=q → p+q=1→ q=1−p�La variable aleatoria binomial, X, es una variable discreta del número de conteos de eventos con éxito que ocurren. La X tiene como mínimo 0 y máximo “n”.

�Función de Probabilidad Binomial- es la probabilidad de haya exactamente X éxitos en “n” eventos

(((( )))) (((( )))) nxn...,,3,2,1,0xpara,p1pCxXP xnxxni ≤≤≤≤====−−−−======== −−−−

( )ppnestàndarDesviaciòn

nplpoblacionaMedia

−=

=

1σσσσ

µµµµ

haya exactamente X éxitos en “n” eventos

�Media y la desviación estándar de la Distribución deProbabilidad Binomial (probabilidad de haya exactamente Xéxitos en “n” eventos)

Ej. Una moneda que está cargada, a favor de las caras a razón 3:1, es lanzada dos veces al aire. n=2, p=3/4, q=1−3/4

inicio

H

3/4

H

3/4

T

1/4

T

1/4

H

3/4

T1/4 T

1/4

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

2,1,0carasdenúmerox

5625.0169

41

169

143

143

C2XP

375.0166

41

43

243

143

C1XP

0625.0161

41

1143

143

C0XP

0222

22

1121

12

2020

02

========

========

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−

========

========

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−

========

========

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−

========

−−−−

−−−−

−−−−

Distribución de Probabilidad Binomial (B)Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a “luz” conla misma probabilidad a un varón que a una niña, entoncescalcular la probabilidades si se selecciona una familia contres hijos.Variable aleatoria x=número de varones en una familia de3 hijosS={(B,B,B), (B,B,G), (B,G,B), (B,G,G),(G,B,B), (G,B,G),S={(B,B,B), (B,B,G), (B,G,B), (B,G,G),(G,B,B), (G,B,G),(G,G,B), (G,G,G)}

x 0 1 2 3

P(x)81

83

83

81

inicio

B1/2

B1/2

B1/2

G1/2

G1/2

B1/2

G1/2

B

G1/2

B1/2

B1/2

G1/2

G1/2

B1/2

G1/2

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) 125.081

21

81

121

121

C3XP

375.083

21

41

321

121

C2XP

375.083

21

21

321

121

C1XP

125.081

21

1121

121

C0XP

0333

33

1232

23

2131

13

3030

03

========

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−

========

========

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−

========

========

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−

========

========

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−

========

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

3,2,1,0onesvardenúmerox

125.0125.013XP0xP1ónvarunyniñaunamenosalP

125.0828

12

12

C3XP 33

========

====−−−−−−−−========−−−−====−−−−====

========

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−

========

Distribución de Probabilidad Binomial (B)Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a “luz” conla misma probabilidad a un varón que a una niña, entoncescalcular la probabilidades si se selecciona una familia contres hijos.Variable aleatoria x=número de varones en una familia de 3 hijos

x 0 1 2 31 3 3 1P(x)81

83

83

81

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( )))) ====≤≤≤≤

============≤≤≤≤====≥≥≥≥

================

1xP

3xP

2xP

1xP

:seaoCP,BP,AP:arminerdetoCalcular

niñaunademásnoD

niñastresC,niñaunamásloaB,niñaunamenosalA:eventoslosDefina

Distribución de Probabilidad Binomial (B)Ej. Calcular la probabilidad de obtener tres estudiantes“zurdos” en una muestra de 15 estudiantes, dado que elparámetro o porcentaje 10% representa la gente “zurda”.Variable aleatoria x=número de sujetos zurdos, n=15, p=0.1, q=1−0.1=0.9

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

p(x)

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) ====>>>>====

====<<<<<<<<========≤≤≤≤========≥≥≥≥========≥≥≥≥====

≈≈≈≈⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅======== −−−−

3xPzurdos2demásP

6x2Pzurdos6y2entreP

3xPzurdos3másloaP

2xPzurdos2menosalP

184.03xPzurdos3menosalP

129.0282.0001.04551.011.0C3xP

:arminerdetoCalcular3153

315

Distribución de Probabilidad Binomial (B)Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a “luz” conla misma probabilidad a un varón que a una niña, entoncescalcular la probabilidades si se selecciona una familia con10 hijos.Variable aleatoria x=número de varones en una familia de 3 hijos

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(x)

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) ====>>>>====

====<<<<<<<<========≤≤≤≤========≥≥≥≥========≥≥≥≥====

========−−−−⋅⋅⋅⋅======== −−−−

1xPniña1demásP

6x2Pniñas6y2entreP

2xPniñas2másloaP

2xPniñas2menosalP

8xPniñas8menosalP

5.05.015.0Cniñas10xP

:arminerdetoCalcular10101010

1010

Distribución de Probabilidad Binomial (B)Ej. La probabilidad de que un sujeto de dar en el blanco(tiro al blanco) es 0.4. Si lanza la flecha 4 veces, ¿cuál es laprobabilidad de dar en el blanco en todos los intentos?Variable aleatoria x=número de veces dar en el blanco,n=4, p=0.4,q=1−0.4=0.6

x 0 1 2 3 4

P(x)

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( )))) ====≤≤≤≤

============≤≤≤≤

====⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅======== −−−−

1xP

3xP

2xP

0256.06.04.014.014.0C4xP

:Calcular04444

44

Distribución de Probabilidad Binomial (B)Ej. Una caja tiene25 piezas, de las cuales3 sondefectuosas y22 no son defectuosas. Si se seleccionanaleatoriamente tres piezas, con reemplazo,

Calcular:

(((( ))))(((( ))))

sdefectuosaseantodasP

========

(((( ))))(((( ))))

1qp

88.02522

253

1q,12.0253

p,3nqueNotar

defectuosaseaningunaP

defectuosaunaeexactamentP

====++++

========−−−−================

========

inicio

D3/25

D3/25

D3/25ND

22/25

ND22/25

D3/25ND

22/25

DD

3/25

ND22/25

D3/25

3/25ND

22/25

ND22/25

D3/25

ND22/25

x 0 1 2 3

P(x)

Ej. Un conocido médico sabe por experiencia que el 10%de los pacientes atendidos por el médico presentan unacierta reacción indeseable (empiezan a bailar “tango”). Sidiez pacientes atendidos fueron seleccionadosaleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más2 presenten la reacción indeseable (empiezan a bailar“tango”).“tango”).

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(x)

Ej. Si la probabilidad de que una pareja de divorciados sevuelva a casar dentro de tres años es 0.40. Calcular lasprobabilidades siguientes en 10 parejas de divorciados:a) a lo más tres parejas se volverán a casar dentro de tres añosb) al menos siete parejas se volverán a casar dentro de tresañosc) de dos a cinco se volverán a casar dentro de tres años

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ej. El porcentaje de salir vivo en una operación riesgosa delHospital XYZ es 0.80. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatrode los próximos cinco pacientes sobrevivan a la operaciónmencionada?

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(x)

x 0 1 2 3 4 5

P(x)