Distribuciones de probabilidad Discretas - UPM · Probabilidad y Estadística 5 Distribución Binomial Supongase un experimento aleatorio que consiste en n ensayos ( ensayos de Bernoulli):

Distribuciones de probabilidad Discretas

2Probabilidad y Estadística

Distribución Uniforme Discreta

Definición

Una variable aleatoria X, tiene una distribución uniforme discreta, si cada uno de los valores x1, x2, ….. xn, tiene igual probabilidad de ocurrencia



Figura: Función de distribución de probabilidades para unavariable aleatoria discreta uniforme



Media y Varianza


Distribución Binomial

Supongase un experimento aleatorio que consiste en nensayos ( ensayos de Bernoulli):

•Los ensayos son independientes

•Cada ensayo tiene sólo dos resultados posibles: éxito o fracaso

•La probabilidad de éxito p permanece constante de ensayo a ensayo



DefiniciónLa variable aleatoria X que cuenta el número de éxitos en n ensayos tiene la siguiente función de distribución de probabilidades:


Distribución BinomialLa distribución binomial es utilizada frecuentemente en control de calidad. Es un modelo probabilístico adecuado cuando se muestrea sobre una población que puede considerarse infinitamente grande, p representa la fracción de items defectuosos en dicha población. En estas aplicaciones X representa el número de artículos defectuosos encontrados cuando se toma una muestra al azar de tamaño n .

Si por ejemplo p=0.10 y n= 15; la probabilidad de hallar x artículos defectuosos es:




Distribución Binomial Ejemplo:Cada muestra de agua tiene una probabilidad de 10% de contener un contaminante orgánico particular. Se supone que las muestras son independientes en el sentidode presentar o no el contaminante.Encontrar la probabilidad de que en la próximas 18 muestrasexaminadas, exactamente 2 presenten contaminación.

X: número de muestras que presentan el contaminante en las 18 analizadas

X tiene una distribución binomial con parámetros

n=18 p=0.10



EjemploLa probabilidad pedida es entonces:


Distribución Binomial Ejemplo•Determinar la probabilidad de que por lo menos 4 muestras presenten contaminación

•Puede ser más sencillo calcular la probabilidad del evento complementario


Distribución Binomial Ejemplo

•Determinar la probabilidad de que 3≤X<7



Media y Varianza de una distribución binomial



Ejemplo

Para el ejemplo anterior:

E(X)=np=0.1.18=1.8

Var(X)=np(1-p)=0.1.0.9.18=1.62


Distribución GeométricaSupongase un experimento aleatorio que consiste en nensayos ( ensayos de Bernoulli):

•Los ensayos son independientes

•Cada ensayo tiene sólo dos resultados posibles: éxito o fracaso

•La probabilidad de éxito p permanece constante de ensayo a ensayo


Distribución Geométrica

DefiniciónSea X la variable aleatoria que cuenta el número de ensayos hasta la ocurrencia del primer éxito. X es unavariable aleatoria geométrica con parámetro p y tiene la siguiente función de distribuciónen de probabilidades:


Distribución Geométrica

Figura: Distribuciones geométricas para distintos valores del parámetro p


Media y Varianza de una DistribuciónGeométrica

Definición


Distribuciones Binomial Negativa(Pascal)

Distribución Binomial NegativaEs una generalización de la distribución geométrica. La variable aleatoria X cuenta el número de ensayos hasta la ocurrencia de r éxitos. Los parámetros de la distribución son r y p



Figurade Pascal paradiferenteslos

. Distribuciones

valores de parámetros r y p.



Figura. Variable aleatoria de Pascal representadacomo la suma de variables geométricas

ensayos

Indica un ensayo que resultó en “éxito”



Distribución Binomial Negativa. Media y Varianza


Distribution Hipergeométrica

Definición

Sea N un conjunto de objetos tal que:

•K objetos son clasificados como “éxitos”

•N-K objetos son clasificados como “fracasos”

Se extrae sin reposición una muestra de tamaño n del conjunto de N objetos, con K≤N y n≤N


Distribution Hipergeométrica

Definición

La variable aleatoria X, que cuenta el número de éxitos en un experimento aleatorio con las características anteriores, se denomina variable aleatoria hipergeométrica:


Distribución Hipergeométrica

Figura. Distribucioneshipergeométricas paradiferentes valores de losparámetros N, K, y n.



Ejemplo:Un lote de tuberías está compuesto por 100 partes provenientes de un proveedor local y 200 partes de un proveedor extranjero. Si se seleccionan al azar 4 partessin reemplazo, cual es la probabilidad de que todas seannacionales?

X: número de partes del proveedor local



Ejemplo



Definición

p es interpretado como la proporción de éxitos en el conjunto de Nobjetos



Factor de corrección por población finita

El término en la varianza de una variable aleatoria hipergeométrica

Se denomina factor de corrección por población finita.

Si el tamaño de la muestra n es pequeño comparado con el tamaño del lote N, la distribución hipergeométrica puede ser aproximada por una distribución binomial con probabilidad de éxito p=K/N .

En la práctica: n/N ≤0.05



Figura. Compación de distribuciones hipergeométricas y binomiales.


Distribución de Poisson

Sea un experimento aleatorio caracterizado por:•El número de éxitos que ocurren en un intervalo de tiempo o en una región especificada, son independientes de los que ocurren en otro intervalo de tiempo o región del espacio disjunto

•La probabilidad de que ocurra un sólo éxito durante un intervalo de tiempo muy corto o una pequeña región es proporcional a la duración del intervalo de tiempo o al tamaño de la región

•La probabilidad de que ocurra más de un éxito en dicho intervalo de tiempo o región es despreciable



Definición

La variable aleatoria X, que cuenta el número de éxitos en un experimento aleatorio con las características anteriores, se denomina variable aleatoria de Poisson, con parámetro λ>0:





Media y varianza



Unidades consistentes

Es importante utilizar unidades consistentes en el cálculo de probabilidades, medias y varianzas que involucran variables de Poisson.

Si por ejemplo:

•El número promedio de llamadas por seg es 9, entonces

•El número promedio de llamadas en 1 min es 540



Ejemplo: En la fabricación discos ópticos la contaminaciónconstituye un problema. El número de particulas de contaminación que están presentes en un disco tiene unadistribución de Poisson, y el número promedio de partículas por cm2 de superficie es de 0.1. El area de un disco bajo estudio es de 100 cm2. Encontrar la probabilidadde que en el area bajo estudio se presenten 12 partículas de contaminantes



Ejemplo

X: número de partículas en el área de un disco bajo estudio



Ejemplo•Determinar la probabilidad de no encontrar ninguna partícula de contaminante

•Determinar la probabilidad de encontrar 12 o menos partículas de contaminante en el disco bajo estudio

Distribuciones Continuas


Distribución UniformeDefinición

Una variable aleatoria continua X, con función de densidad

se denomina variable aleatoria continua uniforme

1


Distribución Uniforme

Figura 1: Función de densidad de probabilidades para unavariable continua uniforme



Media y Varianza

Si X es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo (a,b):

2



Ejemplo 1:La corriente medida en miliamperes, en un delgado alambre de cobre puede ser representada por unavariable aleatoria X uniformememte distribuida en el intervalo [0,20mA]. Calcular la probabilidad de que la medición de corriente esté entre 5 y 10 mA.



Ejemplo1:

La media y la varianza de X, con a=0 y b=20:

Por lo tanto el desvío estándar asociado a la medición es 5.77 mA.



Figura 2 :Probabilidad para el ejemplo 1


Distribución UniformeLa función de distribución acumulada para una variable uniformemente distribuida se calcula como:

Por lo tanto, la descripción completa de la función de distribución acumulada es:

3


Distribución Normal

Definición: Una variable aleatoria X tiene una distribuciónnormal ( o Gaussiana) si su función de densidad de probabilidades es:

Donde µ y σ son parámetros tales que σ>0 y -∞<µ<∞

4


Distribución Normal Media y Varianza:

Puede demostrarse que el valor esperado y la varianza de X están dadas por :

Para simbolizar que X tiene una distribución normal con parámetros µ y σ2 es común utilizar la notación:

X~N(µ, σ2)

5



Figura 3: Funciones de densidad de probabilidadnormales para diferentes valores de μ y σ2.



Distribución normal Areas bajo la distribución normal

Figura 4


Distribución Normal Estándar

Definición: Una variable aleatoria normal con

Se denomina variable aleatoria normal estándar y se simboliza con Z.

Su función de distribución acumulada es denotada como:


Distribución Normal Estándar


Distribución Normal Acumulada


Distribución Normal Sea X una variable aleatoria normal con E(X)=µ y V (X)=σ2, entonces la variable Z:

Tiene una distribución normal con media E(Z)=0 y V(Z)=1. Esto es, Z es normal estándar

6


Distribución Normal Sea X una variable aleatoria normal con E(X)=µ y V (X)=σ2, entonces:

Donde Z es normal estándar y

es el valor que se obtiene al estandarizar X. Los valores de la distribución normal estándar acumulada se encuentran tabulados

7



Figura 5 Valores de distribución normal estándar acumulada.



Ejemplo 2:Las mediciones de corriente en un alambrepueden representarse como una variable aleatoria Xnormalmente distribuida con media 10 mA y varianza 4 (mA)2. Determinar la probabilidad de que una mediciónexceda los 13 mA.



Figura 6 Estandarización de una variable aleatoria normal.



Ejemplo 2 continuación

Cual es la probabilidad de que la medición de corriente esté entre 9 y 11 mA?


Distribución Normal Ejemplo 2 continuación:

Determinar el valor de x para el cual la probabilidad de una medición esté por debajo de dicho valor sea de 0.98. El valor de x a determinar se muestra graficamente en la figura 7 y verifica: P(X<x)=0.98. Si se estandariza la variable X esto resulta en:


Distribución Normal Ejemplo 2 continuación:

La tabla de distribución normal acumulada se utiliza paraencontrar el valor de z tal que P(Z<z)=0.98. El valor máscercano es

Por lo tanto el correspondiente valor de x:



Ejemplo 2(continuación)

Figura 7 Determinación del valor de x que verifica unaprobabilidad específica.


Aproximación de la DistribuciónNormal a las Distribuciones Binomial y

de Poisson

• Bajo ciertas condiciones , la distribución normal puede utilizarse para aproximar la distribución binomial y la distribución de Poisson


Aproximación de la Distribución Normal a la Distribución Binomial

Figura 8 AproximaciónNormal a la binomial.


Aproximación de la DistribuciónNormal a la Distribución Binomial

Ejemplo 3: El número de bits con error recibidos en un canal de comunicación digital, puede ser modelado comouna variable aleatoria binomial con parámetro p= 1x10-5. Si se reciben 16 millones de bits, cual es la probabilidadde que ocurran más de 150 errores?


Aproximación de la DistribuciónNormal a la Distribución Binomial


Imposible de computar

•La distribución normal puede utilizarse en este ejemplo para dar una excelente aproximación de la probabilidad pedida



Si X es una variable aleatoria binomial, entonces la variable:

Se distribuye aproximadamente como una variable aleatoria normal estándar. Dicha aproximación es buena si:

8




El problema de comunicación digital puede ser resueltocomo:


Aproximación de las Distribuciones

Figura 9 Condiciones para aproximar una distribuciónhipergeométrica por una distribución binomial


Aproximación de la Distribución Normal a la Distribución de Poisson

Si X es una variable aleatoria de Poisson, con E(X)=λ y V(X)=λ entonces la variable:

Se distribuye aproximadamente como una variable aleatoria normal estándar. Dicha aproximación es buena si λ>5.

9



Ejemplo 4 El número de partículas de asbesto por m2 de polvo en una superficie sigue una distribución de Poisson con media igual a 1000. Determinar la probabilidad de queen una muestra de un m2 de polvo analizada, se encuentrena lo sumo 950 partículas de asbesto.

Esta probabilidad puede ser expresada exactamente como:



Ejemplo 4

La dificultad computacional para calcular esta probabilidad es clara. Por lo tanto puede ser aproximada como:


Algunas Aproximaciones Útiles

Figura 10: Aproximaciones de distribuciones de probabilidad

Mejor cuanto más chica es p y más grande es n

Si p’=1-p. Cuanto más chica es p’ y mayor es n

Mejor cuanto mayor es λ


Propiedades de la Distribución NormalSean X1, X2, …..Xn variables aleatorias independientes, normalmente distribuidas con medias µ1, µ2,….., µn y varianzas σ1

2, σ22,………,σn

2 respectivamente. Entonces la variable aleatoria Y ( combinación lineal de dichas variables

Y=a1 X1 +a2 X2+……………+an Xn

Tiene una distribución normal con media:

µY =a1 µ1+a2 µ2 +.…..+an µn

y varianza :

σY2 =a1

2σ12+ a2

2σ22+………+ an

2 σn2

Donde a1,a2,…,an son constantes


Propiedades de la Distribución NormalSean X1, X2, …..Xn variables aleatorias con medias µ1, µ2,….., µn y varianzas σ1

2, σ22,………,σn

2 respectivamente.

Sea Y= X1 + X2+……………+ Xn

Entonces: a medida que n →∞ , )1,0(

1

2

1 NY

n

ii

n

ii

≈−

∑

∑

=

=

σ

μ

• Interpretación práctica: La suma de variables aleatorias se distribuye aproximadamente normal independientemente de la distribución de cada variable individual en la suma .


Distribución Gamma

Función GammaLa función Gamma se define como:

10


Distribución Gamma

Función Gamma

Integrando por partes se obtiene:

Además si r es un entero positivo


Distribución Gamma

Definición: Una variable aleatoria X tiene una distribuciónGamma, con parámetros λ>0 y r>0 si su función de densidad de probabilidades es:

11


Distribución Gamma

Figura 11 DistribucionesGamma para diferentesvalores de r y λ.

r =1:Distribución exponencial


Distribución Gamma

Media y Varianza de la Distribución Gamma

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Distribución Exponencial

Definición: Una variable aleatoria X tiene una distribuciónExponencial , con parámetros λ>0 si su función de densidad de probabilidades es:

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Distribución Exponencial

Media y Varianza de la Distribución Exponencial

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Distribución Chi-cuadrado

•Otra distribución de la familia de la distribución Gamma

•Si los parámetros son : r=k/2 λ=1/2 la función de densidad de probabilidades:

Se transforma en:

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Distribución Chi-cuadrado

• El único parámetro de la distribución es k: número de grados de libertad

•A medida que k crece la distribución se vuelve más simétrica

•La forma límite de la distribución cuando k→∞ es la distribución normal.•Media y Varianza de la Distribución Chi-cuadrado

E(X)= k V(X)=2k


Distribución chi-cuadrado

Figura 12 Distribucionesχ2 para diferentes gradosde libertad.


Distribución de Weibull

Definición: Una variable aleatoria X tiene una distribuciónde Weibull , con parámetros δ>0 y β>0 si su función de densidad de probabilidades es:

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Figura 13 Distribuciones de Weibull para diferentesvalores de los parámetros.


Distribución de Weibull

Media y Varianza de la Distribución de Weibull

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