DISTRIBUIC˘AO NORMAL~ 18.pdf · Muitas vari aveis biom etricas tendem a ter distribui˘c~ao Normal A distribui˘c~ao das m edias amostrais de uma vari avel qualquer tendem a ter

Distribuicao Normal

DISTRIBUICAO NORMAL

Lucas Santana da Cunhaemail: [email protected]

http://www.uel.br/pessoal/lscunha/

Universidade Estadual de Londrina

11 de julho de 2016

Lucas Santana da Cunha email: [email protected] http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ESTATISTICA ECONOMICA A - TURMA 2000

Distribuicao NormalIntroducaoFuncao densidade de probabilidadeNormal Reduzida

Introducao

Dentre todas as distribuicoes de probabilidades, sejam discretas oucontınuas, a mais estudada e utilizada e a distribuicao normal.

As principais razoes que fazem a distribuicao normal o modelo maisimportante na estatıstica sao:

Muitas variaveis biometricas tendem a ter distribuicao Normal

A distribuicao das medias amostrais de uma variavel qualquertendem a ter distribuicao Normal, mesmo que a variavel em sinao tenha distribuicao Normal;

Muitos testes e modelos estatısticos tem como pressuposicao a”normalidade dos dados”, isto e, que os dados possuem distri-buicao Normal.



Introducao

Dentre todas as distribuicoes de probabilidades, sejam discretas oucontınuas, a mais estudada e utilizada e a distribuicao normal.

As principais razoes que fazem a distribuicao normal o modelo maisimportante na estatıstica sao:

Muitas variaveis biometricas tendem a ter distribuicao Normal

A distribuicao das medias amostrais de uma variavel qualquertendem a ter distribuicao Normal, mesmo que a variavel em sinao tenha distribuicao Normal;

Muitos testes e modelos estatısticos tem como pressuposicao a”normalidade dos dados”, isto e, que os dados possuem distri-buicao Normal.



Funcao densidade de probabilidade

A funcao densidade de probabilidade de uma variavel aleatoria contınuaY , seguindo uma distribuicao normal, e dada por:

f (y) =1

σ√

2πe−

12 ( y−µ

σ )2

, −∞ < y <∞,

em que:

µ ∈ R, e a posicao central da distribuicao (media);

σ > 0, e a dispersao da distribuicao (desvio padrao).

Notacao: Y ∼ N(µ;σ).





Propriedades

As principais caracterısticas dessa funcao sao:

A funcao gera um grafico em forma de “sino”, sendo unimodale simetrica;

A media (µ) controla a localizacao do centro da distribuicao (eo ponto de simetria) e o desvio padrao (σ) controla a dispersaoda curva ao redor da media;

O ponto de maximo de f (y) e o ponto Y = µ;

Nao possui limite inferior ou superior;



Propriedades








Propriedades








Propriedades








O desvio padrao define “unidades padroes”na distribuicao apartir da media:

Figura 1: Areas sob a curva normal.



Para se calcular a probabilidade da variavel aleatoria Y assumir va-lores entre a e b “basta”calcular a area compreendida entre estesintervalos

P[a ≤ Y ≤ b] =

∫ b

a

1

σ√

2πe−

12 ( y−µ

σ )2

dy



O calculo direto de probabilidades envolvendo a distribuicao normalexige recursos do calculo avancado e, mesmo assim, dada a formada funcao densidade, nao e um processo muito elementar.

Uma alternativa seria tabelar valores aproximados, permitindo-nosobter diretamente o valor da probabilidade desejada.

Note-se, entretanto, que a funcao densidade da normal depende dedois parametros, µ e σ, de modo que se as probabilidades fossemtabeladas para todas as possıveis combinacoes terıamos infinitas ta-belas.













Normal Padrao

Devido as dificuldades de calculo e em se construir tabelas da funcaodependendo de dois parametros, recorre-se a uma mudanca de variavel,transformando a variavel aleatoria Y na variavel aleatoria Z .

Essa nova variavel chama-se variavel normal reduzida ou normalpadrao.

Denomina-se distribuicao normal padrao, a distribuicao normal demedia zero e variancia 1.

As probabilidades associadas a distribuicao normal reduzida sao fa-cilmente obtidas em tabelas.



Normal Padrao







Normal Padrao







Normal Padrao







Padronizacao

Obtem-se uma escala de distribuicao denominada escala reduzida,escala Z ou escore Z , que mede o afastamento das variaveis emrelacao a media em numero de desvios-padrao. Assim,

Z =Y − µσ

Logo, tem-se que a f.d.p da normal padrao e

f (z) =1√2π

e−12z2, −∞ < z <∞,

Notacao: Z ∼ N(0; 1).



Padronizacao

Obtem-se uma escala de distribuicao denominada escala reduzida,escala Z ou escore Z , que mede o afastamento das variaveis emrelacao a media em numero de desvios-padrao. Assim,

Z =Y − µσ

Logo, tem-se que a f.d.p da normal padrao e

f (z) =1√2π

e−12z2, −∞ < z <∞,

Notacao: Z ∼ N(0; 1).



TABELA



Exemplo 1

Seja Z ∼ N(0; 1). Usando a tabela da distribuicao normal padrao,calcular:

a) P(0 < Z < 1, 57);

b) P(0 < Z < 1, 08);

c) P(−1, 89 < Z < 0);

d) P(−0, 58 < Z < 0);

e) P(−1, 23 < Z < 1, 05);

f) P(−0, 85 < Z < 1, 92);

g) P(−2, 22 < Z < −1, 35);

h) P(−1, 93 < Z < −0, 80);

i) P(0, 52 < Z < 1, 23);

j) P(1, 25 < Z < 2, 23);

k) P(Z > −1, 27).



Exemplo 2

Seja Z ∼ N(4; 1). Determine:

a) P(Y ≤ 4);

b) P(4 < Y < 5);

c) P(2 < Y < 5);

d) P(5 < Y < 7);

e) P(Y ≤ 1);

f) P(0 ≤ Y ≤ 2);



Exemplo 3

Sabendo-se Z ∼ N(0; 1), obter z tal que:

a) P(0 < Z < z) = 0, 43699;

b) P(0 < Z < z) = 0, 475;

c) P(−z < Z < 0) = 0, 35314;

d) P(−z < Z < 0) = 0, 49492;e) P(−z < Z < z) = 0, 95;

f) P(−z < Z < z) = 0, 97;

g) P(Z < z) = 0, 82121;

h) P(Z < z) = 0, 30234;

i) P(Z > z) = 0, 95254;

j) P(Z > z) = 0, 07493;

k) P(Z < z) = 0, 36693;

l) P(Z < z) = 0, 5.


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