Distributions, Analyse de Fourier et Transformation de Laplace - Cours et exercices

de Laplace Cours et exercices
Ahmed Lesfari
Calcul différentie/, Marcel Grangé, 240 pages. 2012.
Concevoir et programmer en C++, Philippe d'Anfray, 576 pages, 2012.
Convolution. séries et intégrales de Fourier, Jacques Peyrière, 120 pages, 2012.
De /'intégration aux probabilités, Olivier Goret. Aline Kurtzmann. 504 pages, 2011.
Distributions. analyse de Fourier et transformation de Laplace - Cours et exercices, Ahmed Lesfari, 384 pages, 2012.
Éléments d'analyse réelle - Rappels de cours illustrés et exercices corrigés, Mohamed Boucetta, 288 pages, 2012.
Épistémologie mathématique, Henri Lombardi, 216 pages, 2011 .
L'évolution des concepts de la physique de Newton à nos jours, Jean-Louis Farvacque, 360 pages, 2012.
Exercices de probabilités pour futurs ingénieurs et techniciens, Antoine Clerc, 168 pages, 2012.
Géométrie euclidienne élémentaire, Aziz El Kacimi Alaoui. 240 pages, 2012.
Ingénierie Dirigée par les Modèles, Jean-Marc Jézéquel, Benoît Combemale, Didier Vojtisek, 144 pages. 2012.
Intégration - Intégrale de Lebesgue et introduction à /'analyse fonctionnelle, Thierry Goudon, 192 pages. 2011 .
Introduction à /'analyse des équations de Navier-Stokes, Pierre Dreyfuss. 168 pages. 2012.
Introduction à /'Optimisation - 2° édition, Jean-Christophe Culioli, 384 pages, 2012.
Le plan; la sphère et le théorème de Jordan. Jean-Yves Le Dimet. 144 pages, 2012.
Recherche Opérationnelle - Tome 1 - Méthodes d'optimisation, Jacques Teghem, 624 pages, 2012.
Statistique mathématique, Benoît Cadre, Céline Vial. 192 pages, 2012.
Suites et séries numériques. Suites et séries de fonctions, Mohammed El Amrani, 456 pages, 2011 .
Systèmes de communications numériques, Gaël Mahé, 216 pages, 2012.
Théorie des groupes, Felix Ulmer, 192 pages, 2012.
Traité de géométrie affine, Dominique Bourn, 168 pages, 2012.
Une introduction moderne à /'algèbre linéaire. Vincent Blanlœil, 216 pages, 2012.
ISBN 978-2-7298-76296 ©Ellipses Édition Marketing S.A., 2012
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Avant-propos
La théorie des distributions fut construite par le mathématicien L. Schwartz entre 1944 et 1950 et lui valut la médaille Fields en 1950. Comme la plupart de grandes découvertes scientifiques, la théorie de distributions est construite sur des bases provenant de travaux effectués par de nombreux chercheurs : Heavi side en 1893, Wiener en 1925, Dirac en 1926-27, Hadamard en 1932, Bochner en 1932, Leray en 1934, Sobolev en 1936, Carleman en 1944, etc. L'objectif a été de généraliser la notion de fonction, afin de donner un sens mathématique correct à des objets manipulés par les physiciens et les ingénieurs.
La théorie des distributions est importante aussi bien en mathématiques que dans plusieurs disciplines scientifiques. Elle s'est révélée être une nécessité pour le progrès de plusieurs théories en physique et en ingénierie où beau coup de problèmes discontinus conduisent naturellement, entre autres, à des équations différentielles dont les solutions sont des distributions plutôt que des fonctions ordinaires. La théorie assure un certain nombre d'opérations indis pensables auxquelles les fonctions ne se prêtent pas toujours et a apporté les outils mathématiques dont les physiciens et les ingénieurs avaient tant besoin. L'exemple le plus célèbre de distribution est l'impulsion de Dirac, indispen sable aussi bien pour la formulation de la mécanique quantique qu'en analyse harmonique et en traitement du signal. Elle s'est révélée en particulier être un moyen efficace pour mieux comprendre le produit de convolution et la trans formée de Fourier qui sont des instruments puissants de calcul en traitement du signal. D'ailleurs il ne faut pas être étonné que l'un des premiers articles de Schwartz sur la théorie des distributions fut publié en 1948 dans les Annales des Télécommunications (Généralisation de la notion de fonction et de déri vation; théorie des distributions. Annales des Télécommunications, vol. 3, pp. 135-140, 1948).
Par ailleurs un autre point important qu'apporte la théorie des distributions sur celle des fonctions provient de ce que les distributions sont dérivables autant de fois que l'on veut, ce qui n'est évidemment pas le cas des fonctions. Au sens des distributions, la dérivabilité s'étend même à des fonctions discontinues, qui sont indéfiniment dérivables. L'approche utilisée par Schwartz est basée sur la
6 AVANT-PROPOS
dualité dans les espaces topologiques. Il s'agit là d'un concept abstrait, profond et apparemment sans relation avec la physique. Une telle théorie nécessite donc un bagage mathématique assez poussé en analyse fonctionnelle, notamment sur la notion de convergence forte qui détermine une topologie adéquate dans des espaces de fonctions régulières ou de convergence faible dans les espaces duaux de distributions.
En physique, on rencontre souvent des problèmes faisant intervenir des ondes ou des vibrations ou encore des oscillations. Dans chaque cas, la dé composition d'une vibration en une somme de vibrations élémentaires ou har moniques pose le problème de la représentation d'une fonction par une série trigonométrique. Cette décomposition s'appelle analyse spectrale. L'exemple le plus ancien et le plus important est donné par les séries de Fourier qui trouvent leur origine dans l'étude de problèmes de la physique. En effet, la théorie de l'analyse de Fourier (séries de Fourier et leur version "continue" intégrales de Fourier) est issue de l'étude de diverses équations de la physique mathématique, comme l'équation de la chaleur. Faute de pouvoir résoudre ces équations, on a cherché à représenter leurs solutions sous forme de séries de fonctions trigo nométriques. C'est Euler, à propos d'un mémoire de Bernoulli sur les cordes vibrantes qui a posé le problème de la représentation d'une fonction par une série trigonométrique. Ce problème a été repris en 1807 par Fourier dans ses travaux concernant l'équation de la chaleur qui a affirmé que l'on pouvait repré senter ainsi des classes de fonctions beaucoup plus larges que celle des fonctions analytiques. En 1822, Fourier exposa les séries et la transformation de Fourier dans son traité intitulé : Théorie analytique de la chaleur. Des démonstrations rigoureuses de ce fait ont ensuite été données par d'autres mathématiciens, notamment Cauchy et Dirichlet. D'autres résultats importants ont été obte nus par Dirichlet, Dini, du Bois-Reymond, Fejér, Cesàro, Kahane, Katznelson, Carleson, Kolmogorov et d'autres.
L'étude des séries de Fourier est délicate et il fallut plus d'un siècle pour éclaircir plusieurs questions relatives à ces séries. Cette étude et les difficultés qu'elle souleva a obligé les mathématiciens à formaliser des notions telles que la continuité, la dérivabilité, la convergence selon divers modes et elle est à la base de théories fondamentales : intégrales de Riemann, intégrales de Lebesgue, théorie des ensembles (Cantor 1870) ainsi que les premiers concepts de l'ana lyse fonctionnelle. A la suite des travaux sur les séries de Fourier émergèrent plusieurs spécialités nouvelles : analyse harmonique, théorie du signal, onde lettes et qui font encore actuellement l'objet de recherches actives. A l'heure actuelle, l'analyse de Fourier constitue l'un des moyens les plus puissants de l'analyse et intervient dans la plupart des domaines des mathématiques et de la physique. Elle constitue avec les transformées de Laplace (transformations intégrales proche des transformées de Fourier) et autres transformations inté-
AVANT-PROPOS 7
grales (transformée de Fourier discrète, transformée de Fourier rapide, trans formée en Z, etc.) un des outils mathématiques les plus utilisés dans plusieurs branches techniques avec des applications vastes et diverses. On les rencontre par exemple dans l'étude des signaux périodiques, des circuits électriques, des ondes cérébrales, dans la synthèse sonore, le traitement d'images, pour ne citer que quelques uns.
Cet ouvrage s'organise en trois grandes parties, respectivement intitulées : Distributions, Analyse de Fourier et Transformation de Laplace, ainsi qu'un Appendice. On trouvera une description détaillée de toutes ces notions dans l'introduction propre à chaque chapitre. Chaque chapitre commence par un exposé clair et précis de la théorie (définitions, propositions, remarques, etc.). En général, j'ai rédigé des démonstrations complètes, détaillées et accessible à un large public. Par ailleurs, le souci de rendre les notations aussi simples que possible a conduit à raisonner souvent dans le cas d'une variable avec des indications sur les quelques changements que demande le cas de plusieurs va riables. De nombreux exemples se trouvent disséminés dans le texte. En outre, comme il s'adresse principalement à tous les étudiants scientifiques entrant dans un établissement d'enseignement supérieur, chaque chapitre comporte de nombreux exercices de difficulté variée complètement résolus, ainsi que des exercices proposés avec éventuellement des réponses ou des indications. Cer tains exercices ont fait l'objet de questions d'examen au cours des dernières années. Par ailleurs parmi ces exercices il y en a des classiques, que l'on retrou vera certainement ailleurs, et d'autres qui sont vraisemblablement originaux. A la fin, j'ai inclus une bibliographie comportant un petit nombre d'ouvrages fon damentaux facilement accessibles. C'est avec reconnaissance que j'accueillerai les critiques et suggestions que les lecteurs voudront bien me faire parvenir.
Cet ouvrage est destiné aux étudiants de licence ou master de mathéma tiques (12, 13, Ml) ainsi qu'aux élèves des grandes écoles scientifiques et tech niques. Il peut également être utile aux enseignants.
E-mail : [email protected]
I DISTRIBUTIONS
1 Définitions et exemples 1.1 Espace des fonctions test 'D 1.2 Définition d'une distribution . 1.3 Exemples de distributions . .
1.3.1 Fonctions localement sommables 1.3.2 Distribution de Dirac . . . . . . . 1.3.3 Mesures . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Quelques définitions et propriétés locales . 1.5 Extension de l'espace 'D : espaces C, & et S 1.6 Exercices résolus 1. 7 Exercices proposés . . . . .
2 Dérivation des distributions 2.1 Définition et propriétés .......... . 2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Dérivée de la fonction d'Heaviside 2.2.2 Dérivée de la distribution de Dirac 2.2.3 Dérivée d'une fonction discontinue
2.3 Extension au cas de plusieurs variables . 2.4 Exercices résolus 2.5 Exercices proposés ..
3 Opérations élémentaires 3.1 Multiplication des distributions 3.2 Translation d'une distribution . 3.3 Changement d'échelle . . . . . 3.4 Transposée et parité d'une distribution . 3.5 Exercices résolus 3.6 Exercices proposés ........... .
13
15 16 18 20 20 24 25 25 28 29 37
41 42 43 43 43 44 45 46 63
67 67 69 70 70 71 81
10 TABLE DES MATIÈRES
4 Convergence des distributions
4.1 Définitions et propriétés
5.5.3 Équations différentielles linéaires à coefficients constants 124
5.6 Exercices résolus . 126
5.7 Exercices proposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
ANALYSE DE FOURIER 139
6.3 Cesaro, Fejér, Jordan et Weierstrass .. 164
6.4 Égalité de Parseval et inégalité de Bessel . 169
6.5 Séries de Fourier des distributions . 173
6.6 Exercices résolus 180
6.7 Exercices proposés .. 224
Transformée de Fourier 235 7.1 Transformée de Fourier dans C,1 . 236
7.2 Transformée de Fourier dans S 243
7.3 Transformée de Fourier des distributions 248
7.4 Transformée de Fourier dans C,2 . • . . • 257
7.5 Transformée de Fourier à plusieurs variables 261
7.6 Exercices résolus 264
7.7 Exercices proposés .............. 284
8.4 8.5
Transformée de Laplace des fonctions . Transformée de Laplace des distributions . Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Équations différentielles ..... . 8.3.2 Résolution des équations de convolution 8.3.3 Résolution des équations intégrales . . . 8.3.4 Etude de la stabilité de quelques systèmes non-linaires Exercices résolus . Exercices proposés
9 Appendice 9.1 Éléments de topologie ..... . 9.2 Mesure et intégrale de Lebesgue .
Bibliographie
Index
11
289
291 291 303 307 307 312 313 316 322 358
365 365 371
Introduction
Dans ce chapitre on introduit tout d'abord un espace de base, noté 'D, constitué de fonctions indéfiniment dérivables à support borné. Ensuite on donne les exemples 1.1.3 et 1.1.4 de fonctions appartenant à l'espace 'D. Ces fonctions sont souvent utilisées aussi bien dans les démonstrations de quelques théorèmes que dans la résolution de nombreux exercices. Une distribution T est une fonctionnelle linéaire
T: 1J ~ R(ou C), cp 1----' (T, cp},
et continue (en un sens qui sera précisé) sur l'espace 'D. On donne d'autres définitions équivalentes, utiles en pratique. Les distributions forment un es pace vectoriel, noté 'D', dual de 'D. On montre que les fonctions localement sommables déterminent des distributions :
1J ~ R(ou C), cp 1----' f f(x)cp(x)dx. }~n
Ce résultat nous sera d'un grand recours pour la suite car pour définir les opé rations sur les disributions on commence tout d'abord par les définir sur les fonctions localement sommables et ensuite on généralise les définitions obtenues à l'ensemble des distributions. Un autre exemple important est la distribution ô de Dirac (elle représente une masse ou une charge +1 placée à l'origine). On la définit d'une manière rigoureuse et on explique pourquoi elle ne peut pas être une fonction. Ensuite on définit une mesure comme étant une fonctionnelle linéaire continue (dans un sens qui sera précisé) sur l'espace C des fonctions continues à support borné. On montre que toute mesure est une distribution et que la réciproque n'est pas nécessairement vraie. La distribution ô de Dirac
16 CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
est une mesure. A partir de quelques définitions locales sur des ouverts recou vrant Rn, on reconstitue la définition globale d'une distribution sur Rn. C'est l'objet du théorème du recollement par morceaux, que nous démontrons. Ceci nous permet d'introduire la notion de support d'une distribution. Nous verrons qu'une distribution particulière peut admettre une extension à un espace plus large que V. Enfin plusieurs exercices concernant la valeur principale de Cau chy, les supports des fonctions et des distributions, la parité des distributions, les parties finies de Hadamard, etc., sont traités en détail. Les exercices 1.6.1 et 1.6.3 sont très importants et seront souvent utilisés par la suite.
1.1 Espace des fonctions test V
Définition 1.1.1 On définit le support d'une fonction f: Rn--+ R(ou C) par
suppf = adh {x E Rn: f(x) =/= O},
c'est-à-dire l'adhérence de l'ensemble des x tels que f(x) est non identiquement nulle. Autrement dit, c'est le plus petit ensemble fermé en dehors duquel f est identiquement nulle.
Exemple 1.1.1 Soit x = (xi, ... , Xn) E Rn, r = llxll = Jxî + · · · + x~. On pose
f(x) = { e-1!r2 s~ r < 1 0 sir~ 1
On a suppf = { x E Rn : llxll ~ 1} ; la boule de centre 0 et de rayon 1.
Définition 1.1.2 On désigne par 'JJ(Rn), ou tout simplement, 1J l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables à support borné
1) = { <p E C00 : suppf borné}.
Cet ensemble s'appelle espace de base et ses éléments fonctions de base (ou fonctions tests).
Notons que 1J est un espace vectoriel sur C (si <pi, <p2 E 1J et a, f3 E C, alors a<p1 + f3<p2 E 'JJ) de dimension infinie. Il n'est pas évident que l'espace 1J contient d'autres fonctions que les fonctions nulles. Nous donnerons ci-après (voir exemples 1.1.3 et 1.1.4 ainsi que l'exercice 1.7.1) quelques exemples de telles fonctions et qui seront utiles par la suite.
1.1. ESPACE DES FONCTIONS TEST1J 17
Exemple 1.1.2 La fonction f: R--+ R définie par
est de classe C00 • Si x < 0, toutes les dérivées de f sont nulles. Si x = 0, les dérivées à gauche de f sont nulles. Si x > 0, on a
! "( ) _ 4 - 6x2 -~ f(k)( ) _ P(x) -~ x - 6 e "' , ... , x - 3k e "' , X X
où P(x) est un polynt1me. Dès lors,
- 1 3k ( ) e ;;;2" uT
lim f k (x) = P(O) lim ~ = P(O) lim - = 0, x--+O+ x--+O X u--+oo eu
il suffit d'appliquer plusieurs fois la règle de l'Hospital. Enfin, si x = 0, les dérivées à droite de f sont nulles : J(k)(O) = 0, Vk E N. En effet, procèdons par récurrence sur k. Pour k = 0, c'est évident. Supposons que J(k)(O) = 0 et montrons que : J(k+l)(O) =O. On a
1 1 f (k)(x) - J(k)(O) -;;;2" -;;;2"
/(k+l)(o) = lim = lim P(x)-e- = P(O) lim _e_ =O. x--+O X - 0 x--+O x3k+ 1 x--+O x3k+ 1
Ainsi f(x) est indéfiniment dérivable.
Exemple 1.1.3 La fonction cp: R ~ R définie par
cp(x) = { e - 1 - 1 "'2 si lxl < 1 0 si lxl ~ 1
appartient à 1J. En effet, si lxl > 1, alors cp(x) = 0 et cp E C00 • De méme, si 1
lxl < 1, 1!x2 E C00 et cp(x) = e- 1-0:2 E C00 • Si lxl = 1, on utilise le méme raisonnement que dans l'exemple précédent. On montre dans ce cas que l'on a cp(k)(x) = 0, donc cp E C00 • En outre, supp cp = [-1, 1] et par conséquent cp E 1J.
Exemple 1.1.4 (Lemme d'Urysohn) : Soit K un compact de Rn. Alors il existe une fonction cp E 1J telle que :
(i) 0 :S cp(x) :S 1 pour tout x E Rn. (ii) cp(x) = 1 sur K. (iii) cp(x) = 0 en dehors d'un ouvert contenant K.
Notation : Si c.p est une fonction de V et si a = (a1, ... ,an) E Nn est un multi-indice, on pose
( a )°'1 ( a )°'n a'°''"'
D°'c.p = 8x1 ... 8xn = âxf1 ... ax~n '
avec 1 a I= a1 + · · · + an.
Remarque 1.1.1 On peut munir l'espace D de la topologie limite inductive, en introduisant une famille de semi-normes mais dans tout ce qui va suivre, la connaissace de cette topologie n'est pas nécessaire; il suffit de connaître la notion de convergence des suites dans V.
Définition 1.1.3 On dit qu'une suite de fonctions ( 'Pk) E V converge dans V vers une fonction c.p E V si :
{i) tous les supports des 'Pk sont contenus dans un même compact K.
{ii} pour tout j E N, la suite des dérivées ( c.p~)) converge uniformément1 vers c.p(j) sur K.
Remarque 1.1.2 Dans le cas de plusieurs variables, la condition {ii} est rem placée par celle-ci : {ii}' Pour tout a E Nn, la suite (D°'c.pk) converge unifor mément vers D°'c.p sur K.
Notation : On écrit 'Pk ~ c.p pour dire que (c.pk) converge dans V vers c.p.
1.2 Définition d'une distribution
Définition 1.2.1 On appelle distribution T une fonctionnelle linéaire conti nue sur V.
{i) fonctionnelle linéaire signifie : une application T de V dans ~ (ou C) faisant correspondre à une fonction c.p E 'D, un nombre noté (T, c.p) tel que : pour tous c.p1, c.p2 EV et a, {3 E C, on a
Au lieu de fonctionnelle linéaire, on dit aussi forme linéaire. {ii} continue signifie : si la suite ( 'Pk) converge dans V vers c.p, alors (T, 'Pk)
converge au sens usuel vers (T, c.p). Autrement dit, une fonctionnelle linéaire sur V définit une distribution si
pour toute suite (c.pk) E V qui converge dans V vers zéro, la suite (T, 'Pk) converge au sens usuel vers zéro.
1La suite (<p~)) converge uniformément vers <p(i) dans Ksi, quel que soit e > 0, il existe un entier N(e) tel que, pour tout k 2:: N(e) et tout x E K, on ait 1 <p~>(x) - <p(il(x) j::; e
c'est-à- dire si limk-+oo sup.,EK 1 <p~>(x) - <p<i>(x) 1 =O.
1.2. DÉFINITION D'UNE DISTRIBUTION 19
Proposition 1.2.2 Une fonctionnelle linéaire sur V est une distribution si et seulement si, pour tout compact K et pour toute fonction cp E V avec supp cp c K, il existe une constante C > 0 et un entier m tels que :
m
1 (T,cp) I~ CI:sup 1 cp~)(x) I · j=OxEK
{l.2.1)
Démonstration : Soit T une distribution sur V et supposons que pour toute constante C > 0 et tout entier m, il existe un compact K et une fonction 'Pk EV, supp 'Pk C K tels que:
m
1 (T,cpk) I~ CI:sup 1 cp~)(x) I · j=OxEK
Choisissons C = m = k et posons 1/Jk = (T~~k) . La fonction 1/Jk appartient à
V car 1/Jk E C00 et supp 1/Jk C supp 'Pk c K. Dês lors,
k
1 = (T,1/Jk) 2: k I:sup 11/J~)(x) 1, j=OxEK
et
lim (sup 11/J~)(x) 1) = 0, k 2: j k-+oo xEK
c'est-à-dire 1/J~) converge uniformément vers 0 ce qui est absurde puisque (T, 1/Jk) ne converge pas (au sens usuel) vers O. Réciproquement, supposons que la suite (cpk) converge dans V vers 0 c'est-à-dire supp 'Pk C K et cp~)(x) converge uniformément vers O. Donc
lim (sup 1 cp~)(x) 1) = 0, k-+oo xEK
et d'après (1.2.1), (T, 'Pk) converge (au sens usuel) vers O. Donc la définition précédente et la proposition 1.2.2 sont équivalentes. D
Remarques 1.2.1 a) Dans le cas de plusieurs variables, l'expression {1.2.1} est évidemment remplacée par celle-ci
1 (T, cp) I~ C L sup 1 Dacp(x) 1 . lal~mxEK
b} Une distribution n'a pas de valeur en un point, mais on peut parler de la valeur d'une distribution dans un ouvert quelconque.
c) On dira qu'une distribution T est réelle si (T, cp) est réel où cp E V(IR). Toute distribution arbitraire T peut s'écrire sous la forme T = R + iS où R et S sont des distributions réelles, autrement dit,
(T, cp) = (R, cp) + i(S, cp), cp E V(IR)
De meme, on définit la distribution complexe conjuguée (notée T) d'une dis tribution T en posant
(T, cp) = (T, cp), cp E V(IR)
Soient T1, T2, T des distributions et >. un scalaire. On définit la somme T1 + T2 et le produit >.T, par les relations :
(T1, cp) + (T2, cp), Vcp EV
>.(T, cp), Vcp E V
Les applications T1 + T2 et >.T de V dans IR (ou C), sont des distributions. Donc
Proposition 1.2.3 Les distributions forment un espace vectoriel que l'on note V' (espace dual de V).
Soit vm l'espace vectoriel des fonctions ayant des dérivées d'ordre j conti nues pour 0 :::; j :::; m et à support borné.
Définition 1.2.4 On dit qu'une suite de fonctions ( cpk) E vm converge dans vm vers une fonction cp E vm si :
(i) tous les supports des cpk sont contenus dans un m€me compact K.
(ii) pour tout j E N, 0 :::; j :::; m, la suite des dérivées (cp~)) converge uniformément vers cp(j) sur K. Toute fonctionnelle linéaire continue sur vm est dite distribution d'ordre m. Autrement dit, d'après la proposition 1.2.2, la distribution Test dite d'ordre m lorsque l'inégalité (1.2.1) est satisfaite pour 0:::; j :::; m. De telles distributions constituent un espace vectoriel noté V'm.
1.3 Exemples de distributions
1.3.1 Fonctions localement sommables
Définition 1.3.1 Une fonction f: !Rn -----+IR (ou C) est dite localement som mable si elle est sommable sur tout ensemble borné K de !Rn, c'est-à-dire, si
l lf(x)ldx < +oo.
1.3. EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS 21
Soit f : R ---+ R (ou C) une fonction localement sommable. Nous allons montrer que f(x) engendre une distribution Tt par
1+00
f(x)cp(x)dx, cp E 'D.
L'intégrale ci-dessus existe car on intégre en fait, non sur R, mais sur le support borné de cp.
{i) Tt est linéaire en effet, soient cp1, cp2 E 'D et a, /3 E C,
(T1 1 acp1 + /3cp2) = 1_:00 f(x)(acp1(x) + /3cp2(x))dx,
= a 1_:00 f(x)cp1(x)dx+/31_:00 f(x)cp2(x)dx,
= a(T1 1 cp1) +(Tt, cp2).
{ii) Tt est continue : en effet, par hypothèse la suite (cpk) converge vers cp dans 'D, c'est-à-dire tous les supports des 'Pk sont contenus dans un même compact [a,b] et pour tout j EN, la suite des dérivées (cp~)) converge unifor mément vers cp(j),
lim ( sup lcp~)(x) - cp(j)(x)I) =O. k-+oo xE[a,b]
Montrons que (T1, 'Pk) converge vers (T1 1 cp). On a
l(T,,cpk) - (T,,cp)I = l(T,,cpk -cp)I,
Par conséquent, on a
Proposition 1.3.2 Toute fonction f(x) localement sommable définit une dis tribution Tt par
1+00
Dans Rn, toute fonction f (xi, ... , Xn) localement sommable définit une dis tribution Tt par la relation
cp E 'D.
Proposition 1.3.3 Deux fonctions f et g localement sommables définissent la meme distribution si et seulement si elles sont égales presque partout.
Démonstration : Si f(x) = g(x) presque partout, alors (Tt, cp} = (Tg, cp}, quel que soit cp E 'D. Montrons que la réciproque est vraie. Par hypothèse, on a (Tt, cp} = (Tg, cp}, c'est-à-dire
1:00 f(x)cp(x)dx = 1:00
g(x)cp(x)dx,
qui peut encore s'écrire J~;: h(x)cp(x)dx = 0, où h(x) = f(x) - g(x). Il s'agit
de montrer que h(x) = 0 presque partout. Pour cela, posons 1/Jk = (cpa(x)) 1fk, k E N* où 'Pa : R ---t R est une fonction définie par
( ) - { e - a2 ~o:2 si lxl < a 'Pa X -
0 si lxl ~a
avec a > 0, une constante. Comme dans l'exemple 1.1.3, on a 1/Jk E 'D avec supp 'lfJk = [-a, a]. Posons 9k(x) = h(x)'lfJk(x). Pour tout x E] - a, a[, on a limk--+oo 9k(x) = h(x). En outre, pour tout k EN* et tout x ER, il existe une fonction sommable qui majore l9k(x)I :
l9k(x)I = lh(x)'l/Jk(x)I ~ lh(x)I. sup'l/Jk(x)I. lR
Ainsi, les hypothèses du théorème de convergence dominée de Lebesgue sont satisfaites et on peut donc permuter limite et intégrale :
0 = kl!__.~1:00 h(x)'lfJk(x)dx = l: h(x)dx,
car supp 1/Jk = [-a, a] et limk--+oo 'lfJk(x) = 1. D'où, h(x) = 0 sur [-a, a] et puisque a est arbitraire, h(x) = 0 presque partout sur R D
Remarque 1.3.1 D'après les deux propositions précédentes, on convient dans la suite d'identifier le symbole f qui représente la fonction localement sommable définie presque partout, à celui qui représente la distribution Tt qui lui est associée : Tt = f.
1.3. EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS
Exemple 1.3.1 Toute constante C définit une distribution telle que :
r+oo (C, cp) = C l-oo cp(x)dx,
Exemple 1.3.2 La fonction
cp EV.
23
est localement sommable si et seulement si Re a > -1. Elle détermine donc une distribution sur IR en posant
r+oo (f,cp) = l-oo x°'cp(x)dx, cp EV.
{Voir aussi l'exercice 1. 7.9).
Exemple 1.3.3 L'application
définit une distribution sur R En effet, on a
l b r+oo (!, cp) = a cp(x)dx = l-oo g(x)cp(x)dx = (g, cp),
où
est une fonction localement sommable.
Exemple 1.3.4 La fonction ln lxl définit une distribution sur IR car elle est localement sommable. En effet, la fonction ln lxl est continue sur IR*, donc elle est localement sommable. Dans un voisinage de 0 par exemple ] - 1, 1[, l'intégrale J~1 llnlxlldx est convergente; on a f0
1 lnxdx = -1, donc J0 1 lnxdx
existe. Méme argument pour l'intégrale J~1 ln(-x)dx. {Une autre méthode : la fonction ln lxl pour x i- 0 est localement sommable dans IR car dans un
voisinage de 0, on al ln lxll :S lx~°' pour 0 <a< 1).
1.3.2 Distribution de Dirac
Définition 1.3.4 La distribution de Dirac à l'origine est une fonctionnelle, notée ô, défini par (ô, cp) = cp(O), cp E 'D.
On vérifie aisément qu'il s'agit bien d'une distribution : pour tous cp1, cp2 E
'D et a,(3 E C, on a acp1(0) + f3cp2(0) = (acp1 + f3cp2)(0), et dès lors
(ô, acp1 + f3cp2) = a(ô, cp1) + (3(ô, cp2),
donc ô est linéaire. Pour la continuité, on a par hypothèse 'Pk ~ cp. Donc limk-+oo 'Pk(O) = cp(O) et par conséquent, limk-+oo(ô, 'Pk) = (ô, cp). La distribu tion ô représente une masse (ou une charge) +1 placée au point O. On définit de même la distribution de Dirac Ôa au point a par (ôa, cp) = cp(a), cp E 'D. Elle représente une masse (ou une charge) + 1 placée au point a.
Remarque 1.3.2 Les physiciens utilisent l'écriture
où
1+00 -oo ô(x)cp(x)dx = cp(O),
ô ( x) = { 0 pour x i- 0 oo pour x = 0
1+00 -oo ô(x)dx = 1.
{l.3.1)
(1.3.2)
En fait, cette écriture est incorrecte car le symbole ô(x) n'a pas de sens {il n'y a pas de valeur de ô en x). De plus ô(x) n'appartient pas à la classe de fonctions localement sommables (voir exercice 1. 7.4). Aucune fonction ne peut satisfaire aux relations ( 1. 3.1) et ( 1. 3. 2) qui sont contradictoires : en effet, d'après {1.3.1), ô(x) est nul partout sauf au point 0, donc ô(x) est presque partout nul et d'après une propriété de Lebesgue, son intégrale est nulle ce qui contredit (1.3.2).
Par la suite, nous écrirons indifféremment ô ou ô(x), Ôa ou Ôa(x) ou encore ô(x - a).
Les distributions de la forme
1+00 (Tf, cp) = _
00 f(x)cp(x)dx, cp E 'D,
sont dites régulières, les autres (celles qu'on ne peut pas mettre sous la forme ci-dessus) sont dites singulières (par exemple la distribution de Dirac).
1.4. QUELQUES DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS LOCALES 25
Il n'est pas possible de représenter une distribution singulière sur un graphe mais, par convention, on symbolise la distribution de Dirac ôa(x) au point a, par une flèche (ou un baton) verticale de longueur unité.
Toute combinaison linéaire des distributions de Dirac en différents points, forme une distribution singulière appelée peigne de Dirac et est symbolisée par
OO OO
Li(x) = L ôk(x) = L ô(x - k), k E Z k=-oo k=-oo
1.3.3 Mesures
Soit C l'espace des fonctions continues et à support borné. Cet espace est muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact. Une suite de fonctions ( 'Pk) E C converge dans C vers une fonction cp E C si :
(i) tous les supports des 'Pk sont contenus dans un même compact K. (ii) la suite (cpk) converge uniformément vers cp sur K.
Définition 1.3.5 Une mesure est une fonctionnelle linéaire et continue sur l'espace C.
Les mesures forment un espace vectoriel noté C' (dual de C). L'espace V est un sous-espace vectoriel de l'espace C. Toute mesure définit une distribution mais la réciproque n'est pas nécessairement vraie. Cependant, on peut montrer qu'une ditribution positive est une mesure positive (une distribution Test dite positive si, pour toute fonction positive cp de V, le nombre (T, cp) est positif).
Exemple 1.3.5 ô est une mesure (on dit mesure de Dirac} et est définie par (ô, cp) = cp(O). Pour que cette expression ait un sens, il n'est pas nécessaire que cp EV, il suffit que cp soit continue à l'origine.
1.4 Quelques définitions et propriétés locales
Soit n c !Rn, un ouvert. On dit qu'une distribution T est nulle sur n si l'on a (T, cp) = 0, pour toute fonction cp E 'D, ayant son support dans O.
Exemple 1.4.1 La distribution ô de Dirac est nulle sur tout ouvert ne conte nant pas l'origine, par exemple IR*. En effet, 0 ~ supp cp et (ô, cp) = cp(O) =O.
Deux distributions Ti et T2 sont .dites égales sur n, si pour toute fonction cp EV, ayant son support dans n, (Ti, cp) = (T2, cp), ou de manière équivalente si la distribution Ti - T2 est nulle sur n.
Exemple 1.4.2 Les distributions T et T + o sont égales sur tout ouvert ne contenant pas l'origine. En effet, ceci résulte immédiatement de l'exemple pré cédent puisque la différence de ces distributions est égale à o.
On définit une distribution sur n, par analogie sur Rn, comme suit : On désigne par 'Dn le sous-espace de 'D, constitué des fonctions cp de classe C00
ayant un support inclus dans n. Une suite (cpk) E 'Dn converge vers cp si tous les supports des 'Pk sont contenus dans un même compact K c n et si pour tout j EN, la suite des dérivées ( cp~)) converge uniformément vers cp0) sur K. Par définition, une distribution sur n est une fonctionnelle linéaire et continue sur 'Dn.
A partir de ces définitions locales sur des ouverts recouvrant Rn, on peut re constituer la définition globale d'une distribution sur Rn. C'est l'objet du théo rème du recollement par morceaux (voir ci-dessous). Définissons tout d'abord ce qu'est une partition de l'unité : Soit (ni)iEJ un recouvrement ouvert de n où I désigne un ensemble (d'indices) quelconque. On démontre l'existence de fonctions 9i de clase C00 telles que :
(i) gi(x) ~ 0 pour tout XE n. (ii) supp 9i C ni pour tout i E J. ( iii) sur tout compact de n, un nombre fini des 9i sont différents de O. (iv) I:iEJ 9i(x) = 1 pour tout X En.
Une telle famille (gi)iEI est dite partition de l'unité relative au recouvrement (ni)iEl·
Proposition 1.4.1 (théorème de recollement par morceaux) : Soit n = uni où ni sont des ouverts. Supposons définie sur chaque ni, une distribution '.li telle que : '.li = Ti sur ni n ni. Il existe alors sur n une distribution T unique qui, sur chaque ni, se réduit à '.li.
Démonstration : Soit (gi)iEI une partition de l'unité dans n, relative au recou vrement (ni)iEJ. Unicité : Supposons que T existe et que T = '.li sur ni. Soit cp E 'Dn, on a 9i'P E 'Dni et cp = I:iEJ 9i'P· Cette somme est finie puisqu'il n'y a qu'un nombre fini de 9i qui sont différents de 0 sur supp cp. Dês lors,
(T,cp) = / T, LBi'P) = L(T,gicp). \ iEJ iEJ
Or (voir exercice 1.6.4),
supp (gicp) c supp Bi n supp cp c supp Bi c ni,
1.4. QUELQUES DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS LOCALES 27
et nous avons supposé que T = 11 sur ni, donc
(T,cp) = L(Ti,gicp). (1.4.1) iEI
Si T existe, elle est unique et est définie par (1.4.1). Existence de T : Mon trons que l'application définie par (1.4.1) détermine une distribution. Elle est évidemment linéaire. En ce qui concerne la continuité, soit K c n, un com pact et J un ensemble (fini) d'indices i E I tel que : 9i(x) =f:. 0 sur K. On
'DK 'Dn. suppose que 'Pk ---t cp, d'où 9i'Pk ---4 9i'P, quel que soit i E J. Dès lors,
(11, 9i'Pk) ~ (11, 9i'P), et par conséquent
iEJ iEJ
Montrons que, sur chaque nj, la distribution T se réduit à Tj, quel que soit j E /. En effet, soit cp E 'Dni avec supp cp c ni et j E /. D'après l'exercice 1.6.4, on a supp (gicp) c supp 9i n supp cp c ni n ni, et par hypothèse Ti = Ti sur ni n ni. Donc
ce qui achève la démonstration. D Considérons tous les ouverts ni où T s'annule. Le plus grand ouvert sur
lequel T est nulle est n = uni. L'existence de cet ouvert est justifiée par le théorème précédent. Son complémentaire ne, est appelé support de la distri bution T (noté supp T), c'est-à-dire le plus petit fermé en dehors duquel T s'annule. Autrement dit, x E supp T si et seulement si T est nulle sur aucun voisinage de x.
Exemple 1.4.3 Le support de la distribution ô de Dirac est {O}. En effet, d'après l'exemple 1.4.1, ô s'annule sur IR* et dès lors supp ô = {O}.
Exemple 1.4.4 Si T1 est la distribution associée à une fonction continue f, alors su pp T1 = su pp f. En effet, posons F = su pp f et montrons que supp T1 CF. Soit cp EV telle que : supp cp c Fe. Comme f = 0 sur supp cp, alors (TJ, cp) = 0, c'est-à-dire T1 est nulle sur Fe. Dès lors,
supp T1 c (Fer= F = supp f.
Il reste à prouver que supp f c supp T1. Soit x E F = supp f et montrons que x E supp T1. On va raisonner par l'absurde en supposant que x (j:. supp T1.
Dans ce cas, il existe un intervalle I = ]x - e, x + e[ tel que : pour toute fonction cp E V ayant son support dans I,
l +oo (T1, cp = _
00 f(x)cp(x)dx = 0,
sur I. Dès lors, f est nulle sur I et par conséquent In F = 0. Donc, x ~ F ce qui est absurde.
1.5 Extension de l'espace V : espaces C, & et S
Nous avons défini les distributions sur l'espace de base V. Or ils existent des distributions particulières qui sont définies comme des fonctionnelles linéaires et continues sur des espaces plus larges que V.
Soit f(x) une fonction localement sommable. Cette fonction peut représen ter la densité avec laquelle est répartie uniformément sur l'axe réel une masse, une charge électrique, une loi de probabilité, etc. L'expression
l +oo (!, cp) = _
représente la masse totale lorsque l'on fait cp(x) = 1, c'est-à-dire
l +oo (!, 1) = -oo f(x)dx,
mais cp(x) = 1 ~ V. Le moment d'inertie de cette répartition de masse par rapport à l'origine s'écrit
l +oo (!, x2) = -oo f(x).x2dx,
mais alors cp( x) = x2 ~ V. Une distribution particulière peut admettre une extension à un espace plus
large que V. Nous allons définir une extension comme suit : i) Soit T une distribution dont le support est compact. Soit e = C00 ,
l'espace des fonctions indéfiniment dérivables. D'après l'exemple 1.1.4, on sait qu'on peut construire une fonction a EV égale à 1 sur un voisinage du supp T. On sait aussi (exercice 1.6.5) que pour toute fonction cp E C, acp E V et dès lors (T, acp) existe. Ce nombre est indépendant du choix de a. En effet, soit (3 une fonction de V égale à 1 sur un voisinage du supp T, on a (a - (3)cp EV et supp (a -(3)cp C (supp T)c. Donc (T,acp) = (T,(3cp). On peut donc définir une application
T: e ~ C, cp 1-----t (T, cp),
1.6. EXERCICES RÉSOLUS 29
en posant (T, <p) = (T, a<p), avec a E 'D et a= 1 sur un voisinage du supp T. Cette définition étend la fonctionnelle T à l'espace e. On vérifie aisément que la fonctionnelle T ainsi définie sur e est linéaire et continue. Pour la continuité sure, on utilisera la définition de convergence suivante : une suite (cpk) de e converge vers <p E e, si pour tout compact K et tout j E N, la suite (<p~)) converge uniformément sur K vers cpÜ). On notera &' (dual de &) l'ensemble des distributions à support compact. C'est un sous-espace vectoriel de V'. On démontre que l'espace des distributions à support compact e' est identique à l'espace des fonctionnelles linéaires et continues sur e.
ii) Soit T une distribution dont le support n'est pas compact. Soit <p E e une fonction telle que : supp <p n supp T est borné. En procédant comme précédemment, on définit une extension de T à l'espace de ces fonctions <p (espace plus large que 'D), en posant (T, cp) = (T, a<p), avec a E 'D valant 1 sur un voisinage de supp <p n supp T.
Nous avons vu dans la section 1.3.3, que les mesures sont des distributions particulières définies sur l'espace C des fonctions continues à support borné. Un autre espace, fréquemment rencontré, est l'espace de Schwartz
S = {<p E C00 : \;/p,q E N,sup lxP<p(q)(x)I < oo}, xElR
formé par les fonctions <p à décroissance rapide. Autrement dit,
S = {cp E C00 : Vp, q EN, lim lxP<p(q)(x)I = 0}, lxl-+oo
ou, ce qui revient au même, S est l'ensemble des fonctions indéfiniment dé rivables telles que : <p et toutes ses dérivées décroissent plus rapidement que
toute puissance de l~I quand !xi ---+ oo. Notons que S est un espace vectoriel
et que 'D c Sc C. L'espace S sera étudié en détail dans le chapitre des trans formées de Fourier où on définira à cette occasion des distributions d'un type particulier, appelés distributions tempérées.
1. 6 Exercices résolus
Exercice 1.6.1 1) Soit I un intervalle et f : I --+ IR. une fonction de classe cn+I. Montrer que si Xo et Xo + X E I' alors
{formule de Taylor d'ordre n avec reste sous forme intégrale).
2) Pour tout cp E 'D, on pose
n k
cp(x) = L ~! f(k)(o) + xn+lo(x), XE~* k=O
et cp(n+l)(O) = (n + 1)!0(0). a) Montrer que la fonction 0 est continue sur R b) On suppose que supp cp c [-c, c], c >O. Montrer que
sup IO(x)I ~A sup lcp[n+l)(x)I, xE[-c,c] xE[-c,c]
où A> 0, est une constante.
Solution : 1) Sans restreindre la généralité, on peut supposer que xo = O. D'après le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral, on a
f(x) = f(O) +fox f'(u)du.
f(O) + xf'(O) +fox (x - u)f"(u)du,
f(O) + xf'(O) - [(x - u)2 !"(o)] X+ r (x - u)2 f( 3)(u)du, 2 0 lo 2
x2 1 rx f(O) + xf'(O) + 2 f"(O) + '2 Jo (x - u)2 /<3)(u)du,
n k l 1x = L ~ f(k)(O) + - (x - u)n f(n+l)(u)du.
k=O k! n! 0
On va raisonner par récurrence. Pour n = 1, 2 la formule ci-dessus est satisfaite. Supposons qu'elle est vraie à l'ordre n et montrons qu'elle est vraie à l'ordre n+ 1. Comme
- (x- urf(n+l)(u)du 11x n! o
= _!_ (-[(x-u)n+l f(n+l)(u)]x + rx (x-ur+l f(n+2)(u)du)' n! n + 1 0 Jo n + 1
= X j<n+l)(O) + (x - ur+l j(n+2)(u)du, n+l 1 11 (n+ 1)! (n+ 1)! 0
n+l k X
f(x) = L ~ j<k)(O) + 1 f (x - u)(n+l) J<n+2)(u)du. k=O k! (n + 1)! } 0
Pour obtenir la formule en question, il suffit de poser u = tx, d'où
n+I k n+I 11 f(x) = ~ ~ f(k)(o) + x (1 - tr JCn+I)(tx)dt.
L.J k! (n + 1)! o k=O
2) a) Il suffit évidemment de montrer que limx-+O O(x) = 0(0). Comme cp E 'D, alors d'après la question précédente, on a
et donc O(x) = ~ f0 1 cp(n+l)(tx)(l - trdt, xi- O. Dês lors,
lim O(x) = _.!._ f 1 lim cp(n+l)(tx)(l - trdt, X-+Ü n! lo X-+Ü
_!_cpcn+i) (O) f 1 lim (1 - trdt, n! }0 x-+O
= 1 cp(n+l)(o) (n+ 1)! ' 0(0).
b) Pour x E [-c, c], x #- 0, on a
IO(x)I < _.!._ f 1 1cpCn+i)(tx)l(l - trdt, n! lo
< A sup lcp(n+l)(tx)I l\1- trdt, n. xE[-c,c),x;éO lo
1 ---, sup lcp(n+l)(x)I, (n + 1). xE[-c,c),#0
< A sup lcp(n+l)(x)I, xE[-c,c)
' 1 ou A= ( )'.Pour x = 0, on a
n+l.
(n + 1). xE[-c,c)
Exercice 1.6.2 Pour toute fonction cp E 'D, on considère une application sur 'D, en posant
Prouver que cette applicaton existe et qu'elle détermine une distribution sur R. Quelle est son ordre ? On pourra utiliser le résultat suivant :
J~~ (t 1- ln n) = C = 0, 5772 ... (constante d'Euler). k=l
Solution: Soit cp E 'D, on a d'après l'exercice 1.6.1 (avec n = 1),
cp(x) = cp(O) + xcp'(O) + x28(x),
où 8 est continue sur R et supxEIR IB(x)I ~ AsupxEIR lcp"(x)I. Dès lors,
(T, <p) = .U~'! (t, (<p(O) + ~<p'(O) + ~O m) -rnp(O) -<p'(O) ln n) , <p'(O) .~ (t, ~ -Inn) + J~'! ~2 0 m , Ccp'(O) + kl~1! : 28 (1).
Comme lbB{!)I ~ bsupxeJRlcp"(x)I, et que E~1 k1-supxe1Rlcp"(x)I est une série convergente, alors d'après le critère de comparaison, la série E~1 bB(Î) converge aussi, donc limn-+oo E~=l bB (i) existe et est finie. Donc,
OO 1 (1) (T, cp) = Ccp'(O) + L k28 k ' k=l
existe. L'application proposée est linéaire et en outre si [a, b] désigne un com pact de R, alors
OO 1 (1) l(T, cp)I = ICcp'(O) + L k28 k 1, k=l
< C sup lcp'(x)I + (f :2 ) A sup lcp"(x)I, xE(a,b) k=l xE[a,b)
donc il s'agit bien d'une distribution. Son ordre est évidemment ~ 2.
Exercice 1.6.3 Pour toute fonction cp E V et tout é > 0, on définit une application sur V, appelée valeur principale de Cauchy, en posant
1 j+oo cp(x) (vp -, cp) = vp -dx =
X _ 00 X lim ( r-e cp(x) dx + l+oo cp(x) dx) ' ê--+Ü 1-oo X e X
lim r cp(x) dx. e--+0 llxl?.e X
a) Montrer que cette application a bien un sens. b) Montrer qu'elle est une distribution sur lR et déterminer son ordre.
Solution: a) Soit cp E 'D, on a d'après l'exercice 1.6.1 (avec n = 1),
cp(x) = cp(O) + xcp'(O) + x2B(x),
où() est continue sur lR et supxEIR IB(x)I ~ AsupxEIR lcp"(x)I. On suppose que supp cp c [-c, c] et on pose 'lj;(x) = cp'(O) + x()(x), d'où cp(x) = cp(O) + x'lj;(x), avec 'lj; continue sur R On a
1 (vp -;;' cp) j +oo cp(x)
vp --dx, -oo X
1. 1 cp(O) + x'lj;(x)d lIIl x,
ê--+Ü e?. lxl ?.e X
l~ ( {-e cp(O) dx +le cp(O) dx + {-e 'lj;(x)dx ++le 'lj;(x)dx) , e 0 1-e X e X 1-e e
1-: 'lj;(x)dx,
X 1
b) L'application vp - est linéaire car si a, {3 E Cet cp1, cp2 E 'D, alors X
1. 1 acp1(x)+f3cp2(x)d lill x,
e--+O lxl?.e X
a lim r cpi(x) dx + {3 lim r 'P2(x) dx, e--+O llxl?.e X e--+0 llxl?.e X
1 1 = a(vp -, acp1) + {J(vp -, acp2).
X X
Montrons que l'application proposée est continue. Cela veut dire que si la suite (cpk) converge dans 'D vers cp (c'est-à-dire supp 'Pk c [-c, c] et (cp~)) converge
( ") 1 1 uniformément vers cp J ), alors (vp -, acpk) converge vers (vp -, acp). On a X X
l(vp ~,cpk) - (vp ~,cp)I = l(vp ~,cpk - cp)I,
= 11: ('lfJk(x) - 'l/J(x))dxl, (d'après a)),
< l: l'l/Jk(x) - 'l/J(x)ldx.
Or d'après le théorème des accroissements finis (si une fonction f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe Ç E]a, b[ tel que: f(bt"=~(a) = f'(Ç)), on a
'l/J(x) = cp(x) - cp(O) = cp'(Ç), Ç E]O, x[. X
En outre, l'l/J(x)I = lcp'(Ç)I ~ SUPxe[-c,c) lcp'(x)I, et par conséquent,
l(vp .!, 'Pk) - (vp .!, cp)I ~ r sup lcpk(x)-cp'(x)I = 2 sup 1cpk(x)-cp'(x)1. X X J _c xE[-c,c) xE [-c,c)
Commelimk->oo (supxE[-c,c) lcpk(x) - cp'(x)I) = 0 (convergence uniforme), alors
(vp ~, cpk) converge vers (vp ~' cp). En conclusion, l'application proposée dé termine une distribution sur lR et son ordre est ~ 1. Une autre méthode pour montrer que vp ~ est une distribution, consiste à utiliser la proposition 1.2.2. En effet, d'après la question a), on a (vp ~, cp) = f~c 'l/J(x)dx, et on sait que l'l/J(x)I ~ supxE[-c,c) lcp'(x)I, donc
l(vp .!,cp)I ~ 2c sup lcp'(x)I, X xE[-c,c)
ce qui montre que vp ~ est une distribution d'ordre ~ 1.
Exercice 1.6.4 Soient f et g deux fonctions quelconques. Montrer que :
supp (fg) c supp f n supp g.
Solution : On considère les ensembles
A= {x: J(x) =/; O}, B = {x: g(x) =/; O}, An B = {x: (fg)(x) =/; O}.
Comme An B c A et An B c B, alors on a adh (An B) c adh A et adh (An B) c adh B. Par conséquent, adh (An B) c adh An adh B, et le résultat s'en déduit.
Exercice 1.6.5 Soit f : ~ -----+ C, une fonction de classe C00 • Montrer que si cp E 'D, alors f cp E 'D. Conclusion ?
Solution : Il est évident que fcp E C00 • En outre, on sait d'après l'exercice précédent que supp (fcp) c supp f nsupp cp, donc supp (fcp) c supp cp, et par conséquent fcp E 'D. L'espace 'D muni de la multiplication ordinaire est ainsi un anneau.
Exercice 1.6.6 Montrer que seules les applications b) et d) déterminent des distributions.
a) 'D 3 cp 1----+ (!, cp) = fo1 lcp(x)ldx. n
b) 'D 3cp1----+ (j,cp) = L'P(j)(O). j=O
OO
OO
d) v 3 cp 1----+ u, cp) = L: cp(j) (j). j=O
Solution : a) L'application en question ne détermine pas une distribution car elle n'est pas linéaire.
b) L'application proposée est évidemment linéaire. Montrons qu'elle est continue. Si la suite ( 'Pk) converge dans 'D vers cp, cela veut dire que tous les supports des 'Pk sont contenus dans un même compact et que pour tout
j E N, la suite (cp~)) converge uniformément vers cp(j). Dès lors, la suite
(!, 'Pk) = Ej=o cp~) (0) converge vers Ej=o cp(j) (0) = (!, cp). Donc il s'agit bien d'une distribution.
c) La série E~o cp(j)(O) peut ne pas converger puisque on ne sait rien sur cp(j)(O). En effet, soit f E C00 telle que : f(O) i- 0 (par exemple f(x) = é1}
D'après l'exemple 1.1.a (ou l'exercice 1.7.1), on peut toujours construire une fonction 'ljJ E 'D telle que: 'l/J(x) = 1 surl'intervalle compact [-a, a]. La fonction cp(x) = f(x)'ljJ(x) appartient à 'D et on a cp(i) = f(O) i- O. La série en question diverge car la condition nécessaire de convergence n'est pas satisfaite. Par conséquent, l'application proposée n'est pas une distribution.
d) Comme cp E 'D, on peut donc supposer que: supp cp c [-n, n]. Dans ce cas, on a aussi su pp cp(j) C [-n, n]. Alors pour j <:J. [O, n] on a cp(j) (j) = 0 et par conséquent (!, cp) = Ej=o cp(j) (j). Cette application est évidemment linéaire et continue sur 'D. Donc elle détermine une distribution.
Exercice 1.6.7 La fonction de Heaviside {dite échelon unité} est définie par
H(x) = { ~ si X< 0 si X> 0
et détermine une distribution notée H. Déterminer les intervalles de lR sur lesquels les distributions H + ô et~ (peigne de Dirac} sont nulles.
Solution : Soit cp E V, on a
r+oo (H + ô, cp) = (H, cp) + (ô, cp) = Jo cp(x)dx + cp(O) = 0 sur] - oo, 0[.
De même, on a
{ 1 sur {a} f(x) = 0 ailleurs,
la fonction caractéristique de {a} et soit f la distribution associée à cette fonc tion. Déterminer supp f(x) et supp f.
Solution: Il est évident que supp f(x) = {a}. Comme f est une distribution régulière, on peut écrire
1+00 (!, cp) = _
00 f(x)cp(x)dx.
En outre, f(x) est presque partout nulle et d'après Lebesgue (!, cp) = 0, donc f = 0 et par conséquent supp f = 0.
Exercice 1.6.9 Soient cp EV et T une distribution. On suppose que les sup ports de Tet f sont disjoints. Montrer que : (T, cp) =O.
Solution : Soit n le plus grand ouvert où T = O. Son complémentaire ne est, par définition, le support de T. Par hypothèse, supp T n supp cp = 0, donc supp cp c n et dès lors (T, cp) = O.
Exercice 1.6.10 Démontrer que le support de la distribution vp ~ est JR.
1. 7. EXERCICES PROPOSÉS 37
Solution: Posons F = supp vp ~et désignons par pc le complémentaire de F. Par définition, F est le plus petit fermé tel que : vp ~ est nulle dans pc. Cela veut dire que : (vp ~' <p) = 0, pour toute fonction <p E 'D, ayant son support dans Fe. Pour montrer que F =IR., on va raisonner par l'absurde. On suppose que F n'est pas égal à IR. avec (vp ~' <p) = 0, pour toute fonction <p E 'D, ayant son support dans pc # 0. On montre dans ce cas qu'on peut construire une fonction 'l/J E 'D, ayant son support dans pc telle que (vp ~' 'l/J) = 0, ce qui est absurde. En effet, on sait que pc # 0 et de plus pc est un ouvert de IR., donc tout élément a E pc est intérieur à Fe, c'es-à-dire il exister> 0 tel que : [a-r,a+r] c Fe. En d'autres termes, pc est voisinage de a. Considérons une fonction 'l/J E 'D, définie par 'l/J(x) = x<p(x) avec (voir exemple 1.1.3)
<p(x) = { e - r2-c!-aJ20 si lx - al < r si lx - al 2 r
On a supp 'l/J = [a - r, a+ r] et
1 1 'l/J(x) 1 1a+r (vp -, 'l/J) = lim -dx = lim <p(x)dx = <p(x)dx. X e->O lxl>e X e->O lxl>e a-r
Puisque <p(x) > 0 sur ]a - r, a+ r[, alors (vp ~' 'l/J) est aussi > 0, ce qui est contradictoire. Donc F = R
1. 7 Exercices proposés
Exercice 1. 7 .1 On considère les fonctions suivantes :
<p(x)={ e- 1- 1 "'2 silxl<l 0 si lxl 2 1
IT(x) = { 01 si lxl < t si lxl 2 2
La fonction IT(x) s'appelle ''fonction porte" (elle est couramment utilisée en théorie du signal}. On sait, d'après l'exemple 1.1.3, que la fonction <p appartient à V. Posons
()X - <p(x) ( ) - r~: <p(x)dx' 'l/Je(x) = ~() (~) , é > O.
1) Exprimer <p(x) à l'aide de la fonction IT(x). 2) Etablir une relation simple entre 'l/Je(x) et IT(x). 3) Prouver que '!/Je EV et déterminer son support.
j +oo
5) Soit f une fonction localement sommable à support borné. Montrer que la fonction
j +oo Fë(x) = -oo f(x)'l/Je(x - y)dy,
appartient à V. 6) En déduire que si [a, b] est un compact quelconque de ~' alors il existe
une fonction <pe E 1) égale à 1 dans [a, b].
1 1
Réponse: On obtient 1) cp(x) = II(~)e-1-:1:2 • 2) 1/Je(x) = ~Il(~)e-i-x2 te2 • 3) <p (~) E C00 et supp <p (~) = [-t:,t:], donc 1/Je(x) EV, supp 1/Je(x) = [-t:,é]. 4) r~:: 1/Je(x)dx = 1.
Exercice 1.7.2 Déterminer le support de la distribution T de l'exercice 1.6.2, ainsi que celui de la distribution S = a8a + f38b où a et /3 sont des constantes.
Réponse: supp T = {O, 1, !, -!, ... }, supp S ={a, b}.
Exercice 1. 7.3 Pour toute fonction <p E V, on définit une application T sur V, en posant
(T, cp) = lim (1-e f(x)cp(x) dx + 1+00 f(x)cp(x) dx) ' e-+0 -OO X e X
où f est une fonction localement sommable. Prouver que T est une distribution.
Exercice 1.7.4 Montrer que la distribution de Dirac ne peut etre associée à une fonction localement sommable.
Indication : Soit f(x) une fonction localement sommable et f la distribution qui lui est associée. On peut raisonner par l'absurde en supposant que f = 8. On construit une fonction <p E 1) de telle façon que : (8, cp) = cp(O) -j. 0 et (!, cp) = J~;: f(x)cp(x)dx = 0, ce qui est absurde.
Exercice 1.7.5 Soit H la distribution d'Heaviside et Pf H~x) la distribution définie par
(Pf H(x), cp) = lim (i+oo cp(x)cp(x) dx + cp(O) lnê) , X e-+0 e X
où <p EV. Déterminer les supports des distributions H, H~x) et Pf H~x).
Réponse: Tous les supports sont égaux à [O, +oo[.
1. 7. EXERCICES PROPOSÉS
Exercice 1.7.6 Soit x =(xi, ... ,xn) E ~n, r = Jx~ + · · · + x~. On pose
( ) _ { e - oe2°~'r2 si r < a 'Pa X - 0 sir~a
et on désigne par C l'espace des fonctions continues à support borné. 1) Soit f E C. Montrer que la fonction
appartient à V. 2) En posant
fa(X) = { J(t)cpa(X - t)dt, }JR.n
39
et en remarquant d'après la question précédente que 9a EV, montrer que toute fonction de C, peut étre approchée uniformément par une fonction de V {théo rème d'approximation de Weierstrass).
Exercice 1.7.7 Soient Ti et T2 deux distributions. Montrer que:
supp (Ti + T2) C supp Ti U supp T2.
Exercice 1.7.8 On considère l'application
1 r)() a-i ( )d cp f----+ r(a) lo X cp X X,
où cp E V, a E C, Re a > 0 et r(a) = f0 00 e-tta-idt est la fonction gamma
d'Euler. Montrer que cette application détermine une distribution et calculer sa valeur pour a= -k où k EN.
Réponse : ô(k).
Exercice 1. 7.9 a) On considère la fonction définie par
X0t = { X0t si X > Ü + 0 six~O
où a E C et Re a > -1. Montrer que cette fonction détermine une distribution sur~.
b) On suppose maintenant que: -2 <a< -1. La fonction définie ci-dessus n'étant pas intégrable sur [-1, 1], on lui associe une application notée Pf x+. en posant
(Pj x+, cp) =-JO xa+ilcp1(x)dx = lim ( { X0tcp(x)dx + g0t+llcp(e)) . -oo a+ e--+O Jlxl~e a+
Montrer que cette application détermine une distribution.
Chapitre 2
Introduction
Dans ce chapitre on définit la dérivée au sens des distributions et on montre que les distributions sont indéfiniment dérivables et que leurs dérivées succes sives sont aussi des distributions. L'un des avantages de la théorie des distri butions est que (contrairement aux fonctions quelconques) toute distribution peut être dérivée autant de fois qu'on le veut. C'est là un résultat essentiel des distributions et c'est pour l'obtenir que nous avons exigé que les fonctions de l'espace 1J soient elles mêmes indéfiniment dérivables. Nous avons montré dans le chapitre précédent, que toute fonction localement sommable détermine une distribution, on peut donc lui associer une dérivée au sens des distributions, qui est aussi une distribution mais pas forcément une fonction. Les distribu tions sont utilisées un peu partout dans les disciplines faisant appel au calcul différentiel car elles sont toujours dérivables alors que les dérivées au sens usuel n'existent pas toujours. Ensuite on introduit la notion de primitive d'une dis tribution et on verra au chapitre 3, que toute disribution possède une infinité de primitives ne différant que par une constante. La fonction d'Heaviside H(x) nulle pour x < 0 et égale à 1 pour x ~ 0, a pour dérivée la mesure de ô de Dirac. La discontinuité que présente H(x) à l'origine apparaît dans la dérivée de la distribution associée, sous la forme d'une masse ( + 1) ponctuelle placée à l'origine. Plus généralement, on montre que les sauts que subit une fonction en ses points de discontinuités apparaîssent dans la distribution dérivée sous forme de masses ponctuelles placées aux points de discontinuités. La dérivée de la distribution de Dirac représente ce qu'on appelle en physique un "doublet". De nombreux exercices importants sont étudiés : valeur principale de Cau chy, parties finies de Hadamard, opérateur de Laplace, opérateur des ondes, opérateur de Cauchy-Riemann, Noyau de Gauss, équation de la chaleur, etc.
42 CHAPITRE 2. DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
2.1 Définition et propriétés
Soit f une fonction de classe C1. En faisant une intégration par parties, on obtient immédiatement
l +oo (!', cp) = _
00 f'(x)cp(x)dx = -(!, cp'), cp E 1J
car cp{±oo) =O. On est donc conduit à la définition générale suivante :
Définition 2.1.1 On appelle dérivée T' d'une distribution T, la fonctionnelle définie par la relation
(T', cp) = -(T, cp'), cp E 1J
Proposition 2.1.2 Toute distribution admet des dérivées de tout ordre qui sont aussi des distributions.
Démonstration : Soient Tune distribution et cp E 7J. On a par définition,
(T',cp) = -(T,cp'), (T",cp) = -(T',cp') = (T,cp"), ... (T(j),cp) = {-l)i(T,cp(j)),
où cp', cp", ... ,cpU) existent car cp E C00 • Montrons maintenant que T(j) est une distribution. Elle est linéaire : soient <p1, <p2 E 1J et a, f3 E C, on a
(T(j), acp1 + f3cp2) = a(T(i), cp1) + f3(T(j), cp2).
Pour établir la continuité de T(j), on suppose que la suite ( cpk) converge dans
1J vers cp. Alors, par définition, (cp~)) converge uniformément vers cp(j) et par conséquent
converge vers {-l)i(T,cp(j)) = (T(j) 1 cp),
ce qui achève la démonstration. D
Remarque 2.1.1 Soient TE 7J' et g E C00 • On montre (voir chapitre 3} que : (gT)' = g'T + gT' et (voir chapitre 4) T(x+hz-r(x) tend vers T' lorsque h ---+ O.
Définition 2.1.3 On dit qu'une distribution Test primitive d'une distribution S si et seulement si T' = S.
Remarque 2.1.2 On montrera au chapitre 3, que les seules solutions de l'équa tion différentielle T' = 0 sont les constantes. Ceci nous permettra d'en déduire que toute distribution possède une infinité de primitives ne différant que par une constante.
2.2. EXEMPLES 43
2.2.1 Dérivée de la fonction d'Heaviside
Rappelons que la fonction d'Heaviside (dite échelon unité) est définie par
H(x) = { 0 s~ x < 0 1 s1x>O
et détermine une distribution notée H. Au sens des fonctions, la dérivée de H(x) n'existe pas au point x = O. Mais au sens des distributions, on a pour cp E 'D,
r+oo (H', cp} = -(H, cp'}, = - Jo cp'(x)dx = cp(O) = (8, cp},
car cp( +oo) = O. Par conséquent, H' = 8, c'est-à-dire la distribution H a pour dérivée la distribution de Dirac. La discontinuité que représente H(x) à l'origine apparaît dans la dérivée de la distribution associée, sous la forme d'une masse ( + 1) ponctuelle placée à l'origine. Remarquons qu'il n'est pas nécessaire de préciser la valeur de H(x) pour x = 0, qui est un ensemble de mesure nulle. Par réitérations, on obtient
H(m+l) = 8(m), m E N.
2.2.2 Dérivée de la distribution de Dirac
On a (8',cp} = -(8,cp'} = -cp'(O).
En général, on a
Soient -~ et ~ deux masses placées respectivement aux points a et a+ ë.
Lorsque ë --+ 0, on obtient un doublet. Il sera représenté par la dérivée de la distribution de Dirac au point a. En effet, la distribution définie par cette répartition est
et
k k k k cp( a + ë) - cp( a) (Te, cp} = -(8a+e 1 cp} - -(8a, cp = -cp(a + ë) - -cp(a) = k .
ê ê ê ê ê
Si cp(x) = 1, on retrouve la masse totale, c'est-à-dire zéro. Si cp(x) = x2,
on retrouve le moment d'inertie de cette distribution, c'est-à-dire k(c + 2a). Lorsque c--+ 0, on a
1. (T. ) - k l' cp(a + c) - cp(a) - k(i: ') - -k(i:' ) lm g 1 cp - lm - ua, cp - ua, cp , ê~O ê~O é
2.2.3 Dérivée d'une fonction discontinue
Soit f(x) une fonction de classe C1 pour X < 0 et X > 0, mais présentant une discontinuité de première espèce en x = 0, c'est-à-dire les limites
f(o+) = lim f(x), x~o+
f(o-) = lim f(x), x~o-
existent et sont distinctes. Au point x = 0, la fonction f subit un saut ao, c'est-à-dire ao = J(o+) - f(o-). On désigne par f la distribution associée à f(x), par f' la dérivée de cette distribution et par {f'} la distribution associée à la dérivée usuelle de f(x) pour x < 0 et x > 0 et qui n'est pas définie pour x =O. On a
(!', cp) = -(!, cp'),
= -1-:00 f(x)cp(x)dx,
= - f(x)cp(x)l~oo + 1-~ J'(x)cp(x)dx
= (f(o+) - f(o-))cp(O) + 1:00 f'(x)cp(x)dx,
Par conséquent, on a f' = {!'} + aoô.
Le saut ao de f apparaît, dans la distribution dérivée, sous forme d'une masse ponctuelle ao au point de discontinuité. En prenant f = H, ao = 1, {!'} = 0, on retrouve le résultat précédent, c'est-à-dire H' = ô.
2.3. EXTENSION AU CAS DE PLUSIEURS VARIABLES 45
Supposons que f(x) soit une fonction indéfiniment dérivable. En désignant par u1, u2, ... , les sauts respectifs de f'(x), f"(x), ... , à l'origine, on aura en dérivant à nouveau :
!" {!"} + uoô' + u1 ô,
où j(m) désigne les dérivées successives de la distribution f et {f(m)} désigne les distributions associées aux dérivées usuelles de f(x) pour x < 0 et x > 0 et qui ne sont pas définies pour x = O. Plus généralement, si f(x) admet des discontinuités aux points ai, a2, ... , avec des sauts respectifs r1, r2, ... , on aura
J' = {J'} + L TkÔak •
2.3 Extension au cas de plusieurs variables
Dans le cas de plusieurs variables, on définit la dérivée ~ d'une distribu tion T, par
\;~,~) = -\ T, ;~), i = 1,2, ... ,m.
On a
( ) OO ~ ~ où~ xi, x2, ... , Xm E C , donc axiax; = ax;axi, et par conséquent
Plus généralement, on a
- ôx~1 . ax;2 ôx~ - ôx~1 ax;2 ... ôx~m .
2.4 Exercices résolus
Exercice 2.4.1 Dériver au sens des distributions les fonctions suivantes : a) sgn(x) = 1:1 (fonction signe) b) f(x) = X[-!,!l(x) c'est-à-dire la fonction caractéristique de[-!, !Légale
à 1 si x E [-!, ! ] et à 0 sinon.
Solution: a) On a
{ -1
si X> Ü
= 2cp(O),
= 2(ô,cp),
d'où sgn' = 2ô. Une méthode rapide consiste à utiliser la formule établie dans la section 2.3. En effet, la fonction sgn(x) subit un saut uo = 2 et sa dérivée au sens des fonctions vaut O. Donc
b) On a
sgn' = {sgn}' + uoô' = 2ô'.
d'où f' = c5_1 -c51 = ô(x+ ~)-ô(x- ~).Comme dans la question précédente, 2 2
on peut utiliser la formule établie dans la section 2.3. En effet, la fonction f(x) admet deux discontinuités aux points - ~ et ~ avec des sauts respectifs r _ 1 = 1
2 et n = -1. Sa dérivée au sens des fonctions est nulle. Donc
2
f 1 = {J}' + T_1Ô_1 + TlÔl = Ô_l - Ô1. 2 2 2 2 2 2
Exercice 2.4.2 Soit vp ~ la distribution (voir exercice 1.6.3} définie par
(vp .!., cp) = lim (1-e cp(x) dx +le cp(x) dx) , cp EV. X e--+O -OO X e X
1) Calculer au sens des distributions a) (vp l)'. b) ( vp !Y'.
2) Pour tout cp EV, on pose
(Pf 1 2 , cp) = lim ( { cp(~) dx - 2 cp{O) dx) ,
X e--+0 Jlxl>e X ê
(Pf 1 3 , cp) = lim ( { cp(~) dx - 2 c,o'{O) dx) ,
X e--+0 Jlxl>e X ê
Le symbole Pf · · · désigne la partie finie de · · · a) Chercher une relation simple entre Pf -J.x et ( vp ~ )' ainsi qu 'entre Pf -:S
et (vp ~)''. b) Les applications Pf -J.x et Pf -:S sont-elles des distributions sur lR ?
Justifier la réponse.
X
= - lim r cp'(x) dx e--+0 Jlxl>e X '
= - lim (1-e cp'(x) dx + 100 cp'(x) dx) ' e--+O -OO X e X
En effectuant une intégration par parties, on obtient
({vp .!. )', cp) = - lim (- cp(-ê) + cp(ê) + r cp(~) dx) . X e--+0 ê Jlxl>e X
Or d'après l'exercice 1.6.1, on a
d'où
lim cp(-t:) + cp(t:) = lim {2 cp(O) + t:(O(t:) + 0(-t:))} = 2 lim cp(O). e-+0 é e-+O é e-+0 é
Par conséquent,
((vp .!. )', cp) = lim (2 cp(O) - f cp(~) dx) . X e-+O é Jlxl>e X
b) On a
((vp .!.y',cp) = -((vp .!.)',cp') = lim (-2cp'(O) + f cp'(:) dx), X X e-+O é ljxj>e X
d'après la question précédente. Puisque
f cp'(x) dx - Jlxl>e ~ -
1-e cp'(x) 100 cp'(x) - 2-dx+ - 2-dx,
-oo X e X
cp(~) ,-e + 2j-e cp~x) dx + cp(~) loo + 2foo cp(~) dx), X -OO -OO X 2 X e e X
= cp(-t:)-cp(t:)+21 cp(x)dx 2 3 '
é lxl>e X
d'où
lim cp(-t:) + cp(t:) = lim {-2 cp(O) - t:(O(-t:) + O(t:))} = -2 lim cp'(O). e-+0 t:2 e-+0 é e-+0 é
Par conséquent,
((vp _! )'', cp) = 2 lim (-2 cp'(O) + { cp(~) dx) . X e--+O ê Jlxl>e X
2) a) On déduit immédiatement de 1) que
1 ( 1 )' Pf- = - vp - , x2 X
2Pf ~ = (vp _! )". x3 X
b) Une distribution étant toujours dérivable, on déduit de a) que Pf ~et Pf ~ sont aussi des distributions.
Exercice 2.4.3 Exprimer les applications b) et d) de l'exercice 1.6.6 en fonc tion de la distribution de Dirac
Solution : Pour b), on a
n n n
(J,cp) = L'P(j)(o) = L(ô,cp(j)) = L(-1)i(ô(j),cp), j=O j=O j=O
et par conséquent, n
f = L(-1)iô(j). j=O
OO OO OO
(J,cp) = L'P(j)(j) = L(ôj,cp(j)) = L(-1)i(ô)j),cp), j=O j=O j=O
et donc OO
f = L(-1)iô)i). j=O
Exercice 2.4.4 Montrer que la fonction ln lxl détermine une distribution sur lR et prouver qu'au sens des distributions
(ln lxl)' = vp .!. X
Solution : La fonction ln lxl définit une distribution sur lR car elle est localement sommable. En effet, la fonction ln lxl est continue sur JR*, donc localement
sommable. En outre, dans un voisinage de 0 par exemple J - 1, 1[, l'intégrale f ~1 l ln lxl ldx est convergente : on a
f 1 1nxdx = lim 11 lnxdx = -1, lo e-+O e
donc J0 1 lnxdx existe. Même argument pour J~1 ln(-x)dx. (Une autre mé
thode : la fonction ln lxl, xi= 0, est localement sommable dans lR car dans un voisinage de 0, on al ln lxll ::; JXf-, pour 0 <a< 1). La dérivée de ln lxl, au sens des fonctions, n'est pas localement sommable. Mais au sens des distributions, on a
((lnlxl)',<p) -(lnlxl,<p'), <p E 1J
-I:oo ln lxl<p'(x)dx,
- - lim (1-e ln(-x)<p1(x)dx + l+oo lnx<p1(x)dx), ê-+0 -OO ê
- lim (1n(-x)<p(x)C~ -1-e <p(x) dx e-+0 _ 00 X
+ lnx<p(x)l;-00 - l+oo <p~) dx),
= lim(<p(ê) - <p(-ê)) lnê e-+0
+ lim (1-e <p( x) dx + 1+00 <p( x) dx) . e-+0 _ 00 X e X
Comme (voir exercice 1.6.1),
<p(ê) = <p(O) + ê<p1(0) + ê20(ê),
alors lime-+O ( <p( ê) - <p( -ê)) ln ê = 0, et par conséquent
((ln lxl)', <p) = (vp !, <p). X
Exercice 2.4.5 Soit T(n) la dérivée nième d'une distribution arbitraire T.
Montrer que supp T(n) c supp T. La réciproque est-elle vraie? Justifier la réponse.
Solution: Soient n le plus grand ouvert où T = 0 et W le plus grand ouvert où T(n) =O. Par définition, on a supp T =ne et supp T(n) = we. Puisque T = 0 sur 0, alors T(n) = 0 sur n. Dès lors, W :::>net par conséquent we c ne. La réciproque est fausse. En effet, considérons la distribution T =constante. On a supp T = lR alors que supp T(n) = 0.
Exercice 2.4.6 Calculer au sens des distributions, les dérivées successives de la fonction lxl.
Solution: Posons y= lxl. On a
y={ X -x
/ { -1 y= 1
Si X> 0 si X< 0
Au point x = 0, la fonction y' est discontinue et subit un saut u1 = 2. On a
y"= {y"}+ uo8' + u18 = 28, y(3) = 281, ... , y(n) = 28(n-2), n ~ 2
On obtient immédiatement ce résultat en utilisant la formule (voir section 2.3) :
Ici {y(n)} = 0, 0'1 = 2 et O"Q = 0'2 = 0"3 = ... = O'n =o.
Exercice 2.4.7 Soient H(x) la fonction d'Heaviside, a et w des constantes réelles. Prouver, au sens des distributions, les relations suivantes :
a) (fx - a) H(x)eax = 8.
b) ( d2 + 2) H(x) sinwx = 8 dX1 w w .
Solution : a) Soit cp E 7J. On a
Or
donc
d'où (d!: - a) H(x)eax = ô. On peut retrouver le même résultat, en procédant comme suit,
b) Soit cp EV. On a
( ( .!___ 2) H(x) sinwx ) d 2 +w ,cp
X W
1+00 sin wx 1+00 = --cp"(x)dx + w sinwxcp(x)dx,
0 w 0
sinwx l+oo 1+00 1+00 = --cp'(x) - coswxcp'(x)dx + w sinwxcp(x)dx, w 0 0 0
r+oo r+oo = - Jo coswxcp'(x)dx + w Jo sinwxcp(x)dx,
r+oo r+oo = - coswxcp(x)lci00 - w Jo sinwxcp(x)dx + w Jo sinwxcp(x)dx,
= cp(O),
= (ô, cp),
( d2 2) H(x) sinwx d'où d 2 + w = ô. On peut retrouver le même résultat, en
X W
X W
d2 (H(x) sinwx) H( ) . =d 2 +w xsmwx, X W
d (H'(x) sinwx ) . = dx w +H(x)coswx +wH(x)smwx,
= d~ ( ô si:wx + H(x) coswx) + wH(x) sinwx,
= d~ (H(x) coswx) + wH(x) sinwx,
= H'(x) coswx - wH(x) sinwx + wH(x) sinwx,
= ôcoswx,
=Ô.
2.4. EXERCICES RÉSOLUS
Exercice 2.4.8 Soit u(x, t) la fonction définie dans Il~.2 par
u(x, t) = { a si. t2 - x2 2: 0, t 2: 0, 0 ailleurs,
53
a) Montrer que u(x, t) définit une distribution dans IR.2 et déterminer son support.
b) C l l d d . 'b . l' . ( a2 a2 ) a2 a2 a cu er, au sens es istri utions, expression Ft:I - &è1 u, Ft:I - &è1
étant l'opérateur des ondes.
c) Déterminer a de façon que u(x, t) soit solution de l'équation suivante :
où v est une constante positive et ô = ô(x, t) la distribution de Dirac.
Solution : a) La fonction u(x, t) définit une distribution dans IR.2 car elle est localement sommable. Le support de u(x, t) est le cône : t2 - x2 2: 0, t 2: O. b) Soit cp E V(IR.2), alors par définition
On a
( â2cp) u, ât2 j +oo j+oo â2cp
u(x, t) â 2 dxdt, -OO -OO t
j +oo (l+oo â2cp ) = a â 2 dt dx, -OO lxl t
j +oo âcp 1 +oo a -8 (x, t) dx,
-OO t lxl
-OO t
-a (1-~ ~~ (x, -x)dx + fo+oo ~~ (x, x)dx) ,
( r+oo âcp r+oo âcp ) -a la ât (-x, x)dx +la ât (x, x)dx .
De même, on a
/ a2 ) j+oo j+oo 82cp \ u, âx~ = -oo -oo u(x, t) âx2 dxdt,
Dès lors,
Donc
r+oo (lt a2cp ) Jo -ta âx2 dx dt,
r+oo âcp lt = a Jo âx (x, t) x=-t dt,
r+oo ( âcp Ôcp ) aj0 âx(t,t)- 8x(-t,t) dt.
âcp âcp = âx (x, t)dx + ât (x, t)dt,
Ôcp Ôcp = - âx (-x, t)dx + ât (-x, t)dt,
âcp âcp âx (s, s)dx + ât (s, s)dt,
âcp Ôcp = - âx (-s, s)dx + ât (-s, s)dt.
( ~:~ - ~:~, cp) = -a fo+oo dcp(s, s) - a fo+oo dcp(-s, s),
et par conséquent
ô = ô(x, t).
c) En remplaçant t par vt dans l'équation précédente, on obtient
1 â2u â2u = 2aô(x, vt),
2a = -ô(x,t). V
Donc pour satisfaire à l'équation proposée, on doit avoir a= ~·
Exercice 2.4.9 Soit Pf ~C.:) la distribution définie par
\ Pf H(x), cp) = lim {i+oo cp(x) dx +A}, xk e-+O xk
ê
A = - ~ ( i - 1) ! . ( k - i)ck-i + ( k - 1) ! ln c'
et H(x) est la fonction d'Heaviside, cp EV et k EN*. Etablir la relation
(Pf ~~))' = -kPf ~~; + (-l)kô~:). Solution: Soit cp E 'D. On a
55
\ ( Pf ~~) )' , cp) = - \ Pf ~~) , cp1 ( x)) = - !~ { 1+oo cp~~) dx + B} , où
- k-1 cp(i) (0) 1 cp(k) (0) B = - ~ ( ) . ( ) k . + ( )' lnc. f=t. i - 1 ! k - i é -i k - 1 .
En faisant une intégration par parties, on obtient
\ ( Pf H(x))', cp) = - lim {- cp(c) + k 1+oo cp(x) dx + n}. xk e-+O ck xk+ 1
ê
un calcul direct montre que :
\ ( Pf ~~) )', cp) = -k \ Pf ~~;, cp) + (-k~)k ( ô(k), cp) ,
d'où le résultat.
Exercice 2.4.10 Soit z = x + iy E C et ~ = ! ( fx + ify), l'opérateur de
Cauchy-Riemann. Calculer, au sens des distributions, l'expression~ (i).
Solution : La fonction i = x~iy est une distribution sur R.2 car elle est locale ment sommable. Soit cp(x, y) E V(R.2). On a, par définition,
j â (1) ) j 1 âcp) l+oo l+oo 1 1 (âcp ,Ôcp) \âz ; ,cp = -\;' âz = - _00 _00 x+iy'2 âx +i ây ·
Pour calculer cette intégrale double, on va utiliser le théorème du changement de variables et par la suite le théorème de Fubini. En coordonnées polaires x = rcosfJ, y= rsinO, 0 < r < +oo, 0 < (J < 271", on sait que les opérateurs: fx, -/y, fr et f0 sont liés par les équations
â â l. â â. â 1 â âx = cos (J âr - r sm (J â(J, ây = sm (J âr + r cos (J â(J .
Posons 'lfJ(r,O) = cp(rcosfJ,rsinfJ). L'intégrale précédente s'écrit (en tenant compte du fait que le jacobien de la transformation est r) sous la forme
-- - + -- drdfJ 1121f 1+00 (â'l/J i â'l/J) 2 0 0 âr râfJ '
1 121f 1+00 â'lfJ i 121f 1+00 1 â'lfJ = -- -drdfJ- - --drdfJ 2 0 0 âr 2 0 0 râfJ '
1 {21f i r+oo 1 = "2Jo 'lfJ(O,fJ)dfJ-"2Jo ;:-('l/J(r,27r)-'l/J(r,O))dr,
1 {21f 2 Jo cp(O, O)dfJ,
= 7rcp(O, 0), = 7r(ô,cp).
(H(x) lnx)' = Pf H(x), X
où H(x) est la fonction d'Heaviside et Pf H~x) la distribution définie par
(Pf H(x), cp) = lim (l+oo cp(x) dx + cp(O) lne) , x e~o e x
pour tout cp E V.
- fo00 lnx.r.p'(x)dx,
- lim f 00 lnx.r.p'(x)dx, e-->O le
- lim {r.p(x) lnxl~ - f 00 r.p(x) dx}' e-->O le X
lim {r.p(ê) lnê + f 00 r.p(x) dx}. e-->O le X
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Comme r.p EV, on a d'après l'exercice 1.6.1, r.p(ê) = r.p(O) +Er.p'(O) +E20(ê), où 0 est continue sur R On pose 'l/J(ê) = r.p'(O) +êO(ê), d'où r.p(ê) = r.p(O) +ê'l/J(ê), avec 'ljJ continue sur R On a
lim r.p(ê) ln ê = lim( r.p(O) + ê'l/J(ê)) ln ê = r.p(O) lim ln ê, e-->0 e-->O e-->O
et par conséquent
((H(x) ln x )', r.p) = lim {r.p(O) lnê + f 00 r.p(x) dx} = j Pf H(x), r.p) . e-->O le X \ X
Exercice 2.4.12 Soient r.p EV et x ER On pose D = --fl.x + 4d~' et
J_ a r+oo (T, r.p) = -oo f(x)r.p(x)dx +la g(x)r.p(x)dx,
où a est une constante, f et g sont deux fonctions de classe C2 vérifiant les conditions: Df(x) = Dg(x) = 0, f(a) - g(a) = 1, f'(a) - g'(a) = 5. Montrer qu'au sens des distributions DT = ô~ + Ôa.
Solution : Soit r.p EV. On a
(DT,r.p) = (-T" +4T',r.p) = (-T",r.p) +4(T',r.p).
En utilisant deux fois la formule d'intégration par parties, on obtient
(T, r.p") 1-: f(x)r.p"(x)dx + 100 g(x)r.p"(x)dx,
(f(a) - g(a))r.p'(a) - (f'(a) - g'(a))r.p(a)
+ 1-: f"(x)r.p(x)dx + 1-: g"(x)r.p(x)dx.
De même, on a
D'où
(DT, <p) = (g(a) - f(a))(<p'(a) + 4<p(a)) +(!'

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Distributions, Analyse de Fourier et Transformation de Laplace - Cours et exercices