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Estruturas de Dados 2
Tcnicas de Projeto de Algoritmos Dividir e Conquistar
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Dividir e Conquistar
Projeto de Algoritmos por Diviso e Conquista
Introduo Busca Recursiva Ordenao: InsertionSort, MergeSort, HeapSort e QuickSort Resumo
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Dividir e Conquistar
Introduo
Dividir e Conquistar uma tcnica de projeto de algoritmos que consiste em resolver um problema a partir da soluo de sub-problemas menores do mesmo tipo.
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Dividir e Conquistar
Introduo
Dividir e Conquistar uma tcnica de projeto de algoritmos que consiste em resolver um problema a partir da soluo de sub-problemas menores do mesmo tipo. Se os sub-problemas obtidos aps a diviso ainda so muito grandes para a soluo direta, aplica-se novamente a diviso, at ter problemas pequenos o suficiente para terem soluo trivial ou direta.IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 4/83
Dividir e Conquistar
Introduo
Aps o processo de diviso em sub-problemas menores, e sua conquista, basta combinar os resultados dos sub-problemas menores, para obter a soluo para o problema como um todo.
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Dividir e ConquistarPassos para diviso e conquista: 1. Diviso: propor uma forma de dividir o problema original em sub-problemas iguais, porm menores (recursivamente); 2. Conquista: ao se obter sub-problemas pequenos o suficiente, resolv-los diretamente; 3. Combinao: combinar as solues de forma a obter a soluo ao problema original.IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 6/83
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Vantagens
Soluo direta do ponto de vista da recursividade; Elegncia; Usualmente produz algoritmos eficientes (complexidade logartmica!!!)
Desvantagem
Recurso!!!!
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Como aplicar?
Processo Indutivo ao projeto de algoritmos(recurso) Aplicvel sempre que for possvel obter subproblemas menores independentes entre si Procurar uma diviso igualitria de um problema em diversos sub-problemas....... Deve ser possvel (e de preferncia simples e rpido) combinar os resultados dos sub-problemas....IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 8/83
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Justificativa
Esta tcnica pode ser empregada em diversas situaes comuns porm importantes:
Somar N nmeros; Encontrar um elemento em um vetor ordenado;
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Exemplo da aplicao da tcnica:
Como somar N nmeros, a1, a2, ..., an?
Se n 1, a soma o prprio a1. Se n>1, podemos dividir o problema em dois subproblemas menores: 1.Somar os nmeros de a1 at an/2 ;
2.Somar os nmero de an/2 at an ; 3.Somar os resultados!!!IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 10/83
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Exemplo da aplicao da tcnica:
Como somar N nmeros, a1, a2, ..., an? Eficincia????
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Exemplo da aplicao da tcnica:
Como somar N nmeros, a1, a2, ..., an? Eficincia???? O(n)......(Melhor que uma abordagem exaustiva????)
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Exemplo da aplicao da tcnica:
Como somar N nmeros, a1, a2, ..., an? Eficincia???? O(n)......(Melhor que uma abordagem exaustiva????) Claramente NO!!!!
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Exemplo da aplicao da tcnica:
Como somar N nmeros, a1, a2, ..., an? Eficincia???? O(n)......(Melhor que uma abordagem exaustiva????) Claramente NO!!!! Portanto, aplicar Diviso e Conquista no garante, por si s, a obteno de algoritmos eficientes!
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OUTRO exemplo: Buscar um elemento!
Como encontrar o elemento em um vetor de tamanho N: a1, a2, ..., an? Se n 1, e o elemento a o procurado, achou, 1 seno no achou! Se n>1, podemos dividir o problema em dois subproblemas menores: 1.Encontrar o elemento no vetor de a1 at an/2 2.Encontrar o elemento no vetor de an/2 at an
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Mas esta tcnica no consegue gerar
resultados melhores que a Fora Bruta???
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Mas esta tcnica no consegue gerar
resultados melhores que a Fora Bruta???
Pode sim.....
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Dividir e Conquistar
Mas esta tcnica no consegue gerar
resultados melhores que a Fora Bruta???
Pode sim..... Basta aplic-la adequadamente......!
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Mas esta tcnica no consegue gerar
resultados melhores que a Fora Bruta???
Pode sim..... Basta aplic-la adequadamente......! Exemplo de uso adequado: Busca Binria.
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Busca Binria:Encontrar um determinado elemento (chave) em um vetor
ordenado de tamanho N: a1, a2, ..., an?:
Verificar se a chave est na posio ax = an/2:
Se estiver, encontrou! Se no estiver, realizar a busca binria nos vetores:a1 at ax-1,se chave < ax , ou em ax+1 at an se chave > ax.IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 20/83
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Busca Binria: Exemplo: 3 5 7 8 9 11 12 19
Encontrar o nmero 12 na lista:
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Busca Binria: Exemplo: 3 5 7 8 9 11 12 19 3 5 7 8 9 11 12 19 (est na posio X=n/2?)!
Encontrar o nmero 12 na lista:
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Busca Binria: Exemplo: 3 5 7 8 9 11 12 19 3 5 7 8 9 11 12 19 (est na posio X=n/2?)! 3 5 7 8 9 11 12 19 (est na posio X=n/2?)S!
Encontrar o nmero 12 na lista:
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Busca Binria:T, mas e da???? Bem, a eficincia deste algoritmo (lg n).... Muito mais eficiente que a abordagem Fora Bruta.....
....pena que o vetor precisa estar ordenado....... ....mas podemos aplicar a tcnica de Diviso e Conquista
para ordenar vetores tambm!!!!!
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Ordenao com Diviso e Conquista: Problema: Ordenar um vetor de tamanho N: a , a , ..., 1 2 an Um vetor de um elemento j est ordenado! Um vetor de tamanho n pode ser ordenado pela intercalao de dois sub-vetores: 1.Um vetor de a1 at an/2 2.Outro vetor de an/2 at an
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Ordenao com Diviso e Conquista: Problema: Ordenar um vetor de tamanho N: a , a , ..., 1 2 an Um vetor de um elemento j est ordenado! Um vetor de tamanho n pode ser ordenado pela intercalao de dois sub-vetores: 1.Um vetor de a1 at an/2 2.Outro vetor de an/2 at an Esta maneira de ordenar d origem ao algoritmo recursivo de ordenao MergeSort!!!IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 26/83
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Ordenao com Diviso e Conquista: Problema: Ordenar um vetor de tamanho N: a , a , ..., 1 2 an Um vetor de um elemento j est ordenado! Um vetor de tamanho n pode ser ordenado pela intercalao de dois sub-vetores: 1.Um vetor de a1 at an/2 2.Outro vetor de an/2 at an Esta maneira de ordenar d origem ao algoritmo recursivo de ordenao MergeSort!!! Isto projetar um algoritmo por diviso e conquista!!!IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 27/83
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MergeSort:
Se a funo intercala for eficiente=O(n)Detalhe: para conseguir implementar a intercalao de forma eficiente, necessrio um vetor auxiliar, o que aumenta a memria necessria para o algoritmo...no uma ordenao in-place,como a Ordenao por Seleo
T(n) = 2T(n/2) + O(n) Logo, Mergesort (n lg n) (Master)IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 28/83
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MergeSort(A, e, d): : Pseudo-Cdigo
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Intercala(A, e, d): Pseudo-Cdigo
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Aplicando Dividir e Conquistar de outra forma: Seja S um conjunto de n 2 inteiros e x um elemento qualquer de S.
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Aplicando Dividir e Conquistar de outra forma: Seja S um conjunto de n 2 inteiros e x um elemento qualquer de S. Sejam S1 e S2 os subconjuntos de {S x} dos elementos menores ou iguais a x e maiores que x, respectivamente.
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Aplicando Dividir e Conquistar de outra forma: Seja S um conjunto de n 2 inteiros e x um elemento qualquer de S. Sejam S1 e S2 os subconjuntos de {S x} dos elementos menores ou iguais a x e maiores que x, respectivamente. Ambos S1 e S2 possuem menos de n elementos. Por hiptese de induo, sabemos ordenar os conjuntos S1 e S2.
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Aplicando Dividir e Conquistar de outra forma: Seja S um conjunto de n 2 inteiros e x um elemento qualquer de S. Sejam S1 e S2 os subconjuntos de {S x} dos elementos menores ou iguais a x e maiores que x, respectivamente. Ambos S1 e S2 possuem menos de n elementos. Por hiptese de induo, sabemos ordenar os conjuntos S1 e S2. Podemos obter S ordenado concatenando S1 ordenado, x e S2 ordenado.
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Aplicando Dividir e Conquistar de outra forma: Seja S um conjunto de n 2 inteiros e x um elemento qualquer de S. Sejam S1 e S2 os subconjuntos de {S x} dos elementos menores ou iguais a x e maiores que x, respectivamente. Ambos S1 e S2 possuem menos de n elementos. Por hiptese de induo, sabemos ordenar os conjuntos S1 e S2. Podemos obter S ordenado concatenando S1 ordenado, x e S2 ordenado. Esta abordagem d origem ao algoritmo QuickSort!!!IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 35/83
Dividir e ConquistarEm contraste ao Mergesort, no Quicksort a operao de diviso que mais custosa: depois de escolhermos o piv(x), temos que separar os elementos do vetor maiores que o x dos menores ou iguais a x.
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Dividir e ConquistarEm contraste ao Mergesort, no Quicksort a operao de diviso que mais custosa: depois de escolhermos o piv(x), temos que separar os elementos do vetor maiores que o x dos menores ou iguais a x. Conseguimos fazer essa diviso com (n) operaes: basta varrer o vetor com dois apontadores, um varrendo da direita para a esquerda e outro da esquerda para a direita, em busca de elementos situados na parte errada do vetor, e trocar um par de elementos de lugar quando encontrado.
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Dividir e ConquistarEm contraste ao Mergesort, no Quicksort a operao de diviso que mais custosa: depois de escolhermos o piv(x), temos que separar os elementos do vetor maiores que o x dos menores ou iguais a x. Conseguimos fazer essa diviso com (n) operaes: basta varrer o vetor com dois apontadores, um varrendo da direita para a esquerda e outro da esquerda para a direita, em busca de elementos situados na parte errada do vetor, e trocar um par de elementos de lugar quando encontrado. Aps essa etapa basta ordenarmos os dois trechos do vetor recursivamente para obtermos o vetor ordenado, ou seja, a conquista imediata.
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Quicksort(A,e,d) - Pseudo-Cdigo:
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Quicksort(A,e,d) - Pseudo-Cdigo(cont):
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Dividir e Conquistar1. Selecionar um elemento para ser o piv 2. Rearranjar a lista de modo que todos os elementos nas posies a esquerda do piv sejam menores ou iguais a ele, e aqueles a direita do piv sejam maiores que ele. 3. Permutar o piv com o ltimo elemento da primeira sub-lista(menores ou iguais). Agora o piv est em sua posio final. 4. Ordenar as duas sub-listas.
Quicksort- Idia Base
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QuickSort Exemplo5 3 1 9 8 2 4 7 partition 2 3 1 4 5 8 9 7 2 3 1 4 partition 1 2 3 4 partition 1 3 4 partition 4
8 9 7 partition 7 8 9 7 9
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Quicksort Anlise da ComplexidadeQuantas comparaes e quantas trocas o algoritmo Quicksort executa no pior caso ?
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Quicksort Anlise da ComplexidadeQuantas comparaes e quantas trocas o algoritmo Quicksort executa no pior caso ? Certamente a operao de diviso tem complexidade (n), mas o tamanho dos dois subproblemas depende do piv escolhido.
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Quicksort Anlise da ComplexidadeQuantas comparaes e quantas trocas o algoritmo Quicksort executa no pior caso ? Certamente a operao de diviso tem complexidade (n), mas o tamanho dos dois subproblemas depende do piv escolhido. No pior caso, cada diviso sucessiva do Quicksort separa um nico elemento dos demais, recaindo na recorrncia: T(n) = 0, se n = 1 T(n) = T(n 1) + n, se n > 1,
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Quicksort Anlise da ComplexidadeQuantas comparaes e quantas trocas o algoritmo Quicksort executa no pior caso ? Certamente a operao de diviso tem complexidade (n), mas o tamanho dos dois subproblemas depende do piv escolhido. No pior caso, cada diviso sucessiva do Quicksort separa um nico elemento dos demais, recaindo na recorrncia: T(n) = 0, se n = 1 T(n) = T(n 1) + n, se n > 1, Portanto, (n2) comparaes e trocas so executadas no pior caso!!!!!!IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 46/83
Dividir e ConquistarMas o Quicksort no era o algoritmo de ordenao mais eficiente????
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Dividir e ConquistarMas o Quicksort no era o algoritmo de ordenao mais eficiente????
Ento, o algoritmo Quicksort assintoticamente menos eficiente que o Mergesort no pior caso.
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Dividir e ConquistarMas o Quicksort no era o algoritmo de ordenao mais eficiente????
Ento, o algoritmo Quicksort assintoticamente menos eficiente que o Mergesort no pior caso. Entretanto, no caso mdio, o Quicksort efetua (n log n) comparaes e trocas.
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Dividir e ConquistarMas o Quicksort no era o algoritmo de ordenao mais eficiente????
Ento, o algoritmo Quicksort assintoticamente menos eficiente que o Mergesort no pior caso. Entretanto, no caso mdio, o Quicksort efetua (n log n) comparaes e trocas. Assim, na prtica, o Quicksort bastante eficiente, com uma vantagem adicional em relao ao Mergesort: in place, isto , no utiliza um vetor auxiliar.
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Dividir e ConquistarConsiderando que o pior caso no ocorre com freqncia, pois usualmente, pegando um piv aleatrio, muito difcil escolher sempre um piv que divida o vetor de tamanho n em dois vetores, um dos menores e outro dos maiores que o piv, com tamanhos (n-1) e 1....
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Dividir e ConquistarConsiderando que o pior caso no ocorre com freqncia, pois usualmente, pegando um piv aleatrio, muito difcil escolher sempre um piv que divida o vetor de tamanho n em dois vetores, um dos menores e outro dos maiores que o piv, com tamanhos (n-1) e 1.... Desta forma, supondo uma diviso do vetor de tamanho n em dois sub-vetores (n/2), e considerando o tempo de separao entre os maiores e os menores que o piv sendo O(n)....IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 52/83
Dividir e ConquistarConsiderando que o pior caso no ocorre com freqncia, pois usualmente, pegando um piv aleatrio, muito difcil escolher sempre um piv que divida o vetor de tamanho n em dois vetores, um dos menores e outro dos maiores que o piv, com tamanhos (n-1) e 1.... Desta forma, supondo uma diviso do vetor de tamanho n em dois sub-vetores (n/2), e considerando o tempo de separao entre os maiores e os menores que o piv sendo O(n).... O tempo mdio T(n)=2T(n/2)+O(n) = O(n lg n)IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 53/83
Dividir e ConquistarOrdenao: Mas no h um algoritmo que seja eficiente em todos os casos, e in place ao mesmo tempo?
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Dividir e ConquistarOrdenao: Mas no h um algoritmo que seja eficiente em todos os casos, e in place ao mesmo tempo? Vocs tinham que perguntar?????
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Dividir e ConquistarOrdenao: Mas no h um algoritmo que seja eficiente em todos os casos, e in place ao mesmo tempo? Vocs tinham que perguntar????? Este algoritmo chama-se HeapSort.
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Dividir e ConquistarOrdenao: Mas no h um algoritmo que seja eficiente em todos os casos, e in place ao mesmo tempo? Vocs tinham que perguntar????? Este algoritmo chama-se HeapSort. E baseado numa estrutura de dados inteligente denominada Heap..... implementa uma fila de prioridades.... Podermos utiliz-la para fazer uma ordenao inplace e (n lg n)!!!! (Mas o Quicksort ainda mais rpido!!!!)
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Dividir e ConquistarOrdenao por Heap(HeapSort): Tarefa: Implementar a estrutura de dados Heap para podermos utiliz-la para fazer uma ordenao in-place e (n lg n)!!!!
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Dividir e ConquistarOrdenao por Heap(HeapSort): Tarefa: Implementar a estrutura de dados Heap para podermos utiliz-la para fazer uma ordenao in-place e (n lg n)!!!! Mas o que um Heap???
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Dividir e ConquistarOrdenao por Heap(HeapSort): Tarefa: Implementar a estrutura de dados Heap para podermos utiliz-la para fazer uma ordenao in-place e (n lg n)!!!! Mas o que um Heap??? uma simulao de uma rvore binria completa utilizando um vetor!!!!
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Dividir e ConquistarHeap: Vetor que apresenta as seguintes caractersticas: Vetor A de tamanho N (lenght(A) = n de nodos da rvore) A[1] = raiz da rvore binria (primeira posio do vetor) Para calcular a posio de qualquer nodo, utilizamos as funes PARENT, LEFT E RIGHT: PARENT(i) return i/2 LEFT(i) return 2i RIGHT(i) return 2i + 1
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Dividir e Conquistar
Heap: (Cormen)
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Dividir e ConquistarHeap: Caracterstica que distingue um Heap de uma rvore binria : A[PARENT(i)] A[i] (Max-Heap)
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Como utilizar um Heap para Ordenar????O Heap permite que o elemento mximo do conjunto seja determinado e corretamente posicionado no vetor em tempo constante, trocando o primeiro elemento do heap com o ltimo. O trecho restante do vetor (do ndice 1 ao n 1), que pode ter deixado de ter a estrutura de heap, volte a t-la com nmero de trocas de elementos proporcional altura da rvore. O algoritmo Heapsort consiste ento da construo de um heap com os elementos a serem ordenados, seguida de sucessivas trocas do primeiro com o ltimo elemento e rearranjos do heap.IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 64/83
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HeapSort(A, n) - Pseudo-Cdigo:
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AjustaHeap(A, i, n) - Pseudo-Cdigo:
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Exemplo do Funcionamento de AjustaHeap(A,2,10):
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Exemplo do Funcionamento de AjustaHeap(A,2,10):
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Exemplo do Funcionamento de AjustaHeap(A,2,10):
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Complexidade do HeapSort: Quantas comparaes e quantas trocas so executadas no pior caso na etapa de ordenao do algoritmo Heapsort? No pior caso, a funo AjustaHeap efetua (h) comparaes e trocas, onde h a altura do heap que contm os elementos que resta ordenar. Como o heap representa uma rvore binria completa, ento h (log i ), onde i o nmero de elementos do heap.
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Dividir e Conquistar
Complexidade do HeapSort: Logo, a complexidade da etapa de ordenao do Heapsort :
Portanto, no pior caso, a etapa de ordenao efetua O(n log n) comparaes e trocas! Mas e a construo do Heap????
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ConstroiHeap()\
Se o trecho de 1 a i do vetor tem estrutura de Heap, fcil adicionar a folha i + 1 ao Heap e em seguida rearranj-lo,garantindo que o trecho de 1 a i + 1 tem estrutura de Heap. Esta a abordagem top-down para construo do Heap.
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ConstroiHeap(A, n) Pseudo-Cdigo (Top-Down):
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Dividir e Conquistar
ConstroiHeap(A, n) (Top-Down): Quantas comparaes e quantas trocas so executadas no pior caso na construo do heap pela abordagem top-down ? O rearranjo do heap na iterao i efetua (h) comparaes e trocas no pior caso, onde h a altura da rvore representada pelo trecho do Heap de 1 a i . Logo, h (log i ). Portanto, o nmero de comparaes e trocas efetuadas construo do Heap por esta abordagem :
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Dividir e ConquistarEnto, o algoritmo Heapsort efetua ao todo (n log n) comparaes e trocas no pior caso.
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Dividir e ConquistarEnto, o algoritmo Heapsort efetua ao todo (n log n) comparaes e trocas no pior caso. (Bem....sendo mais preciso, executa 2 n log n comparaes e trocas......)
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Dividir e ConquistarEnto, o algoritmo Heapsort efetua ao todo (n log n) comparaes e trocas no pior caso. (Bem....sendo mais preciso, executa 2 n log n comparaes e trocas......) Mas existe maneira mais eficiente de construir um Heap?
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Dividir e Conquistar
Suponha que o trecho de i a n do vetor tal que, para todo j , i j n, a subrvore de raiz j representada por esse trecho do vetor tem estrutura de heap. Note que, em particular, o trecho de n/2 + 1 a n do vetor satisfaz a propriedade, pois inclui apenas folhas da rvore binria de n elementos. Podemos ento executar AjustaHeap(A, i 1, n), garantindo assim que o trecho de i 1 a n satisfaz a propriedade. Esta a abordagem bottom-up para construo do Heap.
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ConstroiHeap(A, n) Pseudo-Cdigo Alternativo...:
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Dividir e Conquistar
ConstroiHeap(A, 6) Exemplo: A=[2,9,7,6,5,8]
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Dividir e Conquistar
ConstroiHeap Complexidade:Quantas comparaes e quantas trocas so executadas no pior caso na construo do Heap pela abordagem bottom-up ? O(n lo g n )! Mas possvel provar matematicamente que este pior caso O(n).... utilizando o conhecimento sobre a altura de cada sub-rvore aonde se executa o AjustaHeap(). Ainda assim, o algoritmo HeapSort() continua sendo
(n lo g n )IF64C Estruturas de Dados 2 Engenharia da Computao Prof. Joo Alberto Fabro - Slide 81/83
Dividir e ConquistarParte Prtica: Implementar os algoritmos MergeSort, QuickSort e HeapSort apresentados, rodar uma batelada de testes para medir os tempos de execuo e a quantidade de comparaes executada por cada algoritmo, comparando os resultados!
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Dividir e Conquistar - Concluso:
Estes slides so baseados no material disponibilizado pelos profs. Cid Carvalho de Souza e Cndida Nunes da Silva, da UNICAMP. Qualquer incorretude , entretanto, de inteira responsabilidade do prof. Joo Alberto Fabro, da UTFPR.
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Dividir e Conquistar - Prs e Contras:
Prs:
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Dividir e Conquistar - Prs e Contras:
Contras:
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