ЗМІСТ

Лекція 8. Планування повнофакторного експерименту............................2

8.1. Основні поняття.....................................................................................2

8.2. Приклад ПФЕ..........................................................................................2

8.3. Рівні факторів і параметр оптимізації..................................................3

8.4. Основний рівень та інтервали варіювання вхідних факторів............4

8.5. Етапи знаходження моделі методом ПФЕ...........................................7

8.6. Планування двофакторного експерименту..........................................7

8.7. Планування трифакторного експернименту........................................9

8.8. Властивості експериментів..................................................................10

8.9. Рандомізація .........................................................................................12

Висновки......................................................................................................19

Перелік використаних джерел і літератури..............................................20

1

8. Лекція Планування повногофакторного експерименту

8.1 Основні поняття

Планування експерименту – це процедура вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних та достатніх для вирішення задачі досліджень із заданою точністю.

Розрізняють два підходи планування експерименту: класичний, при якому по черзі змінюється кожен фактор до

визначення часткового максимуму при постійних значеннях інших факторів; статистичний, де одночасно змінюють багато факторів.

При цьому суттєвим є:

мінімізація числа дослідів; одночасне варіювання всіма параметрами; використання математичного апарата, який формалізує дії

експериментатора; вибір чіткої стратегії, що дозволяє приймати обґрунтовані рішення

після кожної серії експериментів.

Для проведення експерименту над моделями можна використати наступні експериментальні плани:

повний факторний експеримент; дробовий факторний експеримент; метод випадкового балансу.

Повним факторним експериментом (ПФЕ) називається експеримент, що реалізовує всі можливі комбінації рівнів n незалежних керованих чинників, що не повторюються, кожен з яких варіює на двох рівнях. Число цих комбінацій N=2n визначає тип ПФЕ. Якщо розглянути реалізацію повного факторного експерименту для числа комбінацій N=23, то в нашому випадку незалежними керованими чинниками будуть х1 , х2 , х3.

8.2 Приклад ПФЕ

Для переважної більшості з факторних експериментів, кожен фактор має тільки два рівні. Найпростіший факторний експеримент складається з двох рівнів для кожного з двох факторів. Наприклад, є 2 двигуни – А і В, кожен з них працює на двох різних швидкостях, 2000 або 3000 обертів на хвилину.

2

Факторний експеримент буде складатись з чотирьох експериментальних установок: двигун А при 2000 оборотів в хвилину, двигун B при 2000 оборотів в хвилину, двигун А при 3000 оборотів в хвилину, і двигун B при 3000 оборотів в хвилину.  Кожна комбінація на одному рівні присутня один раз. Цей експеримент є прикладом 2 ^2 (або 2*2) факторного експерименту, названий так тому, що розглядається два рівні (базовий) для кожного з двох факторів (тобто 4). В якості додаткового прикладу, вплив трьох вхідних змінних можуть бути оцінені у восьми експериментальних умовах.

8.3 Рівні факторів і параметр оптимізації

Припустимо, що вивчається вплив k  факторів на певний параметр y, який називається вихідним фактором. На підставі проведеного експерименту, необхідно побудувати функцію відгуку:

y=f (z1 , z2 , z3 ,…, zk) (8.1)

в деякій області визначення факторів z1, z2 , z3 , …, zk. Кожен фактор приймає в даному досліді цілком певне значення. Такі значення називають рівнями. Може виявитися, що фактор здатний приймати нескінченно багато значень (безперервний ряд). Однак на практиці точність, з якою вимірюються вхідні параметри, не безмежна. Тому ми маємо право вважати, що кожен фактор має певне число дискретних рівнів. Ця умова істотно полегшує опис "чорного ящика" і спрощує оцінку їхньої складності. Фіксований набір рівнів факторів (тобто встановлення кожного фактора на деякий рівень) визначає один з можливих станів "чорного ящика". Одночасно це є умовою проведення одного з можливих дослідів. Якщо перебрати всі можливі набори станів, то ми отримаємо повну множину різних станів даного "ящика". Одночасно це буде число можливих різних дослідів. Щоб дізнатися число різних станів, достатньо число рівнів факторів (якщо воно для всіх факторів однаково) звести до степеня числа факторів k : pk ,де p – число рівнів.

Параметр оптимізації – це ознака, по якій ми хочемо оптимізувати процес. Він повинен бути кількісним, задаватися числом. Ми повинні вміти його вимірювати при будь-якій можливій комбінації обраних рівнів факторів. Безліч значень, які може приймати параметр оптимізації, будемо називати областю його визначення. Області визначення можуть бути безперервними і дискретними, обмеженими і необмеженими. 

Наприклад, вихід реакції – це параметр оптимізації з безперервною обмеженою областю визначення. Він може змінюватися в інтервалі від 0 до 100%. Число бракованих виробів, число зерен на шліфі сплаву, число кров'яних

3

тілець в пробі крові – ось приклади параметрів з дискретною областю визначення, обмеженою знизу.

Залежно від об'єкту і мети дослідження параметри оптимізації можуть бути дуже різними. Серед техніко-економічних параметрів найбільше поширення має продуктивність. Такі параметри, як довговічність, надійність і стабільність, пов'язані з тривалими спостереження. Існує певний досвід їх використання при вивченні дорогих відповідальних об'єктів, наприклад радіоелектронної апаратури.

Майже у всіх дослідженнях доводиться враховувати кількість і якість одержуваного продукту. Як міру кількості продукту використовують вихід, наприклад, відсоток виходу хімічної реакції, вихід придатних виробів. Завдання з одним вихідним параметром мають очевидні переваги. Але на практиці частіше за все доводиться враховувати кілька вихідних параметрів. Іноді їх число досить значне. Так, наприклад, при виробництві гумових і пластмасових виробів доводиться враховувати фізико-механічні, технологічні, економічні, художньо-естетичні та інші параметри (міцність, еластичність, відносне подовження, здатність суміші прилипати до форми і т.д. ). Математичні моделі можна побудувати для кожного з параметрів, але одночасно оптимізувати кілька функцій надзвичайно важко.

Зазвичай оптимізується одна функція, найбільш важлива з точки зору мети дослідження, при обмеженні, що накладаються іншими функціями. Тому з багатьох вихідних параметрів вибирається один як параметр оптимізації, а інші служать обмеженнями. Завжди корисно дослідити можливість зменшення кількості вихідних параметрів. Для цього можна скористатися кореляційним аналізом і перевірити кореляцію між усіма вихідними чинниками. При встановленні тісної кореляції для деяких пар обирають лише некорельовані вихідні параметри, а інші відкидаються. Завдяки кореляційному аналізу можна отримати інформацію про відкинуті фактори.

8.4 Основний рівень та інтервали варіювання вхідних факторів

При виборі значень факторів перш за все треба окреслити їх межі. При цьому повинні враховуватися обмеження декількох типів. Перший тип – принципові обмеження для значень факторів, які не можуть бути порушені ні за яких обставин. Наприклад, якщо фактор – температура, то нижньою межею буде абсолютний нуль. Другий тип – обмеження, зв’язані з техніко-економічними міркуваннями, наприклад, з вартістю сировини, дефіцитністю окремих компонентів, часом ведення процесу. Третій тип обмежень, з якими найчастіше доводиться мати справу, визначається конкретними умовами проведення процесу, наприклад, апаратурою, технологією, організацією. У

4

реакторі, виготовленому з деякого матеріалу, температуру можна підняти вище температури плавлення цього матеріалу або вище робочої температури даного каталізатора.

Оптимізація зазвичай починається в умовах, коли об'єкт вже піддавався деякими дослідженнями. Інформацію, що міститься в результатах попередніх досліджень, будемо називати апріорною (тобто отримана до початку експерименту). Ми можемо використовувати апріорну інформацію для отримання уявлення про параметр оптимізації, про вхідні фактори, про найкращі умови ведення процесу і характер поверхні відгуку, тобто про те, як сильно змінюється параметр оптимізації при невеликих змінах значень факторів, а також про кривизну поверхні. Для цього можна використовувати графіки (або таблиці) однофакторних експериментів, що здійснювались в попередніх дослідженнях або описаних у літературі. Якщо однофакторну залежність не можна уявити лінійним рівнянням (в розглянутій області), то в багатовимірному випадку, безсумнівно, буде суттєва кривизна.Найкращим умовам, визначеним з аналізу апріорної інформації, відповідає комбінація (або декілька комбінацій) рівнів факторів. Кожна комбінація є багатовимірною точкою в факторному просторі. Її можна розглядати як вихідну точку для побудови плану експерименту. Назвемо її основним (нульовим) рівнем. Значення факторів для нульового рівня позначимо через z icp Побудова плану експерименту зводиться до вибору експериментальних точок, симетричних щодо нульового рівня.

В різних випадках ми маємо в своєму розпорядженні різні відомості про область найкращих умов. Якщо є відомості про координати однієї найкращої точки і немає інформації про межі визначення факторів, то залишається розглядати цю точку в якості основного рівня. Аналогічне рішення приймається, якщо кордон відомий і найкращі умови лежать всередині області.Може трапитися, що координати найкращою точки невідомі, але є відомості про деяку під область, в якій процес йде досить добре. Тоді основний рівень вибирається або в центрі, або у довільній точці цієї під області. Відомості про під області можна отримати, аналізуючи вивчені раніше подібні процеси, з теоретичних міркувань або з попереднього експерименту. Після того як нульовий рівень обраний, переходимо до наступного кроку – вибору інтервалів варіювання. Тепер наша мета полягає в тому, щоб для кожного фактора вибрати два рівня, на яких він буде варіювати в експерименті.

Уявіть собі координатну вісь, на якій відкладаються значення даного чинника, для визначеності – температури ℃. Нехай основний рівень вже вибраний і дорівнює 100. Його значення зображується на осі точкою. Тоді два рівні, що цікавлять нас, можна зобразити двома точками, симетричними щодо

5

першої. Будемо називати  z i верх (абоz imax) – верхнім, а z i ниж (z i min) – нижнім. Зазвичай, за верхній рівень приймається той, який відповідає більшому значенню  фактора, хоча це не обов'язково, а для якісних факторів взагалі байдуже.

Інтервалом варіювання факторів називається деяке число (своє для кожного фактора), додаток якого до основного рівня дає верхній, а віднімання – нижній рівні фактора. Іншими словами, інтервал варіювання – це відстань на координатній осі між основним і верхнім (або нижнім) рівнем. Таким чином, завдання вибору рівнів зводиться до більш простого завдання вибору інтервалу варіювання.

Зауважимо ще, що для спрощення запису умов експерименту та обробки експериментальних даних масштаби по осях вибираються так, щоб верхній рівень відповідав +1, нижній -1, а основний – нулю. Для факторів з неперервною областю визначення це завжди можна зробити за допомогою перетворення:

x i=( z¿¿ i−z icp)/ D zi ¿ , де (8.2)

x i – кодоване значення фактора.z i– натуральне значення фактора, z icp – основний рівень фактору, D z i – інтервал варіювання фактору. Тут:

D z i=z imax−zicp=zicp−zimin (8.3)

Формула (8.2) здійснює перехід від натуральних значень факторів до їх кодованих значень. Зворотне перетворення має вигляд: 

z i=z icp+x i∗D zi (8.4)

На вибір інтервалів варіювання накладаються природні обмеження зверху і знизу. Інтервал варіювання не може бути менше тієї помилки, з якою експериментатор фіксує рівень фактору. Інакше верхній і нижній рівні виявляться нерозрізненними. З іншого боку, інтервал не може бути настільки великим, щоб верхній або нижній рівні опинилися за пре-справами області

6

визначення. Усередині цих обмежень зазвичай ще залишається значна невизначеність вибору, яка усувається за допомогою інтуїтивних рішень.

8.5. Етапи знаходження моделі методом ПФЕ

Процес знаходження моделі (ідентифікації) методом ПФЕ складається з

таких етапів:

1) планування експерименту;

2) проведення експерименту на об’єкті дослідження;

3) перевірки відтворюваності (однорідності вибіркових дисперсій );

4) отримання математичної моделі об'єкту з перевіркою статистичної

значущості оцінок;

5) вибіркових коефіцієнтів регресії;

6) перевірки адекватності математичного опису.

8.6 Планування двофакторного експерименту

Тут мова йде  про проведення досвіду для k  вхідних факторів, кожен з яких може перебувати на одному з двох рівнів: верхньому (кодоване значення +1) і нижньому (кодоване значення -1). Загальна кількість дослідів - 2k. Серія дослідів, в яких реалізовані всі можливі комбінації рівнів, називається повним факторним експериментом. Таблиця, яка містить перелік всіх рівнів повного факторного експерименту, називається матрицею планування . Матриця планування для повного факторного експерименту типу 22 (два фактора на двох рівнях) наведена в табл. 8.1. Для кодування двофакторного експерименту використовують букви a та b і символ (1). Символ (1) – перша точка, використовується для позначення точки з двома факторами в нижньому рівні. Друга точка позначається літерою а. Це свідчить про те, що на верхньому рівні знаходиться тільки перший фактор. Відповідно b означає що на рівні +1 є другий фактор. Добуток ab відповідає четвертій точці.

 Таблиця 8.1 – Матриця планування експерименту 22

Номер

дослідження x1 x2

Літерні

позначення рядків

(код)

y

7

3 +1 4

-1 +1

1 -1 2

1 -1 -1 (1) y1

2 +1 -1 a y2

3 -1 +1 b y3

4 +1 +1 ab y4

Кожен стовпець у матриці планування називають вектор - стовпцем, а кожен рядок - вектор - рядком. Таким чином, табл.1 містить два вектор-стовпця незалежних зміннихx1 та x2  і один вектор-стовпець параметра оптимізації y. Те, що записано в цій таблиці в алгебраїчній формі, можна зобразити геометрично.

Рисунок 8.1 – Основний рівень і інтервали варіювання в природних (z1, z2

)) і кодованих (x1 , x2) координатах

Знайдемо в області визначення факторів точку, відповідну основному рівню, і проведемо через неї нові осі координат, паралельні осям натуральних значень факторів. Далі, виберемо масштаби за новими осях так, щоб інтервал варіювання для кожного фактора дорівнював одиниці. Тоді умови проведення дослідів відповідатимуть вершинам квадрата, центром якого є основний рівень, а кожна сторона паралельна одній з осей координат і дорівнює двом інтервалам (рис. 8.1).

8

Номери вершин квадрата на рис. 8.1 відповідають номерам дослідів в матриці планування (таблиця. 1). Площа, обмежена квадратом, називається областю експерименту.

8.7 Планування трифакторного експерименту

На етапі планування експерименту матрицю планування для розглядуваного ПФЕ (n=3) можна подати у вигляді таблиці (таблиця 8.2.).

Число рядків матриці, тобто число дослідів зростає за показниковою функцією 2n.

Рисунок 8.2 – Матриця планування експерименту 23

ПФЕ – це весь можливий перебір неповторювальних комбінацій рівнів.

Таблиця 8.2 – Матриця планування експерименту 23

Номе

р

дослідженн

я

x1 x2 x3

Літерні

позначення рядків

(код)

y

1 -1 -1 +1 c y1

9

2 -1 +1 -1 b y2

3 +1 -1 -1 a y3

4 +1 +1 +1 abc y4

5 -1 -1 -1 (1) y5

6 -1 +1 +1 bc y6

7 +1 -1 +1 ac y7

8 +1 +1 -1 ab y8

Розглянуті матриці планування повних факторних експериментів відносяться до випадку планування дослідів з 2-3-ма факторами. 

8.8 Властивості експериментів

 Говорячи про властивості матриць, ми маємо на увазі ті з них, які визначають якість моделі. Адже експеримент і планується для того, щоб отримати модель, що володіє деякими оптимальними властивостями. Це означає, що оцінки коефіцієнтів моделі повинні бути найкращими і що точність передбачення параметра оптимізації не повинна залежати від напрямку в факторному просторі, бо заздалегідь неясно, куди належить рухатися в пошуках оптимуму.

Дві властивості йдуть безпосередньо з побудови матриці. Симетричність щодо центру експерименту – формулюється наступним

чином: алгебраїчна сума елементів вектор – стовпець для кожного фактора дорівнює нулю:

∑i=1

n

x ij=0 , де (8.5)

i=1 …n – номер рядка за кількістю дослідів N, j=1…k– номер фактора.

Умова нормування, котра формулюється так: сума квадратів елементів кожного стовпця дорівнює числу дослідів. Це наслідок того, що значення факторів в матриці задаються +1 і -1.

10

∑i=1

n

x ij2=N (8.6)

Для зручності роботи введемо в матриці повного факторного експерименту додатковий стовпець з індексом i=0, що складається з одних одиниць зі знаком +. Надалі цей стовпець знадобиться при обчисленні початкового елемента функції відгуку. Як приклад матриця планування типу 22 з нульовим стовпцем представлена в табл. 8.3.

Таблиця 8.3 – Матриця планування експерименту з нульовим стовпцем

Номер

дослідження x0 x1 x2

Літерні

позначення рядків

(код)

y

1 +

1

-

1

-

1

(1) y1

2 +

1

+

1

-

1

a y2

3 +

1

-

1

+

1

b y3

4 +

1

+

1

+

1

ab y4

Сума по членних добутків будь-яких добутків двох стовпців матриці планування дорівнює нулю при j ≠ u ,( j , u=0,1,2, …, k ):

∑i=1

n

x ji¿ xui=0 (8.7)

Ця важлива властивість називається ортогональністю матриці планування.

11

Остання, четверта властивість називається  ротатабельністю. У цьому випадку точки в матриці планування підбираються так, що точність передбачення значень параметра оптимізації однакова на рівних відстанях від центру експерименту.

8.9 Рандомізація

Рандомізація – розташування або вибір об’єктів у випадковому порядку. Для випадкового вибору номерів дослідів можна використовувати таблицю випадкових чисел. Застосовується, наприклад, для вибору порядку чергування окремих дослідів при плануванні експериментів тощо..

В нашому випадку рандомізація являє собою надання випадкового номера рядка матриці планування. Експеримент ділиться на m серій дослідів, у кожній з яких повністю реалізується матриця планування. Рандомізувати порядок дослідів треба для виключення деяких систематичних помилок, тобто впливу побічних факторів на величину відклику при верхньому або нижньому рівні фіксованого фактора. Порядок проведення рандомізації експерименту для двох факторів і трьох паралельних дослідів наведено в табл. 8.4. При цьому результати можуть бути іншими, ніж в табл. 8.4.

Таблиця 8.4 – Приклад рандомізації експерименту

Номер

досліду

Рандомізація, серія Матриця Результати серії y

1 2 3 x1 x2 1 2 3 4

1 2 4 3 - - y1.1 y2.1 y3.1 y1

2 1 2 1 + - y1.2 y2.2 y3.2 y2

3 3 1 4 - + y1.3 y2.3 y3.3 y3

4 4 3 2 + + y1.4 y2.4 y3.4 y4

Для рандомізації з таблиці рівномірно розподілених випадкових чисел (табл. 8.5) беруть будь-який із стовпців, з якого в тому порядку, в якому вони розташовані, вибирають числа від 1 до N і записують проти рядків – умов експериментів ( кожне число береться один раз). Аналогічно рандомізуються випробування у всіх m серіях. Результати експериментів у кожній серії записуються у відповідні стовпці (табл. 8.4).

У таблиці 8.5 наведено перші 4 цифри дробової частини.Перш ніж будувати математичну модель за результатами дослідів, треба

12

перевірити, чи не було впливу на деякі з них неврахованих факторів. Перевірка відтворюваності є перевіркою виконання передумови регресійного аналізу про однорідність вибіркових дисперсій Syi

2 . Задача полягає в перевірці гіпотези про рівність дисперсій Sy 1

2 =S y22 =S y 3

2 =…=S y 82 . при експериментах у всіх

багатовимірних точках (8 точок для трьох факторів).

Таблиця 8.5 – Розподіл Кохрена (G-розподіл)

n t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 37 144 ∞

2 9985 9750 9392 9057 8772 8534 8332 8159 8010 7341 6602 5813 5000

3 9669 8709 7977 7454 7071 6771 6530 6333 6167 5466 4748 4031 3333

4 9065 7679 6841 6287 5895 5598 5365 5175 5017 4366 3720 3093 2500

5 8412 6838 5981 5441 5065 4783 4564 4387 4241 3645 3066 2513 2000

6 7808 6161 5321 4803 4447 4184 3980 3817 3682 3135 2612 2119 1667

7 7271 5612 4800 4307 3974 3726 3535 3384 3259 2756 2278 1833 1429

8 6798 5157 4377 3910 3595 3362 3185 3043 2926 2462 2022 1616 1250

9 6385 2775 4027 3584 3286 3067 2901 2768 2659 2226 1820 1446 1111

10 6020 4450 3733 3029 2823 2666 2541 2439 2353 2032 1655 1308 1000

12 5410 3924 3264 2880 2624 2439 2299 2187 2098 1737 1403 1500 0833

15 4709 3346 2758 2419 2195 2034 1911 1815 1736 1429 1144 0889 0677

20 3894 2705 2205 1921 1735 1602 1501 1422 1357 1108 0879 0675 0500

24 3434 2354 1907 1656 1493 1374 1286 1216 1160 0942 0743 0567 0417

30 2929 1980 1593 1377 1237 1137 1061 1002 0958 0771 0604 0457 0333

40 2370 1576 1259 1082 0968 0887 0827 0780 0745 0595 0462 0347 0250

60 1737 1131 0895 0765 0682 0623 0583 0552 0520 0411 0316 0234 0167

120 0998 0632 0495 0419 0371 0337 0312 0292 0266 0218 0165 0120 0083

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

Оцінки дисперсій знаходять за формулою:

Syi2 = 1

m−1∗∑

l=1

m

( y¿¿ il− y i)2¿ (8.8)

13

Якщо кожний дослід проводився тричі, то дисперсії дістають за вибірками однакового обсягу Т = 3, а число ступенів вільності для всіх дисперсій однакове і дорівнює f 1=m−1=2.Для перевірки гіпотези про однорідність оцінок дисперсії слід користуватися критерієм Кохрена, заснованим на законі розподілу відношення максимальної дисперсії Symax

2 до суми всіх дисперсій:

Gp=S ymax

2

∑j=1

N

S yi2 {f 1=m−1

f 2=N (8.9)

Якщо обчислене значення критерію G p буде меншим значення G, знайденого за табл.. 8.5 для f 1=m−1 , f 2=N і для вибраного рівня значущості (звичайно А = 0,05), то гіпотеза про однорідність дисперсій визнається.

Це означає, що відмінностей між дисперсіями не повинно бути, а утворена відмінність випадкова. Тоді можна обчислити генеральну дисперсію відтворюваності Sy

2за формулою:

Sy2=

∑j=1

N

S yj2

N=Sвідтв

2 , (8.9)

яка має f 3=N (m−1) ступенів вільності.Якщо перевірка на відтворюваність дала негативний результат, то

залишається визнати невідтворюваність експерименту відносно керованих змінних внаслідок наявності флуктуацій некерованих і неконтрольованих змінних, які утворюють на виході великий рівень шуму. При цьому слід збільшити число паралельних дослідів.

Побудова математичної моделі об’єкта починається з визначення незалежних оцінок коефіцієнтів b iза формулою:

b i=(∑j=1

N

x ij y i)∗N−1 (8.10)

Після визначення оцінок коефіцієнтів рівняння регресії треба перевірити гіпотезу про значущість коефіцієнтів ( перевірка нуль-гіпотези b i=0). Перевірка

14

гіпотези проводиться за допомогою t-критерію Cтьюдента, який у даному випадку формулюється так:

t pi=b i

Sbi

; f =N (m−1 ) , (8.11)

де Sbi – середньоквадратична помилка визначення коефіцієнта b i при ПФЕ :

Sbi=√ S y2

N∗m (8.12)

Якщо знайдена величина параметра tперевищує значення t кр, визначене за табл. 8.6 , t-розподілу для числа ступенів вільності f =N (m−1 ) при заданому рівні значущості, тобто:

sng=(t pi−t кр )=+ (8.13)

то гіпотеза відхиляється і коефіцієнт b i визнається значущим.

Таблиця 8.6 – Розподіл Стьюдента (t−розподіл)

f

Рівні значущості α ,%

f

Рівні значущостіα ,%

5 1 0,1 5 1 0,1

1 12,71 63,66 - 18 2,1 2,88 3,92

2 4,3 9,92 31,6 19 2,09 2,86 3,88

3 3,18 5,84 12,92 20 2,09 2,85 3,85

4 2,78 4,60 8,87 21 2,08 2,83 3,82

5 2,57 4,03 8,61 22 2,07 2,82 3,79

6 2,45 3,71 5,96 23 2,07 2,81 3,77

7 2,37 3,50 5,41 24 2,06 2,80 3,75

8 2,31 3,36 5,04 25 2,06 2,79 3,73

9 2,26 3,26 4,78 26 2,06 2,78 3,71

10 2,23 3,17 4,59 27 2,05 2,77 3,69

15

11 2,20 3,11 4,44 28 2,05 2,76 3,67

12 2,18 3,05 4,32 29 2,05 2,76 3,66

13 2,16 3,01 4,22 30 2,04 2,75 3,65

14 2,14 2,98 4,14 40 2,02 2,70 3,55

15 2,13 2,95 4,07 60 2,00 2,66 3,46

16 2,12 2,92 4,02 120 1,98 2,62 3,37

17 2,11 2,90 3,97 1,96 2,58 3,29

α 0,05 0,01 0,001 - 0,05 0,01 0,001

У протилежному випадку, якщо sng=(t pi−t кр )=-, нуль-гіпотеза визнається і коефіцієнт b i вважають статистично незначущим. Його статистична незначущість зумовлена такими причинами:

1) рівень базового режиму x i 0близький до точки часткового екстремуму за змінною x i (або за добутком змінних);

2) крок варіювання∆ x i вибрано малим;3) дана змінна (добуток змінних) не має функціонального зв’язку з

вихідним параметромy, тобто b i=0;4) велика помилка експерименту через наявність некерованих та

неконтрольованих змінних.Оскільки ортогональне планування дає змогу визначити незалежні оцінки

коефіцієнтів, то, якщо якийсь з коефіцієнтів буде незначущим, він може бути відкинутим без перерахунку інших. Після цього математична модель об’єкта складається у вигляді рівняння зв’язку вихідного параметра y і змінних x i, що включає тільки значущі коефіцієнти.

Для перевірки гіпотези про адекватність результатів експерименту знайденим рівнянням зв’язку треба оцінити відхилення передбаченої рівнянням регресії вихідної величини y ipвід результатів експерименту y i в точках факторного простору. Розкид результатів експерименту відносно лінії регресії тут порівнюється з розкидом точок між собою. Перший характеризується дисперсією адекватності Sад

2 ,оцінку якої знаходять за формулою:

Sад2 = 1

N−d∑j−1

N

¿¿ (8.14)

d — число коефіцієнтів лінійного рівняння. Число ступенів вільності

16

f ад=N−n−1. Другий (розкид у точках) характеризується дисперсією

відтворюваності Sвідтв2 з числом ступенів вільності f відтв=N (m−1).

Якщо Sад2 не перевищує дисперсії відтворюваності, тобто Sад

2 ≤ Sвідтв2 , то

утворена математична модель адекватно є результатом експерименту. Якщо Sад

2 >Sвідтв2 , то треба з’ясувати, випадково чи не випадково відрізняються ці

дісперсії, і якщо не випадково, то роблять висновок про неадекватність рівняння.

Перевірка гіпотези про адекватність проводиться з використанням F−¿

критерію Фішера. Якщо обчислене значення критерію F p¿ Fкр для відповідних ступенів вільності f ад=N−d=N−n−1. таf відтв=N (m−1)при заданому рівні значущості α , то нуль-гіпотеза визнається, тобто рівняння адекватності при sng=( Fp−Fкр )=-. У противному разі гіпотеза відхиляється і опис визнається

неадекватним об’єкту.Перевірка адекватності можлива при f ад>0. Трапляється, що число

варіантів (рядків) варіювання ПФЕ дорівнює числу оцінюваних коефіцієнтів регресії (N=n−1), отже, не залишається ступенів вільності ( f ад=0¿для перевірки нуль-гіпотези про адекватність представлення експериментальних даних вибраною формою апроксимуючого полінома. Якщо деякі коефіцієнти регресії виявилися незначущими або ними можна знехтувати через їхню мализну, чи треба довести рівномірність лінійної апроксимації у заданому інтервалі варіювання, то число членів перевіюваного рівняння тут буде меншим від числа варіантів варіювання (N>l) і один або кілька ступенів вільності ( f ад>0) залишаться для перевірки гіпотези адекватності.

Якщо гіпотезу адекватності відхилено, то переходять до складнішої форми рівняння, або ж, якщо це можливо, проводять експеримент з меншим кроком варіювання ∆ x i.

Слід зазначити, що крок варіювання вибирають з умови адекватного опису в області планування. Якщо при великих кроках варіювання математична модель неадекватна об’єкту, то виникають систематичні помилки у визначенні коефіцієнтів, для зменшення яких слід звузити область ва-ріювання. Проте зі зменшенням кроку варіювання з’являється ряд нових труднощів:

зростає відношення перешкоди до корисного сигналу, що приводить до необхідності збільшення числа дублюючих експериментів для виділення сигналу на фоні шуму;

зменшуються значення коефіцієнтів b i, величини яких безпосередньо залежать від кроку варіювання (для рівняння з нормованими змінними). Коефіцієнти можуть стати статистично незначущими.

Для вибору кроку варіювання проводять попередні експерименти. Крок

17

варіювання можна вибрати 0,03—0,3, тобто область варіювання становить приблизно 6—60 % від усієї області значень фактора.

Якщо крок (інтервал) варіювання не перевищує 10 % від області значень, то говорять про вузький інтервал варіювання. Значення 10—30 % відповідають середньому інтервалу, а якщо інтервал перевищує 30 % області визначення фактора, то його називають широким.

Початкову точку варіювання (базовий рівень) вибирають якомога ближче до центра області факторного простору, в якому відшукується математичний опис.

При варіюванні факторами на двох рівнях можна дістати не тільки лінійну модель об’єкта, але й неповну нелінійну модель, тобто поліном неповного вищого порядку.

Рисунок 8.3 – Вплив z1 при переході z2з верхнього рівня на нижній

Залежно від числа факторів до полінома неповного вищого порядку, крім лінійних членів, входять вирази, які характеризують ефекти взаємодії. Це одна з форм нелінійності, що часто зустрічається. Вона пов’язана з тим, що ефект (вплив) одного фактора залежить від рівня, на якому перебуває інший фактор.

На рис. 8.3 вплив фактора z1 збільшується при переході z2з верхнього рівня на нижній. Про це свідчить збільшення кута нахилу прямої y=φ ( z1)¿z2=const. У цьому випадку говорять, що має місце ефект взаємодії двох

факторів. ПФЕ дає змогу кількісно оцінювати ефекти взаємодії. При трьох факторах може бути три подвійних та один потрійний ефект b12 z1 z2 , b13 z1 z3 ,b23 z2 z3 , b123 z1 z2 z3. Для визначення ефектів взаємодії треба,

користуючись правилом множення стовпців (елемент на елемент та знак результату за правилом множення знаків), дістати стовпець добутку двох факторів. Важливо, що при додаванні стовпців ефектів взаємодії всі розглянуті

18

вище властивості матриць планування зберігаються. Матриця для трьох факторів, наприклад, збільшиться на чотири стовпці (табл. 8.5).

Таблиця 8.7 – Врахування ефектів взаємодії факторів

j z0 z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3 z2 z3 z1 z2 z3 y

1 + - - - + + + - y1

2 + + - - - - + + y2

3 + - + - - + + y3

4 + + + - + - - - y4

5 + - - + + - - + y5

6 + + - + - + - - y6

7 + - + + - - + - y7

8 + + + + + + + + y8

Стовпці z1 z2 z3 тут задають планування – за ними безпосередньо визначаються умови дослідів; стовпці z0,z1 z2, z1 z3і т. д. служать тільки для розрахунків. Ефект взаємодії двох факторів називається ефектом взаємодії першого порядку, трьох – другого. Взагалі, ефект взаємодії максимального порядку ПФЕ має порядок на одиницю менший від числа факторів. Досить часто вживаються терміни: парні ефекти взаємодії (z1 z2, z1 z3...), потрійні ефекти (z1 z2 z3 ...) і т. д. Повне число всіх можливих ефектів, включаючиb0, лінійні ефекти та взаємодію всіх порядків, дорівнює числу дослідів ПФЕ.

Висновки

Повним факторним експериментом (ПФЕ) називається експеримент, що реалізовує всі можливі комбінації рівнів n незалежних керованих чинників, що не повторюються, кожен з яких варіює на двох рівнях. Число цих комбінацій N=2n визначає тип ПФЕ. Якщо розглянути реалізацію повного факторного експерименту для числа комбінацій N=23, то в нашому випадку незалежними керованими чинниками будуть х1 , х2 , х3. Процес знаходження моделі методом ПФЕ складається з етапів:

1) планування експерименту; 2) проведення експерименту на об’єкті дослідження; 3) перевірки відтворюваності;

19

4) отримання математичної моделі об'єкту з перевіркою статистичної значущості оцінок;

5) вибіркових коефіцієнтів регресії; 6) перевірки адекватності математичного опису.

Основні властивості таких експериментів: симетричність, умова нормування, ортогональність матриці та ротатабельність.

Перелік використаних джерел і літератури

1. Аністратенко В.О. Математичне планування експериментів в АПК /Аністратенко В.О., Федоров В.Г.– К.: Вища школа, 1993. – 375 с: іл. ISBN 5-11-002551-1

2. Єремєєв В.С., Рефатова С.Т. Теорія планування експерименту: Мелітополь - 2011

3. Box, GE , Hunter,WG, Hunter, JS, Statistics for Experimenters: Design, Innovation, and Discovery , 2nd Edition, Wiley, 2005, ISBN 0-471-71813-0

20