Dosier módulo III

Módulo III

Diciembre de 2014

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................................. 4

Unidad I. Segmentos y Ángulos ............................................................................................................................................................................ 5

1.1. Puntos, rectas y segmentos ............................................................................................................... 5 1.2. Ángulos .............................................................................................................................................. 7 1.3. Ángulos formados por rectas cortadas por una secante ................................................................... 9 1.4. Ejercicios .......................................................................................................................................... 10

Unidad II. Triángulos .......................................................................................................................... 12

2.1. Elementos del triángulo .................................................................................................................. 12 2.2. Ángulos internos .............................................................................................................................. 13 2.3. Ángulos externos ............................................................................................................................. 15 2.4. Clasificación de triángulos ............................................................................................................... 16 2.5. Desigualdad triangular .................................................................................................................... 18 2.6. Rectas y puntos notables en un triángulo ....................................................................................... 21 2.7. Recta de Euler .................................................................................................................................. 25 2.8. Ejercicios .......................................................................................................................................... 25

Unidad III. Cuadriláteros................................................................................................................................................................................................... 27

3.1. Definición ......................................................................................................................................... 27 3.2. Clasificación de los cuadriláteros .................................................................................................... 29

3.2.1. Trapezoides ................................................................................................................................... 29 3.2.2. Trapecios....................................................................................................................................... 29 3.2.3. Paralelogramos o romboides ........................................................................................................ 30

3.3. Propiedades de los cuadriláteros .................................................................................................... 31 3.4. Ejercicios .......................................................................................................................................... 32

Unidad IV. Área ...................................................................................................................................................................................................................... 34

4.1. Definición ......................................................................................................................................... 34 4.2. Área de un rectángulo ..................................................................................................................... 35 4.3. Área de un paralelogramo ............................................................................................................... 35 4.4. Área de un triangulo ........................................................................................................................ 36 4.5. Teorema de Pitágoras ...................................................................................................................... 38 4.6. Triángulos equivalentes ................................................................................................................... 42 4.7. Área del trapecio ............................................................................................................................. 45 4.8. Área de un polígono regular ............................................................................................................ 45 4.9. Área de un círculo ............................................................................................................................ 47

4.10. Área de sectores circulares .............................................................................................................. 48 4.11. Cálculo de áreas compuestas .......................................................................................................... 48 4.12. Ejercicios .......................................................................................................................................... 49 4.13. Problemas de aplicación .................................................................................................................. 51

Unidad V. Volumen ............................................................................................................................................................................................................ 53

5.1. Definición ......................................................................................................................................... 53 5.2. Poliedros .......................................................................................................................................... 54 5.3. Ejercicios .......................................................................................................................................... 58 5.4. Área superficial ................................................................................................................................ 59 5.5. Volumen .......................................................................................................................................... 61 5.6. Sólidos de revolución....................................................................................................................... 62 5.7. Volumen de un prisma .................................................................................................................... 62 5.8. Volumen de una pirámide ............................................................................................................... 63 5.9. Volumen de un cilindro ................................................................................................................... 63 5.10. Volumen de un cono ....................................................................................................................... 63 5.11. Volumen de una esfera ................................................................................................................... 64 5.12. Ejercicios .......................................................................................................................................... 64

REFERENCIAS DOCUMENTALES ........................................................................................................................ 67

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La Geometría es una de las ramas de la matemática que desarrolla el pensamiento, debido a la creatividad y la suspicacia con que se abordan los diferentes problemas. En este módulo se hace un estudio sobre la Geometría. Las unidades a desarrollar son: Unidad 1 Segmentos y ángulos: Inicia con el concepto de punto, construyendo segmentos y rectas hasta llegar a ángulos, estos se clasifican de acuerdo a sus características y su forma de construcción. Unidad 2 Triángulos: Se estudiara la suma de ángulos interiores y los exteriores, clasificación por sus ángulos y por sus lados. Incluye rectas notables, desigualdad triangular y la recta de Euler. Unidad 3 Cuadriláteros: Se conocerá la clasificación de ellos de acuerdo a la cantidad de lados paralelos que posean, la suma de sus ángulos interiores y sus propiedades. Unidad 4 Áreas: Conociendo las definiciones y propiedades básicas de las diferentes formas geométricas, pasamos a estudiar otra cualidad que es el área, en la veremos distintas técnicas para obtenerla. Unidad 5 Volumen: Dada la definición y clasificación de los distintos cuerpos geométricos basándonos en las figuras planas ya vistas, pasaremos a obtener el área superficial de cada uno de los cuerpos para finalizar obteniendo el volumen de estas.

En todas las unidades se presenta la fundamentación teórica de los contenidos y se ofrecen una buena cantidad de ejercicios para que se profundice en el conocimiento de los temas. Al final se presentan las referencias documentales, las cuales son espacios virtuales en los que se pueden encontrar actividades o lecturas sobre todos los contenidos estudiados para enriquecer el conocimiento geométrico.

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Videos

Historia de la geometría: https://goo.gl/hQSlxz

Geometría en lo cotidiano: https://goo.gl/hQSlxz

Video

Segmentos:

https://goo.gl/RmCtQ7

Segmentos y Ángulos Euclides (-330,-275) fue uno de los principales matemáticos de la antigüedad, para algunos solo superado por el genio de Arquímedes. Su valía era tal que Ptolomeo I Soter, rey de Egipto, lo puso al frente de la escuela (similar a una universidad) que fundó en el Museo de Alejandría (situada junto al delta del Nilo). Esta escuela alcanzo gran prestigio y los sucesores de Ptolomeo la mantuvieron como el mayor centro cultural hasta el siglo VI d.C. Por ella pasaron grandes matemáticos como Eratóstenes, posiblemente Arquímedes, e Hypatia, excepcional matemática del siglo III d.C. Ptolomeo fundó también una mítica biblioteca junto al Museo que pronto se convirtió en la mayor del mundo antiguo. El nombre de Euclides va siempre asociado a su magna obra, “Los elementos”, por la que ha pasado a la posterioridad. En ella Euclides fundamentó todos los conocimientos sobre Geometría y Teoría de Números que se tenía en la época y los expuso en los que podrían considerarse los primeros libros de texto. “Los Elementos” es la Biblia de las matemáticas, de obligada lectura para todo matemático que se aprecie. La primera versión impresa fue hecha en Venecia y data de 1482 habiéndose publicado después más ediciones que de ninguna otra obra matemática. Está compuesta por 13 libros escritos con gran rigor y claridad meridana do9nde se desarrolla la geometría, llamada euclídea, partiendo de cinco axiomas o verdades comunes a todas las ciencias y cinco postulados no tan evidentes pero fáciles de aceptar en nuestros sistemas de referencia habitual. Los primeros seis libros tratan sobre geometría plana, los tres siguiente sobre teoría del número, el libro X sobre irracionales o inconmensurables como se llamaban entonces y los tres últimos sobre geometría de poliedros y otros sólidos. “Los Elementos” las bases de la geometría reino en soledad durante 2000 años y que aún sigue haciéndolo a pesar del nacimientos de nuevas geometrías. A partir de 23 definiciones fundamentales, de cinco axiomas y cinco postulados demostró una serie de proposiciones que dieron origen a la geometría llamada “euclídea”.

1.1. Puntos, rectas y segmentos Ejercicio resuelto: Construya un punto doblando papel. ¿Cómo lo hizo? ¿Puede hacerlo con cualquier tipo de dobleces? Solución:

1. Hacemos un doblez en el papel. 2. Realizamos otro doblez que pase por algún lugar del primer doblez.

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3. Desdoblamos y el punto de intersección de los dos dobleces es un punto. Definición: Un punto es un objeto geométrico que carece de longitud, área o volumen. Definición: Una recta es una sucesión infinita de puntos que posee longitud pero no área ni volumen.

Definición: Un rayo es un segmento de recta con un punto inicial llamado extremo.

Definición: Un segmento es un trozo de recta que tiene un punto inicial y un punto final llamados extremos.

Definición: Dos o más rectas se dicen paralelas si no tiene puntos en común y se denota por .

Ejercicio resuelto:

1. Construya dos rectas perpendiculares en un trozo de papel irregular. 2. Señale un punto en el papel, que no pertenezca a la recta y trace una recta perpendicular a la

primera recta que pase por ese punto. Solución: 1. Tome el trozo de papel y trace un doblez como quiera. Ya tiene determinada una recta. 2. Haga coincidir un punto de ese doblez (x) con otro punto del mismo doblez (y) y vuelva a doblar el

papel. 3. Deshaga los dos dobleces quedando marcadas dos rectas perpendiculares. La recta perpendicular que

se pide se consigue de manera análoga al caso anterior, teniendo en cuenta que debe pasar por el punto que nos den indicado. Pistas para ayudar a los alumnos: Recordar que un ángulo llano es la suma de dos ángulos rectos.

Ejercicio: 1. Construya en el papel dos rectas paralelas y explique cómo lo ha hecho. 2. Señale un punto y a partir de una recta construya otra que sea paralela y pase por el punto marcado.

Explique lo que ha hecho.

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Un poco de historia Las matemáticas en Mesopotamia

tuvieron su apogeo entre 1800 y 600

a.C. y es ahí donde tiene el origen el

sistema sexagesimal (sistema usado

para medir los ángulos). Proviene de

dar ordenadamente un número a

cada falange de los dedos índice hasta

el meñique (que hacen un total de

12), mientras el pulgar se usaba para

ir señalándolas cuando se contaba.

Con la otra mano se llevaba la cuenta

de las decenas contadas. Así se podía

contar hasta 60 números. Este

primitivo método, junto al hecho de

que 60 es una cantidad relativamente

pequeña con un número considerable

de divisores (para superarlo hay que

irse hasta el 144), fueron

posiblemente causa de que pueblo

sumerio adoptara el sistema

sexagesimal.

Definición: Dos rectas se dicen perpendiculares u ortogonales si se cortan formando un ángulo de 90° y se denota por .

Definición: La mediatriz es la recta que corta a un segmento en su punto medio de forma perpendicular. Es decir .

Definición: Una recta secante es aquella que corta a un objeto geométrico. Notación: Las letras mayúsculas se utilizan para denotar los puntos y los extremos de los segmentos.

1.2. Ángulos Definición: Ángulo es una región del plano comprendida entre dos rayos que parten desde un mismo punto llamado vértice.

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Uso de doblado de papel para trazar la

bisectriz

Uso de regla y compás para el trazo de

bisectriz

Notación: Para nombrar ángulos se realiza en sentido anti horario y las letras griegas para nombrarlos.

Tipos de ángulos Ángulos agudos: Son aquellos ángulos cuya medida es menor a 90°.

Ángulos rectos: Es aquel cuya medida es igual a 90°.

Ángulos obtusos: Son aquellos cuya medida es mayor a 90°.

Ángulo llano: Es aquel cuya medida es igual a 180°.

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Video

Doblado de papel para construcciones geométricas: https://goo.gl/A1jjjx

Ejercicio: Construya con una hoja de papel irregular los siguientes ángulos: 90° y 45°. Ejercicio:

1. Construya con una hoja de papel un ángulo de 60°. 2. Explique cómo lo ha realizado y por qué ha seguido estos pasos. 3. Construya ahora un ángulo de 30°. 4. Explica cómo lo ha realizado y qué ha utilizado para realizarlo.

Ejercicio: Dibuje y recorte ángulos de las siguientes medidas (auxíliese de una regla y compás), 45°, 60°, 90°, 30°, 120°, 35°, 75°, 40°, 80°. Definición: La bisectriz es la recta que divide un ángulo en dos ángulos de igual medida. Hacer uso de regla y compás para trazar la bisectriz de un ángulo. Definición: Dos ángulos se dicen opuesto por el vértice si la prolongación de los lados de uno son los lados del otro.

1.3. Ángulos formados por rectas cortadas por una secante

Si tenemos tres rectas y que se cortan dos a dos pero no las tres en el mismo punto como lo muestra la figura.

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Se forman los siguientes ángulos:

Ángulos correspondientes: Son los ángulos del mismo lado de la recta , uno entre las rectas y otro fuera de ellas. y , y , y , y .

Ángulos alternos internos: Son los ángulos entre las rectas pero en lados opuestos de la recta . y , y .

Ángulos alternos externos: Son los ángulos fuera de las rectas y en lados opuesto de la recta . y , y .

Ángulos conjugados internos: Son los ángulos del mismo lado de la recta , y entre las rectas . y , y .

Ángulos conjugados externos: Son los ángulos del mismo lado de la recta , y fuera de las rectas . y , y .

Si ahora y es una secante se cumple que:

Los ángulos correspondientes son iguales: Son los ángulos del mismo lado de la secante, uno entre las paralelas y otro fuera de las paralelas.

Los ángulos alternos internos son iguales: Son los ángulos entre las paralelas pero en lados opuestos de la secante.

Los ángulos alternos externos son iguales: Son los ángulos fuera de las paralelas y en lados opuesto de la secante.

Los ángulos conjugados internos: Suman 180°.

Los ángulos conjugados externos: Suman 180°. Ejercicio: A David la profesora de matemática le ha dejado una tarea. Debe pararse en una de las esquinas del parque Libertad y medir el ángulo de elevación que hay entre él y la punta del asta de la bandera de El Salvador. Para hacerlo, Rebeca le dijo a David que usara un transportador y una plomada. Él debe poner el ojo en la parte inferior y luego ver la punta del asta. ¿Está en lo correcto Rebeca? ¿El método utilizado por David es válido siempre? ¿Por qué?

1.4. Ejercicios

1. Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D son tales que AD = 18, BD = 13 y AC = 12. Hallar BC. 2. P, Q y R son puntos consecutivos de una recta. PQ = 2QR y PR = 31. Encontrar QR. 3. Sean A, B, C, D y E puntos consecutivos, siendo C punto medio de AE, además AB es igual a CD.

Calcular la longitud de BD si AE = 18. 4. Sea A, B, C, D y E puntos consecutivos tales que 2AB = 3BC = 4CD = 5DE y AE + BD = 56. Hallar AB. 5. Se tienen los ángulos consecutivos <AOB, <BOC y <COD; siendo <AOC = 47°, <BOD = 51° y <AOD = 80°,

Encontrar la medida de <BOC. 6. Se tiene los ángulos consecutivos <AOB, <BOC y <COD; siendo 2(<AOB) = 3(<COD); <AOC = 92° y

<BOD = 76°. Calcular la medida de <BOC.

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7. Se tiene los ángulos consecutivos <AOB, <BOC, <COD y <DOE; OB biseca a <AOC; OC biseca a <AOD y OD biseca a <AOE. Si 2(<AOB) + 3(<COD) + 4(<COD) + AOE = 210°. Encuentre la medida del <AOB.

8. Hallar si .

9. En la figura . Demostrar que .

10. Hallar si la recta es paralela a la recta .

11. En la figura <CAB + <BCA = 124°, si y . Encontrar <EOF.

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Video

Triángulos: https://goo.gl/oA1Tlu

Triángulos Definición: El triángulo es una figura geométrica plana formada por tres rectas que se interceptan dos a dos.

2.1. Elementos del triángulo El triángulo posee los siguientes elementos:

El punto donde se interceptan dos rectas se llama vértice, el triángulo posee tres vértices.

El segmento que tiene como extremos dos vértices se llama lado.

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Al ángulo formado por dos lados del triángulo se llama ángulo interno o interior.

Ejercicio: Dibuje un triángulo cuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 6 cm.

2.2. Ángulos internos Notación: Sea ABC un triángulo, el ángulo formado por el vértice A y lados AB y AC se denotará como <BAC tomando los puntos de manera que el primero sea un extremo del lado inicial, luego el vértice y finalmente el extremo del lado final (respetando siempre que la forma en la que se nombra el ángulo es en sentido anti horario). Luego el ángulo con vértice en B es <CBA y finalmente el ángulo con vértice en C es <BCA. Utilizaremos las letras minúsculas para denotar los lados del triángulo. Suma de ángulos en un triángulo Ejercicio: Elija las piezas que representan ángulos e intenta formar un triángulo con ellas. Complete una tabla con las medidas de estos ángulos y con una observación respecto a si fue posible o no construir un triángulo con esos ángulos.

Medidas de los ángulos Es posible construir triángulos

¿Pudo construir un triángulo ubicando adecuadamente dos ángulos rectos? ¿O con dos ángulos obtusos? ¿O con dos agudos? ¿Por qué?

¿Logró construir un triángulo con dos ángulos no rectos (obtusos o agudos)? ¿En qué casos es posible? ¿Por qué?

Analice los datos de la tabla para determinar por qué en algunos casos no se puede construir un triángulo y caracterizan las medidas de los ángulos de manera que sea posible formar un triángulo.

Busque relacionar las medidas de los tres ángulos y la suma de ellos en cada caso.

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Ejercicio: Si en un triángulo conozco la medida de dos ángulos, ¿puedo conocer la medida del tercero? ¿Cómo lo hago? ¿Cómo lo resolvió? ¿Puede usarse siempre esa manera para todos los triángulos? ¿Encuentra los ángulos de manera exacta? La experiencia o la lógica (intuición) nos ha llevado a resolver problemas de diferentes maneras sin importar las herramientas utilizadas, sino solo importando el resultado obtenido que nos permita sentirnos seguros de haberlo resuelto, no tomando en cuenta lo verdadero de nuestra respuesta. Veremos cuáles de estas maneras de resolverlo son correctas y precisas. Doblado de papel Si doblamos el papel de tal manera que las tres puntas del triángulo coincidan, como lo muestra la figura:

Midiendo con el transportador El medir los ángulos con un transportador también nos permitirá calcular la suma de ángulos, pero no es precisa cuando queremos saber la medida de un ángulo, debido a que la medida del ángulo está sujeta al dibujo del triángulo, aunque es una buena aproximación.

La manera matemática formal de realizarlo se muestra en la demostración del siguiente teorema. Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Sea ABC un triángulo cualquiera, trazamos una paralela a un lado por el vértice opuesto (A), como lo muestra la figura:

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Aprendemos Jugando

La siguiente dirección posee distintos tipos de juegos para aprender sobre geometría de distintos niveles: http://goo.gl/VCX91

Por ángulos entre paralelas, sabemos que por ángulos alternos internos PAB = CBA y que CAQ = ACB.

Note que la suma de los ángulos PAB + BAC + CAQ = 180. El medir los ángulos con un transportador también nos permitirá calcular la suma de ángulos, pero no es precisa cuando queremos saber la medida de un ángulo, debido a que la medida del ángulo está sujeta al dibujo del triángulo

2.3. Ángulos externos Definición: Sea ABC un triángulo, si prolongamos un lado y tomamos un punto D en su prolongación, el ángulo formado por la prolongación y el lado es llamado ángulo externo:

Teorema: El ángulo externo de un triángulo es la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él. Demostración: Sea el triángulo y prolongamos , tomamos un punto sobre su prolongación. Llamemos al ángulo y ángulo internos del triángulo.

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Varillas de mecano

Se puede fabricar con láminas de cartón duro o plástico. Se cortan tiras de 1 cm de ancho y varias longitudes que se agujerean en los extremos. Las tiras se unen unas a otras para formar figuras.

Sabemos que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, es decir . Si despejamos tenemos que . Luego el ángulo es suplementario con el ángulo , entonces:

Como queríamos probar:

2.4. Clasificación de triángulos Ejercicio: Utilice varillas de mecano de diferente longitud para formar triángulos y deduzca a partir de ellas la clasificación de triángulos. ¿Cuántas clases distintas de triángulos podemos construir con tres varillas unidas por los vértices? a) Por sus ángulos Triángulo acutángulo: Es el triángulo que tiene todos sus lados agudos.

Triángulo rectángulo: Es el triángulo que tiene un ángulo de 90°.

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Ejercicio: Tome un triángulo rectángulo y aumente uno de sus lados en una unidad para formar un nuevo triángulo. Primero haz variar sucesivamente la longitud de cualquiera de los catetos manteniendo el ángulo recto. ¿Qué ocurre con la longitud del otro cateto? Luego varían sólo la longitud de la hipotenusa manteniendo fijo el ángulo recto. ¿Se mantiene la longitud de ambos catetos? Ejercicio: Construya un triángulo rectángulo con papel. Triángulo obtusángulo: Es el triángulo que tiene un ángulo obtuso:

b) Por sus lados Triángulo equilátero: Es el triángulo que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Haciendo uso de la suma de ángulos internos en un triángulo, dado que todos son iguales, entonces

Ejercicio: Tome un triángulo equilátero y aumente uno de sus lados en una unidad para formar un nuevo triángulo: ¿Sigue siendo un triángulo equilátero? ¿Qué modificaciones sufrieron sus ángulos? Repita la actividad aumentando en dos y tres unidades uno de los lados de un triángulo equilátero. Ejercicio: Construya un triángulo equilátero con papel. Triángulo isósceles: Es el triángulo que tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales. A lados iguales se oponen ángulos iguales y a ángulos iguales se oponen lados iguales. Ejercicio: Analiza qué ocurre al aumentar sucesivamente un lado cualquiera de un triángulo isósceles, el lado desigual y, finalmente, ambos lados congruentes. Ordena tus observaciones y extrae conclusiones que relacionen los lados y los ángulos.

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Ejercicio: Construya un triángulo isósceles con papel, un triángulo rectángulo isósceles. Triángulo escaleno: Es el triángulo que tiene todos sus lados desiguales.

2.5. Desigualdad triangular Ejercicio: Arme con pajillas tres segmentos de cualquier tamaño e intentan formar un triángulo pegando las pajillas con plastilina (puede utilizar las varillas de un mecano para realizarlo). Completa una tabla con las longitudes de los segmentos considerados y con una observación respecto de si es posible o no construir un triángulo con ellos.

Medidas de los segmentos Es posible construir triángulos

Analiza los datos de la tabla para determinar por qué en algunos casos no se puede construir un triángulo y en qué casos es posible construir un triángulo con tres segmentos. Busca una relación entre las longitudes de los tres trazos.

Concluye sobre las condiciones que deben cumplir tres segmentos para formar un triángulo.

Justifica. Ejercicio: Corte pajillas de modo que tengan las siguientes medidas: 4 cm (2 pajillas), 7 cm (2 pajillas), 10 cm (3 pajillas) y 15 cm (2 pajillas).

Forme los siguientes triángulos, uniendo las pajillas con plastilina:

Que tenga lados de 7 cm, 10 cm y 15 cm.

Que tenga lados de 4 cm, 7 cm y 10 cm.

Que tenga lados de 4 cm, 10 cm y 15 cm. ¿Pudiste armar todos los triángulos? _____ ¿Por qué? __________________________________________ Suma los lados menores en cada triángulo y compara con el lado mayor.

¿Qué puedes concluir de ese cálculo hecho? ____________________________________________

Crea una fórmula que verifique tu conclusión. _____________________________________-_____ Pinta los triángulos que, de acuerdo a la medida que se indican, existen.

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Para que pueda formarse un triángulo debe cumplirse la siguiente desigualdad triangular:

Donde son los lados del triángulo. Demostración de la desigualdad triangular Distinguiremos tres casos: Caso 1: Tomamos dos puntos y como extremos de un segmento, dibujamos dos circunferencias, una con centro en y la otra con centro en de forma que las circunferencias sean secantes llamaremos a uno de los puntos de corte, de la siguiente manera:

Sea el radio de la circunferencia con centro en y el radio de la circunferencia con centro en . Note que y son los radios y respectivamente de las circunferencias.

A B

C

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Si ahora se trazan los radios y pero esta vez sobre el segmento .

Note que al superponer en resulta que , de igual forma tenemos que

Es fácil ver que los radios sobre el segmento se traslapan, es decir , dado que y , entonces . Caso 2: Veamos ahora el caso en que las circunferencias son tangentes en un punto C. Sea r el radio de la circunferencia con centro en A y sea R el radio de la circunferencia con centro en B, dado que las circunferencias son tangentes, entonces el punto C pertenece a ambas circunferencias. Es decir, que AC = r y BC = R.

B A

C

r R

B A

C

r R

B A

C

r

B A

C

R

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Dado que AB = AC + BC = r + R. Note que para construir un triángulo necesita tres puntos, si tomamos A, B y C como los vértices del triángulo, tenemos que no se forma triángulo si la suma de dos lados es igual al tercero. Caso 3: Tomamos nuevamente el segmento AB y esta vez escogemos las circunferencias con centro en A y en B y radio r y R respectivamente de tal manera que no se corten. Ahora trazamos los radios de las circunferencias con centro en A y en B.

Note que al hacer la suma de los radio r y R es menor que el segmento AB. Es decir, r + R< AB. Como no tenemos un punto en cual se corten, entonces no se puede formar un triángulo con estas condiciones. Por lo tanto, la única forma en que se puede formar un triángulo es el primer caso, además es el único en el cual se cumple la desigualdad triangular.

2.6. Rectas y puntos notables en un triángulo a) Rectas notables Bisectriz: Es la recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Es decir,

B A

C

B A

B A

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Mediatriz: Es la recta que corta a un segmento en su punto medio de forma perpendicular, . Mediana: Es la recta que parte de un vértice y corta al lado opuesto en el punto medio, . Altura: Es la recta que parte de un vértice y cae al lado opuesto de forma perpendicular, Ejercicio: Trabajando en grupo y con un set de triángulos diferentes, tracen con escuadra las alturas y mediatrices, con compás las bisectrices y con regla las medianas de cada uno de ellos, remarcándolas con un mismo color según el tipo.

Comparen la ubicación de ellas en los diferentes tipos de triángulo, la diferencia de procedimientos en un caso y otro y discutan las dificultades para dibujarlas. Hagan una clasificación de estos triángulos de acuerdo a algún criterio relacionado con la ubicación de las alturas. Establezcan conclusiones.

Determinen y caractericen el punto de intersección de las alturas en cada triángulo. Asocien la ubicación de dicho punto y el tipo de triángulo de que se trata.

Ejercicios: 1. ABDE es un cuadrado. BCD es un triángulo equilátero. Sin medir, ¿podría encontrar el valor del ángulo

CAB y explicar por qué llega a ese resultado?

2. ABC y DEF son triángulos rectángulos en B y en E, respectivamente; ángulo BEF = 30°. Sin medir los ángulos, encuentre el valor del ángulo a y explique por qué llega a ese resultado.

3. ABC es un triángulo equilátero y BPD es un triángulo rectángulo-isósceles. Sin medir los ángulos, encuentre el valor del ángulo CBD y explique cómo llega a ese resultado.

A B

C

D

E

F

α P

A B

C

D E

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4. ¿Qué tipo de triángulo es el que forman las diagonales de las caras del cubo que se muestra? Justifique su respuesta.

b) Puntos notables Ejercicio: 1. Construya un triángulo acutángulo. 2. Trace las mediatrices a cada uno de los lados del triángulo. 3. ¿Qué pasa con las mediatrices? ¿Dónde se cortan con respecto al triángulo? 4. Realice los pasos del 1 al 3 para un triángulo rectángulo y un obtusángulo. ¿Por qué queda siempre el

punto dentro del triángulo? Ejercicio: 1. Construya un triángulo acutángulo. 2. Halle el punto donde se cortan. 3. Explique cómo lo ha realizado y por qué ha seguido esos pasos. 4. Realice los pasos del 1 al 3 para un triángulo rectángulo y un obtusángulo. ¿Por qué queda siempre el

punto dentro del triángulo? Ejercicio: 1. Construya un triángulo acutángulo. 2. Encuentre las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo. 3. Encuentre el punto de corte. Definiciones Incentro: Es el punto donde coinciden las tres bisectrices de un triángulo y se denota por .

A P C D

B

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Circuncentro: Es el punto donde coinciden las tres mediatrices de un triángulo. Se denota por .

Baricentro: Es el punto donde coinciden las tres medianas de un triángulo. Se denota por .

Ortocentro: Es el punto donde coinciden las tres alturas de un triángulo. Se denota por .

Al baricentro también se le llama Geocentro, Centroide, Centro de Gravedad o más formalmente Equibaricentro. Ejercicio: Papiroflexia Construya el ave del paraíso con papiroflexia. Obtenga las indicaciones entrando en http://papiromania.blogspot.com/2009/12/ave-del-paraiso.html.

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Propiedades de los puntos notables:

El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.

Las alturas trazadas desde el incentro hacia los lados del triángulo tiene igual longitud.

El baricentro corta a las medianas en proporción dos a uno, siendo el segmento del vértice al baricentro el doble del segmento del baricentro hasta el pie de la mediana sobre el lado.

Ejercicio: Trace la altura, la mediana, la bisectriz y la mediatriz de un triángulo equilátero. ¿Qué sucedió? Realice el mismo ejercicio con el triángulo isósceles para el vértice con el ángulo desigual. ¿Cuál fue el resultado? ¿Sucede lo mismo para los vértices con los ángulos iguales? ¿Por qué?

2.7. Recta de Euler El centroide, el ortocentro y el circuncentro están sobre una misma recta que se llama la recta de Euler y se cumple que .

2.8. Ejercicios 1. Observe con atención estas series de dibujos y añada 2 más a cada figura.

a)

b)

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c)

2. En un triángulo ABC, BE es bisectriz interior. Hallar la medida de <ACB si AB = BE = EC. 3. En la siguiente figura si AB = BC y el triángulo QSC es equilátero, si a = 15, calcular el valor de b.

4. En un triángulo ABC, AB = 12 y BC = 18, por B se traza una paralela a AC, cortando a las bisectrices de los ángulos externos A y C en los puntos P y Q, respectivamente. Calcular PQ.

5. En un triángulo ABC <CBA = 90° y <ACB = 22°. Hallar la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo <CBA y la mediatriz de AB.

6. Sea ABC un triángulo rectángulo e isósceles, con . Sean M el punto medio de AB y N el punto medio de AC. Sea P tal que MNP es un triángulo equilátero con P en el interior del cuadrilátero MBCN. Calcular la medida del ángulo .

7. En el triángulo ABC , se verifica que y . Llamamos M al punto

medio de BC . La perpendicular por C al lado AC corta a la recta AB en el punto D. Demostrar que .

8. Se dan seis puntos de manera que no haya tres sobre una misma recta y que las longitudes de los segmentos determinados por estos puntos sean todas distintas. Consideramos todos los triángulos que tienen sus vértices en estos puntos. Demostrar que hay un segmento que es a la vez el lado más corto de uno de esos triángulos y el lado más largo de otro.

9. Sea ABC un triángulo rectángulo, encuentre el ortocentro del triángulo. 10. Dibuje las rectas notables de un triángulo equilátero. 11. Dibuje las rectas notables para el ángulo desigual de un triángulo isósceles. 12. Dibuje las rectas notables para uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles. 13. En un triángulo ABC, se traza la altura AH y la altura BE, si <BAH = 20° y <EBA = 30°, sea P el punto de

intersección de EB y AH, llamamos F al punto de corte en AB de la prolongación de CO. Calcule el valor de <ACF y <FCB.

27

Cuadriláteros

3.1. Definición Definición: Un cuadrilátero es una figura geometría formada por cuatro rectas que se cortan dos a dos.

Definición: Una diagonal es el segmento que une dos vértices no consecutivos.

Ejercicio: Trabaje en geoplanos o malla de puntos. a. Represente utilizando elásticos de colores al menos 10 cuadriláteros. b. Observe los cuadriláteros formados y realice una primera clasificación.

Escriba el o los criterios utilizados. c. Realice una segunda clasificación agregando sucesivamente otros

criterios como, por ejemplo, los ángulos. d. Escriba una síntesis y acuerde criterios de clasificación comunes.

Ejercicio: Construya un cuadrado con la varillas de mecano, ¿que figura es? Gírela, ¿qué figura se forma? Modifique las varillas y vea cómo cambia el cuadrilátero formado. Los cuadriláteros pueden ser según sus diagonales de la siguiente forma:

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Cuadrilátero convexo: Es aquel con sus diagonales en el interior del cuadrilátero.

Cuadrilátero entrante: Es aquel que tiene una diagonal en el interior y otra en el exterior.

Cuadrilátero cruzado: Es aquel que tiene sus diagonales en el exterior.

Es muy frecuente que cuando se dice cuadrilátero se asuma que es un convexo. Esto sucede debido que hay muchos resultados que no se cumplen para todos los tipos de cuadriláteros y es por eso que de aquí en adelante cuando digamos cuadrilátero, nos referiremos a un cuadrilátero convexo. Teorema: La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero suma 360°. Demostración: Sea un cuadrilátero trazamos una de sus diagonales, note que se forman dos triángulos, el y el ACD como lo muestra la figura: Sabemos que las sumas de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°, es decir:

Sumando ambas expresiones tenemos:

Dado que y que , entonces:

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Demuestre que en un cuadrilátero cruzado esto no se cumple.

3.2. Clasificación de los cuadriláteros Para la clasificación de los cuadriláteros haremos uso de la cantidad de pares de lados paralelos.

3.2.1. Trapezoides Son los cuadriláteros que no tiene ningún par de lados paralelos. Los trapezoides pueden ser simétricos o asimétricos.

a) Trapezoide asimétrico Es el trapezoide que no tiene lados iguales.

b) Trapezoide simétrico Es el trapezoide que tiene dos pares de lados consecutivos iguales, además las diagonales son mediatriz una de la otra.

3.2.2. Trapecios Son los cuadriláteros con un par de lados paralelos. A los lados paralelos se les llama base mayor y base menor. Los trapecios pueden ser: isósceles, rectángulo y escaleno.

a) Trapecio isósceles Es el trapecio que sus dos lados no paralelos son iguales.

30

b) Trapecio rectángulo Es el trapecio en que uno de los lados no paralelos corta a los lados paralelos perpendicularmente.

c) Trapecio escaleno Es el trapecio que tiene sus dos lados no paralelos desiguales.

3.2.3. Paralelogramos o romboides

Es el cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. Los paralelogramos se dividen en: rectángulos y rombos.

a) Rectángulo o cuadrilátero equiángulo Es el paralelogramo que tiene todos sus ángulos internos iguales.

B

A

C

D

31

Dado que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero suma 360° y como tiene todos sus lados iguales, entonces cada uno mide 90°.

b) Rombo o cuadrilátero equilátero

Es el paralelogramo que tiene todos sus lados iguales.

3.3. Propiedades de los cuadriláteros

El paralelogramo que cumple con ser rectángulo y rombo al mismo tiempo se llama cuadrado.

En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y los ángulos consecutivos son

suplementarios.

Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.

Las diagonales de un rectángulo son iguales, además el punto de intersección de estas equidista de los cuatro vértices del rectángulo.

Las diagonales de un rombo cumplen con ser mediatriz una de la otra, el punto de intersección de estas equidista de los cuatro lados del rombo.

Las diagonales de un rombo bisecan a los ángulos interiores.

Ejercicio: Dibuje cuadriláteros a partir de instrucciones.

a) A medida que se escuchen las instrucciones dibuje el cuadrilátero y ajuste el dibujo según se avanza en la descripción.

b) Verifique si su dibujo corresponde al cuadrilátero descrito. c) Comente y discuta acerca de los diferentes tipos de cuadriláteros que van apareciendo. ¿Qué

características sugeridas en la descripción permiten reconocer este cuadrilátero? ¿Cómo son sus lados? ¿Cómo son sus ángulos?

d) Escriba una síntesis final.

A

B

C

D

32

3.4. Ejercicios

1. ¿Cuántos cuadrados (incluyendo los superpuestos) hay en cada figura? ¿Cuántos rectángulos (incluyendo los superpuestos) hay en cada figura?

Cuadrados __________

Rectángulos __________

Cuadrados __________

Rectángulos __________

Cuadrados __________

Rectángulos __________

2. Con ocho palillos forme la siguiente figura.

Mueva dos palillos y aparecen 4 cuadrados y un triángulo. 3. Fíjese en la sucesión de cuadrados de los siguientes dibujos:

El primer dibujo está formado por cuatro palillos. El segundo dibujo está formado por _______ palillos. El tercer dibujo está formado por _______ palillos. El cuarto dibujo está formado por _______ palillos. ¿Cuántos palillos tendrán un dibujo formado por 2015 cuadrados ordenados en una línea recta?

33

4. Sea ABCD un rectángulo, y AO = OC = OE, hallar el valor de x.

5. La figura ABCD es un rectángulo <OBC = 34°. BP biseca al <HBO y CP biseca al <OCD. Hallar la medida del ángulo BPC.

6. En un cuadrilátero ABCD, <A-<C = 22°. Hallar la medida del menor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos <B y <D.

7. En un rombo ABCD , M es punto medio de BC. La diagonal BD, corta a AM en el punto R. Si RM = 10 y el <BRM = 53°, hallar BD.

8. En un paralelogramo ABCD, BD = 18; M es punto medio de BC y N biseca CD. AM y AN, cortan a BD en los puntos R y S, respectivamente. Hallar RS.

9. Hallar la longitud AD de un trapecio ABCD, si BC = 3, <A = 53°, AB = 5 y <D = 45°. 10. ¿Cuál es el menor número de palillos que se pueden retirar para que queden solo tres

cuadriláteros? ¿Y para que queden solo tres cuadrados?

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Área 4.1. Definición

Definición: El perímetro es la longitud del contorno de una figura geométrica.

Definición: El área es la medida de la región o superficie encerrada por una figura geométrica.

Denotaremos el área de una figura geometría con paréntesis, por ejemplo el área de un triángulo se denota por , el área de un rectángulo se denota por .

Ejercicios:

1. Observa las representaciones de regiones poligonales en las que se indican las medidas de sus lados. Calcula sus perímetros. Comenta tus procedimientos.

2. Representa al menos 6 cuadrados de diferentes tamaños.

Determina el perímetro de cada uno y comenta tus procedimientos.

Concluye un procedimiento que permita encontrar el perímetro de un cuadrado conociendo la medida de uno de sus lados.

3. Calcule el área de las siguientes figuras. ¿Cómo lo hizo?

Área: ___ cuadrados unitarios Área: ___ cuadrados unitarios Área: ___ cuadrados unitarios

Ejercicio: Para el ejercicio anterior calcular el área en base a cuantos triángulos posee cada una de las figuras.

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Note que la cantidad cambia, ¿a qué se debe esto? El valor de área depende de medida que utilicemos para calcularla, debido a la necesidad que existía de estandarizar las medidas se crearon los diferentes sistemas de medición y sus respectivas unidades, para uniformizar la manera en que calculamos y medimos las diferentes figuras.

4.2. Área de un rectángulo Ejercicio: Dada la representación en cuadrículas de regiones rectangulares y cuadradas de distintos tamaños, determine sus áreas.

Elabore una tabla para registrar la medida de los lados y el área de las diferentes figuras.

Analice la tabla y busque relaciones entre las medidas de los lados y el área de cada figura.

Redacte una conclusión sobre cómo se puede determinar el área de una región cuadrada o rectangular sin dibujarla y sin cuadricularla.

Explique su conclusión con un ejemplo. A un lado del rectángulo se le llama base y al otro altura. El área de un rectángulo se calcula como el producto de la base por la altura:

Ejercicio: Utilice tangram para formar cuadrados y rectángulos.

Determine diferentes maneras de medir el área de las figuras formadas. Utilice el área del triángulo pequeño como unidad.

Registre sus resultados en una tabla.

Comparta sus procedimientos y resultados destacando, en particular, las relaciones entre rectángulos y cuadrados con los triángulos.

4.3. Área de un paralelogramo

El área de un paralelogramo se calcula como base por altura:

Altura (h)

Base (b)

A

B C

D

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Demostración:

Sea ABCD un paralelogramo, trazamos una altura desde el vértice D hacia el lado AB. Explicar por qué la altura es igual sin importar el punto que se escoja.

Llamemos al pie de la perpendicular. Si cortamos el triángulo por la altura y lo pegamos del otro lado del paralelogramo de manera que y coincidan, note que y también coinciden como lo muestra la figura.

Vemos que se convierte en un rectángulo de lado y altura por lo tanto el área la encontramos como base por altura.

4.4. Área de un triangulo

Ejercicio: Determine el área de triángulos rectángulos. Comente su procedimiento para calcularla.

Forme cuadrados o rectángulos a partir de cada triángulo. Compare el área de cada triángulo con el área del rectángulo o cuadrado que se formó a partir de él. Explique la relación que existe entre ambas áreas.

Ejercicio: Compruebe con papel que el área de un triángulo es

, donde b es la base del triángulo y h la

altura.

A

37

Para calcular el área de un triángulo hacemos uso de una de sus alturas y tomamos como base el lado que tiene el pie de la altura, para el siguiente triangulo tendríamos que la altura seria y la base seria .

El área de un triángulo la calculamos como base por altura entre dos. Demostración: Sea ABCD un paralelogramo, trazamos una diagonal. Se forman dos triángulos iguales como lo muestra la figura:

Dado que el área del paralelogramo es base por altura, entonces al sumar el área de los dos triángulos tenemos que sería el área del paralelogramo. Note que el triángulo tiene igual altura que el triángulo , esto se debe a que la distancia entre dos rectas paralelas es siempre la misma. Además, la base BC del triángulo es igual a la base del triángulo por propiedades de los paralelogramos (los lados opuestos son paralelos e iguales).

(ABCD) = (ABC) + (BDA) (ABCD) = 2(ABC) (ABC) = (ABCD) / 2 (ABCD) = bh / 2

Observación: Dos figuras pueden tener la misma área y eso no implica que deban ser iguales. Por ejemplo, un paralelogramo y un rectángulo tienen la misma base y la misma altura y tendrán la misma área, pero sus formas geométricas son distintas.

38

4.5. Teorema de Pitágoras El teorema más famoso del mundo. Nos referimos, como no, al magnifico y conocido teorema para los triángulos rectángulos llamado Teorema de Pitágoras. Es sin duda el teorema matemático más popular. Su fama era tal que en la edad media se le conocía como el “pons asinorum” que quiere decir “el puente de los asnos”, el cual había que cruzar (saber el teorema) para ser considerado una persona culta. Inicialmente el “pons asinorum” fue el teorema que dice que la suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la hipotenusa, pues se decía que hasta un asno lo sabía ya que si colocabas una zanahoria en un vértice de un triángulo y al asno en otro, seguro que seguía el camino recorriendo el lado que lo unía con la zanahoria y no el camino marcado por otros dos lados. El teorema de Pitágoras ha gozado de tal popularidad a lo largo de la historia que dé él se conoce ya cerca de 400 demostraciones distintas. Aunque los historiadores asignan la demostración a los pitagóricos, realmente no hay pruebas de que fuera el mismo Pitágoras quien lo demostrara. La primera demostración que se conoce fue dada por Euclides y será la forma en que lo demostraremos. El teorema de Pitágoras se aplica solo a los triángulos rectángulos, por ello nos tomaremos unas breves líneas a profundizar en los triángulos rectángulos. En el caso de estos triángulos, sabemos que tienen un ángulo recto, al lado que se pone al ángulo recto se le llama hipotenusa mientras que los lados que forman el ángulo de 90 se llaman catetos.

Enunciado del teorema de Pitágoras Sea ABC un triángulo rectángulo, sean a y b las longitudes de los catetos y c la longitud de la hipotenusa, entonces se cumple que .

A

B

C

39

Demostración: Lo demostraremos como una aplicación de áreas. Tomamos dos cuadrados uno de área y otro de área los colocamos como en la figura:

Como el cuadrado de área tiene todos sus lados iguales y sabemos que el área es base por altura, entonces el lado mide . De igual manera, el cuadrado de área su lado mide . Entonces se puede formar un triángulo rectángulo con lados y (¿Por qué el triángulo es rectángulo?):

Formamos dos triángulos de catetos y y con hipotenusa c:

Los cortamos por la hipotenusa y los pegamos por los catetos en el otro externo del triángulo:

40

Se forma un cuadrado con lado c el cual tiene área :

Esta demostración hecha con cuadrado se puede extender a hacer en general con cualquier polígono regular. Por ejemplo, se pueden tomar pentágonos:

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Con octógonos regulares Incluso con semicircunferencias

Demostración del teorema de Pitágoras con Tangram Esta manera es ideal para ver que las áreas coinciden y se puede realizar como un rompecabezas de distintas piezas. A continuación mostramos algunos tangram:

Liu Hui Ibn Qurra Bhaskara Perigal

42

Demostración del teorema de Pitágoras con agua:

Recíproco del teorema de Pitágoras Sea ABC un triángulo en el que se cumple que c2 = a2 + b2, entonces el triángulo es rectángulo. Note que el valor que resulta ser la suma de los cuadrados de los otros dos lados es siempre la hipotenusa. Ejercicio: Organizados en grupo responder:

¿Cuántas baldosas de 30 cm por 30 cm se necesitan para cubrir el piso de la sala si mide 6 por 12 metros?

¿Cuántos azulejos de 20 cm por 20 cm se necesitan para cubrir una parte de una cocina que mide 2 por 2 m? Comenten las estrategias utilizadas.

Ejercicio: Encuentre el área de las siguientes regiones, sabiendo que cada cuadradito es de 1 cm2. Comente sus procedimientos.

4.6. Triángulos equivalentes Ejercicio: Organícense en grupo. Utilizando un geoplano o una red de puntos, estudien familias de triángulos. Analicen la relación entre las áreas de los triángulos construidos y también entre los perímetros, a partir de sus construcciones en el geoplano o de dibujos en redes de puntos como los siguientes:

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¿Cómo se podría comparar el área del primer triángulo y la del que en el geoplano (o dibujo) tiene lados más largos? Elijan los dos triángulos que les parecen menos parecidos y calculen tanto sus áreas como sus perímetros. Elijan otro y repitan sus cálculos. Imaginen un triángulo cuyo vértice superior esté mucho más alejado (incluso más allá del geoplano o del dibujo). Discutan sobre cuál sería su área y cómo sería su perímetro, comparado con los que están a la vista (en el geoplano o en el dibujo). ¿Se puede afirmar que dos triángulos cualesquiera que tienen igual altura e igual base tienen igual área pero no igual perímetro? Expliquen. Definición: Los triangulo equivalentes son aquellos que tiene la misma área. Es decir, que cumplen con tener la misma base y la misma altura, pero no necesariamente son iguales. Ejercicio: Se tiene un triángulo de base y altura ¿Cuál es su área? ¿Qué sucede si duplicamos la base? ¿Cómo cambia el área? ¿Y si triplicamos la altura, como cambia el área? ¿Qué puede concluir? Ejercicio: En grupo construya en el geoplano, o dibujen en una red de puntos, triángulos que cumplan las siguientes condiciones:

Triángulos en los que la base mida 1 unidad y la altura correspondiente, 8 unidades.

Triángulos en los que la base mida 8 unidades y la altura correspondiente, 1 unidad.

Triángulos en los que una base sea de 2 unidades y la altura correspondiente, de 4 unidades.

Triángulos en los que una base mida 4 unidades y la altura correspondiente, 2 unidades.

Construyan una tabla como la siguiente para organizar los datos y los resultados obtenidos al calcular el área de los triángulos pertenecientes a cada una de las familias.

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Base Altura Área Dibujo de los triángulos Conclusiones

1 u* 8 u 4 u2

Todos estos triángulos

tienen igual área

2 u 4 u 4 u2

8 u 1 u

4 u 2 u

¿Cuántos triángulos se pueden formar en cada caso? ¿Existen más triángulos que cumplan esa condición de base y altura y que no haya podido construir en el geoplano en cada caso? ¿Cuántos? Explique:

¿Qué relación existe entre las áreas de estos triángulos?

¿Qué elementos tienen en común estos triángulos? Preguntas para el estudio general:

¿Qué tienen en común estas diferentes familias de triángulos?

Determinen otra familia de triángulos que cumpla con la condición común.

¿Podría ser, por ejemplo, una cuya base mida 12 unidades y la altura mida 2 de unidad? Ejercicio: Investigue las familias de triángulos cuya área sea igual, apoyándose del geoplano u otro material que permita una representación.

Si el área de un triángulo es igual a, por ejemplo, 36 , ¿se puede afirmar que todos los triángulos cuyo producto entre la longitud de la base y la longitud de la altura es igual a 72 pertenecen a la misma familia de triángulos (o sea, que tienen, en este caso, área igual a 36 cm2)?

Escriba una fórmula general para el caso de triángulos cuya área sea igual a "n cm2”.

Caracterice cada familia de triángulos encontrada, en relación a la base y altura. Busque formas de presentar en forma clara los hallazgos. Redacte conclusiones.

Cada grupo presente al curso una familia de triángulos y sus conclusiones.

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4.7. Área del trapecio El área del trapecio se calcula como la semi suma del producto de las bases por la altura. Demostración: Sea ABCD un trapecio, trace la altura h y una diagonal y se forman los triángulos ABC y CDA.

Note que ambos triángulos tiene la misma altura, esto es más evidente si el trapecio se rota 180°.

Entonces las áreas serán (ABC) = ABh / 2 y (CDA) = CDh / 2. Dado que la suma de las áreas de los triángulos es el área del trapecio:

(ABCD) = (ABC) + (CDA) (ABCD) = ABh / 2 + CDh / 2 sumando fracciones tenemos (ABCD) = (ABh + CDh) / 2 sacando factor común (ABCD) = (AB + CD) h / 2

Y esto es lo que queríamos demostrar.

4.8. Área de un polígono regular

Definición: Un polígono es una figura geométrica formada por más de 2 lados.

Quiere decir que el triángulo y el cuadrilátero son casos particulares de los polígonos.

Definición: Un polígono regular es un polígono en el que todos sus lados son iguales.

Dado que el polígono regular tiene todos sus lados iguales, se puede deducir que todos sus ángulos también son iguales.

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¿Cómo calcularía el área de un polígono?

Ejercicio: Calcule el área de un pentágono regular de lado 3.

Para calcular el área de un polígono podemos hacer uso de las diagonales y las alturas. Encontraremos el área de algunos polígonos y luego generalizaremos la manera de realizarlo.

Área de un pentágono regular:

Sea ABCDE un polígono regular, trazamos todas las alturas del pentágono (parte del vértice y llega al lado opuesto perpendicularmente), lo cual me genera la siguiente figura:

Note que todas las alturas coinciden en un mismo punto, el cual es el centro del polígono denotado por O (esto siempre se cumple para cualquier polígono regular). Quiere decir que la distancia desde ese punto hacia los vértices es igual, de la misma manera la distancia del centro a los lados del polígono también es igual para cada lado. Se forman cinco triángulos los cuales tiene la misma base y la misma altura por lo tanto tienen la misma área.

Quiere decir que:

(ABCDE)= (ABO)+ (BCO)+ (CDO)+ (DEO)+ (EAO) (ABCDE)=5(ABO) (ABCDE)/5= (ABO)

Área de un hexágono regular:

Sea ABCDEF un hexágono regular, basta con trazar dos diagonales para encontrar el centro O del polígono. Trace segmentos desde el centro hacia los vértices. Note que se forman 6 triángulos de igual base e igual altura, entonces se tiene que:

(ABCDEF) = (ABO) + (BCO) + (CDO) + (DEO) + (EFO) + (FAO) (ABCDE) = 6(ABO) (ABCDE) / 6 = (ABO)

Con estos dos casos podemos deducir que la cantidad de triángulos que se forman con el centro está relacionado con el número de lados del polígono, tal y como lo dice el siguiente teorema.

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Teorema: Un polígono regular P de n lados se divide en n triángulos iguales de área A, entonces el polígono tiene área igual a (P) = nA. Otra manera de encontrar el área: Ejercicio: Tracemos una red de puntos a igual distancia uno del otro de la siguiente forma:

¿Cuál es el área de la figura? Si se cumple que los vértices de un polígono (no necesariamente regular) están sobre los puntos de la red, se puede utilizar el siguiente teorema.

Teorema de Pick Supongamos que tenemos una cuadricula con puntos y sea P un polígono cualquiera que tiene los vértices sobre los puntos de la red. Sea I el número de puntos dentro del polígono y B el número de puntos de la red sobre los lados del polígono. Entonces podemos calcular el área del polígono de la siguiente forma:

(P) = I + B / 2 - 1

4.9. Área de un círculo Definición: Circunferencia es la figura geométrica formada por todos los puntos que equidistan de un punto fijo. Este punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio. Definición: Circulo es la figura geométrica formada por una circunferencia y todos los puntos interiores a ella.

El perímetro de un circulo se calcula como P = 2πr

Y el área como A = πr2

Donde r es el radio del círculo.

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Ejercicio: Trace modelos de posa vasos de forma circular que tengan de diámetro 10 cm, y 11 cm. Busque formas de calcular la superficie que cubre cada uno. Puede apoyarse en cuadriculados de 1 cm de lado o en papel milimetrado.

4.10. Área de sectores circulares Definición: Un sector circular es la región limitada por dos radios dado un ángulo:

El área del sector circular se calcula como:

Donde es el ángulo de abertura.

4.11. Cálculo de áreas compuestas Para calcular el área de figuras compuestas debemos hacer uso de las áreas de todas las figuras geométricas ya vistas. Ejercicio: Calcule el área de figuras compuestas por cuadrados y rectángulos. Explique y comparta sus procedimientos. Ejercicio: Calcule el área del cuadrilátero PMOQ. En el rectángulo ABCD de la figura, AD = 6 cm y DC = 8 cm. P, Q, R y S son los puntos medios de los lados. Las diagonales del rectángulo ABCD se cortan en el punto O y las diagonales del rectángulos APOS. Se cortan en el punto M, como se muestra en la figura.

A B

C D

M

O Q

P

R

S

49

Ejercicio: Calcula el perímetro del pentágono ABCDE. El triángulo ACE es equilátero y su perímetro es igual a 18 cm. Los triángulos ABC y CDE son isósceles congruentes de 14 cm de perímetro. AB = BC y CD = DE.

4.12. Ejercicios 1. De un cuadrilátero de papel como el de la figura, hay que recortar un

nuevo cuadrilátero cuya área sea igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Solo se puede doblar una o más veces y cortar por algunas de las líneas de los dobleces. Describir los dobleces y los cortes y justificar que el área es la mitad.

2. Se tienen dos octógonos regulares de cartulina. Los vértices de cada octógono se numeran de 1 a 8, en cualquier orden (el orden para un octógono puede ser diferente al del otro). Luego los octógonos se superponen, de modo que cada vértice de uno quede en contacto con un vértice del otro. Los números de los vértices en contacto se multiplican, y los 8 productos obtenidos se suman. Demostrar que, cualquiera sea el orden en que hayan sido numerados los vértices, siempre es posible superponer los octógonos de manera que esa suma sea mayor o igual que 162.

3. En un cuadrilátero convexo ABCD, sean M, N, P y Q los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA respectivamente. Si los segmentos MP y NQ dividen al ABCD en cuatro cuadriláteros con la misma área, demostrar que ABCD es un paralelogramo.

4. En un trapecio ABCD, se conocen las longitudes de las bases: BC = 15 y AD = 27. P es un punto de AD, tal que al unirlo con C, resultan dos regiones equivalentes. Hallar PA.

5. Hallar el área sombreada de la siguiente figura:

6. En un trapecio ABCD de base BC y AD, las diagonales AC y BD se cortan en un punto N. Demostrar que (ABN) = (CND).

7. En todo cuadrilátero de diagonales perpendiculares, el área es igual al semiproducto de las longitudes de dichas diagonales.

8. De todos los rectángulos que tiene área igual a 36 uo, ¿cuál es el que tiene menor perímetro?

A

B

C

D

E

D

50

9. En el rectángulo ABCD de la figura AB = 20, BC = 16; M y N son los puntos medios de sus respectivos lados. ¿Cuánto mide el área del cuadrilátero ANCM?

10. ¿Qué fracción del área total del cuadrado representa el área del triangulo ABC, si la distancia entre dos puntos extremos consecutivos de los segmentos que parten de A, es igual a la cuarta parte del lado del cuadrado?

11. Calcule el perímetro de la siguiente figura:

12. Trabajando sobre un geoplano se han delimitado las regiones A, B, C y D. Obtenga el valor de la siguiente expresión:

13. Un rectángulo tiene 114 cm de perímetro y un área de 810 . ¿Cuál es el área del mayor cuadrado que puede estar contenido dentro del rectángulo?

51

4.13. Problemas de aplicación

1. ¿Cuántos metros de alambre se necesitan para cercar esta superficie?

2. Se están confeccionando manteles y centros de mesa en forma de círculo. Cada uno lleva cinta en el borde. Se desea saber en la forma más precisa posible, ¿cuántos metros de cinta y género se requieren para cada uno? Los diámetros son: centro de mesa 40 cm y mantel 1,20 m. (El diámetro es dos veces el radio).

3. En el plano de la figura, las medidas están en metros. ¿Cuál es la superficie de cada sector y la superficie total?

4. Arreglemos nuestra cocina: Las baldosas del piso de la cocina se encuentran muy deterioradas, por lo tanto se deben cambiar. Se sabe que el piso es cuadrado y tiene 6 metros por lado. Con esta información responda a las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es el área total del piso de la cocina? Realice un dibujo. b. ¿Cuántas baldosas se utilizarán, si estas son cuadradas, y sus dimensiones son de 20 x 20 cm? c. Si las baldosas vienen en cajas, y cada caja cubre una superficie de 2m2, ¿cuántas cajas se

deberán comprar para que se alcance a cubrir toda la superficie del piso de la cocina? d. Si cada caja tiene un costo de $5.000, ¿cuánto dinero se canceló por todas las cajas

compradas? e. Si se hace un descuento de un 10 % por la compra total, ¿cuánto fue el dinero ahorrado? f. Si el maestro que pone las baldosas cobra $3.500 por m2, ¿cuánto fue el dinero que se le

canceló una vez que terminó el trabajo? g. ¿Cuánto dinero se debió invertir para reparar el piso completamente?

52

5. Observe la siguiente figura:

Para uno de sus proyectos de conservación de las especies en las en el sector de El Imposible, El Ministerio de Medio Ambiente y Recursos Naturales ha dividido un terreno en 5 parcelas. Calcule el área de cada una de las parcelas. (E es punto medio de BC).

6. La distancia entre dos pinos es de 40 m. Sus alturas son 31 m y 6 m. ¿Puede calcular la distancia entre sus cimas?

7. Un terreno tiene forma de un trapecio rectángulo, cuyas bases son AB = 200 m, DC = 180 m y la altura AD = 120 m. Ha de dividirse en tres parceles equivalentes, de modo que sus dueños puedan, sin salir de sus propiedades respectivas, ir a por agua a un pozo P, situado en la base superior DC y a 75 m del punto D. Hallar la diferencia entre las longitudes de los segmentos AR y GB de la base inferior.

8. El terreno de la figura está formado por tres cuadrados iguales. Trate de dividirlo en cuatro partes iguales.

9. Calcule el área y el perímetro de la siguiente figura.

53

Volumen

5.1. Definición

Ejercicio: Leo ha tomado fotografías a un cuerpo geométrico desde distintas perspectivas. Ezequiel desea saber cómo es el cuerpo y decide armarlo usando cubos. Dadas las fotografías, ¿se forma una única forma geométrica?

Superior Frontal Lateral

Ejercicio: Dadas las siguientes figuras geométricas dibuje cómo se verían desde arriba desde en frente y desde un lado.

Ejercicio: Dibuje como se verían las siguientes figuras desde arriba, izquierda, derecha y en frente.

Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos: Los poliedros y los cuerpos redondos.

54

5.2. Poliedros

Definición: Los poliedros o cuerpos planos, que son cuerpos geométricos compuestos exclusivamente por figuras geométricas planas, que se denominan caras del poliedro. La palabra poliedro significa polus = muchos y hedra = cara. Es decir, muchas caras.

Caras: Son los polígonos que limitan al poliedro; por ejemplo, en la figura, GHDC, HFBD, GHFE... Hay 6 caras en la figura.

Aristas: Son los lados de los polígonos que conforman las caras del poliedro; por ejemplo, en la figura: AE, HF, CD... Hay 12 aristas en la figura.

Vértices: Son los vértices de los polígonos que conforman las caras del poliedro; por ejemplo, en la figura: A, E, B... Hay 8 vértices en la figura.

Ángulos diedros: Son los formados por dos caras contiguas, es decir, que comparten una arista común; por ejemplo, en la figura, el ángulo formado por las caras EFBA y GEAC. Hay 12 ángulos diedros en la figura, tantos como aristas.

Ángulos triedros: Son los formados por tres caras que concurren en un vértice; por ejemplo, en la figura, el ángulo formado por las caras GHDC, GEAC y CDBA, que concurren en el vértice C. Hay 8 ángulos triedros en la figura, tantos como vértices [En figuras más complejas puede hablarse de ángulos poliedros, formados por más de tres caras que concurren en un solo vértice; conviene no confundir los objetos matemáticos “poliedro” y “ángulo poliedro”...].

Diagonales: Son los segmentos que unen dos vértices que no pertenecen a la misma cara; por ejemplo en la figura: GB, AH... Hay 4 diagonales en la figura, la mitad del número de vértices de la misma. [No deben confundirse las diagonales del poliedro con las de las caras del mismo...].

Planos diagonales: Son los planos que pasan por cuatro vértices de la figura, de los cuales sólo dos pertenecen a la misma cara; por ejemplo en la figura, el plano formado por los puntos G, F, B y C, o bien por los puntos C, D, E y F Hay 6 planos diagonales en la figura, la mitad del número de aristas de la misma.

Se distinguen dos clases de poliedros:

Los poliedros regulares: en los cuales todas las caras son iguales.

Los poliedros irregulares: en los cuales no se trata de que todas sus caras sean distintas, sino de que tienen caras que comprenden más de un tipo de figuras planas (por ejemplo, una piedra preciosa tallada, o los caireles de una lámpara).

La representación gráfica de los cuerpos geométricos en general, presenta la dificultad de que, teniendo tres dimensiones, solamente pueden representarse en el plano dos dimensiones; por lo cual se recurre a una técnica de dibujo, la perspectiva, que permite dar la sensación tridimensional.

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a) Los poliedros regulares Los poliedros regulares son cinco:

Cubo

El cubo: que está compuesto por seis caras cuadradas; motivo por el cual se le conoce también con el nombre de exaedro regular, (exaedro = cuerpo con 6 caras).

Tetraedro

El tetraedro regular: compuesto por cuatro caras con forma de triángulos equiláteros.

Octaedro

El octaedro regular: compuesto por ocho caras con forma de triángulos equiláteros, en forma de dos pirámides unidas por sus bases.

Icosaedro

El icosaedro regular: compuesto por veinte caras con forma de triángulos equiláteros, que tiene un eje plano hexagonal.

Dodecaedro

El dodecaedro regular: compuesto por doce caras con forma de pentágono.

b) Los poliedros irregulares

El prisma: que está compuesto por caras laterales rectangulares (que pueden ser cuadradas); y bases con forma de triángulo, cuadrado (salvo cuando las caras también lo son, en cuyo caso es un cubo), pentágono, hexágono u otro polígono regular.

Prisma de base cuadrada Prisma de base cuadrada Prisma de base pentagonal

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El prisma oblicuo: que es similar al prisma, pero con dos lados de forma romboidal.

La pirámide: compuesta por una base con forma de polígono regular y lados triangulares, cuya base son los lados del polígono, y unen todos sus vértices en un mismo punto, también llamado vértice de la pirámide, el cual se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro.

La pirámide inclinada: similar a la anterior, pero cuyo vértice se encuentra sobre una perpendicular a la base que no pasa por su centro.

c) Poliedros redondos Definición: Son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como, por ejemplo, el cilindro, la esfera o el cono.

El cilindro: Está compuesto dos bases circulares y una superficie curva continua, equivalente a un rectángulo.

Cilindro

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El cono: Compuesto por una base circular, y una superficie curva que la rodea y se une en un vértice que se encuentra sobre la perpendicular a la base que pasa por su centro.

Cono

El cono truncado: Es similar a un cono, pero en lugar de tener una punta tiene una base conformada por un plano inclinado, con lo cual adopta una forma de elipse.

Cono truncado

La esfera: Es circular en todos sus planos centrales.

Esfera

La semiesfera: Es una esfera que ha sido cortada por uno de sus planos circulares, de manera que tiene una base circular y una cúpula esférica.

Semiesfera

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5.3. Ejercicios

1. ¿Con cuáles de los siguientes grupos de vértices del cubo de la figura se puede construir un triángulo equilátero?

a) A, B, F b) A, D, G c) A, C, H d) A, C, E e) F, D, H

2. ¿Cuántas pirámides regulares cuya base sea la cara de un cubo dado, y cuya altura sea la mitad de la arista del mismo cubo, caben en dicho cubo? ¿Queda alguna porción de espacio del cubo sin ocupar?

3. Se desea pintar un cubo de tal forma que dos caras adyacentes no tengan el mismo color. ¿Cuál es el menor número de colores que se necesitan para ello?

4. Se acaba de pintar la parte exterior (lateral y superior) de estos cuatro cubos apilados. ¿Cuántas caras se han pintado?

5. En el centro del piso de una habitación está depositado un cubo. Si por el techo puede moverse libremente un foco de luz, ¿qué formas puede adoptar la sombra del cubo en el piso de la habitación?

6. Esta es una plantilla para armar un cubo, aunque todavía no están ubicadas las pestañas. ¿Puede construir usted otras dos plantillas diferentes, con las cuales también se pueda construir un cubo?

7. Determine si, aun antes de colocar las pestañas, se puede construir un cubo con las siguientes plantillas:

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8. Con la plantilla de la derecha, ¿puede construirse el paralelepípedo de la izquierda?

5.4. Área superficial Ejercicio: ¿Cuál es el área superficial de un cilindro? Esta parte está dedicada al cálculo de áreas de cuerpos geométricos, la manera de calcular el área de la superficie es dividir nuestro cuerpo en partes, es decir separamos las figuras de la base y caras que lo conforman y luego las sumamos para obtener el área total superficial.

a) Área del prisma El área del prisma se calcula como la sumatoria del área de las bases más el área de las caras:

Donde es el área de la base, es el número de lados de la base y área de una cara.

Prisma de base cuadrada

b) Área de la pirámide recta El área de la pirámide lo calculamos como área de la base más el área de las caras:

Donde es el área de la base, es el número de lados de la base y es el área de una cara.

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Pirámide recta

Ejercicio: ¿Cómo calculamos el área superficial de una pirámide oblicua?

c) Área del cono recto El área del cono lo calculamos como el área de la base más área de la superficie lateral:

√ Donde es el radio y la altura desde la punta del cono a la base (en caso de que no se tenga la altura, pero si la generatriz entonces se utiliza el teorema de Pitágoras).

Cono

d) Área de la esfera El área superficial de la esfera es:

Esfera

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La fórmula universal

Evidentemente la formula existe; más que ello es beneficiosa, no solo para el cilindro, el cono recto, o truncado, sino también para un prisma, las pirámides rectas o truncadas y también para la esfera. Esta fórmula perfecta conocida por el nombre de la fórmula de Simpson es la siguiente:

𝒗 𝒉 𝒃𝟏 + 𝟒𝒃𝟐 +𝒃𝟑

𝟔, donde

h = la altura del cuerpo, b1= la superficie de la cara inferior, b2= la superficie la sección media, b3= la superficie de la cara superior Esta fórmula también sirve para calcular el área de figuras planas.

e) Calculo de área superficial de cuerpos geométricos Ejercicio: El cubo de la figura fue formado por 27 cubos pequeños.

Se pinta cada cara del cubo grande, entonces:

a. El número de cubos pequeños que tiene una cara pintada son __________ b. El número de cubos pequeños que tienen dos caras pintadas son __________ c. El número de cubos pequeños que tienen tres caras pintadas son __________ d. El número de cubos pequeños que tienen cuatro caras pintadas son __________ e. El número de cubos pequeños que no tienen caras pintadas son __________ f. Si no se hubiese pintado la cara en que está apoyado el cubo, entonces: _________ g. El número de cubos pequeños que tiene una cara pintada son __________ h. El número de cubos pequeños que tienen dos caras pintadas son __________ i. El número de cubos pequeños que tienen tres caras pintadas son __________ j. El número de cubos pequeños que tienen cuatro caras pintadas son __________ k. El número de cubos pequeños que no tienen caras pintadas son __________

5.5. Volumen Definición: El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo geométrico en el espacio. Frecuentemente se denota por . Ejercicio: Se tiene una esfera de hierro de radio 3 cm ¿Cuál es su volumen? ¿Cómo lo encontró? ¡¡¡Eureka!!! Una forma de encontrar el volumen de un cuerpo es sumergiéndolo en agua tal y como lo hizo por primera vez Pascal. Ejercicio: Calcule el volumen de una esfera de radio 3 hecha de durapax. ¿Encontró el volumen? ¿Cómo lo hizo? ¿Por qué no funciona el método de Pascal en este caso?

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Troquelados Utilice troquelados para identificar

qué cuerpo geométrico se formará.

5.6. Sólidos de revolución Ejercicio: Con pinchos o palillos y con figuras geométricas planas pegarlas por uno de sus y hacerlas girar ¿Qué figuras se forman? Los sólidos de revolución son cuerpos geométricos que se forman al girar sobre un eje las figuras planas. Debido a que se hacen girar, los únicos cuerpos que se pueden formar son aquellos que tiene base circular, por ejemplo, el cilindro, el cono, la esfera, el cono truncado.

5.7. Volumen de un prisma El volumen de un prisma se calcula como área de la base por la altura:

Donde es el área de la base (ya sea triangulo, cuadrilátero, pentágono y cualquier polígono) y es la altura.

Prisma de base cuadrada

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5.8. Volumen de una pirámide El volumen de una pirámide se calcula como área de la base por la altura entre 3:

Donde es el área de la base (ya sea cuadrilátero, pentágono y cualquier polígono) y es la altura.

Pirámide recta

5.9. Volumen de un cilindro El volumen se calcula como el área de la base por la altura, donde la base es un círculo y la altura es uno de los lados del rectángulo que forma la cara lateral:

Cilindro

5.10. Volumen de un cono Se calcula como área de la base por la altura entre tres, donde la base es un círculo y la altura se calcula como la recta perpendicular desde la punta hacia la base:

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Cono

5.11. Volumen de una esfera Se calcula como:

Esfera

5.12. Ejercicios 1. Tres pelotas de tenis están empacadas en un tubo cilíndrico, como se muestra en la figura. ¿Qué

fracción del volumen del envase ocupan las tres pelotas?

2. Se desea construir una tienda de campaña de forma cónica; para ello se utiliza una pieza de lona de forma semi-circular, tal que el segmento recto de la tela ya cortada tiene 8 m. Una vez instalada, ¿qué altura tendrá la tienda? ¿Cuántos metros cúbicos de aire caben en ella?

3. El área lateral de un cilindro es la mitad de su área total. ¿Cuál es la razón entre su altura y el radio de su base?

4. El volumen de una esfera es . ¿Cuánto mide su superficie? ¿Y una de sus circunferencias máximas?

5. Si en un cono el radio de la base y la altura miden lo mismo. ¿Cuál es la razón entre el volumen y el área lateral?

6. Tenemos un triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm. Tomamos como eje de giro el cateto de 3 cm y, mediante una rotación completa, generamos un cono. Hacemos lo mismo con el cateto de 4 cm. ¿Son iguales los volúmenes de los dos conos? ¿Y las áreas laterales? ¿Y las áreas totales?

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7. Si en un paralelepípedo se duplica la longitud de todas sus aristas, ¿qué le ocurre a su área lateral? ¿Y a su volumen?

8. Un globo esférico que permanecía estable se ha inflado más, de manera que su superficie se ha cuadruplicado. ¿Qué le ha ocurrido a su volumen?

9. Calcule el volumen de la moneda de $0.25 y de $1.00 10. Considere un cilindro cuya altura mide igual que el diámetro de la base, y que está inscrito (encajado)

dentro de una esfera. ¿Qué fracción del espacio interior de la esfera ocupa el cilindro? 11. Suponga que la Tierra tiene forma esférica y que la línea del ecuador tiene 40,000 km. ¿Qué

porcentaje de la superficie de la Tierra representa la extensión de El Salvador? 12. Agrupando 27 cubitos del mismo tamaño se construye un solo cubo más grande. Si este cubo se pinta

todo de negro:

a) ¿Cuántos de los cubitos no tendrán pintada de negro ninguna de sus caras? b) ¿Y una sola cara? c) ¿Y dos caras? d) ¿Y tres caras? e) ¿Puede haber algún cubito con más de tres caras pintadas?

13. ¿Cuál es el orden en que no se pueden meter las piezas en la caja?

a) 2756413 b) 2751643 c) 2763451 d) 2765314 e) 2751634

14. Un cuerpo está hecho de cuatro piezas, como se muestra en la figura. Cada pieza pintada de una sola

manera está formada por cuatro prismas. ¿Qué forma tiene la pieza blanca?

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15. Llene los siguientes cuadros:

Compuesta por una pirámide hexagonal apoyada en un prisma hexagonal

DATOS Prisma: Arista de la base: 20 cm Altura: 12 cm Pirámide: Arista de la base: 30 cm Arista lateral: 40 cm

Área lateral: Área de las bases:

Área total:

Compuesta por una pirámide cuadrangular sobre un prisma cuadrangular apoyado, a su vez, en un tronco de pirámide cuadrangular.

DATOS Pirámide: Arista de la base: 12 cm Arista lateral: 17 cm Prisma: Arista de la base: 18 cm Altura: 6 cm Trono de pirámide: Arista de las bases: 12 cm y 6 cm Arista lateral: 8.5 cm

Área lateral: Área de las bases:

Área total:

Compuesta por dos troncos de cono apoyados sobre sus bases menores.

DATOS Radios de las bases: 50 cm y 25 cm Generatriz: 30 cm

Área lateral: Área de las bases:

Área total:

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Lecturas sugeridas Lectura: El modelo de Van Hiele y la enseñanza de la geometría Enlace: http://goo.gl/x0m1Ce

Resumen: El artículo trata de la aplicación del Modelo de Razonamiento Geométrico de Van Hiele y la enseñanza de la geometría. Se reflexiona sobre la importancia de estudiar geometría y lo que esto significa para la sociedad moderna; analiza, además, las concepciones y dificultades que se dan en la forma de enseñar y el aprender geometría. Introduce el Modelo de Van Hiele explicando la evolución del razonamiento geométrico a través de cinco niveles consecutivos y del apoyo que brindan sus fases a la organización del currículo, así como a partir de una comparación con la teoría del desarrollo de Piaget.

Lectura: Geometría y su didáctica para maestros Enlace: http://goo.gl/RfkY2Y

Resumen: Presenta una perspectiva completa del abordaje de la geometría desde un enfoque constructivista. Hace un análisis crítico de las figuras geométricas, las transformaciones geométricas, simetría y semejanza, la orientación espacial y sistemas de referencia. Es un gran apoyo para adquirir una profunda fundamentación de los conocimientos geométricos.

Lectura: La enseñanza y aprendizaje de la geometría en secundaria, la perspectiva de los estudiantes Enlace: http://goo.gl/YVzQfv

Resumen: El propósito de este artículo es presentar los resultados obtenidos con la aplicación de un cuestionario dirigido a estudiantes de secundaria de Costa Rica para conocer su percepción sobre la enseñanza y aprendizaje de la geometría. Los resultados muestran que las clases de geometría en la educación secundaria se han basado en un sistema tradicional de enseñanza, donde docentes presentan la teoría, desarrollan ejemplos y aportan los ejercicios que deben ser resueltos por estudiantes. Estas actividades enfatizan en la aplicación de fórmulas y aspectos memorísticos, lo que trae como consecuencia que procesos de visualización, argumentación y justificación no tengan un papel preponderante en la enseñanza de la disciplina. La lectura permite reflexionar sobre la manera de innovar esta cátedra para que el aprendizaje de la geometría sea significativo.

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Lectura: Reflexiones en torno a la didáctica de la geometría Enlace: http://goo.gl/xdTZq0

Resumen: La historia puede comenzar en una clase en el momento que se está estudiando geometría analítica, y se trata de plantear un simple problema, como pueda ser el de calcular una recta desde un punto exterior a un plano, y perpendicular a otra contenida en ese plano. El profesor o profesora pregunta si esto es posible; la respuesta es que no, que, sólo es posible si justamente esa recta del plano pasa por el punto que es proyección del punto exterior"". En realidad, no dicen las palabras anteriores, más o menos los términos de la respuesta serían: ""Sí, si la recta, dentro del plano, pasa justo por el punto que está debajo del punto exterior"".

Lectura: Aprendiendo a enseñar geometría en primaria. Análisis de simulaciones sobre la intervención Enlace: http://goo.gl/RLPVvl

Resumen: En este artículo se presenta y analiza un trabajo desarrollado en el contexto de la formación inicial de maestros en el campo de la Geometría. La experiencia parte de la necesidad de vincular las actividades de formación con los proceso de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas primarias. En este sentido, el curso gira en torno al diseño, implementación y análisis de unidades didácticas de contenido geométrico, primando en el proceso de formación el componente de contenido pedagógico y profesional sobre el matemático.

Lectura: Algunas reflexiones sobre la didáctica de la geometría Enlace: http://goo.gl/aubwco

Resumen: En este artículo se pretende describir la problemática que implica la enseñanza y el aprendizaje de la geometría desde una perspectiva constructiva, que fomente la sensibilización del docente e incida positivamente en su práctica pedagógica. Se ha desarrollado un análisis reflexivo considerando diferentes elementos de manera que el lector pueda disponer de argumentos que justifiquen relevancia del estudio de esta disciplina.

Lectura: La enseñanza de la geometría en el momento actual y en el futuro Enlace: http://goo.gl/vRVlZA

Resumen: Reflexiones sobre la innovación que debe tener en las aulas la forma de enseñar geometría proyectándose a los logros que pueden alcanzarse.

Sitios web sugeridos Sitio web: Estrategias para la enseñanza y aprendizaje de la geometría en la educación básica: una experiencia constructivista Enlace: http://goo.gl/q0NGkJ

Resumen: Propuesta de diseño, desarrollo y evaluación de un conjunto de estrategias constructivistas para facilitar el aprendizaje de contenidos geométricos como producto de una investigación. Las

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notas de campo, entrevistas, documentos escritos, fotografías y grabaciones de audio y video fueron los instrumentos seleccionados para la recolección de datos. Para analizar la información recogida se utilizó la técnica de triangulación de fuentes. Este estudio generó resultados altamente positivos para los principales protagonistas de la investigación: docentes y alumnos. A los maestros les permitió mejorar su práctica pedagógica, al actuar como mediadores de aprendizajes significativos a través del uso de estrategias constructivistas; a los niños se les brindó la oportunidad a partir de conocimientos previos, de construir sus propios aprendizajes a fin de afianzar los conocimientos básicos de la geometría, con el uso de materiales concretos integrados a las diferentes áreas curriculares.

Sitio web: Geometría 1. Ángulos y rectas Enlace: http://goo.gl/jBk2cW

Resumen: Simulaciones en las que hay una riqueza de propuestas para trazar y medir ángulos en el nivel de Primaria.

Sitio web: Recursos educativos para infantil y primaria. Geometría. Enlace: http://goo.gl/b9pxxj

Resumen: Recursos educativos y situaciones de aprendizaje en las que se plantean actividades atractivas, innovadoras para que los niños aprendan geometría mediante una pedagogía activa.

Sitio web: Didactmaticprimaria Enlace: http://goo.gl/os2TGl

Resumen: Investigación y desarrollo de contenidos educativos digitales multimedia para la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas (infantil-primaria y atención a la diversidad), análisis y valoración de su interés didáctico. Por una enseñanza-aprendizaje de la matemática que integre las TIC con fundamento didáctico, basada en el aprendizaje por descubrimiento, la atención a la diversidad, el análisis crítico del currículo, el desarrollo de competencias y el fomento de la creatividad. Para geometría presenta simulaciones, software de visualización, orientaciones en el espacio, fractales, geoplano y otros.

Sitio web: Descartes Enlace: http://goo.gl/z41YNb

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Sitio web: Geogebra Enlace: https://www.geogebra.org/

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