Dosier módulo VI

Módulo VI

FÍSICA

MODERNA

Diciembre de 2014

ÍNDICE

Introducción .................................................................................................................................................. 7 Unidad 1: Relatividad Especial o Restringida .............................................................................................. 9

1.1. Breve historia .................................................................................................................................... 9 1.2. Relatividad Galileana ....................................................................................................................... 10

1.3. Caída libre de los cuerpos. ................................................................................................................ 11 1.4. Transformaciones de Galileo ............................................................................................................ 13 1.5. Relatividad de la trayectoria ............................................................................................................. 14 1.6. Teorema de adición de velocidades ................................................................................................. 15 1.7. Aceleraciones absolutas ................................................................................................................... 16 1.8. El Experimento de Michelson-Morley. ............................................................................................. 16 1.8.1. Explicación del Experimento de Michelson Morley ..................................................................... 198 1.9. Invariabilidad de las leyes físicas ..................................................................................................... 19

1.10. Principios de la Relatividad Especial de Einstein .......................................................................... 210 1.10.1 Rapidez máxima de interacción ................................................................................................ 21

1.10.2. Relatividad de la Simultaneidad. ................................................................................................. 22 1.11. Relatividad de los Intervalos de Tiempo. ........................................................................................ 22

1.11.1 Dilatación del Tiempo ............................................................................................................... 24 1.11.2. Tiempo propio ........................................................................................................................ 266 1.11.3. Paradoja de los gemelos ........................................................................................................ 276

1.12. Relatividad de la Longitud. ............................................................................................................. 29 1.13. Transformaciones de Lorentz. ......................................................................................................... 32 1.14. Cantidad de Movimiento Relativista. .............................................................................................. 34 1.15 Segunda Ley de Newton Relativista. ................................................................................................ 35 1.16. Trabajo y Energía Relativista. .......................................................................................................... 36

Unidad 2: Teoría Cuántica de la Luz ........................................................................................................... 38

2.1. Introducción histórica de la naturaleza de la luz ............................................................................. 38 2.2. Experimentos de Hertz: la luz como una onda electromagnética .................................................. 40

2.2.1. Espectro electromagnético ................................................................................................. 41 2.3. Emisión y absorción de la luz. ......................................................................................................... 45

2.3.1. Efecto fotoeléctrico ............................................................................................................. 45 2.3.2. Cuantización de la luz. ......................................................................................................... 47 2.3.3. Efecto Compton. .................................................................................................................. 49

2.4. Producción y dispersión de rayos X ................................................................................................. 51 2.5. Radiación de cuerpo negro.............................................................................................................. 54

2.5.1. La Ley de Rayleigh–Jeans y la Ley de Planck. ...................................................................... 55 2.6. Complementariedad onda partícula. ............................................................................................ 567

Unidad 3: Naturaleza Corpuscular y Ondulatoria de la Materia ............................................................... 58

3.1. Naturaleza atómica de la materia ................................................................................................... 58 3.1.1. El modelo atómico de Dalton .............................................................................................. 58 3.1.2. Modelo atómico de Thomson. ............................................................................................ 59 3.1.3. Composición de los átomos: Millikan y la carga elemental. ............................................... 60

3.2. Modelo de Rutherford: el átomo nuclear ....................................................................................... 61 3.3. El átomo de Bohr: órbitas estables ................................................................................................. 63 3.4. Series espectrales y niveles de energía ........................................................................................... 65 3.5. Confirmación experimental: Experimento de Franck-Hertz ........................................................... 68

3.6. El átomo de Sommerfeld: Modelo cuántico (Modelo de Bohr generalizado) ................................ 70 3.7. Ondas de "De Broglie" ..................................................................................................................... 70

3.7.1. El modelo de Bohr y las ondas de De Broglie ...................................................................... 71 3.8. Principio de correspondencia de Bohr ............................................................................................ 72 3.9. Difracción de electrones .................................................................................................................. 73 3.10. Principio de incertidumbre .............................................................................................................. 75

Unidad 4: Física Nuclear ............................................................................................................................. 79

4.1. El núcleo atómico ............................................................................................................................ 79 4.2. Interacción nuclear fuerte y débil ................................................................................................... 82 4.3. Estabilidad nuclear y radioactividad ................................................................................................ 84

4.3.1. Clasificación de los nucleidos. ............................................................................................. 85 4.4. Decaimiento radiactivo ................................................................................................................... 86

4.4.1. Decaimiento alfa. ................................................................................................................ 88 4.4.2. Decaimiento beta. ............................................................................................................... 89 4.4.3. Decaimiento gamma. .......................................................................................................... 90

4.5. Transmutación natural de los elementos: Radiactividad. ............................................................... 90 4.5.1. Cadenas radiactivas. ............................................................................................................ 91 4.5.2. Actividad y vida media ......................................................................................................... 93

Guías de trabajo ......................................................................................................................................... 96 Referencias Documentales. ........................................................................ ¡Error! Marcador no definido.14 Bibliografía................................................................................................................................................. 115

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INTRODUCCIÓN

El sexto módulo de Física versará sobre Física Moderna que inicia su desarrollo a finales del siglo XIX y a principios del siglo XX con la realización de experimentos que permitieron la profundización del conocimiento sobre la estructura de la materia, nuevos principios que conciliaron discordancias entre la mecánica clásica de Newton y el electromagnetismo de Maxwell, así como toda una nueva formulación de la física del mundo de partículas que constituyen la materia.

Así como la física sufrió una revolución con los trabajos de Galileo Galilei y posteriores aportes de muchos otros científicos como Isaac Newton, hacia fines del siglo XIX y comienzos del XX surgen personajes como Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr y Werner Heisenberg. Con ellos nacen conceptos físicos como la relatividad, la cuantización y el principio de indeterminación que cambiaron la visión de la naturaleza. Fue durante este período, que la física llegó a ser lo que es hoy en día. En el fondo, paso de la juventud a la adultez plena. Gracias a la teoría del electromagnetismo, el comienzo de la física nuclear, la teoría de la relatividad general, de Einstein, quien hasta el día de hoy, goza de un sitial privilegiado dentro de la física.

En 1895 Roentgen descubrió los rayos X, ondas electromagnéticas de frecuencias muy altas. Casi simultáneamente, Henri Becquerel descubría la radioactividad en 1896. Este campo se desarrolló rápidamente con los trabajos posteriores de Pierre Curie, Marie Curie y muchos otros, dando comienzo a la física nuclear y al comienzo de la estructura microscópica de la materia. En 1897 Thomson descubrió el electrón, la partícula elemental que transporta la corriente en los circuitos eléctricos proponiendo en 1904 un primer modelo simplificado del átomo.

El siglo XX estuvo marcado por el desarrollo de la física como ciencia capaz de promover el desarrollo tecnológico.Los físicos consideraban tener una visión casi completa de la naturaleza. Sin embargo pronto se produjeron dos revoluciones conceptuales de gran calado: El desarrollo de la teoría de la relatividad y el comienzo de la mecánica cuántica.

En 1905 Albert Einstein, formuló la teoría de la relatividad especial, en la cual el espacio y el tiempo se unifican en una sola entidad, el espacio-tiempo. La relatividad formula ecuaciones diferentes para la transformación de movimientos cuando se observan desde distintos sistemas de referencia inerciales a aquellas dadas por la mecánica clásica. Ambas teorías coinciden a velocidades pequeñas en relación a la velocidad de la luz. En 1915 extendió la teoría especial de la relatividad para explicar la gravedad, formulando la teoría general de la relatividad, la cual sustituye a la ley de la gravitación de Newton.

En 1911 Rutherford dedujo la existencia de un núcleo atómico cargado positivamente a partir de experiencias de dispersión de partículas. A los componentes de carga positiva de este núcleo se les llamó protones. Los neutrones, que también forman parte del núcleo pero no poseen carga eléctrica, los descubrió Chadwick en1932. En los primeros años del Siglo XX Planck, Einstein, Bohr y otros desarrollaron la teoría cuántica a fin de explicar resultados experimentales anómalos sobre la radiación de los cuerpos. En esta teoría, los niveles posibles de energía pasan a ser discretos. En 1925 Heisenberg y en 1926 Schrödinger y Dirac formularon la mecánica cuántica, en la cual explican las teorías cuánticas precedentes. En la mecánica cuántica, los resultados de las medidas físicas son probabilísticos; la teoría cuántica describe el cálculo de estas probabilidades. La mecánica cuántica suministró las herramientas teóricas para la física de la materia condensada, la cual estudia el comportamiento de los sólidos y los líquidos, incluyendo fenómenos tales como estructura cristalina, conductividad y superconductividad. Entre los pioneros de la física de la materia condensada se incluye Bloch, el cual desarrolló una descripción mecano-cuántica del comportamiento de los electrones en las estructuras cristalinas.

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Al período comprendido desde 1930 hasta hoy se le llama Física Contemporánea y se ha caracterizado, en sus inicios a terminar de validar las los estudios de la física moderna y entre otras cosas, por la búsqueda de una teoría única que permita describir el Universo para poder predecir su futuro. Destacan personas como Murray Gell Mann, Richard Feynman y Abdus Salam que han revolucionado la Física y la forma de ver el mundo con sus planteamientos.

La teoría cuántica de campos se formuló para extender la mecánica cuántica de manera consistente con la teoría especial de la relatividad. Alcanzó su forma moderna a finales de 1940 gracias al trabajo de Feynman, Schwinger, Tomonaga y Dyson. Ellos formularon la teoría de la electrodinámica cuántica, en la cual se describe la interacción electromagnética. La teoría cuántica de campos suministró las bases para el desarrollo de la física de partículas, la cual estudia las fuerzas fundamentales y las partículas elementales. En 1954 Yang y Mills desarrollaron las bases del modelo estándar. Este modelo se completó en los años 1970 y con él se describen casi todas las partículas elementales observadas.

La física sigue enfrentándose a grandes retos, tanto de carácter práctico como teórico, a comienzos del siglo XXI. El estudio de los sistemas complejos dominados por sistemas de ecuaciones no lineales, tal y como la meteorología o las propiedades cuánticas de los materiales que han posibilitado el desarrollo de nuevos materiales con propiedades sorprendentes. A nivel teórico la astrofísica ofrece una visión del mundo con numerosas preguntas abiertas en todos sus frentes, desde la cosmología hasta la formación planetaria. La física teórica continúa sus intentos de encontrar una teoría física capaz de unificar todas las fuerzas en un único formulismo en lo que sería una teoría del todo. Entre las teorías candidatas debemos citar a la teoría de cuerdas.

Se inicia el módulo seis con los aspectos que aborda la Teoría Especial de la Relatividad, se hace una revisión breve de la Relatividad Galileana y sus transformaciones. Se sigue con el experimento de Michelson y Morley que fue un intento de medir la velocidad de la luz en el supuesto sistema inercial denominado éter y en donde tendría la velocidad predicha por el electromagnetismo de Maxwell. Abordando posteriormente los postulados de Einstein y la nueva concepción del espacio-tiempo, en donde se introducen las nociones de contracción de la longitud y la dilatación del tiempo, para terminar con la reformulación del momento y la energía para objetos que se mueven a velocidades cercanas a la velocidad de la luz.

Luego, en la siguiente unidad, se tocan los conceptos e ideas que proporcionan los fundamentos de la Teoría Cuántica de la Luz que es útil para la explicación de fenómenos de interacción luz y materia (partículas). En la teoría electromagnética de la luz se podía explicar fenómenos de la luz como lo que es la reflexión, refracción, difracción e interferencia, pero era imposible explicar fenómenos como el efecto fotoeléctrico, la dispersión de Compton, la producción de rayos X y la radiación de cuerpo negro, fenómenos que sí es posible explicarlos con la teoría cuántica de la luz en donde la luz se considera como partícula denomina fotón que tiene masa nula.

En la tercera unidad se trata sobre la naturaleza corpuscular y ondulatoria de la materia que inicia con los modelos atómicos desde Thomson hasta Bohr en donde las energías y las orbitas se encuentran cuantizadas. Lo que también permite explicar las distintas series de emisión y absorción atómica muy útil en la identificación de elementos que componen las estrellas. Se finaliza la unidad con una introducción a fenómenos en que las partículas como los electrones se comportan como si se tratasen de una onda y conceptos sobre el principio de incertidumbre de Heisenberg cuando se trata de medir las magnitudes dinámicas (tales como cantidad de movimiento y posición) llegando a la conclusión de que no se pueden medir en forma determinista sino que en forma probabilística.

La última unidad de este módulo aborda temas de física nuclear, iniciando con un modelo del núcleo atómico, las fuerzas que mantienen unidos a los nucleones (las partículas que componen al núcleo) y que también explican fenómenos relacionados con la estabilidad (o inestabilidad) del núcleo, tal como la radiactividad natural y artificial. Se tratan los distintos tipos de decaimiento radiactivo y como se cuantifica la actividad de los radionúclidos.

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UNIDAD I

1.1. Breve historia

Hacia finales del siglo XIX, la comunidad de físicos creía hallarse próxima a una descripción completa de la naturaleza. En 1861 Maxwell establece las ecuaciones que describen las ondas electromagnéticas (y en particular las ondas luminosas). Según esta teoría la velocidad de la luz solo debía depender de las propiedades eléctricas y magnéticas del medio y no de la velocidad del sistema de referencia en que se realizan las medidas.

Dado que hasta ese momento todas las ondas conocidas necesitaban un medio a través del cual se propagaban (el sonido se propaga en el aire o en un líquido, las ondas sísmicas de propagan en secciones de la Tierra, etc) se pensó que el medio en que la luz se propagaba era un entorno etéreo de propiedades muy peculiares.

La comunidad científica imaginaba que el espacio estaba lleno de un medio continuo denominado el «éter». Los rayos de luz y las señales de radio eran ondas en este éter, tal como el sonido consiste en ondas de presión en el aire. Todo lo que faltaba para una teoría completa eran mediciones cuidadosas de las propiedades elásticas del éter.

Hacia finales del siglo, empezaron a aparecer discrepancias con la idea de un éter que lo llenara todo. Se creía que la luz se propagaría por el éter con una rapidez fija, pero que si un observador viajaba por el éter en la misma dirección que la luz, la rapidez de ella le parecería menor, y si viajaba en dirección opuesta a la de la luz, su rapidez le parecería mayor.

Sin embargo, una sucesión de experimentos no logró confirmar esta hipótesis. El experimento más cuidadoso y preciso fue realizado por Albert Michelson y Edward Morley en 1887, en que compararon la rapidez de la luz de dos rayos mutuamente perpendiculares. Debido al movimiento de rotación y de traslación de la Tierra, el aparato utilizado se desplaza por el éter con rapidez y dirección variables. Pero Michelson y Morley no observaron diferencias diarias ni anuales entre las rapideces de ambos rayos de luz. Era como si la luz viajara siempre con la misma rapidez con respecto al observador, sea cual fuese la rapidez y la dirección en que éste se estuviera moviendo.

Basándose en el experimento de Michelson-Morley, el físico irlandés George FitzGerald y el físico holandés Hendrik Lorentz sugirieron que los cuerpos que se desplazan por el éter se contraerían y el compás de sus relojes disminuiría. Esta contracción y esta disminución del ritmo de los relojes sería tal que todos los observadores medirían la misma rapidez de la luz, independientemente de su movimiento respecto al éter.

Hendrik Lorentz propuso en 1895 un sistema de ecuaciones de transformación para pasar de un sistema de referencia a otro; se trataba de transformaciones para hacer compatible la constancia de la velocidad de la luz, pero que carecían de una significación clara. Así, supuso la existencia del éter estacionario en la cual se moverían los objetos y observadores,

Relatividad Especial o Restringida

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sufriendo un acortamiento físico (hipótesis de contracción de Lorentz) y un cambio en el ritmo del tiempo (dilatación del tiempo)

Sin embargo en 1905 Einstein subrayó que si no se puede detectar si nos movemos o no en el éter, la idea resulta redundante. En su lugar, formuló el postulado de que las leyes de la física debían de tener la misma forma para todos los observadores que se movieran libremente en sistemas de referencia inerciales. En particular, todos deberían medir la misma rapidez de la luz, independientemente de la velocidad con que se estuvieran moviendo.

Lo anterior exigió abandonar la idea de que hay una magnitud universal, llamada tiempo, que todos los relojes pueden medir. En vez de ello, cada observador tendría su propio tiempo personal. Los tiempos de dos observadores coincidirían si ambos estuvieran en reposo el uno con respecto al otro, pero no si estuvieran desplazándose entre ellos.

1.2. Relatividad Galileana

Galileo Galilei (1564 – 1642) fue el creador del método científico y lo aplicó en sus estudios, entre ellos los relacionados a movimiento de cuerpos, rozamiento y caída libre, resultado de lo cual formula la Teoría de la Relatividad Clásica o Relatividad Galileana.

En sus obras "Diálogo sobre los principales sistemas del mundo" (1632) y "Diálogos acerca de dos nuevas ciencias" (1636), sentó las bases y describió a los sistemas de referencia inerciales o "galileanos" en donde las leyes de la Física son las mismas en cualquiera de dichos sistemas. Galileo realizó la descripción de los sistemas de referencia inerciales usando como ejemplo el desarrollo de fenómenos mecánicos dentro de un barco que se mueve con velocidad constante:

"Encerraos con algún amigo en la mayor estancia que esté bajo la cubierta de algún navío y procurad que haya en ella moscas, mariposas y otros semejantes animales voladores; procuraos también un gran vaso de agua con algunos peces dentro; añádase también un recipiente, que habrá de ser colgado en lo alto de modo que vaya vertiendo su contenido gota a gota, sobre otro vaso colocado debajo, que sea de boca estrecha; pues bien, si la nave no se mueve, veréis cómo esos animales se dirigen con igual velocidad hacia todas las partes de la estancia; a los peces se los verá nadar indiferentes en todas las direcciones, y las gotas que caen del recipiente superior entrarán todas en el vaso colocado debajo; también, si vos arrojáis alguna cosa a vuestro amigo, no necesitaréis de más fuerza para echaría hacia un lado o hacia otro, siempre que las distancias sean iguales; y si saltáis, como haciendo carreras de sacos, iguales espacios saltaréis en todas las direcciones. Observad con atención cómo estas cosas suceden así, bien que no haya por qué dudar de que así sea, pues si la nave está quieta, esto es lo normal; ahora, pues, haced mover la nave con la velocidad que se quiera; si el movimiento es uniforme y no fluctuante hacia un sitio u otro, vos no observaréis la más ligera mutación en los efectos enumerados, y por ninguno de ellos podréis averiguar si la nave se mueve o está inmóvil; vos, al saltar, atravesaréis los mismos espacios que antes y no daréis un mayor salto hacia popa que hacia proa, aunque la nave. se mueva velocísimamente, pese a que en el tiempo en que vos estáis por el aire, el pavimento que está a vuestros pies se haya desplazado hacia la parte contraria de vuestro salto; si arrojáis alguna cosa a vuestro compañero, no necesitaréis de mayor fuerza, tanto si él se encuentra en la parte de proa como en la de popa; las gotas seguirán entrando como

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antes en el vaso inferior, sin que ni una sola caiga hacia popa, pese a que la gota recorra un espacio por el aire y a que la nave, mientras tanto, haya avanzado algunos palmos; los peces en el agua no nadarán con más fuerza que antes hacia la parte delantera del vaso que hacia la contraria, sino que, con igual velocidad y facilidad, se dirigirán hacia el cebo puesto en cualquier parte del vaso; y, finalmente, las moscas y las mariposas continuarán sus vuelos indiferentes en todas las direcciones, y nunca sucederá que se amontonen hacia la parte de popa, como si se vieran empujadas por el veloz curso de la nave, de la que durante mucho tiempo están separadas, manteniéndose por el aire; y si encendéis alguna gota de incienso, se hará un poco de humo y se le verá ascender hacia arriba, y como una nubecilla, se mantendrá y se moverá indiferentemente, no más hacia una parte que hacia la otra. La causa de toda esta correspondencia en los efectos estriba en que el movimiento de la nave es común a todas las cosas contenidas en ella, incluido el aire, que por eso dije que la experiencia se hiciera bajo cubierta; pues si la experiencia se hiciera al aire libre y, por tanto, sin que éste siguiera el curso de la nave, se verían algunas diferencias notables en los efectos nombrados; no hay duda de que el humo se quedaría atrás, al igual que el aire; las moscas y las mariposas, obstaculizadas por el aire, no podrían seguir el movimiento de la nave, si se separaran de ella un cierto espacio; mas, si se mantuvieran próximas a la nave, debido a que ésta tiene una superficie desigual. y, por tanto, capaz de arrastrar la parte de aire que está contigua, éstas, digo, seguirían sin dificultad ni fatiga a la nave, que por eso vemos alguna vez en las diligencias, como las moscas inoportunas y los tábanos siguen a los caballos, posándose en una u otra parte de sus cuerpos; pero, en las gotas que caen, la diferencia sería escasísima, y en cuanto a los saltos y a las cosas que se arrojan, la diferencia sería imperceptible 1 Galileo Galilei.

De lo anterior se concluye que alguien realizando el experimento bajo cubierta no puede diferenciar si el barco está en reposo o está en movimiento, es decir que las leyes de la Física permanecen invariantes tanto cuando se está en reposo como en un barco que se mueve a velocidad constante.

Las conclusiones obtenidas permiten además postular en sistemas inerciales la equivalencia entre reposo y movimiento rectilíneo uniforme para dos observadores en movimiento relativo, fundamentando las bases del Principio de Inercia.

Asimismo, enunció la relatividad de las trayectorias y de las velocidades de objetos respecto del observador con el planteamiento de los siguientes experimentos:

1 Galileo. Diálogo Sobre los Sistemas Máximos. Jornada Segunda (Traducción del italiano por José Manuel Revuelta), editorial Aguilar, Argentina, 1975

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1.3. Caída libre de los cuerpos.

Figura 1: Todos los objetos caen con la misma aceleración.2

Se aceptaba firmemente las ideas aristotélicas de que los cuerpos más pesados caen más rápido.

Mediante un razonamiento al absurdo, Galileo demostró que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, independientemente de la masa que tengan.

Si ahora se realiza la misma experiencia pero creando un nuevo cuerpo formado por dos objetos idénticos a los iniciales pero unidos entre sí por una cuerda. Para este nuevo objeto durante su caída, el de mayor peso está siendo frenado por el pequeño, que cae más despacio, mientras que el pequeño está siendo acelerado por el grande, que cae más rápido.

En consecuencia el nuevo cuerpo caerá ubicado entre los cuerpos originales, resultando una contradicción pues es el más pesado. La única solución lógica posible es que todos caigan igual.

Resuelto el tema anterior, Galileo se dedicó a descubrir la ley de caída libre de los cuerpos, es decir encontrar la función que permita relacionar la posición con el tiempo durante la caída.

Siendo profesor en la Universidad de Pisa, en 1589 diseñó un modelo experimental para obtener el conjunto de pares de datos correspondientes a posición y tiempo, soltando objetos desde los distintos pisos de la Torre de Pisa. La dificultad principal resultó la medición del tiempo de caída, debido a que la caída de los objetos transcurría muy rápido, y por lo tanto los resultados no eran precisos ni repetitivos y no permitieron obtener la ley.

Similar complicación en la medición del tiempo resulto cuando Galileo empleó una clepsidra (reloj de agua). El proceso de medición de tiempos consistía en abrir la llave de paso del recipiente cuando soltaba el cuerpo y cerrarla cuando el objeto llegaba al piso. La masa del volumen de agua recogida lo determinaba con una balanza y era proporcional al tiempo transcurrido.

Desafortunadamente, este método tampoco resultó lo suficientemente preciso para determinar una relación entre posición y tiempo, por lo cual Galileo concluyó que la dificultad central de este proyecto era la rapidez con que caían los cuerpos.

Luego de unos importantes estudios sobre fricción, con esferas de madera sobre una tabla lustrada, desarrolló el "plano inclinado" como dispositivo para retrasar la rapidez de la caída de los cuerpos. La clepsidra fue sustituida por un recipiente grande y un tubo delgado en su base para que de esta manera el nivel de agua en el recipiente no variaba durante el proceso de medición.

Es muy importante detallar, de acuerdo con datos históricos, algunos aspectos sobre cómo Galileo obtuvo la ley de caída de los cuerpos con el plano inclinado (en la Universidad de Padua a partir de 1592). Si bien este mecanismo permite retrasar la caída disminuyendo al ángulo que el plano forma con la horizontal, dicho ángulo no podía ser muy pequeño debido a que la fricción se hacía importante y no podía despreciarse. Por otro lado, la determinación de los intervalos no

2 Imagen tomada de Samir Okasha, "Philosophy of Science: A Very Short Introduction" (pág. 6) - http://ow.ly/G4x7m

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era simple, ya que la clepsidra no brindaba la precisión suficiente y los datos de pruebas repetidas presentaban una gran dispersión y por lo tanto no eran adecuadas para encontrar la relación entre posición y tiempo.

Galileo decidió utilizar un péndulo para medir el tiempo y una metodología soberbia para su época. Aunque determinar pequeños intervalos con un péndulo puede resultar desacertado, pero es muy sencillo determinar el tiempo en que el péndulo realiza oscilaciones completas, es decir se mide el tiempo en que el movimiento de la bolita comienza y regresa a la amplitud máxima de la oscilación.

En el mismo instante que Galileo hacía oscilar el péndulo dejaba que la esfera rodara por el plano inclinado, midiendo el espacio recorrido por la esfera cuando el péndulo realizaba una oscilación completa. Para ello utilizaba un tope móvil de madera y lo ajustaba en la posición correcta de tal manera que el sonido del choque de la esfera cayendo por el plano inclinado coincidiera con la oscilación completa del péndulo.

El experimento lo repitió, midiendo los espacios recorridos en dos oscilaciones, en tres oscilaciones, en cuatro oscilaciones, y así sucesivamente. De esa manera descubrió la ley de caída de los cuerpos al observar que cuando el péndulo se dejaba oscilar dos veces, el espacio recorrido por la esfera sobre el plano inclinado en la segunda oscilación era tres veces que el espacio recorrido en la primera oscilación; si se dejaba oscilar tres veces, el espacio recorrido en la tercera oscilación era cinco veces el espacio recorrido durante la primera oscilación. Por dicha razón la ley de caída de los cuerpos inicialmente se llamó la "Ley de los números impares", debido a que los espacios recorridos por la esfera sobre el plano inclinado en cada oscilación del péndulo tenían esa sucesión numérica.

Dado que la suma de los primeros 𝑛 términos de la sucesión de números impares es 𝑛2 , se obtiene que el espacio recorrido es directamente proporcional al cuadrado del tiempo.

Figura 2: Esquema del plano inclinado que utilizó Galileo para demostrar que la longitud recorrida en la caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido.

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«En un cabrío o si se quiere en un tablón de madera de unos doce codos de longitud, y de ancho, en un sentido, medio codo y en el otro tres dedos, en esa menor anchura se había excavado un canalito, poco más ancho que un dedo; habiéndolo excavado muy derecho, y después de haberlo revestido, para que estuviera bien pulido y liso, con un pergamino tan pulido y lustrado como fue posible, hacíamos descender por él una bola de bronce, durísima, bien redonda y pulida; una vez colocado dicho tablón inclinado, por haber elevado sobre la horizontal uno de sus extremos, una braza o dos a capricho, se dejaba (como digo) descender por dicho canalito la bola, anotando, del modo que después diré, el tiempo que empleaba en recorrerlo todo, repitiendo el experimento muchas veces, para medir con toda exactitud el tiempo, en el cual jamás se encontraba una diferencia ni siquiera de la décima parte de una pulsación.

Figura 3: Plano inclinado en el Museo Galileo. http://catalogue.museogalileo.it/object/InclinedPlane.html

Efectuada y establecida con toda precisión esta operación, hacíamos descender la misma bola solamente por la cuarta parte de la longitud de ese canal; y medido el tiempo de su caída, nos encontramos con que era siempre exactísimamente la mitad del anterior. Y haciendo luego experimentos con otras partes, al cotejar después el tiempo de toda la longitud con el tiempo de la mitad, o de los dos tercios, o de los tres cuartos, o, en conclusión, con el tiempo de cualquier otra división, por medio de experiencia más de cien veces repetidas, nos encontrábamos siempre con que los espacios recorridos eran entre sí como los cuadrados de los tiempos, y esto en todas las inclinaciones del plano, o sea del canal por el cual se hacía descender la bola...»3 Galileo Galilei

1.4. Transformaciones de Galileo

Una transformación de Galileo es un cambio de coordenadas y velocidades que deja invariante las ecuaciones de Newton, es decir que proporciona la relación entre posición y velocidad entre dos sistemas inerciales en donde uno se mueve a velocidad constante con respecto al otro.

Sean dos sistemas de referencia inerciales, identificando por 𝑆 al de un observador ubicado en Tierra y por 𝑆′ al de un observador que se mueve con respecto al primero con velocidad constante (por ejemplo alguien que se desplaza en un auto o en una nave espacial a velocidad constante). Los ejes de las 𝑥 de ambos sistemas de referencia están sobre la misma línea recta, pero el origen 𝑂′ del sistema 𝑆′ se desplaza con respecto al origen 𝑂 del sistema 𝑆 con una velocidad constante 𝑢 a lo largo del eje común 𝑥 − 𝑥′. Las coordenadas 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ se refieren al sistema 𝑆′ y las coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧 al sistema 𝑆.

3 Lucio R. Berrone - Galileo y la Genesis de la Cinematica del Movimiento Uniformemente Acelerado. http://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/460370.pdf

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Respecto al tiempo se establecerá que los relojes en ambos sistemas de referencia se ajustaron de tal manera que los orígenes 𝑂 y 𝑂′ coinciden en 𝑡 = 𝑡′ = 0.

Figura 4: El sistema de referencia S’ se desplaza con respecto al sistema S con una velocidad constante u a lo largo del eje común x-x’. Los orígenes O y O’ coinciden en el tiempo t = t’ = 0

Si ahora se analiza el movimiento de una partícula 𝑃 (por ejemplo una nave exploratoria que se lanza desde la nave espacial), se puede describir su posición en base a las coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) del sistema fijo 𝑆 o con las coordenadas (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) desde el sistema móvil 𝑆′.

De acuerdo a la figura, se puede demostrar que existen las siguientes relaciones:

𝑥 = 𝑥′ + 𝑢𝑡

𝑦 = 𝑦′

𝑧 = 𝑧′

[0.1]

La coordenada temporal se considera la misma para ambos sistemas de referencia, es decir que el tiempo una magnitud absoluta.

𝑡 = 𝑡′ [0.2]

Las ecuaciones anteriores se conocen como la transformación galileana de coordenadas y están basadas en los conceptos newtonianos clásicos de espacio y tiempo.

1.5. Relatividad de la trayectoria

Se deja caer un objeto partiendo del reposo y con coordenadas iniciales (𝑥0, 𝑦0, 0) en el sistema de referencia fijo 𝑆. Su trayectoria es rectilínea en dicho sistema (movimiento vertical hacia abajo), como muestra la figura, y se trata de encontrar la trayectoria vista para un observador en 𝑆′.

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Figura 5: La trayectoria de un objeto es relativa al sistema de referencia desde donde se observa el movimiento.

En el sistema de referencia fijo 𝑆 la trayectoria del movimiento del cuerpo cumple con las siguientes relaciones de posición:

𝑥 = 𝑥0

𝑦 = 𝑦0 −1

2𝑔𝑡2

En el sistema 𝑆′ la trayectoria se encuentra aplicando las transformaciones galileanas de coordenadas, es decir:

𝑥′ = 𝑥 − 𝑢𝑡

𝑦′ = 𝑦 ⇝

𝑥′ = 𝑥0 − 𝑢𝑡

𝑦′ = 𝑦0 −1

2𝑔𝑡2

Al resolver las ecuaciones paramétricas en el tiempo de 𝑥′, 𝑦′ se obtiene la expresión de una parábola:

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𝑦′ = −𝑔

2𝑢2𝑥′2 +

𝑔𝑥0

𝑢2𝑥′ + (𝑦0 −

𝑔𝑥02

2𝑢2) [0.3]

La siguiente figura muestra cómo observaría la caída de un objeto, una persona que se encuentra en un sistema de referencia inercial que se mueve a una velocidad constante 𝑢 con respecto a un sistema de referencia fijo. Tal como se nota, la trayectoria observada es una parábola.

La conclusión es que la trayectoria de un objeto es relativa al sistema de referencia. Lo que es una caída libre rectilínea para un observador será un arco de parábola para otro en movimiento respecto del primero.

Imagine que usted está sentado en el corredor de su casa viendo la lluvia que cae verticalmente (no hay viento). ¿Qué trayectoria siguen las gotas de lluvia para un observador que se transporta en un automóvil a velocidad constante en la carretera?

1.6. Teorema de adición de velocidades

La cuestión radica en establecer para un objeto, como se relacionan las velocidades que le miden dos observadores inerciales en movimiento relativo. Su explicación es muy sencilla y sus implicaciones eran muy reconocidas pues se lo utilizaba diariamente: por ejemplo, para subirse a un carro en movimiento lo mejor es correr hasta ponerse en reposo respecto del carro.

Sea un punto 𝑃 que se mueve en la dirección del eje 𝑥, su velocidad instantánea medida por un observador en el sistema de referencia 𝑆 es 𝑣𝑥 y su velocidad instantánea medida desde el sistema de referencia inercial en movimiento es 𝑣𝑥

′ . La relación entre velocidades se obtiene derivando respecto al tiempo las ecuaciones [0.1]

𝑣𝑥 = 𝑣𝑥′ + 𝑢

𝑣𝑦 = 𝑣𝑦′

[0.4]

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𝑣𝑧 = 𝑣𝑧′

1.7. Aceleraciones absolutas

Dado que la aceleración de un punto material es la derivada de su velocidad respecto del tiempo, se puede encontrar de manera sencilla el valor de aceleración que tendrá la partícula en dos sistemas inerciales en movimiento relativo. Derivando las expresiones de la ecuación [0.4] se obtiene:

𝑎𝑥 = 𝑎𝑥′

𝑎𝑦 = 𝑎𝑦′

𝑎𝑧 = 𝑎𝑧′

[0.5]

De las expresiones anteriores se establece que la aceleración de un punto material es absoluta, es decir que su valor es el mismo medido en cualquier sistema de referencia inercial.

Este resultado junto a la invariancia de la masa establece que no hay posibilidad de determinar cuál sistema inercial está en reposo y cual en movimiento mediante experimentos mecánicos, puesto que las magnitudes, fuerza, masa y aceleración son absolutas.

1.8. El Experimento de Michelson-Morley.

El interferómetro de Michelson es la configuración común para la interferometría óptica y fue inventado por Albert Abraham Michelson. Utilizando un divisor de haz (espejo semitransparente), una fuente de luz monocromática se divide en dos haces. Cada uno de ellos se refleja de vuelta hacia el divisor de haz que luego combina sus amplitudes interferométricamente. Dependiendo de la aplicación particular, del interferómetro, los dos caminos pueden ser de diferentes longitudes o incluir materiales ópticos o componentes bajo prueba.

El interferómetro de Michelson es especialmente conocido por su uso por Albert Michelson y Edward Morley en el famoso experimento de Michelson-Morley (1887) en un arreglo para detectar el movimiento de la Tierra a través del supuesto éter luminoso y que la mayoría de los físicos de la época creían era el medio en el que las ondas de luz se propagaban. El resultado nulo del experimento que esencialmente refutó la existencia de un éter como tal, condujo finalmente a la teoría especial de la relatividad y la revolución en la física a principios del siglo XX.

A fines del siglo XIX, el físico James Clerk Maxwell (1831-1879) había propuesto que la luz era una forma de onda similar a las de una cuerda vibrando (como las de una guitarra) aunque de una frecuencia mucho más alta. Como era sabido, cualquier onda, desde una ola en el mar hasta una cuerda que vibra, necesita de un soporte mecánico que sirva de medio para que ésta se propague. Así por ejemplo, el sonido se propaga expandiendo y comprimiendo las moléculas del aire, pero no puede transmitirse en el vacío.

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Figura 6: Interferómetro de Michelson

La teoría de Maxwell requería de la existencia de un medio que fuese capaz de transportar las ondas luminosas incluso por el vacío del espacio debido a que la luz del Sol, la Luna y las estrellas de alguna manera podían llegar hasta la Tierra. En aquella época resultaba inadmisible que una onda, de cualquier clase que fuera, se transmitiese en el vacío sin ningún medio tangible que ejerciera de soporte, así que se postuló la existencia de una sustancia material hipotética en la cual se propagaba la luz. Este material, que debía tener unas características sumamente extrañas y ocupar cada rincón del universo, recibió el nombre de "éter".

Era conocido que la velocidad de la luz es diferente cuando atravesaba distintos materiales, estableciéndose posteriormente que la velocidad de la luz en medios materiales depende de la estructura molecular de los mismos: la permeabilidad eléctrica y la permeabilidad magnética.

Estas propiedades conforman lo que es la densidad óptica de los materiales representadas por el índice de refracción, el cual puede presentar valores diferentes para diferentes longitudes de onda o frecuencias de la luz incidente, por lo que la velocidad de la luz en un medio va a depender de la longitud de onda, razón por la cual un haz de luz cambia de dirección ("se quiebra") cuando pasa de un medio a otro, o también esa es la causa por la cual la luz blanca al atravesar un medio sufre dispersión cromática y está descrito por la ley de Snell (una particularidad del principio de Fermat).

Para que el éter se adaptase al comportamiento observado de la luz, debía ser un fluido que tuviera una densidad nula (para que los cuerpos celestes como la Tierra, planetas, el Sol, estrellas, etc no sufrieran pérdidas de energía en el recorrido de sus trayectorias), ser completamente elástico (para que las ondas luminosas no perdiesen energía al oscilar en la propagación dentro del mismo), además de poder atravesar cualquier medio material llenando los espacios intermoleculares; esto era necesario ya que, de alguna forma, aparecía incluso dentro de un recipiente al que se le hubiese practicado el vacío en el laboratorio.

Esta explicación lejos considerarse improbable era aceptada por la comunidad de físicos de la época, es decir, que para los físicos de principios de siglo XIX, el concepto de éter como sustrato donde se propagaba la luz (y las ondas electromagnética) era tan aceptado como lo es hoy el de los campos electromagnéticos.

En el ámbito de una ciencia con tanta autoridad, el éter debía también ser investigado con rigor científico. Albert Abraham Michelson (1852-1931), un oficial de marina formado en física y química, en 1881 y después con Edward Williams Morley (1838-1923) en 1887, desarrolló experimentos para medir la velocidad de la luz con base en la interferencia de las ondas, utilizando un dispositivo (interferómetro) que fuese capaz de medir la velocidad de la luz en dos direcciones perpendiculares entre sí, con lo que no sólo demostrarían la existencia de este fluido sino que encontrarían la velocidad con que la Tierra se movía con respecto a él. La experiencia de estos dos físicos se conocería luego como "El Experimento de Michelson y Morley" y que dio como resultado una negación de la presencia del éter. No parecía haber tal éter, por lo menos en el espacio alrededor de la Tierra. El resultado fue un punto primordial, aunque no necesariamente la fuente de inspiración directa para los trabajos de Einstein que dieron origen a la teoría de la Relatividad.

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Explicación del Experimento de Michelson Morley

El objetivo de Michelson y Morley era determinar la velocidad relativa con la que la Tierra se mueve con respecto al éter.

Cada año la Tierra completa su órbita alrededor del Sol a una velocidad promedio de 30 km/s. A finales del siglo XIX se suponía que la dirección del "viento del éter" con respecto a la posición del Sistema Solar debería de cambiar cuando la Tierra se desplazase en su órbita. El efecto del viento del éter sobre las ondas de luz, sería como el que hace la corriente de un río sobre un bote que se mueve a favor, en contra o transversal a ella. En algunos recorridos el bote sería frenado, y en otros impulsado. Esto es lo que se creía que pasaría con la luz al llegar a la Tierra con diferentes posiciones con respecto al éter: debería llegar con diferentes velocidades.

Figura 7: Esquema del experimento de Michelson y Morley

Para que el experimento fuese exitoso debería llevarse a cabo en varios momentos del año. De esta manera, la luz al llegar a la Tierra desde diferentes direcciones con respecto al éter, lo haría con diferentes velocidades. El problema era que la velocidad de la luz es de 300 000 km/s, y la de la Tierra tan solo de 30 km/s, por lo que la diferencias temporales serían muy pequeñas, del orden de la millonésimas. Aun así, Michelson y Morley concibieron una manera de medir esta mínima diferencia.

En un edificio ubicado casi al nivel del mar, Michelson y Morley instalaron un dispositivo que se conoce como "interferómetro de Michelson".

Desde una fuente se hacía incidir un haz de luz monocromática sobre un espejo semiplateado para dividirlo en dos haces de luz idénticos que viajaban en ángulo recto uno respecto del otro. Ambos rayos recorrían la misma distancia 𝐿 entre el espejo semiplateado hasta espejos que los reflejaban de vuelta.

Si fuese el caso de que el interferómetro se encontrase en reposo con respecto al éter y además se consideraba que la luz se movía con velocidad 𝑐 respecto al mismo, entonces el tiempo que les tomaría para ir y regresar del espejo semiplateado sería el mismo para ambos:

𝑡0 =2𝐿

𝑐 [0.6]

Si se suponía que la velocidad de la luz era 𝑐 en el éter y si la Tierra se movía a una velocidad �⃗� respecto al éter (el éter se mueve con una velocidad −�⃗� respecto a Tierra, tal como se muestra en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.), entonces al rayo de luz que se mueve perpendicularmente al "viento del éter", a partir de las ecuaciones de transformación de Galileo [0.4], tendría una velocidad respecto a la Tierra:

𝑣𝑝 = √𝑐2 − 𝑢2 [0.7]

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El tiempo que tarda en ir desde el espejo semiplateado hasta el espejo 1 y regresar sería:

𝑡𝑝 =2𝐿

√𝑐2 − 𝑢2 [0.8]

Para el caso del haz que se movía en la dirección del "viento del éter", cuando el haz se propagaba en el mismo sentido la velocidad es 𝑐 + 𝑢, y para cuando se el haz se desplaza en sentido opuesto la velocidad respecto a Tierra es 𝑐 − 𝑢. Por lo que el tiempo en ir desde el espejo semiplateado y regresar al espejo 2 y regresar estaría dado por:

𝑡𝑙 =2𝐿𝑐

𝑐2 − 𝑢2 [0.9]

De las ecuaciones [0.8] y de [0.9], cuando 𝑢 = 0 se obtiene: 𝑡𝑙 = 𝑡𝑝 = 𝑡0 = 2𝐿/𝑐

Cualquier diferencia entre estas velocidades, provocada por la diferente dirección de movimiento de la luz con respecto al movimiento del éter, podría ser detectada. Michelson y Morley esperaban que el movimiento de la Tierra a través del éter provocara un desplazamiento de las franjas de interferencia de alrededor de cuatro décimos de franja cuando se hiciera girar el instrumento. El desplazamiento que se observó en la realidad fue de menos de un centésimo de franja y, dentro de los límites de la incertidumbre experimental, parecía ser exactamente igual a cero. A pesar de su movimiento en órbita alrededor del Sol, la Tierra parecía estar en reposo en relación con el éter. Este resultado negativo desconcertó a los físicos hasta que Einstein desarrolló la teoría especial de la relatividad en 1905. Einstein postuló que la rapidez de una onda luminosa en el vacío tenía la misma magnitud c en relación con todos los marcos de referencia inerciales, sin importar cuál fuera su velocidad relativa de unos con respecto a otros. Se supo entonces que el supuesto éter no desempeñaba ningún papel, y el concepto fue abandonado.

1.9. Invariabilidad de las leyes físicas

A inicio de 1905, Albert Einstein era un empleado en la oficina suiza de patentes. Al terminar ese año Einstein había publicado tres artículos de gran importancia: uno era un estudio del movimiento browniano; un segundo trataba sobre el efecto fotoeléctrico y en el tercero, Einstein presentó su teoría especial de la relatividad, en donde propuso revisiones radicales a las concepciones newtonianas del espacio y el tiempo.

La teoría especial de la relatividad trajo cambios de gran alcance en la comprensión de la naturaleza; sin embargo, Einstein la estableció en dos sencillos postulados. El primero de ellos establece que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales; el otro, que la rapidez de la luz en un vacío es la misma en todos los marcos inerciales. Ambos postulados tienen implicaciones de gran relevancia, entre ellas:

a) Los sucesos simultáneos para un observador probablemente no lo sean para otro observador

b) Cuando dos observadores que se desplazan uno con respecto al otro miden un intervalo de tiempo o una longitud, puede ser que obtengan resultados diferentes.

c) Para que los principios de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía sean válidos en todos los sistemas inerciales, es necesario revisar la segunda ley de Newton, así como las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía cinética.

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1.10. Principios de la Relatividad Especial de Einstein

Los dos postulados de la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein describen lo que ve un observador que se halla en un sistema inercial de referencia (en donde es válida la primera ley de Newton). La teoría es "especial" en el sentido de que se aplica solamente a observadores que se encuentran en sistemas de referencia inercial.

El primer postulado de Einstein, conocido como el principio de relatividad, establece que las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales, es decir que cualquier sistema de referencia inercial es igualmente válido para describir las leyes físicas, por ejemplo: suponga que usted observa a dos niños que juegan a atrapar una pelota mientras se encuentran en un tren cerrado que se mueve a velocidad constante; las medidas sobre el movimiento de la pelota no le pueden indicar con qué rapidez se mueve el tren (aún si se encuentra en reposo o no). Esto se debe a que las leyes de Newton del movimiento son las mismas en todos los marcos inerciales.

Hasta finales del siglo XIX, la comunidad de físicos creía que la luz se propagaba a través de un medio supuesto al que llamaban éter, similar a como las ondas sonoras viajan por el aire. Bajo esa suposición, la rapidez de la luz medida por observadores dependería del movimiento de ellos con respecto al éter y, por lo tanto, sería diferente en distintas direcciones. El experimento de Michelson y Morley, fue un intento por detectar el movimiento de la Tierra con respecto al éter. La propuesta radical de Einstein consistió en reconocer que, si las ecuaciones de Maxwell eran válidas en todos los sistemas de referencia inerciales, entonces la rapidez de la luz en un vacío también debería ser la misma en todos los marcos y en todas direcciones. El segundo postulado de Einstein establece que la rapidez de la luz en un vacío es la misma en todos los sistemas de referencia inerciales y es independiente del movimiento de la fuente.

Figura 8: la mecánica newtoniana predice correctamente las magnitudes dinámicas de objetos que se mueven lentamente, mientras que falla cuando se trata de objetos que se mueven a velocidades comparables a la velocidad de la luz

El segundo postulado puede ser difícil de asimilar porque la experiencia diaria nos indica otra cosa: Si de una aeronave que viaja a 2 km/s con respecto a Tierra y desde la aeronave se lanza un cohete con una velocidad de 6.5 km/s con respecto a ella, entonces la velocidad con respecto a un observador en reposo ubicado en Tierra es de 8.5 km/s. Algo completamente diferente sería por ejemplo que desde la sonda espacial Voyager 1, que se aleja desde la Tierra a una velocidad de 17 km/s, se emite un haz de luz en la dirección en que avanza la sonda (300000 km/s) entonces desde Tierra no se vería que el haz se aleja a 300017 km/s, si no que siempre se alejaría a 300000 km/s, según los establece el segundo postulado de la Teoría Especial de la Relatividad.

1.10.1. Rapidez máxima de interacción

A partir de los postulados de la Teoría Especial de la Relatividad se establece que no existen interacciones instantáneas en la naturaleza y toda comunicación o envío de información conlleva tiempo puesto que la rapidez de interacción tiene un valor finito (a diferencia de la mecánica newtoniana en donde la interacción entre dos puntos es instantánea).

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La rapidez máxima de interacción del mundo físico es la rapidez de propagación de la interacción electromagnética (incluida la luz) que es una constante física universal y que en un sistema de referencia inercial en el vacío tiene un valor de4

𝑐 =1

√𝜀0𝜇0

= 299792458𝑚

𝑠≈ 3 × 108

𝑚

𝑠 [0.10]

La velocidad de la luz es de gran trascendencia en las telecomunicaciones. Por ejemplo, el perímetro de la Tierra es de 40075 km en el ecuador y dado que la velocidad de la luz es la mayor rapidez a la que la información puede viajar, el período más corto de tiempo para ir de un punto a otro, ubicados diametralmente en el ecuador, sería de 0.067 s. En realidad el tiempo es un poco mayor, en parte debido a que la velocidad de la luz alrededor de un 30% menor en una fibra óptica que en el vacío, también a que las trayectorias en las comunicaciones globales no son rectas; además se producen retrasos cuando la señal pasa a través de interruptores eléctricos o generadores de señales. En 2004, el retardo típico de recepción de señales desde Australia o Japón hacia Estados Unidos era de 0.18 s.

La velocidad finita de la luz se hizo evidente a todo el mundo cuando Neil Armstrong (el primer hombre que puso el pie sobre la superficie lunar) se comunicaba con Control Terrestre de Houston: después de cada pregunta realizada en Houston, tenían que esperar cerca de 3 s para el regreso de una respuesta aun cuando los astronautas respondían inmediatamente.

De igual manera es imposible el control remoto instantáneo de una nave interplanetaria, debido a que una nave suficientemente alejada de nuestro planeta podría tardar algunas horas desde que envía información al centro de control terrestre y recibe las instrucciones.

Consecuencias de los postulados de la Relatividad Especial de Einstein se pueden mencionar las siguientes:

a) La relatividad de la simultaneidad: Dos eventos simultáneos para un observador no pueden ser simultáneos para otro observador si los observadores están en movimiento relativo.

b) La dilatación del tiempo: los relojes, ubicados en sistemas de referencia que se mueven con respecto a un observador, avanzan más despacio (el tiempo transcurre más lento) que un reloj que se encuentre en reposo con el observador.

c) Contracción de longitud: Los objetos que se encuentran en sistemas de referencia que se mueven con respecto a un observador, los observará con menor longitud en la dirección del movimiento que si estuviesen en reposo con respecto a él

d) La equivalencia masa-energía: 𝐸 = 𝑚𝑐2, la energía y la masa son equivalentes y transmutable. e) La velocidad máxima es finita: Ningún mensaje o campo físico puede viajar más rápido que la velocidad de la luz en el

vacío. f) Es imposible que un observador inercial viaje a la rapidez de la luz en el vacío. Suponer que pudiese viajar a dicha

rapidez estaría contradiciendo el segundo postulado de la relatividad especial de Einstein. (Suponga que una nave espacial pudiese viajar a rapidez 𝑐, si encendiese un faro desde la nave, un observador en tierra observaría el haz de luz se movería también a rapidez 𝑐, y por lo tanto vería a la nave y el haz de luz en el mismo punto. Sin embargo, para el observador en la nave, el haz se movería a rapidez 𝑐 y por lo tanto no podrían estar en el mismo punto. He allí la contradicción).

4 La velocidad de la luz se expresa en términos de la permitividad eléctrica del vacío 𝜀0 = 8.854187817 × 10−12 𝐹/𝑚 y la

permeabililidad magnética del vacío 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 𝑁/𝐴2

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1.10.2. Relatividad de la Simultaneidad.

El concepto de espacio-tiempo surge al invertir la definición de velocidad. La velocidad ya no es la relación entre el espacio y el tiempo como la define la mecánica newtoniana para sistemas inerciales, sino que impera un límite superior, por lo que el espacio y el tiempo empiezan a depender el uno del otro para que la velocidad de la luz sea constante. Dicho concepto interdependiente configura la naturaleza del espacio-tiempo en la Teoría de la Relatividad de Einstein.

La medición de tiempos e intervalos de tiempo involucra el concepto de simultaneidad, la que a su vez se relaciona con la ocurrencia de un evento o un suceso (acontecimiento en una posición y tiempo definido) Por ejemplo, una persona que golpea una campana en la torre de una iglesia, dirá que el golpe y el sonido producido por la campana son eventos simultáneos; pero para un feligrés que se encuentre a un kilómetro el evento golpe a la campana y el sonido de la campana no son simultáneos.

El problema fundamental de la medición de intervalos de tiempo es que en general, dos sucesos que son simultáneos en un marco de referencia no lo son en un segundo marco que se desplaza con respecto al primero, aun cuando ambos sean marcos inerciales.

Un experimento mental para determinar la simultaneidad o no simultaneidad de eventos ocurridos (observado desde dos sistemas de referencia inerciales que tienen velocidad relativa entre sí):

Una imagen popular para comprender el concepto de simultaneidad es proporcionada por un experimento mental que consiste en imaginar a un observador justo en la mitad dentro de un vagón de tren con rapidez comparable a la de la luz, y otro observador de pie sobre una plataforma viendo que el tren se mueve transversalmente frente a él. Similar a los experimentos mentales sugeridas por Daniel Frost Comstock en 1910 y Einstein en 1917.

Un destello de luz es emitido en el centro del vagón justo en el momento que los dos observadores pasan uno frente al otro. El observador a bordo del tren ve la parte delantera y trasera de vagón a una distancia fija de la fuente de luz y según sus medidas, la luz llegará a la parte delantera y trasera del vagón al mismo tiempo (eventos simultáneos).

El observador de pie en la plataforma, por el contrario, ve la parte posterior del vagón moviéndose hacia el punto en el que el destello se desprende y la parte delantera del vagón alejarse de él. Debido a que la velocidad de la luz es finita e igual en todas las direcciones para todos los observadores, el haz de luz que se dirigió hacia la parte trasera del tren tendrá menos distancia a recorrer que la luz se dirigió a la parte delantera. Por lo tanto, los destellos de luz alcanzarán los extremos del vagón en diferentes momentos (eventos no simultáneos)

No existe base alguna para afirmar que uno de los observadores está equivocado. Según el principio de relatividad, ningún sistema inercial de referencia es más exacto que cualquier otro para la formulación de leyes físicas. Cada observador está en lo correcto en su propio sistema de referencia. Dicho de otra manera, la simultaneidad no es un concepto absoluto. El que dos sucesos sean simultáneos depende del sistema de referencia y la simultaneidad juega un papel importante en la medición de intervalos de tiempo. El intervalo de tiempo entre dos sucesos puede ser diferente en distintos sistemas de referencia.

1.11. Relatividad de los Intervalos de Tiempo.

Se trata ahora de poder comparar intervalos de tiempo en diferentes sistemas de referencia. La ley de relatividad del tiempo surge de la interpretación que se da al experimento de Michelson-Morley; si se recorren dos espacios diferentes

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simultáneamente con la misma velocidad, utilizando un reloj en reposo y otro en movimiento, producen el efecto conocido como dilatación del tiempo.

Sea un sistema de referencia 𝑆′ que se desplaza a lo largo de un eje común 𝑥 − 𝑥′ con rapidez constante 𝑢 con respecto a un sistema 𝑆 considerado como fijo. La velocidad relativa 𝑢 entre ellos debe ser menor que la rapidez de la luz 𝑐.

Un observador que viaja junto con el sistema de referencia inercial móvil 𝑆′ mide el intervalo de tiempo entre dos eventos que ocurren en el mismo punto del espacio. El evento 1 corresponde al momento en que un destello de luz parte de 𝑂′ desde una fuente luminosa. El evento 2 es cuando el destello regresa a 𝑂′ después que se hubo reflejado en un espejo que se encuentra a una distancia 𝑑 de la fuente, tal como se muestra en la Figura 9.

Figura 9: Una persona observa dos eventos que ocurren en el mismo punto y mide el tiempo entre ellos

El tiempo ∆𝑡0 que mide la persona que se encuentra en el sistema de referencia 𝑆′ está dado por:

∆𝑡0 =2𝑑

𝑐 [0.11]

Otro observador se encuentra situado en el sistema de referencia 𝑆 y para dicha persona los eventos ocurren en diferentes puntos del espacio, verá que el rayo de luz seguirá una trayectoria diferente 2𝑙 y por lo tanto medirá un intervalo de tiempo ∆𝑡 distinto.

Mientras ocurren ambos eventos, el sistema 𝑆′ se habrá desplazado una distancia 𝑢∆𝑡 tal como se muestra en la Figura 10.

Para el observador en el sistema 𝑆 el rayo recorre una distancia 2𝑙, donde:

𝑙 = √𝑑2 + (𝑢∆𝑡

2)2

[0.12]

El tiempo que mide el observador en el sistema de referencia en reposo se calcula como:

∆𝑡 =2𝑙

𝑐=

2

𝑐√𝑑2 + (

𝑢∆𝑡

2)2

Rearreglando términos y tomando en cuenta la ecuación [0.11] se llega:

∆𝑡 =∆𝑡0

√1 − 𝑢2/𝑐2

Dado que la cantidad √1 − 𝑢2/𝑐2 es menor que la unidad, entonces el intervalo de tiempo ∆𝑡 que mide el observador en el sistema de referencia fijo 𝑆, es mayor que intervalo de tiempo ∆𝑡0 que mide el observador que se encuentra en el sistema de referencia en movimiento 𝑆′.

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Figura 10: Para la persona que se encuentra en el sistema fijo S, observa que el rayo describe una trayectoria triangular y medirá un tiempo mayor que el observador en S’. La velocidad del rayo es la misma en ambos sistemas de referencia.

1.11.1. Dilatación del Tiempo

Suponga que en un sistema de referencia inercial específico suceden dos eventos en un mismo punto del espacio. El intervalo de tiempo entre estos dos sucesos, medido por un observador en reposo en este mismo sistema de referencia, es ∆𝑡0 . Bajo estas circunstancias un observador en un segundo sistema de referencia que se desplaza con rapidez constante 𝑢 con respecto al que está en reposo medirá un intervalo de tiempo ∆𝑡, donde

∆𝑡 =∆𝑡0

√1 − 𝑢2/𝑐2 [0.13]

Tomando en cuenta que ningún observador inercial puede viajar a una rapidez 𝑐, la expresión anterior proporciona resultados razonables cuando 𝑢 < 𝑐 (Matemáticamente la expresión [0.13] se vuelve infinita cuando 𝑢 = 𝑐 o imaginaria cuando 𝑢 > 𝑐). El denominador de la ecuación [0.13] siempre es menor que uno, por lo cual ∆𝑡 siempre será mayor que ∆𝑡0. Este efecto es conocido como dilatación del tiempo.

Imagine en un péndulo que se encuentra oscilando en una nave espacial (sistema de referencia inercial) y un observador que se encuentra en reposo en ese sistema encuentra que el periodo del péndulo es un segundo (esto es ∆𝑡0). Si la nave se mueve a una velocidad con respecto a un observador que se encuentra en Tierra, este observador medirá un tiempo ∆𝑡 mayor que un segundo para el periodo del péndulo. En decir, los observadores perciben que cualquier reloj avanza más despacio si se mueve con respecto a ellos. Esta conclusión es un resultado directo del hecho de que la rapidez de la luz en el vacío es la misma en ambos sistemas de referencia.

Dado que el término 1/√1 − 𝑢2/𝑐2 es utilizado frecuentemente en relatividad se acostumbra asignarle un símbolo: 𝛾 (gamma)

𝛾 =1

√1 − 𝑢2/𝑐2 [0.14]

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Por lo que la expresión de dilatación del tiempo se escribe como:

∆𝑡 = 𝛾 ∆𝑡0 [0.15]

Imagine que en un sistema de referencia inercial A se enciende un LED durante ∆𝑡0 = 1 𝑠 (medido con un reloj dentro del mismo sistema). Suponiendo que el sistema A se mueve con una velocidad 𝑢 con respecto a un sistema inercial B en Tierra, la duración ∆𝑡 del evento en B dependerá de la rapidez relativa entre los sistemas. La siguiente tabla muestra el efecto de la dilatación del tiempo.

En el sistema de referencia A se enciende un LED durante ∆𝒕𝟎 = 𝟏 𝒔 por un observador dentro de un sistema de referencia en movimiento.

El tiempo ∆𝒕 medido por un observador en el sistema de referencia B

Un pasajero en un automóvil a 90 km/h (25 m/s) 1.0000000000000035 s (el intervalo ∆𝑡 es solamente 3.5 fs mayor que ∆𝑡0)

Un piloto de la fórmula 1 viajando a 241 km/h (67 m/s)

1.00000000000003 s (el intervalo ∆𝑡 es solamente 30 fs mayor que ∆𝑡0)

Un copiloto de un avión supersónico viajando a la velocidad del sonido de 330 m/s

1.00000000000061 s (el intervalo ∆𝑡 es solamente 0.6 ps mayor que ∆𝑡0)

Un ingeniero que se transporta en una nave espacial que viaja a 296794533 m/s (0.99 c)

7.089 s

El ingeniero Geordi La Forge en el cuarto de máquinas de la USS Enterprise viajando a 299492665 m/s (0.999 c)

22.366 s

.

Si la rapidez relativa 𝑢 es lo suficiente grande para que 𝛾 sea considerablemente mayor que 1, se dice que la rapidez es relativista; si la diferencia entre 𝛾 y 1 es despreciablemente pequeña, la rapidez 𝑢 se denomina no relativista. Así para una rapidez 𝑢 = 59958491 m/s = 0.20 c para la cual 𝛾 = 1.021 es una rapidez relativista, pero para una rapidez 𝑢 =89937 m/s = 0.0003 c para la cual 𝛾 = 1.000000045 es una rapidez no relativista.

1.11.2. Tiempo propio

Hay un solo sistema de referencia donde un reloj está en reposo, y existe un número infinito de ellos en el que está en movimiento. Por consiguiente, el intervalo de tiempo medido entre dos sucesos que ocurren en el mismo punto en un sistema de referencia determinado es una magnitud más fundamental que el intervalo entre sucesos en puntos diferentes. Se utiliza el término tiempo propio para describir el intervalo de tiempo ∆𝑡0 entre dos sucesos que ocurren en el mismo punto.

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Es importante señalar que el intervalo de tiempo ∆𝑡 de la ecuación [0.13] se refiere a eventos que ocurren en puntos espaciales diferentes en el marco de referencia S. Además debe de notarse que cualesquiera que sean las diferencias entre ∆𝑡 y el tiempo propio ∆𝑡0 no se deben a diferencias en los tiempos necesarios para que la luz se propague de esos puntos del espacio a un observador en reposo en S.

Debe de suponerse que el observador es capaz de realizar las correcciones necesarias por las diferencias de tiempo de tránsito de la luz, (del mismo modo que un astrónomo que observa el Sol sabe que un suceso que se ve en este momento en la Tierra ocurrió en realidad hace 500 s en la superficie del Sol).

Figura 11: variación del factor γ con respecto a la rapidez relativa entre dos sistemas de referencia inerciales.

Pueden sincronizarse dos relojes sin ninguna dificultad, siempre y cuando se encuentren en reposo en el mismo sistema de referencia. Para ello considérese a dos observadores, uno inmóvil en la ubicación del primer suceso y el otro también inmóvil en la posición del segundo, cada uno con su propio reloj, se envía un pulso de luz simultáneamente a los dos relojes desde un punto medio entre ambos. Cuando la pulsación llega, los observadores ajustan sus relojes a un tiempo acordado previamente. (Sin embargo, advierta que, en general, los relojes que están sincronizados en un marco de referencia no están sincronizados en cualquier otro sistema)

1.11.3. Paradoja de los gemelos

Las expresiones de la dilatación del tiempo pueden ser usadas para formular una paradoja aparente conocida como la paradoja de los gemelos. Considere dos astronautas gemelas idénticas: María y Sara. Sara se queda en la Tierra mientras que su gemela María comienza un viaje a gran velocidad a través de la galaxia. Debido a la dilatación del tiempo, Sara observa que todos los procesos vitales de María se llevan a cabo con más lentitud que los suyos. Es así que para Sara, María envejece más despacio; cuando María regresa a la Tierra es más joven (ha envejecido menos) que Sara.

La paradoja es la siguiente: según el primer postulado de la teoría de la relatividad especial de Einstein, todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes. ¿Entonces no puede María emplear los mismos argumentos para concluir que Sara es la más joven? En tal caso las mediciones de cada gemela indican que la otra es más joven cuando se reúnen de nuevo, y eso es una paradoja.

Para solventar la paradoja, es necesario establecer que uno de los sistemas de referencia en los que se mueven las gemelas no es inercial. En tanto que Sara permanece en un sistema aproximadamente inercial en todo momento, María debe acelerar con respecto a ese sistema inercial durante algunos momentos en su recorrido con la finalidad de partir, dar la vuelta y regresar a la Tierra. El marco de referencia de Sara siempre es aproximadamente inercial; el de María está en muchos casos lejos de ser inercial. Así, existe una diferencia física real entre las situaciones de las dos gemelas.

Así, si María completase el viaje redondo a una rapidez 𝑢 = 0.6 𝑐 durante un tiempo ∆𝑡0 de dos horas medido con un reloj dentro de la nave espacial, el tiempo ∆𝑡 transcurrido para Sara sería de:

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𝛾 =1

√1 − 𝑢2/𝑐2=

1

√1 − 0.62= 1.25

∆𝑡 = 𝛾∆𝑡0 = 2.5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

La paradoja también se puede resolver por medio de medir el tiempo en secuencias de eventos ocurridos ya sea en la nave o en Tierra. Si la nave estuviese en reposo con respecto a Tierra y María enviase pulsos luminosos con cierta frecuencia (suponiendo que sea un pulso cada seis minutos) hacia la Tierra, Sara los recibiría con la misma frecuencia puesto que la nave y la Tierra se encuentran en el mismo sistema de referencia (lo único que podría ocurrir es que hubiese un retraso cuando la luz se propague desde la nave hasta la Tierra si la separación es considerable, tal como la luz tarda alrededor de 500 s en llegar del Sol a la Tierra)

Figura 12: Cuando no interviene el movimiento, los destellos de luz se reciben con la misma frecuencia que los manda la nave.

Cuando existe movimiento relativo entre los sistemas de referencia, la situación es muy distinta. Es importante observar que la rapidez de los destellos seguirá siendo 𝑐 , independientemente de cómo se mueva la nave o el receptor. Sin embargo, la frecuencia con que se ven los destellos depende mucho del movimiento relativo que haya. Cuando la nave viaje hacia el receptor, éste ve los destellos con más frecuencia. Eso sucede no sólo porque se altera el tiempo a causa del movimiento, sino principalmente porque cada destello sucesivo debe recorrer menos distancia conforme la nave se acerca al receptor.

Si desde la nave María envía pulsos de luz cada ∆𝑡0 = 6 𝑚𝑖𝑛 = 360 𝑠, ¿Con que frecuencia llegarían hasta Sara en la Tierra? Para iniciar en el reloj ubicado en Tierra, Sara mediría un tiempo de ∆𝑡 = 𝛾∆𝑡0 = 1.25(360 𝑠) = 450 𝑠 entre pulso y pulso emitido desde la nave, pero mientras el primer pulso de luz avanza 𝑑1 = 𝑐{1.25(360 𝑠)} = 450 𝑐, también la nave se habrá acercado a Tierra una distancia 𝑑2 = 0.6𝑐{1.25(360 𝑠)} = 270 𝑐 y cuando la nave emite un segundo pulso se encuentra a ∆𝑑 = 𝑑1 − 𝑑2 = 180 𝑐 y el pulso lo recorrería en ∆𝑡𝑓 = 180 𝑠, es decir, que los pulsos llegarían

hasta la Tierra cada 3 𝑚𝑖𝑛.

29

Figura 13: Cuando el transmisor se mueve hacia el receptor, los destellos se ven con más frecuencia.

En cambio si la nave se aleja, cada vez que María emita pulsos cada 6 minutos según su reloj dentro de la nave, Sara desde Tierra verá que llegan con menor frecuencia debido a que la nave se habrá alejado una distancia 𝑑2 = 270 𝑐 mientras que el pulso se habrá acercado a a la Tierra una distancia 𝑑1 = 450 𝑐. La distancia entre pulsos será ∆𝑑 = 𝑑1 + 𝑑2 =720 𝑐 y el segundo pulso lo recorrería en ∆𝑡𝑓 = 720 𝑠 = 12 𝑚𝑖𝑛.

Figura 14: Cuando el transmisor se aleja del receptor, los destellos se alejan y se ven con menos frecuencia.

Si María se alejó desde la Tierra durante una hora (según su reloj) a una velocidad de 0.6𝑐 y emitió pulsos cada seis minutos (también medidos con su reloj) haciendo un total de 10 pulsos, esos pulsos llegaron a Tierra y Sara los recibió cada 12 minutos (según el reloj ubicado en Tierra), por lo que los 10 pulsos llegaron en 120 minutos.

Suponiendo que la nave pudiese cambiar de sentido y regresar a la Tierra con la misma velocidad, María sigue emitiendo pulsos cada 6 minutos (10 pulsos en total durante la hora de regreso según su reloj en la nave) pero Sara los recibe ahora cada 3 minutos (medidos con su reloj en Tierra) para un total de 30 minutos.

30

Así mientras María mide dos horas para la duración de su viaje, para Sara habrán pasado 150 mintos (2.5 horas), es decir que Sara, la gemela que se quedó en Tierra habrá envejecido media hora más que María, la gemela que hizo el viaje espacial en redondo.

1.12. Relatividad de la Longitud.

La distancia entre dos puntos, al igual que el tiempo transcurrido entre dos sucesos, puede depender del sistema de referencia inercial desde donde se mida. En esto interviene el concepto de simultaneidad. Suponga que se desea medir la longitud de un automóvil en movimiento. Una forma de hacerlo es que dos colaboradores marquen el pavimento en las posiciones de los extremos delantero y trasero del automóvil, y luego medir la distancia entre las marcas. Pero las marcas deben de hacerse al mismo tiempo, porque de lo contrario no se obtendría la longitud real del auto.

Para las longitudes que son paralelas a la dirección del movimiento que de miden en distintos sistemas de referencia inercial, considérese el siguiente experimento mental: se coloca una fuente de luz en un extremo de una regla y un espejo en el otro. La regla se encuentra en reposo en el sistema de referencia 𝑆′, y su longitud en este sistema es 𝑙0 (Figura 15).

Figura 15: Una regla se halla en reposo en el marco 𝑺′. Una fuente en un extremo de la regla emite un pulso luminoso que se refleja en un espejo en el otro extremo y regresa a la posición de la fuente

Bajo estas condiciones el tiempo ∆𝑡0 que se requiere para que el haz de luz realice el recorrido de la fuente al espejo y viceversa es:

∆𝑡0 =2𝑙0𝑐

[0.16]

El tiempo medido de esa manera es un tiempo propio debido a que los dos eventos (punto de partida y de llegada) ocurren en el mismo punto en 𝑆′.

En el sistema de referencia 𝑆 la regla se desplaza con rapidez u en misma dirección en que sale el pulso luminoso desde la fuente (Figura 16).

Sea 𝑙 la longitud de la regla en el sistema 𝑆 y ∆𝑡1 el tiempo que tarda la luz en ir desde la fuente al espejo. Pero mientras la luz tarda en llegar al espejo, éste se habrá movido una distancia 𝑢 ∆𝑡1, por lo que la distancia total que recorre la luz es:

𝑑 = 𝑙 + 𝑢∆𝑡1

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Figura 16: Movimiento del haz luminoso medido en el sistema de referencia 𝑺.

Debido a que el haz luminoso se mueve a rapidez 𝑐 en cualquier sistema de referencia, también se cumple que:

𝑑 = 𝑐 ∆𝑡1

Al combinar las ecuaciones anteriores:

∆𝑡1 =𝑙

𝑐 − 𝑢 [0.17]

La división de la distancia 𝑙 entre 𝑐 − 𝑢 no significa que la luz viaje con esa rapidez, sino que la distancia que el haz luminoso recorre en 𝑆 es mayor que 𝑙.

Un análisis muy similar se puede emplear para encontrar el tiempo ∆𝑡2 (medido en 𝑆) que al haz luminoso le toma en regresar hasta la fuente después de haber sido reflejado en el espejo.

∆𝑡2 =𝑙

𝑐 + 𝑢 [0.18]

El tiempo total ∆𝑡 = ∆𝑡1 + ∆𝑡2 para el recorrido total en el viaje de ida y vuelta del luminoso, medido desde el sistema de referencia 𝑆 es:

∆𝑡 =2𝑙

𝑐(1 − 𝑢2/𝑐2) [0.19]

Si ahora se combina la ecuación anterior con la ecuación [0.16] (en donde se sustituye primero la expresión del tiempo propio dada por la ecuación [0.13]):

𝑙 = 𝑙0√1 − 𝑢2/𝑐2 [0.20]

O empleando el factor 𝛾:

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𝑙 =𝑙0𝛾

[0.21]

Una longitud 𝑙0 de un objeto que se mide en el sistema de referencia 𝑆′ donde el cuerpo está en reposo (el sistema en

reposo del cuerpo) recibe el nombre de longitud propia. Dado que el factor √1 − 𝑢2/𝑐2 es menor que la unidad, la longitud 𝑙 del objeto que se mide desde cualquier otros sistema de referencia 𝑆 en donde el objeto está en movimiento siempre será menor que 𝑙0. Este efecto se llama contracción de la longitud

Cuando la rapidez 𝑢 es muy pequeña en comparación con 𝑐, 𝛾 se acerca a 1. Así, en el límite de la pequeña rapidez nos acercamos a las relaciones newtonianas:

𝑙 = 𝑙0

∆𝑡 = ∆𝑡0

Esto muestra que las ecuaciones correspondientes de la transformación galileana de coordenadas, son por lo regular suficientemente exactas cuando la rapidez relativa es mucho menor que la velocidad de la luz.

Si las longitudes que se miden son perpendiculares a la dirección del movimiento relativo entonces no sucede una contracción de longitud. De igual manera, si la longitud (una varilla por ejemplo) forma un ángulo 𝜃0 con respecto al eje del movimiento, solamente la componente en la dirección del movimiento se ve afectada y por lo tanto será contraída.

Imagine que en un sistema de referencia en reposo se observa una varilla rectangular de la cual solo puede ver la sección transversal del extremo frontal (tal como se muestra en la figura), y el sistema de referencia pasa enfrente de usted a velocidad relativista perpendicular al eje de la varilla. ¿Cómo observaría usted la varilla?

Tome en cuenta que un haz de luz proveniente del extremo más alejado podría llegar hasta usted si el extremo frontal ya se ha movido a la derecha.

1.13. Transformaciones de Lorentz.

Las transformaciones de Lorentz relacionan las coordenadas espaciales y temporal de evento que ocurre en el punto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), observado en un sistema de referencia 𝑆, con las coordenadas (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′, 𝑡′) del suceso pero observado en un segundo sistema de referencia 𝑆′, que se desplaza con respecto a 𝑆 con rapidez constante 𝑢 en la dirección +𝑥.

Se considera que los orígenes coinciden en el tiempo inicial 𝑡 = 𝑡′ = 0. Entonces, en 𝑆 la distancia de 𝑂 a 𝑂′ en el tiempo 𝑡 sigue siendo 𝑢𝑡. La coordenada 𝑥′ es una longitud propia en 𝑆′; por lo tanto, en S se ha contraído por el factor según la ecuación [0.20].

Por lo tanto la distancia 𝑥 desde 𝑂 hasta 𝑃 medida desde el sistema de referencia 𝑆 ya no es simplemente la transformación galileana [0.1], sino que hay que aplicar la contracción de Lorentz para 𝑥′ y se llega a la expresión:

𝑥 = 𝑢𝑡 + 𝑥′√1 − 𝑢2/𝑐2

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Figura 17: La transformación de coordenadas de Lorentz relaciona las coordenadas de espacio-tiempo de un suceso medidas en los dos sistemas: (𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕) en el sistema 𝑺 y (𝒙′, 𝒚′, 𝒛′, 𝒕′) en el sistema 𝑺′.

De donde se obtiene:

𝑥′ =𝑥 − 𝑢𝑡

√1 − 𝑢2/𝑐2 [0.22]

Por el primer postulado de la relatividad, la ecuación anterior (transformación de 𝑆 a 𝑆′) también debe de poder aplicarse en sentido inverso de 𝑆′ a 𝑆, intercambiando entre las coordinadas primadas y no primadas y considerando que desde 𝑆′ el sistema de referencia 𝑆 se mueve con velocidad −𝑢. La ecuación [0.22] se convierte en:

𝑥 =𝑥′ + 𝑢𝑡′

√1 − 𝑢2/𝑐2

Si se sustituye 𝑥′ de la ecuación [0.22] en la expresión anterior y se despeja para 𝑡′ se obtiene:

𝑡′ =𝑡 − 𝑢𝑥/𝑐2

√1 − 𝑢2/𝑐2 [0.23]

Si se toma en cuenta que las longitudes perpendiculares al movimiento no se ven afectadas por el movimiento relativo entre los sistemas de referencia entonces sigue siendo válido:

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑧 [0.24]

Las ecuaciones desde la [0.22] hasta la [0.24] constituyen lo que se conoce como las transformaciones de coordenadas de Lorentz. En el límite cuando 𝑢 ≪ 𝑐, se llega a obtener las transformadas galileanas de las coordenadas. En general, sin embargo, tanto las coordenadas como el tiempo de un suceso en un sistema de referencia dependen de sus coordenadas

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y tiempo en otro sistema. El espacio y el tiempo están conectados; ya no se puede afirmar que la longitud y el tiempo tienen significados absolutos independientes del sistema de referencia. Por tal razón, se considera al tiempo y a las tres dimensiones del espacio de manera colectiva, como una entidad tetradimensional denominada espacio-tiempo, y se denomina a (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) las coordenadas de espacio-tiempo de un evento.

Las ecuaciones [0.22] y [0.23] permiten encontrar la generalización relativista de la transformación galileana de velocidades. Encontrando sus diferenciales 𝑑𝑥′ y 𝑑𝑡′:

𝑑𝑥′ = 𝛾(𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑𝑡)

𝑑𝑡′ = 𝛾(𝑑𝑡 − 𝑢 𝑑𝑥/𝑐2)

La velocidad 𝑣𝑥′ = 𝑑𝑥′ 𝑑𝑡′⁄ medida en el sistema de referencia 𝑆′ , en términos de la velocidad 𝑣𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ queda

expresada como:

𝑣𝑥′ =

𝑣𝑥 − 𝑢

1 −𝑢𝑣𝑥

𝑐2

[0.25]

Para las velocidades 𝑣𝑦′ y 𝑣𝑧

′ se obtienen las expresiones:

𝑣𝑦′ =

𝑣𝑦

𝛾 (1 −𝑢𝑣𝑥

𝑐2 )

𝑣𝑧′ =

𝑣𝑧

𝛾 (1 −𝑢𝑣𝑥

𝑐2 )

[0.26]

Las ecuaciones [0.25] y [0.26] se conocen como las transformaciones de velocidades de Lorentz. Igualmente en el límite cuando 𝑢 ≪ 𝑐 se llegan a las transformaciones galileanas de velocidades. Si en la ecuación [0.25] se sustituye 𝑣𝑥 = 𝑐 (es decir que se lanza un haz de luz desde el sistema de referencia 𝑆 en la dirección del movimiento de 𝑆′), se obtendría que 𝑣𝑥

′ = 𝑐, lo que lleva a la conclusión que un haz luminoso se mueve con rapidez 𝑐 en cualquier sistema de referencia.

1.14. Cantidad de Movimiento Relativista.

Las Leyes de Newton, como una de las leyes físicas, tiene la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales. Así cuando se emplean transformaciones para cambiar de un sistema inercial a otro, las leyes deben ser invariables (no cambiantes).

La Segunda Ley de Newton para un cuerpo, escrita en la forma 𝐹 = 𝑑𝑝 𝑑𝑡⁄ (como la fuerza neta igual a la derivada temporal de la cantidad de movimiento 𝑝 ) tiene dependencia de la velocidad a través de la cantidad de movimiento 𝑝 =𝑚𝑣 .

Ahora si fue necesario modificar las relaciones de transformación para las velocidades para cuando la velocidad relativa entre los sistemas de referencia es cercana a la velocidad de la luz, ¿Cómo afecta dichas transformaciones a la cantidad de movimiento?

Imagine un sistema cerrado en donde existe una colisión entre dos partículas en un sistema de referencia inercial 𝑆. En ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento 𝑝 = 𝑚𝑣 se mantiene constante. Lo anterior es el enunciado del

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principio de conservación de la cantidad de movimiento, y como una ley física debe de cumplirse en todos los sistemas de referencia inerciales. Si también el evento físico, colisión de dos partículas, también se analiza desde un sistema inercial 𝑆′ que se mueve con respecto a 𝑆 a una rapidez relativa 𝑢 comparable a la velocidad de la luz 𝑐 , si se realiza una transformación de las velocidades involucradas en el choque y se utiliza la definición newtoniana de cantidad de movimiento se llega a la situación que no se cumple la conservación de cantidad de movimiento.

Si se asume que el principio de relatividad y la transformación de Lorentz son correctos, la única forma de salvar la conservación de la cantidad de movimiento es generalizar la definición de cantidad de movimiento.

Suponiendo que la masa medida de una partícula es 𝑚 cuando está en reposo con respecto al observador (a menudo se le llama a 𝑚 masa en reposo). Si se designa con el término partícula material para nombrar una partícula cuya masa en reposo es diferente de cero, cuando una de estas partículas tiene una velocidad 𝑣 cantidad de movimiento relativista 𝑝 es:

𝑝 =𝑚𝑣

√1 − 𝑣2/𝑐2 [0.27]

Cuando la magnitud de la velocidad 𝑣 es muy pequeña comparada con la rapidez de la luz, la expresión dada por la ecuación [0.27] se convierte en la definición clásica 𝑝 = 𝑚𝑣 . En el caso de que la magnitud de la velocidad es cercana a la rapidez de la luz, la cantidad de movimiento 𝑝 tiende al infinito.

1.15. Segunda Ley de Newton Relativista.

La expresión general de la Segunda Ley de Newton en la mecánica clásica viene dada por la derivada temporal de la cantidad de movimiento. Si la masa del objeto es constante, entonces una fuerza constante produce una aceleración constante.

𝐹 =𝑑𝑝

𝑑𝑡= 𝑚

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑚𝑎

En el caso de que se involucre una velocidad relativista, la cantidad de movimiento ya no es directamente proporcional a la velocidad de la partícula y la Segunda Ley de Newton sigue siendo válida si se utiliza la cantidad de movimiento relativista. Consecuencia de ello, una fuerza constante ya no produce una aceleración constante.

𝐹 =𝑑

𝑑𝑡(

𝑚𝑣

√1 − 𝑣2/𝑐2) [0.28]

Para el caso en que la fuerza neta 𝐹 aplicada sobre una partícula 𝑚 sea paralela a la velocidad 𝑣

𝐹 =𝑑

𝑑𝑡(

𝑚𝑣

√1 − 𝑣2/𝑐2) =

𝑚

√1 − 𝑣2/𝑐2

𝑑𝑣

𝑑𝑡+ 𝑚𝑣

𝑑

𝑑𝑡(

1

√1 − 𝑣2/𝑐2)

Se obtiene la expresión:

𝐹 = 𝑚𝑎(1 −𝑣2

𝑐2)

−3/2

= 𝛾3𝑚𝑎 [0.29]

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Despejando la aceleración de la ecuación [0.29]:

𝑎 =𝐹

𝑚(1 −

𝑣2

𝑐2)

3/2

A medida que la rapidez de una partícula aumenta, la aceleración provocada por una fuerza dada disminuye constantemente. A medida que la rapidez tiende a 𝑐, la aceleración tiende a cero, sin importar que tan grande sea la magnitud de la fuerza que se aplica. Por lo tanto, es imposible acelerar una partícula con una masa en reposo diferente de cero a una rapidez igual o mayor que c. De nuevo se tiene que la rapidez de la luz en el vacío representa un último límite de rapidez.

Para el caso en que la partícula se mueve en una trayectoria circular, la velocidad 𝑣 es perpendicular a la fuerza 𝐹 , además de que la rapidez de la partícula es constante debido a que la fuerza no efectúa trabajo y por lo tanto no cambia su energía

cinética. En la expresión [0.28] el denominador √1 − 𝑣2/𝑐2 permanece constante y por lo tanto:

𝐹 = 𝑚𝑎(1 −𝑣2

𝑐2)

−1/2

= 𝛾𝑚𝑎 [0.30]

Para el caso de que la velocidad 𝑣 y la fuerza aplicada 𝐹 no sean ni paralelas ni perpendiculares, se descompone la fuerza en una componente paralela y otra perpendicular a la velocidad 𝑣 . Las ecuaciones [0.29] y [0.30] se utilizan para encontrar las componentes de la aceleración. Puesto que las componentes de la aceleración difieren por un factor 𝛾2 entre sí, entonces no serán proporcionales a las componentes de la fuerza. Es decir que la aceleración y la fuerza no son paralelas a menos que la fuerza sea paralela o perpendicular a la velocidad.

1.16. Trabajo y Energía Relativista.

Cuando la fuerza neta y el desplazamiento tienen la misma dirección, el trabajo efectuado por esa fuerza es 𝑊 = ∫ 𝐹 𝑑𝑥. Al desplazar una partícula de masa 𝑚, inicialmente en reposo, del punto 𝑥1 al punto 𝑥2 el trabajo realizado por la fuerza es:

𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

= ∫𝑚𝑎

(1 −𝑣𝑥

2

𝑐2)3/2

𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

Si inicialmente en 𝑥1 la masa 𝑚 esta en reposo, es decir 𝑣 = 0, y en el punto 𝑥2 tiene una velocidad 𝑣, por el teorema del trabajo y la energía se puede establecer que 𝐾 = 𝑊. Cambiando la variable de integración:

𝐾 = ∫𝑚𝑣𝑥

(1 −𝑣𝑥

2

𝑐2)3/2

𝑑𝑣𝑥

𝑣

0

Evaluando la integral, se obtiene la expresión general de la energía cinética relativista para una partícula que tiene una masa 𝑚:

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𝐾 =𝑚𝑐2

√1 − 𝑣2/𝑐2− 𝑚𝑐2

𝐾 = (𝛾 − 1)𝑚𝑐2

[0.31]

La energía cinética relativista expresada por la ecuación [0.31] tiene dos términos, el primero 𝑚𝑐2/√1 − 𝑣2/𝑐2 que es dependiente de la rapidez que posee la partícula y el segundo 𝑚𝑐2 que es independiente del movimiento y solo depende de la masa de la partícula.

La energía cinética puede verse entonces como la diferencia entre una energía total 𝐸 y una energía 𝑚𝑐2 que tiene la partícula incluso cuando está en reposo.

𝐸 =𝑚𝑐2

√1 − 𝑣2/𝑐2= 𝛾𝑚𝑐2 [0.32]

La ecuación [0.31] también puede escribirse en términos de la energía total 𝐸:

𝐸 = 𝐾 + 𝑚𝑐2 [0.33]

Aún en el caso de que la partícula esté en reposo, es decir 𝐾 = 0, siempre queda un término para la energía 𝐸 = 𝑚𝑐2, que está asociada con la masa de la partícula y no con su movimiento. Recibe el nombre de energía en reposo de la partícula.

La energía en reposo existe, por ejemplo en la desintegración de la subpartícula atómica pion neutro 𝜋0, la masa en reposo 𝑚𝜋 = 135 𝑀𝑒𝑉/𝑐2 desaparece y se convierte en dos rayos gamma. Si el pion neutro se encuentra en reposo cuando se desintegra, la energía total de los rayos gamma es igual a la energía en reposo 𝑚𝜋𝑐2.

Combinando las ecuaciones [0.27] y [0.32] se puede relacionar la energía total y la cantidad de movimiento:

𝐸2 = (𝑝𝑐)2 + (𝑚𝑐2)2 [0.34]

La ecuación anterior sugiere que una partícula con masa en reposo nula tiene cantidad de movimiento y energía relacionadas por la expresión 𝐸 = 𝑝𝑐.

Existen partículas con masa en reposo nula. Estas partículas siempre viajan a la rapidez de la luz en el vacío. Un ejemplo es el fotón, el cuanto de radiación electromagnética. Los fotones son emitidos y absorbidos durante cambios de estado de un sistema atómico o nuclear, cuando la energía y la cantidad de movimiento del sistema cambian.

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UNIDAD II

2. Teoría Cuántica de la Luz

2.1. Introducción histórica de la naturaleza de la luz

La luz es de los primeros fenómenos físicos en ser investigados. Ya en el inicio de las investigaciones ópticas fueron establecidas experimentalmente las siguientes leyes fundamentales do la óptica:

1. Ley de propagación rectilínea de la luz: en un medio homogéneo la luz se propaga en línea recta. La ley de propagación rectilínea se puede considerar sólidamente establecida en el experimento. Ella tiene un sentido muy profundo debido a que el concepto mismo de la línea recta, según parece, se desprendió como consecuencia de las observaciones ópticas. Esta ley ya se encuentra en una obra sobre óptica, que se le atribuye a Euclides (300 años antes de nuestra era), y posiblemente era conocida y utilizada mucho antes.

2. Ley de independencia do los haces luminosos: un flujo luminoso se puede descomponer en varios haces de luz separándolos, por ejemplo, con ayuda de diafragmas. La acción de cada uno de estos resulta ser independiente, es decir, que el efecto de uno de ellos no depende si actúan o no simultáneamente los otros haces o si están ausentes.

3. Ley de reflexión de la luz en la superficie de un espejo: el rayo incidente, la normal a la superficie reflectora y el rayo reflejado se encuentran en el mismo plano, con la particularidad de que los ángulos entre los rayos y la normal son iguales entre sí. Esta ley también se cita en la obra de Euclides. Su establecimiento está relacionado con el uso de superficies metálicas pulimentadas (espejos), conocidas ya en épocas muy antiguas.

4. Ley de refracción de la luz en el límite de dos medios transparentes: el rayo incidente y el rayo refractado se encuentran en un mismo plano con la normal a la superficie de separación; y además, el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción están relacionados por la ley de Snell. El índice de refracción de un medio está definido por las propiedades de ambos medios cuya superficie de separación atraviesa la luz y también depende del color de la luz. El fenómeno ya era conocido por Aristóteles (en el 350 antes de nuestra era), aunque fue Ptolomeo (año 120) el que intentó establecer una relación cuantitativa.

El estudio posterior de estas leyes mostró, en primer lugar que ellas tienen un sentido mucho más profundo que lo que puede parecer a primera vista y, un segundo lugar, que la aplicación de éstas es limitada y que son leyes aproximadas. El establecimiento do las condiciones y de los límites de aplicación de las leyes fundamentales de la óptica significó un gran progreso en la investigación de la naturaleza de la luz.

Sogún parece, la propagación rectilínea de la luz, su propiedad fundamental, obligó a Newton (finales del siglo XVlI) a mantenerse dentro do los marcos de la teoría corpuscular que considera la luz como un flujo de partículas luminosas, que vuelan rectilíneamente de acuerdo con las leyes de la mecánica (ley de inercia). Los colosales éxitos, alcanzados por Newton en la mecánica, ejercieron una influencia radical en sus puntos de vista en lo que se refiere a los fenómenos ópticos. Aunque la reflexión de la luz se comprendía, y se explicaba correctamente de manera análoga a como se comprendía el rebote do una bolita elástica que choca contra una superficie plana, el fenómeno de la refracción se

Teoría cuántica de la luz

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interpretaba de forma errónea: suponía que la velocidad de la luz era mayor entre más densidad óptica tenían los medios de propagación de la luz.

En los tiempos de Newton todavía no. se habían hecho mediciones directas de la velocidad de Ja luz en varios modios. Por eso la conclusión obtenida no podía ser comprobada de manera inmediata. Posteriormente estas mediciones fueron realizadas (Foucault, 1850) y demostraron que la velocidad de la luz en los medios densos (por ejemplo, en el agua) es menor que en el aíre. De esta manera la interpretación del índice de refracción, dada por Newton, resulta ser incorrecta.

En la época de Newton fue hallada la velocidad, con la cual la luz se propaga en el espacio interplanetario (Römer, 1676). Esta determinación dio una magnitud próxima a 300 000 km/s. Este enorme valor de la velocidad de propagación de la luz hizo que muchos de los contemporáneos de Newton consideraran inadmisibles sus ideas acerca de la luz, debido a que resultaba muy difícil acept.ar la existencia de partículas que viajen a tal velocidad. Puede ser no esté de más indicar, que en la actualidad esta objeción ha perdido su valor, se conoce que los corpúsculos (rayos β y rayos cósmicos), cuya velocidad de vuelo es muy próxima a la velocidad de la luz.

Huygens, contemporáneo de Newton, presentó otra teoría de la luz ("Tratado sobre la luz", escrito en el año 1678 y publicado en 1690). Él partió de la analogía, existente entre muchos fenómenos acústicos y ópticos, y suponía que las perturbaciones luminosas deben de observarse como impulsos elásticos en un medio especial, el éter, que llena todo el espacio tanto dentro como fuera de los objetos materiales.

Es necesario señalar que a pesar de que Huygens hablaba de ondas luminosas, él no le daba a este concepto el contenido que más tarde recibió aquél y que se acepta hoy en día. .De las idees de Huygens mayor valor ofrece el principio general, que lleva su nombre y que fue expuesto por él como método para encontrar la dirección de propagación de los impulsos luminosos. Con ayuda de este principio Huygens explicaba no sólo las leyes generales de reflexión y refracción, sino que inclusive el fenómeno de birrefringencia de los rayos de luz en el espato de Islandia, descubierto en el año 1670 por Bartolinus.

A principios del siglo XIX empezó a form1m1e un sistema consecuente y desarrollado de la óptica ondulatoria. Gran importancia tuvieron los trabajos de Young y Fresnel. Fresnel (1815) precisó el principio de Huygens complementándolo con el principio de interferencia Young, con ayuda del cual este último dio en 1801 una interpretación satisfactoria a la coloración de las láminas finas observadas en .la luz reflejada. El principio de Huygens y Fresnel no sólo explicó satisfactoriamente la propagación rectilínea de la luz, sino que permitió resolver el problema de la distribución de la intensidad de la luz, al pasar ésta cerca de algún obstáculo, o sea observar el fenómeno de la difracción.

El posterior estudio de los fenómenos de la polarización de la luz y de la interferencia de los rayos polarizados (Fresnal y Arago) permitió establecer algunas particularidades de las ondas luminosas que fueron explicadas por Young y Fresnel con ayuda de la suposición de que las ondas luminosas son transversales, o sea que la dirección de las oscilaciones en ellas es perpendicular a la dirección de propagación. Sin embargo, las ondas transversales elásticas son posibles sólo en los cuerpos sólidos, por eso se tuvo que atribuir al éter algunas propiedades: una densidad muy pequeña para no interferir con el movimiento planetario

Mientras tanto Faraday logró demostrar que los fenómenos ópticos no son una clase aislada de procesos y que, en particular, existe una relación entre los fenómenos ópticos y magnéticos; en el año 1846 Faraday descubrió el fenómeno de la rotación del plano de polarización en el campo magnético. Por otro lado, fue descubierto otro hecho importante; resultó que la relación entre la unidad electromagnética de la corriente eléctrica y la electrostática era igual a 3×10⁸ m/s (igual a la velocidad de la luz)

Al fin, las investigaciones de Maxwell mostraron que las perturbaciones de un campo electromagnético no quedan localizadas en el espacio, sino que se propagan en el vacío a la rapidez de la luz en el vacío. Esta conclusión fue comprobada

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más tarde por los experimentos de Hertz (1888). Basándose en sus investigaciones, Maxwell (1865) llegó a la conclusión que la luz es un fenómeno electromagnético.

La teoría de Maxwell, que se limitaba a caracterizar las propiedades electromagnéticas de las sustancias sólo con parámetros macroscópicos (ε₀, μ₀), no pudo dar explicación al hecho de la dispersión de la luz. Era necesario .un análisis más detallado de los procesos de interacción de la sustancia y la luz, basada en una concepción profunda acerca de la estructura de las sustancias. Esto fue hecho por Lorentz, el creador de la teoría electrónica (1896). La idea acerca de los electrones, que entran en la estructura del átomo y que son capaces de oscilar en ellos con un determinado período, permitió explicar los fenómenos de emisión y absorción de la luz por las sustancias, al igual de las particularidades de la propagación de la luz en las sustancias. En particular, se comprendieron también los fenómenos de la dispersión de la luz, debido a .que la permeabilidad dieléctrica ε resultaba, dentro de los marcos de la teoría electrónica dependiente de la frecuencia del campo electromagnético, o sea de la longitud de onda λ.

2.2. Experimentos de Hertz: la luz como una onda electromagnética

Las ecuaciones de Maxwell determinan que un campo magnético variable en el tiempo actúa como fuente de campo eléctrico, y que un campo eléctrico que varía con el tiempo genera un campo magnético. Estos campos y se alimentan uno al otro y forman una onda electromagnética que se irradia a través del espacio y lleva a pensar en la posibilidad de la presencia de una perturbación electromagnética, consistente en campos eléctricos y magnéticos que varían en el tiempo, capaz de propagarse a través del espacio de una región a otra, aun cuando no exista materia en la región intermedia. Tal perturbación tendrá las propiedades de una onda, por lo que el vocablo apropiado para nominarla es onda electromagnética

La luz visible emitida por una bombilla eléctrica es un tipo de onda electromagnética; otras clases de ondas electromagnéticas son las generadas por fuentes tales como las estaciones de radio y televisión, los osciladores de microondas para hornos y radares, las máquinas de R-X y los núcleos radiactivos.

Una forma de lograr que una carga puntual emita ondas electromagnéticas es haciéndola oscilar con movimiento armónico simple, de modo que tenga una aceleración casi en todo instante (excepto cuando pase por el punto de equilibrio).

El físico alemán Heinrich Hertz utilizando un cargas oscilantes en un circuito LC como fuente para generar por primera vez ondas electromagnéticas con longitudes de onda macroscópicas en el laboratorio de Karlsruhe en 1887; detectando las ondas electromagnéticas resultantes mediante otros circuitos sintonizados a la misma frecuencia. Dicho circuito formado en esencia por una antena (resonador) consistía en un alambre corto doblado en forma de circunferencia, pero con una pequeña abertura intermedia. Las ondas electromagnéticas, si existían, serían detectadas porque la variación del campo magnético de la onda al atravesar el resonador daría lugar a una fuerza electromotriz inducida entre las dos esferas alcanzaba su valor máximo, el aire intermedio se electrizaba y saltaba una chispa que provocaría una chispa entre sus extremos.

Hertz también produjo ondas electromagnéticas estacionarias y midió la distancia entre nodos adyacentes (media longitud de onda) para determinar la longitud de onda.

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Con el fin de analizar el fenómeno más cómodamente, situó en su laboratorio una superficie reflectora que le permitiría confinar las ondas producidas en el espacio comprendido entre el circuito emisor y la placa. Así, y con la ayuda del resonador, fue capaz de descubrir las características de las ondas generadas mediante su aparato emisor y de medir una longitud de onda de 66 cm.

Figura 18: Montaje experimental de Hertz para la generación de ondas electromagnéticas.

Pudo demostrar en la práctica que las predicciones de Maxwell eran ciertas y que las ondas electromagnéticas no sólo se propagaban a través del espacio, sino que poseían también propiedades de reflexión, difracción, refracción, polarización e interferencia. Incluso llegó a comprobar que se propagaban a la misma velocidad de la luz, descubriendo además que tanto la luz como el calor constituían radiaciones electromagnéticas.

2.2.1. Espectro electromagnético

Se le llama espectro electromagnético a la distribución energética del conjunto de las ondas electromagnéticas. Referido a un objeto se denomina espectro electromagnético a la radiación electromagnética que emite (espectro de emisión) o absorbe (espectro de absorción) una sustancia.

El espectro electromagnético se extiende desde la radiación de menor longitud de onda, como los rayos gamma y los rayos X, pasando por la luz ultravioleta, la luz visible y los rayos infrarrojos, hasta las ondas electromagnéticas de mayor longitud de onda, como son las ondas de radio.

El comportamiento de la radiación electromagnética depende de su longitud de onda. Las frecuencias más altas tienen longitudes de onda más cortas, y las frecuencias inferiores tienen longitudes de onda más largas. Cuando la radiación electromagnética interacciona con átomos y moléculas, su comportamiento también depende de la cantidad de energía por cuanto que transporta.

Aunque el esquema de clasificación suele ser preciso, en realidad existe algo de trasposición entre tipos vecinos de energía electromagnética. Por ejemplo, las ondas de radio a 60 Hz pueden ser recibidas y estudiadas por astrónomos, o pueden ser conducidas a lo largo de cables como energía eléctrica. También, algunos rayos gamma de baja energía realmente tienen una longitud de onda más larga que algunos rayos X de gran energía. Esto es posible porque "rayo gamma" es el

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nombre que se le da a los fotones generados en la descomposición nuclear u otros procesos nucleares y subnucleares, mientras que los rayos X son generados por transiciones electrónicas que implican electrones interiores muy energéticos. Por lo tanto, la diferencia entre rayo gamma y rayo X está relacionada con la fuente de radiación más que con la longitud de onda de la radiación.

Ondas de radio: suelen ser utilizadas mediante antenas del tamaño apropiado (según el principio de resonancia), con longitudes de onda en los límites de cientos de metros a aproximadamente un milímetro. Se usan para la transmisión de datos, a través de la modulación. La televisión, los teléfonos móviles, las resonancias magnéticas, o las redes inalámbricas, son algunos usos populares de las ondas de radio. Las ondas de radio pueden transportar información variando la combinación de amplitud, frecuencia y fase de la onda dentro de una banda de frecuencia.

Microondas: se refieren a las ondas electromagnéticas generalmente de entre 300 MHz y 300 GHz, que supone un período de oscilación de 3 ns (3×10⁻⁹ s) a 3 ps (3×10⁻¹² s) y una longitud de onda en el rango de 1 m a 1 mm. La frecuencia súper alta (SHF) y la frecuencia extremadamente alta (EHF) son las componentes de las microndas. Las microondas pueden ser generadas de varias maneras, generalmente divididas en dos categorías: dispositivos de estado sólido y dispositivos basados en tubos de vacío. Los dispositivos de estado sólido para microondas están basados en semiconductores de silicio o arseniuro de galio. Las microondas son absorbidas por la moléculas que tienen un momento dipolar en líquidos. En un horno microondas, este efecto se usa para calentar la comida. La radiación de microondas de baja intensidad se utiliza en Wi-Fi.

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Figura 19: Esquema del espectro electromagnético, comparación de las longitudes de onda de distintas regiones con objetos físicos y la temperatura que tendría un objeto que radie con más intensidad en esa longitud de onda.

Radiación infrarroja: la parte infrarroja del espectro electromagnético cubre el rango desde aproximadamente los 300 GHz (1 mm) hasta los 400 THz (750 nm). La radiación infrarroja es emitida por cualquier cuerpo cuya temperatura sea mayor que 0K, (−273,15 °C).

Los infrarrojos son clasificados, de acuerdo a su longitud de onda:

* Infrarrojo lejano, desde 300 GHz a 30 THz (1 mm a 10 μm). Esta radiación es absorbida por los llamados modos rotatorios en las moléculas en fase gaseosa, mediante movimientos moleculares en los líquidos, y mediante fotones en los sólidos. El agua en la atmósfera de la Tierra absorbe tan fuertemente esta radiación que confiere a la atmósfera efectividad opaca. Sin embargo, hay ciertos rangos de longitudes de onda ("ventanas") dentro del rango opaco que permiten la transmisión parcial, y pueden ser usados en astronomía.

* Infrarrojo medio, desde 30 a 120 THz (10 a 2.5 μm). Los objetos calientes (radiadores de cuerpo negro) pueden irradiar fuertemente en este rango. Se absorbe por vibraciones moleculares, es decir, cuando los diferentes átomos en una molécula vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio. Este rango es llamado, a veces, región de huella digital, ya que el espectro de absorción del infrarrojo medio de cada compuesto es muy específico.

* Infrarrojo cercano, desde 120 a 400 THz (2500 a 750 nm). Los procesos físicos que son relevantes para este rango son similares a los de la luz visible.

Radiación visible (luz): La frecuencia por encima del infrarrojo es la de la luz visible. Este es el rango en el que el Sol y las estrellas similares a él emiten la mayor parte de su radiación. No es probablemente una coincidencia que el ojo humano

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sea sensible a las longitudes de onda que el sol emite con más fuerza. La luz visible y la radiación en el infrarrojo cercano son absorbidas y emitidas por electrones en las moléculas y átomos que se mueven desde un nivel de energía a otro.

Figura 20: Región visible del espectro electromagnético

Luz ultravioleta (rayos UV): Al ser muy energética, la radiación ultravioleta puede romper enlaces químicos, haciendo a las moléculas excepcionalmente reactivas o ionizándolas, lo que cambia su comportamiento. Las quemaduras solares, por ejemplo, están causadas por los efectos perjudiciales de la radiación UV en las células de la piel, y pueden causar incluso cáncer de piel si la radiación daña las moléculas de ADN complejas en las células. El Sol emite una gran cantidad de radiación UV, lo que podría convertir rápidamente la Tierra en un desierto estéril si no fuera porque, en su mayor parte, es absorbida por la capa de ozono de la atmósfera antes de alcanzar la superficie.

Rayos X: Los rayos X duros tienen longitudes de onda más cortas que los rayos X suaves. Se usan generalmente para ver a través de algunos objetos, así como para la física de alta energía y la astronomía. Las estrellas de neutrones y los discos de acreción alrededor de los agujeros negros emiten rayos X. Los rayos X pasan por la mayor parte de sustancias, y esto los hace útiles en medicina e industria. También son emitidos por las estrellas, y especialmente por algunos tipos de nebulosas

La radiación gamma (γ) es un tipo de radiación electromagnética, y por tanto constituida por fotones, producida generalmente por elementos radiactivos o por procesos subatómicos como la aniquilación de un par positrón-electrón. También se genera en fenómenos astrofísicos de gran violencia. Debido a las altas energías que poseen, los rayos gamma constituyen un tipo de radiación ionizante capaz de penetrar en la materia más profundamente que la radiación alfa y la beta. Pueden causar grave daño al núcleo de las células, por lo cual se usan para esterilizar equipos médicos y alimentos. La energía de esta naturaleza se mide en MeV. Un MeV corresponde a fotones gamma de longitudes de onda inferiores a 10⁻¹¹ m o a frecuencias superiores a 10¹⁹ Hz.

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2.3. Emisión y absorción de la luz.

Maxwell, Hertz y otros establecieron con certidumbre que la luz es una onda electromagnética. La interferencia, difracción y polarización, son fenómenos que manifiestan esta naturaleza ondulatoria de la luz. Pero cuando se analiza la interacción de la radiación electromagnética con la materia (emisión, absorción y dispersión de la radiación electromagnética), se encuentran dos aspectos totalmente distintos de la luz:

1. La energía de una onda electromagnética está cuantizada, es decir, se emite y absorbe en forma de paquetes semejantes a partículas de energía definida, llamados fotones o cuantos. La energía de un solo fotón es proporcional a la frecuencia de la radiación.

2. Además la energía interna de los átomos está cuantizada. Para una determinada clase de átomo individual, la energía no puede tener un valor cualquiera; sólo son posibles valores discretos, llamados niveles de energía.

Dichos aspectos permiten la explicación de fenómenos tales como: los conjuntos únicos (espectros) de longitudes de onda que emiten y absorben los elementos en estado gaseoso, la emisión de electrones desde una superficie iluminada, el funcionamiento de los láseres y la producción y dispersión de los rayos x

Hertz produjo ondas electromagnéticas al usar las oscilaciones en un circuito resonante LC, utilizando frecuencias del orden de 10⁸ Hz, pero la luz visible tiene frecuencias del orden de 10¹⁵ Hz, es decir, mucho mayores que cualquier frecuencia que pueda alcanzarse con los circuitos electrónicos convencionales. Entonces, ¿Cómo se explica la emisión de luz por parte de la materia? Las hipótesis de inicios de 1900 no podían explicar fenómenos de los espectros de líneas, el efecto fotoeléctrico y la naturaleza de los rayos x.

Es bien sabido que usando un prisma se puede separar las diversas longitudes de onda de un rayo de luz y formar un espectro. Si la fuente luminosa es un sólido incandescente, como el filamento de un bombillo, el espectro es continuo.

Pero si la fuente de luz proviene de un gas que conduce una descarga eléctrica (como en un letrero de neón), entonces sólo aparecen algunos colores en forma de líneas paralelas nítidas y aisladas. Un espectro de esta clase se llama espectro de líneas. Cada línea corresponde a una longitud de onda y frecuencia definida. A principios del siglo XIX se descubrió que cada elemento en estado gaseoso tiene un conjunto único de longitudes de onda en su espectro de líneas. Tal hecho sirvió a los astrónomos para identificar una gran cantidad de elementos del espacio interestelar. Se creyó que el espectro de líneas estaba relacionado con la estructura interna de los átomos, pero los intentos para comprender esa relación sólo con base en la mecánica y la electrodinámica clásicas, (leyes de Newton y las ecuaciones de Maxwell) resultaron infructuosos.

La radiación electromagnética, además de su naturaleza ondulatoria, tiene propiedades que se parecen a las de las partículas. En especial, la energía de una onda electromagnética siempre se emite y se absorbe en forma de paquetes llamados fotones o cuantos, cuya energía es proporcional a la frecuencia de la radiación.

2.3.1. Efecto fotoeléctrico

El efecto fotoeléctrico es la emisión de electrones cuando la luz choca contra una superficie metálica. Para escapar de una superficie, el electrón debe absorber energía suficiente de la radiación incidente para superar la atracción de los iones positivos del material de la superficie (la atracción produce una barrera de energía potencial, que confina a los electrones al interior del material)

El efecto fotoeléctrico fue descubierto en 1887 por Heinrich Hertz, quien observó que una descarga saltaba con más facilidad entre dos esferas cargadas eléctricamente, cuando sus superficies se iluminaban con la luz de otra fuente

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luminosa. El fenómeno era similar al efecto termoiónico (liberación de electrones de superficies metálicas a temperaturas extremadamente altas) que fue descubierto por Thomas Edison en 1883.

En el efecto fotoeléctrico sin embargo la superficie no se somete a temperaturas elevadas y la luz que incide sobre las superficies facilita el escape de los electrones. La cantidad mínima de energía que debe ganar un electrón para escapar de determinada superficie se llama función trabajo (𝜙) para esa superficie.

Entre 1886 y 1900 los físicos Wilhelm Hallwachs y Philipp Lenard estudiaron el fenómeno del efecto fotoeléctrico y encontraron algunos hechos: cuando se iluminaba una superficie metálica (cátodo) estando junto con el ánodo dentro de un tubo de vidrio al vacío y un circuito externo alimentado por una batería que forme un campo eléctrico cuya dirección es de ánodo a cátodo; la luz que llega a la superficie del cátodo crea una corriente en el circuito externo; medida con el galvanómetro (G).

Hallwachs y Lenard estudiaron la forma en que esta fotocorriente varía en función del voltaje, la frecuencia y la intensidad de la luz.

Encontraron que cuando sobre el cátodo incidía luz monocromática, no siempre se emitían fotoelectrones, a menos que la frecuencia de la luz fuera mayor que cierto valor mínimo llamado frecuencia de umbral.

La frecuencia de umbral depende del material del cátodo. Para la mayoría de los metales, la frecuencia de umbral está en el ultravioleta (longitudes de onda λ entre 200 y 300 nm); pero para los óxidos de potasio y cesio, está en el espectro visible (λ entre 400 y 700 nm).

Para determinar la energía cinética máxima de los electrones emitidos, se procede haciendo que el potencial del ánodo, relativo al del cátodo 𝑉𝐴𝐶 , sea justo lo suficientemente negativo para que se detenga la corriente. Eso sucede cuando 𝑉𝐴𝐶 = 𝑉0, donde 𝑉0 es el llamado potencial de frenado.

Conforme un electrón se mueve del cátodo al ánodo, el potencial disminuye en 𝑉0 y se efectúa un trabajo negativo −𝑒𝑉0 sobre el electrón; el electrón con más energía sale del cátodo con una energía cinética 𝐾𝑚 =1

2𝑚𝑣𝑚

2 , y tiene energía cinética cero en el ánodo. Si se

aplica el teorema trabajo-energía, se obtiene:

𝐾𝑚 =1

2𝑚𝑣𝑚

2 = 𝑒𝑉0 [0.35]

Figura 21: Circuito esquemático del arreglo experimental para mostrar el efecto fotoeléctrico.

Así, al medir el potencial de frenado 𝑉0 se puede determinar la energía cinética máxima con la que los electrones salen del cátodo.

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Figura 22: Esquema explicando el efecto fotoeléctrico.

Al medir el potencial de frenado 𝑉0 se puede determinar la energía cinética máxima con la que los electrones salen del cátodo.

Cuando el potencial entre el ánodo y el cátodo 𝑉𝐴𝐶 es suficientemente grande y positivo, las curvas se nivelan, lo cual demuestra que todos los electrones emitidos llegan al ánodo. Sin importar, cual sea la intensidad de la luz incidente, el potencial de frenado siempre es −𝑉0 necesario para reducir la corriente a cero.

Si se aumenta la intensidad de la luz, manteniendo igual su frecuencia, la corriente se estabiliza en un valor mayor, lo que indica que se emiten más electrones por unidad de tiempo. Sin embargo, se halla que el potencial de frenado 𝑉0 es igual. En cambio cuando la frecuencia de la luz monocromática incidente se incrementa, la magnitud del potencial de frenado 𝑉0 también es mayor. De hecho, se ve que 𝑉0 es una función lineal de la frecuencia 𝑓.

Figura 23: Gráfica de la fotocorriente en función de la diferencia de potencial entre el ánodo y el cátodo para distintas intensidades de luz incidente de la misma frecuencia.

Figura 24: Gráfica de la fotocorriente en función de la diferencia de potencial entre el ánodo y el cátodo para distintas frecuencias de luz de la misma intensidad.

2.3.2. Cuantización de la luz.

Los resultados anteriores no se pueden explicar en base en la física clásica que estable que:

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Cuando aumenta la intensidad de la luz incidente (que es energía promedio por unidad de área por unidad de tiempo), los electrones deberían aumentar más su energía e incrementar el potencial de frenado 𝑉0; pero se encontró que 𝑉0 no dependía de la intensidad.

La intensidad de una onda electromagnética como la luz no depende de la frecuencia, así que un electrón debería adquirir la energía de escape que necesita a partir de la luz de cualquier frecuencia; por lo tanto, la física clásica no explica por qué hay frecuencia de umbral.

Además en la física clásica, cuando la intensidad de luz es muy débil, se esperaría que pasara un tiempo para que un electrón reuniera la energía necesaria para escapar. Sin embargo experimentalmente se ha demostrado que se emiten electrones tan pronto como llega a la superficie cualquier intensidad de luz con 𝑓 ≥ 𝑓0.

En 1905 Albert Einstein desarrolló el análisis correcto del efecto fotoeléctrico, basándose en una hipótesis de Max Planck, sugerida cinco años antes: postuló la energía de una onda electromagnética siempre se emite y se absorbe en forma de paquetes llamados fotones o cuantos, cuya energía es proporcional a la frecuencia de la radiación 𝑓, más específicamente, la energía es igual al producto de la constante de Planck5 ℎ por la frecuencia 𝑓.

𝐸 = ℎ𝑓 =ℎ𝑐

𝜆 [0.36]

Cuando un fotón que llega a la superficie es absorbido por un electrón, es una transferencia de energía en un proceso de todo o nada, a diferencia de la transferencia continua de energía de la teoría clásica. Si esta energía es mayor que la función trabajo 𝜙, el electrón puede escapar de la superficie. Cuando es mayor la intensidad a determinada frecuencia equivale a una cantidad proporcionalmente mayor de fotones que se absorben por segundo y, por lo tanto, resulta una cantidad proporcionalmente mayor de electrones emitidos por segundo.

Dado que 𝜙 es la cantidad de energía mínima para que un electrón se libere de la superficie:

𝐾𝑚 =1

2𝑚𝑣𝑚

2 = 𝑒𝑉0 = ℎ𝑓 − 𝜙

Por lo tanto para el efecto fotoeléctrico:

𝑒𝑉0 = ℎ𝑓 − 𝜙 [0.37]

Tabla I: Función trabajo, longitud de onda umbral y frecuencia umbral para algunos elementos6

Elemento Función trabajo Longitud de onda umbral

Frecuencia umbral

𝝓 (𝒆𝑽) 𝝓 ( 𝑱) 𝝀𝟎 (𝒏𝒎) 𝒇𝟎 (𝑯𝒛)

Ag 4.73 7.58 × 10⁻¹⁹ 262 1.14 × 10¹⁵

Al 4.08 6.54 × 10⁻¹⁹ 304 9.87 × 10¹⁴

Au 5.1 8.2 × 10⁻¹⁹ 243 1.2 × 10¹⁵

5 La constante de Planck ℎ = 6.6260693(11) × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 = 4.136 × 10−15 𝑒𝑉 ∙ 𝑠 6 Valores tomados desde http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/qui/w_efe.pdf

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Elemento Función trabajo Longitud de onda umbral

Frecuencia umbral

𝝓 (𝒆𝑽) 𝝓 ( 𝑱) 𝝀𝟎 (𝒏𝒎) 𝒇𝟎 (𝑯𝒛)

C 5 8 × 10⁻¹⁹ 248 1.2 × 10¹⁵

Cs 2.14 3.43 × 10⁻¹⁹ 579 5.17 × 10¹⁴

Cu 4.7 7.5 × 10⁻¹⁹ 264 1.1 × 10¹⁵

Fe 4.81 7.71 × 10⁻¹⁹ 258 1.16 × 10¹⁵

K 2.29 3.67 × 10⁻¹⁹ 541 5.54 × 10¹⁴

Li 2.93 4.69 × 10⁻¹⁹ 423 7.08 × 10¹⁴

Na 2.36 3.78 × 10⁻¹⁹ 525 5.71 × 10¹⁴

Ni 5.35 8.57 × 10⁻¹⁹ 232 1.29 × 10¹⁵

Pb 4.25 6.81 × 10⁻¹⁹ 292 1.03 × 10¹⁵

Si 4.85 7.77 × 10⁻¹⁹ 256 1.17 × 10¹⁵

Ti 4.33 6.94 × 10⁻¹⁹ 286 1.05 × 10¹⁵

U 3.90 6.25 × 10⁻¹⁹ 318 9.43 × 10¹⁴

Zn 4.3 6.9 × 10⁻¹⁹ 288 1.0 × 10¹⁵

Un fotón de radiación electromagnética, de frecuencia 𝑓 y longitud de onda 𝜆 tiene una energía 𝐸 expresada por la ecuación [0.36]. Además, de acuerdo con la teoría especial de la relatividad, toda partícula con energía también debe tener cantidad de movimiento, aun cuando no tenga masa en reposo. Los fotones tienen masa cero en reposo. Su cantidad de movimiento dada por la ecuación [0.34] y tomando la masa igual a cero, se convierte en:

𝑝 =𝐸

𝑐=

ℎ𝑓

𝑐=

ℎ

𝜆 [0.38]

La dirección del movimiento del fotón es sencillamente la dirección en la que se mueve la onda electromagnética.

2.3.3. Efecto Compton.

Un fenómeno llamado dispersión de Compton, explicado por Arthur H. Compton, proporciona una ratificación adicional directa de la naturaleza cuántica de la radiación electromagnética, en este caso los rayos x. Cuando esos rayos chocan con la materia, algo de su radiación se dispersa, de la misma forma que la luz visible que incide sobre una superficie áspera sufre una reflexión difusa.

Parte de esa radiación dispersada tiene menor frecuencia (mayor longitud de onda) que la radiación incidente, y que el cambio de longitud de onda depende del ángulo en el que se dispersa la radiación.

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Figura 25: Esquema de la dispersión de Compton

La radiación dispersada sale formando un ángulo 𝜙 con respecto a la radiación incidente y si 𝜆 y 𝜆′ son las longitudes de onda de la radiación incidente y de la dispersada, respectivamente:

𝜆 − 𝜆′ =ℎ

𝑚𝑐(1 − cos𝜙) [0.39]

Para un electrón:

𝜆𝑐 =ℎ

𝑚𝑐= 2.426 × 10−12 𝑚

Con la teoría electromagnética clásica no se puede explicar la dispersión de Compton, la cual pronostica que la onda dispersada tiene la misma longitud de onda que la onda incidente. En cambio, la teoría cuántica ofrece una explicación clara: un proceso de dispersión como una colisión de dos partículas, el fotón incidente y un electrón que inicialmente está en reposo. El fotón incidente desaparece y cede parte de su energía y su cantidad de movimiento al electrón, el cual retrocede como resultado de este impacto. El resto se transforma en un fotón nuevo, dispersado, que en consecuencia tiene menos energía, menor frecuencia y mayor longitud de onda que el incidente.

Figura 26: Diagrama vectorial de la conservación del momento lineal en la dispersión de Compton.

Aplicando las leyes de conservación de energía y momento lineal en el ámbito relativista para la colisión entre el fotón y el electrón inicialmente en reposo.

Sea 𝑝 el momento lineal del fotón incidente con longitud de onda 𝜆, 𝑝 ′ el momento del fotón dispersado que tiene una longitud de onda 𝜆′ y 𝑝 𝑒 el momento del electrón de masa 𝑚 en retroceso después de la colisión.

La conservación del momento lineal de acuerdo a la Figura 26, se expresa como:

𝑝 𝑒 = 𝑝 − 𝑝 ′

La magnitud de 𝑝 𝑒 se obtiene aplicando la ley del coseno:

𝑝𝑒2 = 𝑝2 + 𝑝′2 − 2𝑝𝑝′ cos𝜙 [0.40]

De la conservación de la energía antes y después de la colisión:

𝑝𝑐 + 𝑚𝑐2 = 𝑝′𝑐 + 𝐸𝑒 [0.41]

La energía del electrón y su momento lineal después de la colisión se pueden relacionar por medio de la ecuación [0.34]:

𝐸𝑒2 = (𝑚𝑐2)2 + (𝑝𝑒𝑐)

2 [0.42]

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Trabajando algebraicamente las tres ecuaciones anteriores se obtiene la expresión para la dispersión de Compton en la ecuación [0.39].

Cuando se miden las longitudes de onda de los rayos x dispersados en cierto ángulo, la curva de intensidad por unidad de longitud de onda en función de la longitud de onda tiene dos máximos. El pico de mayor longitud de onda representa la dispersión de Compton. El de menor longitud de onda, está en la longitud de onda de los rayos x incidentes, y corresponde a la dispersión de ellos por electrones firmemente enlazados.

En esos procesos de dispersión debe retroceder todo el átomo, por lo que la masa 𝑚 de la ecuación [0.39] es la masa de todo el átomo, y no la de un solo electrón. Los desplazamientos de longitud de onda que resultan son despreciables.

2.4. Producción y dispersión de rayos X

La producción y la dispersión de rayos x son ejemplos adicionales de la naturaleza cuántica de la radiación electromagnética. Los rayos x se producen cuando los electrones que se mueven rápidamente, y que fueron acelerados a través de una diferencia de potencial del orden de 10³ a 10⁶ V, chocan con un metal. Los rayos x son como cualquier otro tipo de radiación electromagnética que puede viajar a través del vacío con longitudes de onda que varían entre 0.001 a 1 nm.

Los electrones se expulsan del cátodo calentado por emisión termoiónica, y son acelerados hacia el ánodo mediante una gran diferencia de potencial 𝑉𝐴𝐶. Se realiza vacío en el bulbo (presión residual 10⁻⁷ atm o menor), para que los electrones puedan ir del cátodo al ánodo sin colisionar con moléculas de aire. Cuando 𝑉𝐴𝐶 es de algunos miles de volts o más, la superficie del ánodo emite una radiación muy penetrante.

La emisión de rayos x es un proceso inverso del efecto fotoeléctrico. En la emisión fotoeléctrica, hay una transformación de la energía de un fotón en energía cinética de un electrón; en la producción de rayos x hay una transformación de la energía cinética de un electrón en la energía de un fotón.

Las relaciones de energía son parecidas. En la producción de rayos x a menudo se ignora la función trabajo del material que sirve de blanco, al igual que la energía cinética de los electrones "evaporados", ya que esas energías son muy pequeñas con respecto a las demás que se manejan.

Figura 27: Esquema de la emisión de rayos x

Existen dos diferentes procesos para producir fotones de rayos x:

1. Uno es llamado Bremsstralhung, que es la palabra alemana para significar "radiación de frenado": frenado de electrones de elevada energía (produce un espectro continuo)

2. El otro es llamado radiación característica: emisión de la capa K. transiciones electrónicas de electrones que se encuentran en los orbitales internos de los átomos (produce un espectro de líneas)

La mayoría de los elementos emiten rayos X cuando son bombardeados adecuadamente con electrones de alta energía por un voltaje del orden de los 50 kV. Elementos más pesados como el tungsteno son mejores porque ellos emiten una radiación de intensidad más alta a través del Bremsstrahlung. La mayoría de los electrones que golpean el tungsteno no

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hacen nada especial (no hay Bremsstrahlung ni emisión K-shell). Toda la energía del impacto de los electrones se invierte en calentar el tungsteno (aproximadamente solo un 1% de la energía del haz emitido se transforma en energía de rayos X). El tungsteno es usado porque este puede resistir este bombardeo por tener un alto punto de fusión y puede irradiar el calor muy bien.

Figura 28: Rayos X producidos por frenado de electrones (Bremsstralhung) y por transiciones de electrones de las capas electrónicas.

El Bremsstrahlung es más fácil de entender usando la idea clásica que la radiación es emitida cuando la velocidad del electrón disparado en el tungsteno cambia debido a una interacción electromagnética. Este electrón se ralentiza y pierde energía después de interactuar con el núcleo de un átomo de tungsteno y un fotón de rayos x es emitido.

Cuando electrones rápidos inciden sobre el núcleo de un átomo (trayectorias de la 1 a la 3 en la Figura 28) interaccionan con el campo de fuerza del núcleo y son desacelerados. Estos abandonan el átomo después de perder una cantidad de su energía y se convierten electrones de menor energía.

La energía absorbida por el campo de fuerza nuclear, constituye un exceso para las necesidades o demandas del átomo, por lo que ésta es inmediatamente radiada en la forma de un rayo x. El electrón (mucho menos pesado que el núcleo) pasa muy cerca al núcleo y una interacción electromagnética causa una desviación de la trayectoria donde el electrón pierde energía y un fotón de rayos x es emitido.

La energía del fotón emitido puede tomar cualquier valor hasta un valor máximo correspondiente a la energía del electrón incidente. Luego debería haber una interrupción marcada en el espectro que corresponde a la mínima longitud de onda (no hay límite máximo para la longitud de onda emitida) ya que a mayor energía menor longitud de onda.

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El fotón más energético (el de máxima frecuencia y longitud de onda más corta) se produce cuando toda su energía cinética se emplea en producir el fotón; esto es,

𝑒𝑉𝐴𝐶 = ℎ𝑓𝑚á𝑥 =ℎ𝑐

𝜆𝑚í𝑛 [0.43]

La frecuencia máxima y la longitud de onda mínima en el proceso de bremsstrahlung no dependen del material del blanco.

El segundo proceso causa picos en el espectro de rayos x en frecuencias y longitudes de onda características que sí dependen del material del blanco. Otros electrones, si tienen la energía cinética suficiente, pueden transferirla en parte o en forma total a átomos individuales en el blanco. Esos átomos quedan en niveles excitados; cuando decaen y regresan a sus niveles fundamentales, pueden emitir fotones de rayos x. Como cada elemento tiene un conjunto único de niveles de energía en sus átomos, también cada uno tiene un espectro de rayos x característico.

Figura 29: Espectro de rayos x (por frenado de electrones y por transiciones electrónicas de la capa K)

Para entender la emisión K-shell debe recordarse que los átomos tienen sus electrones dispuestos en capas o niveles cerrados de diferentes energías. El capa K es el más bajo estado de energía de un átomo.

En los átomos con muchos electrones los potenciales de ionización de los niveles inferiores alcanzan grandes magnitudes. Por esto, la excitación de estos átomos puede ocasionar la emisión de los rayos x (de longitudes de onda del orden de 0.1 hasta 10 A). Para provocar la emisión de rayos x hay que comunicarle al átomo una energía del orden de 104 eV. Este efecto puede lograrse en tubos de descarga en gas a los cuales se aplican tensiones de decenas y centenares de miles de voltios.

La alta energía de un electrón incidente puede causar que un electrón ubicado en la capa K de un átomo metálico salga de su estado de energía capa K. Luego es como tener un "agujero" en el fondo. Este "agujero" causa un efecto dominó en el átomo donde los electrones de energía más alta (desde una capa exterior) caen en cascada para llenar el "agujero". La energía perdida por el electrón que cae acompaña un fotón de rayos x emitido. Mientras tanto, electrones de más alta energía caen dentro del estado de energía vacante en la capa exterior y así sucesivamente.

La emisión capa K produce rayos x más intenso que el Bremsstrahlung, y los fotones de rayos x salen en una simple longitud de onda.

Un fotón de rayos x tiene mucha energía y solo las transiciones de los electrones más internos liberan aquella gran energía. Transiciones de los electrones más externos, que puede pasar, podría estar en la parte infrarroja o invisible del espectro. Para las energías de los electrones usados en los tubos de rayos x los electrones más internos son los que tienen más probabilidad de ser expulsados.

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El espectro capa K- depende del elemento usado como blanco. Es único y diferente para cada elemento. En la Figura 29 se muestra la distribución de longitudes de onda de los rayos X que se producen en tubos convencionales de rayos X. Sobre el llamado espectro continuo aparecen las llamadas líneas características, que son mostrados como dos picos afilados.

Estas líneas se forman cuando las vacancias son producidos en el nivel n = 1 o nivel capa K de un átomo y los electrones caen desde capas menos energéticas para llenar el vacío. Los rayos x producidos por transiciones desde los niveles n = 2 a n = 1 son llamados rayos x "K-alfa", y aquellos para transiciones n = 3 a n = 1 son llamadas rayos x "K-beta" (notar que el comienzo del espectro continuo aparece a una longitud de onda mínima).

2.5. Radiación de cuerpo negro.

La materia caliente condensada (sólido o líquido) emite radiación con una distribución continua de longitudes de onda, y no un espectro de líneas discreto. Una superficie ideal que absorbe todas las longitudes de onda incidentes de la radiación electromagnética casi siempre es el mejor emisor posible de radiación electromagnética de cualquier longitud de onda. Dicha superficie ideal se le conoce como cuerpo negro, y el espectro continuo de radiación que emite se llama radiación de cuerpo negro.

La intensidad total I (potencia media por área) emitida de la superficie de un radiador ideal es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta (ley de Stefan-Boltzmann):

𝐼 =𝑃

𝐴= 𝜎𝑇4 [0.44]

Donde 𝜎 es una constante física fundamental, llamada constante de Stefan-Boltzmann y en el sistema internacional tiene un valor de:

𝜎 = 5.670400(40) × 10−8 𝑊

𝑚2 𝐾4

Es posible estudiar objetos en el laboratorio con comportamiento muy cercano al del cuerpo negro. Para ello se estudia la radiación proveniente de un agujero pequeño en una cámara aislada. La cámara absorbe muy poca energía del exterior ya que ésta solo puede incidir por el reducido agujero. Sin embargo, la cavidad irradia energía como un cuerpo negro. La luz emitida depende de la temperatura del interior de la cavidad produciendo el espectro de emisión de un cuerpo negro.

La intensidad no se distribuye de manera uniforme en todas las longitudes de onda. La distribución describe con la intensidad por intervalo de longitud de onda 𝐼(𝜆), llamada emitancia espectral. La intensidad total 𝐼 es la integral de la función de distribución 𝐼(𝜆) sobre todas las longitudes de onda (el área bajo la curva de 𝐼(𝜆) en función de 𝜆:

𝐼 = ∫ 𝐼(𝜆)𝑑𝜆∞

0

[0.45]

En la Figura 30 se muestran emitancias espectrales 𝐼(𝜆) medidas para diferentes temperaturas. Cada una tiene una longitud de onda máxima 𝜆𝑚, a la cual la intensidad emitida por intervalo de longitud de onda es máxima.

Los experimentos demuestran que 𝜆𝑚 es inversamente proporcional a 𝑇, de tal manera que su producto es constante. Este resultado se conoce como ley de desplazamiento de Wien. El valor experimental de la constante es:

55

𝜆𝑚𝑇 = 2.90 × 10−3 𝑚 ∙ 𝐾

Cuando la temperatura aumenta, el máximo de 𝐼(𝜆) se vuelve más alto y se desplaza a longitudes de onda menores:

Los objetos con una mayor temperatura emiten la mayoría de su radiación en longitudes de onda más cortas; por lo tanto parecerán ser más azules.

Los objetos con menor temperatura emiten la mayoría de su radiación en longitudes de onda más largas; por lo tanto parecerán ser más rojos

Figura 30: emitancias espectrales a diferentes temperaturas. Para cada valor de T existe una longitud de onda 𝝀𝒎 en donde se emite el máximo de radiación.

La ley de Wien se utiliza para determinar las temperaturas de las estrellas a partir de los análisis de su radiación. Puede utilizarse también para representar las variaciones de temperaturas en diferentes regiones de la superficie de un objeto, lo que constituye una termografía.

El wolframio es el metal que tiene a la vez la temperatura más alta de fusión 3680 K y el más elevado de evaporación. En la práctica, la temperatura más alta que soporta una lámpara incandescente ordinaria fabricada con filamento de wolframio es de 2900 K.

A estas temperaturas solamente, una pequeña fracción de la energía emitida está en la región visible, menos del 11%, la mayor parte es radiación infrarroja. Por lo que las lámparas incandescentes son poco eficientes en la emisión de luz visible.

2.5.1. La Ley de Rayleigh–Jeans y la Ley de Planck.

Durante la última década del siglo XIX se hicieron muchos intentos para deducir estos resultados empíricos a partir de principios básicos. En uno de los intentos, el físico inglés Lord Rayleigh consideró el caso de la luz encerrada en una caja rectangular con lados interiores perfectamente reflectantes: la caja tiene una serie de modos normales posibles para las ondas electromagnéticas.

De acuerdo a la teoría clásica del electromagnetismo, parecía razonable suponer que la distribución de la energía entre los diversos modos estuviera determinada por el principio de equipartición. Un pequeño orificio en la caja se comporta como un radiador ideal de cuerpo negro.

Rayleigh pudo calcular la distribución de intensidad 𝐼(𝜆) de la radiación que sale de un orificio pequeño en la caja:

𝐼(𝜆) =2𝜋𝑐𝑘𝑇

𝜆4 [0.46]

A longitudes de onda grandes, esta fórmula concuerda bastante bien con los resultados experimentales, pero hay un grave desacuerdo a pequeñas longitudes de onda. La curva experimental tiende a cero cuando 𝜆 es pequeña, pero la

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curva de Rayleigh se va en dirección contraria y tiende a infinito, resultado que se llamó, en tiempos de Rayleigh, la "catástrofe del ultravioleta".

En 1900, el físico alemán Max Planck logró deducir una función, que hoy se llama ley de radiación de Planck, que concordaba muy bien con las curvas experimentales de distribución de intensidad. En su deducción planteó una hipótesis: la energía asociada a la radiación electromagnética viene en pequeñas unidades indivisibles llamadas cuantos y sólo podían tener ciertos valores de energía iguales a nhf (n = 0, 1, 2,...) donde ℎ es la constante de Planck y 𝑓 la frecuencia de la radiación electromagnética proveniente de los osciladores.

La expresión a la que llegó Planck:

𝐼(𝜆) =2𝜋ℎ𝑐2

𝜆5(𝑒ℎ𝑐/𝜆𝑘𝑇 − 1) [0.47]

Donde ℎ = 6.62606896(33) × 10−34𝐽 ∙ 𝑠 es la constante de Planck, 𝑐 = 299792458 𝑚/𝑠 es la rapidez de la luz, 𝑘 =5.670 373(21) × 10−8 𝑊𝑚−2𝐾−4 es la constante de Boltzmann, 𝑇 es la temperatura absoluta y 𝜆 es la longitud de onda.

La ley de radiación de Planck también incluye como consecuencias la ley de desplazamiento de Wien y la ley de Stefan-Boltzmann. Para deducir la ley de Wien, se obtiene la primera derivada:

𝜆𝑚 = {𝑑𝐼(𝜆)

𝑑𝜆= 0} =

ℎ𝑐

4.965 𝑘𝑇 [0.48]

Se obtiene la ley de Stefan-Boltzmann del cuerpo negro realizando la integral dada por la ecuación [0.45] tomando 𝐼(𝜆) dada por la ecuación [0.47]:

𝐼 = (2𝜋5𝑘4

15𝑐2ℎ3)𝑇4 [0.49]

Este resultado indica también que la constante 𝜎 en esa ley puede expresarse como una combinación de otras constantes fundamentales:

𝜎 =2𝜋5𝑘4

15𝑐2ℎ3 [0.50]

2.6. Complementariedad onda partícula.

La composición granular de la luz, demostrada de múltiples formas, algunas de las cuales se han descrito anteriormente, no puede ser puesta en duda. También queda demostrado por los descubrimientos de Einstein que la luz no es emitida por ondas esféricas. Sin embargo, el éxito de la óptica ondulatoria para explicar los fenómenos de refracción, difracción e interferencia de la luz no puede ser ignorado; así como tampoco puede pasar inadvertida la relación que establece la ecuación de Planck 𝐸 = ℎ𝑓 entre las "partículas de luz", o fotones, y alguna onda que tiene la frecuencia 𝑓. Esto es, el movimiento de los corpúsculos de luz, o fotones, debe estar asociado a la onda electromagnética que determina su energía y, en muchos experimentos, determina también su comportamiento

57

La respuesta a este problema aparente entre onda y partícula lo solventó Niels Bohr en 1928 con el enunciado del principio de complementariedad: las descripciones ondulatoria y corpuscular son complementarias es decir, que ambas descripciones son necesarias para completar el modelo de la naturaleza, pero nunca se necesita usar ambas al mismo tiempo para describir una parte única de un suceso.

Considérese el fenómeno de la difracción pero considerando que la luz está compuesta por parculas llamadas fotones. En vez de usar una cámara fotográfica, se detectan de forma individual, usando un fotomultiplicador, los fotones que traspasan la ranura y llegan a la pantalla. La distribución de fotones concuerda con la distribución predicha por la teoría ondulatoria: muchos fotones contabilizados en la región de mayor intensidad y pocos fotones en las franjas oscuras.

Si se disminuye la intensidad hasta que sólo pasen por la rendija unos cuantos fotones por segundo. Con unos pocos fotones no cabe esperar que se obtenga la curva uniforme de difracción que se determinó con grandes cantidades debido a que no hay manera de predecir con exactitud dónde irá cada fotón individual. Para reconciliar los aspectos ondulatorio y corpuscular de este patrón, debe considerarse que es una distribución estadística que indica cual es el promedio de fotones inciden en cada uno de los puntos de la pantalla, es decir, la probabilidad de que un fotón individual vaya a dar a cada uno de varios lugares. Pero no puede predecirse con exactitud dónde irá un fotón individual.

La descripción ondulatoria, y no la descripción corpuscular, explican los patrones con una rendija. Pero la descripción corpuscular, y no la ondulatoria, explica por qué el fotomultiplicador mide el patrón como si estuviera formado por paquetes discretos de energía. Las dos descripciones completan la explicación de los resultados.

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UNIDAD III

3. Naturaleza Corpuscular y Ondulatoria de la Materia

3.1. Naturaleza atómica de la materia

Las primeras ideas de la naturaleza atómica de la materia fueron planteadas por el filósofo presocrático Demócrito en el siglo V AC afirmó que todo estaba compuesto por pequeñas piezas a las que llamó átomos (del griego ἄτομον, indivisible), pero su teoría fue prontamente olvidada.

Su teoría, al igual que todas las teorías filosóficas griegas, no apoya sus postulados mediante experimentos, sino que se explica mediante razonamientos lógicos. La teoría atomista de Demócrito se puede esquematizar así:

Los átomos son eternos, indivisibles, homogéneos, incompresibles e invisibles.

Los átomos se diferencian solo en forma y tamaño, pero no por cualidades internas.

Las propiedades de la materia varían según el agrupamiento de los átomos.

En el siglo XIX tal idea logró una extensa aceptación científica gracias a los descubrimientos en el campo de la estequiometría. Los químicos de la época creían que las unidades básicas de los elementos también eran las partículas fundamentales de la naturaleza.

Sin embargo, a finales de aquel siglo, y mediante diversos experimentos con el electromagnetismo y la radiactividad, los físicos descubrieron que el denominado "átomo indivisible" era realmente un conglomerado de diversas partículas subatómicas (principalmente electrones, protones y neutrones), que pueden existir de forma aislada. Aunque, en ciertos ambientes, como en las estrellas de neutrones, la temperatura extrema y la elevada presión impide a los átomos existir como tales.

3.1.1. El modelo atómico de Dalton

El modelo atómico de Dalton surgió en el ámbito de la química y fue el primer modelo atómico con bases científicas siendo formulado a inicios del siglo XIX por John Dalton.

Naturaleza corpuscular y ondulatoria

de la materia

59

El modelo permitía aclarar por primera vez por qué las sustancias químicas reaccionaban en proporciones constantes (estequiometria), es decir, explicaba el hecho de que cuando dos sustancias reaccionan para formar dos o más compuestos diferentes, entonces las proporciones de estas relaciones son números enteros: Así 12 g de carbono, pueden reaccionar con 16 g de oxígeno para formar monóxido de carbono; o pueden reaccionar con 32 g de oxígeno para formar dióxido de carbono. Además el modelo aclaraba que aun existiendo una gran variedad de sustancias diferentes, estas podían ser explicadas en términos de una cantidad más bien pequeña de constituyentes elementales o elementos.

Figura 31: Esquema del modelo atómico de Dalton.

Dalton explicó su teoría formulando una serie de enunciados simples:

i. La materia está formada por partículas muy pequeñas llamadas átomos, que son indivisibles y no se pueden destruir. ii. Los átomos de un mismo elemento son iguales entre sí, tienen la misma masa y propiedades. Los átomos de

diferentes elementos tienen masas diferentes. iii. Los átomos permanecen íntegros, aun cuando se combinen en las reacciones químicas. iv. Los átomos, al combinarse para formar compuestos guardan relaciones simples. v. Los átomos de elementos diferentes se pueden combinar en proporciones distintas y formar más de un compuesto.

vi. Los compuestos químicos se forman al unirse átomos de dos o más elementos distintos.

La hipótesis de John Dalton, que afirmaba que los elementos en estado gaseoso eran monoatómicos y que los átomos de los elementos se combinaban en la menor proporción posible para formar átomos de los compuestos, lo que hoy llamamos moléculas, generó algunas dificultades.

Si bien el modelo usualmente nacido para explicar los compuestos químicos y las regularidades estequiométricas, no podía explicar las regularidades periódicas en las propiedades de los elementos químicos tal como aparecieron en la tabla periódica de los elementos de Mendeleiev.

El modelo de Dalton tampoco podía dar cuenta de las investigaciones realizadas sobre rayos catódicos que sugirieron que los átomos no eran indivisibles sino que contenían partículas más pequeñas cargadas eléctricamente.

3.1.2. Modelo atómico de Thomson.

Hasta 1897, se creía que los átomos eran la división más pequeña de la materia, cuando Joseph John Thomson descubrió el electrón mediante su experimento con el tubo de rayos catódicos.

El tubo de rayos catódicos que usó Thomson era un recipiente de vidrio cerrado al vacío, en el cual los dos electrodos estaban colocados en los extremos del tubo. Cuando se aplica una diferencia de tensión a los electrodos, se generan rayos catódicos, que crean un resplandor fosforescente cuando chocan con el extremo opuesto del tubo de cristal. Mediante la experimentación, Thomson descubrió que los rayos se desviaban al aplicar un campo eléctrico. Afirmó que estos rayos, más que ondas, estaban compuestos por partículas cargadas negativamente a las que llamó "corpúsculos" (años más tarde fueron llamados electrones).

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Figura 32: Esquema del tubo de rayos catódicos empleado por Thomson para explicar la existencia del electrón como una partícula constituyente del átomo.

En dicho modelo, el átomo estaba compuesto por corpúsculos (electrones) de carga negativa en un átomo positivo, impregnados en éste al igual que las pasas de un budín. A partir de esta comparación, fue que el supuesto se denominó "Modelo del pudin de pasas". Postulaba que los electrones se distribuían uniformemente en el interior del átomo, suspendidos en una nube de carga positiva. El átomo se consideraba como una esfera con carga positiva con electrones repartidos como pequeños gránulos. De esta forma, estipuló que los átomos eran divisibles, y que los corpúsculos eran sus componentes.

Lo expresó así:

"Después de largas meditaciones acerca de los experimentos, me pareció que eran ineludibles las conclusiones siguientes: 1) Los átomos no son indivisibles; porque de ellos se pueden arrancar partículas cargadas de electricidad negativa, por la acción de fuerzas eléctricas, el choque de átomos que se mueven con rapidez, la luz ultravioleta o el calor. 2) Todas esas partículas son iguales en cuanto a la masa y llevan la misma carga de electricidad negativa, sea cual fuere la especie de átomos de que salgan, y son elementos constitutivos de todo átomo. 3) La masa de dichas partículas es menos de un millonésimo de la masa de átomo de hidrógeno7…"

7 Fragmento de la obra: "Recollections and Reflections" (1936) por J.J. Thompson (http://goo.gl/Wd4gcB)

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Figura 33: esquema del modelo atómico de Thomson

Si bien el modelo de Thomson explicaba adecuadamente muchos de los hechos observados de la química y los rayos catódicos, hacía predicciones incorrectas sobre la distribución de la carga positiva en el interior de los átomos. Las predicciones del modelo de Thomson resultaban incompatibles con los resultados del experimento de Rutherford, que sugería que la carga positiva estaba concentrada en una pequeña región en el centro del átomo, que es lo que se conoció como núcleo atómico.

Otro hecho que el modelo de Thomson había dejado por explicar era la regularidad de la tabla periódica de Mendeleiev.

3.1.3. Composición de los átomos: Millikan y la carga elemental.

El experimento de la gota de aceite fue un experimento realizado por Robert Millikan y Harvey Fletcher en 1909 para medir la carga elemental (la carga del electrón).

Este experimento implicaba equilibrar la fuerza gravitatoria hacia abajo con la flotabilidad hacia arriba y las fuerzas eléctricas en las minúsculas gotas de aceite cargadas suspendidas entre dos electrodos metálicos. Dado que la densidad del petróleo era conocida, las masas de las "gotas", y por lo tanto sus fuerzas gravitatorias y de flotación, podrían determinarse a partir de sus radios observados. Usando un campo eléctrico conocido, Millikan y Fletcher pudieron determinar la carga en las gotas de aceite en equilibrio mecánico. Repitiendo el experimento para muchas gotas, confirmaron que las cargas eran todas múltiplos de un valor fundamental, y calcularon un valor de 1.5924(17)×10⁻¹⁹ C, dentro de un uno por ciento de error del valor actualmente aceptado de 1.602176487(40)×10⁻¹⁹ C. Propusieron que ésta era la carga de un único electrón.

En la época de los experimentos de la gota de aceite de Millikan y Fletcher, la existencia de las partículas subatómicas no era universalmente aceptada. Experimentando con los rayos catódicos Thomson en 1897 descubrió lo que él llamó unos corpúsculos cargados negativamente, con una masa unas 1800 veces más pequeña que la de un átomo de hidrógeno. La mayoría de lo que entonces se conocía acerca de la electricidad y el magnetismo, sin embargo, podría explicarse sobre la base de que la carga es una variable continua, de la misma forma que muchas de las propiedades de la luz pueden explicarse el tratarla como una onda continua en lugar de como una corriente de fotones.

Aparte de la medición, la belleza del experimento de la gota de aceite reside en que es una simple y elegante demostración práctica de que la carga está en realidad cuantizada. Thomas Edison, quien había considerado la carga como una variable continua, se convenció después de trabajar con el aparato de Millikan y Fletcher.

62

Figura 34: esquema simplificado del experimento de Millikan en donde una gota de aceite se logra mantener en equilibrio entre las fuerzas gravitacional y eléctrica cuando se encuentra entre dos placas que tienen una diferencia de potencial alta.

3.2. Modelo de Rutherford: el átomo nuclear

En 1910 las cosas estaban así: J. J. Thomson había descubierto el electrón y medido su relación de carga a masa en 1897, y en 1909, Millikan había terminado sus primeras mediciones de la carga del electrón. Éstos y otros experimentos indicaban que casi toda la masa de un átomo debería estar asociada con la carga positiva y no con los electrones. También se sabía que el tamaño general de los átomos era del orden de 10⁻¹⁰ m, y que todos los átomos, excepto el hidrógeno, contenían más de un electrón. Lo que no se sabía era cómo se distribuían la masa y la carga dentro del átomo.

Thomson había propuesto un modelo donde el átomo consistía en una esfera con carga positiva, del orden de 10⁻¹⁰ m de diámetro, con los electrones incrustados en ella como las pasas en una gelatina más o menos esférica.

El experimento de Rutherford (experimento de la lámina de oro), fue realizado por Hans Geiger y Ernest Marsden, bajo la dirección de Ernest Rutherford en los Laboratorios de Física de la Universidad de Mánchester. Los resultados obtenidos, publicados en 1911, tuvieron como consecuencia la negación del modelo atómico de Thomson y la propuesta de un modelo nuclear para el átomo.

El experimento consistió en hacer incidir un haz de partículas alfa sobre una fina lámina de oro y observar cómo dicha lámina afectaba a la trayectoria de los rayos. Las partículas alfa se obtenían de la desintegración de una sustancia radiactiva, el polonio; expeliéndose a una rapidez de unos 10⁷ m/s y viajando unos cuantos centímetros en aire o alrededor de 0.1 mm en materia sólida antes de detenerse.

Para obtener un fino haz se colocó el polonio en una caja de plomo, el plomo detiene todas las partículas, menos las que salen por un pequeño orificio practicado en la caja. Perpendicular a la trayectoria del haz se interponía la lámina de metal, una delgada lámina de oro, y llega a pantallas recubiertas con sulfuro de zinc: (un principio parecido al de la pantalla de un televisor): produce pequeños destellos cada vez que una partícula alfa choca con él. Rutherford y sus alumnos contaron las cantidades de partículas desviadas en varios ángulos.

Según el modelo de Thomson, las partículas alfa atravesarían la lámina metálica sin desviarse demasiado de su trayectoria:

La carga positiva y los electrones del átomo se encontraban dispersos de forma homogénea en todo el volumen del átomo. Como las partículas alfa poseen una gran masa (unas 7300 veces mayor que la del electrón) y gran velocidad (unos 20.000 km/s), las fuerzas eléctricas serían muy débiles e insuficientes para conseguir desviar las partículas alfa;

63

Sólo las interacciones con la carga positiva, que contiene casi toda la masa del átomo, pueden desviar en forma apreciable a la partícula alfa; pero al atravesar la lámina del metal, estas partículas se encontrarían con muchos átomos, que irían compensando las desviaciones hacia diferentes direcciones.

Figura 35: Esquema del experimento de Rutherford

Los resultados fueron muy diferentes y totalmente inesperados: se observó que un pequeño porcentaje de partículas se desviaban hacia la fuente de polonio, aproximadamente una de cada 8.000 partículas al utilizar una finísima lámina de oro con unos 200 átomos de espesor.

Si se supone que la carga positiva, en vez de distribuirse en una esfera de dimensiones atómicas (del orden de 10⁻¹⁰ m), se encuentra concentrada en un espacio mucho menor. Entonces, funcionaría como una carga puntual, en distancias mucho menores. El campo eléctrico máximo que repele la partícula alfa sería mucho mayor, y sería posible tener la sorprendente dispersión en grandes ángulos. Rutherford llamó núcleo a esta concentración de carga positiva.

De nuevo calculó las cantidades de partículas que esperaba se dispersaran en varios ángulos. Dentro de la exactitud de sus experimentos, los resultados calculados y medidos coincidieron hasta distancias de 10⁻¹⁴ m. En consecuencia, sus experimentos demostraron que el átomo sí tiene un núcleo: una estructura muy pequeña y muy densa, no mayor de 10⁻¹⁴ m de diámetro. El núcleo sólo ocupa aproximadamente la 10⁻¹² parte del volumen total del átomo, o menos, pero contiene toda la carga positiva y, al menos, el 99.95% de la masa total del átomo.

La importancia del modelo de Rutherford residió en proponer por primera vez la existencia de un núcleo en el átomo (término que, paradójicamente, no aparece en sus escritos). Lo que Rutherford consideró esencial, para explicar los resultados experimentales, fue "una concentración de carga" en el centro del átomo, ya que sin ella, no podía explicarse que algunas partículas fueran rebotadas en dirección casi opuesta a la incidente. Este fue un paso crucial en la comprensión de la materia, ya que implicaba la existencia de un núcleo atómico donde se concentraba toda la carga positiva y más del 99,9% de la masa. Las estimaciones del núcleo revelaban que el átomo en su mayor parte estaba vacío.

Rutherford propuso que los electrones orbitarían en ese espacio vacío alrededor de un minúsculo núcleo atómico, situado en el centro del átomo. Además se abrían varios problemas nuevos que llevarían al descubrimiento de nuevos hechos y teorías al tratar de explicarlos:

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Por un lado se planteó el problema de cómo un conjunto de cargas positivas podían mantenerse unidas en un volumen tan pequeño, hecho que llevó posteriormente a la postulación y descubrimiento de la fuerza nuclear fuerte, que es una de las cuatro interacciones fundamentales.

Por otro lado existía otra dificultad proveniente de la electrodinámica clásica que predice que una partícula cargada y acelerada, como sería el caso de los electrones orbitando alrededor del núcleo, produciría radiación electromagnética, perdiendo energía y finalmente cayendo sobre el núcleo. Las leyes de Newton, junto con las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo aplicadas al átomo de Rutherford llevan a que en un tiempo del orden de 10⁻¹⁰ s, toda la energía del átomo se habría radiado, con la consiguiente caída de los electrones sobre el núcleo. Se trata, por tanto de un modelo físicamente inestable, desde el punto de vista de la física clásica.

3.3. El átomo de Bohr: órbitas estables

Para resolver los problemas que no resolvía el modelo de Rutherford, Bohr hizo un supuesto innovador: postuló que un electrón en un átomo puede moverse en torno al núcleo en ciertas órbitas estables, circulares, sin emitir radiación. Hay una energía bien definida relacionada con cada órbita estable, y un átomo sólo irradia energía cuando hace una transición de una de esas órbitas a otra.

Figura 36: se emite un fotón de frecuencia f cuando un electrón se mueve de una órbita de más energía a una de menos energía

Si un electrón se mueve de una órbita con energía 𝐸𝑖 hasta una órbita de energía 𝐸𝑓, la energía se irradia en forma de un

fotón de frecuencia 𝑓, con energía y frecuencia determinadas por la ecuación:

∆𝐸 = 𝐸𝑖 − 𝐸𝑓 = ℎ𝑓 [0.51]

Bohr encontró que la magnitud de la cantidad de movimiento angular del electrón está cuantizada, que esa magnitud debe ser, para el electrón, un múltiplo entero de h/2π. Si se recuerda la expresión de la cantidad de movimiento angular para una partícula de masa 𝑚 que se mueve con rapidez 𝑣 en una trayectoria circular de radio 𝑟: 𝐿 = 𝑚𝑣𝑟 , así el argumento de Bohr estableció que:

𝐿 = 𝑚𝑣𝑟 = 𝑛ℎ

2𝜋= 𝑛ℏ

Donde 𝑛 toma valores de 1, 2, 3,… Cada valor de 𝑛 corresponde a un valor permitido del radio de la órbita 𝑟𝑛, y una rapidez 𝑣𝑛 correspondiente. El valor de 𝑛 para cada órbita se llama número cuántico principal de la órbita. Con esta notación, la ecuación anterior se transforma en:

𝐿𝑛 = 𝑚𝑣𝑛𝑟𝑛 = 𝑛ℎ

2𝜋= 𝑛ℏ [0.52]

65

Considérese el modelo del átomo de hidrógeno que tiene aproximación newtoniana, pero que incorpora esta hipótesis de cuantización.

El átomo de hidrógeno consiste en un solo electrón con masa 𝑚 y carga −𝑒, que gira en torno a un solo protón de carga +𝑒. El protón tiene casi 2000 veces la masa del electrón, por lo que se supone que el protón no se mueve.

Para el electrón que se mueve con rapidez 𝑣𝑛 en trayectoria circular de radio 𝑟𝑛, existe una fuerza centrípeta que se puede expresar por la expresión 𝑚𝑣𝑛

2/𝑟𝑛. Si la fuerza centrípeta en este caso es debido a la atracción eléctrica entre el protón y el electrón, entonces:

1

4𝜋𝜖0

𝑒2

𝑟𝑛2 = 𝑚

𝑣𝑛2

𝑟𝑛 [0.53]

Combinando las ecuaciones [0.52] y [0.53]:

Figura 37: En el átomo de hidrógeno del modelo de Bohr el electrón se mueve en una trayectoria circular de radio 𝒓𝒏 y rapidez 𝒗𝒏.

Radios de las órbitas del átomo de Bohr:

𝑟𝑛 = 4𝜋𝜖0

𝑛2ℏ2

𝑚𝑒2 [0.54]

Rapidez orbital en el átomo de Bohr:

𝑣𝑛 =1

4𝜋𝜖0

𝑒2

𝑛ℏ [0.55]

De la ecuación [0.54] se puede notar que el radio orbital 𝑟𝑛 es proporcional a 𝑛2. Si se define el radio de Bohr como el menor valor de 𝑟𝑛 (tomando el valor de n = 1):

𝑎0 = 𝜖0

ℎ2

𝜋𝑚𝑒2 [0.56]

De esta manera, las orbitas en el modelo de Bohr solamente puede tener valores de 𝑎0, 4𝑎0, 9𝑎0 y así de manera sucesiva. De la ecuación [0.56] se obtiene que 𝑎0 = 5.29 × 10−11 𝑚 que proporciona un valor aproximado de un diámetro atómico del orden 10⁻¹⁰ m, es consistente con las dimensiones atómicas estimadas con otros métodos. En el átomo de hidrógeno, la rapidez orbital del electrón para el modelo de Bohr es de 2.16 × 10⁶ m/s. Ésta es la máxima velocidad posible del electrón en el átomo de hidrógeno, y es menos del 1% de la rapidez de la luz, mostrando que las consideraciones relativistas no tienen importancia.

Se puede utilizar las ecuaciones [0.54] y [0.55] se puede encontrar las expresiones de los niveles de energía cinética y potencial para cada órbita del átomo del modelo de Bohr:

66

𝐾𝑛 =1

2𝑚𝑣𝑛

2 =1

𝜖02

𝑚𝑒4

8𝑛2ℎ2 [0.57]

𝑈𝑛 = −1

4𝜋𝜖0

𝑒2

𝑟𝑛= −

1

𝜖02

𝑚𝑒4

4𝑛2ℎ2 [0.58]

La energía total de la órbita en el modelo de Bohr es entonces:

𝐸𝑛 = 𝐾𝑛 + 𝑈𝑛 = −1

𝜖02

𝑚𝑒4

8𝑛2ℎ2 [0.59]

La energía potencial tiene signo negativo, porque se considera que es cero cuando el electrón está a una distancia infinita del núcleo. Sólo interesan diferencias de energía, por lo que no importa cuál sea la posición de referencia.

La energía del átomo es mínima cuando 𝑛 = 1 y 𝐸𝑛 tiene su valor más negativo. Éste es el nivel fundamental del átomo; es el nivel que tiene la órbita más pequeña, de radio 𝑎0. Para n = 2, 3,…, el valor absoluto de 𝐸𝑛 es menor y la energía es cada vez mayor (menos negativa).

La energía de ionización del átomo de hidrógeno es la necesaria para retirar el electrón por completo. La ionización corresponde a una transición del nivel fundamental (𝑛 = 1) a un radio de órbita infinitamente grande (𝑛 → ∞), por lo que es igual a −𝐸1. Al sustituir valores en la ecuación [0.59] se obtiene una energía de ionización de 13.606 eV. Esta energía también puede medirse en forma directa, y el resultado es 13.60 eV. Estos dos valores concuerdan con el 0.1%.

3.4. Series espectrales y niveles de energía

El origen de los espectros de líneas puede explicarse en base a dos ideas fundamentales: una es el concepto del fotón, y la otra es el concepto de niveles de energía de los átomos.

Niels Bohr combinó esas dos ideas en 1913:

El espectro de líneas de un elemento es causado por la emisión de fotones con energías específicas, desde los átomos de ese elemento.

Durante la emisión de un fotón, la energía interna del átomo cambia una cantidad igual a la energía del fotón.

Cada átomo debe ser capaz de existir sólo con ciertos valores específicos de energía interna. Cada átomo tiene un conjunto de niveles de energía posibles. Un átomo puede tener una cantidad de energía interna igual a cualquiera de esos niveles, pero no puede tener una energía intermedia entre dos niveles.

Todos los átomos aislados de determinado elemento tienen el mismo conjunto de niveles de energía, pero los átomos de distintos elementos tienen diferentes conjuntos.

En los tubos de descarga eléctrica, los átomos se elevan, o se excitan, a mayores niveles de energía, principalmente por choques inelásticos con electrones

Un átomo puede hacer una transición de un nivel de energía a uno de menor energía, al emitir un fotón cuya energía es igual a la diferencia de energía entre los niveles inicial y final (Figura 36). Si 𝐸𝑖 es la energía inicial del átomo antes de esa transición, 𝐸𝐹 es su nivel final de energía después de la transición y, si la energía del fotón es ℎ𝑓 = ℎ𝑐/𝜆, de acuerdo con la conservación de la energía:

67

ℎ𝑓 =ℎ𝑐

𝜆= 𝐸𝑖 − 𝐸𝑓 [0.60]

Ya para 1913 se había estudiado en forma extensa el espectro del hidrógeno, el átomo más simple y menos masivo: en un tubo de descarga eléctrica, el hidrógeno atómico emite la serie de líneas que muestra la Figura 38. La línea visible con la máxima longitud de onda, o frecuencia mínima, está en el rojo, y se llama 𝐻𝛼; la siguiente línea, en el azul-verde, se llama 𝐻𝛽, y así sucesivamente.

Figura 38: Espectro de emisión del hidrógeno. Las líneas espectrales 𝑯𝜶, 𝑯𝜷, 𝑯𝜸

y 𝑯𝜹 se encuentran en la región del visible. Más allá de la línea 𝑯𝜹 se encuentran en el ultravioleta.

En 1885 el profesor suizo Johann Balmer (1825-1898) encontró, mediante ensayo y error, una fórmula para calcular las longitudes de onda de tales líneas, que ahora se conoce como la serie de Balmer:

1

𝜆= 𝑅𝐻 (

1

22−

1

𝑛2) [0.61]

En la ecuación anterior λ es la longitud de onda, 𝑅𝐻 es una constante llamada constante de Rydberg y n puede tener los valores enteros 3, 4, 5,… Si λ está en metros, el valor numérico de 𝑅𝐻 es

𝑅𝐻 = 1.097 × 107 𝑚−1

La fórmula de Balmer tiene una relación muy directa con la hipótesis de Bohr acerca de los niveles de energía. Aplicando la relación 𝐸 = ℎ𝑐/𝜆 se puede determinar las energías de los fotones que corresponden a las longitudes de onda de la serie de Balmer:

𝐸 = ℎ𝑐𝑅𝐻 (1

22−

1

𝑛2) [0.62]

Si se compara la ecuación [0.62] con la ecuación [0.51] se puede asumir que el átomo de hidrógeno tiene niveles de energía 𝐸𝑛 dados por la expresión:

𝐸𝑛 =ℎ𝑐𝑅𝐻

𝑛2 [0.63]

Así, las magnitudes de los niveles de energía determinados con la ecuación anterior son -13.60 eV, -3.40 eV, -1.51 eV, -0.85 eV, y así sucesivamente.

Se han descubierto otras series espectrales del hidrógeno que se nombran en honor de sus descubridores: serie de Lyman [3.14], de Paschen [3.15], de Brackett [3.16] y de Pfund [3.17]:

68

1

𝜆= 𝑅𝐻 (

1

12−

1

𝑛2) 𝑛 = 2, 3, 4, … [0.64]

1

𝜆= 𝑅𝐻 (

1

32−

1

𝑛2) 𝑛 = 4, 5, 6, … [0.65]

1

𝜆= 𝑅𝐻 (

1

42−

1

𝑛2) 𝑛 = 5, 6, 7, … [0.66]

1

𝜆= 𝑅𝐻 (

1

52−

1

𝑛2) 𝑛 = 6, 7, 8, … [0.67]

Entonces, pueden comprenden todas las líneas espectrales del hidrógeno con base en el modelo de Bohr de transiciones de uno a otro niveles de energía. La relación de las diversas series espectrales con los niveles de energía y con las órbitas electrónicas se ve en la Figura 39:

Figura 39: Órbitas "permitidas" de un electrón para el modelo de un átomo de hidrógeno, según Bohr (no está a escala). Las líneas radiales indican las transiciones causantes de algunas de las líneas de las diversas series

Las líneas espectrales de hidrógeno para todas las series mencionadas anteriormente se muestran en la siguiente figura:

Figura 40: Series espectrales del hidrógeno atómico. Se señala el inicio de cada una de las series: Lyman, Balmer, Paschen, Brackett y de Pfund.

Pocos átomos y iones (hidrógeno, helio simplemente ionizado y litio doblemente ionizado) tienen espectros que pueden representarse con una expresión sencilla, como la de Balmer.

No obstante, siempre es posible analizar los espectros más complicados de otros elementos en términos de transiciones entre diversos niveles de energía, y deducir los valores numéricos de esos niveles a partir de las longitudes de onda medidas de su espectro.

Cada átomo tiene un nivel mínimo de energía, que incluye al estado de energía interna mínima que puede tener el átomo. A éste se le llama nivel de estado fundamental, o nivel fundamental, y todos los niveles más altos se llaman niveles excitados.

Un fotón emitido que corresponde a determinada línea del espectro se emite cuando un átomo hace una transición de un estado de un nivel excitado, a otro con un nivel menos excitado, o al nivel fundamental.

69

En forma más general, un fotón emitido cuando un átomo hace una transición de un nivel excitado a uno menor, también puede ser absorbido por un átomo similar que inicialmente esté en el nivel inferior. Si se hace pasar luz blanca (de espectro continuo) a través de un gas y vemos la luz transmitida con un espectrómetro, se encuentran una serie de líneas negras que corresponden a las longitudes de onda que se han absorbido. A éste se le llama espectro de absorción.

La siguiente figura muestra el esquema de las transiciones electrónicas en las órbitas del átomo de Bohr tanto en el proceso de emisión como en el de absorción.

Figura 41: proceso de emisión y absorción de un fotón

La constante de Rydberg se puede expresar en términos de parámetros atómicos si se comparan las ecuaciones [0.59] y [0.63] se tiene que:

𝑅𝐻 =𝑚𝑒4

8𝜖02ℎ3𝑐

[0.68]

3.5. Confirmación experimental: Experimento de Franck-Hertz

El experimento de Franck y Hertz se realizó por primera vez en 1914 por James Franck y Gustav Ludwig Hertz. Tiene por objeto probar la cuantización de los niveles de energía de los electrones en los átomos. El experimento confirmó el modelo cuántico del átomo de Bohr demostrando que los átomos solamente podían absorber cantidades específicas de energía (cuantos).

En 1913, Niels Bohr propuso un nuevo modelo del átomo, (átomo de Bohr), y de órbitas de los electrones, que se basaba en el modelo del átomo de Rutherford (análogo a un sistema planetario). Su modelo tenía cuatro postulados, uno de ellos era relativo a la cuantización de las órbitas de los electrones. Así, los primeros experimentos consistían en poner en evidencia esta cuantización.

70

Estos primeros experimentos usaban la luz, y a la época se sabía que esta estaba formada por "cuantos de energía". Por ello, se reprochaba a Bohr que los resultados de la cuantización de las órbitas (y por tanto la cuantización de los estados de energía de los electrones del átomo) se debían sólo a la cuantización de la luz.

En 1914, Franck y Hertz, que trabajaban en las energías de ionización de los átomos, pusieron a punto una experiencia que usaba los niveles de energía del átomo de mercurio. Su experiencia sólo usaba electrones y átomos de mercurio, sin hacer uso de ninguna luz.

Los electrones fueron acelerados por un voltaje hacia una rejilla cargada positivamente, dentro de un recipiente de cristal lleno de vapor de mercurio. Más allá de la rejilla, había una placa recolectora, mantenida a un pequeño voltaje negativo respecto de la rejilla. Los valores de los voltajes de aceleración donde la corriente disminuyó, dieron una medida de la energía necesaria para forzar el electrón a un estado excitado.

Los electrones son acelerados en el aparato de Franck-Hertz, y la corriente recogida aumenta con el voltaje de aceleración. Como muestran los datos de Franck-Hertz, cuando el voltaje de aceleración alcanza 4,9 voltios, la corriente cae bruscamente, indicando el claro inicio de un nuevo fenómeno que quita suficiente energía a los electrones, de manera que no pueden alcanzar el colector.

Esta caída se atribuye a colisiones inelásticas entre los electrones acelerados y los electrones atómicos de los átomos de mercurio. La aparición súbita sugiere que los electrones de mercurio no puede aceptar la energía hasta que se alcanza el umbral para elevarlos a un estado excitado.

Este estado excitado de 4,9 voltios, corresponde a una línea fuerte, en el espectro de emisión ultravioleta del mercurio, a 254 nm (un fotón de 4.9 eV). Se producen caídas de la corriente recogida en múltiplos de 4,9 voltios, puesto que un electrón acelerado que tiene quitado 4,9 eV de energía en una colisión, se puede volver a acelerar, para producir otras de tales colisiones a múltiplos de 4,9 voltios. Este experimento fue una fuerte confirmación de la idea de los cuantificados niveles de energía atómica.

Para el gas Neón, el proceso de absorción de energía por las colisiones de los electrones, produce una evidencia visible. Cuando los electrones acelerados excitan los electrones de Neón a estados superiores, ellos se des-excitan de tal forma, que producen un brillo visible en la región del gas donde está teniendo lugar la excitación. Hay alrededor de diez niveles excitados, en el rango de 18,3 a 19,5 eV. Ellos se des-excitan cayendo a estados más bajos a 16,57 y 16,79 eV. Esta diferencia de energía produce luz en el rango visible. Puesto que los electrones acelerados se someten a colisiones inelásticas con el Neón y son acelerados de nuevo, pueden llevar a cabo a una serie de tales colisiones si el voltaje de aceleración es lo suficientemente alto. El aparato de Franck-Hertz utilizado para producir la imagen, era capaz de producir voltaje de aceleración de unos 80 voltios, por lo que podía llegar hasta cuatro colisiones. Bajo las condiciones adecuadas, esto se puede ver como cuatro bandas de luz de des-excitación, en las regiones de las colisiones.

71

3.6. El átomo de Sommerfeld: Modelo cuántico (Modelo de Bohr generalizado)

El Modelo atómico de Sommerfeld es un modelo atómico realizado por el físico alemán Arnold Sommerfeld (1868-1951) que básicamente es una generalización relativista del modelo atómico de Bohr hecha en 1913.

El modelo atómico de Bohr funcionaba muy bien para el átomo de hidrógeno, sin embargo, en los espectros realizados para átomos de otros elementos se observaba que electrones de un mismo nivel energético tenían distinta energía, mostrando que existía un error en el modelo. Su conclusión fue que dentro de un mismo nivel energético existían subniveles, es decir, energías ligeramente diferentes. Además desde el punto de vista teórico, Sommerfeld había encontrado que en ciertos átomos las velocidades de los electrones alcanzaban una fracción apreciable de la velocidad de la luz. Sommerfeld estudió la cuestión para electrones relativistas.

En 1916, Sommerfeld perfeccionó el modelo atómico de Bohr intentando atenuar los dos principales defectos de éste. Para eso introdujo dos modificaciones básicas: Órbitas casi-elípticas para los electrones y velocidades relativistas. En el modelo de Bohr los electrones sólo giraban en órbitas circulares. La excentricidad de la órbita dio lugar a un nuevo número cuántico: el número cuántico azimutal, que determina la forma de los orbitales, se lo representa con la letra 𝑙 y toma valores que van desde 0 hasta 𝑛 − 1. Las órbitas son:

𝑙 = 0 también llamados orbitales s (sharp)

𝑙 = 1 también llamados orbitales p (principal)

𝑙 = 2 también llamados orbitales d (diffuse)

𝑙 = 3 también llamados orbitales f (fundamental)

Para hacer coincidir las frecuencias calculadas con las experimentales, Sommerfeld postuló que el núcleo del átomo no permanece inmóvil, sino que tanto el núcleo como el electrón se mueven alrededor del centro de masas del sistema, que estará situado muy próximo al núcleo al tener este una masa varios miles de veces superior a la masa del electrón.

Para explicar el desdoblamiento de las líneas espectrales, observando al emplear espectroscopios de mejor calidad, Sommerfeld supuso que las órbitas del electrón pueden ser circulares y elípticas. Introdujo el número cuántico secundario o azimutal, en la actualidad llamado 𝑙, que tiene los valores 0, 1, 2,… (n-1), e indica el momento angular del electrón en la órbita en unidades de ℎ 2𝜋⁄ , determinando los subniveles de energía en cada nivel cuántico y la excentricidad de la órbita.

3.7. Ondas de "De Broglie"

Un gran avance en la comprensión de la estructura atómica se inició en 1924, con una proposición por parte del príncipe Louis De Broglie, un físico y noble francés. Su razonamiento, interpretado libremente, fue algo como: la naturaleza ama la simetría.

La luz tiene naturaleza dual, y en algunos casos se comporta como ondas y en otros como partículas. Si la naturaleza es simétrica, esa dualidad también debería ser válida para la materia. Los electrones y los protones, que se suele imaginar como partículas, en algunos casos se pueden comportar como ondas.

Si una partícula actúa como una onda, debería tener una longitud de onda y una frecuencia. De Broglie postuló que una partícula libre con masa en reposo 𝑚, que se mueva a rapidez 𝑣 no relativista, debería tener una longitud de onda 𝜆 relacionada con su cantidad de movimiento 𝑝 = 𝑚𝑣 exactamente en la misma forma que un fotón: 𝜆 = ℎ 𝑝⁄ . Entonces, la longitud de onda de De Broglie para una partícula es

𝜆 =ℎ

𝑝=

ℎ

𝑚𝑣 [0.69]

72

Si la rapidez de la partícula es una fracción apreciable de la rapidez de la luz 𝑐,

𝜆 =ℎ

𝑝=

ℎ

𝛾𝑚𝑣 [0.70]

Donde 𝛾 está definido por la ecuación [0.14].

Según De Broglie, la frecuencia f también se relaciona con la energía de la partícula E en la misma forma que para un fotón

𝐸 = ℎ𝑓 [0.71]

Así, las relaciones entre longitud de onda y cantidad de movimiento, o frecuencia y energía, en la hipótesis de De Broglie, son exactamente las mismas para partículas que para fotones.

La hipótesis de De Broglie fue el comienzo de esa revolución. Pocos años después de 1924 fue desarrollada por Heisenberg, Schrödinger, Dirac, Born y otros más para formar una teoría detallada llamada mecánica cuántica. Este desarrollo ya estaba muy adelantado antes de que se encontrara una prueba experimental directa de las propiedades ondulatorias de las partículas.

La mecánica cuántica implica revisiones totales de nuestros conceptos fundamentales de la descripción de la materia. Una partícula no es un punto geométrico, sino una entidad repartida en el espacio. La distribución espacial de una partícula se define con una función llamada función de onda.

La función de onda de una partícula libre con energía definida tiene un patrón de onda recurrente con una longitud de onda y frecuencia definida. Los aspectos de onda y partícula no son inconsistentes; el principio de complementariedad que indica que se necesita tanto el modelo de partícula como el modelo de onda, para tener una descripción completa de la naturaleza.

Algunos objetos como las canicas o las pelotas de béisbol no parecen ser ondas en absoluto. Esto obedece a lo siguiente: la constante h de Planck es tan pequeña y el momento p incluso de los objetos macroscópicos de movimiento lento es tan grande que su longitud de onda de De Broglie es realmente pequeña: varios órdenes de magnitud menores que el tamaño de un núcleo atómico. Parece imposible diseñar un experimento que revele la naturaleza ondulatoria de estos objetos de escala grande.

3.7.1. El modelo de Bohr y las ondas de De Broglie

En el modelo de Bohr se representan los niveles de energía del átomo de hidrógeno en función de órbitas electrónicas definidas. Esto es una simplificación excesiva, y no se debería tomarse literalmente. La idea más importante en la teoría de Bohr, sin embargo, fue la existencia de niveles discretos de energía, y su relación con las frecuencias de los fotones emitidos.

La nueva mecánica cuántica sigue asignando sólo ciertos estados permitidos de energía a un átomo, pero con una descripción más general del movimiento del electrón en términos de funciones de onda. En el átomo de hidrógeno, los niveles de energía que predice la mecánica cuántica son los mismos que los que indica la teoría de Bohr. En átomos más complicados, para los que no funciona la teoría de Bohr, la representación mecánico-cuántica está en concordancia con las observaciones.

La hipótesis ondulatoria de De Broglie tiene una relación interesante con el modelo de Bohr. Se puede usar la ecuación [0.69] para obtener la condición cuántica de Bohr de que la cantidad de movimiento angular 𝐿 = 𝑚𝑣𝑟 debe ser un

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múltiplo entero de la constante de Planck ℎ. El método es similar a la determinación de las frecuencias de modo normal, de ondas estacionarias.

Una onda estacionaria no transmite energía, y los electrones en las órbitas de Bohr no irradian energía. Si se supone que un electrón es una onda estacionaria ajustada en torno a un círculo de una de las órbitas de Bohr, para que la onda sea una consigo misma uniformemente, la circunferencia de este círculo debe incluir algún número entero de longitudes de onda, tal como se muestra en la Figura 42.

Para una órbita con radio 𝑟 y circunferencia 2𝜋𝑟, se debe cumplir 2𝜋𝑟 = 𝑛𝜆, donde n = 1, 2, 3,… De acuerdo con la relación de De Broglie, la longitud de onda 𝜆 de la partícula con masa en reposo 𝑚, que se mueve con la rapidez 𝑣 no relativista, es 𝜆 = ℎ 𝑚𝑣⁄ . Por lo tanto:

𝐿 = 𝑚𝑣𝑟 = 𝑛ℏ [0.72]

La ecuación anterior sugiere enfáticamente que las propiedades ondulatorias de los electrones sí tienen relación con la estructura atómica.

Figura 42: Diagramas que muestran la idea de ajuste de una onda estacionaria en torno a una órbita circular.

3.8. Principio de correspondencia de Bohr

En la óptica física, al considerar ondas electromagnéticas de longitud de onda λ mucho menor que las dimensiones típicas de los elementos con que interactúa se obtiene lo que es conocido como "óptica geométrica". En la óptica geométrica la naturaleza ondulatoria no entra en juego y perfectamente se puede considerar a la luz de naturaleza corpuscular.

De la misma forma se puede pensar que la mecánica clásica de Newton es el límite de longitudes de onda corta de la mecánica cuántica. Recordando la ecuación de De Broglie 𝜆 = ℎ 𝑝⁄ si ℎ → 0 entonces 𝜆 → 0.

Considérese un fenómeno clásico. Si en el problema cuántico análogo que le corresponde se realiza el límite ℎ → 0 (es decir, en el límite en que la mecánica se vuelve continua), los resultados cuánticos deben coincidir con los resultados clásicos. Además, es conveniente hacer notar que no todo fenómeno cuántico tiene un análogo clásico. Por ejemplo para el spin de un sistema cuántico que sólo posee dos niveles, no existe un análogo clásico.

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Si se considera un sistema cuántico descrito por un número cuántico n, entonces otra forma equivalente de enunciar el principio de correspondencia es: "Al realizar el límite de grandes números cuánticos (𝑛 → ∞) en un problema cuántico, los resultados cuánticos deben coincidir con los resultados clásicos". El principio de correspondencia asegura que no haya contradicciones al aplicar la mecánica cuántica a problemas macroscópicos bien descritos por la mecánica clásica.

3.9. Difracción de electrones

El experimento de Davisson-Germer demostró la naturaleza ondulatoria de los electrones, confirmando la hipótesis anterior de Broglie. Poner la dualidad onda-partícula sobre una base firme experimental, representó un gran paso adelante en el desarrollo de la mecánica cuántica. La ley de Bragg para la difracción, se había aplicado a la difracción de rayos X, pero esta fue la primera aplicación de ondas a las partículas.

Davisson y Germer diseñaron y construyeron un aparato de vacío, con el fin de medir las energías de los electrones dispersados desde una superficie de metal. Los electrones procedentes de un filamento caliente, fueron acelerados por una tensión, y dirigidos para golpear una superficie de metal de níquel.

Figura 43: Esquema de la difracción de electrones en una red cristalina

La muestra era policristalina: como muchos otros metales, estaba formada por muchos cristales microscópicos unidos, con orientaciones aleatorias. Los investigadores esperaban que hasta la superficie más lisa posible se seguiría viendo áspera, según un electrón, y que el haz de electrones se reflejaría en forma difusa, con una distribución uniforme de intensidad, en función del ángulo 𝜃.

El haz de electrones era dirigido al blanco de níquel, que podía girar para observar la dependencia angular de los electrones dispersados. Su detector de electrones (llamado caja de Faraday), fue montado sobre un arco, de modo que pudiera ser girado para observar los electrones en diferentes ángulos.

Fue una gran sorpresa para ellos encontrar que en ciertos ángulos había un pico en la intensidad del haz de los electrones dispersados.

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Este pico indicaba un comportamiento de onda en los electrones, y daba valores que podían ser interpretados por la ley de Bragg, sobre el espaciado reticular del cristal de níquel.

Davisson y Germer pudieron determinar las rapideces de los electrones a partir del voltaje de aceleración, y pudieron calcular la longitud de onda de De Broglie. Los electrones se dispersaban principalmente por los planos atómicos en la superficie del cristal.

Los átomos de un plano superficial están ordenados en filas, y se puede determinar su distancia d usando técnicas de difracción de rayos x.

Figura 44: Difraccion de Bragg en una estructura cristalina

Esas filas funcionan como una rejilla de difracción reflejante; los ángulos en que hay reflexión intensa son iguales que para una rejilla con distancia d de centro a centro de sus rendijas. Los ángulos de reflexión máxima son:

2𝑑 sin𝜃 = 𝑚𝜆; 𝑚 = 1, 2, 3, … [0.73]

Los ángulos determinados con esta ecuación, usando la longitud de onda de De Broglie, concordaron con los valores observados. Así, el descubrimiento accidental de la difracción de electrones fue la primera prueba directa que confirmaba la hipótesis de De Broglie.

Utilizando la ley de Bragg, la expresión de la longitud de onda de De Broglie, y la energía cinética de los electrones acelerados dan la relación:

𝜆 =2𝑑 sin 𝜃

𝑚=

ℎ

𝑝=

ℎ

√2𝑚𝐸=

ℎ

√2𝑚𝑒𝑉 [0.74]

3.10. Principio de incertidumbre

El descubrimiento de la naturaleza dual de la materia, onda-partícula, forzó a reevaluar el lenguaje cinemático que se usaba para describir la posición y el movimiento de una partícula. En la mecánica newtoniana clásica, una partícula se concibe como un punto: se puede describir su lugar y su estado de movimiento en cualquier instante con tres coordenadas espaciales y tres componentes de velocidad.

Pero en general, esa descripción específica no es posible. Cuando se analiza el movimiento a una escala suficientemente pequeña, hay limitaciones fundamentales de la precisión con la que se pueden determinar la posición y la velocidad de una partícula. Muchos aspectos del comportamiento de una partícula se establecen sólo en términos de probabilidades.

Cuando se realiza el experimento de difracción a través de una rendija utilizando un haz de electrones (el experimento debe de realizarse en el vacío a 10⁻⁷ atm o menos, para que los electrones no reboten con las moléculas de aire. El haz de electrones se puede obtener con un aparato parecido al cañón de electrones de un tubo de rayos catódicos), se obtiene un resultado idéntico al que se obtendría usando luz monocromática. Esta es una prueba directa adicional de la naturaleza ondulatoria de los electrones: Un 85% de los electrones llegan a la película dentro del máximo central; el resto llega a ella dentro de los máximos subsidiarios en ambos lados.

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Si se considera que los electrones son ondas, no sorprendería su comportamiento ondulatorio en este experimento. Pero si se trata de interpretarlo en términos de partículas, se cae en problemas muy graves:

No todos los electrones siguen la misma trayectoria, aunque todos ellos tengan el mismo estado inicial de movimiento: no puede predecirse la trayectoria exacta de un electrón individual conociendo su estado inicial. Lo único que puede hacerse es decir que la mayoría de los electrones van a cierta región central, un porcentaje menor va a otras regiones, es decir, sólo puede establecerse la probabilidad de que determinado electrón llegue a diversas partes de la película.

Hay incertidumbres básicas tanto en la posición como en la cantidad de movimiento de una partícula individual, y esas dos incertidumbres se relacionan en forma inseparable: un electrón que llega a la película en la orilla externa del máximo central, formando un ángulo 𝜃, debe tener una componente de cantidad de movimiento 𝑝𝑦 en la dirección 𝑦, así

como también una componente 𝑝𝑥 en la dirección +𝑥, a pesar de que al principio el haz se dirigió paralelo al eje +𝑥:

𝑝𝑦 = 𝑝𝑥𝜃

Además se puede relacionar el ancho de la rendija 𝑎 y la longitud de onda 𝜆:

𝜃 = 𝜆𝑎⁄

Por lo tanto la componente en 𝑦 del momento lineal 𝑝𝑦:

𝑝𝑦 =𝜆

𝑎𝑝𝑥 [0.75]

Es decir que en la banda central, donde llega el 85% de los electrones a la placa fotográfica, los electrones tienen una componente en 𝑦 que varía en el rango −𝑝𝑥𝜆/𝑎 y +𝑝𝑥𝜆/𝑎 aun cuando el electrón incidía con un momento lineal completamente en el eje 𝑥.

Habrá una incertidumbre Δ𝑝𝑦 en la

componente 𝑦 de la cantidad de movimiento, cuyo valor es 𝑝𝑥𝜆/𝑎 , cuando menos. Esto es:

Δ𝑝𝑦 ≥ 𝑝𝑥

𝜆

𝑎

Si se sustituye la relación de De Broglie 𝜆 = ℎ/𝑝𝑥:

Δ𝑝 ≥ℎ

𝑎

Figura 45: Esquema de la difracción de electrones por medio de una rendija. El patrón es idéntico al de la difracción por un haz de luz monocromática.

O mejor dicho:

Δ𝑝𝑦 ∙ 𝑎 ≥ ℎ

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El ancho a de la rendija representa una incertidumbre en la componente 𝑦 de la posición de un electrón, al pasar por la rendija: no se conoce con exactitud dónde atraviesa cada partícula en la rendija.

Figura 46: patrones por difracción de electrones en doble rendija. Las franjas no pueden notarse cuando son pocos electrones (a).

Es decir, hay incertidumbres tanto en la posición como en la componente 𝑝𝑦 de la cantidad de movimiento, y las dos incertidumbres

se relacionan entre sí.

Se puede reducir la incertidumbre ∆𝑝𝑦 en cantidad de movimiento sólo

reduciendo el ancho del patrón de difracción. Para hacerlo, hay que aumentar el ancho a de la rendija, lo cual aumenta la incertidumbre en la posición. Al revés, si se disminuye la incertidumbre de posición estrechando la rendija, el patrón de difracción se ensancha y aumenta la correspondiente incertidumbre en la cantidad de movimiento.

Conforme las técnicas continuaron perfeccionándose, fue posible verificar la naturaleza ondulatoria de los electrones con el método tradicional de rendija doble, el que por primera vez aplicó Thomas Young en 1801 para probar la naturaleza ondulatoria de la luz.

No solamente los electrones muestran un carácter ondulatorio: la rendija doble es un alambre hecho con un material que absorbe neutrones como el boro centrado en un corte de una pantalla hecha de un material similar que absorbe neutrones.

A los neutrones provenientes de un reactor nuclear se les permite incidir sobre la rendija doble y con un detector se explora el haz de neutrones que sale por el extremo de las rendijas. Esto se hace con el propósito de medir la intensidad del haz en función de la posición del detector.

Los puntos son valores de datos experimentales, y la curva sólida es la predicción de la mecánica cuántica. La excelente concordancia entre el experimento y la teoría viene a corroborar la naturaleza ondulatoria de un haz de neutrones.

En descripciones más generales de relaciones de incertidumbre, se suele describir la incertidumbre de una cantidad en función del concepto estadístico de desviación estándar, que es una medida de la extensión o dispersión de un conjunto de números con respecto a su valor promedio.

78

Si una coordenada 𝑥 tiene una incertidumbre ∆𝑥 y si la componente respectiva de la cantidad de movimiento 𝑝𝑥 tiene una incertidumbre ∆𝑝𝑥, se ha visto que las incertidumbres en la desviación estándar se relacionan, en general, con la desigualdad:

∆𝑥∆𝑝𝑥 ≥ ℏ [0.76]

La ecuación anterior es una forma del principio de incertidumbre de Heisenberg y establece que, en general, ni la posición ni la cantidad de movimiento de una partícula se pueden determinar con una precisión arbitrariamente grande, como indicaba la física clásica. En vez de ello, las incertidumbres en las dos cantidades juegan papeles complementarios.

Podría suponerse que podría tenerse más precisión usando detectores más complejos de posición y de cantidad de movimiento. Sucede que eso no es posible: para detectar una partícula, el detector debe interactuar con ella, y esa interacción cambia irremediablemente el estado de movimiento de la partícula, e introduce incertidumbre acerca de su estado original.

También hay un principio de incertidumbre para la energía. La energía de un sistema también tiene una incertidumbre inherente. La incertidumbre ∆𝐸 depende del intervalo de tiempo ∆𝑡 durante el cual el sistema permanece en determinado estado. La relación es

∆𝐸∆𝑡 ≥ ℏ [0.77]

Un sistema que permanece en un estado metaestable durante un tiempo muy largo (∆𝑡 grande) puede tener una energía muy bien definida ( ∆𝐸 pequeña), pero si permanece en un estado sólo durante corto tiempo (∆𝑡 pequeño), la incertidumbre en la energía debe ser proporcionalmente mayor (∆𝑡 grande).

79

UNIDAD IV

Durante el siglo pasado, las aplicaciones de la física nuclear han tenido efectos inmensos sobre la especie humana; algunos fueron benéficos y otros catastróficos.

Cada átomo contiene en su centro un núcleo, compuesto de protones y neutrones, extremadamente denso con carga positiva, que es mucho más pequeño que el tamaño general del átomo, pero que contiene la mayor parte de su masa. La estabilidad o inestabilidad de un núcleo en particular está determinada por la competencia entre la fuerza nuclear de atracción entre protones y neutrones, y las interacciones eléctricas de repulsión entre los protones. Los núcleos inestables decaen o se desintegran, transformándose en forma espontánea en otras estructuras, a través de diversos procesos de decaimiento. Las reacciones nucleares que alteran las estructuras pueden inducirse también mediante el impacto de una partícula o de algún núcleo sobre otro núcleo. Hay dos clases de reacciones de interés especial: la fisión y la fusión.

La masa atómica puede medirse con gran precisión usando el moderno espectrómetro de masa y las técnicas de la reacción nuclear. Se acostumbra medirse en unidades de masa atómica unificadas (cuya abreviatura es u), escogida de modo que la masa atómica de ¹²C sea exactamente 12 u.

1 𝑢 = 1.66053886(28) × 10−27 𝑘𝑔

4.1 El núcleo atómico

Rutherford encontró que el núcleo tiene un radio que es muchísimo menor que el del átomo mismo (aproximadamente en un factor de 10⁴). Desde los experimentos iniciales de Rutherford se han hecho muchos más de dispersión, usando protones, electrones y neutrones de alta energía, así como partículas alfa. Esos experimentos demuestran que un núcleo se puede modelar como una esfera de radio R que depende de la cantidad total de nucleones (neutrones y protones). Estas partículas (a diferencia del electrón) no son verdaderamente elementales, pues se componen de otras partículas, denominadas quarks. Sin embargo, la física nuclear se ocupa fundamentalmente de los estudios del núcleo que no incluyan la estructura interna de los protones ni de los neutrones.

Al número de protones del núcleo (el número de protones) se le conoce a menudo como número atómico y se representa mediante 𝑍. Al número de neutrones se le conoce simplemente como número de protones y se representa mediante 𝑁. Aparte de la diferencia en su carga eléctrica (𝑞 = +𝑒 en el protón, 𝑞 = 0 en el neutrón), el protón y el neutrón son partículas muy semejantes: poseen casi la misma masa y experimentan fuerzas nucleares idénticas dentro del núcleo. Por tal razón se les clasifica como nucleones. El número total de éstos (𝑍 + 𝑁) recibe el nombre de número de masa o número nucleónico y se representan con 𝐴.

𝐴 = 𝑍 + 𝑁 [0.78]

Física nuclear

80

En un átomo neutro, el núcleo está rodeado por un electrón por cada protón que tenga. Las masas de estas partículas son:

Electrón: 𝑚𝑒 = 0.000548580 u = 9.10938 × 10−31 kg

Neutrón: 𝑚𝑛 = 1.008665 u = 1.674927 × 10−27 kg

Protón: 𝑚𝑛 = 1.007276 u = 1.672622 × 10−27 kg

Nótese que el número de masa (símbolo A) que identifica a un núclido se llama así por ser igual a la masa atómica del núclido, redondeada a su entero más cercano. Así, el número de masa del núclido ¹³⁷Cs es 137. Éste contiene 55 protones y 82 neutrones, un total de 137 partículas; su masa atómica es 136.907084 u, que se redondea numéricamente a 137

Al especificar 𝑍 y 𝐴 (y, por tanto, 𝑁) se especifica una variedad particular de núcleo, llamado núclido. Se usa 𝐴, la cantidad total de nucleones, a manera de superíndice de identificación al designar los núclidos. Por ejemplo en ⁸¹Br hay 81 nucleones. El símbolo "Br" indica que se trata de bromo donde 𝑍 es 35. Los 46 nucleones restantes son neutrones; así que en este núclido Z = 35, N= 46 y A = 81. Se da el nombre de isótopos a dos núclidos con el mismo número atómico 𝑍, pero con distinto número de neutrones 𝑁 y 𝐴 como ⁸¹Br y ⁸²Br.

La fuerza que controla la estructura y las propiedades electrónicas del átomo es la conocida fuerza de Coulomb. Pero para mantener junto el núcleo se requiere una fuerza de atracción de un tipo totalmente nuevo entre los neutrones y protones. Debe ser lo bastante intensa para superar la fuerza de repulsión de Coulomb entre los protones (con carga positiva) y para mantenerlos unidos, junto con los neutrones, en el diminuto volumen del núcleo. Los experimentos revelan que esta interacción fuerte, como se le llama, presenta el mismo carácter entre un par cualquiera de componentes nucleares, sean neutrones o protones.

81

Figura 47: La región inicial de la tabla completa de núclidos (estables e inestables). Tabla completa disponible en la siguiente dirección: http://wwwndc.jaea.go.jp/CN10/CNALL.html#root

La "fuerza fuerte" tiene un intervalo corto, aproximadamente de 10⁻¹⁵ m. Ello significa que la fuerza de atracción entre pares de neutrones cae rápidamente a cero en las separaciones de nucleones mayores que determinado volumen crítico. Esto a su vez significa que, salvo en los núcleos más pequeños, un nucleón no puede interactuar mediante esa fuerza con el resto de los nucleones, sino sólo con algunos de sus vecinos más cercanos. En cambio, la fuerza de Coulomb no es de corto alcance. Un protón en un núcleo ejerce una repulsión de Coulomb en todos los demás protones, sin importar lo grande de su separación

Los núclidos estables ligeros tienden a situarse en la línea Z = N o cerca de ella. Los más pesados se encuentran debajo de ella y, por eso, suelen tener muchos más neutrones que protones. La tendencia a un exceso de neutrones con números grandes de masa es el efecto de la repulsión de Coulomb. Un nucleón interactúa sólo con una cantidad pequeña de vecinos a través de la fuerza fuerte; por eso, la energía contenida en los enlaces con ella entre los nucleones crece en proporción con 𝐴. La energía contenida en los enlaces de la fuerza de Coulomb entre protones aumenta más rápidamente, porque cada uno interactúa con los restantes protones del núcleo. Así, la energía de Coulomb cobra mayor importancia con números de masa altos.

Por ejemplo, un núcleo con 238 nucleones. Si estuviera en la línea Z = N, tendría Z = N = 119. Pero si se pudiese ensamblar este núcleo, se separaría y fragmentaría de inmediato a causa de la repulsión de Coulomb. Se observa una estabilidad relativa sólo si se reemplaza 27 de los protones por neutrones, con lo cual se atenúa el efecto de repulsión: se tendría entonces el núclido ²³⁸U, donde Z = 92 y N= 146, un exceso de 54 neutrones.

Es una costumbre usar el radio de Bohr (5.29×10⁻¹¹ m = 52.9 pm) como una unidad útil para medir las dimensiones del átomo. Los núcleos son más pequeños en un factor aproximado de 10⁴, y una unidad adecuada para medir las distancias de esta escala es el femtómetro (10⁻¹⁵ m).

Puede conocerse el tamaño y la estructura de los núcleos efectuando experimentos de dispersión: por medio de un haz incidente de electrones con alta energía. Su energía es lo bastante grande (mayor de 200 MeV), de modo que su longitud de onda de De Broglie es lo bastante pequeña para que funcionen como sondas nucleares sensibles a la estructura. En

82

efecto, estos experimentos miden el patrón de difracción de las partículas dispersadas y esto permite deducir la forma del objeto que las dispersa (el núcleo).

Debido a este experimento se descubrió que el radio del núcleo 𝑅 crece con respecto al número atómico 𝐴 aproximadamente como:

𝑅 = 𝑅0𝐴1/3 [0.79]

Donde 𝑅0 tiene un valor de 1.2 fm.

En la física nuclear, a diferencia de la física atómica, los cambios de energía por evento son comunes; de ahí que la conocida relación de masa-energía de Einstein 𝐸 = ∆𝑚 𝑐2 sea hoy una herramienta indispensable de uso diario.

A menudo se trabaja con masas expresadas en unidades de masa atómica unificadas y es útil expresar la velocidad de la luz al cuadrado por unidad de masa atómica:

𝑐2 = 931.5 𝑀𝑒𝑉

𝑢 [0.80]

La energía 𝐸𝑏 que debe agregársele a un núcleo para separarlo en sus nucleones se conoce como energía de enlace. En realidad es una medida de la energía interna total del núcleo, a causa en parte de la fuerza fuerte entre los nucleones, a la fuerza de Coulomb entre ellos y a la energía cinética de los nucleones respecto al centro de masa del núcleo entero.

Así para el deuterio (consta de un protón y de un neutrón que están unidos mediante la fuerza fuerte), con base en la conservación de la energía:

𝑚𝑑𝑐2 + 𝐸𝑏 = 𝑚𝑛𝑐2 + 𝑚𝑝𝑐2

Se agrega el término 𝑚𝑒𝑐2 para obtener masas atómicas que son las comúnmente publicadas (y no las masas nucleares).

La que se convierte en:

𝑚𝐷𝑐2 + 𝐸𝑏 = 𝑚𝑛𝑐2 + 𝑚𝐻𝑐2

La energía de enlace 𝐸𝑏 para el deuterio se calcula como

𝐸𝑏 = (𝑚𝑛 + 𝑚𝐻 − 𝑚𝐷)𝑐2 = ∆𝑚 ∙ 𝑐2

Se obtiene para el deuterio ∆𝑚 = 0.002388 𝑢 y por lo tanto 𝐸𝑏 = 2.224 𝑀𝑒𝑉

Puesto que se debe agregar energía a un núcleo para separarlo en los protones y neutrones que lo forman, la energía total en reposo 𝐸0 de los nucleones separados es mayor que la energía en reposo del núcleo unido. La energía que se debe agregar para separar los nucleones se llama energía de enlace 𝐸𝑏; es la magnitud de la energía con la que se unen entre sí los nucleones: por lo tanto, la energía en reposo del núcleo es 𝐸0 − 𝐸𝑏. Si se usa la equivalencia entre masa en reposo y energía, se puede ver que la masa total de los nucleones siempre es mayor que la masa del núcleo, en una cantidad 𝐸𝑏/𝑐

2, que se llama defecto de masa. La energía de enlace de un núcleo que contiene Z protones y N neutrones se define como sigue:

83

𝐸𝑏 = (𝑍𝑀𝐻 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀𝑍𝐴 )𝑐2 [0.81]

Donde 𝑀𝑍𝐴 es la masa del átomo neutro que contiene al núcleo; la cantidad entre paréntesis es el defecto de masa y 𝑐2 =

931.5 𝑀𝑒𝑉/𝑢. Obsérvese que la ecuación [0.81] no incluye a 𝑍𝑀𝑝, la masa de Z protones. Más bien contiene 𝑍𝑀𝐻, la

masa de Z protones y Z electrones combinados en Z átomos neutros de 𝐻11 .

Si se divide la energía de enlace de un núcleo entre su número de masa, se obtiene su promedio por nucleón, lo que se muestra en la siguiente Figura 48:

La caída de la curva con números de masa altos indica que los nucleones están más estrechamente ligados cuando se combinan en dos núcleos de masa media que en uno solo de gran masa. Dicho de otra manera, puede liberarse energía en la fisión nuclear de un solo núcleo masivo en dos fragmentos más pequeños.

En cambio, la caída de la curva de la energía de enlace con números de masa bajos indica que puede liberarse energía, si dos núcleos de número de masa pequeño se combinan para formar un solo núcleo de masa intermedia. Este proceso, el inverso de la fisión, se conoce como fusión nuclear. Ocurre en el interior del Sol y en otras estrellas, y es el mecanismo por el que el Sol genera la energía que irradia hacia la Tierra.

4.2 Interacción nuclear fuerte y débil

Una fuerza que puede mantener unido un núcleo en contra de las enormes fuerzas de repulsión de los protones, es realmente fuerte. Sin embargo, no es una fuerza de la inversa del cuadrado como la fuerza electromagnética, y tiene un alcance muy corto. Yukawa modeló la fuerza fuerte como una fuerza de intercambio, en el que las partículas de intercambio son piones, y otras partículas más pesadas. El rango de una fuerza de intercambio de partícula, está limitado por el principio de incertidumbre. La interacción fuerte es la más intensa de las cuatro fuerzas fundamentales.

84

Figura 48: Energía de enlace por nucleón para un intervalo de números de masa. La región de la máxima estabilidad corresponde a números de masa entre 50 y 80.

Dado que los protones y los neutrones que componen el núcleo, se consideran que están hechos de quarks, y los quarks se consideran que se mantienen juntos por la fuerza de color, la fuerza fuerte entre los nucleones puede ser considerada como una fuerza de color residual. En el modelo estándar, por lo tanto, la partícula básica de intercambio es el gluón, que medía las fuerzas entre los quarks. Dado que los gluones y los quarks individuales están contenidos dentro del protón o del neutrón, las masas que se les atribuyen, no se puede usar en las fórmulas de rango para predecir el rango de la fuerza. Cuando se ve algo que emerge de un protón o un neutrón, entonces debe ser por lo menos un par quark-antiquark, por lo que es entonces plausible que el pion como el mesón más ligero, debería servir como un predictor del rango máximo de la fuerza fuerte entre los nucleones.

Si una fuerza implica el intercambio de una partícula, esa partícula tiene que "volver a casa antes de que se pierda", en el sentido de que debe encajar dentro de los límites del principio de incertidumbre. Una partícula de masa m y energía en reposo 𝐸 = 𝑚𝑐2 se puede intercambiar si no se va fuera de los límites del principio de incertidumbre en la forma:

∆𝐸 ∙ ∆𝑡 ~ 𝑚𝑐2 ∙ ∆𝑡 ≥ℏ

2 [0.82]

El rango 𝑅 se calcula como:

𝑅 = 𝑐∆𝑡 ≥ℏ

2𝑚𝑐 [0.83]

Se puede hacer una estimación del rango de la fuerza fuerte, asumiendo que es una fuerza de intercambio que implica piones neutros (264 𝑚𝑒) da un valor de 0.731 × 10−15 𝑚 = 0.731 𝑓𝑚.

Este rango es alrededor de un Fermi. Cuando Hideki Yukawa estaba trabajando en una teoría sobre la fuerza fuerte, consideró que el alcance de la fuerza nuclear era alrededor de un fermi, y calculó que la partícula de intercambio debería estar en las proximidades de 100 MeV de masa equivalente. Esto disparó la búsqueda que condujo al descubrimiento del pión. Cuando las partículas nucleares están muy juntas, deben incluirse también en este tipo de modelo de la fuerza fuerte otras partículas más pesadas. La visión actual es que la fuerza fuerte es fundamentalmente una interacción entre los quarks, y que la fuerza fuerte es realmente una fuerza de color residual.

Dentro de un protón o un neutrón (o cualquier hadrón), la fuerza entre los quarks no disminuye con la distancia, lo cual lleva al confinamiento de los quarks. Pero fuera de un protón o un neutrón, la fuerza fuerte entre ellos cae

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precipitadamente a alrededor de un fermi de distancia. El rango del pión es un indicador razonable de esta caída en picado y da una mayor comprensión de la paradójica naturaleza de la fuerza nuclear fuerte. Para que un protón atraiga un protón vecino, debe intercambiar algo con él, pero un quark aislado no puede ser intercambiado a causa del confinamiento de quarks. Sin embargo, se puede intercambiar un par quark-antiquark (un mesón), y el pión es el más ligero de los mesones. Las partículas de intercambio más ligeras, implican un mayor alcance, por lo que el rango del pión da una cota superior, para una fuerza de intercambio que implique pares de quark-antiquark.

La interacción débil, implica el intercambio de los bosones vectoriales intermedios, el W y el Z. Puesto que la masa de estas partículas es del orden de 80 GeV, el principio de incertidumbre dicta un rango de unos 10⁻¹⁸ metros, que es aproximadamente el 0.1% del diámetro de un protón.

El efecto más familiar es el decaimiento beta (de los neutrones en el núcleo atómico) y la radioactividad. La palabra "débil" deriva del hecho que un campo de fuerzas es de 10¹³ veces menor que la interacción nuclear fuerte; aun así esta interacción es más fuerte que la gravitación a cortas distancias.

La interacción débil cambia el sabor de un quark en otro. Es crucial para la estructura del universo en que

El sol no quemaría sin ella, ya que la interacción débil causa la transmutación de protón a neutrón p n, para que pueda formarse deuterio y pueda tener lugar la fusión del deuterio.

Es necesario para la acumulación de núcleos pesados.

El papel de la fuerza débil en la transmutación de quarks: la interacción está implicada en muchos decaimientos de partículas nucleares, que requieren el cambio de sabor de un quark en otro. Fue en la desintegración radiactiva tal como el decaimiento beta, donde primero se reveló la existencia de la interacción débil. La interacción débil es el único proceso en el que un quark puede cambiarse en otro quark, o un leptón en otro leptón –los así llamados "cambios de sabores"–.

La interacción débil actúa entre ambos, los quarks y los leptones, mientras que la fuerza fuerte no actúa entre leptones. "Los leptones no tienen color, por lo que no participan en las interacciones fuertes; los neutrinos no tienen carga, por lo que no experimentan fuerzas electromagnéticas, pero todos ellos participan en las interacciones débiles.

Debido a la debilidad de esta interacción, los decaimientos débiles son muy lentos comparados con los decaimientos fuertes o los electromagnéticos. Por ejemplo, un decaimiento electromagnético de un pion neutro tiene una vida de cerca de 10⁻¹⁶ s; mientras que un decaimiento débil cargado con un pion vive cerca de 10⁻⁸ s, es decir, cien millones de veces más largo. Un neutrón libre "vive" cerca de 15 minutos, haciéndola una partícula subatómica inestable con la vida media más larga conocida.

4.3 Estabilidad nuclear y radioactividad

Entre unos 2500 núclidos conocidos, menos de 300 son estables. Los demás son estructuras inestables que se desintegran para formar otros núclidos, emitiendo partículas y radiación electromagnética mediante un proceso llamado radiactividad. La escala de tiempos de esos procesos de decaimiento va desde una pequeña fracción de microsegundo hasta miles de millones de años.

La gráfica de Segré, por su inventor, el físico ítalo-estadunidense Emilio Segré (1905-1989), muestra la distribución de todos los núclidos estables e inestables, graficándolos en base a su número de neutrones y número de protones, tal como se muestra en la Figura 49.

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4.3.1 Clasificación de los nucleidos.

Isótopos. Poseen igual número atómico (igual número de protones), pero difiere la cantidad de neutrones. El deuterio, ²H, es isótopo del tritio, ³H. A su vez, ambos lo son de su ente principal: el hidrógeno, ¹H. Por corresponder al mismo elemento, es frecuente aplicar la designación «isotopía» del elemento: isótopos del hidrógeno. En el diagrama de Segré corresponden a todos los nucleidos que se encuentran sobre una recta vertical

Isobaros. Están dotados de la misma cantidad de nucleones: (mismo número másico, 𝐴). Por ejemplo, el potasio-40, ⁴⁰K, que tiene 19 protones y 21 neutrones, es isobaro del calcio-40, ⁴⁰Ca, el cual posee 20 protones y 20 neutrones. La cantidad de protones por la cual uno excede al otro coincide con la de neutrones deficitarios, de modo que la suma es la misma. Corresponden a los que se encuentran sobre una línea perpendicular a la recta Z = N en el diagrama de Segré.

Cada línea azul perpendicular a la línea N = Z representa un valor específico del número de masa A = Z + N. La mayor parte de las líneas de A constante sólo pasan por uno o dos núclidos estables; esto es, en general hay un intervalo muy pequeño de estabilidad para determinado número de masa. Por ejemplo:

A = 20 Solamente ²⁰Ne (abundancia del 90.483%)

A = 36 Existen dos núclidos estables: ³⁶Ar y ³⁶S (aunque la cantidad de ³⁶S es solamente el 0.025% de la abundancia de los isótopos de azufre)

A = 40 Incluye dos núclidos estables: ⁴⁰Ca (96.941% de los isótopos de calcio), y ⁴⁰Ar (99.6003% de los isótopos de argón)

A = 60 Solamente es estable ⁶⁰Ni (abundancia del 22.2631%)

A = 80 Existen dos núclidos estables: ⁸⁰Kr (abundancia: 2.28%) y ⁸⁰Se (abundancia: 49.61%)

En cuatro casos, las líneas pasan por tres núclidos estables, que son con A = 96, 124, 130 y 136 (en paréntesis se incluye su abundancia en su familia de isotopos)

A = 96 ⁹⁶Ru (5.54%); ⁹⁶Mo (16.68%); ⁹⁶Zr (2.8%) – el circonio 96 es prácticamente estable al tener una vida media de 2.35×10¹⁹ años –

A = 124 ¹²⁴Xe (0.0952%) – el xenón 124 es prácticamente estable con vida media mayor de 1.6×10¹⁴ años –; ¹²⁴Te (4.74%); ¹²⁴Sn (5.79%) – el estaño 124 es prácticamente estable con vida media mayor de 1.2×10²¹ años –

A = 130 ¹³⁰Ba (0.106%); ¹³⁰Xe (4.0710%); ¹³⁰Te (34.08%) – el telurio 130 es prácticamente estable al tener una vida media mayor de 3.0×10²⁴ años –

A = 136 ¹³⁶Ce (0.185%) – el cerio 136 es prácticamente estable al tener una vida media de 7×10¹³ años –; ¹³⁶Ba (7.854%); ¹³⁶Xe (8.8573%) – el xenón 136 es prácticamente estable con vida media mayor de 2.4×10²¹ años –

Isótonos. Contienen igual número de neutrones pero sus números atómico y másico son distintos. El potasio-39, ³⁹K, es isótono del calcio-40, ⁴⁰Ca. Se corresponden a los que se encuentran sobre una línea horizontal en el diagrama de Segré.

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Isómeros. De igual cantidad de nucleones, igual número atómico e igual número de neutrones, difieren únicamente por su estructura de agrupamiento, que implica diferente nivel de energía. ⁹⁹Tc (vida media de 6.01 horas) es isómero de ⁹⁹ᵐTc (vida media de 61 días).

Existen cuatro núclidos estables que tienen Z impar y N impar al mismo tiempo:

Deuterio: 21H Litio: 6

3Li Boro: 105B Nitrógeno: 14

7N

Se llaman núclidos impar-impar. La ausencia de otros núclidos impar-impar demuestra la influencia del apareamiento.

Los puntos de la gráfica de Segré (Figura 49) que representan núclidos estables definen una región relativamente delgada de estabilidad. Para bajos números de masa, las cantidades de protones y neutrones son aproximadamente iguales 𝑁 ≈𝑍. La relación 𝑁/𝑍 aumenta en forma gradual al aumentar A, hasta aproximadamente 1.6 a números de masa grandes, debido a la influencia creciente de la repulsión eléctrica de los protones.

Los puntos a la derecha de la región de estabilidad representan núclidos que tienen demasiados protones en relación con los neutrones, para ser estables. En esos casos gana la repulsión, y el núcleo se divide. A la izquierda están los núclidos con demasiados neutrones en relación con los protones. En esos casos, la energía asociada con los neutrones está desbalanceada con la asociada a los protones, y los núclidos decaen en un proceso que convierte los neutrones en protones. La gráfica muestra también que no hay un núclido con A > 209 o con Z > 83 que sea estable.

4.4 Decaimiento radiactivo

En términos generales, si una muestra contiene N núcleos radiactivos, expresar el carácter estadístico del proceso de decaimiento diciendo que la rapidez de cambio del número de núcleos, –dN/dt (donde el signo de menos la convierte en cantidad positiva), es proporcional al número de núcleos existentes, o sea:

−𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝜆𝑁 [0.84]

Donde la constante de proporcionalidad, λ, denominada constante de desintegración, posee un valor característico distinto en cada núclido radiactivo.

La solución de la ecuación [0.84] conlleva a:

𝑁 = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡 [0.85]

Aquí 𝑁0 es el número de núcleos radiactivos de la muestra en 𝑡 = 0. La reducción de N con el tiempo obedece una simple ley exponencial.

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Figura 49: Gráfica de Segré que muestra el número de neutrones y el número de protones para núclidos estables

89

A menudo, más que el número de núcleos radiactivos N, interesa más la actividad o rapidez de decaimiento 𝐴 = 𝜆𝑁 de la muestra. Al multiplicar la ecuación [0.85] por 𝜆 se obtiene

𝐴 = 𝐴0𝑒−𝜆𝑡 [0.86]

Donde 𝐴0 = 𝜆𝑁0 es la rapidez de decaimiento en 𝑡 = 0. El número de núcleos presentes y la rapidez de decaimiento siguen la misma ley exponencial.

Una magnitud de interés es el tiempo 𝑡1/2, denominado vida media, transcurrido el cual se reducen el número de núcleos

radiactivos 𝑁 y la actividad 𝐴 a la mitad de su valor inicial. Haciendo A = ½A₀ en la ecuación [0.86], se tiene

𝑡1/2 =ln2

𝜆 [0.87]

4.4.1 Decaimiento alfa.

Casi el 90% de los 2500 núclidos conocidos son radiactivos; no son estables, sino que se desintegran y forman otros núclidos. Cuando los núclidos inestables decaen y forman diferentes núclidos, suelen emitir partículas alfa (α) o beta (β). Una partícula alfa es un núcleo de helio ⁴He, con dos protones y dos neutrones enlazados entre sí, con espín total cero.

La emisión alfa se presenta principalmente en núcleos que son demasiado grandes para ser estables. Cuando un núcleo emite una partícula alfa, sus valores de número de neutrones 𝑁 y número de protones 𝑍 disminuyen cada uno en dos, y el número másico 𝐴 disminuye en cuatro, acercándose al territorio estable en la gráfica de Segré.

Un ejemplo conocido de los emisores alfa es el radio. La velocidad de la partícula alfa emitida, determinada a partir de la curvatura de su trayectoria en un campo magnético transversal, es de 1.52×10⁷ m/s. Esta rapidez, aunque es elevada, sólo es el 5% de la rapidez de la luz, por lo que se puede usar la ecuación no relativista de energía cinética

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Figura 50: El radio-226 decae en radón-222 por emisión alfa.

𝐾 =1

2𝑚𝑣2 = 4.8 𝑀𝑒𝑣

Las partículas alfa siempre se emiten con energías cinéticas definidas, determinadas por la conservación de la cantidad de movimiento y la energía. Por su carga y su masa las partículas alfa sólo pueden recorrer algunos centímetros en el aire, o algunas décimas o centésimas de milímetro en los sólidos antes de quedar en reposo debido a las colisiones.

Puede aplicarse la conservación de masa-energía para demostrar que el decaimiento alfa es posible siempre que la masa del átomo neutro original sea mayor que la suma de las masas del átomo neutro final y el átomo neutro de helio 4.

El telurio 106 (¹⁰⁶Te) es el isótopo más ligero en el cual ocurre desintegración alfa en la naturaleza. Artificialmente, el berilio 8 (⁸Be) se desintegra en dos partículas alfa, en el proceso triple alfa, esencial para generación de carbono 12 (¹²C) en el interior de las estrellas.

La secuencia de este fenómeno de desintegración se representa mediante la ecuación siguiente:

𝑋𝑍𝐴 → 𝑌𝑍−2

𝐴−4 + 𝐻𝑒2+24 . [0.88]

Con el uranio 238, la desintegración alfa se representa por:

® +238 234 492 90 2U Th He [0.89]

La ecuación [0.88] no está equilibrada eléctricamente. Pero, en la mayoría de los casos el núcleo resultante pierde rápidamente dos electrones en favor de la partícula alfa y se convierte en un átomo de helio, eléctricamente negativo. Por esta razón, en la mayoría de los casos, cuando existe mineral de alto contenido de uno o más elementos radiactivos, en sus alrededores, por la vía de decaimiento alfa, se forman bolsas de ⁴He.

Todo el helio existente en la Tierra se origina mediante desintegración alfa de elementos radiactivos. Debido a esto suele encontrarse en depósitos minerales ricos en uranio o en torio. Así mismo se obtiene como subproducto en pozos de extracción de gas natural.

4.4.2 Decaimiento beta.

Hay tres clases distintas de decaimiento beta: beta menos (β⁻), beta más (β⁺) y captura de electrón. Una partícula beta menos (β⁻) es un electrón. No es obvio cómo puede un núcleo emitir un electrón, si en el núcleo no hay electrones. La emisión de una β⁻ implica la transformación de un neutrón en un protón, un electrón y una tercera partícula, llamada antineutrino.

𝑃32 → 𝑆32 + 𝑒− + �̅� [0.90]

91

De hecho, si se libera un neutrón de un núcleo, decaerá en un protón, un electrón y un antineutrino, en un tiempo promedio de 15 minutos.

𝑛 → 𝑝 + 𝛽− + �̅�𝑒 [0.91]

Las partículas beta se pueden identificar, y sus velocidades se pueden medir con técnicas parecidas a los experimentos de Thomson. Las velocidades de las partículas beta llegan hasta a 0.9995 de la velocidad de la luz, por lo que su movimiento es muy relativista. Son emitidas con un espectro continuo de energías, lo que no sería posible si las únicas dos partículas fueran la β⁻ y el núcleo en retroceso, ya que en ese caso la conservación de la energía y la cantidad de movimiento indicarían una velocidad definida para la partícula β⁻. Así que debe existir una tercera partícula: de acuerdo con la conservación de la carga, esa partícula debe ser neutra, y de acuerdo con la conservación de la cantidad de movimiento angular, debe ser una con espín -½. Esta tercera partícula es un antineutrino, la antipartícula de un neutrino. En el decaimiento β⁻, N disminuye en uno, Z aumenta en uno y A no cambia.

El decaimiento beta menos suele presentarse con núclidos para los que la relación de neutrones a protones 𝑁/𝑍 es muy grande para tener estabilidad. Los núclidos en los que 𝑁/𝑍 es muy pequeña para tener estabilidad pueden emitir un positrón, la antipartícula del electrón, que es idéntica al electrón pero tiene carga positiva.

𝑝 → 𝑛 + 𝛽+ + 𝜈𝑒 [0.92]

Donde β⁺ es un positrón, y 𝜈𝑒 es el neutrino del electrón, o neutrino electrónico.

El tercer tipo de decaimiento beta es la captura de electrón. Hay unos núclidos para los que la emisión β⁺ no es posible desde el punto de vista de la energía, pero en los que un electrón orbital (normalmente en la capa K) se puede combinar con un protón en el núcleo, formando un neutrón y un neutrino. El neutrón se queda en el núcleo, y se emite el neutrino.

𝑝 + 𝛽− → 𝑛 + 𝜈𝑒 [0.93]

En todos los tipos de decaimiento beta, A permanece constante. Sin embargo, en el decaimiento beta más y en la captura de electrón, N aumenta en uno y Z disminuye en uno, y la razón neutrones/protones aumenta hacia un valor más estable.

4.4.3 Decaimiento gamma.

La energía del movimiento interno en un núcleo está cuantizada. Un núcleo normal tiene un conjunto de niveles permitidos de energía, que incluyen un estado fundamental (estado de mínima energía) y varios estados excitados. Debido a la gran fuerza de las interacciones nucleares, las energías de excitación de los núcleos son, en forma característica, del orden de 1 MeV, en comparación con algunos eV de los niveles atómicos de energía. En las transformaciones físicas y químicas ordinarias el núcleo siempre permanece en su estado fundamental. Cuando un núcleo se pone en un estado excitado, ya sea por bombardeo con partículas de alta energía o por una transformación radiactiva, puede decaer al estado fundamental emitiendo uno o más fotones, llamados rayos gamma o fotones de rayo gamma, comúnmente con energías entre 10 keV y 5 MeV. A este proceso se le llama decaimiento gamma.

4.5 Transmutación natural de los elementos: Radiactividad.

En la naturaleza existen muchos elementos radiactivos. Por ejemplo, las personas son ligeramente radiactivas por los núclidos inestables presentes en su organismo, como el carbono 14 y el potasio 40. El estudio de la radiactividad natural se inició en 1896, un año después de que Röntgen descubrió los rayos x. Henri Becquerel descubrió una radiación

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procedente de sales de uranio, que se parecía a los rayos x. Con investigaciones intensivas en las dos décadas siguientes, a cargo de Marie y Pierre Curie, Ernest Rutherford y muchos otros más, revelaron que las emisiones consisten en partículas con carga positiva y negativa, y en rayos neutros. Se les asignaron los nombres de alfa, beta y gamma por sus distintas características de penetración.

Al núcleo que decae se le llama núcleo precursor o núcleo padre, y al núcleo producido se le llama núcleo derivado o núcleo hijo. Cuando un núcleo radiactivo decae, es posible que el núcleo derivado (núcleo hijo) también sea inestable. En este caso se produce una serie de decaimientos sucesivos, hasta alcanzar una configuración estable. El núclido radiactivo más abundante en la Tierra es el isótopo del uranio 238U, que sufre una serie de 14 desintegraciones, incluyendo ocho emisiones α y seis emisiones β⁻, y termina en un isótopo estable del plomo, ²⁰⁶Pb.

4.5.1 Cadenas radiactivas.

Las cadenas o series radiactivas son todos los elementos que provienen de un mismo núcleo que decayó por emisiones α o β en otro núcleo que a su vez decae y así sucesivamente hasta llegar a un núcleo estable. Todos los núcleos intermedios son miembros de la cadena. La cadena lleva el nombre del elemento o núcleo del cual se origina.

Existen cuatro cadenas naturales, es decir, que el elemento original es naturalmente inestable y decaerá hasta llegar a un isótopo estable. Estas cuatro cadenas son: ²³²Th, ²³⁸U, ²³⁵U y ²³⁷Np. Las cadenas del ²³²Th y ²³⁸U son las más comunes en la Tierra ya que las vidas medias de estos núcleos son del orden de la edad de la Tierra (≈ 1010 años para ²³²Th y ≈109 para el ²³⁸U) y existen con relativa abundancia. El ²³⁵U (≈ 108 años) es de vida media más corta y menos abundante y el ²³⁷Np (≈ 106 años) cuya vida media es tan corta que su cadena ya prácticamente desapareció de la naturaleza. En la Figura 51, Figura 52, Figura 53, y Figura 54 se puede observar que cada cadena tiene un comportamiento característico en el cambio del número de masa 𝐴 lo cual da lugar a la serie de la cadena, de forma que la serie 𝐴 = 4𝑛 corresponde al ²³²Th; la serie 𝐴 = 4𝑛 + 1 corresponde al ²³⁷Np (pero ya no se encuentra en la naturaleza), la serie llamada 𝐴 = 4𝑛 + 2 corresponde al ²³⁸U y 𝐴 = 4𝑛 + 3 para el ²³⁵U.

Además de las cadenas ya mencionadas existe otro elemento radiactivo de origen natural, el ⁴⁰K con abundancia de ≈0.012% del potasio natural con una vida media de 1.26×10⁹ años decayendo en ⁴⁰Ca con un 89% de probabilidad y en ⁴⁰Ar con un 11%, ambos estables.

Los elementos radiactivos artificiales son aquellos que se crean por medio de bombardeos con partículas α y neutrones principalmente a núcleos estables produciendo nuevos núcleos inestables que luego decaen. La gama de elementos radiactivos creados artificialmente en reactores nucleares es muy grande y ha permitido estudiar prácticamente todos los isótopos asociados a los elementos naturales. Los elementos radiactivos artificiales, al igual que los naturales, también finalizan decayendo en un núcleo estable al cabo de cierto tiempo.

Toda la radiación que proviene de la tierra, aire y espacio (sin tener una fuente puntual) aparecerá en todo lugar donde se mida radiación y se denomina actividad de fondo radiactivo. La contribución del aire se debe principalmente al ²²²Rn que también es producido de forma natural y es miembro de la cadena del ²³⁸U. En el aire también se encuentran contaminantes artificiales por explosiones de bombas atómicas y accidentes nucleares.

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Figura 51: Serie radiactiva del Torio 232

Figura 52: Serie radiactiva del Neptunio 237

La actividad del fondo radiactivo debida a la tierra se debe a la existencia de las cadenas radiactivas naturales y a la deposición de contaminantes radiactivos en el suelo. Estos principalmente son desechos radiactivos y depósitos de los contaminantes lanzados al aire. La actividad de la tierra varía de lugar a lugar en el planeta dependiendo de la concentración de minerales que contienen elementos radiactivos naturales en el suelo. Los contaminantes artificiales pueden ser encontrados en las capas superficiales de suelo en casi todo el mundo siendo mayor en el hemisferio norte debido que es aquí donde mayor número de explosiones nucleares se han realizado. La contribución del espacio se debe a los rayos cósmicos generados por múltiples fenómenos en el universo.

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Figura 53: Serie radiactiva del Uranio 238

Figura 54: Serie radiactiva del Uranio 235

4.5.2 Actividad y vida media

Si se contara con cierta cantidad de un núclido radiactivo y si no se produce más, la cantidad disminuye en forma sencilla, a medida que los núcleos se desintegran. Esta disminución es un proceso estadístico; no hay forma de predecir cuándo se desintegrará determinado núcleo. Ningún cambio en el ambiente físico o químico — reacciones químicas, calentamiento o enfriamiento — afecta la rapidez de decaimiento.

Sea 𝑁(𝑡) el número (muy grande) de núcleos radiactivos en una muestra, en el momento 𝑡 , y sea 𝑑𝑁(𝑡) el cambio (negativo) en ese número durante un corto intervalo de tiempo 𝑑𝑡. Entonces, −𝑑𝑁(𝑡)/𝑑𝑡 se le llama tasa de decaimiento, rapidez de decaimiento, velocidad de decaimiento o actividad del espécimen.

Cuanto mayor sea la cantidad de núcleos en la muestra, más núcleos decaen durante cualquier intervalo de tiempo. Es decir, la actividad es directamente proporcional a 𝑁(𝑡):

−𝑑𝑁(𝑡)

𝑑𝑡= 𝜆𝑁(𝑡) [0.94]

95

Donde la constante 𝜆 se le denomina constante de decaimiento, constante radiactiva o coeficiente de decaimiento, y tiene distintos valores para núclidos diferentes. Un valor grande de 𝜆 corresponde a un decaimiento rápido, y uno pequeño, a un decaimiento más lento. Se puede interpretar como la probabilidad por unidad de tiempo para que cualquier núcleo en particular se desintegre.

Si 𝑁0 es el número de núclidos existentes en el instante inicial 𝑡 = 0, entonces la cantidad de núclidos restantes en el tiempo 𝑡 se determina por:

𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡 [0.95]

La vida media o "semivida", 𝑡12 es el tiempo necesario para que la cantidad de núcleos radiactivos disminuya hasta la mitad

de la cantidad original. Así, la mitad de los núcleos radiactivos que restan se desintegrará durante un segundo intervalo 𝑡12, y así sucesivamente.

Figura 55: Decaimiento de ⁹⁰Sr

Para 𝑡 = 𝑡12

se cumple que 𝑁(𝑡) =1

2𝑁0 y por lo

tanto:

𝑡12=

ln2

𝜆 [0.96]

La duración promedio, que en general se llama tiempo de vida de un núcleo o partícula inestable, es proporcional a la vida media:

𝑡𝑚 =1

𝜆=

𝑡12

ln 2 [0.97]

En la física de partículas, la vida de una partícula inestable se describe en general por el tiempo de vida, y no por la vida media

La Figura 55 muestra el decaimiento de 10 g de ⁹⁰Sr que tiene una vida media de 28.75 años.

Una unidad común de actividad es el curie, con el símbolo Ci, que se define como 3.70×10¹⁰ decaimientos por segundo. Es aproximadamente igual a la actividad de un gramo de radio. La unidad del SI de actividad es el becquerel, con el símbolo Bq. Un becquerel es un decaimiento por segundo, por lo que

1 𝐶𝑖 = 3.70 × 1010 𝐵𝑞 [0.98]

96

GUÍAS DE TRABAJO

Plan de Formación para Docentes de Tercer Ciclo y Educación Media

Especialidad Física

Discusión de Problemas 01

Módulo 6

Contenido: Teoría de la Relatividad Especial

Objetivo: Aplicar en situaciones cotidianas los conocimientos aprendidos sobre las formas de expresar una medida, la incerteza al medir las magnitudes y cómo se propaga esta.

1) Un tren viaja hacia el Sur con una rapidez de 88.2 ft/s (respecto del piso) bajo una lluvia desviada hacia el Sur por el viento. La trayectoria de las gotas de lluvia forman un ángulo de 21.6° con la vertical, medido por un observador estacionario en la Tierra. Sin embargo, otro observador sentado en el tren ve los trazos de las gotas perfectamente verticales a través de la ventana. Determinar la rapidez de las gotas de lluvia con relación al piso.

2) Un helicóptero vuela en línea recta con una rapidez constante de 4.9 m/s a una altura de 49 m sobre un terreno plano. Desde el helicóptero se lanza horizontalmente un paquete con una rapidez de 12 m/s respecto a éste y en dirección opuesta a la de su movimiento. a) Determinar la velocidad inicial del paquete en relación al piso b) ¿Cuál es la distancia horizontal entre el helicóptero y el paquete, cuando éste choca con el piso? c) ¿Cuál es el ángulo que forma el vector velocidad del paquete, respecto al piso, justo antes del impacto?

3) Dos puntos A y B están separados dos kilómetros sobre la misma orilla de un río. De dos hombres que están haciendo un viaje redondo de A hacia B y de regreso hasta A, el primero rema en un bote a 8.0 km/h con respecto al agua, mientras que el segundo camina por la orilla a 8.0 km/h. a) Si la velocidad de la corriente es de 4.0 km/h de A hacia B, ¿Cuál es el tiempo para que cada hombre haga

el viaje completo? b) ¿Cuál es la velocidad del hombre que camina con respecto al hombre en el bote, en el viaje de A hasta B?

4) ¿Cuál ha de ser la rapidez relativa 𝑢 de dos observadores inerciales para que sus medidas de intervalos de tiempo difieran en 1%?

97

R/ 𝑢 = 0.99995𝑐

5) El tiempo propio de vida de un mesón pi es de 2.6 × 10−8 𝑠. Si un haz de estas partículas tiene una velocidad de 0.9𝑐, indicar: a) ¿Cuál es el período de vida de esos mesones con respecto al laboratorio? b) ¿Qué distancia recorren en el laboratorio antes de desintegrarse?

R/ a) 5.96 × 10−8 𝑠, b) 16.1 𝑚

6) En el caso de los mesones pi considerados en el ejercicio anterior, indicar qué distancia habrá recorrido el laboratorio en el sistemas de referencia de los mesones

R/ 7.02 𝑚

7) ¿Cuántas veces aumentará la vida de una partícula inestable (para un observador en reposo), si se mueve a una velocidad 0.99𝑐?

R/ 7.09

8) Un avión vuela a 3240 𝑘𝑚/ℎ. Asumiendo que la Tierra fuese un sistema inercial, indicar: a) ¿En qué proporción se verá contraída la longitud del avión con respecto a la Tierra? b) ¿Durante un año medido en tierra 3.16 × 107 𝑠, qué intervalo de tiempo marcará el reloj del avión?

R/ No se detectarán cambios, ni de longitud ni de tiempo

9) Dos naves espaciales se aproximan desde posiciones opuestas en un sistema inercial. Si la velocidad de cada una de ellas es de 0.9𝑐, calcule la velocidad relativa entre las naves.

R/ −0.994𝑐

10) Un haz luminoso se mueve a lo largo del eje 𝑦′ del sistema inercial 𝑆′ con velocidad 𝑐. El sistema de referencia 𝑆′ se está moviendo con respecto a 𝑆 en la dirección del eje 𝑥 con una velocidad 𝑢 constante. Se pide: a) Hallar las componentes 𝑣𝑥 y 𝑣𝑦 del haz con respecto a 𝑆

b) Demostrar que la velocidad de la luz con respecto a 𝑆 es 𝑐

R/ a) 𝑣𝑥 = 𝑢, 𝑣𝑦 = √𝑐2 − 𝑢2

11) Un cuerpo se mueve a una velocidad 𝑣′′ = 0.9𝑐 a lo largo del eje 𝑥′′ de un sistema inercial 𝑆′′. El sistema 𝑆′′ se mueve hacia la derecha a una velocidad 𝑢2 = 0.9𝑐 sobre el eje 𝑥′ de un sistema 𝑆′, y 𝑆′ se mueve hacia la derecha a una velocidad 𝑢1 = 0.9𝑐 sobre el eje 𝑥 de un sistema 𝑆. Hallar la velocidad del cuerpo con respecto a 𝑆.

R/ 𝑣 = 0.9997𝑐

12) Dos naves espaciales de 100 𝑚 de longitud propia se mueven en sentido opuesto a velocidad 0.8𝑐 respecto a la Tierra (supóngala como sistema inercial). Se pide: a) Indicar que longitud tiene cada nave con respecto a la otra. b) En el instante 𝑡 = 0, medido en Tierra, las proas de las naves se cruzan. Calcular la diferencia de tiempo que

marcará el reloj de la Tierra cuando se crucen sus popas.

R/ a) 𝑙′ = 21.95 𝑚, b) 2.5 × 10−7𝑠

98

13) Un tren cuya longitud propia es de 1200 𝑚 pasa a gran velocidad por una estación cuyo andén mide 900 𝑚, y el jefe de la estación observa que al pasar el tren ocupa exactamente toda la longitud del andén. Se pide calcular la velocidad del tren.

R/ 0.66𝑐

14) Una nave espacial pasa frente a la Tierra (suponga inercial el sistema) a una velocidad 𝑢 = 0.6𝑐. En ese instante un observador en la Tierra y el tripulante de la nave ponen simultáneamente sus relojes en cero. Cuando el tripulante de la nave mida 60 𝑠 en su reloj mandará una señal luminosa hacia la Tierra. Cuando el observador de la Tierra reciba la señal, a su vez mandará hacia la nave una señal de confirmación. Se pide: a) ¿A qué hora según él reloj de la Tierra llega la señal de la nave? b) ¿A qué hora según el reloj de la nave recibirá la señal de confirmación?

R/ a) 120 𝑠, b) 240 𝑠

15) Un aeroplano de 40.0 m de longitud en un sistema de reposo, se mueve a una velocidad uniforme de 630 m/s con respecto a la Tierra. a) ¿Qué fracción de su longitud de reposo parecerá acortarse, con respecto a un observador en Tierra? b) ¿Cuánto tiempo tardará, según los relojes de la tierra, para que el reloj del aeroplano se retrase un

microsegundo?

16) El radio de reposo de la Tierra puede considerarse como de 6400 Km y la velocidad a que gira alrededor del Sol, como de 30 Km/s. ¿Cuánto parecerá acortarse el diámetro de la Tierra con respecto a un observador en el Sol, por el movimiento orbital de aquélla?

17) Un evento que ocurre en el sistema 𝑆 tiene coordenadas 𝑥 = 1.0 × 105 𝑚, 𝑦 = 0 𝑚, 𝑧 = 𝑥, 𝑡 = 1.0 × 105 𝑠. ¿Cuáles serán las coordenadas de este evento medidas por un observador en 𝑆′ que se mueve a una velocidad relativa de 0.5𝑐 en la dirección de 𝑥?

18) Un electrón de 100 𝑀𝑒𝑉, para el cual 𝑢 = 0.999975𝑐 se mueve por el eje de un tubo vacío, el cual tiene una longitud 𝑙 de 3.00 𝑚, según lo mide un observador en el laboratorio 𝑆, con respecto a quien el tubo está en reposo. Un observador 𝑆′ que se moviera junto con el electrón vería al tubo pasar moviéndose a una velocidad −𝑢. ¿Qué longitud del tubo mediría el observador en 𝑆′?

19) Un electrón se mueve a una velocidad 𝑢 = 1.8 × 108𝑚/𝑠 con respecto a un observador inercial. Indicar su energía cinética y su energía total

20) Si la vida propia promedio de un mesón µ es de 2.3 × 10−6 𝑠, a) ¿qué distancia promedio viajará éste en el vacío antes de morir, de acuerdo con mediciones en diferentes

sistemas de referencia, donde su velocidad es de 0.00𝑐, 0.60𝑐, 0.99𝑐? b) Compare cada una de estas distancias con la distancia que el mismo mesón “vería” que está viajando.

21) Una barra rígida, de 1 𝑚 de largo, es medida por dos observadores, uno en reposo respecto a la barra y el segundo moviéndose respecto al primero a lo largo de la longitud de la barra. ¿A qué velocidad debe moverse el observador para ver la barra contraída a 0.999 m y 0.500 m?

22) Una estación de radar situada en la Tierra observa una nave espacial A, que viaja a la velocidad de 0.80 c, perseguida por una segunda nave B, situada a 10000 m de la primera, y que se desplaza a la velocidad de 0.98c. ¿Cuánto tiempo le lleva a la nave B alcanzar a la nave A según el reloj de B? ¿Según la estación de radar?

23) Una barra rígida hace un ángulo θ₂ = 37° con respecto al eje x₂ ¿A qué velocidad debe moverse la barra paralelamente al eje x₁ para que parezca formar un ángulo θ₁ = 45°?

99

24) Imagine una fuente de luz que emite radiación uniformemente en todas direcciones en el sistema de reposo 𝑆′. Encuentre la distribución de radiación en el sistema de laboratorio 𝑆 en el que se mueve la fuente a una velocidad 𝑢 = 0.8𝑐. (Sugerencia: Encuentre el ángulo 𝜃 para 𝜃′ = 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°. (Sería útil el trazo de una gráfica polar de los datos). ¿Podría decir por qué a este fenómeno frecuentemente se le llama «efecto faro»?

25) ¿Qué potencial eléctrico constante debe usarse para llevar un protón a la velocidad 0.6c? ¿Cuál será su energía total? ¿Cuál será su energía cinética? ¿Cuál será su cantidad de movimiento?

R/ 𝐸𝑇 = 1172.85 𝑀𝑒𝑉, 𝐾 = 234.57 𝑀𝑒𝑉, ∆𝑉 = 2.34 × 108 𝑉, 𝑝 = 3.75 × 10−19 𝑘𝑔 𝑚/𝑠

26) Un cuerpo de masa m se desplaza con velocidad 0.8c en el sentido positivo del eje x del sistema inercial S, y choca plásticamente con un cuerpo de masa 3 m, en reposo sobre el eje x de S. Indicar la masa del cuerpo unificado resultante del choque y su velocidad.

27) Calcular el trabajo necesario para llevar un electrón de la velocidad 0.6 c a la velocidad 0.9c

R/ 0.533 MeV

28) Determinar la cantidad de movimiento de un electrón cuya energía cinética es de 1 MeV

R/ 7.58 × 10−22 𝑘𝑔 𝑚/𝑠

29) La masa de un muon es de 105 𝑀𝑒𝑉/𝑐2 y su tiempo de vida media es de 2 × 10−6𝑠 medido en reposo. Calcular la velocidad del muon en movimiento, si su tiempo de vida media medida es 7 × 10−6 𝑠.

30) En el sistema 𝑆 un electrón se mueve hacia la derecha a una velocidad 0.6𝑐. Un observador se mueve a una velocidad 0.8𝑐 en la misma dirección y sentido que el electrón. Indicar la energía del electrón que mediría el observador.

31) Un cuerpo de masa 𝑚 se desplaza con velocidad 0.8𝑐 en el sentido positivo del eje 𝑥 del sistema inercial 𝑆, y choca plásticamente con un cuerpo de masa 3𝑚, en reposo sobre el eje 𝑥 de 𝑆. Indicar la masa del cuerpo unificado resultante del choque y su velocidad

32) La longitud de una varilla con 10 MeV de energía total se contrae 6.2% con respecto a su longitud propia. Se pide hallar a) Su velocidad. b) Su energía cinética.

33) Un mesón cuya energía en reposo es de 140 MeV se creó a 100 km sobre el nivel del mar y se mueve verticalmente hacia abajo. Tiene una energía total de 1.5 x 10⁵ MeV y se desintegra en 2.6 x 10⁻⁸ s según su propio sistema de referencia. Indicar a que altura sobre el nivel del mar tendrá lugar la desintegración del mesón.

34) Sean dos partículas idénticas cuya masa sea m y que se desplazan con respecto al sistema inercial 𝑆 según el eje 𝑥 con velocidades 𝑣 y −2𝑣 respectivamente. Indicar: a) La energía total del conjunto, su cantidad de movimiento y la energía cinética de cada partícula. b) Ídem a) pero para un observador situado en la partícula con velocidad 𝑣.

35) Sea un triángulo rectángulo de 6 m de base y 8 m de altura, fijo en el sistema 𝑆′ que se mueve a una velocidad 0.8c según el eje 𝑥 de un sistema 𝑆. Se pide indicar la superficie de dicho triángulo según 𝑆′ y según 𝑆.

100

36) Desde el sistema inercial 𝑆 se ve que en un punto 𝐴 del eje 𝑥 ocurre un evento y 10−6 𝑠 más tarde ocurre otro evento en un punto 𝐵 que está más allá sobre el mismo eje 𝑥. Según se ve desde el sistema 𝑆, entre 𝐴 y 𝐵 hay una distancia de 600 m. a) ¿Hay algún otro sistema 𝑆′ que se mueve con velocidad constante menor que 𝑐, desde el cual los dos

eventos parezcan simultáneos? Si es así, ¿cuál es la magnitud y dirección de la velocidad de 𝑆′ con respecto a 𝑆? ¿Cuál es la separación de los eventos de 𝐴 y 𝐵 de acuerdo con 𝑆′?

b) Repítase el inciso a para el caso de que 𝐴 y 𝐵 estén separados sólo 100 m según vistos desde el sistema 𝑆

37) El radio de reposo de la Tierra puede considerarse como de 6400 km y la velocidad a que gira alrededor del Sol, como de 30 km/s. ¿Cuánto parecerá acortarse el diámetro de la Tierra con respecto a un observador en el Sol, por el movimiento orbital de aquélla?

38) Un electrón es proyectado a un ángulo de 37° con respecto al eje 𝑥 a la velocidad de 0.5𝑐 en un sistema 𝑆. Determine la magnitud y dirección de la velocidad de este electrón medida desde un sistema inercial 𝑆′ que se mueve a la velocidad de 0.5𝑐

39) A 200 km sobre el nivel del mar, una partícula de rayo cósmico primario choca con la atmósfera de la Tierra; en esta colisión de alta energía se produce un mesón π+, el cual desciende verticalmente a una velocidad de 0.99c y en su sistema propio, se desintegra 2.8 × 10⁻⁸ s después de producido. Según se ve desde la Tierra, ¿a qué altura sobre el nivel del mar se desintegra el mesón?

40) El tiempo de vida media de los mesones μ en reposo es de 2.3×10⁻⁶ s. Una medición efectuada en el laboratorio sobre los mesones µ da como resultado una vida media de 6.9×10⁻⁶ s. a) ¿Cuál es la velocidad de los mesones en el laboratorio? b) La masa en reposo de un mesón µ es de 207 mₑ. ¿Cuál es la masa efectiva de tal mesón cuando se desplaza

a esta velocidad? c) ¿Cuál es su energía cinética? ¿Cuál es su impulso?

41) De acuerdo con la Física Clásica: ¿qué diferencia de potencial acelerará electrones a la velocidad de la luz? a) Con esta diferencia de potencial, ¿qué velocidad alcanzará un electrón según la teoría de la relatividad? b) ¿Cuál sería su masa a esta velocidad? ¿Cuál su energía cinética?

42) La masa efectiva de un fotón (paquete de radiación electromagnética de masa en reposo cero y de energía hν) puede determinarse de la relación E = mc². Calcular la masa efectiva para un fotón de 1.0 Å de longitud de onda (región de los R-X).

43) Una tonelada de agua se calienta desde su punto de congelación hasta su punto de ebullición. ¿En cuánto aumenta su masa, en kg y en porcentaje de su masa original?

44) Un mesón π cargado (masa en reposo: mπ = 273 mₑ) en reposo decae en un neutrino (masa en reposo cero) y un mesón µ (masa en reposo mµ=207 mₑ). Encontrar la energía cinética del neutrino y del mesón µ.

45) Demostrar que cuando (v/c) < ( 1/10), entonces (K/mc²) < (1/200) y las expresiones clásicas para la energía cinética y la cantidad de movimiento, esto es K = ½mv² y p=mv, pueden utilizarse con un error de menos de 1%. Además, demuestre que cuando (v/c) > (99/100), entonces (K/mc²) > 7 y la relación relativista p = (E/c), para una partícula de masa m con un error de menos del 1%.

46) Dos objetos idénticos, cada uno con masa en reposo m, moviéndose a velocidades iguales pero opuestas, de 0.6c en el sistema de laboratorio, chocan y quedan pegadas. La partícula compuesta tiene una masa en reposo M. Exprese M en función de m.

101

47) Un cuerpo de masa en reposo m, que inicialmente viaja a una velocidad de 0.6c, tiene una colisión completamente inelástica con un cuerpo idéntico inicialmente en reposo. ¿Cuál es la masa en reposo del cuerpo único resultante? Y ¿Cuál es su rapidez?

48) Dos partículas a alta velocidad cada una con una masa en reposo m, se acercan de manera que la colisión será frontal. Una tiene una velocidad de 0.8c y la otra de 0.6c. Suponiendo que la colisión sea completamente inelástica conteste las siguientes preguntas en función de m y c. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento después de la colisión? b) ¿Qué valor se predeciría según la mecánica newtoniana? c) ¿Cuál es el valor de la energía total después de la colisión? d) ¿Cuál es la masa total después de la colisión? e) ¿Cuál es la energía cinética después de la colisión?

49) Un electrón se mueve en trayectoria circular cuyo radio es de 0.600 m con velocidad constante y perpendicularmente a un campo magnético de 0.0300 T (Wb/m²). En términos de su masa en reposo, encontrar su masa relativista, su energía cinética, su energía total, su cantidad de movimiento y su cantidad de movimiento angular.

Plan de Formación para Docentes de Tercer Ciclo y Educación Media

Especialidad Física

Discusión de Problemas 02

Módulo 6

Contenido: Teoría Cuántica de la Luz

Objetivo: Aplicar en situaciones cotidianas los conocimientos aprendidos sobre las formas de expresar una medida, la incerteza al medir las magnitudes y cómo se propaga esta.

1) Calcular la energía y la longitud de onda de un fotón de luz de 10¹⁵ Hz de frecuencia

2) ¿Qué energía tiene un fotón de longitud de onda de 6.000 Å?

3) Calcular la energía de un fotón de longitud de onda 𝜆 = 5 × 10−7 𝑚

4) Una línea de emisión espectral, importante en radioastronomía, tiene una longitud de onda de 21 cm. ¿A qué energía de fotón corresponde la línea de emisión?

5) El metro se define como 1650763.73 longitudes de onda de la radiación anaranjada de Kr⁸⁶. ¿Cuánta energía tiene un fotón de esta radiación?

6) ¿Cuál es la frecuencia, longitud de onda y cantidad de movimiento de un fotón cuya energía es igual a la energía de un electrón en reposo?

102

7) Compare la energía de la línea Kα del Tungsteno (W⁷⁴) a 0.0210 Å con la línea pulsante de un láser infrarrojo de CO2 a 10.6 μm.

8) La línea Kα del tulio (Tm²⁶⁹) tiene una longitud de onda de 0.246 Å. Compare la energía de este fotón Kα con la energía de reposo de un electrón.

9) La radiación solar llega a la Tierra a razón de 1340 W/m² sobre una superficie normal a los rayos incidentes. Suponiendo que la longitud de onda promedio es de 550 nm, ¿a cuántos fotones/m²·s equivale?

10) Bajo condiciones ideales el ojo humano normal registrará una sensación visual a 550 nm si sólo son absorbidos 100 fotones/s ¿A qué nivel de potencia corresponde?

11) Una luz de frecuencia 6×10¹⁴ Hz incide sobre una superficie metálica y salen electrones con una energía cinética de 2×10⁻¹⁹ J. Calcular el trabajo de extracción de los electrones.

12) El ojo humano es más sensible a la luz verde con longitud de onda de 505 nm. Los experimentos indican que cuando la gente permanece en una habitación oscura hasta que sus ojos se adaptan a la oscuridad, un solo fotón de luz verde activará las células receptoras de los bastones que hay en la retina. a) ¿Cuál es la frecuencia de este fotón? b) ¿Cuánta energía (en joule y en electrón volts) llega a las células receptoras? c) Para apreciar la pequeña cantidad de energía que es esto, calcule la rapidez con que se movería una

bacteria, cuya masa es de 9.5 3 10212 g, si tuviera esta energía.

13) Una emisora de FM transmite con una potencia de 1 kW a una frecuencia de 98 MHz. ¿Cuántos fotones emite durante un segundo?

14) Se usa un láser para soldar retinas desprendidas, el cual emite luz de una longitud de onda de 652 nm, en impulsos de 20.0 ms de duración. Durante cada impulso, la potencia media es de 0.600 W. a) ¿Cuánta energía, en joules, hay en cada impulso? ¿En electrón volts? b) ¿Cuál es la energía de un fotón, en joules? ¿En electrón volts? c) ¿Cuántos fotones hay en cada impulso?

15) En el efecto fotoeléctrico obtenido iluminando potasio, la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos es de 1.6 eV cuando la luz incidente es de 3500 Å. ¿Cuál es la energía umbral en eV?

16) Cuando una superficie metálica se ilumina con luz de 180 nm (zona ultravioleta), ésta emite electrones. Se Observa también que la frecuencia umbral corresponde a la luz de 230 nm. a) Calcular la velocidad máxima con la que salen los electrones al principio del experimento. b) ¿Con qué potencial inverso tienen que ser frenados estos electrones para impedir que lleguen al ánodo de

la célula fotoeléctrica?

17) Para un cierto metal la longitud de onda umbral es de 270 nm. a) Determinar la energía mínima necesaria para arrancar un electrón del metal. b) ¿Cuál será la velocidad que, como máximo, podrán tener los electrones emitidos en tal caso? c) Si la luz con el que iluminamos fuese de 200 nm, ¿cuál sería la velocidad máxima con qué saldrían los

electrones?

18) La energía mínima necesaria para arrancar electrones del cobre es de 4.4 eV. ¿Cuál será la diferencia de potencial que habrá de aplicarse para impedir la salida de electrones del cobre si éste se ilumina con una luz de 150 nm de longitud de onda?

19) La energía necesaria para extraer un electrón del sodio es de 2.3 eV.

103

a) ¿El sodio presentará efecto fotoeléctrico para la luz amarilla con λ = 589 nm? b) ¿Cuál es la longitud de onda de corte para emisión fotoeléctrica de sodio?

20) Calcular la energía cinética máxima de los electrones emitidos por una superficie metálica cuando inciden fotones de longitud de onda 𝜆 = 2 × 10−7 𝑚. La energía mínima para liberar los electrones (función trabajo) es W = 6.72×10⁻¹⁹ J.

21) La función trabajo para el efecto fotoeléctrico del potasio es 2.3 eV. Si al potasio llega luz de 250 nm de longitud de onda, calcule a) el potencial de frenado en volts, b) la energía cinética de los electrones que se emiten con más energía, en electrón volts, y c) la rapidez de esos electrones.

22) Cuando una luz ultravioleta de 254 nm de longitud de onda incide sobre una superficie de cobre limpia, el potencial de frenado necesario para detener la emisión de fotoelectrones es 0.181 V. a) ¿Cuál es la longitud de onda umbral fotoeléctrica para esta superficie de cobre? b) ¿Cuál es la función trabajo de esta superficie?

23) El compuesto fotosensible de la mayor parte de las películas fotográficas es bromuro de plata, AgBr. Una película se "expone" cuando la energía luminosa absorbida disocia esta molécula en sus átomos. (El proceso real es más complejo, pero el resultado cuantitativo no es muy diferente.) La energía de disociación del AgBr es 1.0×10⁵ J/mol. Para un fotón que apenas puede disociar una molécula de bromuro de plata, calcule a) la energía del fotón, en electrón volts. b) la longitud de onda del fotón y c) la frecuencia del fotón. d) ¿Cuál es la energía, en electrón volts, de un fotón con una frecuencia de 100 MHz? e) La luz de una luciérnaga puede exponer la película fotográfica, pero la radiación de una estación de FM que

transmite 50,000 W a 100 MHz no. Explique por qué.

24) Sobre una superficie de aluminio incide luz de longitud de onda 200 nm. Se requieren 4.2 eV para extraer un electrón del aluminio. a) ¿Cuál será la energía cinética del fotoelectrón más rápido? ¿Y la del más lento? b) ¿Cuál será el potencial de frenado? c) ¿Cuál es la longitud de onda de corte para el aluminio? d) Si la intensidad de luz incidente es 2.0 W/m², ¿cuál es el número promedio de fotones por unidad de tiempo

por unidad de área que inciden sobre la superficie?

25) Las funciones de trabajo fotoeléctrico para muestras particulares de ciertos metales son las siguientes: cesio, 2.1 eV; cobre, 4.7 eV; potasio, 2.3 eV; y cinc, 4.3 eV. a) ¿Cuál es la longitud de onda umbral para cada superficie metálica? b) ¿Cuál de estos metales no podría emitir fotoelectrones al irradiarse con luz visible (de 400 a 700 nm)?

26) El potencial de frenado para fotoelectrones emitidos desde una superficie iluminada con luz de longitud de onda = 491 nm es de 0.71 V. Cuando se cambia la longitud de onda incidente se encuentra que el potencial de frenado es de 1.43 V. ¿Cuál es la nueva longitud de onda?

27) En un experimento fotoeléctrico en el cual se utilizan luz monocromática y un fotocátodo de sodio, se encuentra que el potencial de frenado es de 1.85 V para = 300 nm y 0.82 V para =400 nm. A partir de estos datos determine: a) un valor para la constante de Planck

104

b) la función trabajo en eV para el sodio c) la longitud de onda umbral para el sodio.

28) Rayos X con λ = 0.71 Å extraen fotoelectrones de una lámina delgada de oro. Los electrones forman trayectorias circulares de radio r en una región de inducción magnética B. Los experimentos demuestran que rB = 1.88 × 10⁻⁴ T·m. Encuentre: a) la energía cinética máxima de los fotoelectrones y b) el trabajo hecho para sacar un fotoelectrón de la lámina delgada de oro.

29) Se desea escoger una sustancia para una fotocélula que opere con luz visible. ¿Cuál de los siguientes lo hará (función trabajo entre paréntesis): Tantalio (4.2 eV), Tungsteno (4.5 eV), Aluminio (4.2 eV), Bario (2.5 eV), Litio (2.3 eV)?

30) La cantidad de movimiento de un fotón es 8.24×10⁻²⁸ kg m/s de magnitud. a) ¿Cuál es la energía de este fotón? Exprese su respuesta en joules y en electrón volts. b) ¿Cuál es la longitud de onda de este fotón? ¿En qué región del espectro electromagnético se encuentra?

31) ¿Cuál es la energía cinética máxima de los electrones dispersados por efecto Compton de una lámina de cobre en la que incide un haz de fotones monocromáticos, teniendo cada fotón una cantidad de movimiento de 0.88 MeV/c?

32) Una diferencia de potencial de 4.00 kV acelera a unos protones, desde el reposo, y éstos chocan con un objetivo metálico. Si un protón produce un fotón en el impacto, ¿cuál es la longitud de onda mínima de los rayos x que resultan? ¿Cómo se compara su respuesta con la longitud de onda mínima si se emplean electrones de 4.00 keV? ¿Por qué los tubos de rayos x usan electrones y no protones para producir los rayos x?

33) Se producen rayos x en un tubo que trabaja a 18.0 kV. Después de salir del tubo, los rayos x con la longitud de onda mínima producida llegan a un blanco y se dispersan por efecto Compton en un ángulo de 45.0°. a) ¿Cuál es la longitud de onda del rayo x original? b) ¿Cuál es la longitud de onda de los rayos x dispersados? c) ¿Cuál es la energía de los rayos x dispersados (en electrón volts)?

34) Un haz de rayos x de 0.0500 nm de longitud de onda tiene dispersión de Compton por los electrones de una muestra. ¿A qué ángulo, con respecto al haz incidente, hay que buscar para encontrar rayos x con longitud de onda de a) 0.0542 nm, b) 0.0521 nm y c) 0.0500 nm?

35) Si un fotón con longitud de onda de 0.04250 nm choca con un electrón libre y se dispersa a un ángulo de 35.0° con respecto a su dirección original, calcule a) el cambio en la longitud de onda de este fotón; b) la longitud de onda de la luz dispersada; c) el cambio en la energía del fotón (¿se trata de una pérdida o de una ganancia?); d) la energía ganada por el electrón.

36) Fotones de longitud de onda de 0.024 Å inciden sobre electrones libres. a) Encuentre la longitud de onda de un fotón que es dispersado a 30° de la dirección de incidencia y la energía

cinética impartida al electrón que rebota. b) Haga lo mismo para un ángulo de 120°.

37) Un fotón de rayos X, con energía inicial de 0.1 MeV, que viaja en la dirección +𝑥 incide sobre un electrón libre en reposo. El fotón es dispersado en ángulo recto +𝑦 . Encuentre las componentes de la cantidad de movimiento del electrón que rebota.

105

38) La potencia de radiación de un cuerpo negro es de 34 kW. Hallar la temperatura de este cuerpo si el área de su superficie es de 0.6 m².

39) Calcule la temperatura de la superficie del sol, si se sabe que en el espectro de radiación del sol, lo corresponde una mayor emisión de energía a la longitud de onda de 4.75×10⁻⁵ cm. Considere que el sol emite como un cuerpo negro.

40) Determine 𝜆𝑚, la longitud de onda del máximo de la distribución de Planck, y la frecuencia f correspondiente, a las siguientes temperaturas Kelvin: a) 3.00 K, b) 300 K y c) 3000 K.

41) Sirio, la estrella más brillante en el cielo, tiene una temperatura de unos 11000 °C, ¿Cuál es su color?

42) Generalmente se considera que el valor medio de la energía que emite 1 cm² de la superficie terrestre en un minuto es de 0.13 calorías. Considerando la Tierra como un cuerpo negro, determine la temperatura media de su superficie y la longitud de onda a la cual corresponde el máximo de la energía que se radia.

43) Calcule a que longitud de onda le corresponde la mayor cantidad de energía emitida para un cuerpo negro se calienta a una temperatura: a) 10⁶ K b) 10³ K.

44) La temperatura de la superficie de las estrellas llamadas "enanas blancas" es de 10⁴ K. ¿En qué parte del espectro se encuentra el máximo de su radiación?

45) Una bombilla eléctrica incandescente de 100 W tiene un filamento cilíndrico de tungsteno de 30.0 cm de longitud, 0.40 mm de diámetro, y su emisividad es 0.26. a) ¿Cuál es la temperatura del filamento? b) ¿Para qué longitud de onda es máxima la emitancia espectral de la bombilla? Las bombillas incandescentes

no son fuentes eficientes de luz visible. Explique por qué.

46) Un cuerpo negro se encuentra a una temperatura 2900 K. Como resultado de enfriamiento de este cuerpo, la longitud de onda correspondiente a la radiancia espectral máxima sufrió una variación de 9 nm. ¿Hasta qué temperatura se enfrió el cuerpo?

47) Calcule la corriente que tiene que pasar por un filamento metálico cuyo diámetro es 0.1 mm que se encuentra en una bombilla al vacío, para que su temperatura sea de 2500 K. Considere que el filamento emite como un cuerpo negro. Desprecie las pérdidas de energía por conducción. La resistividad del filamento es de 2.5×10⁻⁴ Ω·cm.

48) La estrella más brillante en el firmamento es Sirio. En realidad es un sistema binario, es decir, está constituido por dos estrellas, la menor de las cuales (Sirio B) es una enana blanca. El análisis espectral de Sirio B indica que

la temperatura en su superficie es de 24,000 K y que irradia energía a razón de 1.0 × 1025 𝑊. Suponga que se comporta como un cuerpo negro ideal. a) ¿Cuál es la intensidad total irradiada por Sirio B? b) ¿Cuál es la longitud de onda de máxima intensidad? ¿Es visible esta longitud de onda para los humanos? c) ¿Cuál es el radio de Sirio B? Exprese su respuesta en kilómetros y como una fracción del radio del Sol. d) ¿Cuál estrella irradia más energía total por segundo, la caliente Sirio B o el (relativamente) frío Sol que tiene

una temperatura en la superficie de 5800 K? Para descubrirlo, calcule la razón entre la potencia total que irradia el Sol y la potencia que irradia Sirio B.

49) Suponiendo que la temperatura de la superficie del Sol es 5700 K y que su diámetro es 1.4×10⁹ m,

106

a) Aplique la ley de Stefan Boltzmann para determinar la masa en reposo por segundo, que pierde el Sol en el proceso de radiación.

b) ¿Qué fracción de la masa en reposo del Sol se pierde cada año, por radiación electromagnética? Suponga que la masa en reposo del Sol es de 2.0×10³⁰ kg

50) La rapidez promedio de radiación solar que incide sobre la Tierra por unidad de área es de 0.485 cal/cm²-min (o 355 W/m²). a) Explique la compatibilidad de este número con la constante solar (la energía solar que llega por unidad de

tiempo, a incidencia normal, sobre unidad de la superficie terrestre. Su valor es 1.94 cal/cm²-min o 1340 W/m²).

b) Considere la Tierra como un cuerpo negro que radia energía al espacio a esta misma rapidez. ¿Qué temperatura superficial tendría la Tierra en estas circunstancias?

51) Un radiador de cavidad, que está a 6000 K, tiene un agujero de 0.10 mm de diámetro en la pared. a) Encuentre la potencia radiada a través del agujero en el rango de longitudes de onda de 5500 a 5100 Å. b) Suponiendo que la radiación es cedida en pequeñas cantidades de energía, encuentre la rapidez de emisión

de los así llamados fotones

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Especialidad Física

Discusión de Problemas 03

Módulo 6

Contenido: Naturaleza corpuscular y ondulatoria de la materia

Objetivo: Aplicar en situaciones cotidianas los conocimientos aprendidos sobre las formas de expresar una medida, la incerteza al medir las magnitudes y cómo se propaga esta.

1) Un átomo de hidrógeno se encuentra en un estado con 21.51 eV de energía. En el modelo de Bohr, ¿cuál es la cantidad de movimiento angular del electrón en el átomo, con respecto a un eje en el núcleo?

2) Un átomo de hidrógeno está inicialmente en el nivel fundamental; absorbe un fotón y se excita al nivel n = 4. Determine la longitud de onda y la frecuencia del fotón.

3) Un átomo de berilio triplemente ionizado, Be³⁺ (un átomo de berilio al que se le quitan tres electrones), se comporta en forma muy parecida al átomo de hidrógeno, pero la carga nuclear es cuatro veces mayor. a) ¿Cuál es la energía de nivel fundamental del Be³⁺? ¿Cómo se compara con la energía del nivel fundamental

del átomo de hidrógeno? b) ¿Cuál es la energía de ionización del Be³⁺? ¿Cómo se compara con la energía de ionización del átomo de

hidrógeno? c) Para el átomo de hidrógeno, la longitud de onda del fotón emitido en la transición de n = 2 a n = 1 es 122

nm. ¿Cuál es la longitud de onda del fotón emitido, cuando un ion Be³⁺ sufre esta transición?

107

d) Para un valor dado de n ¿cómo se compara el radio de una órbita del Be³⁺ con el correspondiente del hidrógeno?

4) Use el modelo de Bohr: a) Calcule la rapidez del electrón en un átomo de hidrógeno que se encuentra en los niveles de energía n = 1,

2 y 3. b) Calcule el periodo orbital en cada uno de esos niveles. c) La vida promedio del primer nivel excitado de un átomo de hidrógeno es 1.0×10⁻⁸ s. En el modelo de Bohr,

¿cuántas órbitas describe un electrón en el nivel n = 2, antes de regresar al nivel fundamental?

5) Use la fórmula de Balmer para calcular a) la longitud de onda, b) la frecuencia y c) la energía del fotón de la línea 𝐻𝛾 de la serie de Balmer del hidrógeno.

6) Calcule las longitudes de onda máxima y mínima de las series de Lyman y de Paschen para el hidrógeno. ¿En qué región del espectro electromagnético está cada serie?

7) Un átomo está inicialmente en un nivel de energía 26.52 eV, y absorbe un fotón de 860 nm de longitud de onda. ¿Cuál es la energía interna del átomo después de absorber al fotón?

8) Un átomo que inicialmente está en un nivel de energía con 22.68 eV emite un fotón de 420 nm de longitud de onda. ¿Cuál es la energía interna del átomo después de emitir el fotón?

9) El esquema de niveles de energía para un elemento hipotético de un electrón, se presenta en la figura 38.36. Se toma como cero la energía potencial de un electrón a una distancia infinita del núcleo.

a) ¿Cuánta energía (en electrón volts) se necesita para ionizar a un electrón desde el nivel fundamental?

b) Un fotón de 18 eV es absorbido por el átomo en su nivel fundamental. Cuando el átomo regresa a su nivel fundamental, ¿qué energías posibles pueden tener los fotones emitidos? Suponga que puede haber transiciones entre todos los pares de niveles.

c) ¿Qué sucederá si un fotón de 8 eV de energía choca con el átomo en su estado fundamental? ¿Por qué? d) Los fotones emitidos en las transiciones n = 3 -> n = 2, y n = 3 -> n = 1 del átomo emiten fotoelectrones de

un metal desconocido, pero el fotón emitido a partir de la transición n = 4 -> n = 3 no los emite. ¿Cuáles son los límites (valores máximo y mínimo posibles) de la función trabajo del metal?

10) Una partícula alfa de 4.78 MeV, procedente de una desintegración de ²²⁶Ra, choca de frente con un núcleo de uranio. Ese núcleo tiene 92 protones. a) ¿Cuál es la distancia de acercamiento máximo de la partícula alfa al centro del núcleo? Suponga que el

núcleo de uranio permanece en reposo y que la distancia de máximo acercamiento es mucho mayor que el radio del núcleo de uranio.

b) ¿Cuál es la fuerza sobre la partícula alfa en el instante en el que está a la distancia de acercamiento máximo?

11) Una bala de masa de 40 g se desplaza a 1000 m/s. ¿Qué longitud de onda podemos asociarle? ¿Por qué la naturaleza ondulatoria de la bala no se hace evidente mediante efectos de difracción?

12) ¿Cuál es la longitud de onda asociada a un electrón de 100 eV? ¿Y a una pelota de golf (1.65 oz) con una velocidad de 60 m/s?

108

13) ¿Qué velocidad tendrá un electrón con una longitud de onda asociada de 2.00 Å?

14) La longitud de onda de la emisión espectral amarilla del sodio es de 5896 Å. ¿A qué energía cinética tendría un electrón la misma longitud de onda?

15) Determine la longitud de onda de De Broglie para a) Un electrón se mueve con una rapidez de 4.70×10⁶ m/s b) Un protón se mueve con la misma rapidez

16) Determine el momento y la energía para un fotón de rayos X y para un electrón, cada uno con una longitud de onda de 1.00 Å?

17) Un electrón tiene una longitud de onda de De Broglie de 2.80×10⁻¹⁰ m. Determine: a) la magnitud de su cantidad de movimiento; b) su energía cinética (en joules y en electrón volts).

18) Un electrón y un fotón tienen cada uno una longitud de onda de 2.0 Å. a) ¿Cuáles son sus cantidades de movimiento en MeV/c? b) Encuentre sus energías totales. c) Compare la energía cinética del electrón con la energía del fotón.

19) Compare la longitud de onda de un electrón de 1 MeV (energía cinética), un fotón de 1 MeV y un neutrón de 1 MeV (energía cinética).

20) ¿Cuál es la longitud de onda de un átomo de hidrógeno que se mueve con una velocidad correspondiente a la energía cinética promedio para equilibrio térmico a 20 °C?

21) Una partícula alfa con una masa de 6.64×10⁻²⁷ kg) emitida en el decaimiento radiactivo del uranio 238 tiene 4.20 MeV de energía. ¿Cuál es su longitud de onda de De Broglie?

22) Una partícula libre no relativista, de masa m, tiene energía cinética K. a) Deduzca la ecuación de la longitud de onda de De Broglie de la partícula, en función de m y K. b) ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de un electrón de 800 eV?

23) El espaciamiento principal entre planos de un cristal de cloruro de potasio es de 3.14 Å. Compare el ángulo para una reflexión de Bragg de primer orden para estos planos, de electrones con energía cinética de 40 KeV con el correspondiente a fotones de 40 KeV.

24) ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie para un electrón cuya rapidez es a) 0.480c y b) 0.960c? (Sugerencia: use la ecuación relativista correcta para la cantidad de movimiento, si es necesario.)

25) Encuentre: a) Si un fotón y un electrón tienen la misma energía de 20.0 eV cada uno, determine su longitud de onda. b) Si un fotón y un electrón tienen la misma longitud de onda de 250 nm cada uno, calcule su energía. c) Va a estudiar una molécula orgánica de unos 250 nm de longitud, ¿usará un microscopio óptico o uno

electrónico? Aproximadamente, ¿cuál es la longitud de onda que debe usar y qué técnica, los fotones o los electrones? Probablemente, ¿cuál de los dos dañará menos la molécula?

26) A través de qué diferencia de potencial se deben acelerar los electrones para que tengan a) la misma longitud de onda que un rayo x de 0.150 nm y b) la misma energía que el rayo x del inciso a)

109

27) Un haz de electrones se acelera del reposo con una diferencia de potencial de 0.100 kV y luego pasa por una rendija delgada. El haz difractado muestra su primera difracción mínima a ±11.5° desde la dirección original del haz visto desde la rendija. a) ¿Es necesario usar fórmulas de relatividad? ¿Cómo lo sabe? b) ¿Qué tan ancha es la rendija?

28) Un fastidioso mosquito de 1.5 mg está zumbando cerca de usted mientras estudia física en su habitación, la cual mide 5.0 m de ancho y 2.5 m de alto. Decide aniquilar de un golpe al insecto cuando éste se aproxima a usted pero sabe que necesita estimar la rapidez del insecto para darle un golpe certero. a) ¿Cuál es la incertidumbre máxima en la posición horizontal del mosquito? b) ¿Qué límite impone en el principio de incertidumbre de Heisenberg a su capacidad de conocer la velocidad

horizontal de este mosquito? ¿Dicha limitación es un impedimento serio en su intento por aniquilarlo?

29) Demuestre que para una partícula libre, la relación de incertidumbre puede escribirse como ∆𝜆 ∙ ∆𝑥 ≥ 𝜆2 4𝜋⁄ . Donde ∆𝑥 es la incertidumbre en la posición de la onda y ∆𝜆 la incertidumbre simultánea en la longitud de onda.

30) Si Δλ/λ = 10⁻⁷ para un fotón, ¿cuál es el valor simultáneo de Δx para λ = 5.00×10⁻⁴ Å (rayos gamma), λ = 5.00 Å (rayos X) y λ = 5000Å (luz)?

31) Un microscopio de fotones es utilizado para localizar un electrón dentro de una distancia de 0.2 Å. ¿Cuál es la incertidumbre en la velocidad para un electrón localizado de este modo?

32) La vida media de un estado excitado de un núcleo es, generalmente, 10⁻¹² s. ¿Cuál es la incertidumbre en la energía del fotón de rayos 𝛾 emitido?

33) Calcule la mínima incertidumbre en la determinación de la velocidad de un camión cuya masa es de 2000 kg. si se requiere determinar la posición de su centro de masa dentro de un intervalo de 2.00 Å. Además calcule el porcentaje de incertidumbre en la cantidad de movimiento para el mismo caso.

34) La incertidumbre en la posición de un electrón que se mueve en línea recta es de 10 Å. Calcule su incertidumbre en su cantidad de movimiento, su velocidad y su energía cinética.

35) Una canica de 10.0 g se coloca suavemente sobre una mesa horizontal que tiene 1.75 m de ancho. a) ¿Cuál es la incertidumbre máxima en la posición horizontal de la canica? b) Según el principio de incertidumbre de Heisenberg, ¿qué incertidumbre mínima tiene la velocidad

horizontal de la canica? c) A la luz de su respuesta al inciso b), ¿cuál es el tiempo máximo que la canica podría permanecer en la mesa?

Compare este tiempo con la edad del Universo, que es aproximadamente de 14 mil millones de años.

36) Un átomo en un estado metaestable tiene 5.2 ms de duración. ¿Cuál es la incertidumbre en la energía de ese estado metaestable?

37) La partícula 𝜓 (psi) tiene una energía en reposo de 3097 MeV. Es inestable y su vida es de 7.6×10⁻²¹ s. Estime la incertidumbre en la energía en reposo de la partícula 𝜓. Exprese su respuesta en MeV, y como fracción de la energía en reposo de esa partícula.

38) Duración de una partícula. La partícula W⁺ es inestable y tiene energía en reposo de 80.41 GeV, y la incertidumbre de su energía en reposo es de 2.06 GeV. Estime la duración, o vida, de la partícula W⁺.

39) ¿Efectos cuánticos en la vida cotidiana? Un insecto de 1.25 mg vuela a través de un orificio con diámetro de 4.00 mm en un mosquitero (malla metálica) para ventana común. El espesor del mosquitero es de 0.500 mm.

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a) ¿Cuáles deberían ser la longitud de onda aproximada y la rapidez del insecto como para que aquella muestre comportamiento ondulatorio conforme pasa por el orificio?

b) Con la rapidez calculada para el inciso a), ¿cuánto tardaría el insecto en pasar por los 0.500 mm de espesor del orificio en el mosquitero? Compare este tiempo con la edad del Universo (que es de 14 mil millones de años). ¿Esperaría ver la “difracción del insecto” en la vida cotidiana?

40) Un núcleo en estado excitado volverá a su estado base, emitiendo un rayo gamma al hacerlo. Si su vida promedio es 8.7 ps en determinado estado excitado de 1.32 Me V de energía, calcule la incertidumbre en la energía del correspondiente fotón emitido de rayos gamma.

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Especialidad Física

Discusión de Problemas 04

Módulo 6

Contenido: Física nuclear

Objetivo: Aplicar en situaciones cotidianas los conocimientos aprendidos sobre las formas de expresar una medida, la incerteza al medir las magnitudes y cómo se propaga esta.

1) ¿Cuántos protones y cuántos neutrones hay en un núcleo del isótopo más común del a) silicio 2814Si , b) rubidio

8537Rb , c) talio 205

81Tl ?

2) Para los tres núcleos del ejercicio anterior, estime a) el radio, b) la superficie y c) el volumen de cada núcleo. Determine d) la densidad de masa (en kg/m³) y e) la densidad nucleónica (en nucleones por metro cúbico) para cada núcleo. Suponga que la masa de cada núcleo es A unidades de masa atómica.

3) Calcule la distancia de la máxima aproximación durante una colisión frontal entre una partícula a de 5.30 Me V y el núcleo de un átomo de cobre.

4) El radio de un núcleo se mide aplicando métodos de dispersión de electrones y se comprueba que tiene 3.6 fm. ¿Cuál es su número probable de masa?

5) ¿Cuál es la densidad aproximada de la materia nuclear de que están hechos todos los núcleos?

6) Una estrella de neutrones es un objeto estelar cuya densidad equivale aproximadamente a la de la materia nuclear, tal como el problema anterior. Suponga que el Sol se colapsara como ella sin perder nada de su masa actual. ¿Cuál sería su radio esperado?

7) El isótopo más común del uranio es 23892U cuya masa atómica es 238.050783 u. Calcule

a) el defecto de masa; b) la energía de enlace (en MeV);

111

c) la energía de enlace por nucleón.

8) Calcule la energía promedio de enlace por nucleón de ⁶²Ni, cuya masa atómica es 61.928349 u. Este núcleo tiene la máxima energía de enlace por nucleón de todos los núcleos estables conocidos.

9) Las masas atómicas de ¹H, ¹²C y ²³⁸U son 1.007825 u, 12.000000 u (por definición) y 238.050783 u, respectivamente. a) ¿Cuáles serían esas masas si la unidad de masa se definiese de modo que la masa de ¹H fuera

(exactamente) 1.000000 u? b) Con el resultado indique por qué quizá no se hizo la elección más obvia.

10) Le piden extraer una partícula a (4He) extrayendo sucesivamente un protón, un neutrón y un protón. Calcule: a) el trabajo necesario en cada paso, b) la energía total de enlace de la partícula a y c) la energía de enlace por nucleón.

Las masas atómicas que se necesitan son: ⁴He = 4.002603 u; ³H = 3.016049 u; ²H = 2.014102 u; ¹H = 1.007825 u; n = 1.008665 u.

11) Un centavo posee una masa de 3.00 g. Calcule la energía nuclear que se necesitaría para separar todos los neutrones y los protones en esta moneda. Ignore la energía de enlace de los electrones. Para simplificar los cálculos suponga que el centavo está hecho enteramente de átomos de ⁶³Cu (62.929601 u). La masa atómica del protón y el neutrón son, respectivamente, 1.007825 u y 1.008665 u.

12) Los radios del núcleo pueden medirse dispersando del núcleo electrones de gran energía. a) ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie en los electrones de 480 Me V? b) ¿Son medios idóneos para este propósito? Hay que tener en cuenta la relatividad.

13) La vida media de un isótopo radiactivo es 140 d. ¿Cuántos días tardará la actividad de una muestra del isótopo en caer a un cuarto de su rapidez inicial de decaimiento?

14) La vida media de un isótopo radiactivo es 6.5 h. Si al iniciar hay 48×10¹⁹ átomos de este isótopo en una muestra, ¿cuántos quedarán al cabo de 26 h?

15) Un isótopo radiactivo de mercurio, ¹⁹⁷Hg, se transforma en oro ¹⁹⁷Au al decaer, con una constante de decaimiento de 0.0108 h⁻¹. a) Calcule su vida media. b) ¿Qué parte de la cantidad original quedará después de tres vidas medias? c) ¿Y después de 10 días?

16) ⁶⁷Ga, con masa atómica de 66.93 u, tiene una vida media de 78.25 h. Considere una muestra inicialmente pura de 3.42 g de este isótopo. a) Determine su actividad (rapidez de decaimiento). b) Determine su actividad 48 .0 h más tarde.

17) El isótopo ⁹⁰Sr sufre decaimiento β⁻ con una vida media de 28 años. a) ¿Qué núcleo se produce en este decaimiento? b) Si una central nuclear está contaminada con ⁹⁰Sr, ¿cuánto tiempo tardará el nivel de radiación en bajar hasta el 1.0% de su valor inicial?

18) ²²³Ra decae por decaimiento alfa con una vida media de 11.43 d. ¿Cuántos átomos se helio se crean en 28 días a partir de una muestra inicialmente pura de ²²³Ra que contenga 4.70×10²¹ átomos?

112

19) El radionúclido ⁶⁴Cu tiene una vida media de 12.7 h. ¿Cuánto de una muestra inicialmente pura de ⁶⁴Cu decaerá durante un periodo de 2 horas a partir de 14.0 h más tarde?

20) El radionúclido ³²P (vida media de 14.28 d) se emplea a menudo como marcador para seguir la ruta de las reacciones químicas en que interviene el fósforo.

a) Si la rapidez de conteo en un experimento es 3050 conteos/ s, ¿al cabo de cuánto tiempo disminuirá a 170 conteos/s?

b) Una solución que contiene ³²P se introduce en el sistema de raíces de una planta experimental de tomates y la actividad ³²P de una hoja se mide 3.48 d después. ¿Por qué factor debe multiplicarse esta lectura para corregir el decaimiento que ha ocurrido desde que se inició el experimento?

21) En términos generales, los núclidos más pesados tienden a ser más inestables ante el decaimiento alfa. Por ejemplo, el isótopo más estable del uranio, ²³⁸U tiene una vida media de decaimiento alfa de 4.5×10⁹ años. El isótopo más estable de plutonio es ²⁴⁴Pu con una vida media 8.2×10⁷ años; en el caso del curio tenemos ²⁴⁸Cm y 3.4×10⁵ años. Cuando la mitad de una muestra original de ²³⁸U ha decaído, ¿qué partes quedan de los isótopos originales de a) plutonio y b) curio?

22) Hay ¹³⁷Cs en la lluvia radiactiva causada por las detonaciones de bombas nucleares arriba de la superficie terrestre. Es un problema ambiental, ya que produce decaimiento beta con una lenta vida media de 30.2 años, hasta transformarse en ¹³⁷Ba, liberando una gran cantidad de energía en el proceso. La masa atómica de Cs y Ba es 136.907084 y 136.905821 u, respectivamente. Calcule la energía total liberada en un decaimiento.

23) El núclido ¹⁹⁸Au, con vida media de 2.693 d, se emplea en el tratamiento del cáncer. Calcule la masa de este isótopo que se necesita para producir una actividad de 250 Ci.

24) Una persona de 75 kg recibe en todo el cuerpo una dosis de radiación de 24 mrad, suministrada por partículas a cuyo factor de calidad es 12. Calcule a) la energía absorbida en joules y b) la dosis equivalente en rem.

25) En una muestra radiactiva se requiere una actividad de 3.94 μCi para emplearla en un tratamiento médico. Una semana antes, se prepara una muestra de núclidos con una vida media de 1.82×10⁵ s. ¿Cuál debe ser la actividad de la muestra en el momento de la preparación, a fin de que produzca la actividad requerida a la hora del tratamiento?

26) Se descubre que una roca contiene 4.20 mg de ²³⁸U y 2.00 mg de ²⁰⁶Pb. Suponga que no contenía plomo en formación y que el plomo actualmente existente proviene del decaimiento del uranio. Determine la edad de la roca. La vida media de ²³⁸U es 4.47×10⁹ años.

27) ¿Qué núclido se produce en las siguientes desintegraciones radiactivas?

a) decaimiento α del 2394Pu

b) decaimiento β⁻ del 2411Na y

c) decaimiento β⁺ del 158O

28) El decaimiento a del ²³⁸U va acompañado de un rayo γ cuya longitud de onda es 0.0248 nm. Este decaimiento se debe a la transición del núcleo entre dos niveles de energía. ¿Cuál es la diferencia en energía (en MeV) entre estos dos niveles?

113

29) El ²³⁸U decae espontáneamente por emisión a a ²³⁴Th. Calcule a) la energía total liberada por este proceso y b) la velocidad de retroceso del núcleo de ²³⁴Th. Las masas atómicas son 238.050788 u para el ²³⁸U y

234.043601 u para el ²³⁴Th.

30) ¿Qué partícula (α, electrón o positrón) se emite en los siguientes decaimientos radiactivos?

a) 27 2714 13Si Al®

b) 238 23492 90U Th®

c) 74 7433 34As Se®

31) Si una muestra de 6.13 g de un isótopo, que tiene un número de masa de 124, decae a una tasa de 0.350 Ci, ¿cuál es su vida media?

32) Una muestra de 12.0 g de carbón procedente de materia viviente decae a una tasa de 180.0 decaimientos por minuto, debido al ¹⁴C radiactivo que contiene. ¿Cuál será la rapidez de decaimiento de esta muestra dentro de a) 1000 años y b) 50,000 años?

33) Trazadores radiactivos. Los isótopos radiactivos a menudo se introducen en el cuerpo a través de la corriente sanguínea. Su dispersión dentro del cuerpo puede monitorearse detectando la aparición de radiación en diferentes órganos. El ¹³¹I, un emisor β⁻ con vida media de 8.0 días, es uno de esos trazadores. Suponga que un científico introduce una muestra con una actividad de 375 Bq y observa su dispersión en los órganos. a) Suponiendo que toda la muestra llegó a la glándula tiroides, ¿cuál será la tasa de decaimiento en esa

glándula 24 días (aproximadamente dos semanas y media) después? b) Si se mide la tasa de decaimiento en la tiroides 24 días después y resulta que es 17.0 Bq, ¿qué porcentaje

del trazador llegó a esa glándula? c) ¿Qué isótopo permanece después de que el I-131 decae?

34) Como médico, se le consulta acerca de un derrame en un laboratorio de radioquímica. El isótopo derramado fue ¹³¹Ba con una actividad de 500 mCi, cuya vida media es 12 días. a) ¿Qué masa de ¹³¹Ba se derramó? b) Su recomendación es salir del laboratorio hasta que el nivel de radiación baje a 1.00 mCi. ¿Cuánto tiempo

deberá estar cerrado el laboratorio?

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REFERENCIAS

DOCUMENTALES

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