DOWNLOADEva Brandenbusch

Lernbausteine:Gleichungen 45 Lernbausteine zu Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

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Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt. h verf

Eva Brandenbusch: Lernbausteine: Gleichungen 4© Persen Verlag 1

Inhaltsverzeichnis

Vorwort ...................................................... 2

4. Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln

4.1 Doppelklammern .................................. 44.2 Malklammern mit Vorfaktoren .............. 54.3 Binomische Formel einseitig ................ 64.4 Binomische Formel beidseitig .............. 74.5 Binomische Formel und

Minusklammern .................................... 8

Laufzettel ................................................... 9

Die hier grau hinterlegten Lernbausteine sind Pfl ichtlernbausteine.

ne sind

Eva Brandenbusch: Lernbausteine: Gleichungen 4© Persen Verlag 2

VorwortDas Prinzip „selbstgesteuertes Lernen“ im individuellen Unterricht

Heterogenität, Individualisierung und Differen-zierung – das sind momentan einige der gro-ßen Herausforderungen der Unterrichtspla-nung und Unterrichtsumsetzung. Um diesen konstruktiv zu begegnen, baue ich meinen Mathematikunterricht so auf, dass Schüler ein vorgegebenes Thema selbstgesteuert erler-nen können. Im individuellen Unterricht müssen die Schü-ler nicht wie üblich im Marschschritt durch den Unterricht gehen: Der Lehrer bestimmt das Tempo. Wer nicht mehr mitkommt, hat Pech, wer schneller ist, langweilt sich. Nein, hier lernt jeder Schüler in seinem eigenen selbst-bestimmten Tempo. Das ist es auch, was den Schülern mit zunehmendem Alter am meisten Freude bereitet und ihnen gerecht wird, denn sie lernen selbst zu entscheiden, wie lange, wie schnell und wie genau sie Aufgaben bear-beiten. Die Aufgabe des Lehrers reduziert sich auf individuelle Hilfestellung im Unterricht und Beobachten der Schüler während ihres Lern-prozesses.

Was bedeutet der Begriff „Lernbau-steine“?

Mit dem ersten Band „Lernbausteine Glei-chungen“ bekommen Sie für Ihre Schüler methodisch aufbereitete Informationen und Aufgaben auf Lernkarten, d. h. ein Thema wird anhand von Beispielen Schritt für Schritt er-klärt. Jeder Lernbausteine-Band besteht aus ver-schiedenen Kapiteln. Von Kapitel 1 beginnend gibt es einen Anstieg des Schwierigkeits-grades. Die einzelnen Kapitel bestehen aus Lernbausteinen wie z. B. die Einführung des Lerninhalts, Rechenbeispiele und Übungsauf-gaben mit unterschiedlichen Aufgabentypen. Der Schüler erhält durch die Bearbeitung der Lernbausteine das Wissen, das er benötigt, um ein neues Thema zu verstehen und ver-schiedene Aufgabentypen lösen zu können.

Die fünf Eigenschaften der Lernbausteine-Bände

1. Selbstorganisiertes Lernen: Die Lernbau-steine sind so konzipiert, dass sie als Ganzes benutzt werden und es ermöglichen, dass Schüler selbstständig 2 bis 3 Wochen in ihrem eigenen Tempo arbeiten können. Die Lerninhal-te sind zwar vorgegeben, aber auf Frontalunter-richt wird im Großen und Ganzen verzichtet, um individuelles Lernen zu ermöglichen.

2. Wenige Kopien: Bei einer Klassenstärke von 20 Schülern oder mehr ist es fast aus-geschlossen zwanzigseitige Lehrgänge oder viele Arbeitsblätter für alle zu kopieren. So ein Kopieraufwand ist ökologisch nicht zu vertre-ten, sehr schnell ist das einem selbst zur Ver-fügung stehende Kopierkontingent erschöpft und die Zettelwirtschaft, die bei Schülern da-durch entsteht, ist für viele Schüler verwirrend. Ziel der Lernbausteine-Bände ist es deshalb, möglichst wenige Kopien für den Einsatz im Unterricht zu verwenden. Die einzelnen Lern-bausteine müssen nur am Anfang einmal kopiert werden, der Lernbaustein ist dann wiederverwendbar. Lediglich bei den ersten Lernbausteinen des ersten Kapitels sollten Sie die Seiten mehrmals kopieren, damit es nicht zum Stau kommt und die Schüler ohne eine Zwangspause wegen der nicht vorhandenen Karten weiterarbeiten können.

3. Vollständiger Heftaufschrieb: Ein weite-rer Vorteil dieser Lernbausteine ist, dass die Schüler nach Beendigung der Arbeit daran neben den Übungsaufgaben einen vollständi-gen Aufschrieb bestehend aus Überschriften, Merksätzen und Beispielen in ihrem Heft ha-ben.

4. Selbstkontrolle: Die Kontrolle der Aufga-ben erfolgt durch den Schüler selbst. Das er-spart Ihnen die Kontrolle der Aufgaben in der Klasse (das typische „Lösungen vorlesen“). Der Lern effekt beim klassischen „Lösungen vorlesen“ ist sowieso sehr gering, denn wenn Aufgaben falsch sind, gehen die Schüler mit dieser Methode nicht auf Fehlersuche, die aber notwendig wäre, um die gemachten Fehler zu verstehen. Nur wenn eine Aufgabe kont

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Eva Brandenbusch: Lernbausteine: Gleichungen 4© Persen Verlag 3

rolliert und verbessert (und eventuell noch mal gerechnet) ist, erreicht man echten Lernerfolg.

5. Nur eine Aufgabe / Erklärungseinheit pro Blatt: Auf den einzelnen Lernbausteinblättern steht jeweils nur eine Aufgabe bzw. eine kurze Erklärungseinheit. Vergleichbare Materialien und Arbeitsblätter sind häufi g vollgestopft mit viel zu klein geschriebenen Aufgaben. Oft geht es mir dann wie den Schülern. Ich schaue das Blatt an und bevor ich überhaupt anfange, habe ich keine Lust mehr. Der Schüler braucht ein übersichtliches Arbeitsblatt mit wenigen genauen Anweisungen. Das erhöht die Mo-tivation ungemein, sich auf eine neue Sache einzulassen.

Aufbau

In diesem Band sind 5 Lernbausteine enthalten, davon sind 3 Pfl ichtlernbausteine, die man an den grau unterlegten Seitenrändern erkennt. Sie beinhalten einen Merksatz mit Beispiel, der ins Heft übertragen werden muss. Alle anderen Lernbausteine sind differenziertes Übungsma-terial, die durchschnittliche Schüler bearbeiten sollten, aber nicht müssen.

Innerhalb jedes Kapitels können die Schü-ler die Lernkarten weitgehend durcheinander bearbeiten. Allerdings steigt auch hier der Schwierigkeitsgrad leicht an. Jedes Kapitel baut auf das vorangegangene auf, d.h. um mit dem Kapitel 2 zu beginnen, braucht man Informationen des ersten Kapi-tels. Hat der Schüler das Gefühl, das Thema des Kapitels verstanden zu haben, geht er zum nächsten weiter.

Alle Arbeitsblätter haben rückseitig Lösungen. Die Selbstkontrolle ist in diesem Fall äußerst wichtig, um den Lernerfolg zu garantieren. Die Schüler sollen so lernen, dass sie ein Thema nur dann verstanden haben, wenn sie Aufga-ben ohne Lösungshilfe lösen kann.

Durchführung

Kopieren Sie vor Beginn der Bearbeitung die Lernbausteine und falten Sie diese in der Mit-te, sodass auf der Vorderseite die Inhalte und

auf der Rückseite die Lösungen sind. Danach fi xieren Sie die Vorderseite mit der Rückseite durch Kleber oder Sie laminieren die Karten.Der Band hat 8 Kapitel. Legen Sie sich für je-des Kapitel einen Ablage- oder Briefkorb zu, den Sie mit dem Kapitelnamen versehen. In die einzelnen Ablagekörbe, die Sie zentral im Klassenraum aufstellen, legen Sie alle Lern-bausteine eines Kapitels.Die Schüler holen sich während der Stunde die Lernkarten vorne ab, bearbeiten diese, kontrollieren sie und legen sie dann wieder zu-rück. Am Anfang der Unterrichtseinheit kann es bei der ersten und zweiten Ablage zu „Staus“ kommen, denn es sind ja in Ablage 1 nur sie-ben Arbeitsblätter für die gesamte Klasse vor-handen. Es ist also ratsam, die Arbeitsblätter der ersten Ablage mindestens doppelt zu ko-pieren und die Schüler in der ersten Stunde zu zweit arbeiten zu lassen. Meiner Erfahrung nach arbeiten die Schüler so unterschiedlich schnell und ausführlich, dass bereits nach der ersten Ablage die Anzahl der Lernkarten rei-chen.

Nachdem ein Schüler einen Lernbaustein zu-rückgelegt hat, überlegt er, ob er einen Schritt (d. h. Kapitel) weitergehen kann oder lieber den gleichen Schritt mit anderen Aufgabenty-pen vertieft. Er schaut sich die Ablagen durch und sucht sich eine neue Aufgabe. Nach die-sem Prinzip arbeitet er sich bis zur letzten Ablage durch. Nach der Bearbeitung des ein-zelnen Lernbausteins vermerken die Schüler dies auf dem Laufzettel, damit Sie und auch die Schüler einen Überblick über den aktuel-len Stand haben.

In welcher Sozialform die Schüler arbeiten, ist ihnen selbst überlassen.

Zum Anhang

Im Anhang erhalten Sie alle Lernbausteine als einzelne editierbare Word-Dateien. Hier sind im Gegensatz zu den Kopiervorla-gen im Buch die Lösungen auf der unteren Hälfte der Seite abgebildet und nicht um 180° gedreht. Vor dem Einsatz dieser Materialien im Unterricht müssen Sie die Seite in der Mit-te auseinanderschneiden und Rückseite auf Rückseite kleben.

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4.1 Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln –

Doppelklammern (y – 3) (y – 8) = y² – 7y – 8 | ausmultiplizieren y

2 – 8y – 3y + 24 = y² – 7y – 8 | zf

y2 – 11y + 24 = y² – 7y – 8 | – y

2

– 11y + 24 = – 7y – 8 | – 24 – 11y = – 7y – 32 | + 7y – 4y = – 32 | : (–4) y = 8

L4.1 Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln –

Doppelklammern Schreibe den Merksatz in dein Heft: „Wenn in einer Gleichung zwei Klammern multipliziert werden, so muss die Variable Quadrat immer wegfallen.“ Im Beispiel fällt x2 in der 3. Zeile weg: x2 – 12x + 13 = (x – 4) · (x + 11) | ausmultiplizieren x2 – 12x + 13 = x2 + 11x – 4x – 44 | zf x2 – 12x + 13 = x2 + 7x – 44 | – x2 – 12x + 13 = 7x – 44 | – 13 – 12x = 7x – 57 | – 7x – 19x = – 57 | : (–19) x = 3 Löse die Gleichung in deinem Heft genauso auf. Das y2 muss wegfallen. (y – 3) (y – 8) = y2 – 7y – 8

x + 1312x + 13

+ 13 = + 13

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= x2 + 11x

zwllen.“

3. Zex + 1

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– 8y – 8

– 88

4 = y² – 7y 4 = – 7y –

= – 7y –32

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4.2 Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln –

Malklammern mit Vorfaktoren 4 · [ (a + 6) · (a – 5) ] = 4a

2 – 11a

4 · (a · a – 5a + 6a – 30) = 4a2 – 11a

4 · a2 – 4 · 5a + 4 · 6a – 4 · 30 = 4a

2 – 11a

4a2 – 20a + 24a – 120 = 4a

2 – 11a | zf

4a2 + 4a – 120 = 4a

2 – 11a | – 4a

2

4a – 120 = – 11a | – 4a – 120 = – 15a | : (–15) 8 = a

L4.2 Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln –

Malklammern mit Vorfaktoren Schreibe den Merksatz in dein Heft: „Wenn in einer Gleichung mehrere Klammern und ein Vorfaktor steht, so setze ich eckige Klammern um beide Klammern und multipliziere sie zuerst aus.“ Beispiel: 4 · (a + 6) · (a – 5) = 4a2 – 11a | eckige Klammern setzen 4 · [ (a + 6) · (a – 5) ] = 4a2 – 11a 4 · (a2 – 5a + 6a – 30) = 4a2 – 11a 4 · a2 – 4 · 5a + 4 · 6a – 4 · 30 = 4a2 – 11a 4a2 – 20a + 24a – 120 = 4a2 – 11a Schreibe die Aufgabe in dein Heft ab und löse die Gleichung nach a auf. a2 muss wegfallen, sonst hast du einen Fehler gemacht. 4 · (a + 6) · (a – 5) = 4a2 – 11a …………. ………

6) · ((a + 6) ·

5a + 6a4 ·5a

a – 5) a – 5) ]

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4.2 GleicMalk

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11a 1a

= 4a2 –

= 4a2 –

0 = 4a2 – 1

42

6a – 4·3024a – 120

– 120– 1

1

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4.3 Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln –

Binomische Formeln einseitig a) (x – 1)

2 = x

2 | binomische Formel auflösen

x2 – 2 · x · 1 + 1

2 = x

2 | zf

x2 – 2x + 1 = x

2 | – x

2

– 2x + 1 = 0 | – 1 – 2x = – 1 | : (–2) x = 1

2

b) (s + 4)

2 – s

2 + 9 = 3s – 30 | bin. Formel

s2 + 2 · s · 4 + 4

2 – s

2 + 9 = 3s – 30 | zf

s2 + 8s + 16 – s

2 + 9 = 3s – 30 | zf

8s + 16 + 9 = 3s – 30 | zf 8s + 25 = 3s – 30 | – 25 8s = 3s – 55 | – 3s 5s = – 55 | : 5 s = – 11

L4.3 Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln –

Binomische Formeln einseitig In Gleichungen können auch binomische Formeln vorkommen. Dabei muss die Variable „im Quadrat“ wegfallen, wenn du die Gleichung auflöst. (d + 6)2 = d2 + 12 | bin. Formel auflösen d2 + 2 · d · 6 + 36 = d2 + 12 | links zf d2 + 12d + 36 = d2 + 12 | – d2 (d2 fällt weg) 12d + 36 = 12 | – 36 12d = – 24 | : 12 d = – 2 Löse die Gleichungen in deinem Heft. Dabei muss x2 und s2 wegfallen. a) (x – 1)2 = x2 b) (s + 4)2 – s2 + 9 = 3s – 30

d ·6 12d + 3

+ 36 d

= d2 ++ 36 = d2 + 1

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4.3 GleicBino

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chungen mische

mischen nd binom

auflös Form nomischezf

x2 | –

| –|

= 0= –1=2

Eva Brandenbusch: Lernbausteine: Gleichungen 4© Persen Verlag 7

4.4 Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln –

Binomische Formeln beidseitig a) (y + 1)

2 = (y + 3)

2 | binomische Formel

y2 + 2 · y · 1 + 1

2 = y

2 + 2 · y · 3 + 3

2 | zf

y2 + 2y + 1 = y

2 + 6y + 9 | – y

2

2y + 1 = 6y + 9 | – 2y 1 = 4y + 9 | – 9 – 8 = 4y | : 4 – 2 = y b) (x + 9)

2 = (x – 5)

2 + 28

x2 + 2 · x · 9 + 9

2 = x

2 – 2 · x · 5 + 5

2 + 28

x2 + 18x + 81 = x

2 – 10x + 25 + 28

x2 + 18x + 81 = x

2 – 10x + 53

18x + 81 = – 10x + 53 28x + 81 = 53 28x = – 28 x = – 1

L4.4 Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln –

Binomische Formeln beidseitig Schreibe den Merksatz in dein Heft: „In Gleichungen können auch binomische Formeln auf beiden Seiten der Gleichung vorkommen. Wenn ich die Gleichung auflöse, muss die Variable „im Quadrat“ wegfallen.“ Beispiel: In der 3. Zeile fällt das x2 weg. (x + 4)2 = (x + 6)2 | binomische Formeln auflösen x2 + 2 · x · 4 + 42 = x2 + 2 · x · 6 + 62 | zf beidseitig x2 + 8x + 16 = x2 + 12x + 36 | – x2 8x + 16 = 12x + 36 | – 8x 16 = 4x + 36 | – 36 – 20 = 4x | : 4 – 5 = x Löse die beiden Gleichungen in deinem Heft. y2 und x2 heben sich auf. a) (y + 1)2 = (y + 3)2 b) (x + 9)2 = (x – 5)2 + 28

2 · x · 4 +

+ 16 +

er 3. Zeile = (x + 6)

42 = x2 + 2

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rn und b

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Formeichungenomische F

= (y

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) (y + 1) + 2 · y+2y+

4.4 GleicBino

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2|z| 6y + 9

9 = 6y += 4y + 9= 4y = y

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4.5 Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln –

Binomische Formel und Minusklammern 3a + 30 = – (a + 4)

2 + (a – 3)(a + 3) | 2. bin. Formeln auflösen, eckige Klammern setzen

3a + 30 = – [a2 + 2 · a · 4 + 4

2] + [a

2 – 3

2] | Minusklammer auflösen

3a + 30 = – a2 – 8a – 16 + a

2 – 9 | zf

3a + 30 = – 8a – 16 – 9 | zf 3a + 30 = – 8a – 25 | + 8a 11a + 30 = – 25 | – 30 11a = – 55 | : 11 a = – 5

L4.5 Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln –

Binomische Formel und Minusklammern Treten binomische Formeln auf, vor denen ein Minus steht, so setzt man zunächst eckige Klammern um die binomische Formel und löst danach die Minusklammer auf. Beispiel: (x + 9)2 – (x – 5)2 = 84 | bin. Formeln auflösen und eckige Klammer setzen [x2 + 2 · x · 9 + 92] – [x2 – 2 · x · 5 + 52] = 84 | Minusklammer auflösen x2 + 18x + 81 – x2 + 10x – 25 = 84 | zf 18x + 81 + 10x – 25 = 84 | zf 28x + 81 – 25 = 84 | zf 28x + 56 = 84 | – 56 28x = 28 | : 28 x = 1 Löse selbst im deinem Heft. Setze Klammern um die binomische Formel, vor der ein Minus steht. Achtung, es gibt eine 3. binomische Formel. 3a + 30 = – (a + 4)2 + (a – 3)(a + 3)

x · 9 18x + 8

1 + 10x –1

– 5)+ 92] – [x2 – 2

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4.5 GleicBino

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+ – 8a – 16 – 8a – 16

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4. Gleichungen mit Doppelklammern und binomischen Formeln

4.1 Doppelklammern 4.2 Malklammern mit Vorfaktoren 4.3 Binomische Formel einseitig 4.4 Binomische Formel beidseitig 4.5 Binomische Formel und

Minusklammern

Laufzettel

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Illustrationen: Stefan Lucas

Satz: Typographie & Computer, Krefeld

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