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Dpto. Matem atica Aplicada Universidad de M alaga · PDF file Derivadas Funciones de una variable Dpto. Matem atica Aplicada Universidad de M alaga ... Otras indeterminaciones se convierten

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Funciones de una variable

    Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

  • andaluciatech

    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Motivación

    Conceptos matemáticos

    Funciones

    Continuidad

    Derivada

    Integral

    Mundo real

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

  • andaluciatech

    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Definición de función

    R ⊃ A: Dominio R ⊃ B: Imagen f : A→ B

    A B

    x y

    f

    y = f (x)

    Definición

    Una función f asigna exactamente un elemento y de Y a cada elemento x de X .

    Ejemplo

    f (x) = x2 + 3 x − 4

    f (2) = 2 · 2 + 3 · 2− 4 = 6

    x y

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Definición de función

    R ⊃ A: Dominio R ⊃ B: Imagen f : A→ B

    A B

    x y

    f

    y = f (x)

    Definición

    Una función f asigna exactamente un elemento y de Y a cada elemento x de X .

    Ejemplo

    f (x) = x2 + 3 x − 4

    f (2) = 2 · 2 + 3 · 2− 4 = 6

    x y

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Definición de función

    R ⊃ A: Dominio R ⊃ B: Imagen f : A→ B

    A B

    x y

    f

    y = f (x)

    Definición

    Una función f asigna exactamente un elemento y de Y a cada elemento x de X .

    Ejemplo

    f (x) = x2 + 3 x − 4

    f (2) = 2 · 2 + 3 · 2− 4 = 6

    x y

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Gráfica de una función

    Definición

    La gráfica de una función es el conjunto de puntos (x , y) con y = f (x).

    Por ejemplo:

    y = f (x) = x2

    f

    ( 1

    2

    ) =

    1

    4

    Paramétrica: (x ,y)=(cos(t),sen(t)), t∈(0,2π)

    Impĺıcita: x2+y2=1

    Expĺıcita: y = ± √

    1− x2 ?= f (x)

    . M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Funciones “conocidas”

    Función Definición y dominio Valores computables

    Polinomios f (x)=a0+a1 x+a2 x2+···+an xn Todos

    = ∑n

    i=0 ai x i

    Racionales f (x) = p(x)q(x) , q(x) 6= 0 Todos

    Exponencial f (x) = ex f (0) = 1

    Logaritmo f (x) = ln x , x 6= 0 f (1) = 0

    Seno f (x) = sen x f (0) = 0, f (π/2) = 1, · · ·

    Coseno f (x) = cos x f (0) = 1, f (π/2) = 0, · · ·

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Ĺımite de una función

    Motivación

    Dos funciones muy distintas cerca de x = 2 pero ninguna está definida en x = 2.

    f (x) = x2 − 4 x − 2

    f (x) = x2 − 4.1 x − 2

    Definición

    Para que lim x→a

    f (x) = L tenemos que:

    dado cualquier �, conseguir |f (x)− L| < � buscando un δ(�) y haciendo |x − a| < δ

    La definición también sirve si

    { a =∞ =⇒ x > k L =∞ =⇒ f (x) > K

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Ĺımite de una función

    Motivación

    Dos funciones muy distintas cerca de x = 2 pero ninguna está definida en x = 2.

    f (x) = x2 − 4 x − 2

    f (x) = x2 − 4.1 x − 2

    Definición

    Para que lim x→a

    f (x) = L tenemos que:

    dado cualquier �, conseguir |f (x)− L| < � buscando un δ(�) y haciendo |x − a| < δ

    La definición también sirve si

    { a =∞ =⇒ x > k L =∞ =⇒ f (x) > K

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Cálculo de ĺımites

    Para “funciones conocidas” lim x→a

    f (x) = f (a) si a en el dominio

    lim x→2

    x3 + sen x − ecos x

    ln(x + 5) + √ x3 − 7

    Ĺımites laterales lim x→0 |x | = 0

    Cancelación

    lim x→2

    x2 − 4 x − 2

    lim x→1

    1− √ x

    1− x

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Ĺımites: teorema de compresión

    Teorema

    Si se encuentran dos funciones g(x), h(x) tales que:

    g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)

    lim x→a

    g(x) = = lim x→a

    h(x) = L

    entonces lim x→a

    f (x) = L.

    Ejemplo: lim x→0

    x sen 1

    x

    Regla mnemotécnica: cero x acotado = cero

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Ĺımites: teorema de compresión

    Teorema

    Si se encuentran dos funciones g(x), h(x) tales que:

    g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)

    lim x→a

    g(x) = = lim x→a

    h(x) = L

    entonces lim x→a

    f (x) = L.

    Ejemplo: lim x→0

    x sen 1

    x

    Regla mnemotécnica: cero x acotado = cero

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Ĺımites: aproximación diferencial1

    Teorema

    lim x→a

    f (x)

    g(x) =

    ( 0

    0

    ) = lim

    x→a

    f ′(x)

    g ′(x)

    También es válido para la indeterminación ∞ ∞

    Otras indeterminaciones se convierten tomando el logaritmo, la exponencial, sacando factor común...

    0 · ∞ ∞0 00 1∞ ∞−∞

    Ejemplos:

    lim x→0

    ( 1

    ln x + 1 − 1

    x

    ) lim x→0

    x ln x lim x→1

    x 1

    x−1 lim x→0

    (sen x)x

    1 La regla de L’Hôpital es un caso particular del concepto de aproximación por la derivada que veremos más adelante

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Continuidad

    Definición

    Una función f es continua en un punto a si lim x→a

    f (x) = f (a)

    Tienen que existir los dos lados de la igualdad:

    lim x→a

    f (x) = L

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Continuidad

    Definición

    Una función f es continua en un punto a si lim x→a

    f (x) = f (a)

    Tienen que existir los dos lados de la igualdad:

    f (a) = L

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Continuidad

    Definición

    Una función f es continua en un punto a si lim x→a

    f (x) = f (a)

    Tienen que existir los dos lados de la igualdad:

    lim x→a

    f (x) = f (a)

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Discontinuidades

    De salto: lim x→a+

    f (x) 6= lim x→a−

    f (x)

    Ejemplo: f (x) = |x |+ 1

    Infinita: lim x→a

    f (x) = ±∞

    Ejemplo: f (x) = 1x

    Esencial: lim x→a

    f (x) no existe

    Ejemplo: f (x) = x + sen 1x−1

    Evitable: f (a) 6= lim x→a

    f (x)

    Ejemplo: f (x) = x 2−4 x−2

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Discontinuidades

    De salto: lim x→a+

    f (x) 6= lim x→a−

    f (x)

    Ejemplo: f (x) = |x |+ 1

    Infinita: lim x→a

    f (x) = ±∞

    Ejemplo: f (x) = 1x

    Esencial: lim x→a

    f (x) no existe

    Ejemplo: f (x) = x + sen 1x−1

    Evitable: f (a) 6= lim x→a

    f (x)

    Ejemplo: f (x) = x 2−4 x−2

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Derivada

    Definición

    Una función f es derivable en el punto a si existe el ĺımite

    f ′(a) = lim x→a

    f (x)− f (a) x − a

    = lim h→0

    f (a + h)− f (a) h

    La función f (b)− f (a)

    b − a es la

    pendiente de la secante en por a, b.

    En el ĺımite, la secante se convierte en la tangente.

    Si f es derivable, entonces también es continua. .

    M. Atencia & I. P. Cabrera Funciones de una variable

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    Ĺımites y continuidad Derivadas

    Derivada

    Definición

    Una función f es derivable en el punto a si existe el ĺımite

    f ′(a) = lim x→a

    f (x)− f (a) x − a

    = lim h→0

    f (a + h)− f (a) h

    La función f (b)− f (a)

    b − a es la

    pe

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