Dpto. Matem atica Aplicada Universidad de M alaga · L mites y continuidad Diferenciabilidad Extremos de funciones en varias variables C alculo en varias variables Dpto. Matem atica

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Lımites y continuidadDiferenciabilidad

Extremos de funciones en varias variables

Calculo en varias variables

Dpto. Matematica AplicadaUniversidad de Malaga

M. Atencia & I. P. Cabrera Calculo en varias variables

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Funciones de varias variablesLımites y continuidad en varias variables

Resumen

1 Lımites y continuidadFunciones de varias variablesLımites y continuidad en varias variables

2 DiferenciabilidadDerivadas parcialesDiferencial

3 Extremos de funciones en varias variablesOptimizacion sin restriccionesMultiplicadores de Lagrange


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Motivacion

Conceptos matematicos

Funciones

x(w , t) =t

w− sen w t

w 2

Continuidad, lımite, ...

Derivada, aproximacion lineal, ...

Integral, volumen, ...

Mundo real


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Motivacion


Funciones

x(w , t) =t

w− sen w t

w 2




Mundo real


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Motivacion


Funciones

x(w , t) =t

w− sen w t

w 2




Mundo real


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Definicion de funcion

Rn ⊃ A: Dominio

R ⊃ B: Imagen

f : A→ Bz = f (x , y)

Definicion

Una funcion f asigna exactamente un elemento z de B a cadaelemento (x , y) de A.

Ejemplos

f (x , y) = x y 2 f (x , y , z) = x y 2 cosz

f (x , y) = x2 − ey f (x , y , z) = 3 z x2 − ey


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Dominio de una funcion

Definicion

El dominio es el (maximo) conjunto A ⊂ Rn tal que la funcionf : A→ B esta definida.

Ejemplo:

f (x , y) =√

4− (x2 + 4 y 2)

x2 > 4 =⇒ 4− (x2 + 4 y 2) < 0

y 2 > 1 =⇒ 4− (x2 + 4 y 2) < 0

¿ A = [−2, 2]× [−1, 1] ?


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Dominio de una funcion

Definicion

El dominio es el (maximo) conjunto A ⊂ Rn tal que la funcionf : A→ B esta definida.

Ejemplo:

f (x , y) =√

4− (x2 + 4 y 2)

x2 > 4 =⇒ 4− (x2 + 4 y 2) < 0

y 2 > 1 =⇒ 4− (x2 + 4 y 2) < 0

¿ A = [−2, 2]× [−1, 1] ?


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Grafica de una funcionDefinicion

La grafica de una funcion f : A ⊂ Rn → B es el conjunto depuntos (x1, x2, . . . xn, y) ∈ Rn+1 con y = f (x1, x2, . . . xn).

Ejemplo con n = 2:

f (x , y) = 4−(x2+4 y 2)


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Curvas de nivel

Definicion

Una curva de nivel de la funcion z = f (x , y) es la curva en el planoR2 definida (implıcitamente) por la ecuacion f (x , y) = k paraalguna constante k.


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Operaciones con funciones

Al componer funciones, el dominio de definicion puede reducirse:

f (x , y) = g(x , y) + h(x , y), Df = Dg ∩ Dh

f (x , y) = g(x , y)− h(x , y), Df = Dg ∩ Dh

f (x , y) = g(x , y) · h(x , y), Df = Dg ∩ Dh

f (x , y) =g(x , y)

h(x , y), Df = (Dg ∩ Dh)− {x | h(x , y) = 0}


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Lımite de una funcion

Definicion

Para que lim(x ,y)→(a,b)

f (x , y) = L tenemos que:

dado cualquier ε, conseguir |f (x , y)− L| < ε

buscando un δ(ε) y haciendo ‖(x , y)− (a, b)‖ < δ

Dominio (x , y) en R2 Grafica (x , y , z) en R3


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Recuerdo de lımites en una variable

Simplificaciones algebraicas, racionalizacion, etc.

limx→1

x2 − 1

x − 1

Lımites laterales: el lımite, si existe, es unico.

limx→0

|x |x

Teorema de compresion: 0× acotado = 0.

limx→0

x sen1

x

Aproximacion diferencial: L´Hopital, Taylor.

limx→0

1− cos x

ex − 1− sen x


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Calculo de lımites en varias variables

Simplificaciones algebraicas, racionalizacion, etc.

lim(x ,y)→(1,1)

x2 y 2 − 1

x y − 1lim

(x ,y)→(0,0)

x2 + y 2√x2 + y 2 + 1− 1

Teorema de compresion: 0× acotado = 0.

lim(x ,y)→(0,0)

x y 2

x2 + y 2

Aproximacion diferencial: L´Hopital, Taylor.

lim(x ,y)→(2,4)

1− cos(x2 − y)(x −√y

)2


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Lımites por trayectorias

Se fija una trayectoria y = g(x) por la que (x , y)→ (a, b).

Tiene que cumplir g(b) = a.

Se puede calcular el lımite en una sola variable:

lim(x ,y)→(a,b)

y=g(x)

f (x , y) = limx→a

f (x , g(x))

Si por dos trayectorias se obtienen distintos valores del lımite,entonces el lımite no existe.

Algunas trayectorias sencillas: x = a, y = b, y = a + m (x − b), ...

Ejemplos

f (x , y) =x y

x2 + y 2f (x , y) =

x y 2

x2 + y 4


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Continuidad

Definicion

Una funcion f (x , y) es continua en un punto (a, b) ∈ R2 silim

(x ,y)→(a,b)f (x , y) = f (a, b).

Ejemplo: Estudiar la continuidad de la siguiente funcion y, si esposible, extender su definicion por continuidad.

f (x , y) =x y 2

x2 + y 2


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Derivadas parcialesDiferencial

Resumen





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Recuerdo de derivadas en una variable

La derivada es:

Una medida del crecimiento.

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a= lim

h→0

f (a + h)− f (a)

h

Una aproximacion...

... geometrica: recta tangente.

y − f (a) = f ′(a) (x − a)

... analıtica: aproximacion lineal.

f (x) ≈ f (a) + f ′(a) (x − a)


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Derivadas parciales

La derivada parcial representa el crecimiento de la funcion conrespecto a una sola de las variables, considerando las demas comoconstantes.

Derivada parcial respecto de x de f (x , y) en (a, b)

∂f

∂x(a, b) = lim

x→a

f (x , b)− f (a, b)

x − a= lim

h→0

f (a + h, b)− f (a, b)

h

Derivada parcial respecto de y de f (x , y) en (a, b)

∂f

∂y(a, b) = lim

y→b

f (a, y)− f (a, b)

y − b= lim

h→0

f (a, b + h)− f (a, b)

h


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Derivadas parciales

La derivada parcial representa el crecimiento de la funcion conrespecto a una sola de las variables, considerando las demas comoconstantes.

Derivada parcial respecto de x de f (x , y) en (a, b)

∂f

∂x(a, b) = lim

x→a

f (x , b)− f (a, b)

x − a= lim

h→0

f (a + h, b)− f (a, b)

h

Comparar:

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a= lim

h→0

f (a + h)− f (a)

h


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Derivadas parciales

g(x) = f (x , b)→ ∂f

∂x(a, b) = g ′(a) h(y) = f (a, y)→ ∂f

∂y(a, b) = h′(b)

Ejemplo: f (x , y) = 4− x2 − 4 y 2

∂f

∂x= −2 x

∂f

∂y= −8 y


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Derivada direccional

La derivada es una medida delcrecimiento de la funcion.

Derivadas parciales:direcciones de (1, 0), (0, 1).

Derivadas direccionales:direccion de ~u = (u1, u2).

Definicion

La derivada direccional en la direccion del vector unitario~u = (u1, u2) de la funcion f (x , y) en el punto (a, b) es:

Duf (a, b) = limh→0

f (a + h u1, b + h u2)− f (a, b)

h


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Derivadas parciales de orden superiorLas derivadas parciales de f (x , y) son, a su vez, funciones de (x , y)y tienen derivadas parciales.

∂

(∂f

∂x

)∂x

=∂2f

∂x2

∂

(∂f

∂x

)∂y

=∂2f

∂y∂x

∂

(∂f

∂y

)∂x

=∂2f

∂x∂y

∂

(∂f

∂y

)∂y

=∂2f

∂y 2

Teorema (de Schwarz)

Si todas las derivadas parciales segundas son continuas, entonces:

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂xM. Atencia & I. P. Cabrera Calculo en varias variables

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Plano tangente

Al hacer constante una delas variables, la derivadaparcial proporciona unvector tangente.

La combinacion lineal deestos vectores tambien seratangente.

Definicion

Si f (x , y) tiene derivadas parciales continuas, entonces el planotangente en (a, b) es:

z − f (a, b) =∂f

∂x(a, b) (x − a) +

∂f

∂y(a, b) (y − b)


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Plano tangente

Al hacer constante una delas variables, la derivadaparcial proporciona unvector tangente.

La combinacion lineal deestos vectores tambien seratangente.

Definicion

Si f (x , y) tiene derivadas parciales continuas, entonces el planotangente en (a, b) es:

z − f (a, b) =∂f

∂x(a, b) (x − a) +

∂f

∂y(a, b) (y − b)


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Aproximacion linealEl plano tangente:

z − f (a, b) =∂f

∂x(a, b) (x − a) +

∂f

∂y(a, b) (y − b)

puede usarse para calcular valores aproximados de la funcion.

Definicion

La aproximacion lineal L(x , y) de la funcion f (x , y) en el punto(a, b) es la aplicacion (afın):

L(x , y) = f (a, b) +∂f

∂x(a, b) (x − a) +

∂f

∂y(a, b) (y − b)

Ejemplo: f (x , y) = 2 x + ex2−y

Calcular la aproximacion lineal en (0, 0).

Aproximar el valor f (0.1, 0.1).


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Vector gradienteDefinicion

El vector gradiente es el vector de las derivadas parciales:

∇f (a, b) =

(∂f

∂x(a, b),

∂f

∂y(a, b)

)

~a = (a, b) ~x = (x , y)

Plano tangente

z − f (a, b) =∂f

∂x(a, b) (x − a) +

∂f

∂y(a, b) (y − b)

z − f (~a) = ∇f (~a) · (~x −~a)

Comparar:y − f (a) = f ′(a) (x − a)


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Vector gradienteDefinicion

El vector gradiente es el vector de las derivadas parciales:

∇f (a, b) =

(∂f

∂x(a, b),

∂f

∂y(a, b)

)

~a = (a, b) ~x = (x , y)

Aproximacion lineal

f (x , y) ≈ f (a, b) +∂f

∂x(a, b) (x − a) +

∂f

∂y(a, b) (y − b)

f (x , y) ≈ f (~a) +∇f (~a) · (~x −~a)

Comparar:f (x) ≈ f (a) + f ′(a) (x − a)


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Diferencial

La existencia de derivadasparciales no garantiza:

Continuidad.

Plano tangente unico.

Derivadas direccionales.

Ejemplo: f (x , y) = x yx2+y2

Definicion

La funcion f (x , y) es diferenciable si:

lim(x ,y)→(a,b)

f (x , y)− (f (a, b) +∇f (a, b) · (x − a, y − b))

‖(x − a, y − b)‖= 0


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Diferenciabilidad

Teorema

Si todas las derivadas parciales de f (x , y) en (a, b) existen y soncontinuas, entonces f es diferenciable en (a, b).

Si f es diferenciable, entonces f es continua.

Si f es diferenciable, entonces el plano tangente aproximalinealmente a la superficie z = f (x , y).

Si f es diferenciable, entonces existe la derivada direccional encualquier direccion ~u = (u1, u2):

Duf (a, b) =∂f

∂x(a, b) u1 +

∂f

∂y(a, b) u2 = ∇f · ~u


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Gradiente y geometrıa vectorialSi f es diferenciable, entonces la derivada direccional mide elcrecimiento de f en la direccion de ~u = (u1, u2):

Duf (a, b) = ∇f · ~u = ‖∇f ‖ ‖~u‖ cos θ = ‖∇f ‖ cos θ

Si cos θ = 1:

La tasa de crecimiento adopta el maximo valor posible.La derivada direccional es Duf (a, b) = ‖∇f ‖.El vector ~u va en la direccion del vector gradiente.

Si cos θ = 0:

La tasa de crecimiento es nula.El vector ~u es tangente a una curva de nivel.El vector ~u es norma al vector gradiente.

Ejemplo: calcular el plano tangente a la superficie definida(implıcitamente) por x3 z − z2 + y 2 = 7 en el punto (1, 3, 2).


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Regla de la cadenaRecuerdo de la regla de la cadena en una variable:

d z

d x=

d z

d y

d y

d xz ← y ← x

Teorema

Sean z = f (x , y), x(t), y(t) funcionesdiferenciables. Entonces:

d z

d t=∂z

∂x

d x

d t+∂z

∂y

d y

d t

Ejemplo:

z = exy , x = 3 s sen t , y = 4 s t2

Calcular ∂z∂s y ∂z

∂t .


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Derivacion implıcita

Sea una funcion y = f (x) dada implıcitamentepor una ecuacion F (x , y) = 0.Si llamamos x = t, y = f (t):

0 =d F

d t=∂F

∂x

d x

d t+∂F

∂y

d y

d t=∂F

∂x+∂F

∂y

d y

d x

d y

d x= −

∂F∂x∂F∂y

Ejemplos:

Sea F (x , y) = x3 + x y − y 3 = 0 que define y = f (x).Calcular dy

dx .

Sea F (x , y , z) = x y 2 + z3 + sen(xyz) = 0 que definez = f (x , y). Calcular ∂z

∂x y ∂z∂y .


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Optimizacion sin restriccionesMultiplicadores de Lagrange

Resumen





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Recuerdo de extremos en una variable

Teorema

Si a es un extremo local de f (x), entonces a es un punto crıtico.

Un punto crıtico a cumple una de estas condiciones:

f ′(a) = 0

f ′(a) no existe

Teorema

Sea a un punto crıtico de f (x). Entonces:

El punto a es un mınimo si f ′′(a) > 0.

El punto a es un maximo si f ′′(a) < 0.


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Maximos y mınimos locales

Un punto crıtico (a, b) cumple una de estas condiciones:

∂f

∂x(a, b) = 0 y

∂f

∂y(a, b)

∂f

∂x(a, b) no existe o

∂f

∂y(a, b) no existe

Teorema

Si (a, b) es un extremo local de f (x , y), entonces (a, b) es unpunto crıtico.

Ejemplo:f (x , y) = 3 x2 − 6 x y − y 3


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Clasificacion de extremosDefinicion

La matriz hessiana es la matriz de segundas derivadas parciales:

Hf (a, b) =

∂2f∂x2 (a, b) ∂2f

∂x∂y (a, b)

∂2f∂y∂x (a, b) ∂2f

∂y2 (a, b)

Teorema

Sea (a, b) un punto crıtico de f (x , y) con ∇f (a, b) = ~0:

El punto (a, b) es un extremo si |H| > 0 y ademas

es un maximo si H11 > 0.es un mınimo si H11 < 0.

El punto (a, b) es un punto de silla si |H| < 0.

Nota: Las condiciones equivalen a que H sea definida positiva, definida negativa o no definida, respectivamente.M. Atencia & I. P. Cabrera Calculo en varias variables

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Optimizacion con restricciones

Ejemplo: Buscar los extremos def (x , y) = x2 + y 2 sujetos a lacondicion g(x , y) = x y − 4 = 0.

Teorema

Si f (x , y) tiene un extremo en (a, b) sujeto a la restricciong(x , y) = 0, entonces existe un numero λ tal que se cumple:

∂f

∂x(a, b) = λ

∂g

∂x(a, b)

∂f

∂y(a, b) = λ

∂g

∂y(a, b)

g(x , y) = 0


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Extremos absolutos

Teorema (de Weierstrass)

Una funcion continua en una region cerrada y acotada alcanza susvalores maximo y mınimo en puntos de la region. Estos extremosdeben ser puntos crıticos (incluyendo los puntos de la frontera).

Para encontrar los extremos absolutos de f (x , y) en una region:

1 Hallar los extremos en el interior (sin restricciones).

2 Hallar los extremos en la frontera (con restricciones).

3 Comparar los valores de la funcion en cada punto crıtico.

Ejemplo: calcular los maximos y mınimos absolutos de la funcionf (x , y) = 5 + 4 x − 2 x2 + 3 y − y 2 en el triangulo limitado por lasrectas y = 2, y = x , y = −x .


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