Dr. Borbola Janos Olvassuk Egyutt Magyarul II

8/10/2019 Dr. Borbola Janos Olvassuk Egyutt Magyarul II

1/53

1

1

9. A feladat elemzse

Tekintve, hogy az MMP 70 v eltti els publikcija ta errl a feladatrl szmosegymsnak ellentmond elmlet ltott napvilgot, rdemes a feladat elemzsekor af bb irnyzatokat egyms mell helyezni.

A) Kezdjk a sort a napjainkban is elfogadott flgmb felszne elmletnl. Talnez a legrgebbi, de egyttal a legjabb hivatalos fordts is. Megold kplett S.W. Williams sszefoglalva: A = 2d (8 / 9) (8 / 9) d-ben hatrozta meg, ahol a d aharmadik sorban megadott szmmal, a 4- lel azonos. Teht a buffaliprofesszor egy jellemzvel rendelkez idomot szmt. Matematikailag helyes alevezetse, csakgy, mint W. W Struve s Gillings esetben is az volt, mgistbb sszefrhetetlensg cfolja ezt a megkzeltst:1. A kosr szablyos hieratikus jelt, a kvet t -t, valamint az ID jelt hiba

msknt olvasni, valamilyen idom rajznak tekinteni.2. A kosr jele szignifiknsan klnbzik a flgmb hieratikus rajztl. Mirt

nem rajzolta rnokunk a flgmbt flkrnek? (Ez utalna, mint metszet, aflgmbre.) A KOSR NEM FLGMB.

3. Hinyzik az egyik leglnyegesebb magyarzat, annak megvilgtsa, hogymirt kellene a d, azaz az tmr ktszeresvel kezdeni a szmolst.A 6. sorban a levegbl pottyant a 9-es szm az lkbe. Hinyzik a 2 x 4 == 9, esetleg a 9 msfajta magyarzata.

4. Az 5-6. sor fordtsa is ersen ktsges, klns tekintettel a hinyzrszekre. A hivatalos fordtsok egyik gyengje az, hogy pontosan ezekkel ahinyz jelekkel akarjk meghatrozni az idom formjt. Ms szval nincsellenrzs, a szksgnek megfelelen brmi lerhat, brmi belefr akiegsztsbe. Struve esetben az s ngyszgletes jele, valamint atojskerlt ide.

B) T. Eric Peet elveti Struve fordtst, helyette kt jabb varinssal ll el. A mrkorbban emltett dolgozatban hivatkozik arra, hogy a mret r , esetnkben l(23) jel nem ll tapasztalata szerint egyedl, de biztosan nem elsknt, mint

valamilyen mret meghatrozja. Mindig megelzi valamilyen msik adat.Kopaszfej tanrunk a 14. feladatot valban a csonka gla lersval kezdi:mrj magadnak csonka glt, aminek a magassga Ennek analgijakntrthetetlen anbt m tp-r r 4 1/2 m aD olvasat. Peet szerint itt msik adatnak,msik paramternek is kell lennie. A 4,5 mint hosszmret, csak a msodikadatot jelenten, az elst viszont atp-r csoport kpezn.


2/53

V. Az egyiptomi e. Az MMP 10. feladata

thus restoring the readingnbt < nt x > m tp-r r 4 1 / 2 m aD,a basket (?) of x in mouth and 4 1 / 2 in aD , whereaD , whatever it may means, is the name of thesecond dimension given, just astp-r is of the first.1 1. Szerinte az els varins a flkr felszne lenne, htrnya, hogy tanrunk

ebben az esetbenel szr a diamterrel, msodszor viszont a rdiusszalszmolt volna. Nagyon valszntlen.Ha 4,5 = r, akkor dx (8 / 9)2 x r = a flkr terletvel.

2. A msodik, matematikailag szintn korrekt levezetse a flhengerpalstjnak a felsznhez vezetett.Ha 4,5 = d, valamint ugyanez a 4,5 = m is, akkor 2dx (8 / 9) 2 x m = flhengerpalstja.

3. Mint ezek utn vrhat, Peet elveti a kosr olvasatot.4. A nbt ebben az esetben sem tekinthet msnak, mint kosrnak, mg akkor

sem, ha ilyen nagynev egyiptolgus lltja az ellenkez jt.5. T. Peet, B. Gunn, F. Hoffmann s O. Neugebauer elvetette atojs terit ,

helyette az elfogadhatbb k jelet helyeztk a srls helyre. Ez a varinskzelebb jr az igazsghoz, hibja az, hogy ugyanazt a szmot igyekszik kt jellemzbe beleprselni.

Pedig Peet jrt legkzelebb az igazsghoz!

Megjegyezzk, hogy Scott Williams napjainkban megtallta anagysg olvasatt,lsd magnitude fordtst (megjegyezzk, hogy a pontos olvasat azegysgszteredmnyezi). Eleinte rthetetlen volt szmunkra, hogy a nyilvnval fejnagysgotezek utn mirt nem fedezte fel, lsdtp- r olvasatt. Vgl is a flgmb felsznnlWilliams sem jutott tovbb.

F. Hoffmann elemzse valban elrelpst jelentett az eredeti fordtsokhozkpest, de T.E. Peethez hasonlan is ragaszkodik ugyanahhoz a nagysghoz. gya flhenger palstjnak szmtsnl megakadt. Fejtegetsben tisztn ltja, hogy aflgmb elmlet elvethet, m ugyanakkor Peet flkr szmtst is helytelenti,mert bizonytottnak ltja a trbeli idom jelenltt. Kr, hogy nem tudott magyarul.Az ismeretlen idomot vatosan nem is nevezi meg, hanem csak a hieroglifstrsval jelli. Tovbbi rtkels helyett lljon itt dolgozatnak zrszava: Ichsehe somit keinen Grund, an der schon von Peet vorgetragen Deutung dernb.t imMoskauer Mathematischen Papyrus als Halbzylinder zu zweifeln.2 (Friedhelm

1 .teht helyrelltva az olvasatot:nbt < nt x > m tp-r r 4 1 / 2 m aD, ahol valaminek a kosarat (?) aszjban s a 4aD -ban vagy mindabban, amit az jelenthet , adja a msodik dimenzit, ppengy hogyan atp-r az elst jelenti.

2 gy nincs okom, hogy ktelkedjem az MMPnbt jeleinek fl-cilinder rtelmezsben, amelyetPeet terjesztett el.


3/53


Hoffmann : Die Aufgabe 10 des Moscauer mathematischen Papyrus. Zeitschrift fr gyptische Sprache Band 123, 1996, Heft 1.)

C) Ide kvnkozik az elzekben mr rszletesen trgyalt, ltalunk egyedlhelyesnek tlt megolds is, melynek itt csak a kplett mellkeljk:

V = d x (8 / 9)2 x mahol d = fej-egysg = 3 tenyr, s m = 4,5 tenyr.

gy V = 3 tenyr x 3 tenyr x (8 / 9) 2 x 4,5 tenyr = 32 tenyr3.

10. sszefoglalk

Az albbiakban tallhat rvid sszefoglalsok szksgessgt a trgyals, azelemzs ms irny tematikja, szerkezete magyarzza. Itt a mr tbb helyen iskifejtett j fogalmakat, krdseket ktttk egy csokorba.

A. A fej egysge/nagysga

Pldnk kardinlis jellemz je afej egysge/nagysga. Az els megkzeltsben semmirdekeset nem ltunk rajta, csupn magyarul kellett elolvasni az idevonatkoz jeleket,s beltni azt, hogy a tp-r , azaz ma gy mondannk: a fejmret valjban mr azidom jellemz je, s nem szksges az utna kvetkez r 4,5-et ide visszavetteni(amint azt Peet tette).Szerepe mgis jval nagyobb, mint az az els pillanatban sejthet volna.Induljunk ki az egyszer, si fldmvesember gondolatvilgbl. Nhnyszerszmon, hasznlati trgyon kvl legjobb esetben is csak a sajt llataivalrendelkezhetett, st kereket sem gyrtott, mert a sivatag homokjbanhasznlhatatlan volt a kocsi. pleteit tbbnyire szgletesre ksztette. Szmra

nem nagyon volt ms plda a kr megrtshez, mint az, amit a krltte lv hasznlati trgyakon tallt, amit knytelen volt maga kszteni, valamint mindaz,amit magn tudhatott. A kosr feneke kr alak lehetett, de ez a kr szmolsnlnem szolglhatott egysgknt. Valami mst, valami magtl rthetdt, valamiolyasmit kellett keresnie, ami mindig kznl van. Nos, egy valami valban elegettett a fenti feltteleknek. Hrodotosz szerint az rstudk, a papok ktnapontaleborotvltk hajukat, gy szembetn volt fejk kerek formja. Mrtkegysgeiketis a testk klnbz rszeibl vezettk le: kzismert tny, hogy szinte napjainkig


4/53


a hvelyk, az arasz, az l, a lb stb. mrtkegysgknt szerepelt. Ebbe a sorbailleszkedik a fej, pontosabban a fej nagysga, mrete is.Mindezek mellett, ez llandan kznl volt, st mrni is lehetett. Mindig aztmrvel szmoltak, mert egyszeren azt tudtk knnyebben mrni. A sugr mrnem volt kzvetlenl mrhet, gy tnik, hogy ez a fogalom tl elvont voltszmukra. Tenyerket rhelyeztk a mrend trgyra, a msik fejre, s gyhatroztk meg annak nagysgt, ujjakban vagy tenyrben.Ha visszafel szmolunk, akkor knnyen belthatjuk, hogy ez volt agondolatmenetk alapja. Komoly hibt kvetnnk el, ha lebecslnnkseinket.Sokkal gyesebbek, gyakorlatiasabbak voltak, mint az a fentiekbl kvetkezne,csak a szmolsuk nem a mai rtelemben vett, elvont alapokon nyugodott.A fej profilban(Gardiner) mret alatt az arc hieroglifjval is jelzett mrett

rtettk , s a felszn, a fedlap, a terlet, de elssorban a kr terletnek jelzsre, szmolsra hasznltk. Mrsk szerint az gy kapott kr tmr je3 tenyr szles volt.Ez a mret gy nmagban a levegben lg, de meglep eredmnyre jutunk, hapontostjuk.R. Hannig mr tbbszr idzett sztrban a mrtkegysgek kztt megtallhatjukaz ujj s a tenyr mrett.

1 ujj = kb. 1,85 cm. 1 tenyr = 4 ujj = kb. 7,4 cm.Fgg leges fejmret= 3 tenyr = kb. 22,2 cm.(Ez utbbi mret, a vertex gnathion median saggitlis skban, fgglegesen mrtlegrvidebb tvolsga rtelemszeren tlnk szrmazik, szmtst lsd Azegyiptomi e fejezetben. A Martin fle rendszerben az ltalunk fgglegesfejmretnek nevezett mreteket nem tntetik fel, erre nem tallunk adatokat. Ateljes fejmagassgot csak kt mret hzastsbl lehetne megkzelteni: porion bregma(?) s a gnathion sp.n.inferior-anterior mreteinek sszeadsval.)Elkpzelhet varins avzszintes fejmret= 2,25 tenyr = kb. 16,65 cm (ez a mret azantropolgibl kzismert, M-1-es nagysgnak felel meg, pontostva a glabella opisthocranion median saggitlis skban mrt tvolsga. (Rudolf Martin: Lehrbuchder Antropologie.) Itt szeretnnk rmutatni arra is, hogy ez a mret a valsgban alegkisebb fejmretet sem kzelti meg a kzpeurpai mretek vltakoznak 180190 mm kztt , gyakorlati rtke ezrt ersen krdses. Az egysgnyi krkerletnek szmtsnl viszont elkpzelhet ltjogosultsga. Lsd P = 4 x d xe).

Nos, ez volt az egysgnyi mretbl, a fej-nagysgbl levezett egyiptomi krszmolsnak alapja. Szmolsa azsi mdszerrel mskppen trtnt, mint ma aztelvrnnk, mi tbb, az egyiptomie sem azonos a Ludolf van Ceulen fle szmmal.


5/53


6/53


bizonytja: A = r = A/r = = 63/20,25 = 3,11. Az A = 63, r = 4,5adatokkal szmoltunk.Ezek alapjn megllapthatjuk, hogy a kr terlett a fenti mdszerrel, a mairtelemben vett 3,11-es-vel szmoltk.

2. Msik modellt is kszthettek (lsdFggelk ), ahol a vizsglt krt sok,pontosabban 64 koncentrikusan elhelyezett, kismret krbl ptettk fel. Akr tmr je ezen a modellen mindenhol 9 kicsi kr volt. Tekintve, hogy ezeket akrcskket mskppen csoportostva ismt ngyzethez jutottak, 8 x 8 = 64, atovbbiakban gy szmoltak: vegyk el a vizsglt kr tmr jbl az 1 /

9-t,

esetnkben 9 1 = 8, majd az ezzel alkotott ngyzet fellett egyszer szorzssalllaptsuk meg. 8 x 8 = 64. Ez szerepel az RMP 50. feladatban. Mindeztermszetesen sokkal bonyolultabb abban az esetben, ha az tmr 9-cel trtn osztsa nem egsz szmot eredmnyezne, ami aztn a ngyzetre emelsnl klnproblmaknt jelentkezik. (Rszletes trgyalst lsd A 9, mint lland fejezetben). Nos, az eddigiek alapjn megllapthatjuk, hogy az gy kezelt krfelszne 64 egysgnyi lett. Visszatrve az 1) pont alatti szmolsunkhoz, = A / r2 = 64/ 20,25 = 3,16. Ez pontosabb eredmnynek szmt, mint az elzekbenszmolt 3,11.

3. Megjegyezzk, hogy szmolsi mdszereik ellenrzst k nem tudtk

elvgezni, mindezt csak mai szemmel lthatjuk, mai ismereteinkkelazonosthatjuk. Valsznleg meg lehettek meggyzdve rla, hogy szmolsukpontos.

4. Fejldst jelentett az RMP 48. feladatnak szmolsa. Itt lpett be kzvetlenlaz egyiptomie. Konkrtan itt a (8 / 9)2-rl beszlnk. Az RMP szveg nlklifeladatban egy durvn nyolcszgestett krt lthatunk, ngyszgletes keretben,benne a kr tmr jre vonatkoz 9-cel. Alatta viszont kt egyiptomiszorztblt tallunk a 8-as, valamint a 9-es tbla formjban. Eredmnyknt64-et, illetve 81-et jell meg rjuk. Ebbl azt a kvetkeztetst vonhatjuk le,hogy mind a 8, mind a 9 esetben a ngyzetre emels mvelett vgeztk el,ms szval ismertk a sajt-jket. (A tovbbiakban egybknt eltekintnk azRMP 48-as feladata furcsasgainak trgyalstl.) Az MMP 10-es feladatbanezt a mdszert mutatja be tanrunk, (8 / 9)2-tel szorozza be az egysgnyi,fejmret kr tmr jnek ngyzett, a 9-et.Nos, visszatrve ae szmolshoz, lthatjuk, hogy ez ebben az esetben64 / 81 jelentett, amit 4-gyel szorozva256 / 81 = 3,16 eredmnyhez vezet. Magyarule = /4-gyel, ha elfogadjuk a rtket 3,16-nak.

Az egyiptomie szmolsa gy elg bonyolultnak ltszik.


7/53


A valsgban mindez sokkal egyszerbb volt. Egyszerbb, mint ahogy azt azels pillanatban gondolhatnnk. Kpzeljk magunkat az helyzetkbe. Ahhoz,hogy egyltaln krrl beszlhessenek, pldjukban el kellett venni egy kosarat.Ennek az alja, ha minden jl sikerlt, jobbra kr alak volt. Viszont haflresikerlt, vagy esetleg ez volt a szndkuk, akkor zavarba jhettek volna amai szmtsi mdszernkkel. Megllt volna itt a tudomnyuk? Hogyanszmtottk volna ki az ellipszis felsznt, mert kis jindulattal gy nevezhetjk azovlis, lelaptott krt?Nos, nzzk meg elszr, hogy hogyan szmolja ki a mai ember az ellipszisterlett. A = a x b x, vagyisaz ellipszis terlete egyenl a kt fltengelynek s aludolfi szmnak a szorzatval. Magyarul: a hosszabb sugarat megszorozzuk arvidebb sugrral, majd a rtkvel.seink viszont nem szmoltak, esetleg nem is tudtak a sugrral szmolni.k sokkal egyszerbben szmoltak. Tenyerkkel megmrtk a nagyobb tmrt,majd az erre keresztbe es kisebbet is, betkkel kifejezve d1 x d2, majd szorzatukatmegszoroztk a Ludolf fle szm negyedvel! Teht szmukra A = d1 x d2 x e.Mindez az ellipszis felsznre vonatkozik, de! a kr ehhez kpest nem jelentetteltrst, mert a kr nem ms, mintegy tl jl sikerltellipszis. A kr esetben ti.d1 = d2-vel, azaz akrhogyan helyezte tenyert, az tmrk azonosak voltak. gy a krszmolsa szmukra d x d xe = de. Ennl egyszerbben nem lehet szmolni.

sszefoglalva azt lthatjuk, hogy csodlatos egyszer sggel a kr helyett mindigellipszist szmoltak, a nehzkesen mrhet sugr helyett mindig a kt tmr thasznltk. Ehhez igaztottk a varzsszmukat, az egyiptomi e-t, a (8 / 9)-t. Ezt aszmot teht az egyiptomi kr egyik llandjnak tekintjk.

C. Az egysgnyi kr s a fejnagysg sszefggse. Az RMP ngy, krrelfoglalkoz pldjnak bennnket rint vonatkozsai

Pldnkbanegysgnyi krnek a 3-as tmr j , fejmret krt vettk. Ez a

fggleges, 3 tenyeres arcmretnkbl kpezett kr.Terlete A = r2 = 4 x (1,5)2 x e = 4 x 2,25 x (8 / 9)2 = 9 x64 / 81 = 71 / 9 ( tenyr2).Vagy, most mr egyiptomi mdon szmolva: A = d2 e = 3 x 3 x (8 / 9)2 = 9 x64 / 81 == 71 / 9 (tenyr2).

Tekintve, hogy az MMP 10-es feladata a kr szmolsa tern nem az egyetlenismert egyiptomi szmolsi mdszer, sszehasonltskppen ide kvnkozik azRMP mind az t, krrel foglalkoz feladata is (RMP 4142434850). Elre


8/53


bocstjuk, hogy ezeknek a feladatoknak rszletes trgyalsval itt nemfoglalkozunk, ezrt az RMP fent jelzett pldibl csak a matematikai alaponbizonythat szmolsi menetek krre vonatkoz rszleteit vesszk t. Tekintve,hogy a 42-es plda a kr msik szmolsi mdszert tartalmazza, trgyalst afejezet vgre tettk. (August Eisenlohr Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter, Papyrus Rhind des British Museum. Bvebben lsd aFggelk ben.)

Mesternk a szakirodalom szerint Ahmesz hrom pldjban (41-43-50)els lpsknt egy 9 rszes krbl indult ki, majd eljutva 8-hoz, azzal, illetve annakkozmetikzott vltozatval szmolt tovbb. gy is tekinthetjk, hogy a msodiklps alapja a 8 volt. Az RMP krrel foglalkoz feladataiban a 9 nem d2, hanemugyanaz a 9, d-vel azonos.Abban az esetben, ha a kr tmr je ettl eltrt, mint pl. az RMP 43. feladatban,ahol a diamter 12 (Ahmesz rdekes mdon a 6-os rdiuszt adta meg), els lpsknt megint a 9-es krt vette alapul, kpezett 8-at, s csak a msodikszorzsnl vette figyelembe az tmr eltr mrett. gy a 43-as feladatban nem a8-at, hanem a 102 / 3-ot emelte ngyzetre.

Van itt azrt valami furcsasg.Ha a 9-tl eltr tmrvel szmoltak, msodik lpsknt 8-rl indultak el, s aszksgnek megfelelen hozzadtak vagy levontak belle 22 / 3-t, illetve ennek

tbbszrst. A furcsasg ott van, hogy a 9-es tmr j krk az RMPalapkrnek tekinthetk, ugyanakkor az MMP 10. feladatnak kre a 3-as tmrvel, azaz afejegysggel, az egysgnyi krre enged kvetkeztetni (lsda Fej nagysgafejezetet).

Nzzk meg ezt a krdst rszleteiben is.

A korbbiakbl kiderlt, hogy egy egysgnyi kr tmr je 3 tenyr, felsznepedig 71 / 9 tenyr2 (mint az MMP 10. feladatban). A 71 / 9 nem ms, mint (8 / 3)2.Vagy esetleg msik trttel rva: (22 / 3) 2.

Az RMP 43. feladata 6-os sugar (!), azaz 12-es tmr j krrl indul. (A 6-

os sugr rtkt a plda matematikai levezetse bizonytja: 91 = 8; 8 + 22

/ 3 == 102 / 3; 102 / 3 x 102 / 3 = 1137 / 9 = 1132 / 3 1 / 9. Vagy 113,77. Ez ennek a krnek aterlete. Mai szmolsi mdszernkkel lve, figyelembe vve a 3,16rtket, r = 6 x 6 x 3,16 = 113,76-nak felel meg. Ergo a megadott 6-os rtk ardiusz.)Ez ppen egy egysgnyi kr tmr jvel nagyobb, mint a msik hrom pldbanszoksos 9-es tmr j induls. Az RMP 43. feladatnak msodik lpsben a 8-hoz hozzadtk a harmadt, pontosabban 22 / 3-ot, vagyis az elbb trgyalt8 / 3-ot. Azgy kapott 102 / 3-ot emeltk ngyzetre.


9/53


Ha elmletben a 9-es tmr j, hrom fejmretes kr helyett csakkt fejmretes krrel szmolnnk (erre az RMP-ben nincs plda), tmr je 6 tenyr lenne, akkor a8-bl le kellene vonni a 22 / 3-ot, azaz 51 / 3-t kellene ngyzetre emelni. (Ebben azesetben a 6 tenyr tmr j kr terlete 284 / 9 = 281 / 3 1 / 9 = 28,44. Mai szmolsunkszerint 3 x 3 x 3,16 = 28,44.)Ebbl az kvetkezik, hogy a 9-estl eltr tmr j kr szmolsnl msodiklpsknt az alapkr rtkt a szksgnek megfelelen az MMP fej-egysgnyi kr jellemz jvel, a 22 / 3-dal, illetve annak tbbszrsvel (elmletben esetleghnyadaival is) korrigltk.Tovbbiakban tapasztalhattuk, hogy az MMP 10. feladatnak egysgnyi kre azRMP krrel foglalkoz pldiban is mint legkisebb egysg jelentkezik.

Mindkt papirusz krrel kapcsolatos szmolsi menete, mdszert tekintve,azonos. Els lpcsben, kiindulskppen a 9-es szmot hasznltk, majd a msodiklpcsben a 8-cal, illetve korriglt rtknek ngyzetre emelsvel szmoltaktovbb. Ezzel a kr terletnek szmolst befejeztk.Az RMP MMP pldiban szerepl krk tmr jnek eltrse a 43. plda alapjn mint a fentiekben lttuk az MMP egysgkrvel kthet ssze, mrete8 / 3, s ezazonos a fejnagysgbl szrmaz kr jellemz jvel.

Szeretnnk megjegyezni, hogy az elbb trgyalt esetekben a kr tmr je a hrmasszmrendszerbe illeszkedett. Ettl eltr mret esetn elmletileg kt utat kvethettek. A fenti mdszer alapjn a8 / 3 tovbbi osztsval brmely szm kpezhet, a 8

kiegsztse gy nem okozhatott nehzsget. Pl.: a 10-es tmr j kr esetbenaz alapkrhz kpest az tmr nem hrommal nvekedett, hanem csak eggyel,az egysgnyi kr harmadval (9 + 1 = 10). Ennek rtelmben a8 / 3-ot tovbbkellett osztani hrommal. Az eredmny8 / 3 : 3 =8 / 9. Ezt a trtet hozzadva a 8-hoz 88 / 9-et kapunk. Ngyzetre emelve az eredmny knnyen kiszmthat:791 / 9. (Ellenrzskppen: 79,1111 : 3,1605 = 25,03, ami r2-nek felel meg r = 5-tel.)Egybknt Ahmesz gy nem tudott szmolni, szmra a8 / 9 = 2 / 3 + 1 / 6 + 1 / 18 volt.Ngyzetre emelse szmukra komoly feladat lehetett.

Ahmesz bemutat az RMP 42. pldjban egy msik, kzvetlen mdszert is, ahola kr szmtst nem a szoksos 9-rl indtja, hanem a mindenkori tmrt

kilencedeli. Az gy kapott trt szmot emelte aztn ngyzetre. (Az RMP 42.pldjban a 10-es egysg tmrt kilencedeltk, majd a 82 / 3 + 1 / 6 + 1 / 18-otemeltk ngyzetre. Pontosabban a mai rtelemben vve nem tudtak ngyzetreemelni, hanem valsznleg ksz szmsorokkal dolgozhattak. Az eredmnyeezek utn a 79 +1 / 108 + 1 / 324 lett! Knnyen belthat, hogy szmukra gy sokkalbonyolultabb volt szmolni. Lsd mg aFggelk ben.) Tekintve, hogy Ahmeszis a msik, knnyebb mdszert hasznlja, a kr tovbbi trgyalsa sorn mi iseltekintnk a 42. feladat mltatstl.


10/53


11/53

Tovbb lpni csak alevezethet egysgnyi A fejnagysg nem azoesetnkben hosszmrtszksges flksz terllandjval, ezzel abonyoldott a helyzetartalommal rendelkezilletve, mint az MMPngyzett is jelenthette.

Az MMP 10. feladtenyr tmr j krrefejmret kr kiindkvetkezskppen seTermszetesen ez neszerint egyttal 3 x 3 te

A fentiek alapjn meszorzat szksgtelen, nutals erre. St, mr e

mretet tmrnek teki A 9-es szm gondol

birtokban mgis gyegyiptomi kr, jelenmegrtshez.

E. A fej , a kosr nyelvtan tkr

Az itt lthat, jobazonos. A cm szavaita.?. szmolst jel

V. Az egyiptomi e. Az MM

kor vlt lehetsgess, amikor a fejmrettel rrel megismerkedtnk.os a 9-es szmmal. A fejnagysg bet szerint , nagysga 3 tenyr. A 9-es szm csak a kr szk, nmagban nem szorul magyarzatra, merszmmal kellett szmolniuk. A pldkban csat, hogy ez a flksz termk egyttal, szm, valamilyen mretet kzvetlenl is k0. pldjbl kitnik, a fejmret egysgkr t

ta 2. sorban szerepl fej nagysg/egysg olvautal, s nem a kilences szmra. A 9-es szm nelsa, hanem minden kr vagy ellipsziskinek sem kell magyarznia jelenltt azvon le abbl semmit, hogy esetnkben az

nyr2 -tel is azonos.

gllapthatjuk, hogy a szakirodalom ltal elfogadotem ltez mveletnek szmt, ezrt nincs a 10-rt sem lehetsges a 10. feladat 3. sorban mag

nteni.atkre ezzel mg tvolrl sincs kimertve, jelentljk meg, hogy ez a levezets tiszta kpetesetben a fejnagysg, egysgnyi kr szm

s a nagysg olvasata s vizsglata aben

rl szmtott els t jel az MMP mind a 25kpezik, esetnkben az utols hrom jellel egyentik . Hogy mirt nagyjbl, ill. hogyan nz ki e

10. feladata

s az abbl

ej-egysg molshozmint a kr

k annyibanint fizikaiviselhetett,r jnek a

sat a hromm csupn aalapszma,5. sorban. i szmols

t 2 x 4,5 = 9s pldbandott 4,5-s

ismereteinknyjtott azolsnak a

agyar

feladatbant nagyjblz pontosan,


12/53


azt az itt kvetkez fejtegetsben igyeksznk megvilgtani. (Az els feladatbannem lthatk ezek a jelek, igaz, hogy az nagyon tredkesen maradt rnk.Felmerlt az a gondolat, hogy nem is kpezett ez kln feladatot, csak arestaurlk mellktermke volt!)Ebbl a szempontbl ez a papirusz eltr az RMP-tl, ahol tvolrl sem ugyanazzala szveggel vezeti be Ahmesz, az RMP egykori rja, feladatait. Lvn, hogymindkt pldnkban ezek a jelek kln sorban is szerepelnek, gy tekinthetjk,hogy eztsi mesternk cmnek sznta. A baloldali utols hrom jel a szmolstrgyt, a fenti kpen is jl kvethet kosr hieratikus rst tartalmazza.

Elemzsnket kezdjk taln a cmben szerepl els hrom jel vizsglatval (ahieratikus jeleket szerkesztsi nehzsgek miatt hieroglifs alakjukban trgyaljuk,

de elemzskkor az eredeti jelekre gondolunk). (1-3). Az els jel,

Gardiner D1-es jele: ltalnos meghatrozsban head in profile. rdekesmdon az egyiptolgusok kzl senki sem olvassafej-nek. Ha errl a jelrlbeszlnek, mindig atp transzlitercit hasznljk. A msodik jel az ideogrammafggleges jeleGardiner rendszerben Z1 alatt stroke meghatrozssal szerepel, mindenkiszmra azt jelenti, hogy figyelj, itt az elz jel msik rtkt, legtbbszr akprtkt kell olvasnod. A harmadik jel kzvetlenl az ID jele al esik, Gardiner

N35-s jele ripple of water meghatrozs phon. n. Az egyiptolgia nhangnak olvassa.Ha paleogrfiai vizsglat al vesszk ezeket a jeleket, lthatjuk, hogy a hieratikuseredetin a fej jelt kt vonallal rtasnk, lsd a fenti kpen, az ID jele sszer aszem/szm jelvel (eredetileg ez is kln vonal lehetett, csak a kvetkez szem jelszra sikerlt valamivel hosszabbra, ezrt rnek ssze. A szem jele egybknt egyvonalnak tekinthet), alatta kln lesen ltszik az n jele.Az els megkzeltsben kiss furcsa egysget kpeznek. A hieroglifs trskor azID jele tovbbra is az n fl kerlt, ugyangy, mint a hieratikus eredetiben, deelkpzelhet az is, hogy a hieratikus rs jellegbl addan rnokunk nem tehettemshov azn jelet. Az elbbiekben kzsen megtekintettk a fej hieratikus, ktvonalbl ll jelt, ennek alapjn most megllapthatjuk, hogy meglehetsenbonyolult lenne al mg tisztn kivehet jabb jelet rni. Lehet, hogy ez volt afurcsa rs oka. Ligatrs vltozata eddig mg nem ismert. Ha hieroglifs rssal

kellene ezt a csoportot rni, az n jele a fej jele alatt is llhatna. . Az ID jela csoport mg kerlne. Egybknt is szablyknt fogadjuk el, hogy az ID jellel asz lezrtnak tekinthet, a jelek, a kpzk s a ragok kz s a szt kz esnek.


13/53


Rgtn megllapthatjuk azt is, hogy az n jel nem vletlenl ll itt, valamilyenfontos szerepe van.Mindez szmunkra azrt rdekes, mert a szakirodalom tbb variciban is fordtjaaz els hrom jelet. Szerepel Peet szvegben mint Example, Struve szerintBerechnung, Gillings pedig a Method fordtsban vli a helyes rtkt megadni.Fejnek egyikk sem ltja. Ugyancsak nem olvassk fejnek a msodik sorban sem(19-20 jelek), igaz, hogy itt mr nem szerepel a fenti jelek egyike, az n jel. gyaztn nem kerlhetett sor a fejben szmt , valamint a fej-nagysga fordtsokrasem.Ha alaposabban elemezzk, ltunk azrt ebben is logikt. Emltettk, hogy az els hrom jel a cmben szerepel. Ha az egyiptolgusok itt a fej olvasattal kezdenkfordtsukat, akkor ez az n jel kvetkeztben ami az indirekt genitivus jele aszksgesfejnek a vagy a feje valaminek vltozst vonn maga utn.A problma az, hogy a birtok az ilyen szerkezetekben mindig a birtokos eltt ll.

Lsd: , fordtsa, ha hitelt adunk a szakirodalomnak: azers istenek nak a Abydos, azaz Abydos nagyjai. (Ebben a kzismert pldbana birtokviszony tbbes szmnak jelt, a nw-ednyt talljuk az n helyn.)Az eddigi fordtsokra rnyomta a blyegt ez a birtokviszony. Elemzskkor azt islthatjuk, hogy mindenki igyekezett aszmolst , valamint az ide vonatkozigt felfedezni az els t jelben. Vgl is az MMP kifejezetten szmolssal foglalkozik.

Struve fordtst vizsglva kiderlt, hogy a (4-5) jel a birtokos szerkezetbirtoka,azaz a Form, a birtokosa a tp-nek , (1-2) jel,a fej, vagy fordtsban ader Berechnung-nak. Nla a fej azonos a szmolssal? Ugyanakkor a forma sz f nv,gy ersen krdses, hogy mennyire fr ssze a hatrozottan igei termszet ir-t -tel.Megllapthatjuk azt is, hogy a birtokviszonyt a szoksostl eltren, hibsanfordtja.Form der Berechnung, azaz a szmols formja esetben teht ell llnaa birtokos s csak utna a birtok. Ez ellenkezik a szakirodalom szablyval.

Peet fordtsa nyelvtanilag korrektebb:Example of working out, plda akidolgozsnak a Itt ismt az a problma jelentkezett, hogy nem fejnek, hanemms tartalommal kellett olvasni. Peet pldt lt benne, ugyanakkor azir-t-blf nevet kellett fabrikljon. Lsd:working out.

Hoffmann mr nagyvonalbban kezeli a cm fordtst, s megelgszik azegyszer Berechnung der . szavakkal, ami viszont a birtokviszony eltoldsrautal. A trgyat is belevonja ebbe a szerkezetbe, ebbl kpezi a birtokost! Lsd: Berechnung der nb-t Korb. Azaz a nb-t kosr szmolsa. Ebben a sorban acscsnak Williams szmt, aki az example of calculating fordtssal azir-t jeleketNota Bene a szmols sz jelentsvel ruhzta fel.

Lssuk mg egyszer az elbb trgyalt els t jelet: .


14/53


Az eddigiekbl kiderlt, hogy a szakirodalom szmra meglehetsen zavar abirtokviszony, az indirekt genitivus jelenlte, ennek kvetkeztben a fej olvasata felsem merlhetett. A birtokos szerkezetben nem szerepelhet ige. Sem a birtok, sem abirtokos nem tartozhat az ige szfajba, gy az els t jelbl szmzni kellett acselekvst. A fej sz ID-el elltott kzvetlen jelentst tekintve nem frhetett ebbea cmbe, mert ezen a helyen, rtelemszeren, csak a szmolsra utal jel llhat. Itt aszablyok szerint a birtok ll, pl.: example, method stb., s nem a fej. Tekintve,hogy ezek utn a (4-5) jel csak a birtokos lehet, az itt szerepl ignek t kellettalakulnia f nvv. Lsd: kalkulci, kidolgozs. Ha a fejet, a kprtknekmegfelelen, itt fejnek fordtank, akkor mint birtok, a kalkulci feje vagy aforma feje vagy ehhez hasonl lehetetlensgek jnnnek ki. Ha az rvnyesszablyokat felrgva birtokosknt lltannk be (Struve), akkor viszont a cm vlnanevetsgess a fejnek a szmtsa, kalkulcija stb. fordts miatt. Itt nem a fejet,hanem az utna kvetkez idomot kell kiszmolni. A fej sz sorsa ezzelmegpecsteldtt. A (19-20) jelek esetben is eldlt a krds, br ott mr nemlthat az indirekt genitivus jele.A szmols trgya csak ez utn kvetkezik. A 14-es feladat esetben egy trapzrajza lthat, ID jel nlkl. A 10-es pldban viszont anb-t jelek kvetkeznek. Eztkell kiszmolni.

Szmunkra az n jel a helyragot jelenti. oN/eN/N-t, vagy mint pldnkban, abaN/beN-t. Ez utbbi a b jellel tbb, mint az eredetin lthat hieratikus egysg.(Ha megtekintjk G. Mller gy jtemnyben a 124. szm alatt felsorakoztatott b jeleket, hatalmas mretvel vlaszt ad arra is, hogy mirt hinyzik a cm jeleikzl.) Egybknt egyltaln nem biztos, hogy a fejszmolst akkor is fejbenszmolssal azonostottk, nagyon is elkpzelhet, hogy a fejen szmols jelentetteez elbb trgyalt fogalmat. (A vltozatokat lsd ksbb.) A (19-20) jelek a csupasztvet jelentik, olvasatuk: fej. A mondatba is helyesen illeszkednek: mrj, amifej nagysg.A (4-5) jelek egybknt szervesen sszefggenek a fejenolvasattal. Ktsgtelenl amsodik helyre az lltmny kvnkozik, s olvasatunkban tnyleg egy igei

lltmny kvetkezik. Szmt: . Rvid elemzsnket kezdjk ismt GardinerD4-es jelvel, 554. oldal: iri, make, do, act, acquire, a szmols nincs

kzttk. Egy sorral fltte a pldnkhoz hasonl jelek llnak, a klnbsgcsupn az ID jel. Meghatrozsa: eye. Itt termszetesen mr nem lltranszliterci rendelkezsnkre, mindenki a sajt nyelvn olvassa a szem fogalmt. Az MMP soraiban sehol sem ll mgtte az ID jel. Mi is csak acsontjval hasznljuk. SZ-M. Hangzstsra mr a rszletes trgyalsa sorn


15/53


kitrtnk, itt csak a vgeredmnyt ismteljk meg: SZ-M Sze-M Sz-M.(Lsd szem-lek szm-olok. A szem/szm archaikus olvasatt az rklttterminolgia is magyarzza. ) Az eltrs az ottanihoz kpest az, hogy az al rott t jel trsasgtl eltekintve a szem jele itt egyedl ll. Ez a t jel azrt sok mindenrlrulkodik. Ha valaki az els hrom jelet fejnekolvassa, mi tbb megoldja, vagylenyeli az n krdst, akkor a hivatalos nyelvtan szerint az ige utn mintszuffixum a szemlyes nvms valamelyik formja kvetkezne. (Gardinernyelvtana a szemlyes nvms legalbb hrom formjt klnbzteti meg.) A t viszont nem szerepel egyik pronominlis felsorolsban sem.

Nos, ezek utn a mai egyiptolgia nyelvtani alapjaira hivatkozva a kvetkez megllaptst tehetjk. A szaklapokban szerepl fordtsoknem lthattk a fej jelben a fej fogalmt is, mert a birtokviszonyt jelz n hang miatt sem a birtokot,sem a birtokost nem lehetett igei formban elkpzelni, gy nem lehetett az els kt jelet szablyosan, rtelmt, de helyzett tekintve sem fejnek olvasni, a szvegbeilleszteni. Tovbbi bonyodalmat okozott az is, hogy az (5) jel, at nem olvashatszemlyes nvmsnak, a tbbi kztt mr csak ezrt sem lehett az eltte ll (4) jel ige.gy csak az a lehetsg maradt, hogy az indirekt genitvus szablyait figyelembevve az ir+t nvszstott igbl s az elttes fej + n = tp + n nvszbl igeilltmny nlkli elfogadhat cmet lltsanak ssze, esetnkben az ltalnos alanysegtsgvel. V. Peet: Example of working, vagy Struve nmet szavaival lve:

Form der Berechnung.Ezek alapjn atp-n jelek rtelme a Berechnung, illetve Example lett.

Emltsre rdemes az is, hogy a szmols valdi trgyt kpez idomot a nmetszvegek a halmozott birtokviszony formjba helyezik, lsd:Form der Berech-nung des Pyramidestumpfes, br Williams ezt az angol nyelv sajtossga alapjnnem kveti, lsd: example of calculating a.nbt. magyar fordtsunkban is csakketts birtokviszonnyal oldhatjuk meg ezt a krdst.

A cmet kpez utols hrom jel mind a mai napig tallgatsokra ad okot.Olvasata az egyiptolgia mai szablyi szerint egyrtelm, az ID jel eltt llszablyos jeleket kosrnak, ill.nbt -nek kell olvasni. Megjegyezzk, hogy a jelkorbban trgyalt, eltr interpretcijt a szmols eredmnyt kpez idom s anb-t jelentst fed kosr klnbsge okozta. Ms szval nem olvashat senki acmben kosarat, illetve annak a szmtst, ha vgl is egy flgmb, vagy egy flhenger felsznt szmolja ki.Ez a tny annyira zavar volt, hogy Gillings akiStruve flgmb elmlett karolta ismtelten fel a sajt ktf jn tlmenen,knytelen volt terijnak altmasztsra egy megbzhat szakrt vlemnyt iskikrni. Errl gy r: A recognized authority on Middle Kingdom hieratic, Mr.T.G.H. James, Assis-tant Keeper of the Department of Egyptian Antiquities of


16/53


the British Museum, London, had earlier agreed to lend his services, and inNovember 1970 he wrote me as follows:I much prefer to takenbt as basket In addition I am not sure that the wordtp-rmeans mouth or diameter.3 Gillings lthatan nem kapott egyrtelmen zldutat James rtl.

ttekintve magyar nyelv olvasatunkat, szmunkra mindez mskppen fest. Azn jelet mi az oN/eN/N helyhatroz raggal azonosthatjuk, majd az eltte lv fej rajzval sszeolvasva a fejenolvasatot kapjuk. A kvetkez kt jel aszmolige1. sz. 3. szemly alakjra mutat: szmt. St, kzvetlenl a trgyra is utal, mertezek utn meg kell mondanunk, hogy mit szmt? A 14-es feladatban itt csak egyrajz, egy geometriai idom kvetkezik. ll trapz formjban rzkeltettk ahasonl metszet hrom dimenziss idomot, a csonka glt. A rajz utn tanrunknem tette ki a trgyeset ragjt, st ID jelet sem tett. A rajz esetben ez szksgtelenis volt. A 10. feladatban viszont nem rajzolt semmilyen idomot! Egyszeren aszoksos hieratikus jeleivel rta azt, hogy kosarat szmt . Itt teht a t jel atrgyeset jellsre elengedhetetlen volt, valamint anb kosr olvasathoz ki kelletttennie az ID hatalmas jelt is. gy nem lehet flrerts.

(Br az itt trgyalt olvasatot, mint a lehetsges legvalsznbbet megtartjuk,szeretnnk szlni a (4-5) jel olvasatnak ms varinsairl is. Azir-t, illetve jr-t

Kzp-birodalmi rtket is felvehetnnk vizsglataink sorba. Ez a transzlitercisrtk egybknt, a szmolsi terminolgin kvl, a JR-aT olvasatunkkal lehetneazonos. Az rdekessge nem is a jelentsbl fejen jrat hanem az igemdjbl, am veltetsb l addik. Ha ez az igemd rvnyes lenne aszmtolvasatunkra is, teht a kt t-s varins llna a papiruszon, akkor a szmttat olvasattal tanrunk cljt is egyrtelmen meghatrozhatnnk. Oktats! Egybknta JRa-T , jrat olvasatnak lehetsgt semmi esetre sem szabad elvetnnk, annlis inkbb, mert tvitt rtelemben a fejszmolsra is utalhat.Eddig azr-t olvasattal nem foglalkoztunk. Ennek rszben az volt az oka, hogy a jelkprtkvel nincs kzvetlen kapcsolata. A szem szmtalan mveletet vgezhet, denem tartozik ezek kz az r szavunk. ATESZ szerint az r sz mindkt jelentsvel az 1300-as vekben jelenik meg, az eddig trgyalt szavakhoz kpest elgksn. A jelzett id eltt valsznleg msik formban lt ez a t. Lehetsges lenne ar olvasat is? A rovsrs minden esetre ebbe az irnyba mutat. gy azt sem lehetkizrni, hogy a (4-5) jel hangzstsarat , ill. rovat lenne. Az itt felsorolt varinsok

3 A Kzp-birodalom hierarchikus rsa tern elismert szaktekintly, Mr. T.G.H. James, AssistantKeeper of the Department of Egyiptian Antiquities of the British Museum, London, segtsgrlmr korbban megllapodtunk , 1970 novemberben a kvetkezket rja: inkbb elnybenrszestem anbt kosr fordtst (anbt vevst, mint kosr ), s hozzf zm, hogy atp-r szj, vagytmr jelentsben nem vagyok biztos.


17/53


eldntst a jv feladatnak tekintjk, pontosabb adattokkal kellene rendelkeznnkaz MMP letkorrl, az j-birodalom szkincsrl, hangtanrl. Megtlsnkszerint az olvasat rtelmt az ige hajszlpontos meghatrozsa nem befolysolja.)

A fentiek alapjn, a magyar nyelvtan szablyainak figyelembe vtelvel, az els sor olvasata:fejen szmt kosarat lett. Olvasatunkhoz Gardiner hrom fontos jelt, mint ideogrammt, a fejet, D1, a szemet, D4 s a kosarat, V30, a nemzetkzirtkek alapjn hasznltuk fel, de a mondatba illesztsk csak a magyarhangzsts s a magyar nyelvtan segtsgvel sikerlhetett.Ez lehetett az okaannak is, hogy nyelvnk ismeretnek hinyban az egybknt kzismert jeleketebben az rtelemben a szakirodalom nem tehette egyms mell.

Pldnk msik sarokpontja a fej-nagysg olvasat (lsd a (19-22) jeleket). A fej olvasat jogosultsgt itt is az ID jel magyarzza. Anagysg fogalmt rszletestrgyalsnl mr elemeztk, levezetsre R. Labat gy jtemnyt hasznltuk fel. Ittcsupn a fej s a szj jelnek ID-vel elltott gardineri rtkt szeretnnk

megismtelni: , lsd azEgyptian-English Vocabulary 577. oldaln:tp-r utterance; valaminek a kifejezse/kimondsa. Afejmret olvasathoz szksgeslenne a direkt genitvus, a kzvetlen birtokos szerkezet jelenlte. Lsdtemplomszolga, hztet stb. Ebben az esetben viszont az ID jel csak egyszer

szerepelhetne, akkor is a vgn kellene llnia. Egybknt a jel tovbbimeghatrozsai kztt sehol sem szerepel azegysg, a nagysg , st a Hoffmannltal hasznltffnung, nyls fogalom sem.Ez utbbi jel teht nem sorolhat kzvetlenl az evidens, nemzetkzi jelek sorba,nem jelenti formja alapjn a mret fogalmt. Zavarja a kpet az is, hogykzvetlenl utna ismt ugyanez a jel szerepel, de most mr az ID jel nlkl. Lsd:

, azaz: l 4,5. Olvasata ezek alapjn elszr azegysg/nagysg, az ID jel nlkli vltozatban azle magyar szavainkat eredmnyezte.Megjegyezzk, hogy a (21-22) jel olvasata kzvetlenl az egysg is lehetne, lsdLabat 1-es jelt.

Pldnk els, kzvetlen magyar nyelv olvassa utn felmerlt az a logikuskrds, hogy a kprtkeket figyelembe vvea szakirodalom hetven ven keresztlmirt nem tallta meg ezeket a ltszlag kzenfekv jellemz ket?Nos, a fentiekbl nyilvnval, hogy ehhez elszr is szksgk lett volna a magyarnyelv egyik szgyknek ismeretre, a SzeM SZ-M SzM hangzstsra, s eztigeknt kellett volna hasznlni. Tudomsunk szerint nincs mg egy nyelv, ahol ezta kt fogalmat azonos mssalhangzs vzzal rendelkez szavak kpeznk. A


18/53


tovbbiakban ismerni kellett volna a sumr/akkd krs 12. jelt is, valamint azazzal sszefgg il, l transzlitercit. R. Labat AZ = L = ISTEN = EGY meghatrozst. Az egysg/nagysg fogalma ezekbl vezethet le. Hasznlnikellett volna azr jel -birodalmi hangrtkt, azaz az l hangot is, amit mi a szj+ ID jel alapjn olvasunk. Ismerni kellett volna az n jel msik jelentst is(on/en/n) valamint a mveltets t kpz jt, amelynek suffix helyzetveltisztban kellett volna lenni.

Ezek hinyban csupn a szakirodalom szemantikai, morfolgiai, grammatikailehetsgeire tmaszkodva lehetetlen volt tovbb lpnik, gy utlag nem ltjukrelisnak az elbb feltett, a jellemzk rtelmezsrl szl krdst.

Mgis, tegyk fel, hogy gondolatban kiszlestjk az egyiptolgia hatrait azltalunk felsorolt jelek kprtknek hasznlatig. Tegyk fel, hogy a sztanikorrekcik esetleg csak logikai alapon is elvgezhetk lennnek. A helyesolvasathoz azrt valami nagyon fontos mg akkor is hinyzik fog. Nem szorulmagyarzatra, hogy csak a szavak egyms mell helyezse nem elg a beszdhez.Szksges valamilyen ragasztanyag, a hozztartoz nyelvtani rendszer is.Esetnkben a magyar nyelv nyelvtannak rendszere.

F. Tovbbi kutatst ignyelnek

Munknk sorn teljes sttsgben tapogatdzunk. Nem ll ez irny szakirodalomrendelkezsnkre. Az egyetlen kicsi lmps a mi keznkben vilgol. Lehetetlen,hogy ilyen krlmnyek kztt mindent helyesen lssunk, a rszleteket, azsszefggseket pontosan megtlhessk. Tvedsek, krdsek nlkl nincs kutat,nincs ember! Ezek utn a fennmarad, megvlaszolatlan gondolatainkat az albbikis csokorba foglaltuk ssze: Mi az MMP pontos letkora? Az ellentmonds feloldsa, miszerint a piramisptk nagyobb matematikai

tudssal rendelkeztek volna, mint 1000 vvel ksbbi utdaik. Valban ltezett-e valamilyensi irat papiruszunk keletkezsnek idejn,

msoltk-e ezeket a feladatokat? Nem teljesen vilgos, hogy mirt hasznlt tanrunk ilyen deds mdszert, mirtrszletezi elemi fokon a8 / 9-els folyamatt, ugyanakkor rendelkezett pl. acsonka gla megold kpletvel.

Nem talltunk megnyugtat magyarzatot arra, hogy a hieratikus trtszmrsakor mirt helyettesthet tzes nagysgrend eltoldssal is a kvnt szm,lsd 1 / 6 s 1 / 18 sorozatos felcserlst a 6-os s 18-as szm jeleivel (lsd mg azRMP 48. feladatt).


19/53


Valban kortrs volt-e (esetleg csak megkzeltleg) tanrunk s a Rhind-papirusz rja? Azonos volt-e matematikai, geometriai ismeretk?

Paleogrfiai krdseinket az albb kvetkez fejezetben tesszk fel. Mindazon olvasatok, ahol a szveg rszletes trgyalsa sorn erre kln is

kitrtnk, tovbbi egyeztetst, kutatst ignyelnek.

Munknk sorn megismerkedtnk a bsg zavarval is.A mai magyar nyelv szkincse, csodlatos gazdagsga az akkoriaknak mg nyilvnnem llt rendelkezsre. Ezen tlmenen feltevsnk szerint kezdetben jval

kevesebb szval rhattak, mint az utols vezredben. gy kln gondot kellettfordtanunk a fogalmak, cselekvsek, trgyak stb. hangzstsra. Szmtalanesetben tbb varins is ltezik, amibl nehz, esetenknt mai tudsunkkallehetetlen volt eldnteni, hogy melyik a helytll (lsd: marha, irha, ruha).A b sgzavara. Ehhez jrult termszetesen a nyelv szoksos fejldsi folyamata is,amelynek kvetkeztben szavak koptak el, vltoztattak formt, illetve kaphattak j jelentst is. (Pl: az j-birodalom idejre elkopott az -zs ragozs.) Tekintve, hogyez az si kultra csak a szakirodalom eddigi fordtsaibl ismert, nyilvnvalarcheolgiai adatoktl, rnk maradt ptmnyektl, kpektl, trgyaktl,festmnyektl stb. eltekintve az gy alkotott kp nem megbzhat. Hasznlatitrgyaik, eszkzeik nagy rsze, tevkenysgk apr rszletei, szoksaik, hitvilguks a sort hosszan folytathatnnk szmunkra eddig ismeretlenek maradtak,

megfejtsre vrnak, magyar nyelv olvasatunknl ezrt fokozott vatossggal kelleljrnunk. Gondoljunk csak a nagy piramisok titkra, vagy a Nlus szablyozsra,amelynek rszleteit, ptsnek mdjt, tartamt, st idejt sem ismerjk.Ezek alapjn belthatjuk, hogy tbb vezred tvlatbl olvasatunk nem lehetminden rszletben tkletes. Csak tovbbi kutatmunkval, sszehasonltsokkal,olvasatokkal cskkenthetjk ezt a hinyossgot. (Mai pldval lve: ha valaki 4000v mlva kisn mostani kultrrtegnket, akkor rtetlenl llna majd ilyenfogalmak eltt, mint akzrt, mozi, utazsi iroda stb. Ugyancsak furcsllan azilyen kifejezseket, mint kpben lenni, hlyt kapni stb.)

Az m hang nyomban

A hieroglifs szveg trgyalsa sorn tbbszr utaltunk arra, hogy komolyzavarok tapasztalhatk az m hang krl. Mind rsmdja, mind lthatatlan jelenlte, st jelentsnek sokrtsge tovbbi krdsekre adott okot.

rsa ltszlag tiszta kpet nyjt, abagolymadr jelenti az m hangot, .Nos, hieroglifs megjelense valban egyrtelm, hieratikus formja viszont annlkevsb. Mondhatnnk azt is, hogy egyltaln nem biztos a transzkribcija.


20/53


(Ebben a fejezetben a magyartrs szavunk helyett a nemzetkzi transzkribciszt szndkosan hasznljuk. Clunk ezzel mondanivalnk pontostsa, a knnyensszekeverhet transzkribci s transzliterci megklnbztetse.)Ha G. Mller 196-os jeleit alaposabban megvizsgljuk, rdekes kalandban lehetrsznk. Abagoly a hieroglifk kztt az egyetlen madr-jel, amelyik szembe nzvelnk. A tbbi, csaknem 40 madr, kivtel nlkl oldalrl lthat.Hieratikus jelei legalbb hrom, egymstl eltr formt mutatnak. Taln alegclszerbb mindhrmat egyms mell helyezni:

I. II. III.

(Ezek a jelek G. Mller Hieratische Palographie I. ktet 18. oldal 196/A-B soraiblszrmaznak.)

Mindhrom jel trsa ugyanazzal az egy hieroglifval trtnik, nevezetesen afentiekben mr megnevezettbagollyal. Ha a I. jelet sszehasonltjuk a II. jellel azsszes tbbi madrjelhez hasonlan kzs vonsknt formjuk a nagy L-re

emlkeztet. Egybknt a megszlalsig hasonlt a w jelet hordoz frj madrhieratikus jelhez is lsd Mller 200-as jeleit csupn annyi a klnbsg, hogyaz m rsa esetn az L fels szrn a bagoly fleire emlkeztet dupla szaklllthat. Ez hinyzik a frj hieratikus jelbl. Mindkt fenti jelnk kt vonalbl ll,lbuk, karmaik eltrnek egymstl. Az I. kpen jl kvethet a madr kapaszkodkarma, a II. jelzs rja mr ezt a vonalat nem kanyartja jele al, rtsd alatta: ngy is kszen vagyok. Flei mindkettnek a bagolyra utalnak, mgis eltr a jelbefejez vonala. A III. jel Mller szerint Dasselbe Zeichen, abgekrzte Form.Teht: ugyanaz a jel, rvid formban. Gyakorlatilag nem hasonlt sem a madrra,

sem a hieratikus teljes megfelel jre. rsa egy vonalbl ll. A helyzet ottbonyoldik, hogy sem trben, sem idben nincs lehetsg szignifikns elvlasztsukra. Gyakran ugyanazon a papiruszon, esetleg ugyanabban asorban/oszlopban ugyanaz a kz hasznlta mindhrom jelet.

Megnyugtat vlasz hinyban megkrdezzk: Valban azonos transzkribci-val, rtelemmel rendelkeznek-e ezek a hieratikus jelek?


21/53


A helyzetet tovbb slyosbtja Gardiner gy jtemnynek Aa13-as jele ,amelynek a szerz legalbb t, egymstl teljesen eltr hangzstst ad. Egyikeezeknek a kvetkezkppen hangzik:also, from Dyn XVIII on, phon. m. Magyarul, a XVIII. dinasztitl szmtva kzvetlenl az m hangot jelenti(egybknt egy msik jelentse a gs). Gardiner bizonytalansgra utal az a tny,hogy ezt a jelet is a Sect. Aa. Unclassified csoportba helyezte. Meglep az is,hogy Mller ilyen formban nem ismeri ezt a jelet, ezek szerint gyakorlatilag nincshieratikus megfelel je. (Ezt nevezhetnnk az m negyedik fajtjnak,transzlitercija szmos srfelirat alapjn egyrtelmen az m hangra utal.)

Ennyi bevezet utn vizsgljuk meg az MMP ltalunk trgyalt feladatainak mhangra vonatkoz hieratikus s hieroglifs jeleit.A 14-es feladat els m jele 14/48-as szm, a 14/77-es jel ugyancsak ebben aszerepben lthat, majd ezt kveti a 14/137-es, valamint a 14/146-os jel.A 10-es feladat m jelei a kvetkezk: 10/18 26 67 87 149 161.Ezeket a hieratikus jeleket a szakirodalom, a 10/67 kivtelvel, mindenholGardiner G13-s jelvel transzkriblta (lsd bagoly), a jelzett eltrsnl (10/67) azAa13-as jel ll.

A hieratikus jelek viszont tbb csoportba oszthatk.

A legtbb, a fenti sorban III. szmmal elltott jel a nagy hrmashoz hasonlt. Ezeka 14/137-es, 10/18-as, 10/87-es, valamint a 10/149-es jelek. A 14/146-os s a10/161-es m jelek megfeleli ligatrs formban szerepelnek, gy a miszempontunkbl most nem rtkelhetk. Utoljra hagytuk az alig felismerhet 14/48-14/77-es jeleket, ktsgeinket mr a rszletes trgyalsuk sorn kifejtettk.Ezektl eltr a 10/18-as jel, lsd azonossgt a II. rsformval, valamint a 10/67-es jelet, amelynek transzkribcijrl mr megemlkeztnk (lsd Gardiner Aa13-as jelt; a szakirodalom ezt az utbbi jelet flnek olvassa).Ezek alapjn megllapthatjuk, hogy pldinkban az m jelek tlnyom tbbsge a III-as varinsbl ll, viszont szerepel a II, valamint a negyedik megjelensi formja is.Mint azt mr a rszletes trgyals sorn lttuk, a szoliter m-et vonatkoznvmsknt kezeltk. Megtlsnk szerint FON szerepben bonyodalmakat okozottvolna. Ennek tulajdontottuk azt a tnyt is, hogy ma/me vltozata a jelcsoportokelejrl hinyzik. Lsd: ma-kadnak,me-netet,me-net,me-nnyisg olvasatainkat.Mind-ez tovbbi vizsglatra szorul, csakgy, mint a hieratikus m jelekpontostsa.rdekes jelensg az n fogalom rsnak elhagysa. Az n-gem, azazen-gem szavunk azonos tre vezethet vissza, mint a ma-gam sz, ami az elz mlyhang vltozatnak tekinthet. Kerekfej tanrunk mindkt esetbentartzkodott a szemlyes nvms jellstl.


22/53


sszefoglalva, a kvetkez krdsek merltek fel: Mirt volt szksges ennyi hieratikus jel az m hang jellsre, ha egy

hieroglifa is elegend volt transzkribcijra (hieroglifs trsra)? Valban tisztn m hangnak transzliterlhatk-e a fent jelzett hieratikus jelek,

vagy annak ms-ms magnhangzs vonzatrl is beszlhetnk? A szakirodalom ltal elfogadott prepozcis szerept elvetjk, lsd: -ban, -ben,

kifel, egytt, keresztl, ltal, mint, sszettelben, akkor, mikzben, ezzelegyidejleg az ltalunk javasolt transzlitercijt mint ID de az ID-jel nlkl (lsd ktsz, vonatkoz nvms stb.) korrektnek tekinthetjk-e?

Valban elfogadhat-e csendes jelenlte (lekopott a sztrl), illetvehinynak valamilyen ms oka, magyarzata is lehetsges?

A knyvnkben szerepl adatok alapjn ezekre a krdsekre nem lehetegyrtelm vlaszt adni, a trgyaltakon kvl szerzett ismereteinket a ksbbiekfolyamn, ms csoportostsban publikljuk. Kutatst, elemzst, az idevonatkoz statisztikai adatokat, tovbbi olvasatokkal trtn sszehasonltst a jv feladatai kz soroljuk.

G. Paleogrfiai meggondolsok

Az MMP 10. feladata ezidig megoldsra vrt. Senki sem tudta pontosan, hogymilyen idomot s annak milyen tulajdonsgt szmolta mesternk. A szmolsmenete alapjn eddig legalbb ngyfle varinst lltottak ssze, minden csak azonmlott, hogy azt az egy, szmmal jellt adatot, a 4-t, minek vettk. A fentiekbenrszletesen kitrtnk a lehetsgek elemzsre, itt csupn annyit szeretnnk

ismtelni, hogy ez a vita a magyar nyelv ismerete nlkl eldnthetetlennekbizonyult.

I. A legels, taln a legfontosabb rszlet anb-t , a fonott kosr vizsglata,rtelmezse.Szvegnkben hromszor fordul el, nevezetesen a cmben a (6-8) jelek, amsodik sorban a (15-17) jelek, valamint az tdik sorban a (64-66) jelek.Alakjukat tekintve megllapthatjuk, hogy ktsg kvl megegyeznek G. Mller


23/53


510, I. ktet jeleivel. Mind a Prisse, a Sinuhe, mind a Goljenyicsev oszlopok jelei a megszlalsig hasonltanak hrom vizsglt jelnkre. A (6) jel aGoljenyicsev varinsra hasonlt, a (15) inkbb a Prisse jeleivel vetekedhet, mga (64) jel az elzek keverke. Klalakbl rnokunk nem kapott jelest, ennekellenre hatrozottan llthatjuk, hogy G. Mller 510-es jelei, csakgy, mint A.Gardiner V30-as jele, megegyeznek az ltalunk vizsglt mindhrom jellel.rnokunk nem vette a fradsgot, hogy valamilyen idomot rajzoljon, illesszenpldjba pedig a 1417. feladatokban ezt tette , hanem egyszeren a kosr jeleit rta le, s vlemnynk szerint gondolta is feladata meghatrozsakor.Szmunkra is nyitott krds marad, hogy a vzszintes csoportosts szerintimsodik sor rsakor mirt trt el az els s az tdik sor fggleges egysgtl.Viszont mindhrom esetben mgtte gaskodik az ID jele, jelezve, hogy itt nemFON-rl van sz, hanem itt az eredeti rtelmt, akosaratkell olvasnod.Az eddigi olvasatoknak gyakorlatilag ez a legnagyobb problmja! A kosr nem flgmb, s t nem is a fl-henger palstja, de nem lehet flkr sem,a kprl, esetleg a teljes henger palstjrl nem is beszlve.F. Hoffmannkorbban emltett dolgozatban (1996) eltekint a pontos meghatrozstl, s acsggedssel hatrosnb-t transzlitercival nevezi meg a szban forg idomot.A kosr formjrl, mreteirl bvebbet lsd F. Hoffmann fejtegetseiben(adataira mi is kitrtnk rszletes elemzsnk sorn).

II. A (27) jel rszletes paleogrfiai elemzsvel mr a szveg trgyalsakorfoglalkoztunk.

III. A (29-30) jeleket ugyancsak sszehasonltottuk a (44-45) jelekkel, ezek alapjnvalban rthetetlen W.W Struve eltr transzkribcija. Megjegyeztk ugyan-akkor azt is, hogy G. Mller LXI jele is megszlalsig hasonlt az eredeti jelnkhz, transzkribcira csupn jelentse miatt nem kerlhetett sor. Alehetsges varinsokrl ltalban mlyen hallgatnak tri.

IV.Az eddigi paleogrfiai nzeteltrseket a srlt rsz helyrelltsa, illetve ahinyz rszek vlt feltltsnek bizonytsai okoztk. A negyedik sor alefmadara viszonylag knnyen felismerhet, ezzel itt nem foglalkozunk. Az tdik

sor srlst is egynteten mindenki azonos mdon interpretlja, amatematikai levezets alapjn itt valban a 9-es szm hinyzik. Mi is elfogadjukezt az trst. (Megjegyezzk, hogy csupn a fotkpia birtokban a komputereselemzs sem nyjthat teljes bizonyossgot.)

A legtbb nzeteltrst a hatodik sor helyrelltsa okozta. W.W. Struve, de kvet iis, a tredk bal oldaln egy tojs srlt rajzt vlik felfedezni. Erre pl a tojs, agmb s a flgmb teria. A javts utni olvasat a Nye-R-S = nyers, Nye-Le-S,Ny-L-S, stb szavunkat adhatn.


24/53


A (75) jel a tojs rajza, Gardiner H8 jele, , egg, tojs jelents.sszehasonltskppen mellkeljk Gardiner H8-as jelnek hivatalos transzli-

tercijt is: , swHt , ami a SZ--(l)-HeT,szlhet szavunkat eredmnyezi.A (76-78) jelek KPeZ--L, KaP-O-L olvasatt aCsonka gla esetben mrtrgyaltuk.TESZ II/1043,nyers 1395, Ismeretlen eredet.Velk szemben Peet, Gunn s Hoffmann vlemnye ugyancsak elfogadhat,k aztlltjk, hogy ez a srlt jel a jobboldalon a fles kosr kezd hurk-ja, legyenplda r G. Mller 511, I ktet fl-tucatnyi jele. Ms szval itt nem tojsrl, hanemegy kznsges k jelr l van sz, gy nincs semmifle gmb, sapka stb. idomunk. Legvalsznbb a szemlyes nvms 2. szemlye, a k olvasat, esetleg , mint tbbhelyen is lthat, amret jelentssel is rendelkezhetne (Hoffmann). Mg tbbtallgatsra adott okot a jobboldali tredk. Struve s kveti szerint itt az N-R,valamint az S jeleket kellene ltnunk, Peet s Hoffmann viszont a PT jeleket vli

felfedezni a maradkok alapjn. Ez utbbi, teht a J-P-T, jpt-n-pr, rmrtk , ca. 24 liter. gy aztn az ltaluk szmolt fl-henger felsznhezvajmi kevs kze lehet.

Az ltalunk javasolt kiegsztst a szveg rszletes trgyalsa sorn megtettk, ittcsak megismteljk feltevsnket. Szerintnk nagy valsznsggel csak hrom

jelbl llhatott a srlt rsz, (az els jel nem tartozik a srlshez),transzlitercija J-P-N-K = J a PeNeKe, azaz j a feneke.

H. sszefoglals

A Moszkvai Matematikai Papirusz letkora vitathat. Feltevsnk szerint csaknem1000 vvel fiatalabb az egyiptolgusok adatolsnl. A pldban hasznlt j-birodalmi nyelv szerkezete ersen eltr a korbbi mondatszerkeszts szablyaitl.

Ezzel azt a feltevsnket ltszik altmasztatni, hogy minl jobban tvolodunk azsnyelvtl, annl tbb vltozson ment keresztl az eredeti agglutinl nyelv, trtel szerkezetben, hangzsban a korbbi archaikus, majd klasszikus nyelvtl.A plda ha elfogadjuk az egyiptomie-t matematikailag kifogstalan, mgisgy tnik, hogy tanrunk meg sem kzeltiseinek elmleti felkszltsgt.

A magyar olvasat alapjn lehet sgnk nylott a feladat pontosdefinilsra, a kosr ( r)mretnek kiszmtsra, az egysgnyi kr s a


25/53


26/53


27/53

27

27

VI. A kt plda kzs vonsainakttekintse

Moszkvai Matematikai Papirusz itt trgyalt kt pldja W. W. Struvecsoportostsa szerint kategrin kvlinek szmt. Elssorban tartalmukalapjn trtnt ez a szelekci; ktsgtelenl tbb geometriai ismeretet

ttelez fel a 14-es feladat, mint amit a kzvetlen szmtsa kzben tapasztalhattunk.Mr akkor is pontos ismereteik voltak a csonka gla trfogatnak szmtsrl.Gunn s Peet szavaival lve: has not been improved on in 4000 years.4 Ami a 10.feladatot illeti, sajnos a felfedezk mmort helyesbtennk kell, nem a flgmbfelsznt szmoltk, hanem egyszeren a kr terletnek jfajta szmolsnkeresztl egy kosr nagysg henger trfogatrl szl ez a feladat. nmagbanvve semmi klns nincs ebben, nem tartozik a fejlett matematika, geometriakrbe, mgis mlyebb betekintssel szolglseink egyszersgben is brilinsgondolatmenetbe.A szmols jellege s az rs alapjn nincsenek kzelebbi adataink arrl, hogytudsukat ms forrsbl, msik papiruszrl rtk volna t, mgis kisiskolsszmolsi mdszerk arra enged kvetkeztetni, hogy magasabb matematikai

kpzetsggel rendelkezktl szrmazik a tbbi kztt a V= h/3 (a + ab + b2

)megoldkplet.A pldkat egymst fggetlenl trgyaltuk. Tettk ezt azrt, mert tartalmukat,nehzsgi fokukat tekintve nll egszet kpeznek, valamint a 10. feladatmegoldsnak trgyalsa ms szerkezeti felptst ignyelt, mint a hresebb, de mrletisztzott trs.Mgis szmos kzs vonssal rendelkeznek.Taln legelszr rdemes megllaptanunk, hogy mindkett szveges pldnak tekinthet. gy a szmols menete a szveg segtsgvel vlik rthetv, illetve ahelytelen olvass megakadlyozza a plda levezetsnek megrtst.Paleogrfiai sszehasonlt vizsglataink alapjn megllapthatjuk, hogy mind aszmok, mind a hieratikus rsjelek azonos kztl szrmaznak, ezltal a teljespapirusz nagyjbl azonos idben kszlt. gy azt is llthatjuk, hogy a papiruszletkora maximum olyan magas, mint a rajta szerepl legfiatalabb jel. Ezzelkapcsolatban kevs biztos tmpontunk lehet. A szakirodalom ltal megadottletkora kb. i. e. 1870 (Struve, Gillings), m ez meglehetsen lgbl kapottnaktekinthet. A hyk-szoszok ideje sem felelhet meg a valsgnak, lsd RMP (kb. i. e.1500), mert az itt hasznlt szmokat abban az idben mg nem gy rtk. Illetveezt lltja G. Ml-ler mr tbbszr segtsgnkre hvott knyve. Tekintve, hogy ez

4 4000 v ta nem szorult javtsra

A


28/53

VI. A kt plda kzs vonsainak ttekintse

a gy jtemny nem foglalkozik kzvetlenl az MMP jeleivel, hasznosnak lttuk akt papirusz sszehasonltst. G. Mller megtlsnk szerint alapos munktvgzett, gy jtemnye mg ma is nlklzhetetlen tanknyv az egyiptolgusokkpzsnl, gy hitelt adunk megllaptsainak, s a 14. feladat vgeredmnybenszerepl 50-es szm hieratikus jelt, kis jindulattal, mi is I. Sethos idejblszrmaztatjuk. Ez a szakirodalom meghatrozsnak csaknem 700 ves tvedst jelenti. (G. Mller Hieratische Palographie II. ktet, 627-es jel.) Eltte ez a jelmg nem ltezett, lsd I. ktet 627 sornak res kockit. Megtlsnk szerint apapirusz letkornak pontosabb behatrolsa csak a teljes szveg tbngszseutn, valamint kitart kutatmunka eredmnyeknt sikerlhet. Bennnket a pontoskormeghatrozs hinya annl is rzkenyebben rintett, mert gy lehetetlen volt akt papirusz, s ezltal a benne foglalt szmolsi mdszerek kzvetlen azonostsa.Egy azrt bizonyos: a kt papirusz keletkezsi ideje s helye nem szksgszerenazonos.

Szerkezett vizsglva mindkt plda kzel azonosnak tekinthet.

A cm szoksos kln sora utn, ahol is a plda trgyt jelli meg hajdan volttanrunk, az els sorban utast, vgy-, mrj-, emelj magadnak egy idomot! Mint aztmr a rszletes trgyalskor is lthattuk, gy cselekedett szmos msik pldjbanis, ez lehetett szmukra a szoksos bevezet. Ezutn rendre megismtelte a

szmolsra sznt idomot.Ami azt illeti, pontos ember volt, ilyesmit nem bzott a vletlenre. rdekes mdonitt mg egyik pldjban sem rulta el, hogy a jelzett idom milyen tulajdonsgtszeretn szmolni. Valamit ennl fontosabbnak tartott. Mindkt pldban (de atbbiben is) itt kvetkezik az idom lersa, azaz megadja az ab idomhozszksges adatokat.Nos, csak ezutn pontostja mondanivaljt. Folyrssal utast arra, hogy az gykonkretizlt kpbl melyik rszletre kvncsi, mit kell kiszmolni.Mindkt pldban ezek utn a szmolsi menetek kvetkeznek, majd mindktpldban megdicsr a feladat helyes megoldsrt. Figyelem, nem a helyeseredmnyrt, a 10. feladatban meg sem ismtli a kosrrmretre vonatkozeredmnyt, nem, a nvelsa feladat helyes elvgzsrt jr.Ennyi azonossg utn azt is megllapthatjuk, hogy tanrunk nemcsak pontos, derendszeret ember is volt.Az egyiptomiak a szakirodalom lltsa szerintkit n fejszmolk voltak.Erre utal a cmben szerepl fejben szmt visszatr nyitny is. Rszleteselemzsnk sorn mr jeleztk, hogy a kzvetlen olvasat mlyebb rtelme alapjna valaminek a szmtsa modern stilizlssal ltnk, mert a mai szmtgpesvilgban mr szinte elkpzelhetetlennek tartjuk, hogy valaki fejben szmolva a 8kilencedelsekor a2 / 3, 1 / 6, 1 / 18 eredmnyre jusson. Ha jl meggondoljuk, azrt ez


29/53


egyltaln nem volt lehetetlen. St, olcs papr, rsra alkalmas felszn hinybanmg az is elkpzelhet, hogy sz szerint kell vegyk a cmben szerepl utastst.Knnyen elkpzelhet, hogy tanrunk mindezt agytornnak sznta. Erre utal aszmols menetnek itt-ott kisiskols mdja is, t.i fejszmolsnl csak kisebblpsekkel haladhatunk:Fejben szmt csonka glt vagy Fejben szmtkosarat.

rdemes ismt megemlteni a szakirodalom fordtsainak eltrseit.Struve Form der Berechnung einer cmmel ltta el a feladatainkat, mg Peet azExample of working out meghatrozst ltta inkbb elfogadhatnak. Gillingsszerint a kezd jelek a Method of calculating a jelentssel brnak, mgHoffmann egyszeren a Berechnung einer-nl maradt. Williams napjainkbanPeet s Gillings meghatrozsait tvzve az Example of calculating a szvegetltja helyesnek.A msodik sor mindkt pldnkbana mrj magadnak! felszltssal kezddik.Struve megjegyzse szerint az egsz papiruszon csak hrom feladat tr el ettl.A 19-es s a 25-saHafeladatok, valamint egy a pSw pldkbl, a 13-as. (rdemeslenne ezekkel egyszer mg kln is foglalkozni.) Ms szval 23 esetben kezddik amsodik sor a hivatalos transzliterci szerintmj Dd nk jelekkel, amirl a rszletestrgyals alkalmval mr megllaptottuk, hogy archaikus rtkvel olvasva amr-jkd-nk = MR-J (m)aKaD-NaK magyar nyelv utastsnak felel meg.Meggyzdsnk szerintsi, megcsontosodott jelcsoportrl van sz, minden esetre jval rgebbi idbl szrmazik, mint maga a papirusz.Tekintve, hogyseink szmtsi mdszereit a nemes egyszersg jellemezte, csak-gy, mint a mai hziasszonyok szakcsknyveit, ez utbbiakat minden srt szndk nlkl prhuzamba llthatjuk az ottani kezd sorokkal. Vgy 10 tojst!Ami a paramtereket, a kzbls szveget, valamint a szmolst magt illeti, azalbbiakban rszletesen is ttekintjkket, itt inkbb a szerkezeti azonossgokatfigyelembe vve a zr szavakra irnytjuk figyelmnket. A szakirodalom szerintitt (n)dicsretrl van sz, ha megtalltam a j eredmnyt, akkor dicsretet

rdemelek. A rszletes trgyals sorn elemeztk a nefer jel magyarhangzstst. A vele azonos magyar sz vza a N-V-L, amitnvel, dicsr ,valamintnevel rtelemben is olvashatunk. Ez utbbi kzvetlenl kapcsolhat acmben olvasott fejszmolshoz, ennyi gondolkozs, fejszmols bizonyra nevel hats lehetett.

enGeM MeK-NeVeL VeLe.Engem megnevel vele.


30/53


Elkpzelhet, hogy ezek a befejez jelek llhattak pldul a mg ma is hasznltlatin nyelv matematikai zrszavaknl: quod erat demonstrandum, ezt kellettbizonytani.

Mindkt ltalunk trgyalt feladat vilgos ptkezs, szablyos rendszer szerintsszelltott szveges pldt eredmnyezett, s mind ttekinthet rendszere, mindtiszta gondolatmenete segtsgnkre volt a szveg olvassakor.

A paramterek meghatrozsa mindkt pldnkban hasonl. A 14-es pldbanmegadott lek mrete utn a velk vgezhet alapmveleteket is kzvetlenlmegkaptuk. Lsd a ngyzetre emelst s a szorzst : a2, b2, ab. Mesternknekminden bizonnyal nem llt szndkban a plda megoldkplett kzelebbrl ismegvilgtani. A 14-es feladatban teht adatokat s flksz szmokat kapunkajndkba, mieltt tanrunk meghatrozn a szmols pontos cljt.A 10. feladatban ugyanezen a helyen ll paramter az idegen ajkaknakismeretlen maradt, szmolsuk gy nem vezethetett a feladat korrekt megoldshoz.E.T. Peet s kveti jl reztk, valban ott ll az elttk titkt megrz tp-r paramter, magyar olvasata szerint a fejnagysg. Erre mr korbban rszletesenkitrtnk. A msodik paramter megadsa utn itt is kiegszt informcikkalszolgl.Mrj magadnak kosarat, ami ilyen s olyan nagy, valamint s itt jnnek a

flksz llapothoz szksges tovbbi adatok. Pldul: negyed-fl hekthordnaknevezzk.Itt sem trgyalja ezt tovbb, csakgy, mint a 14-es feladatban a megoldkpletet,hanem tovbb lp, s hasonlan a 14-es pldhoz, most mr pontosan megmondja,hogy nem babra megy a jtk, itt valami jat, szokatlant mutatok be: Adok el rsom, (a magyar) marht cskoz. Megmutatom, hogy az rsom (?) (a magyar,azaz az igazmond) hogyan szmol (kr)terletet.A 14-es feladatban pedig a 7. sorban jelzi valdi szndkt: szmolok tmedket,rtartalmat. Nos, ezek utn logikailag elfogadhatatlan jabb paramterek belltsa. Gondolunk itt a 10-es feladat 5. sorban jelentkez 9-es szmra. A 9 nem a pldaparamtere. Nem is lltotta ezt tanrunk; innen kezdve mr csak szmol, smegdicsri kvet jt. A szmolsa hellyel-kzzel elemi iskols nvra engedkvetkeztetni lehet, hogy fejben szmoltatott , viszont logikai menete mindktpldban kvetkezetes.Ha kpzeletnk szrnyn 4000 vet visszareplhetnnk, akkor esetleg azt ltnnk,hogy tanrunk az osztly eltt llva igyekszik kisdikjainak a pldiban szerepl szmolsokat, alapmveleteket, a 10-es feladat szerint az alapkr fogalmtmegtantani, ezrt segtsgkppen, flksz llapotban elre megadja a leckenehezebb rszeit, a bonyolultabb idomok szmolshoz szksges adatokat.


31/53


Visszatrve a valsgba csak annyit tudunk megllaptani, hogy bizonyos kettssgtapasztalhat a szmols folyamn, ez adott okot aztn szmos egyiptolgusnak,matematikusnak, fizikusnak elhamarkodott kvetkeztetsek levonsra. Kzismerttny, hogy vagy az egekig magasztaltk azsi Egyiptom matematikai tudst, vagylekicsinyl kzmozdulattal intztk el a stemnyek felosztst, magtraktrfogatnak szmolst. Kzputat kevesen ismertek.Az si szmols sajtossgaira mr rszletesen kitrtnk. Itt csak sszefoglalvamegismteljk, hogy szorz-oszttblkat hasznltak, a trteket is a2 / 3 kivtelvel leegyszerstettk egyes szmllj trtt. A (8 / 9)2-t hasznltk a krszmtshoz, ami a 3,1605-s

negyedeknt foghat fel. A kr egyszer

szmolshoz a 9-es szmot hasznltk, gy az els 8/9-del trtn szorzskoregsz szmot kaptak, a 8-at. A msodik8 / 9-del trtn szorzs eltt viszont azalapkrhz viszonytott eltrseket a 8 egysgnyi cskkentsvel, illetvenvelsvel kompenzltk. Az MMP alapkre 3 tenyr tmr j.A mrtkegysgek arzenljbl csak atenyr s azujj mretvel tallkoztunk, amitkiegszthettnk a fejegysg fogalmval, mreteivel is.

Szmolsuk nyelve magyar volt.

Igen, a szmolsnak is van nyelve! Tartalmt tekintve a szmols akr a npekkzs kincsnek tekinthet, lebonyoltsi technikjt tekintve viszont nyelvhez

kttt. Mg abban az esetben is, ha fejben, csndben szmolunk, magunkbankimondjuk, hogy pl: ngyszer ngy az tizenhat. Bizonyra sokak eltt ismert tny,hogy szmolni s imdkozni csak az anyanyelvnkn tudunk. Legtbbnknekidegen nyelven szmolni ksz knszenveds. Azsi szmols terminolgijatermszetesen nem lehet azonos a maival. Pldink rszletes trgyalsa sorn mrelemeztk a terminolgiai azonossgokat; itt azrt felsorolsuk mellett annyit mghozzf ztnk, hogy ezekben az azonossgokban magyar nyelv olvasatunk tovbbialtmasztst ltjuk.

A pr (118-119, 124-125), akpezl/kapol (76-79, 99-101), aszmolok-jrok (47-52, 89-94, 107-112, 133-138), a szapora (140-142), adolni (55-56, 95-97)fogalmak jelei mindkt feladatban azonosak. A mr ige a mai hasznlatvalazonos. A hangzstsi prja, azemel, azonos akpez fogalmval. Ahr sz amagassg, a trben tvels fogalmt jelenti. Azarc jele a felszn. Azsszeadst azegymsrahnyni, felraks szval fejeztk ki.

jdonsgnak szmtanak a 10. feladatban: a fejmret (19-22), a nagysg (21-22),az le/ere (23), azigaz/fl(25, 67, 144), anegyed (27-28), ahord (31-32), azarc (57), a felszn, azaz ruht cskoz(41-46), azntet/menet (59-61, 116-117), avegyetek, vetek, fogy (84, 113), valamint azsszeg, zr (122-123) jelei.


32/53


A szmolni ige valsznleg azsi szm s lek szavakbl alakult ki. Lsd a szem-szj jeleket SZeM-LeK = SzM-LeK =szmolok.

Az rtartalom kifejez terminust atmd ki, tmedk tall igvel, nvszvalkpeztk (14-es plda) .A mennyisget mg m hang nlkl rtk:ennyisg, ennyi-sok. Az n hieratikus jele angy, a nyolc, s ponttal a kzepn anegyven rtkkelszerepel.

sszefoglalva megllapthatjuk, hogy az si egyiptomi szmolshoz tisztnmagyarul cseng szavakat hasznltak, s ezek a szavak, br mai hasznlatukkiss eltr a rgit l, rtelmkben meg riztk si jelentsket.Az MMP olvassval kit ztt clunkat, a hieroglifs s hieratikus jelek eddigimagyar nyelv olvasatnak ellen rzst befejezettnek tekinthetjk. Olyanfeladatok segtsgt vettk ignybe, ahol a szmols menete, mint tovbbibizonytsra nem szorul, ismert tnyez mr rendelkezsnkre llt, gymagyar olvasatunk helyessgnek tartalmi oldalhoz nem frhetett ktsg.Nyelvszeti krdsek bizonytsra a matematika szigor mdszereikzvetlenl nem hasznlhatk, mgis meggy z dhettnk arrl, hogy a logika,a matematika s a jzan sz a trgyalsra kerlt pldink elemzsekor

egysgg forrt ssze, tvzetk tagadhatatlanul a mi koncepcinkat, azagglutinl, szintetikus ptkezs , fonetikus rs nyelv jelenltt tmasztjaal.Meggy z dhettnk arrl, hogy j ton haladunk, ha megllaptjuk, hogy az si egyiptomi rs alapja a magyar nyelv se volt. S t, azt tapasztaltuk, hogyaz egyik pldt a magyar nyelv ismerete nlkl nem is lehetett megoldani, gyannak fordtsa eddig csak helytelen eredmnyre vezethetett.


33/53



34/53


35/53

35

35

VII. Hogyan tovbb?

nyvnkben az MMP feladataibl csak a kt legismertebb pldttrgyaltuk. Megrtshez, magyar nyelv olvasshoz tbb vezredhomlyn keresztl mly kutat kellett snunk, rrakdott, megkvesedett

rtegeket kellett eltvoltanunk. Fradozsunk nem volt eredmnytelen, mert ebbena hihetetlen mlysgben vizet talltunk, azsnyelv tiszta vizt. Az MMP pldinaktrgyalsa sorn arra is rmutattunk, hogy ez azsnyelv a Nlus vlgybenmagyarul hangzott. Termszetesen a mai magyar nyelv helyett annak csaknemminden rszletben jl kvethet, szhasznlatban, nyelvtani szerkezetben,ptkezsben tkletessre bukkantunk.A nyelvszeti genealgia azsnyelvre nem vonatkozhat, ms szval azsnyelvszrmazst nem szksges bizonytani. sszehasonltani is csak a vele csaknemegyids, msik agglutinl nyelvvel, a sumrral lehetne. Ez nem tartozik kzvetlenfeladataink kz. Knyvnkben a lingvisztika ler gval, a sztannal, anyelvtannal, a hangtannal s f leg a nyelv rgztsvel, az rssal foglalkoztunk.Megllaptottuk, hogy ez azsnyelv szmunkra tkletesen rthet magyarszavakat hasznlt, tisztn agglutinlt, szintetikusan ptkezett, hangtant tekintve amai magyar nyelvvel csaknem azonos volt, valamint fonetikus rssal rendelkezett.

Mindez nem lehet vletlen.Feladatunk a magyar nyelv segtsgvel azsnyelv tovbbi feltrsa.

Felmerl a krds:hogyan tovbb?

Clszer utunkat kt irnyban is folytatni. Egyrszt jabb kutakat kell sni, azstengert, azsnyelvet tbb helyen is megszondzni, ms papiruszok, sztlk,feliratok olvassval foglalkozni, msrszt a mr meglv utat tovbb szlesteni,ismereteinket bvteni, pontostani. Ide sorolhat az MMP tovbbi feldolgozsa is.Korbban mr szltunk arrl, hogy tbb ves munka szksges az MMP pldinakteljes megismershez, feltrshoz. A nehzsgek, az akadlyok sorban els helyen a papirusz srlse ll. A pldk nagy tbbsge folytonossgi hinyokatmutat, kevs kivtellel ide tartozik az ltalunk is trgyalt kt plda pontostolmcsolsuk lehetetlen. A tovbbiakban szles kutatmunkt ignyel magyarnyelv olvasatunk rtkelse is. Gondolunk itt a tbbi kztt a kultrtrtnetifeltr munkn kvl szmtani, geometriai fogalmak meghatrozsra, mveletekkvetsre, ismeretlen mrtkegysgek bevezetsre, pontostsra. Mindezszksgszeren tovbbi szvegek olvasshoz, feltrshoz vezet. kes plda errea knyvnkben emltett, ugyancsak matematikai szveget tartalmaz RMP tekercs.

K


36/53


37/53

37

37

FGGEL

I/a Az MMP 14. fel

K

adata, XXVII. szelvny


38/53

I/b Az MMP 14. eladata, XXVIII-XXIX. szelvny

Fggelk


39/53

II/a Az MMP 10. feladata, XVIII. szelvny

Fggelk


40/53

II/b Az MMP 10. feladata, XIX-XX. szelvny

Fggelk


41/53

Fggelk

III. A knyvnkben trgyalt ms nyelv fordtsok

1.

W.W. Struve Aufgabe Nr. 14. Kol XXVIIXXIX,

Kol. XXVII.

1.

Form der Berechnung eines Pyramidenstumpfes,2. Wenn man dir nennt einen Pyramidenstumpf von 6 (Ellen) von der Hhe(Flche)

3. Zu 4 (Ellen) auf der Unterseite, zu 2 auf der Oberseite.4. Rechne du mit dieser 4, quadriert (als Vorbergehendem). Es entsteht 16.5. Verdoppele du 4. Es entsteht 16.6. Rechne du mit dieser 2, quadriert (als Vorbergehendem). Es ensteht 4.

Kol XXVIII.

1. Addiere du zusamman diese 16

2.

Mit dieser 8 und mit dieser 4.3. Es entsteht 28. Berechne du4. 1 / 3 von 6. Es entsteht 2. Rech-5. ne du mit 28 2 mal. Es ensteht 56.6. Siehe: er ist 56. Du hast richtig gefunden.

2.

Aufgabe Nr. 10. Kol XVIII-XX

Kol. XVIII.

1. Form der Berechung eines Korbes (nb.t )2. Wenn man dir nennt einen Korb mit einer Mndung(tp-rA) 3. Zu 41 / 2 in Erhaltung Oh!4. La du mich wissen seine (Ober)flche. Berech-5. ne du1 / 9 von 9, weil ja der Korb (nb.t ) 6. die Hlfte eines Eies ist. Es entsteht 1.


42/53

Fggelk

Kol XIX.

1. Berechne du den Rest als 8.2. Berechne du1 / 9 von 8.3. Es entsteht2 / 3 1 / 6 1 / 18. Berech-4. ne du den Rest von dieser 8 nach5. diesen2 / 3 1 / 6 1 / 18. Es entsteh/t/ 71 / 9.

Kol XX.

1. Rechne du mit 71

/ 9 41

/ 2 mal.2. Es entsteht 32. Siehe. Es ist eine (Ober)flche.3. Du hast richtig gefunden.

3.

T. Eric Peet Problem No. 10.

If the figure were a semicircle the translation would run:

I. varins:1. Example of working out a semicircle2. If they say to you, A semicircle < of 9 > in diameter3. by 41 / 2 in height, pray4. let me know its area. You are to5. take a ninth of 9, since a semicircle6. is half a (circle), result 1.7. Take the remainder, namely 8.8. You are take a ninth of 8.9. result2 / 3 + 1 / 6 + 1 / 18. You are to take

10. the remainder of 8 after (subtracting)11. the 2 / 3+ 1 / 6 + 1 / 18, result 71 / 9.12. You are to take 71 / 9 41 / 2 times,13. result 32. See, this is its area.14. You will find it correct.


43/53

Fggelk

II. varins:1. Example of working out a semi cylinder2. If they say to you, A semi-cylinder < of 41 / 2 > in diameter3. by 41 / 2 in height, pray4. let me know its area. You are to5. take a ninth of 9, since a semi-cylinder6. is half a (cylinder), result 1.7. Take the remainder, namely 8.8. You are to take a ninth of 8.9. result2 / 3 + 1 / 6 + 1 / 18. You are to take

10. the remainder of 8 after (subtraction of)11. the 2 / 3+ 1 / 6 + 1 / 18, result 71 / 9.12. You are to take 71 / 9 41 / 2 times,13. result 32. See, this is its area.14. You will find it correct.

4.

F. Hoffman: bersetzung

18. 1 Form der Berechnung einer nb.t:2. Wenn man dir nennt einenb.t < von 4 > (Maeinheiten) als Mndung3. Auf 4 ( Maeinheiten) als Lngskante bitte4. La mich ihre Flche wissen! Du sollst5. Dann1 / 9 von 9 ermitteln denn was einenb.tanbelangt, 6. So ist sie die Hlfte eines Scheffels ergibt also 1.

19.1 Du sollst dann den Rest als 8 ermitteln,2. Du sollst dann1 / 9 von 8 ermitteln,3. ergibt also2 / 3 +6 +1 / 18. Du sollst4. dann den Rest von dieser 8 nach5. diesem2 / 3 + 6 +1 / 18 ermitteln; ergibt (al)so 71 / 9.

20.1. Du sollst dann 71 / 9 4 Mal nehmen (wrtlich mache);2. ergibt also 32. Siehe, das ist ihre Flche.3. Du hast richtig gefunden.


44/53

Fggelk

IV. Az MMP-n szerepl fonmk

Mint azt mr korbban megjegyeztk, a papirusz szmos jelt nem a Kzp-birodalom szoksos fonetikjval kell olvasni, csak az archaikus hangrtkekadnak vlaszt az egyenes, kzvetlen olvasatra. Az albbiakban mellkeljk RainerHannig csoportostst az archaikus s a kzpbirodalmi hangrtkek eltrsrl.Lsd a Gro es Handwrterbuch gyptisch-Deutsch (2800-950 v. Chr.) XLV-XLVII. oldalain.Graphonemrelationen im lteren gyptisch:

1. Az abc

< p > Standard: / p /, selten < p-f-pf>

< t > Standard: / t /

< T > Standard: / /, ( CS ) selten< T-kT >

< k > Standard: / k /

< d > Standard: / t tt t /

< D > Standard: / q qq q / bis I./II Dyn.

< q > Standard: / q qq q / seit II. Dyn.

< b > Standard: / b /, selten

< a > Standard: / d /, daneben < a~~ z~z/s >

< j > Standard: / j /

< g > Standard: / g /

< f > Standard: / f /, selten (AR)

< z > Standard: / s /, daneben< z >

< s > Standard: / /

< S > Standard: / x / bis sptes AR.


45/53

Fggelk

< H> Standard: / x /

< x > Standard: / y /

< m > Standard: / m /

< n > Standard: / n / selten /n / aus L

< r > Standard: / l / ausl

< A > Standard: / r /

< w > Standard: / w /

< h > Standard: / h /

=

= m

= n

= ti

A szgek kztti jelek a Kzp-birodalom transzlitercijt jelentik, a vastagonszedettek az -birodalom, ill. az archaikus kor jeleli. Tekintve, hogy nhnyhelyen eltrnk ettl a rendszertl, ezeket a vltozsokat is kzljk:

< x > = k kk k

< w > =u/o/, de sohasemv < f > =v, ritkn f


46/53

Fggelk

2. A kt mssalhangzs jelek transzlitercijaA. Gardiner szerint (vlogats)

Aw

wr

ms

Hn

sw

t i

Ab, mr

wD

mt

Hr

sn

tmiw

bA

mwt

Hs

sk

tA

im

bH, Hw

ni

HD

st

DA

in

pA

nw

xA

SA

Dw

ir

pr

nwxa

Sn

Dr

is

pH

nb

xw

Ss

Dd

aA

mA

nm

xt

Sd

aq

mi

nn

XA

qd

aD

minH

Xn

kA

wA

mw

ns

Xn

kAp

wa

mn

nD

Xr

km

wp

mr, mi

rw

sA

gm

wn

mr

HA sA

gs

wn

mH

Hm

sA

tA

A felsorols tvolrl sem teljes, a Kzp-birodalmi szvegekben a leggyakrabbanaz itt felsorolt tbb mint 80 jel fordul el.


47/53

Fggelk

3. A hrom mssalhangzs jelek kzl csupn kett vel tallkozunkknyvnkben:

anx nfr.

A korbbiakban mr jeleztk, hogy ezek az rtkek a hivatalos Kzp-birodalmihangzstssal azonosak.

V. K. Vogel s Gillings diagrammjaia kr egyiptomi szmolsrl

A jobboldali fels kp Gillings szerint:Vogels diagram of the inscribed octagon ofProblem 48 of the RMP. (K. Vogel:Vorgriechische Mathematik , Vol.1.)


48/53

Fggelk

VI. Az RMP 41-42-43-48-50. feladatainak a kr szmolsravonatkoz rszletei

Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind des British Museum) bersetzt und erklrt von Dr August Eisenlohr

Knyvnkben hivatkoztunk az RMP letkorra, feladataira, az MMP s az RMPsszefggseire. Tekintve, hogy az RMP feladatai kztt legalbb 5 plda a krszmolsval is foglalkozik, mellkeljk az ide vonatkoz rszleteket a fentemltett szerztl. Tesszk ezt azrt is, mert az RMP elemzsvel itt nemfoglalkozhatunk, viszont a krre vonatkoz adatai, ismeretei a kt papiruszesetleges idrendi eltrse ellenre prhuzamba llthatk az MMP ide vonatkoz10. feladatval.


49/53

Fggelk


50/53

VII. Egyptian G

Pythagorea

They are created andUn. Buffalo.

An alternate conjecturethat the area of a squardiameter 9.

Rhind papyrus Pro

The written solution saarea is 8 multiplied bunless we make use ofd/4. Now assume 64+ 1 / 27 + 1 / 81 is a numbthan 3 +1 / 3 + 1 / 17 + 1 / 160

ometry Determining The Value OfTheorem

aintained by Scott W. Williams professor of

exhibiting the value of is that the Egyptians easi8 unit on a side can be reformed to nearly yiel

lem 50. A circular field has diameter 9 khet. What is

ys, subtract 1/9 of of the diameter, which leaves8, or 64 setat. Now it would seem somethin

modern data: The area of a circle of diameter9/ 4 = 81 / 4, then = 3 +1 / 9 + 1 / 27 + 1 / 81 < 3.1605

r, presumably, intrinsically more pleasing to th.

Fggelk

he

athematics

ly observeda circle of

its area.

8 khet. Theis missingis (d/2) =

. But 3 +1 / 9 Egyptians


51/53

VIII. R. de Jonge, G. Ijzereef: De steenen spreken, 19

Fggelk

96


52/53

85

85

Bibliogrfia

Archibald, R.C.: Isis. 16 O 154 (1931)Bakos, F.: Idegen szavak s kifejezsek sztra,

Akadmiai Kiad. Budapest, (1974).Barth, T.: A magyar npek strtnete,

Franklin Park USA, (1993).Eisenlohr, A.: Ein Mathematisches Handbuch der Alten Aegypter

(Papyrus Rhind des British Museum), bersetz und erklart,Leipzig, (1877).

Gardiner, A.: Egyptian Grammar ,Third Edition, Griffith Institute Ashmolean Museum, Oxford,(1996).

Gillings, R.J.: Mathematics in the Time of the Pharaohs. New York, (1982).

Gillings, R.J.: The Area of the Curved Surface of a Hemisphere in AncientEgypt . In: Australian Journal of Science, Vol 30, No 4,

(1967).Gunn, B.: The Journal of Egyiptian Archaeology 15 pp 167-185, (1929).Hannig, R.: Gro es Handwrterbuch gyptisch-Deutsch

(2800-950 v. Chr.), Verlag Philipp von Zabern, Mainz, (1995).Hoffmann, F.: Die Aufgabe 10 des Moskauer Mathematischen Papyrus,

Zeitschrift fr gyptische Sprache und AltertumskundeBand 123, 19-26, Heft 1, (1966).

Kkosy, L.: Az kori Egyiptom trtnete s kultrja,Osiris. Budapest,(1998).

Kiss, D.: Bbel el tt , Miskolci Blcssz Egyeslet, (1999).

Labat, R./ Manuel d pigraphie Akkadienne,MalbranLabat: Librairie Oriantaliste P. Guutner, S.A,. Paris, (1995).Mller, G.: Hieratische Palographie

(Neudruck der zweiten verbesserten Auflage 1927)Osnabrck, Otto Zeller, (1965).

Neugebauer, O.: Egyptian Astronomical Texts I ,Brown University Press and Lund Humphries, London,(1960).


53/53

Fggelk

Peet, T.E : The Journal of Egyiptian Archaeology 17, (1931) A problemin Egyptian Geometry, Review of Stuves Translation of the Moscow Mathematical Papyrus pp 100-106, 154-160.

Ray, D.J., The Emergence of Writing in Egypt ,World Archeology 17 (n.3), (1986).

Sain, M.: Nincs kirlyi t! Matematikatrtnet.Gondolat, Budapest, (1986).

Satzinger, H.: Das gyptische < ALEPH> Phonem, Zwischen den beidenEwigkeiten, 191-205, Festschrift G. Thausing, Im Eigenverlagdes Institutes fr gyptologie der Univ. Wien, (1994)

Simonyi, K.: A fizika kultrtrtnete,Akadmiai Kiad , Budapest, (1998).

Struve, W. W.: Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums derSchnen Knste in Moscau,Berlin, Verlag von Julius Springer, (1930).

TESZ: A magyar nyelv trtneti-etimolgiai sztra,Akadmiai Kiad, Budapest, (1976).

Varga, G.: A szkely rovsrs eredete,rstrtneti Kutat Intzet, Budapest, (1998).

Williams, S. W.: Mathematicians of the African Diaspora, [email protected]. Internet, (1997).

Documents

Dr. Borbola Janos Olvassuk Egyutt Magyarul II