dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20071

Samenvatting week 8• Begrippen:• rotatie: vector notatie

richting: draaiingsas hoeksnelheid: omega, rad/s

• koppel (torque) – vector product

geeft hoekversnelling.

• Traagheidsmoment (moment of inertia) gedefinieerd t.o.v. een as traagheid voor draaiing

• parallelle assen stelling• kinetische energie

r F

I

2CMI I Mh

2 21 1

2 2cmK mv I

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20072

kinetische energie• Wereldrecord hoogspringen: Sotomayor 2.45m

(1993) gymnasten: tot 4m hoog patterson humphrey

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20073

Voorbeeld: uitgebreid systeem• vrije staaf, kracht op 1

punt draaien, bewegen hoe beweegt dit systeem

na een kleine stoot

• eenvoudiger voorbeeld: 2 puntmassa’s met een dunne staaf of een dun touw ertussen

• kracht, kinetische energie?

• bekijk als 1 systeem en als 2 losse systemen.

F

m

mLF t

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20074

1 //

2 //

1 1

2

2222 2

1 2

2

2 systemen:

1

21

21

ˆ ˆsin cos2

1ˆcos

2

1 cossin 2 1 sin

2 4 4

2 : ,4cm

F F F

F F

p F t F ty F tx

p F tx

F tK K K F t

m m

F tdeeltje m p F t K

m

analyse in 1 en 2 systemen

F

m

mL

221

22 2

sinˆˆ (z uit scherm naar je toe)

2

2sin

ext

ext

CM

ext

LI m mL

F F

FLr F z

Fa

md F

dt I mL

2 22

22 2

:

sinˆ,

2 2

1 1 1 sin2

2 2 2 2

sin

4 4

Korte tijd t

CM

F t F tv t z

m mL

F t F tK m mL

m mL

F tF tK

m m

F

m

F

//F

2 //

1

2F F

verschillende : gelijk, maar niet!F t W K F x

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20075

Voorbeeld: blokken• katrol: traagheidsmoment I• touw: slipt niet• m1: wrijvingsloos• Let op! spankracht in touw

niet constant!1 1

2 2 2

2 1

T m a

m g T m a

T R T R I

a

R

2 1 2

2 1 2 2 1

2 1 22

2

2 1 2

( )

IaT T

Rm a m a m g T T

Iam m a m g

Rm g

aI

m mR

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20076

Impulsmoment (angular momentum)

• Hoeveelheid draaibeweging: impulsmoment analoog aan impuls voor

lineare beweging

ook hoekversnelling analoog:

L r p

2( )r v

r v

L r p mr v mr r mr

L I

dL d dr dpr p m v r r F

dt dt dt dt

dLI

dt

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20077

impulsmoment: definitie as• impulsmoment: loodrecht op r. Dus afhankelijk

van keuze oorsprong.

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20078

Systemen• Uitgebreide

systemen: L weer afhankelijk van coordinaatkeuze.

• baanimpulsmoment : orbital angular momentum

• spin : om eigen as

sysext

sys spin baan

baan CM CM

dL

dt

L L L

L r p

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20079

Assen• z-component koppel is z-component uitproduct:

z xy xy x y y xzr F r F r F r F

zz z z z

dL dI I

dt dt

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200710

Voorbeeld: impulsmoment• vindt de hoekversnelling en de lineaire versnellingen,

gebruik makend van impulsmoment

• opmerking: impulsmomenten 1 en 2 staan parallel, bij 2 is zowel v als R van richting omgekeerd• opmerking: op deze wijze hoef je niet de tension T uit te rekenen.

1 2

1 2

21 2 1 2 1 2

1 2

1 2

ˆ

1

2

12

ext

ext

z

dL

dt

m m Rgz

L I m vR m vR

am m Rg I m m Ra MR m m Ra

Rm m

a gM m m

2 22 2 2 21 2

1 2

1 2

21 2 1 2

( )1 1 1( ) ( )( )

12 4 22

1( ) ( ) ( )

2

m maK t m m at MR t g t

R m m M

W m m g h m m g at K t

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200711

tol, gyroscoop• stabilisatie

vliegtuig satelliet

ext

ext CM

s s

dL

dtr Mg

L I

precs s

dL dt MgDdt

dL MgDdtd

L Ld MgD MgD

dt L I

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200712

Hubble• 4 vliegwielen, 45kg, tot

3000 rpm• 0.005 boogseconden

precisie een haardikte op 2 km

afstand. baan om aarde: 0.005

boogseconden in 20 microseconde tijd

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200713

Behoud van impulsmoment• fundamentele natuurwet

atomen: schillenmodel b.v. pirouette

• interne koppels heffen elkaar op: actie is reactie

0

sysext

ext sys

dL

dt

L const

1 2 21 1 12 2

21 12

1 2 21 1 2 12 120 //

F r F r

F F

F r r F r

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200714

Roterende schijven• impulsmoment

behouden

• mechanische energie niet behouden : inelastische botsing

1 2 1

1

1 2

( ) f i

f i

L const

I I I

I

I I

2

2 21 11 2

1 2 1 2

1 1

2 2f f i i

I IK I I K

I I I I

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200715

voorbeeld: tafel

0 0

00

2 2

3

2 2

3 2 20

0 0

1 1

2

f f

ff

r r

fr r

Lmv m r

r

dLr T

dtr

v vr

mv LT

r mr

L LF dl dr

mr m r r

1) T staat parallel aan r2) T levert centripetale kracht3) L= constant: geen koppel4) arbeid: F.dl = -T.dr

dl dr

2 2 2

2 20

2

2 20

,2 2 2

Controle

1

2

:

1

f if

f

L L LK K

I mr mr

LW K

m r r

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200716

Voorbeeld: schijf om as• Geen wrijving, geen arbeid:

kinetische energie behouden! anders dan bij vorig voorbeeld!

Merk op: kracht grijpt niet centraal aan op as!

2

2

20 0

0 20

2

schijf

ff

LK

I

I I Mr

I MrL L

I Mr

r

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200717

Quantisatie• quantummechanica:

• Atoom: elektronen bewegen in schillen met vast impulsmoment.

• Standaardmodel: elementaire deeltjes: fermionen, spin ½ (Pauli principe) Electrozwak: leptonen: elektron,

neutrino,... sterk+electrozwak: quarks spin 1/2

• interacties door uitwisseling bosonen (deeltjes met heeltallige spin): willen in zelfde golffunctie zitten EM: foton spin 1 sterk: gluon spin 1 zwak : W,Z boson spin 1 gravitatie: graviton (?) spin 2

( 1) 0,1,2,...

, 1,....,

1 3( 1) , 0, ,1, ,...

2 2

z z

L l l l

L m m l l l

s s s s

2 2

( 1)2 2

LK l l

I I