Dr. Serkan Aksoy - KDFT Ders Notlarıabl.gtu.edu.tr/dosya/102/~saksoy/Lecture Notes/Lecture... · 2020. 2. 12. · yakınsaklık katsayısı hesabının yapılması için d’Alembert

Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Dr. Serkan Aksoy

Kompleks

Değişkenli

Fonksiyonlar

Teorisi

Ders Notları

Dr. Serkan Aksoy

Bu ders notları Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi (Prof. Dr. Mithat İdemen), 1992 kitabı temel alınarak,

hazırlanmıştır. Gelecek önerileri için, lütfen Dr. Serkan Aksoy ([email protected]) ile temasa geçiniz.

mailto:[email protected]


İçindekiler

1. KOMPLEKS DÜZLEM ------------------------- 3

1.1. Kompleks Sayılar ------------------------------------------------------------------------------------------ 3 1.2. Metrik ve Limit Kavramı -------------------------------------------------------------------------------- 3

2. KOMPLEKS FONKSİYONLAR -------------- 3

2.1. Kompleks Düzlemde Bölgeler ------------------------------------------------------------------------- 3 2.2. Kompleks Fonksiyon & Riemann Yüzeyi ----------------------------------------------------------- 4

2.2.1. Kare Fonksiyonu ve Tersi ------------------------------------------------------------------------------------ 4 2.2.2. Üstel Fonksiyon ve Logaritma ------------------------------------------------------------------------------ 4 2.2.3. Cos ve ArcCos Fonksiyonları -------------------------------------------------------------------------------- 5 2.2.4. Sin ve Arcsin Fonksiyonları ---------------------------------------------------------------------------------- 5 2.2.5. Dallanma Noktası ve Mertebeleri -------------------------------------------------------------------------- 5

3. KOMPLEKS TÜREV ---------------------------- 5

3.1. Süreklilik Kavramı ---------------------------------------------------------------------------------------- 5 3.2. Fonksiyonun Türevi -------------------------------------------------------------------------------------- 5 3.3. Regüler Fonksiyon & Cauchy Denklemi ------------------------------------------------------------ 5 3.4. Reel ve Sanal Kısımların Harmonikliği ------------------------------------------------------------- 6 3.5. Reel – Sanal & Sanal – Reel Kısım -------------------------------------------------------------------- 6 3.6. Konform Dönüşüm - Geometrik Anlam ------------------------------------------------------------- 6

4. KOMPLEKS İNTEGRAL ----------------------- 6

4.1. Eğrisel Ġntegral --------------------------------------------------------------------------------------------- 6 4.2. Cauchy Teoremi & Yola Bağımlılık ------------------------------------------------------------------- 6 4.3. Ġntegralin Temel Formülü ------------------------------------------------------------------------------- 7 4.4. Ġntegral Limit Değeri (Jordan Teoremi) -------------------------------------------------------------- 7

5. CAUCHY FORMÜLÜ --------------------------- 7

5.1. Sonlu & Sonsuz Bölge Cauchy Formülü ------------------------------------------------------------ 7 5.2. Regüler Fonksiyonun Türevi --------------------------------------------------------------------------- 7 5.3. Rezidü Kavramı -------------------------------------------------------------------------------------------- 7 5.4. Sonsuz Serilerin Toplamı ------------------------------------------------------------------------------- 8 5.5. Kaldırılabilen Türden Tekillikler --------------------------------------------------------------------- 8 5.6. Liouville Teoremi ------------------------------------------------------------------------------------------ 8 5.7. Maksimum Mutlak Değer Ġlkesi ---------------------------------------------------------------------- 8 5.8. Ortalama Değer Teoremi -------------------------------------------------------------------------------- 8 5.9. Weierstrass Teoremi -------------------------------------------------------------------------------------- 8 5.10. Taylor Serisi ----------------------------------------------------------------------------------------------- 8 5.11. Laurent Serisi ---------------------------------------------------------------------------------------------- 9 5.12. Tekil Noktası & Fonksiyon Sınıfları ---------------------------------------------------------------- 9 5.13. Mittag – Leffler Formülü ------------------------------------------------------------------------------- 9 5.14. Parametreye Bağlı Ġntegraller ------------------------------------------------------------------------- 9 5.15. Fonksiyon Sıfırlarının Sayısı ------------------------------------------------------------------------ 10

6. TAM FONKSİYONLAR ---------------------- 10

6.1. Weierstrass Formülü ------------------------------------------------------------------------------------- 10 6.2. Tam Fonksiyonun Mertebesi -------------------------------------------------------------------------- 10 6.3. Tam Fonksiyonun Yakınsaklık Üssü ---------------------------------------------------------------- 10

7. ANALİTİK DEVAM --------------------------- 11

7.1. Weierstrass Teoremi ------------------------------------------------------------------------------------- 11


7.2. Riemann Teoremi ----------------------------------------------------------------------------------------- 11 7.3. Schwartz Simetri Ġlkesi --------------------------------------------------------------------------------- 11 7.4. Analitik Devamın Sınırı -------------------------------------------------------------------------------- 11

8. CAUCHY ÇEKİRDEĞİ ----------------------- 11

8.1. Hilbert Problem ------------------------------------------------------------------------------------------- 11 8.2. Wiener-Hopf Problemi ---------------------------------------------------------------------------------- 11

8.2.1. Faktörizasyon & Dekompozisyon ------------------------------------------------------------------------ 12

9. KAYNAKÇA ------------------------------------- 12


3

1. KOMPLEKS DÜZLEM

1.1. Kompleks Sayılar

’in esas argümanı ( ) olmak üzere, genel argümanı

( ) ( )

olarak yazılabilir ( ). Kompleks sayılarda

olmak üzere, buradan √ iken

( )

ifadesi Trigonometrik Gösterilim olarak bilinir. Her ( )'ya

tek bir karşılık gelirken, tersi yanlıştır.

deMoivre formülü:

, ( ) ( )- ( ) ( )

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

Çarpım

( ) ,

, ( ) ( )-

Üs

( )

⁄

⁄

⁄ [ (

) (

)]

Eşlenik kavramı

( ) ( )

, | | , ( )

* +

* +

| | | | | | | | | |

| | | || |

( ) ( ) ( )

1.2. Metrik ve Limit Kavramı

( ) | | kompleks uzayda Metrik olarak

tanımlanmak üzere, | | olacak biçimde

varsa dizisi yakınsak olup, limiti 'dır.

Cauchy Teoremi: Her için ( ) bulunabilsin. Öyleki

( ) iken | | ise dizi Yakınsaktır. Eğer

( ) ’den bağımsız ise Düzgün Yakınsaktır. Serinin mutlak

değerlerinin toplamı ile elde edilen seri yakınsaksa, seri

Mutlak Yakınsak'tır denilir (| | ise ıraksak, | |

Mutlak Yakınsak'tır).

Abel Teoremi: Bir kuvvet serisi noktasında yakınsak ise,

| | yarıçaplı daire içindeki tüm noktalarda Mutlak

Yakınsaktır. | | olmak üzere, daire içinde yakınsaklık

düzgündür (Yani ( ) , ( ) , iken

|∑

| Düzgün Yakınsak'tır).

yakınsaklık katsayısı hesabının yapılması için d’Alembert

|

| ⁄ ve Cauchy | |

⁄ ⁄

kriterleri uygulanır.

2. KOMPLEKS FONKSĠYONLAR

2.1. Kompleks Düzlemde Bölgeler

Kompleks uzayda her parça Bölge adını alır ve bölge içinde | | ise Sonlu (Sınırlı) Bölge denilir. iken | | olmak üzere tüm noktalar içte ise Açık Bölge, bölge

sınırında noktaların hepsini içeriyorsa Kapalı Bölge denilir.

Sonlu bir bölgede her ( ) noktası basit bir çizgi ile

birleştirilebiliyorsa Bağımlı Bölge, aksi halde Bağımsız Bölge

denilir. Bu çizgiler ötelemeyle üst üste çakıştırılabiliyorsa

Basit Bağımlı Bölge, aksi takdirde Basit Olmayan Bağımlı

Bölge denilir.

Basit bağımlı olmayan bölgede tane delik varsa, bu bölgeye

Bağımlı Bölge denilir ve kesim ile basit bağımlı hale

dönüştürülür. Sonlu olmayan bölgelerde durum farklıdır.


4

2.2. Kompleks Fonksiyon & Riemann Yüzeyi

'e yalnız 1 eleman karşı gelirse Yalınkat Fonksiyon,

aksi halde Yalınkat Olmayan Fonksiyon denilir.

2.2.1. Kare Fonksiyonu ve Tersi

olmak üzere her 'e bir karşılık gelirken, her 'ya

bir karşılık gelmez.

;

} ve ’e hiperboller karşılık gelir.

iki farklı nokta: Kesim yapılarak tek nokta bulunup,

ters fonksiyon hesaplanabilir.

√ : Seçilen kol yazımda belirsizdir. İkinci

seçim (negatif reel sayılara karekök karşı gelmemesi) ele

alınsın.

Bu karekök kesimine Asal Kol denilir. Tüm kesim çizgileri ve

orijin bu kola dâhil değildir. Çünkü , ’a dönüşür. Buna göre ( ) noktalarına kesim çizgisinin bir uç noktası

olarak Dallanma Noktası (kesim çizgisine dâhil değil) denilir.

orjini kuşatıyorsa: (İkinci dönüşte ’e gelir).

orjini kuşatmıyorsa:

Her yaprağa Riemann Yüzeyi denilir. Fonksiyonun bir yaprakta

aldığı değerden hareketle, kesim çizgisi üzerinden geçerek

diğer yapraktaki değerini bulmaya Analitik Devam İlkesi

denilir.

2.2.2. Üstel Fonksiyon ve Logaritma

( )

}

⁄

peryodik fonksiyon olup, peryodu ’dir. O halde * + bandı üzerinde aldığı değerleri

( ) noktalarında da alır.

’in tersini düşünürsek asal kolu gösterir.

Asal Kol: Negatif reel eksen boyunca kesilmiş kol

düzlemini ( * + bandında) birebir-bir dönüştürür.

Burada pozitif reel sayıların logaritmaları belirli ve reeldir.

Daha farklı kesimlerde mümkün olmaktadır.

| | ( ) , ( )

sayısının durumu

Asal kol durumunda ( )

Bu durumda

( )

ve noktaları ’nin dallanma noktalarıdır.


5

2.2.3. Cos ve ArcCos Fonksiyonları

’de kosinüs periyodik olduğundan, farklı ’ler tek bir ’ya karşılık gelir. Bu durumda geri dönüş hiperbollar ile aşağıdaki gibi olur.

}

}

Asal kol: , Diğer kol:

Logaritmik olarak

. √ /

, ve dallanma noktalarıdır.

2.2.4. Sin ve Arcsin Fonksiyonları

Asal kol:

.

/

Logaritmik olarak

. √ /

, ve dallanma noktalarıdır.

2.2.5. Dallanma Noktası ve Mertebeleri ( )’nın bir dallanma noktası ise, bunun

etrafında ( )’inci dönüşle hep aynı ( ) değerinden

elde ediliyorsa, bu noktaya ’inci Mertebeden Dallanma

Noktası denilir.

: √ ’nın 1. mertebe dallanma noktası

: √

’nın 2. mertebe dallanma noktası

: ’nın . mertebe dallanma noktası

Örneğin ( ) √ √

fonksiyonu için

: √ ’in 1. mertebe dallanma noktası

: √ ’in 2. mertebe dallanma noktası

: ( )’in 5. mertebe dallanma noktasıdır.

3. KOMPLEKS TÜREV

3.1. Süreklilik Kavramı

keyfi sayısına karşın ( ) bulunabilmekte ise,

| | ( ) iken | ( ) ( )| şartı sağlanıyorsa,

( ) fonksiyonu noktasında Süreklidir denilir.

Veya ’a yakınsıyor iken, ( ) ( )

( )’a yakınsıyorsa ( ) fonksiyonu ’da Süreklidir denilir.

Bu durum ’ın ve ’ye bağlı olduğunu gösterir. Özel olarak

( ) bulunursa Süreklilikten, sadece ( ) bulunursa Düzgün

Süreklilikten bahsedilir.

3.2. Fonksiyonun Türevi

( ) fonksiyonu için

( ) ( )

limiti sınırlı ve belirli ise, bu değere ( )'in Türevi denilir.

Türevin varlığı noktasında ( )'in sürekliliğini gösterir. Eğer ( ) belli bölgesinin

- Tüm noktalarında tanımlı

- Belirli ve sürekli bir türeve sahip ise

( ) tek değerli (diferansiyelli) denilir. Tek türeve sahip

fonksiyonlara Regüler Fonksiyon denilir (Açık, Kapalı

bölgelerde yada Noktada regülerlik tanımı yapılabilir). Eğer

( ), noktası hariç her yerde regüler, fakat 'da

regüler değilse noktasına ( )'in Ayrık Tekil Noktası denilir.

3.3. Regüler Fonksiyon & Cauchy Denklemi

, iken, 'e göre türev ( ,

)

( )

( )

'e göre türev ( , )

( )

( )

Bu türevlerin eşit olması için


6

olmalıdır. Bu denklemler Cauchy-Riemann Diferansiyel

Denklemleri olarak (yeter koşullar) bilinir. Türevin Riemann

yaprağı sayısı, fonksiyonun Riemann yaprağı sayısından az

olabilir. Buna örnek olarak, aşağıdaki fonksiyon verilebilir.

: Sonsuz sayıda yapraklı

⁄ √ ⁄ : İki yapraklı

( )'in noktası ve civarında türevi varsa (Cauch-Riemann

denklemlerini sağlıyorsa, kuvvet serisi açılımı mümkünse) o

noktada Analitik'tir denilir.

3.4. Reel ve Sanal Kısımların Harmonikliği

( ) 'de regüler (her mertebeden türevli) olmak

üzere

olduğu ispat edilebilir. Bu durumda ( ) Harmonik Fonksiyon

adını alır.

3.5. Reel – Sanal & Sanal – Reel Kısım

Cauchy denklemlerinde ( ) biliniyorsa, ( )’nin bir sabit farkı ile bileneceği açık olup ( ( ⁄ ) ( ⁄ ) )

( ) ∫

burada ( ) olarak integral yazılır. ( ) 'de

denklemini sağladığından, eğrisel integralin yoldan

bağımsızlığını garantileyen ⁄⁄ eşitliği

sağlandığından, eğer basit bölge ise eğrisel integralin

yolundan bağımsız olarak ( )’ye ( )’nin Harmonik

Eşleniği adı verilir. ( )’nin tek değerli bulunabilmesi için

basit bölge olmalı, değilse basit bölgeye dönüştürülmelidir.

3.6. Konform Dönüşüm - Geometrik Anlam

Türevi sıfırdan farklı regüler bir fonksiyon ile yapılan

dönüşümlerde açı korunur. Bu dönüşüme Konform Dönüşüm

denilir ve dönüşümün Jakobiyeni | ( )| 'e eşittir. Laplace

denkleminin dönüşümü Kendi Kendine olduğundan ilginçtir.

Eğer ve bağımlı ve sonlu bölgeler ise aralarında Laplace

denklemine benzer bir dönüşüm bulunabilir. Bu durum daha

genel olarak Riemann Dönüşüm Teoremi olarak bilinir.

4. KOMPLEKS ĠNTEGRAL

4.1. Eğrisel Ġntegral

Kendisini kesmeyen çizgiye basit eğri denilmek üzere

( ) ve ( ) fonksiyonlarının birinci mertebeden

türevleri eğrisinin tümünde var ve sürekli ise düzgün yay,

yayların birleşimine eğri adı verilir. Buradan

∑ ( )( )

serisinin toplamı 'nın seçiminden bağımsız sonlu bir limite

giderse

∫

∫ ( )

integrali oluşur. Eğer ∑ ( ) serisindeki fonksiyonlar

sonlu ve basit bağımlı bölgesinde regüler ve seri düzgün

yakınsak ise, bu durumda herhangi bir eğri üzerinden seri

terimlerinin her bir elemanının toplamı biçiminde alınacak

integral de düzgün yakınsaktır. ( ) iken ve 'ler

üzerinde sürekli iseler olmak üzere

∫ ( )

∫ ∫

integrali eğrisi kapalı (yönü sola veya sağa) iken de

doğrudur. Kompleks integraller reel integrallerin tüm

özelliklerine sahiptir.

4.2. Cauchy Teoremi & Yola Bağımlılık

Basit bağımlı bir bölgede ( ) regülerse, ∮ ( )

olup,

integralin yoldan bağımsızlığını gösterir. Benzer biçimde basit

bağımlı olmayan bölgelerde kesimle basit bağımlı bölge haline

getirilerek, integral aşağıdaki gibi değerlendirilir.

∮ ( )

∮ ∮

∮

∮

Cauchy teoremini tersi Morera Teoremi olup, doğrudur.


7

Burada ve ’in yönleri aynı ise

∮ ( ) ∮ ( )

∮ ( )

’in yoldan bağımsız olması Cauchy teoremini

sağlaması, yani regüler olmasını gerektirir.

4.3. Ġntegralin Temel Formülü

basit bağımlı bölgesinde integral yola bağlı olmadığından

( ) integrali

( ) ∫ ( )

olmak üzere sabit iken, diğer uç noktasının bir fonksiyonu

olarak yazılabilir. Bu kapsamda ispat etmek mümkündür ki

( ) ( )

sağlanır. Bu durumda B içinde türevi sıfır olan fonksiyon bir

sabit olacağından

∫ ( ) ( )

halini alır. için integral 0 olacağından ( )

olmalıdır. Buradan

∫ ( ) ( ) ( )

formülü, bir integralin, integre edilecek fonksiyonu türev

kabul eden herhangi bir fonksiyonun integrasyon çizgisi

boyunca artımına eşit olduğunu söyler.

4.4. Ġntegral Limit Değeri (Jordan Teoremi)

| | veya | | olmak üzere

( )

∫ ( )

where can be zero valued.

| | veya | | olmak üzere

( )

∫ ( )

where can be zero valued.

| | iken ve olmak üzere

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

5. CAUCHY FORMÜLÜ

5.1. Sonlu & Sonsuz Bölge Cauchy Formülü

Basit veya basit bağımlı olmayan bir bölgede (sonlu bölge)

noktası hariç regüler olan bir ( ) fonksiyonu için

∫ ( )

( )

∫

∫

( ) ( )

olmak üzere

∫ ( )

( ) ∫ ( ) ( )

⏟

sağlanır. Sağdaki integralin sıfır olduğu ispat edilebilir ve

( )

∫

( )

formülü Cauchy Formülü olarak bilinir. Regüler ve kapalı

eğrileri dışında kalan bölgesinde için

(sonsuz bölge) ( ) düzgün olarak regüler oluyorsa,

Cauch formülü yine geçerlidir.

5.2. Regüler Fonksiyonun Türevi

Basit ve çok bağımlı sonlu bir bölgesi içinde regüler olan

( ) fonksiyonunun ’inci mertebeden türevinin aşağıdaki gibi olduğu ispat edilebilir.

( )

∫

( )

( )

Söz konusu bölgede ( ) sürekli ( ) türevlerine sahip ise,

tüm mertebeden türevlerde mevcuttur.

5.3. Rezidü Kavramı

( ) fonksiyonu ’da süreksizse ( ) ( )( )

fonksiyonu ’da regüler olmakla beraber ( )( )

fonksiyonuna ’da regüler olmayıp, bu değere

( )’in ’da ’inci mertebeden bir Kutbu denilir. Kutup

civarında ( ) fonksiyonu

( ) ∑

( )


8

olarak yazılabilir. Burada katsayısına ( )’in ’da

Rezidüsü, adı verilir. Bu durumda integral

∫ ( )

∑

|

olur ve

( )

* ( )( )

+|

olarak

yazılabilir. Bölge solda kalırsa +, sağda kalırsa – ile çarpılır.

5.4. Sonsuz Serilerin Toplamı

Sonlu sayıda kutuplarına sahip ( ’dan hiçbiri olmayan) ve bunun dışındaki bölgelerde regüler olan

( ) fonksiyonu göz önüne alınsın. Bu durumda ( ) ile ilgili

sonsuz seri toplamı aşağıda gibi yazılabilir.

∑ ( ) ∑ * ( ) ( )+

5.5. Kaldırılabilen Türden Tekillikler

( ) fonksiyonu bir bölgesinde hariç her noktada

regüler ve tüm bölgede sınırlı ise, fonksiyonun ’daki

tekilliği kaldırılabilen türden olup, ( ) tekillik noktasında

limit değer olarak tanımlandığı durumda ( ) fonksiyonu

bölgesinin tümünde regüler olacaktır. Bu durum kutupları

mevcut olan bir ( ) fonksiyonu ters çevrilmesi durumunda,

bu kutupların artık ( )⁄ için regüler olduğu söylenebilir.

5.6. Liouville Teoremi

Cauchy formülünün bir diğer sonucu da eğer bir fonksiyon

tüm düzlemde sınırlı ve sonlu her bölgede regülerse, bu

fonksiyon bir sabitten ibarettir biçiminde olup Liouville

Teoremi olarak bilinir. Liouville teoremi ( ) ve ( )

fonksiyonlarına uygulanırsa, sonlu her için regüler olan bir

fonksiyonun reel veya sanal kısmı bütün düzlemde sınırlı ise,

bu fonksiyon bir sabitten ibarettir biçimini alır. Benzer

biçimde bütün sonlu düzlemde harmonik ve bütün düzlemde

üstten (veya alttan) sınırlı olan bir fonksiyonun bir sabitten

ibaret olduğu da açıktır.

5.7. Maksimum Mutlak Değer Ġlkesi

( ) bir bölgesinde regüler ve özdeşleyin sabit değilse, | ( )| maksimum değerini ancak çevrede alır. Bu teorem

( ) fonksiyonuna uygulanırsa, bir bölgesinde harrmonik

bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini ancak

çevrede alacağı sonucu çıkartılır. Eğer içinde hiç bir noktada

( ) sıfır olmuyorsa ve ise ( )⁄ fonksiyonuna

yukarıdaki ilke uygulanarak | ( )|'in minimum değerini ancak

çevrede alacağı söylenebilir.

5.8. Ortalama Değer Teoremi

Bir bölgesinde regüler ( ) fonksiyonun bölge içindeki

herhangi bir noktasındaki değeri, fonksiyonun merkezli

herhangi bir daire üzerindeki değerlerin Aritmetik

Ortalamasına eşittir. Bu durum bölgesinde harmonik bir

fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini ancak 'nin

çevresinde alacağını da gösterir.

5.9. Weierstrass Teoremi

Kompleks terimli ( ) ( ) serisinin terimleri sonlu

bir bölgesinde regüler olsunlar. Eğer bu seri bölge sınırı

üzerinde yakınsak ise

- 'de de düzgün yakınsak

- Toplamı 'nin içinde regüler bir fonksiyondur. - Seri 'nin içinde terim terim istenildiği kadar türetilebilir. - Türevlerden elde edilen serinin içinde var olan

bölgesinde düzgün yakınsaklığı iddia edilebilir.

- Fonksiyon dizileri içinde benzer durum geçerlidir.

5.10. Taylor Serisi

| | dairesi içinde regüler her fonksiyon bu daire

içinde ( )'nin bir kuvvet serisi ile ifade edilebilir. Bir

bölgesinde ayrık tekil noktaları bulunan ( ) fonksiyonu göz

önüne alınsın. ( ) regüler olduğu bir noktası civarında

Taylor Serisine

( ) ∑ ( )

olarak açılabilir. Burada ( ) ⁄ .. Bu

serinin yakınsaklık yarıçapı 'ye en yakın tekil nokta ise

| | ile verilir. Bu daire içinde her bölgede Taylor

serisi düzgün ve mutlak yakınsaktır. Taylor serisinin bazı

sonuçları

civarında regüler bir ( ) fonksiyonunun kendisi ve

( )'inci mertebeye kadar türevleri noktasında sıfır

olsun. Bu durumda 'nin sözü geçen civarında ( )

olmak üzere

( ) ( ) [ ( )

( )

( )

( ) ]

( ) ( )

yazılabilir ve noktası ( )'nin Katlı Bir Sıfırı’dır

denilir. ( ) fonksiyonu sözü edilen civarda regülerdir ve

için sıfırdan farklı ve sonlu bir değere sahiptir. Bu

civarda ( ) olmadıkça sonlu olmak zorundadır.

( ) 'da regüler ve farklı noktalarında ( )

( ) ise, 'nın bir civarında ( ) ’dır. Çünkü

süreklilikten ( ) ( ) 'dır. O halde noktası

bir sıfırdır, fakat ayrık değildir.

Teklik Teoremi: ( ) ve ( ) fonksiyonları bölgesinde

regüler olsunlar. dizisi içinde bir noktasına yakınsamak

koşulu ile, her için ( ) ( ) ise tüm bölgesi

içinde ( ) ( )'dir. Bir diğer anlamda regüler bir ( )

fonksiyonun limiti içinde bulunan bir dizi üzerindeki

değerleri verilirse, bu fonksiyon tek bir şekilde belli olur.


9

5.11. Laurent Serisi

halkası içinde regüler ( ) fonksiyonu

( ) ∑

( )

şeklinde Laurent Serisi'ne açılabilir. Laurent serisi

içerisinde kalan halkasında düzgün yakınsaktır. Negatif

kuvvetlerden oluşan kısım Esas (Principal), diğer kısım

Regüler kısımdır.

5.12. Tekil Noktası & Fonksiyon Sınıfları

( ) fonksiyonunun ayrık bir tekil noktası olsun.

a) 'a yakın tüm değerleri için ( ) sınırlı ise, bu tekillik

Kaldırılabilir Türden Tekillik adını alır.

b) iken ( ) ise tekillik bir Kutup'tur.

c) iken ( ) sınırlı değil, fakat sonsuzda değil ise (yani

'in 'a gidişine göre farklı değerler alır ve bu değerler

arasında sonsuzda vardır) Esaslı Tekil Nokta adını alır.

Kesilmemiş tüm düzlemde ve düzlemin her sonlu parçasında

bir fonksiyonunun tekil noktaları sadece kutuplardan

oluşuyorsa Meromorfik'tir denilir. Tekil noktası sonsuzda olan

fonksiyona Tam Fonksiyon denilir. Böyle bir fonksiyon için

sonsuz noktası bir kutupsa bu fonksiyon mecburen bir

polinomdur (rasyonel tam fonksiyon), sonsuz noktası bir esaslı

tekil nokta ise Transandant Fonksiyon adını alır.

5.13. Mittag – Leffler Formülü

( ) meromorfik bir fonksiyon iken, bu fonksiyonun kutupları

| | | | | | olmak üzere

( ) ( ) ( )

( )

∑ [ (

) ]

Mittag-Leffler formülü olarak bilinen bu ilişki kutupları

aracılığı ile Meromorfik fonksiyonların analitik ifadesine

imkan sağlar.

5.14. Parametreye Bağlı Ġntegraller

( ) ∫ ( )

türü integrale Parametreye Bağlı İntegral denilir ve

- , - ve ve sonlu olmak üzere ( ) sürekli ve

her için ’ye göre regüler ise, içerisinde ( ) regülerdir.

- , - aralığının sonlu olmaması durumunda, inregralin ’de düzgün yakınsak olması koşulu ile içinde ( ) regülerdir.

- ( ) fonksiyon , ) veya , ) aralığında sonlu sayıdaki

bazı noktalarda sınırsız olsa, öyle ki; genişletilmiş ( )

integrali düzgün yakınsak olsun, bu durumda içinde ( )

regülerdir.

- Eğer ( ) sonlu sayıda bazı değerler için sınırlı

süreksizliklere sahipse, teorem yine doğrudur. Yine reel , - aralığında değişeceği yerde, kompleks düzleminde

düzgün bir eğri boyunca değişiyorsa, teorem yine doğrudur.

Laplace Dönüşümü:

, )’da integre edilebilen bir ( ) fonksiyonu için

( ) olacak biçimde sayısı (Yakınsaklık

Apsisi) bulunabiliyorsa ( ) Üstel Mertebeden Fonksiyon’dur.

Üstel mertebeden ( ) fonksiyonu için

( ) ∫ ( )

integrali Laplace Dönüşümü adını alır ve * + sağ yarı

düzleminde regülerdir. ( ) olacak biçimde

üstel mertebeden bir ( ) fonksiyonu için, tüm bölgede

( ) ∫ ( )

yazılır. Ters dönüşüm ile ( ) fonksiyonu

( )

∫ ( )

olarak bulunur ve * + şeridi Regülerlik Bölgesi

adını alır. Dönüşüm için integralin yakınsaklığına ihtiyaç

olmayıp, yeteri kadar büyük değerleri için | ( )|

olmak üzere sabiti ve sayısı bulunabiliyorsa,

dönüşüm vardır.

Fourier Dönüşümü:

( ) olacak biçimde üstel mertebeden bir

( ) fonksiyonu için konularak

( ) ∫ ( )

integrali Fourier Dönüşümü adını alır ( düzleminin sağa

doğru 900 döndürülmesi ile elde edilmiştir) ve – * +

şeridi Regülerlik Bölgesi adını alır. Ters dönüşüm ile ( )

fonksiyonu ( ) iken aşağıdaki gibi bulunur.

( )

∫ ( )

Periyodik olmayan bir ( ) fonksiyonunun Fourier

dönüşümünün alınabilmesi için aşağıdaki şartlar

sağlanmalıdır.

- Riemann İntegrali Anlamında:


10

a) bölgesinde ayrık bazı noktalar dışında

tanımlı,

b) ∫ ( )

integrali , - sonlu bölgesinde alınabilmeli

veya sonlu sayıdaki noktaları integralin alınmasına engel

ise, limit durumda integral alınabilmelidir.

- Lebesgue İntegrali Anlamında:

a) bölgesinde ayrık bazı noktalar dışında tanımlı

b) ∫ | ( )|

integrali (yakınsaklığı yeterlidir)

alınabilmelidir.

Periyodik bir ( ) fonksiyonunun Fourier serisine açılabilmesi

için (Dirichlet şartları) bilinen aşağıdaki şartlar sağlanmalıdır.

a) Sınırlı, aksi halde ∫ ( )

ile tanımlı ve sonlu

olmalı

b) Maksimum & Minimum sayısı sınırlı olmalıdır (Sonlu

değişimli).

c) Süreksizlikleri sınırlı olmalıdır.

5.15. Fonksiyon Sıfırlarının Sayısı

Cauchy Teoremi: bölgesinde regüler ve bunun

çevresinde sıfırdan farklı olan bir ( ) fonksiyonun içindeki

sıfırlarının sayısı ( )’in boyunca sürekli değişiminin

ile bölümüne eşittir. Eğer ( ) fonksiyonunun içimde

kutupları olsa da sonuç benzer olacaktır. Bu teoremin sonucu

olarak Konform dönüşümün bire-birliği ( ( ) içerisinde

basit bir kutba sahip olsada bunun dışında) gösterilebilir.

Rouche Teoremi: ( ) ve ( ) bölgesinde regüler iki

fonksiyon ve ’nin çevresinde | ( )| | ( )| ise ( ) ( ) ve ( )’in içindeki sıfırları sayısı eşittir.

Ters Fonksiyonların Dallanma Noktaları: noktasını

içeren bir bölgede regüler bir ( ) fonksiyonunun

( ) civarında tek değerli bir ters fonksiyona sahip

olması için gerek ve yeter koşul ( ) olmasıdır. Eğer

’da ’in ’inci mertebeye kadar türevi sıfırdan farklı ise, ( ) noktası ters fonksiyon için ’inci mertebeden bir dallanma noktasıdır. Özel olarak:

- Eğer noktası ( )’in ’inci mertebeden bir kutup noktası ise, böyle bir durumda noktası ters fonksiyon

için ’inci mertebeden Regüler Tipte Dallanma Noktası

denilir ve bu şekildeki noktalar ’in türevlerinin sonsuz olduğu noktalardır.

- ( ) gibi denklem çözümünden çıkan fonksiyonlar

bazen ∑ ( √ )

gibi seri açılımları ile ifade

edilebilir. Bu seride negatif kuvvetlerin sayısı sonlu ve sıfırdan

farklıysa noktası bu çok değerli fonksiyon için ’inci mertebeden Kutupsal Dallanma Noktası’dır denilir.

Negatif kuvvetlerin sayısı sonsuz ise dallanma noktası Esaslı

Tekil Nokta tipindedir. Regüler ve kutupsal dallanma

noktalarına Cebirsel, böyle olmayanlara Transandant

Dallanma Noktaları denilir.

6. TAM FONKSĠYONLAR

Tekil noktası sadece olan fonksiyona Tam Fonksiyon

denilir. Eğer bu fonksiyon için bir kutupsa (yani

fonksiyon bir polinomdan ibaretse, rasyonel tam fonksiyon),

fonksiyonun sonlu sayıda sıfırı vardır ve ( , tam)

( ) ∏(

)

olarak yazılır. Eğer bir esaslı tekil noktaysa

(transandantal tam fonksiyon), durum biraz değişik olmakla

beraber, genelleştirilebilir. Öyle ki ( ⁄ ) olmak

üzere oluşturulan sonsuz çarpımın yakınsak olması için gerek,

yeter ve koşul ∑ serisinin, logaritmaların uygun

seçilmesi ile yakınsak olmasıdır.

6.1. Weierstrass Formülü

Çarpanları ’in tam fonksiyonları olan, yakınsak

( ) ∏ ( )

sonsuz çarpımı, ’ların sıfırından geçmeyen her | |

dairesi için pozitif bir tamsayı olmak üzere, logaritma için

uygun seçilmiş değerlerle | | dairesinin içinde regüler bir

fonksiyonu gösterir. Bu fonksiyonun söz konusu daire

içerisindeki sıfırları ( )’nin aynı daire içindeki sıfırlarından

ibarettir. Bu durumda sıfırları ( ) fonksiyonlarının

sıfırlarından ibaret olan bir ( ) tam fonksiyonu

( ) ( ) ∏(

) [

(

)

(

)

]

iken Kanonik Çarpım (Weierstrass Formülü) olarak bilinir.

6.2. Tam Fonksiyonun Mertebesi

( ) fonksiyonuna karşılık | | olduğunda

| ( )|

olacak şekilde ve pozitif sayıları bulunabiliyorsa, ( )

sonlu mertebeden bir tam fonksiyondur denilir. Söz konusu

sayılarının alt sınırına ( )’in Mertebesi adı verilir.

6.3. Tam Fonksiyonun Yakınsaklık Üssü

( )’in sonsuz çarpımlar ifadesinde ∑ | | serisinin

hangi sayıları için yakınsak olduğu bilinmek istenir. Bu

sayılarının alt sınırına Sıfırların Yakınsaklık Üssü

denilir. Bir tam fonksiyonun kanonik çarpımın mertebesi her

zaman sıfırların yakınsaklık üssüne eşittir.

Hadamard Teoremi: ( ) sonlu mertebeden bir tam

fonksiyon olmak üzere, bunun kanonik çarpımı ( )

( ) ( ) yazılacak olursa, burada ( ) mertebesi ’dan büyük olmayan bir polinom olur.


11

7. ANALĠTĠK DEVAM

( ), 'de, ( ), 'de regüler fonksiyonlar iken

arakesitinde her için ( ) ( ) oluyorsa; ( )

fonksiyonu ( )'in arakesiti üzerinden Analitik Devamı

(Ekstrapolasyon) denilir ve varsa analitik devamı tektir. 'de

( ) ve ( ) fonksiyonlarının analitik devamları

kullanılarak, 'de ( ) ve ( ) hesaplanabiliyorsa

- 'in 'de devamı 'dir.

- 'in 'de devamı 'dir.

- 'de ise, 'de 'dir.

- 'de ise, 'de

'dir.

Bir denklem ve denklemin çözümü de analitik devam

bakımından değerlendirilebilir. Analitik devam ilkesi bölgeler

zinciri üzerinden de geçerli olup, tek olarak elde edilir. Bir

eğri parçası üzerinden bölgeye analitik devamda mümkün

olup, tek olarak elde edilir. Fonksiyonel denklemlerin

çözümleri bakımından da analitik devam mümkündür.

7.1. Weierstrass Teoremi

Bir fonksiyonunun analitik devamının yapılması için regüler

olduğu noktalar civarında Taylor serisine açılarak, bu serilerin

yakınsaklık dairelerinin en yakın tekil noktaya kadar

genişletilmesi esasına dayanır. Bu tür bir analitik devam

dairelerden oluşan zincirler boyunca yapılmış bir devam olup,

regüler olan her nokta civarındaki Taylor serisine, bu noktaya

ait Fonksiyon Elemanı (Regüler Eleman) denilir.

7.2. Riemann Teoremi

Düzgün bir eğrisinin parçası boyunca birbirine yapışık

ve bölgeleri ve bunların içinde regüler olan ( ) ve ( )

fonksiyonları için, eğer

- ( ) 'de, ( ) 'de sürekli ise

- için ( ) ( ) ise

( ), ( )'in içinde analitik devamıdır.

7.3. Schwartz Simetri Ġlkesi

( ) fonksiyonu ( ) aralığının bir tarafındaki bölgesinde

regüler, 'de sürekli ve ( ) üzerinde reel değerli olmak

üzere, 'in simetriği olan bölgesinde her zaman devam

ettirilebilir ve devam fonksiyonu aşağıdaki gibi verilir.

( )

7.4. Analitik Devamın Sınırı

( )'in analitik devamı için ( )'in tekil fonksiyonlarının tümüne Doğal Sınır denilir. Basit fonksiyonlarda bunlar

sadece ayrık tekil noktalarken, bazı hallerde kapalı eğrinin

tümü üzerinde yoğun olabilirler. Bu durumda ( ) kapalı

eğrinin ötesine devam ettirilemeyip Boşluklu Fonksiyon adını

alır.

8. CAUCHY ÇEKĠRDEĞĠ

kapalı düzgün bir yay, ( ) üzerinde tanımlı ve integre

edilebilen bir fonksiyonken, üzerindeki her noktası için

( )

∫

( )

fonksiyonu hem içinde , hem de dışındaki bölgesinde

ayrı ayrı 'in regüler fonksiyonudur. üzerinde bulunan

noktalarda ( ) sürekli olmadığından, ( )'in 'deki ifadesi

'daki ifadesinin bu bölgeye analitik devamından farklıdır.

Bundan dolayı ( ) düzleminde Bölge-Bölge süreklidir

denilip, her bölgedeki değerleri ( ) ve ( ) ile gösterilir.

İntegrasyon yönü bölgesini solda bırakacak olarak

seçilmek üzere, üzerinde tanımlı ( ) fonksiyonuna İntegral

Yoğunluğu, ( )⁄ ise İntegral Çekirdeği denilir.

Hölder Koşulu: Düzgün bir yayı üzerinde tanımlı ( )'nun

yay üzerinde herhangi bir noktada aldığı değerlerin farkı ve

verilmiş pozitif tamsayılar olmak üzere, her zaman

| ( ) ( )| | |

bağıntısını sağlıyorsa Hölder Koşulunu sağlıyor demektir.

ve sırası ile Hölder Sabiti ve Hölder İndisi adını alır. Hölder

koşulunu sağlayan her fonksiyon üzerinde süreklidir.

ise ( ), üzerinde türetilebilir ve ( ) olurken,

hali Lipschitz Koşulu olarak bilinir.

8.1. Hilbert Problem

düzgün bir eğri, ( )'de dışında her yerde regüler iken,

olurken ( )'in ( ) ve ( ) ile gösterilen

belirli limitlere sahip olduğunu ve bunların ( ) ve ( )

üzerinde tanımlı fonksiyonlar olmak üzere

( ) ( ) ( ) ( )

Hilbert Denklemini sağladığını varsayalım. ( ) ve ( )

verilmiş iken ( )'in bulunması şeklinde ortaya konan

probleme Hilbert Problemi, ( )'ye Denklemin Çekirdeği

denilir. 'nin açık, kapalı ve sonlu oluşu çözümün etkiler.

8.2. Wiener-Hopf Problemi

koşuluna uyan verilmiş ve iki reel sayı olmak üzere

* * + ( )+ yatay şeridi içinde yazılmış, ( )

olmak üzere

( ) ( ) ( ) ( )

denklemi göz önüne alınsın. Burada ( ) ve ( ) içinde

regüler verilmiş fonksiyonlar olmak üzere, ( ) ve ( )


12

belirlenmesi istenen fonksiyonlardır. ( )'in * * + + ve ( )'in * * + + yarı

düzleminde sonlu her noktada regüler oldukları

varsayılmaktadır ( bir kutup veya esaslı tekil nokta

olabilir). Bu tür probleme Wiener-Hopf Problemi denilir. ( )

bu denklemin Çekirdeği olarak bilinir. Wiener-Hopf problemi

içindeki bir doğrusu üzerinden düşünülürse Hilbert

problemine dönüşür.

8.2.1. Faktörizasyon & Dekompozisyon

Wiener-Hopf çözümün sağlanması için

( ) ( )

( )

olarak çekirdeğin çarpanlarına ayrılması (Faktörizasyon)

gerekir. Bu faktörizasyon ile Wiener-Hopf denklemi

( )

( )

( )

( )

( )

( )

halini alır. ( ) ve ( )'in belirlenmesi denklemin sağ yanındaki fonksiyonun ve bölgelerinde regüler olan iki

fonksiyonun toplamı olarak ifade edilmesine bağlı olup

( )

( ) ( ) ( )

olmak üzere sağlanabilirse, Wiener-Hopf denklemi

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

halini alır. Eşitliğin sol yanı bölgesinde, sağ yanı

bölgesinde regüler olduğundan, iki taraf birbirinin

üzerinden analitik devamı niteliğinde olup

( )

{

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

}

ile tanımlı fonksiyon düzleminin sonlu her noktasında

regülerdir. Bu ( )'nin tam fonksiyon olduğunu gösterir. Böylece

( ) ( )( ( ) ( ))

( ) ( )( ( ) ( ))

olarak bulunmuş olur. ( ) tam fonksiyonu genelde ( ) ve

( ) fonksiyonlarının 'daki asimptotik davranışı ile

belirlenir.

9. KAYNAKÇA

İdemen M., Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi, İTÜ

Yayınları, Sayı: 1467, 1992.

Documents

Dr. Serkan Aksoy - KDFT Ders Notlarıabl.gtu.edu.tr/dosya/102/~saksoy/Lecture Notes/Lecture... · 2020. 2. 12. · yakınsaklık katsayısı hesabının yapılması için d’Alembert