BOSNA I HERCEGOVINADISTRIKT BRKOEVROPSKI UNIVERZITET BRKO DISTRIKTTEHNIKI FAKULTETOdsjek Drumski saobraaj

I.Ciklus / III.godina/Predmet: Matematika

SEMINARSKI RADDiskusija rjeavanja sistema linearnih algebarskih jednaina

Student: Predmetni nastavnik:Dragan Tomi v.Doc.dr. Sead Rei

Brko, Veljaa 2014.

SADRAJ

1. Sustavi linearnih algebarskih jednadbi......................................................11.1. Gaussov postupak eliminacije...........................................................22. Matrice........................................................................................................42.1. Osnovne operacije s matricama........................................................42.2. Mnoenje matrica..............................................................................53. Rang matrice...............................................................................................64. Determinante...............................................................................................84.1. Sarrusovo pravilo..............................................................................84.2. Cramerovo pravilo............................................................................85. Kronecker Capellijev teorem................................................................106. Zakljuak...................................................................................................12

1.SUSTAV LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADBI

Zajednadbi snepoznanica oblika

(1.1)

kaemo da inesustav linearnih algebarskih jednadbi. Brojevezovemokoeficijentima sustava,se zovunepoznanice, a brojevezovemo desnom stranomilislobodnim lanovima. Koeficijenti i slobodni lanovi su zadani, a nepoznanice treba odrediti. Ako jeonda sustav zovemokvadratnim. Ako je desna strana sastavljena od samih nula, onda sustav zovemohomogenim, u protivnom, ako jeza bar jedanzovemo ganehomogenim.U vezi sa sustavom moemo uoiti dvije matrice

Matricuzovemomatricom sustava, a matricuzovemoproirenom matricom sustava.Rjeenjesustava1.1je ureena brojevakoja zadovoljava svaku od jednadbi u sustavu. Sustav moe imati jedno rjeenje, vie rjeenja i niti jedno rjeenje. Ako ne postoji rjeenje onda kaemo da je sustav nemoguiliprotuslovan.Ako je sustav homogen, onda je oitorjeenje. To rjeenje se zovetrivijalno. Pravi problem kod homogenih sustava je da li postoje rjeenja razliita od trivijalnog, tj. da li postoje netrivijalnarjeenja.

1

1.1. 1.2. Gaussov postupak eliminacije

Gaussov postupak eliminacije je metoda rjeavanja sustava linearnih algebarskih jednadbi. Ideja je sljedea. Operacijama zadani sustav svesti na njemu ekvivalentan, tako da iz dobivenog sustava lako naemo skup svih rjeenja.Neka je zadan sustav1.1. Premjestimo jednadbe u sustavu, ako je potrebno, tako da koeficijent uzu prvoj jednadbi bude razliit od nule. Zatim prvu jednadbu podijelimo s koeficijentom uzpomnoimo brojem koji je suprotan koeficijentu uzu drugoj jednadbi, i dodamo je drugoj jednadbi, zatim prvu jednadbu podijelimo s koeficijentom uzpomnoimo brojem koji je suprotan koeficijentu uzu treoj jednadbi, i dodamo je treoj jednadbi, zatim prvu jednadbu podijelimo s koeficijentom uzpomnoimo brojem koji je suprotan koeficijentu uzu etvrtoj jednadbi, i dodamo je etvrtoj jednadbi, i t.d. Na taj nain smo izbaciliiz druge, tree,-te jednadbe i doli do ekvivalentnog sustava oblika

Sto znaci

odnosno openito zaSad uinimo isto s podsustavom, koji se sastoji od druge, tree, ...,-te jednadbe. Time iz tree i daljnjih jednadbi eliminiramoZatim na isti nain iz etvrte i daljnjih jednadbi izbacimoi t.d. Budui da sustav ima konano mnogo jednadbi, postupak staje nakon konano koraka. Dobije se ekvivalentan sustav, po obliku ``trokutast''. Sada najprije rijeimo zadnju jednadbu, rjeenje uvrstimo u predzadnju, pa nju rijeimo, pa uvrstimo u treu straga i t.d. sve do prve jednadbe. Metoda, koju smo opisali, zove seGaussova metoda eliminacije.Znaci ideja Gaussove metode eliminacije se sastoji u tome da se pomou operacijaizbace nepoznanice koje se nalaze ispod ``glavne dijagonale''.

2Primjer 1.2

Treba rijeiti sustav

Mnoenjem prve jednadbe si dodavanjem treoj, i zatim mnoenjem prve jednadbe si dodavanjem etvrtoj, dobivamo

Zamijenimo mjesta tree i druge jednadbe, i zatim drugu mnoimo si si dodamo redom treoj i etvrtoj jednadbi.

Pomnoimo treu jednadbu si dodajmo etvrtoj

Dobili smo ``trokutast'' oblik, i sada rjeavamo jednadbe odozdo prema gore. Iz zadnje slijediuvrstimo to u treu, pa slijediuvrstimo u drugu, pa slijediuvrstimo u prvu, pa slijedi

2.

33. MATRICE

Umatematici,matricaje pravokutna tablicabrojeva, ili openito, tablica koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu zbrajati i mnoiti.Matrice se koriste za opisivanjelinearnih jednadbi, za praenjekoeficijenatalinearnih transformacija, kao i za uvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu zbrajati, mnoiti i razlagati na razne naine, to ih ini kljunim konceptom ulinearnoj algebriiteoriji matrica.

2.1 Osnovne operacije s matricama

Zadane su matrice i .

Izraunat emo:(a),(b),(c).Rjeenje.(a),(b),(c).

42.2 Mnoenje matrica

Izraunajte .

Rjeenje.

.

4.

55. RANG MATRICE

Odredite rang sljedeih matrica:(a),(b).Rjeenje.(a)Zamijenimo prvi i drugi redak da bi doveli brojna mjestoi tako pojednostavnili raunanje.

Elementarnim transformacijama nad retcima slijedi

Dobili smo matricu u reduciranom obliku koja je ekvivalentna polaznoj. Budui da je rang dobivene matrice jednak broju ne-nul redaka, slijedi

(b)Zamijenimo prvi i drugi redak i zadanu matricu svedimo na reducirani oblik. Vrijedi

6

Podijelimo sada drugi redak sa brojem. Tada je

Dobivena matrica je ekvivalentna polaznoj, odnosno obje imaju isti rang. Budui je rang dobivene matrice jednak broju ne-nul redaka, slijedi

6.

77. 8. DETERMINANTE

4.1. Sarrusovo pravilo

Sarrusovim pravilom izraunajmo determinantu matrice

Rjeenje.Prepiimo prva dva stupca zadane matrice iza treeg. Mnoenjem triju brojeva na dijagonalama, pri emu umnoke na padajuim dijagonala zbrajamo, a one na rastuim oduzimamo, dobivamo

4.2. Cramerovo pravilo

Cramerovim pravilom rijeite sustav

Rjeenje.Matrica sustavaje kvadratna i regularna jer je

Stoga vrijedi

gdje je

8

Slijedi

pa rjenje sustava glasi

9.

910. KRONECKER-CAPELLIJEV TEOREM

Sustav linearnih algebarskih jednadbi ima bar jedno rjeenje, ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proirene matrice sustava.

Dokaz. Sustav

moemo shvatiti kao jednakost dva vektor stupca

to se moe napisati i ovako

Na ovaj nain zapisani sustav pokazuje da postoji rjeenje sustava, ako i samo ako se desna strana moe prikazati kao linearna kombinacija stupaca matrice sustava. U tom sluaju je desna strana linearno zavisna od stupaca matrice sustava, tj. rang proirene matrice sustava jednak je rangu matrice sustava. Iz ovog zapisa se vidi da je svaka ureenan-torka koeficijenata linearne kombinacije koja daje desnu stranu rjeenje sustava.Iz zapisa sustava kao u dokazu teorema se vidi jo neto. Ako sustav ima rjeenja i ako su stupci matrice sustavalinearno nezavisni, onda se desna strana moe napisati kao linearna kombinacija stupaca matricei to na jedinstven nain (dokaz jedinstvenosti kao kod dokaza jedinstvenosti prikaza vektora u bazi. U tom sluaju koeficijenti linearne kombinacije ine rjeenje i to jedinstveno.

Primjer

Neka je dan sustav

10

Stupci matrice sustava su vektori

Oni su linearno nezavisni, ima ih tri, i kako su duljine tri, prema teoremu3oni ine bazu u vektorskom prostoru radij vektora u prostoru. Prema tome vektor desne strane

se moe na jedinstven nain prikazati kao linearna kombinacija vektoraRjeenje sustava je ureena trojka koeficijenata linearne kombinacije. Kako je

rjeenje sustava jeAko desna strana linearno zavisi od stupaca matrice sustava, i ako su stupci matricelinearno zavisni, onda se desna strana moe na vie naina prikazati kao linearna kombinacija stupaca matrice.

U tom sluaju postoje brojeviod kojih je bar jedan razliit od nule, tako da je

pa je

Tako imamo vie rjeenja.11.

1112. ZAKLJUAK

Ako soznaimo skup svih rjeenja pripadnog homogenog, a sskup svih rjeenja nehomogenog sustava, onda jevektorski prostor dimenzijegdje jerang matrice sustava, i vrijedi

gdjeine bazu uasu proizvoljni brojevi. Takoer vrijedi

Primjer Rijeiti sustav jednadbi

Rjeenje. Rjeenje ovog sustava je svaka ureena petorka (vektorstupac)

koja zadovoljava svaku jednadbu. Gauss-Jordanovim postupkom dolazimo do sustava

Odatle,

pa je rjeenje

Pri tom jepartikularno rjeenje, a vektori

ine bazu u vektorskom prostoru svih rjeenja pripadnog homogenog sustava.

Primjer Diskutirati i rijeiti sljedei sustav jednadbi u odnosu na parametar

Rjeenje. Proirena matrica sustava je

Mnoimo prvi redak redom si dodamo drugom, odnosno treem retku. Zatim tako dobiveni drugi redak dodamo treem. Konano prvim stupcem anuliramo elemente u prvom retku. Dobijemo

Sadane smijemos drugim stupcem anulirati elemente u drugom retku, jer se moe dogoditi da jeS elementarnim transformacijama smo gotovi, i treba provesti diskusiju.Ako jeonda jepa imamo beskonano mnogo rjeenja (jednoparametarsko rjeenje). Da dobijemo rjeenje u tom sluaju, moramo se vratiti korak natrag, prije anuliranja elemenata u prvom retku, i uvrstiti

Zatim pomnoiti drugi redak si dodati ga prvom.

Odatle se ita rjeenje

Ako jeonda jepa ne postoji rjeenje.Inae jei tada imamo jedinstveno rjeenje, koje dobijemo nakon Gaussovog postupka.

Iz zadnje jednadbe itamo da jeUvrtavanjem u drugu dobijemoi konano iz prve jednadbe slijedi

LITERATURA

1. R. Scitovski -Numerika matematika, Odjel za matematiku, Osijek, 2000.2. Repetitorij vise matematike B.Apsen3. Via matematika Trifunovi, Topalovi

12