DREPTE ȘI PLANE CLASA A- VIII- AOLIMPIADE FIȘE 9

1 ) Pe planul pătratului ABCD cu AB=3 cm, de aceeaşi parte a planului, se duc perpendicularele BN, CP, DQ. a) Să se determine lungimea segmentului CP ştiind că BN=2cm, DQ=4cm şi punctele A, N, P şi Q sunt coplanare.

b) Determinaţi poziţia punctului M pe perpendiculară în A pe planul (ABC) dacă BN=2cm, CP=8cm, DQ=4cm şi punctele M, N, P, Q sunt coplanare.

OL MARAMUREȘ 20112) Fie pătratul ABCD și rombul ABEF situate în plane perpendiculare cu AB=AE=a . a) Aflați aria triunghiului DEF. b) Comparați distanța de la punctul de intersecție al dreptelor CF și DE la planul pătratului respectiv la planul rombului . c) Calculați o funcție trigonometrică unghiului dintre dreptele AE și BD .

OL OLT 2011

OL ILFOV 20114) ABCD este un paralelogram cu şi M este mijlocul

laturii . În punctul P, , se ridică perpendiculara PQ pe planul

paralelogramului ABCD, astfel încât . a) Aflaţi aria paralelogramului ABCD. b) Calculaţi distanţele de la punctul Q la punctul C, respectiv la dreapta BC.

OL SIBIU 20115) Pe planul triunghiului ABC în punctele A şi B se ridică de o parte şi de alta a lui

perpendicularele AD şi BE, astfel încât m = 90. Demonstraţi că :

a) ;

b) .

OL ARGEȘ 20126) Fie patru puncte necoplanare A,B,C și D astfel încât AB = BC = CA = DA = DB = DC. Sș se arate că mijloacele fiecarei perechi de segmente necoplanare determină trei segmente concurente și congruente iar lungimea fiecărui segment reprezintă distanța dintre respectivele segmente necoplanare.7) Un triunghi isoscel ABC, de bază BC, se proiectează pe un plan α după triunghiul dreptunghic A' BC Să se demonstreze că triunghiurile ABC , A' BC , AA' D și A'AC nu pot avea simultan lungimile laturilor exprimate în numere naturale.

OL BACĂU 20128) Fie ABCD un pătrat de latură a . În punctul D se ridică o perpendiculară pe planul pătratului, pe care se ia punctul M, astfel încât, DM=2a. Dacă E este mijlocul laturii

AB, se cere: a) Distanţa de la M la laturile pătratului b) d (M, AC) şi d (D, (MAC)) c) d (M, CE)

OL BISTRIȚA 20129)

OL BUZĂU 201210) Pe planul pătratului ABCD se ridică perpendiculara SA = AB = a . Fie M (BC) astfel încât MC=a. a) Arătaţi că BD SC ; b)Calculaţi distanţa dintre BD şi SC; c) Aflaţi distanţa de la S la MD.

OL COVASNA 201211) Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare astfel încât BC = BD. Bisectoarele unghiurilor ABC şi ABD intersectează pe AC în P şi respectiv pe AD în Q. a) Demonstraţi că dreapta PQ este paralelă cu planul (BCD). b) Perpendicularele duse din A pe bisectoarele BP şi respectiv BQ intersectează pe BP în E şi pe BC în M, şi respectiv pe BQ în F şi pe BD în N. Determinaţi poziţia dreptei EF faţă de planul (ACD).

OL GORJ 201212) Pe perpendiculara ridicată în vârful C pe planul triunghiului echilateral ABC luăm

punctul S astfel încât . Fie D mijlocul segmentului (BC). Să se demonstreze

că !

OL HARGHITA 201213) Se consideră un dreptunghi ABCD cu AB=2 și BC= .Punctul M aparține laturii AD astfel ca MD = 2 și punctul N este mijlocul segmentului [AB]. Pe planul dreptunghiului se ridică perpendiculara MP și alegem punctul Q pe segmentul MP astfel încât măsura unghiului planelor (MPC) și (NPC) să fie de 450, iar măsura unghiului planelor (MPC) și (QNC) să fie de 600.

a) Să se arate că dreptele DN și CM sunt perpendiculare;b) Aflatț lungimile segmentelor PM, respectiv QM.

OL MUREȘ 201214) Fie ABCD un dreptunghi. Pe planul acestuia, de aceeaşi parte ducem perpendicularele AM, BN, CP, DQ astfel încât punctele M, N, P, Q, să fie coplanare. Demonstraţi că patrulaterul MNPQ este dreptunghi dacă şi numai dacă una din laturile sale este paralelă cu planul (ABC).

OL SATU MARE 201215) Fie ABCD un dreptunghi şi M, N, P trei puncte situate de aceeaşi parte a planului (ABC) astfel încât BM // CN // DP. Ştiind că punctele A, M, N, P sunt coplanare şi BM = 10, CN = 15, să se determine DP.

OL TIMIȘ 2012