X f Fa fr Fra

77 1 1 0.05 0.05

79 2 3 0.1 0.15

81 1 4 0.05 0.2

82 2 6 0.1 0.3

83 3 9 0.15 0.45

84 2 11 0.1 0.55

85 2 13 0.1 0.65

86 4 17 0.2 0.85

87 3 20 0.15 1

         

Intervalo f fa LIMITES REALES 

M (f.m)

145-149 2 2 144.5-149.5 147 294

150-154 4 6 149.5- 154.5 152 608

155-159 8 14 154.5- 159.5 157 1256

160-164 7 21 159.5- 164.5 162 1134

165-169 6 27 164.5-169.5 167 1002

170-174 8 35 169.5-174.5 172 1376

175-179 6 41 174.5- 179.5 177 1062

180 -184 4 45 179.5-184.5 182 728

∑N=45 ∑(f.m)7460

Tratamiento de Datos y Azar

ESTADÍGRAFOS DE FORMA• MEDIDAS DE FORMA

MEDIDAS DE FORMA

Son aquellos números resúmenes, que indican la morfología de la distribución de los datos, es decir de la simetría y apuntamiento que tiene el histograma de la variable en estudio. Sólo se pueden calcular en variables medidas en escala intervalar y de razón. Son el:

• SESGO (COEFICIENTE DE ASIMETRIA)• CURTOSIS

INTRODUCCIÓN

Coeficiente de asimetría:

Un conjunto de datos es simétrico, si lo es su histograma/diagrama de barras

1  2  3  4  5  6  7 1  2  3  4  5  6  7

Simetría

Asimetría negativa (a la izqda.) Asimetría positiva (a la dcha.)

x

MoMo

xSi As=0: Simetría

Medidas de Forma    Page 6

TIPOS DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA MÁSCOMUNES

Distribución Simétrica

Coeficiente de asimetría:

Asimetría negativa (a la izqda.) Asimetría positiva (a la dcha.)

x

MoMo

x

Mayor concentración de datos a la izquierda

Mayor concentración de datos a la derecha

Si  As>0: Asimetría positiva (a la dcha.)Si As<0: Asimetría negativa (a la izqda.)

Medidas de Forma    Page 8

DISTRIBUCIÓN ASIMÉTRICA

Coeficiente de asimetría:

Coeficiente de asimetría de Fisher: 

3

1

3

33

NS

xx

Sm

A

k

ii

s

Coeficiente de asimetría de Pearson: S

MoxCAP

(sólo variables con distribución acampanada) Mo: moda

(todo tipo de variables)

Coeficiente de apuntamiento o curtosis:

Previamente: curva normal N(µ,σ) o campana de Gauss

2

2

1

2

1)(

x

exf

Una variable estadística es normal si el polígono de frecuencias (utilizando %) se ajusta a esta curva. 

CURTOSIS

Si los datos están muy concentrado hacia la media, la distribución es leptocúrtica (curtosis mayor a 0). 

Si los datos están muy dispersos, la distribución es platicúrtica (curtosis menor a 0).

El comportamiento normal exige que la curtosis sea igual a 0 (distribución mesocúrtica).

Indica que tan apuntada o achatada se encuentra una distribución respecto a un comportamiento normal (distribución normal). 

4

1

4

44 3

NS

xx

Sm

a

k

ii

Aceptamos que un conjunto de datos es “aproximadamente  normal”cuando los coeficientes de asimetría y de curtosis tipificadas están entre -2 y 2.  

Ligeras correcciones de los coeficientes de asimetría y curtosis dan lugar a los coeficientes de asimetría y 

curtosis tipificadas (Statgraphics)

Xi fi xf x-¨x¨ f/(x-¨x¨)/ f(x-¨x¨)2 f(x-¨x¨)3 f(x-¨x¨)4

27 1 27 -3.45 3.45 11.90 -41.06 141.66

28 2 56 -2.45 4.90 12 -29.41 72.06

29 6 174 -1.45 8.70 12.61 -18.29 26.52

30 7 210 -0.45 3.15 1.41 -0.63 0.28

31 8 248 0.55 4.40 2.42 1.33 0.73

32 3 96 1.55 4.65 7.2 11.16 17.31

33 3 99 2.55 7.65 19.5 49.74 126.84

34 1 34 3.55 3.55 12.60 44.73 158.82SUMA 31 944 40.45 79.64 17.57 544.22

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

Los puntajes de los 40 alumnos son:110, 102, 108, 115, 120, 130, 93, 124, 112, 102, 110, 108, 108, 109, 110, 90, 95, 98, 104, 124, 130, 97, 125, 136, 140, 104, 108, 96, 106, 107, 103, 92, 122, 93, 99, 107, 105, 103, 115, 110.

CLASES 

F L. R. M M*f (m-) f/(m-)/

f * (m-)2

f * (m-)3 f * (m-)4

90-97 7 89.5-97.5 93.5  654.5 -16.2 113.4 1837.08 -29760.69

98-105 9 97.5-105.5 101.5 913.5 -8.2 73.8 605.16 -4962.31

106-113 13 105.5-113.5

109.5 1423.5

-0.2 2.6 0.52 -0.104

114-121 3 113.5-121.5

117.5 352.5 7.8 23.4 182.52 1423.65

122- 129 4 121.5-129.5

125.5 502 15.8 63.2 998.56 15777.24

130-137 3 129.5- 137.5

133.5 400.5 23.8 71.4 1699.32 40443.81

138-145 1 137.5-145.5

141.5 141.5 31.8 31.8 1011.24 32157.43

total 40 4388 379.6 6334.4 55079.04

RANGO (R) 140-90= 50NO DE CLASE (K)  1 + 3.3 log (40)=6.28=7APLITUD DE CLASE (A)   50/7=7.14= 8

Tarea 

•  El gerente de una compañía de ventas al mayoreo de diferentes tipos de mercancías desea conocer el comportamiento de las llamadas telefónicas durante los meses de marzo y abril del año en curso; por lo que le encomienda a su secretaria que realice esa investigación. La secretaria obtuvo los siguientes datos, en número de llamadas por día: 30, 38, 36, 35, 29, 28, 30, 35, 40, 48, 50, 20, 25, 56, 30, 27, 29, 46, 41, 31, 31, 31, 39, 28, 36, 37, 52, 44, 49, 52, 56, 58, 40, 39, 38, 40, 27, 24, 30, 32, 35, 38, 26, 25, 24, 60, 55, 48, 37, 31, 30, 22, 20, 24, 26, 23, 22, 28, 27, 48

De la siguiente tabla de frecuencias calculara: La moda, mediana y media.El rango, desviación media y varianza

Clases16 fi MCiLs+ Li / 2

XMCi * fi

[50, 60) 8    

[60, 70) 10    

[70, 80) 16    

[80,90) 14    

[90, 100) 10    

[100, 110) 5    

[110, 120) 2