2. Objasniti proces odabiranja i zadrške?

U digitalnom sistemu diskretizacija kontinualnog signala inherentno sadrži dve operacije: proces odabiranja i zadrške. Ako se diskretizacija vrši i po nivou i po vremenu i kvantovani odbirci ne menjaju (zadržavaju) do sledećeg

trenutka odabiranja, tada se rezultat procesa odabiranja i zadrške može predstaviti kao na sl. 2., gdje je

kontinualan signal koji se diskretizuje, a f h( t ) je digitalni signal čije su vrednosti konstantne između dva sukcesivna trenutka odabiranja.

Sl. 2. Odabiranje i zadrška kontinualnog signala

Diskretni nivoi signala f h( t ) su, dakle, dati u vidu digitalnih reči i, ako je dužina reči dovoljno velika, tj. ako

je kvant Δy po nivou vrlo mali, može se privatiti da su diskretni nivoi u j f h( t ) jednaki vrednostima f (kT )siganala

f ( t ) u trenutcima odabiranja. Ako signal f ( t ) ne sadrži impuls u bilo kom trenutku odabiranja, tada se f h( t ) može izraziti zbirom pravougaonih signala trajanja T i amplituda f(kT), k=0, ±1, ±2,...

, (1)

gdje je h(t) Hevisajdov signal u trenutku t=0.

S obzirom da je Z [h(t)]=1/s i primenom teoreme Laplasove transformacije o čistom vremenskom kašnjenju,

kompleksni lik signala f h( t ) je

3. Kompleksni lik

Kompleksni lik povorke odbiraka se dobija iz u obliku:

Polovi kompleksnog lika

su korijeni jednačine ili

4. Teorema odabiranja

teoriski ne postoji ograničenje za gornju granicu brzine odabiranja, odnosno za smanjivanje periode odabiranja počev od teoriski dozvoljene maksimalne vrrednosti. Razume se, kada se perioda odabiranja drastično smanji, povorka odbiraka se, u stvari, svodi na kontinualan signal. Ipak, praktična ograničenja postoje. Pre svega, nije moguće fizički realizovati uređaj kopi bi neograničeno brzo registrovao odbirke i vršio njihovu konverziju u brojne vrednosti. Zatim, ne postoji idealni proces odabiranja: odbirci posjeduju neko trajanje ε potrebno za njegovo registrovanje i konverziju, pa otuda perioda odabiranja ne može biti kraća od ε. Konačno, suviše mala perioda odabiranja znači vrlo široko

Nyquistovo područije učestanosti . Unutar tako velikog područija učestanosti može doći do izražaja ne modelirana dinamika analiziranog realnog sistema ili, kad je riječ o digitalnoj obradi signala, povećan uticaj superponiranog šuma na vrijednosto odbiraka.

5. Kolo zadrške nultog reda

kolo zadrške nultog reda na svom izlazu daje signal sa talasnim oblikom koji ima konstantne vrednosti između dva sukcesivna trenutka odabiranja, tj. gde su:

za pri svim k=0,1,2...

Sl.3.19 Način rada kola zadrške nultog reda: Sl.3.20 (a) Jedinična impulsna pobuda

-ulazna povorka odbiraka, m(t) (b)Normalni impulsni odziv kola

Kontinualni signal na izlazu zadrške nultog reda.

Na slici 3.21 prikazane su frekvencijske karakteristike kola zadrške nultog reda, koje pokazuju da se ovo kolo ponaša kao NF filter. Poređenjem sa idealnim NF filtrom se vidi da postoje karakteristična odstupanja. Za razliku od idealnog NF filtra, kolo zadrške nultog reda nema ravnu, već nagibnu amplitudnu frekvencisku karakteristiku u

područiju učestanosni osnovnog spektra . Otuda kolo zadrške nultog reda unosi slabljenja amplituda viših harmonika unutar osnovnog spektra povorke odbiraka.Pored toga, dok idealni NF filtar definitivno uklanja harmonike unutar svih komplementiranih spektara, kolo zadrške te harmonike propušta oslebljene.Pri tome nivo slabljenja se povećava za harmonike komplementarnih spektara viših područja učestanosti

Sl.3.21 Frekvencijeske karakteristike kola zadrške nultog reda

6. Osobine Z transformacije

Izvodjenja z-transformcije za konkretne signale ili povorke odbiraka, kao i primena z-transformacije, mogu se cesto uprostiti koriscenjem osobina ove transformacije od kojih se ovde navode najcesce koriscene. Vecina tih osobina se moze pokazati polazeci neposredno od definicije z-transformacije.

1.1 LINEARNOST

Operator z-transformacije je linearna, sto znaci da za z-transformaciju vaze principi aditivnosti i homogenosti. Ovi principi se jednostavno dokazuju na osnovu definicije z-transformacije.

Prema principu aditivnosti , ako su = i = , tada

Po principu homogenosti, ako je , bice

, gde je konstanta nezavisna od vremena.

1.2 POMERANJAU VREMENSKOM DOMENU

Ova osobina z-transformacije se vrlo cesto koristi. Po toj osobini, ako je

, tada su

, i

gde je proizvoljna pozitivna celobrojna konstanta.

I ove osobine se mogu dokazati polazeci od definicionog izraza za z-transformaciju,

prema kome je

Prethodni izraz se formalno moze prepisati u obliku

Posle zamene prethodna jednacina postaje

= = ,

jer je deo sume za <0 jednak nuli, posto je signal , po pretpostavci, kauzulan,

tj. za t<0.

1.3 POMERANJE KOMPLESNOG LIKA

Ova osobina se moze pogodno koristiti za odredjivanje kompleksnih likova

signala koji sadrze faktor . Naime pokazacemo da je

Iz definicije z-transformacije sledi da je

ili, posle smene ,

,

a to je trebalo i dokazati.

1.4 POCETNA VREDNOST ORIGINALA

Vrednost signala u okoline tacke moze se odrediti na osnovu z-komplesnog lika

tog signala. Polazeci od definicije

i dopustajuci da u prethodnom izrazu z , dobijemo

.

Razume se, primena prethodnog rezultata podrazumeva da postoji navedena granicna vrednost od F(z).

1.5 KRAJNJA VREDNOST ORIGINALA

Ako je F(z) i ako funkcija nema polova na i van jedinicnog kruga sa centrom u koordinatnom pocetku z-ravni, tada je

.

1.6 PARCIJALNI IZVOD

Neka je z-kompleksni lik signala , gde nezavisno promenljiva ili konstanta. Tada je

.

Ovo se lako dokazuje polazeci od definicije z-transformacije po kojoj je

.

1.7 KONVOLUCIJA ORIGINALA

Ako su kompleksni likovi signala i respektivno i i ako su za t<0 oba signala i

, tada, analogno konvolucionom integralu za kontinualne signale, postoji diskretna konvolucija za povorke

odbiraka .

U cilju dokaza ove osobine, uocimo da se desna strana gornjeg izraza moze prepisati kao

jer je za < ili za . Izmenom redosleda sumiranja i zamenom dobija se

Posto je za , poslednja jednacina se svodi na

.

7. Definisati funkciju direktnog prenosa

Za teoriju i praksu digitalnih sistema neophodno je proučiti šta se dešava kada se diskretnim signalom pobuđuje linearni kontinualni stacionarni sistem sa koncentrisanim parametrima,opisan funkcijom prenosa G(s).

Takav slučaj je prikazan na slici. Napomenimo da odbirci u povorci r¿

(t) mogu biti impulsi,ako S shvatamo kao fizički odabirač koji ostvaruje vremenski kratke kontakte periodično svakih T sekundi.Međutim,u digitalnim sistemima, a to je sada najčešći slučaj diskretnih sistema,odabirač S simbolički predstavlja proces

odabiranja. Naime, u digitalnom sistemu odbirci u povorci r¿

(t) su digitalne riječi,odnosno vrijednosti analognog signala r(t) u trenucima odabiranja, date u binarnom

kodu i dobijene, naprimjer, na izlazu nekog

A/D konvertora. Signal takve prirode nije moguće dovesti na ulaz većine kontinualnih sistema koji se sreću u praksi digitalnih sistema automatskog upravljanja.Stoga se takav digitalni signal najprije propušta kroz D/A konvertor koji se nalazi ispred kontinualnog procesa,kao što je prikazano na slici.Pošto D/A konvertor u ulozi kola zadrške nultog

reda ima funkciju prenosa Gh 0 (s)=(1-e−sT

)/s,tada je ukupna funkcija prenosa G(s) kontinualnog dijela sistema određena sa

gdje je Gp (s) funkcija prenosa procesa.

8. Analiza digitalnog sistema upravljanja tehnikom prostora stanja (prednosti i način predstavljanja modela objekta upravljanja)

Određivanje trajektorije digitalnog sistema u prostoru stanja podrazumijeva rješavanje diferencne jednačine stanja

x [ (k+1 )T ]=E (T ) x (kT )+F (T ) m (kT ) za dato početno stanje x(0) i poznate vrijednosti ulaza m(kT) u trenucima odabiranja 0, T, 2T...

x (NT )=E (T ) x [ (N−1 ) T ]+F (T ) m [ ( N−1 )T ]=E ( NT ) x (0 )+∑K =0

N−1

E [ ( N−k−1 )T ] F (T ) m (kT )

Na ovaj način je određeno kretanje digitalnog sistema u prostoru stanja, jer ova jednačina omogućava da se odrede sva stanja u trenucima 0, T, 2T..., a ako se zna početno stanje x(0) i ulazi sistema m(0), m(T)... treba imati ipak u vidu i ograničenja: jednačina određuje stanje sistema samo u trenucima odabiranja, tj. ne daje informaciju o stanju sistema između ovih trenutaka i važi samo za dinamički sistem na čijim se ulazima nalaze kola zadrške nultog reda.

9. Šta je kontrolabilnost a šta opservabilnost digitalnih sistema upravljanja?

- Za definiciju kontralibilnosti digitalnog sistema pretpostavlja se da je model sistema poznat u vidu diferencne

jednačine stanja : X [ (k+1 ) ]=E (T ) xK (T )+F (T ) m (kT ) gdje je m(kT) r – dimenzionalni vektor ulaza, čije su koordinate mi(kT),i=1,2...r, konstante između trenutaka odabiranja, za kT<=1<(k+1)T, k=0,1,1... Matrice E(T) i F(T) su dimenzija n x n i n x r respektivno.

Za digitalni sistem kažemo da je potpuno kontrolabilan, ako je moguće odrediti strategiju pobuđivanja, odnosno vrijednosti ulaza m(kT) u trenucima odabiranja k=0,1,2...N-1, koja će prevesti sistem iz proizvoljnog početnog stanja x(0) u zadato krajnje stanje x(NT) u toku konačnog broja N perioda odabiranja gdje je N pozitivna cjelobrojna konstanta. Može se usvojiti da je krajnje stanje x(NT) ravnotežno (nulto) stanje x(NT)=0.

Svojstvo opservabilnosti omogućava da se rekonstruišu vrijednosti svih koordinata stanja digitalnog sistema u trenutku odabiranja t=kT na osnovu mjerenja izlaza u izvjensom broju prethodnih trenutaka odabiranja. Opservabilnost igra važnu ulogu u sintezi regulatora sa povratnom spregom po izlazu jer se tada obično zahtijeva da

se ulaz sistema m(kT) automatski generiše u zavisnosti od promjenjivih stanja koje se najprije rekonstruišu na osnovu mjerenja mjerljivih izlaza.

Za definiciju opservabilnosti se pretpostavlja da je model digitalnog sistema poznat u vidu diferencne jednačine stanja i jednačine izlaza:

x [ (k+1 )T ]=E (T ) x (kT )+F (T ) m (kT )

c (kT )=Dx (kT )+Hm (kT )

10. Ljapunova definicija stabilnosti?

Za dato stacionarno stanjexe (t k ) se kaže da je stabilno ako pri nekom datom realnom pozitivnom broju ε>0 postoji

drugi realni broj δ(ε)>0 takav da pri svim početnim uslovima x ( t0)unutar hipersfere poluprečnika:

‖x (t0)−xe‖≤δ, trajektorije sistema x ( t k )ostaje u okolini stacionarnog stanja, unutar hipersfere poluprečnika ε u

prostoru stanja, tj. ‖x (t k )−xe‖≤ε

. Pod ‖x‖ se podrazumijeva Euklidova norma vektora ‖x‖=( xT x )1/2. Ako u

prostoru stanja diskretnog sistema formiramo dvioje koncentrične hipersfere poluprečnika ε i δ(ε) sa centrima u

posmatranom ravnotežnom stanju xe (t k ) i izvedemo sistem iz ravnotežnog stanja, zadavajući poremećaj početnog stanja negdje unutar sfere δ(ε), tada će, ako je stacionarno stanje x stabilno, trajektorija kretanja sistema u svim budućim trenucima odabiranja ostati unutar sfere poluprečnika ε, tj. u okolini posmatranog ravnotežnog stanja.

14. Konvencionalni digitalni regulatori?

Da bi se zadovoljili svi postavljeni zahtjevi sistema koji se odnose na karakter ponašanja i način rada u stacionarnom stanju, kao i kvalitet ponašanja u prelaznom procesu koriste se konvencionalni proporcionalno integralno diferencijalni regulator (PID). Ovi regulatori su relativno jednostavni jer se mogu realizovati pomoću skromnih procesora a oni imaju standardne strujne i naponske ulaze i izlaze. Osim toga za konkretan proces postoji mogućnost podešavanja parametara regulatora tako da i nije potrebno koristiti neke složenije uređaje. Nedostatak PID regulatora u odnosu na analogne regulatore je gubitak dijela informacija koja zavisi od perioda odabiranja, a prednost im je veća fleksibilnost jer se različiti algoritmi upravljanja mogu koristiti na istom računaru.

Digitalni regulator na ulazu ima A/D konvertor koji generiše odmjerke upravljanje promjenjive ili signala greške. Mikroračunar na osnovu odmjeraka signala greške realizuje zadani algoritam upravljanja opisan funkcijom diskretnog prenosa D(z). Regulator na izlazu ima D/A konvertor i izlazni stepen koji izlaz D/A konvertora transformiše u željeni standardni signal koji zahtijeva proces, odnosno izvršni organ. Izvršni organ i detektor čine objekat upravljanja. Upravljačka promjenjiva u(k) koju generiše mikroračunar u vidu povorke digitalnih riječi se ne može dovesti direktno na objekat upravljanja pa je potrebno pretvoriti stepenasti u kontinulani signal m(t) pomoću D/A konvertora, odnosno kola zadrške nultog reda. Da bismo imali signal koji zahtijeva većina savremenih izvršnih objekata, izlazni stepen regulatora koji je najčešće naponsko-strujni pretvarač ima izlaz neke od standardnih signala.