Dvoatomna linearna rešetka

Promatramo linearnu rešetku s dva različita atom u elementarnoj ćeliji.

⊲ Konstanta rešetke je a.

⊲ Udaljenost između susjednih različih atoma je a/2

⊲ Mase atoma su M1 i M2. (Neka je M1 > M2)

⊲ Konstanta elastičnosti (druga derivacija potencijalne energije) jednaka

je β.

a a a a

M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1

⊲ Položaje atoma prikazujemo relativnim pomacima:

rn = n ·a

2+ un, (n = indeks atoma)

⊲ Parni atomi u nizu imaju masu M1, a neparni M2.

⊲ Ukupna energija:

E =∑

l

M1 u22l

2+

M2 u22l+1

2+

β

2(u2l−u2l+1)

2 +β

2(u2l+1−u2l+2)

2

⊲ Jednadžbe gibanja:

M1 u2l = −β (2u2l − u2l+1 − u2l−1)

M2 u2l+1 = −β (2u2l+1 − u2l+2 − u2l)

⊲ Ponovo riješenje tražimo u obliku ravnih valova:

u2l = Aei[k(2l)a2 − ωt]

u2l+1 = Bei[k(2l+1)a2 − ωt].

⊲ Pretpostavljamo da je amplituda ravnog vala različita za različite vrste

atoma (prefaktori A i B ispred eksponencijalne funkcije).

⊲ Uvrštavanjem ravnog vala u sustav jednadžbi gibanja, dobiva se

homogeni sustav od dvije jednadžbe za nepoznate amplitude, A i B.

[−M1ω2 + 2β] ·A − 2β cos (

ka

2) ·B = 0

− 2β cos (ka

2) ·A + [−M2ω

2 + 2β] ·B = 0

⊲ Amplitude A i B su različite od nule samo ako je determinanta sustava

jednaka nuli (homogeni sustav jednadžbi)

det

[−M1ω2 + 2β] − 2β cos (

ka

2)

− 2β cos (ka

2) [−M2ω

2 + 2β]

= 0.

⊲ I iz tog uvjeta opet dobivamo jednadžbu koja povezuje frekvenciju i

valni broj:

[−M1ω2 + 2β] · [−M2ω

2 + 2β] − 4β2 cos2 (ka

2) = 0.

⊲ Jednadžba ima dva rješenja:

ω2±(k) = β

M1 +M2

M1 M2

1 ±

√

1 −4 M1 M2

(M1 +M2)2sin2 (

ka

2)

-πa

πa

ω(k)

ω+(0)

ω+(k)

k

ω+(π

a)

ω−(π

a)

v · k-v · k

ω−(k)

ω+(k = 0) =

√

2βM1 +M2

M1 M2

ω±(k =π

a) =

√2β

M2(+)

√2β

M1(−)

v = a

√

β

2(M1 +M2)(brzina)

⊲ Frekvencija ω−(k) −→ akustičko titranje.

⊲ Frekvencija ω+(k) −→ optičko titranje.

Akustičko titranje

M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1

A B A B A B A B A

⊲ Frekvencijska ovisnost akustičkog titranja slična je titranju jedno-

atomne rešetke.

⊲ Pomaci atoma, A i B, su u fazi

⊲ Brzina širenja poremećaja je:

v = a

√

β

2(M1 +M2)

⊲ Brzina ovisi o ukupnoj masi atoma unutar jednične ćelije.

Optičko titranje

M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1

A B A B A B A B A

⊲ Frekvencija optičkog titranja slabo ovisi o valnom vektoru.

⊲ Pomaci atoma, A i B, su u anti fazi.

⊲ Pomaci atoma, A i B, obrnuto su proporcionalni masama atoma tako

da je težište jednične ćelije približno nepomično:

M1 · A+ +M2 ·B+ ≈ 0.

⊲ Akustičko titranje na rubu Brillouinove ima frekvenciju

√2β

M1pri

čemu se pomiču samo teži atomi (B ≡ 0)

⊲ Optičko titranje na rubu Brillouinove ima frekvenciju

√2β

M2, a pomiču

se samo lakši atomi (A ≡ 0).

⊲ Broj različitih vrsta titranja (akustičko, optička) jednak je broju atoma

po jediničnoj ćeliji. Samo jedno od njih (akustičko) ima frekvenciju

jednaku nuli kada je valni vektor jednak nuli. Ostala su titranja

optička.

⊲ U realnim kristalima u kojima su pomaci 3D vektori, postoje 3

akustička titranja, je 3(n-1) optičko, gdje je n broj atoma po jedničnoj

ćeliji.

Ionski kristali u elektromagnetskom polju

Linearna rešetka s dva atoma je pojednostavljeni prikaz ionskog kristala.

⊲ Neka pozitivni ioni imaju masu M1, a negativno navijeni ioni masu

M2.

⊲ Naboji iona neka su ±q.

⊲ Pretpostavit ćemo da je EM-polje linearno polarizirano, te da elek-

trično polje ima smjer titranja iona linearne dvoatomne rešetke.

~Bmagnetsko polje

~E

električno polje

+-

+

-

+

-

+

-

+- +

-

+

-

+

-

⊲ Pod utjecajem električnog polja, pozitivni ioni će se pomicati u jednom

smjeru, a negativni u drugom. Kao rezultat stvara se deformacija slična

onoj koja se pojavljuje kod optičkih fonona.

⊲ Ako EM val ima frekvenciju približno istu kao optičko titranje, ωEM =

c · kEM ∼ ωph, tada je njegova valna duljina λEM = 2π/kEM =

2π · c/ωph ∼ 10−3 cm.

⊲ Dakle λEM je puno veća od konstante rešetke a, pa je uobičajeno

pretpostaviti kEM ≈ 0, ili λEM → ∞. Isto vrijedi za optičko titranje

koje taj EM val izaziva: koptičko ≈ 0.

⊲ Jednadžbe gibanja pod utjecajem EM polja:

M1 u2l = −β (2u2l − u2l+1 − u2l−1) + q F

M2 u2l+1 = −β (2u2l+1 − u2l+2 − u2l) − q F,

gdje je F električno polje:

F = F0 ei(kEMna−ωt) ≈ F0 e−iωt

⊲ EM val će izazvati titranje kristala koje se može prikazati kao ravni

val valnog broja jednakog nuli.

u2l = A e−iωt

u2l+1 = B e−iωt

⊲ Uvršavanjem u jednadžbe gibanja nalazimo vezu između amplituta

titranja pozitivnog i negativnog iona, A i B, i jačine EM vala, F0.

⊲ Radi se o sustavu dvije jednadžbe s dvije nepoznate:

(M1ω2 − 2β) · A + 2β ·B = − q F0

2β ·B + (M2ω2 − 2β) ·A = + q F0

⊲ Rješenje:

A = +q F0

M1[ω2+(k = 0)− ω2]

B = −q F0

M2[ω2+(k = 0)− ω2]

ω+(0) je frekvecija optičkog titranja za valni broj k=0:

ω+(0) =

√

2βM1 +M2

M1 M2

⊲ Amplitude A i B imaju različite predznake.

+ - + - + -

- + - + - +

+ - + - + -

- + - + - +

+ - + - + -

- + - + - +

+-

+-

+-

-+

-+

-+

+-

+-

+-

-+

-+

-+

+-

+-

+-

-+

-+

-+

Pomicanje pozitivnih naboja na jednu stranu, te negativnih iona na drugu,

svaka jednična ćelija postaje mali dipol.

⊲ Iznos dipolnog momenta:

d(t) = q (A−B) e−iωt =q2F0

mr[ω2+(0)− ω2]

e−iωt,

gdje je

mr =M1 M2

M1 +M2tz. reducirana masa

⊲ Polarizacija (ili gustoća dipolnih momenata) je P = G · d, gdje je G

je broj jedničnih ćelija u jedinici volumena.

⊲ Dielektrični pomak, D = ǫ0F + P = ǫ F = ǫ0ǫr F , gdje je ǫ

dielektrična konstanta (funkcija).

Relativna permitivnost (dielektrična konstanta) je

ǫr = 1 +Ω2

p

ω2+(0)− ω2

,

gdje je Ωp = q

√G

ǫ0 mr

tz. frekvencija ionske plazme.

G ≈ 5 1028 m−3

mr ≈ 10−25 kg

q ≈ 1, 6 10−19 C

⇒ Ωp ≈ 4 1013Hz

što je istog reda veličine kao i ω+ (≈ 3 1013 Hz).

ǫr(0)

1.0

ǫr(ω)

ω+ ω

Relativna permitivnost ǫr kao funkcija frekvencije ω

ǫr(ω = 0) = 1 +Ω2

p

ω2+

≈ 2

jer su Ωp i ω+ istog reda veličine.

»ponavljanje«

⊲ Dielektrični pomak, ~D, ≡ vanjsko elekrično polje. Ono NE sadrži

dopinose elekričnom polju koji dolaze od naboja u materijalu. U

našem slučaju to je EM val.

⊲ Električna polarizacija, ~P , je gustoća dipolnih momenata izazvanih

(induciranih) vanjskim poljem.

⊲ Inducirani dipolni momenti u materijalu također stvaraju dodatno

električno polje, koje je dio ukupnog (pravog) električnog polje ~E.

Dakle, pravo polje je zbroj vanjskog električnog polja i električnog

polja dipolnih momenata:

~E =1

ǫ0~D +

−1

ǫ0~P

⊲ Dipolni momenti djeluju tako da umanjuju vanjsko električno polje, ili

zasjenjuju ga. Zbog toga je pravo električno polje manje nego što

bi bilo kada ne bi bilo dielektričnog medija.

»ponavljanje« - Superpozicija električnogpolja

+ -

+ -

Ukupno električno

polje je zbroj električ-

nih polja svih naboja.

Samo naboj

+~E = ~E0 6= 0

Samo dielektrik

< ~Ei >= 0

Naboj i dielektrik

+~E = ~E0+ < ~Ei >

U prisustvu vanjskog naboja < ~Ei > 6= 0, pa je:

~E = ~E0+ < ~Ei >=1

ǫr

~E0

Glavni doprinos električnom polju naboja u dielektriku

dolazi od polarizacije, gustoće dipolnih momenata, i

ono iznosi:

< ~Ei >= −1

ǫ0

~P .

Ako je ~P = α · ~E, tada je ǫr = 1 +α

ǫ0

Polarizabilnost atoma i molekula

⊲ Vanjsko električno polje ne utječe samo na gibanje iona, nego i na

gibanje elektrona oko jezgre. Ono izaziva polarizaciju samih atoma,

tako da svaki atom postaje mali dipol.

⊲ Kada nema vanjskog polja položaj jezgre i centar elektronske gustoće

se poklapaju pa je dipolni moment atoma jednak nuli.

⊲ Ali pod utjecajem vanjskog električnog polja, položaji jezgre i centar

elektronske gustoće se razmiču, pa atom postaje mali dipol. Kažemo

da se je atom polarizirao.

Dipolni moment atoma - jednostavni model

Poslužit ćemo se istim onim modelom kojim smo se koristili kod izračuna

Van der Waalsovih sila.

⊲ Atome zamišljamo kao harmoničke oscilatore u kojima su negativni

elektroni oprugom vezani za pozitivne (i nepomične) jezgre.

⊲ Frekvencija titranja atomskog HO treba biti jednaka frekvenciji kruže-

nja elektrona oko jezgre, a to odgovara frekvenciji atomskog spekata

atoma koji se promatra. Ova frekvencija je puno veća (oko tisuću

puta) od frekvencije titranja atoma u kristalu.

ω0 ∼ 1016 Hz.

+-

xm x = −ω2

0 m x︸ ︷︷ ︸

atomski HO oscilator

+ (−e)F0 e−iωt

︸ ︷︷ ︸

EM val

Riješenje:

x(t) = −eF0

m (ω20 − ω2)

e−iωt

Dipolni moment jednog atoma:

d(t) = (−e) · x(t) =e2

m (ω20 − ω2)

F (t)

Polarizacija P

P = Neld(t) =Nel e

2

m (ω20 − ω2)

F (t)

Permitivnost koja dolazi od atomske polarizabilnosti:

ǫ(el)r = 1 +ω2p

ω20 − ω2

, gdje je ωp =

√

Nele2

ǫ0 m.

ωp je frekvencija elektronske plazme.

Nel ≈ 5 1028 m−3

m ≈ 10−30 kg

e ≈ 1, 6 10−19 C

⇒ ωp ≈ 1016Hz

Ukupna permitivnost:

ǫr = 1 +ω2p

ω20 − ω2

+Ω2

p

ω2+ − ω2

Doprinos permitivnosti od dipolnih molekula

⊲ Molekule sa stalnim dipolnim momentom mogu dodatno doprinositi

ukupnoj permitivnosti (H2O, HCl, H2S, HBr, NH3,. . . ).

⊲ Kada je ~E=0 njihovi su dipolni momenti nasumično orjentirani pa je

gustoća dipolnih momenata jednaka nuli.

⊲ Kada je ~E 6=0 dipolne molekule će se pretežno orjentirati tako da

im je dipolni moment paralelan s električnim poljem. Pojavit će se

polarizacija ~P (6=0) koja će doprinositi ukupnoj permitivnosti.

⊲ Ako električno polje previše brzo titra, molekule rotacijom neće moći

slijediti električno polje, pa će srednja gustoća dipolnih momenata

opet biti jednaka nuli. Frekvencija kod koje to dolazi je ωper ∼

1010-1011 Hz.

Logaritamska skala frekvencija

|0.0

statička

ω=0 granica

|1010

|1011

permanentni

dipoli

|1013

optička

titranja

rešetke

|1016

atomi i

molekule

Hz

⊲ Relativna permitivnost povezana je s indeksom loma:

ǫr(ω) = n2(ω)

⊲ Indeks loma ovisi o frekvenciji EM vala.

1.0

ǫr(ω)

ω0 ω

n(ω) ≈

√

1 +ω2p

ω20 − ω2

n(ωljubičasto) > n(ωcrveno)

⊲ Frekvencija vidljive svjetlosti (ω ∼ 2 ·1015 - 4 ·1015 Hz) puno je

veća od frekvencije optičkog titranja rešetke. Na indeks loma vidljive

svjetlosti najviše utječe atomska polarizabilnost.

Ljubičasta svjelost se više lomi od crvene.