พลวัตของตัวแบบธุรกิจของแคลดอร-คาแลคกีที่มีดีเลย

Dynamics of the Kaldor-Kalecki Business Model with Time Delay

นายธีรวัฒน จึงสรรคศุภชัย

นายพนมกร ตาลพรรณ

นายชัยธนัช ประภัสโรทัย

โครงงานนี้เปนสวนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรปริญญาวิทยาศาสตรบัณฑิต

สาขาวิชาคณิตศาสตรประยุกต ภาควิชาคณิตศาสตร

คณะวิทยาศาสตรประยกุต มหาวิทยาลยัเทคโนโลยีพระจอมเกลาพระนครเหนอื

ปการศึกษา 2554

ลิขสิทธ์ิของภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตรประยุกต มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาพระนครเหนือ

ช่ือโครงงาน : พลวัตของตัวแบบธุรกิจของแคลดอร-คาแลคกีที่มีดีเลย

Dynamics of the Kaldor-Kalecki Business Models with Time Delay

โดย : นายธีรวัฒน จึงสรรคศุภชัย

นายพนมกร ตาลพรรณ

นายชัยธนัช ประภัสโรทัย

สาขาวิชา : คณิตศาสตรประยุกต

ภาควิชา : คณิตศาสตร

คณะ : วิทยาศาสตรประยุกต

อาจารยที่ปรึกษา : อาจารย ดร.เอกชัย คุณวุฒิปรีชาชาญ

อาจารยที่ปรึกษารวม : รองศาสตราจารย สุพร รัตนพันธ

ปการศึกษา : 2554

ภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตรประยุกต มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลา-

พระนครเหนืออนุมัติใหโครงการนี้เปนสวนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรปริญญาวิทยาศาสตร

บัณฑิต สาขาวิชาคณิตศาสตรประยุกต

อาจารยที่ปรึกษา

(อาจารย ดร.เอกชัย คุณวุฒิปรีชาชาญ)

อาจารยที่ปรึกษารวม

(รองศาสตราจารย สุพร รัตนพันธ)

กรรมการ

(รองศาสตราจารย ปรียา ขุมทรัพย)

ก

บทคัดยอ

โครงงานนี้เปนการศึกษาและวิเคราะหตัวแบบทางธุรกิจของแคลดอร-คาแลคกี (Kaldor – Kalecki

Model) พรอมทั้งศึกษาความเสถียรของตัวแบบดังกลาวในกรณีที่ไมมีดีเลยและกรณีที่มีดีเลยซ่ึงตัวแบบ

ดังกลาวเปนตัวแบบที่แสดงความสัมพันธระหวางรายไดประชาชาติกับทุนเรือนหุน ในการวิเคราะหจะเนน

ที่การวิเคราะหหาเง่ือนไขของความเสถียรของจุดสมดุลของตัวแบบแคลดอร-คาแลคกีท้ังสองกรณี โดยใช

วิธีการแปลงใหอยูในรูปสมการเชิงเสนรอบจุดสมดุล จากผลการวิเคราะหทําใหเราไดเง่ือนไขเพียงพอ

สําหรับความเสถียรของจุดสมดุลของสมการท่ีเราเลือกมาศึกษา ในสวนทายของโครงงานนี้จะแสดงความ

เสถียรในตัวแบบทั้งสองของแคลดอร-คาแลคกีในรูปกราฟ โดยการใชโปรแกรมสําเร็จรูปทางคณิตศาสตร

Matlab® ซ่ึงพบวาผลจากโปรแกรมสอดคลองกับผลที่ไดจากการวิเคราะห

ข

Abstract

In this project we aim to study and analyze Kaldor-Kalecki model related to the investment and

capital stock with and without time lag. The analysis will be focused on the stability of such a model. The

method used to investigate stability properties for both problems is the linearization method. The

sufficient conditions for the asymptotical stability of models’ equilibrium are obtained. In addition, this

study can help us to gain some fundamental knowledge make a decision in order to minimize business

faults. At the end of this project, we show the stability behaviour of the Kaldor-Kalecki model. Our

consequences show that the analytical and numerical results are alike.

ค

กิตติกรรมประกาศ

โครงงานเร่ืองการวิเคราะหความเสถียรของตัวแบบตัวแบบจําลองของแคลดอร-คาแคลกีที่มีดีเลยและ

ไมมีดีเลย ไดประสบความสําเร็จในการจัดทําจนลุลวง ไดเนื่องไดรับการถายทอดวิชาความรูและการ

สนับสนุนชวยเหลือจาก อาจารย ดร.เอกชัย คุณวุฒิปรีชาชาญ และ รศ.สุพร รัตนพันธ ซ่ึงเปนอาจารยที่

ปรึกษาและที่ปรึกษารวมในการจัดทําโครงงานช้ินนี้ อีกทั้งยังสละเวลาอันมีคา เพ่ือใหคําปรึกษาและแนะนํา

แนวทางในการแกไขปญหาตางๆที่เกิดขึ้นในระหวางการจัดทําโครงงานมาจนกระทั่งโครงงานช้ินนี้เสร็จ

สมบูรณ ขาพเจารูสึกซาบซ้ึงในความกรุณาของทานอาจารยและทานอาจารยที่ปรึกษารวมเปนอยางย่ิง จึงขอ

กราบขอบคุณอาจารยที่ใหความรู

ขาพเจาขอกราบขอบพระคุณคณาจารย และบุคคลากรทุกทานในภาควิชาคณิตศาสตร มหาวิทยาลัย

เทคโนโลยีพระจอมเกลาพระนครเหนือที่ไดใหวิชาความรู อบรมส่ังสอน คําแนะนําที่เปนประโยชน และ

การชวยเหลือเกื้อกูลในดานตางๆแกขาพเจา และสุดทายนี้ที่ขาดไมไดขาพเจาขอกราบขอบพระคุณบิดา

มารดาที่ไดสงเสียเลี้ยงดูมา ณ โอกาสนี้ดวย

ทั้งนี้หากเนื้อหาภายในโครงงานมีขอบกพรองประการใด ขาพเจาตองกราบขออภัยไว ณ ที่นี้ดวย

พรอมทั้งขอรับคําติชมเพ่ือนําไปเพ่ิมเติมประสบการณในการทํางานในอนาคตตอไป

นายธีรวัฒน จึงสรรคศุภชัย

นายพนมกร ตาลพรรณ

นายชัยธนัช ประภัสโรทัย

สารบัญ

หนา

บทคัดยอภาษาไทย ก

บทคัดยอภาษาอังกฤษ ข

กิตติกรรมประกาศ ค

สารบัญภาพ ช

บทท่ี 1 บทนํา 1

1.1 ความเปนมาและความสําคัญของปญหา 1

1.2 วัตถุประสงคของโครงงาน 3

1.3 ขอบเขตของการดําเนินงาน 3

1.4 ระเบียบวิธีการดําเนินงาน 4

1.5 ประโยชนที่ไดรับจากโครงงาน 5

บทท่ี 2 ความรูพ้ืนฐานและทฤษฏีบทพ้ืนฐานท่ีเก่ียวของ 6

2.1 คําศัพทพ้ืนฐานดานเศรษฐศาสตร 6

2.2 ตัวแบบทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ 7

2.3 ความรูพ้ืนฐาน 9

2.3.1 การหาคาไอเกนและไอเกนเวกเตอร 9

2.3.2 วิธีวิเคราะหความเสถียรของ Routh-Hurwitz 11

2.4 ความเสถียรของสมการเชิงอนุพันธ 13

2.4.1 จุดสมดุลและความเสถียรของจุดสมดุล 14

2.4.2 การทําใหสมการอยูในรูปเชิงเสน 15

2.4.3 สมการลักษณะเฉพาะ 16

ฉ

สารบัญ (ตอ)

หนา

2.5 ระบบพลวัตเชิงเสนแบบออโตโนมัส 18

2.5.1 การประมาณคาสําหรับระบบเวลาตอเนื่อง 18

2.5.2 ระบบพลวัตเชิงเสนอันดับสูง 19

2.5.3 ระบบที่ทําใหเปนเชิงเสน (linearization system) 20

2.5.4 ความเสถียร 21

2.5.5 วิธีวิเคราะหความเสถียรของระบบเชิงเสน 22

บทท่ี 3 วิธีดําเนินการ 23

3.1 ตัวแบบดีเลยของแคลดอร-คาแลคกี สําหรับการลงทุน 23

3.2 การวิเคราะหตัวแบบของแคลดอร-คาแลคกี สําหรับการลงทุน ในกรณีไมมีดีเลย 25

3.3 การวิเคราะหตัวแบบของแคลดอร-คาแลคกี สําหรับการลงทุน ในกรณีที่มีดีเลย 30

บทท่ี 4 ผลการดาํเนินงานและสรปุผลและขอเสนอแนะ 38

4.1 บทนํา 38

4.2 ผลการดําเนินงาน 39

4.2.1 กรณีที่ไมมีดีเลย 39

4.2.2 กรณีที่มีดีเลย 45

4.3 สรุปผลและขอเสนอแนะ 53

เอกสารอางอิง 55

ภาคผนวก 56

ช

สารบัญภาพ

ภาพท่ี หนา

4.1 ความสัมพันธระหวาง เวลา t กับตัวแปร Y และ K จากตัวอยาง 4.1 40

4.2 ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน ( )K กับรายไดประชาชาติ ( )Y จาก

ตัวอยาง 4.1 41

4.3 ความสัมพันธระหวาง เวลา t และตัวแปร ,Y K จากตัวอยาง 4.2 42

4.4 ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน ( )K กับรายไดประชาชาติ ( )Y จาก

ตัวอยาง 4.2 43

4.5 ความสัมพันธระหวาง เวลา t และตัวแปร ,Y K จากตัวอยาง 4.3 44

4.6 ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน ( )K กับรายไดประชาชาติ ( )Y จาก

ตัวอยาง 4.3 45

4.7 ความสัมพันธระหวาง เวลา t และตัวแปร ,Y K จากตัวอยาง 4.4 47

4.8 ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน ( )K กับรายไดประชาชาติ ( )Y จาก

ตัวอยาง 4.4 48

4.9 ความสัมพันธระหวาง เวลา t และตัวแปร ,Y K จากตัวอยาง 4.5 49

4.10 ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน ( )K กับรายไดประชาชาติ ( )Y จาก

ตัวอยาง 4.5 50

4.11 ความสัมพันธระหวาง เวลา t และตัวแปร ,Y K จากตัวอยาง 4.6 51

4.12 ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน ( )K กับรายไดประชาชาติ ( )Y จาก

ตัวอยาง 4.6 52

A1 แสดงคําตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธดีเลย (A1) 61

A2 แสดงผลการเปรียบเทียบระหวาง ( )y t และ ( 2)y t 62

บทที่ บทที่ 11

บทนําบทนํา

1. ความเปนมาและความสําคัญของปญหา

การลงทุนคือการใชสอยทรัพยากร2ในลักษณะตาง ๆ โดยมุงหวังจะไดรับผลตอบแทนจากการใช

จายนั้นในอนาคต [4] ซ่ึงผูลงทุนเช่ือวาเงินสดหรือผลตอบแทนสวนเพ่ิมท่ีจะไดรับคืนนั้น จะสามารถ

ชดเชยระยะเวลา อัตราเงินเฟอ และความเส่ียงที่อาจเกิดขึ้นไดอยางคุมคา หรืออาจกลาวไดวา การออม

เพ่ือใหไดรับผลตอบแทนที่มากขึ้น ซ่ึงเราจะตองยอมรับความเส่ียงที่เพ่ิมขึ้นเชนกัน การตัดสินใจนําเงิน

ออมมาลงทุน เราจึงตองพิจารณาอยางรอบคอบ และศึกษาหาขอมูลที่เกี่ยวของเปนอยางดี เพ่ือใหไดรับ

ผลตอบแทนตามที่คาดหวังไวและเพ่ือลดความเส่ียงที่จะเกิดขึ้นจากการลงทุน ในตลาดการเงินปจจุบัน

มีทางเลือกสําหรับการลงทุนใหเราเลือกมากมาย ท้ังสินทรัพยทางการเงิน (financial assets) ประเภท

พันธบัตร หุนกู หุนทุน กองทุนรวมประเภทตาง ๆ หรือ สินทรัพยท่ีจับตองได (tangible assets) เชน

ทองคํา ที่ดิน อาคาร เพชรนิลจินดา เคร่ืองประดับ การมีความรูความเขาใจในสินทรัพยท่ีจะลงทุนจึงมี

ความสําคัญตอเรามาก การลงทุนโดยไมมีความรู หรือไมเขาใจในเร่ืองความเส่ียงและทางเลือกในการ

ลงทุนดีพอ ถือเปนการลงทุนที่มีความเส่ียงสูงซ่ึงสามารถทําใหเกิดการสูญเสียทั้งทางดาน เวลา แรงงาน

รวมทั้งเงินทอง ในงานของ Matsumoto และ Szidarovszky [1] ไดทําการวิเคราะหตัวแบบการลงทุน

2

ของแคลดอร-คาแลคกี (Kaldor-Kalecki investment model) เพ่ือที่จะศึกษาการเปลี่ยนแปลงรายได

ประชาชาติ (national income) และทุนเรือนหุน (capital stock)

เราจึงทําการวิเคราะหตัวแบบของแคลดอร-คาแลคกี สําหรับปญหาธุรกิจ ซ่ึงตัวแบบที่จะศึกษาใน

ที่นี้แบงไดเปนสองกรณี คือ

ตัวแบบของแคลดอร-คาแลคกีกรณีที่ไมมีดีเลย

[ ( ( ), ( )) ( ( ))],

( ( ), ( )) ( )

dY I Y t K t S Y tdtdK I Y t K t K tdt

(1.1)

ตัวแบบของแคลดอร-คาแลคกีกรณีที่มีดีเลย

[ ( ( ), ( )) ( ( ))],

( ( ), ( )) ( )

dY I Y t K t S Y tdtdK I Y t K t K tdt

(1.2)

เมื่อ Y แทนรายไดประชาชาติ, K แทนจํานวนทุนเรือนหุน, แทน สัมประสิทธ์ิการปรับตัวของ

ตลาดสินคา, แทนคาเส่ือมราคาทุนเรือนหุน (depreciation rate of capital stock), I แทนฟงกชันการ

ลงทุน (investment function), S แทน ฟงกชันการออม (saving function), และคาของดีเลย แทน

ชวงระยะเวลาที่ตองการ (ดีเลย) ในการลงทุนคร้ังใหม ทั้งนี้รายละเอียดเกี่ยวกับตัวแบบ (1.1) - (1.2) จะ

ไดกลาวถึงในบทที่ 2 และบทที่ 3 ตอไป สําหรับในโครงงานนี้เราเลือกใชฟงกชันการลงทุนและฟงกชัน

การออมที่แสดงใน [1] นั่นคือ

( , )

21 BY

A AI Y K Ke

(1.3)

3

และ

( )S Y Y (1.4)

เมื่อ , 0A B , 0 และ 0 1 เปนพารามิเตอร

2. วัตถุประสงคของโครงงาน

วัตถุประสงคของโครงงานนี้ คือการศึกษาและวิเคราะหเชิงพลวัต (dynamical analysis) ซ่ึง

เกี่ยวของกับอัตราการเปลี่ยนแปลงท่ีเกี่ยวกับเวลาของตัวแบบของสมการแคลดอร-คาแลคกี (Kaldor-

Kalecki equation) ทั้งรูปแบบที่มีดีเลยและไมมีดีเลย โดยมีวัตถุประสงคดังนี้

2.1 เพ่ือศึกษาความรูพ้ืนฐานเกี่ยวกับเศรษฐศาสตรเบ้ืองตน โดยเนนตัวแบบที่เกี่ยวของกับ

ความสัมพันธระหวางรายไดประชาชาติกับทุนเรือนหุน

2.2 เพ่ือวิเคราะหหาเง่ือนไขเพียงพอ ท่ีทําใหตัวแบบมีความเสถียรของตัวแบบแคลดอร-คา

แลคกี ในกรณีที่มีดีเลยและกรณีที่ไมมีดีเลย

2.3 เพ่ือประยุกตใชโปรแกรมสําเร็จรูปทางคณิตศาสตร เพ่ือชวยในการแกปญหาและวิเคราะห

ตัวแบบทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับปญหาทางเศรษฐศาสตรได

3. ขอบเขตของการดําเนินงาน

การศึกษาและดําเนินการสําหรับโครงงานนี้ เปนการศึกษาวิเคราะหหาเง่ือนไขเพียงพอของ

ความเสถียรของจุดสมดุลของตัวแบบแคลดอร-คาแลคกี (1.1)-(1.2) โดยเลือกใชฟงกชันการออมและ

4

ฟงกชันการลงทุนใน (1.3)-(1.4) โดยพิจารณากรณีที่ไมมีดีเลย ( 0 ) และกรณีที่มีดีเลย โดยการ

วิเคราะหในโครงงานนี้จะเลือกฟงกชันการลงทุนในกรณีที่ ( , )21 BY

A AI Y K Ke

เทานั้น นอกจากนั้นเรายังใชโปรแกรมสําเร็จรูปทางคณิตศาสตร Matlab® เพ่ือเปรียบเทียบผลการ

วิเคราะหกับคําตอบเชิงตัวเลขที่ไดมาจากโปรแกรมสําเร็จรูปดังกลาว

4. ระเบียบวิธีการดําเนินงาน

ในการทําโครงงานนี้มีจุดประสงคคือการศึกษาและเปรียบเทียบพลวัตของตัวแบบทางธุรกิจ

ของแคลดอร-คาแลคกี (1.1)-(1.2) โดยเลือกใชฟงกชันการออมและฟงกชันการลงทุนในสมการ (1.3)-

(1.4) ในกรณีที่ไมมีดีเลยและกรณีที่มีดีเลย โดยมีขั้นตอนในการดําเนินงานตาง ๆ ดังตอไปนี้

4.1 รวบรวมขอมูลและเนื้อหาที่เกี่ยวของกับตัวแบบทางเศรษฐศาสตรเกี่ยวกับการลงทุน รวม

ทั้งตัวแบบทางคณิตศาสตรสําหรับปญหาทางเศรษฐศาสตรเบื้องตน

4.2 ศึกษาความหมายและความสัมพันธของตัวแปรและพารามิเตอรตาง ๆ ในตัวแบบทาง

ธุรกิจของแคลดอร-คาแลคกีที่มีไมมีดีเลยและมีดีเลย ซ่ึงอยูในรูปแบบของสมการเชิง

อนุพันธสามัญและสมการเชิงอนุพันธดีเลยตามลําดับ

4.3 วิเคราะหหาเง่ือนไขเพียงพอท่ีทําใหตัวแบบของแคลดอร-คาแลคกีมีความเสถียร ทั้งใน

กรณีที่ไมมีดีเลยและมีดีเลยของจุดสมดุลของตัวแบบแคลดอร-คาแลคกี (1.1)-(1.2)

5

4.4 ประยุกตใชโปรแกรมสําเร็จรูปทางคณิตศาสตร Matlab® เพ่ือชวยในการวิเคราะหตัวแบบ

ทางคณิตศาสตรที่เลือกมาศึกษา พรอมทั้งแสดงผล และอภิปรายผลที่ไดจากการวิเคราะห

ตัวแบบดังกลาว

5. ประโยชนท่ีไดรับจากโครงงาน

ในการทําโครงงานนี้เราไดทําการศึกษา และวิเคราะหความเสถียรของตัวแบบของแคลดอร-คา

แลคกี ดังนั้นเมื่อทําโครงงานนี้เสร็จแลวประโยชนที่คาดวาจะไดรับงานโครงงานนี้สรุปไดดังตอไปนี้

5.1 ไดรับความรูเกี่ยวกับพ้ืนฐานของสมการเชิงอนุพันธสามัญ และสมการเชิงอนุพันธดีเลยที่

เกี่ยวของตัวแบบทางเศรษฐศาสตร ไดแกสมการของแคลดอร-คาแลคกี

5.2 สามารถหาเง่ือนไขเพียงพอที่เกี่ยวของกับความเสถียรของจุดสมดุลของตัวแบบทางธุรกิจ

ของแคลดอร-คาแลคกีได

5.3 สามารถใชโปรแกรมสําเร็จรูปทางคณิตศาสตรแกปญหาทางเศรษฐศาสตรบางประการได

บทที่ บทที่ 22

ความรูความรู เบื้องตน เบื้องตน และทฤษฏีบทพ้ืนฐานที่เกี่ยวของและทฤษฏีบทพ้ืนฐานที่เกี่ยวของ

ในบทนี้เราจะอธิบายถึงตัวแปรที่เกี่ยวของและความหมายทางคณิตศาสตรของสมการของ

แคลอร-คาแลคกี (Kaldor-Kalecki equation) รวมทั้งสมบัติเชิงพลวัต (dynamic properties) ของตัวแบบ

รวมทั้งอธิบายความหมายของคําศัพทพ้ืนฐานทางเศรษฐศาสตร เพ่ือที่จะนําความรูพ้ืนฐานดังกลาวไป

ประยุกตใชในการวิเคราะหตัวแบบของแคลดอร-คาแลคกีตอไป นอกจากนั้นความรูพ้ืนฐานทาง

คณิตศาสตรที่เกี่ยวของและจําเปนที่จะตองใชในโครงงานนี้ ตลอดจนทฤษฎีบทพ้ืนฐานสําหรับใชใน

การวิเคราะหความเสถียรสมการเชิงอนุพันธไดสรุปและรวบรวมไวในสวนทายของบทนี้ดวย

เชนเดียวกัน

2.1 คําศัพทพ้ืนฐานดานเศรษฐศาสตร

สําหรับในโครงงานนี้มีคําศัพทพ้ืนฐานทางดานเศรษฐศาสตรตาง ๆ ซ่ึงเปนคําศัพทเฉพาะทาง

ดังนั้นเพ่ือใหมีความเขาใจในตัวแบบทางคณิตศาสตรย่ิงขึ้นเราจึงไดเรียบเรียงคําศัพทที่จําเปนตองใชใน

ตัวแบบนี้ โดยคําศัพทตาง ๆ ในที่นี้ไดรวบรวมมาจาก [5] – [7]

7

รายไดประชาชาติ (National Income) คือรายไดของประชากรในประเทศใดประเทศหนึ่ง

รวมกันในชวงเวลาใดเวลาหนึ่งหรือมูลคาของสินคาและบริการทั้งหมดที่ประชากรของประเทศนั้นผลิต

ไดในรอบระยะเวลาหนึ่ง (โดยปกติมักจะคิดในรอบระยะเวลา 1 ป)

ผลิตภัณฑประชาชาติสุทธิ (Net National Product) คือมูลคาสุทธิของสินคาและบริการขั้น

สุดทายที่ผลิตในระยะหนึ่งโดยทรัพยากรของประเทศๆนั้นเปนเจาของทั้งที่ผลิตในและนอกประเทศ

หุนทุนหรือทุนเรือนหุน (capital stock) คือเงินทุนของบริษัทซ่ึงจดทะเบียนและเรียกชําระแลว

ซ่ึงอาจจะแบงออกเปนหุนประเภทตางๆ เชน หุนสามัญกับหุนบุริมสิทธิ

การลงทุน (investment) คือการท่ีเราใชจายเงินสดรูปแบบหนึ่งในปจจุบัน โดยมุงหวังจะไดรับ

ผลตอบแทนจากการใชจายนั้นในอนาคต

การออม (saving) คือสวนของรายไดที่เหลือจากคาใชจายหรือการบริโภค

คาเสื่อมราคา (depreciation) คือมูลคาของสินคาที่ลดลงตามอายุการใชงาน

วฏัจักรธุรกิจ (business cycle) เปนภาวการณที่แสดงถึงการเคลื่อนไหวในทางสูงขึ้น (upswing)

หรือตํ่าลง (downswing) ของผลิตภัณฑมวลรวมภายในประเทศอันเนื่องมาจากการขยายตัวหรือหดตัว

ของกิจกรรมทางเศรษฐกิจ

2.2 ตัวแบบทางคณิตศาสตรของนิโคลัส แคลดอร

1ในป 11935 นิโคลัส แคลดอร (Nicholas Kaldor, 1908–1986) ไดศึกษาตัวแบบท่ีเกี่ยวของกับ

ความสัมพันธระหวางรายไดประชาชาติ (national income) และทุนเรือนหุน (capital stock) ในรูปของ

8

สมการเชิงอนุพันธ ตอมา Matsumoto และ Szidarovszky [1] ไดศึกษาตัวแบบของแคลดอรและไดเพ่ิม

เทอมของ1ดีเลยเพ่ือแทนระยะเวลาในการตัดสินใจลงทุน (investment decision) 1โดยตัวแบบใน [1] เปน 1

ตัวแบบในรูปของสมการเชิงอนุพันธดีเลย 1ซ่ึงมีความสัมพันธดังนี้

( ) ( ( ), ( )) ( ( ))

( ) ( ( ), ( )) ( )

Y t I Y t K t S Y t

K t I Y t K t K t

(2.1)

1ระบบสมการ (2.1) เรียกตัวแบบของ 1แคลดอร-คาแลคกี (Kaldor- Kalecki model) ซึ่ง 6อธิบายการ

เปลี่ยนแปลงของ 1เงินลงทุนในรูปแบบของสมการแบบไมเชิงเสน 1และมีเทอม 1ดีเลยสําหรับเวลาในการ

สะสมทุน โดยกําหนดใหตัวแปรและพารามิเตอรตาง ๆ ที่เกี่ยวของคือ

Y คือ รายไดประชาชาติ (national income)

K คือ ทุนเรือนหุน (capital stock)

คือ สัมประสิทธ์ิการปรับตัวของตลาดสินคา

คือ คาเส่ือมราคาทุนเรือนหุน (depreciation rate of capital stock)

I คือ ฟงกชันการลงทุน (investment function)

S คือ ฟงกชันการออม (saving function)

คือ คาสัมประสิทธ์ิของเงินออม

และ คือ ดีเลยของเวลาที่จําเปนสําหรับทุนใหมที่จะติดต้ัง

ในป 1940 สมการเชิงอนุพันธของแคลดอร-คาแลคกีซ่ึงอธิบายวัฏจักรธุรกิจที่ลงทุนท่ีไมมี

เทอมของดีเลย ซ่ึงสมการดังกลาวมีรูปแบบดังนี้

( ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))

( ) ( ( ), ( )) ( )

Y t I Y t K t S Y t K t

K t I Y t K t K t

(2.2)

และในป 1999 จากหลักรูปแบบวัฏจักรธุรกิจของแคลดอรและแนวคิดของคาแลคกีเกี่ยวกับดีเลยของ

เวลา Krawiec และ Szydlowski [2] จึงไดเสนอตามตัวแบบทางธุรกิจของแคลดอร-คาแลคกี ไดแก

9

( ) [ ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))]

( ) ( ( ), ( )) ( )

Y t I Y t K t S Y t K t

K t I Y t K t K t

(2.3)

ลักษณะสําคัญของรูปแบบนี้คือไมเปนเชิงเสนของฟงกชันการลงทุนและการเพ่ิมของดีเลยเขาไปใน

รายไดประชาชาติ

2.3 ความรูพ้ืนฐานทางพีชคณิตศาสตร

เนื่องจากในการดําเนินโครงงานนี้ใชความรูพ้ืนฐานเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเสน การวิเคราะห

ระบบพลวัต และรากของสมการพหุนาม ซ่ึงเราจะนําความรูดังกลาวนี้มาประยุกต ในการวิเคราะหตัว

แบบของแคลดอร-คาแลคกี รวมทั้งการหาจุดสมดุลของตัวแบบดังกลาว ซ่ึงในหัวขอนี้เราจะกลาวถึง

พ้ืนฐานความรูทางคณิตศาสตรที่จําเปนตองใชในโครงงาน โดยมีหัวขอยอยดังตอไปนี้

2.3.1 การหาคาไอเกนและไอเกนเวกเตอรของเมทริกซ

กําหนดให A เปนเมทริกซจัตุรัส

11 1

1

n

m mn

a a

a a

A

และ X เปนเวกเตอรหลัก (column vector) โดยที่

1

2

n

x

x

x

X

10

และ เปนคาคงที่ใด ๆ ที่ทําให AX X อาจเขียนใหอยูในอีกรูปหนึ่งคือ ( ) A I X 0

เมื่อ I เปนเมทริกซเอกลักษณมิติ n n คา ที่ทําใหสมการ ( ) A I X 0 มีคําตอบไมเปน

เวกเตอรศูนย (zero vector) เรียกวา คาไอเกน คา X 0 ที่สมนัยกับ ซ่ึงเปนคําตอบของสมการ

( ) A I X 0 เรียกวาไอเกนเวกเตอร (eigenvectors)

จากสมการ ( ) A I X 0 สามารถเขียนใหอยูในรูปการแจกแจงตัวแปรตาง ๆ ในรูปแบบ

ของระบบสมการ ที่ประกอบดวยตัวแปรจํานวน n ตัวแปร และ n สมการ จะได

11 1 12 1

21 2 22 2 2

1 1 2 2

( ) ... 0

... 0

... 0

n n

n n

n n nn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

(2.4)

ระบบสมการนี้เปนระบบสมการเอกพันธเชิงเสน ซ่ึงระบบสมการนี้จะมีคําตอบท่ีไมเปนศูนยก็ตอเมื่อ

det( ) 0 A I นั่นคือ

11 12 1

21 22 2

1 2

det( ) 0

n

n

n n n n

a a a

a a a

a a a

A I

(2.5)

เราเรียกสมการ (2.5) วา สมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation) ถาเราหาคาดีเทอรมิเนนตของ

เมทริกซ A I จะไดวา

11 1 0det 0n n

nb b b A I

(2.6)

โดยที่ 1 2 1, , ,n nb b b และ 0b เปนคาคงที่

11

ดานซายมือของสมการ (2.6) เปนฟงกชันพหุนามในเทอมของ ที่มีดีกรี n รากของสมการ

(2.6) จึงเปนคาไอเกนทั้งหมดที่มีไมเกิน n คาแทนดวย 1 2, ,..., n ซ่ึงอาจจะมี i บางตัวซํ้ากันก็

ได และรากอาจจะเปนจํานวนจริงหรือจํานวนเชิงซอนก็ได

2.3.2 วิธีการหารากของเราท-เฮอรวิทซ (Routh–Hurwitz Theorem)

เราสามารถวิเคราะหรากที่สวนจริงเปนลบของสมการพหุนามที่เรากําลังศึกษาไดจากการ

สังเกตสมการพหุนาม นั่นคือ

1 2

0 1 2 1( ) ...n n nn nf z a z a z a z a z a (2.7)

เมื่อ 0 {0}a ในที่นี้เราจะสนใจวารากของพหุนามมีสวนจริงนอยกวาศูนยหรือไมโดยใช

ทฤษฏีบทตอไปนี้

ทฤษฏีบท 2.1 ทฤษฏีบทเราท-เฮอรวิทซ (Routh–Hurwitz Theorem)

เง่ือนไขจําเปนและเพียงพอที่ทําใหรากทั้งหมดของพหุนาม (2.7) มีสวนจริงเปนลบ คือ

1 3 5

0 2 41 3 5

1 3 1 31 0 2 4

2 0 21 3

0

0

0 00, det 0, det 0, , det 0

1 0 00

0 . . n

a a a

a a aa a a

a a a aa a a a

a a aa a

a

พิสูจน สําหรับการพิสูจนดูรายละเอียดเพ่ิมเติมจาก [ 8 ]

12

ในกรณีที่ 0 1a สมการ (2.7) อยูในรูปแบบ

1 2

1 2 1( ) ...n n nn nf z z a z a z a z a (2.8)

ดังนั้น ทฤษฎีบท 2.1 สามารถเขียนไดใหมดังบทแทรกตอไปนี ้

บทแทรก 2.2 สําหรับสมการ (2.8) จะไดเง่ือนไขจําเปนและเพียงพอที่ทําใหรากทั้งหมดของพหุนาม

(2.8) มีสวนจริงเปนลบ คือ

1 3 5

2 41 3 5

1 3 1 31 2 4

2 21 3

0

1 0

0 00, det 0, det 1 0, , det 0

1 0 1 00

0 . . n

a a a

a aa a a

a a a aa a a

a aa a

a

ทฤษฏีบท 2.1 และบทแทรก 2.2 ขางตนนี้จะเปนทฤษฏีบทพ้ืนฐานท่ีจะใชในการหาเง่ือนไข

เพียงพอของตัวแบบแคลดอร-คาแลคกี ซ่ึงจะตองใชในบทที่ 3 ตอไป

ตอไปนี้จะแสดงตัวอยางการใชบทแทรกเพ่ือแสดงเง่ือนไขจําเปนและเพียงพอโดยใชเง่ือนไขที่

กําหนดในทฤษฎีบท 2.1 และบทแทรก 2.2

ตัวอยาง 2.1 เมื่อกําหนด 21 2( )f z z a z a จะสามารถใชบทแทรก 2.2 เขียนเง่ือนไขที่ทํา

ใหรากทั้งหมดของ f มีสวนจริงนอยกวาศูนย ไดในรูปดังนี้

1. 1 0a

และ 2. 11 2

2

0det 0

1

aa a

a

ตัวอยาง 2.2 เมื่อกําหนด 3 21 2 3( )f z z a z a z a จะสามารถใชบทแทรก 2.2 เขียน

เง่ือนไขที่ทําใหรากทั้งหมดของ f มีสวนจริงนอยกวาศูนย ไดในรูปดังนี้

13

1. 1 0a

2. 1 31 2 3

2

det 01

a aa a a

a

และ 3.

1 3

2 3 1 2 3

1 3

0

det 1 0 ( ) 0

0

a a

a a a a a

a a

ตัวอยาง 2.3 เมื่อกําหนด 4 3 21 2 3 4( )f z z a z a z a z a จะสามารถใชบทแทรก 2.2

เขียนเง่ือนไขที่ทําใหรากทั้งหมดของ f มีสวนจริงนอยกวาศูนย โดยเง่ือนไขเปนไปตามเง่ือนไขที่ 1-3

ในตัวอยางที่ 2.2ไดในรูปดังนี้

1. 1 0a

2. 1 31 2 3

2

det 01

a aa a a

a

3.

1 32

2 4 3 1 2 3 4 1

1 3

0

det 1 ( ) 0

0

a a

a a a a a a a a

a a

และ 4.

1 3

2 4 24 3 1 2 3 4 1

1 3

0 2 4

0 0

1 0det ( ( ) ) 0

0 0

0

a a

a aa a a a a a a

a a

a a a

2.4 ความเสถียรของจุดสมดุลของสมการเชิงอนุพันธ

ในหัวขอนี้เราจะกลาวถึงความหมายของคําวาความเสถียรเพ่ือที่จะนําความรูที่ไดนั้นไป

วิเคราะหความเสถียรของสมการเชิงอนุพันธสามัญและสมการเชิงอนุพันธดีเลย ซ่ึงเปนจุดประสงคหลัก

ในการทําโครงงานช้ินนี้

14

2.4.1 จุดสมดุลและความเสถียรของจุดสมดุล

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธในรูปแบบ

( ) ( ( ))t t y f y (2.9)

โดยที่ , nt y และ : n nf เราจะกลาววา y เปนจุดสมดุล (equilibrium point)

ของสมการ (2.9) เมื่อ y เปนคําตอบคงที่ (constant solution) ของสมการ (2.9) นั่นคือ ( )f0 y เรา

สามารถหาจุดสมดุลจากการแทนคา ( )t y 0 และ ( )t y y โดยทั่วไปจุดสมดุลหมายถึงจุดที่ไมมี

การเปลี่ยนแปลงของคา y เมื่อเวลาหรือตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลง ในบางตํารา เราเรียกจุดสมดุลดวย

ศัพทคําอื่น ๆ เชน จุดตรึง (fixed-point) สถานะคงตัว (steady-state) เปนตน ในกรณีที่สมการ (2.9) เปน

สมการแบบนันออโทโนมัส (non-autonomous equation)

ในสวนตอไปเราจะอธิบายนิยามเกี่ยวกับความเสถียรในรูปแบบตาง ๆ ซ่ึงบทนิยามนี้จะไดถูก

นําไปประยุกตใชในบทตอไป

บทนิยาม 2.3 (ความเสถียรของจุดสมดุล; [10])

(1) จุดสมดุล y จะเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียร (stability) ก็ตอเมื่อสําหรับทุกคา 0 จะมีคา

( ) 0 ซ่ึงทําใหทุกคําตอบ ( )ty ถา (0) y y แลว ( )t y y

สําหรับทุกคา 0t

(2) กลาววาจุดสมดุล y มีความเสถียรเชิงเสนกํากับ (asymptotic stability) ถาจุดสมดุล y มีความ

เสถียรตามขอ (1) และมีสมบัติเพ่ิมเติมคือ

lim ( )t

t

y y

15

จากบทนิยาม 2.3 เราอาจกลาวสรุปไดวา ถากําหนดคาเร่ิมตนท่ีใกลเคียงกัน แลวพฤติกรรมของ

คําตอบที่จุดสมดุลนั้นจะมีลักษณะที่ไมเปลี่ยนแปลง เราจะเรียกจุดสมดุลนั้นวาจุดสมดุลที่เสถียร

สําหรับความเสถียรเชิงเสนกํากับนั้นเพ่ิมเติมเง่ือนไขท่ีวาจุดสมดุลนั้นตองเปนจุดสมดุลท่ีเสถียร และ

คําตอบลูเขาสูจุดสมดุลเมื่อ t มีคาเพ่ิมขึ้นเร่ือย ๆ

2.4.2 การทําใหสมการอยูในรูปเชิงเสน (linearization method)

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธสามัญ

( ) ( )x t f x (2.10)

กําหนดให x เปนจุดสมดุลของสมการ (2.10) ในการประมาณหรือแปลงสมการใหอยูในรูปสมการเชิง

เสน เรากําหนดให ( ) ( )y t x t x และใชสมบัติในการกระจายอนุกรมเทยเลอร (Taylor’s series

expansion) จะไดสมการจากการแปลงเชิงเสน (linearized equation) ดังนี้

กําหนดให ( ) ( )y t x t x

( ) ( )x t y t x

จากอนุกรมเทยเลอร

2 ( )1 1( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ... ( )( )2! !

k kf x f x f x x x f x x x f x x xk

แทนคา y x x ลงในอนุกรมเทยเลอรขางตน จะได

2 ( )1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )2! !

k kf x f x f x y f x y f x yk

เนื่องจาก ( ) 0f x เมื่อตัดเทอมของอนุพันธอันดับสองขึน้ไป เราสามารถประมาณฟงกชัน f ในรูป

เชิงเสนได โดยที่

16

( ) ( )f x f x y

จาก ( ) ( )x t f x และ ( ) ( )x t y t แทนลงใน (2.10) จะได

( ) ( ) ( )y t f x y t (2.11)

สมการ (2.11) เปนสมการสําหรับการประมาณสมการเชิงอนุพันธ (2.10) ซ่ึงเปนสมการไมเชิงเสน ให

อยูในรูปของสมการเชิงเสน ทั้งนี้ถากําหนดให ( )f x จะไดวาสมการ (2.11) เขียนไดในรูป

( ) ( )y t y t

(2.12)

จากสมการ (2.12) คําตอบของสมการคือ ( ) ty t ce เมื่อ c เปนคาคงท่ี ดังนั้นความเสถียรของจุด

สมดุล x ขึ้นอยูกับคาของ ซ่ึงสามารถแบงไดเปนสองกรณี ไดแก กรณีแรก ถา Re( ) 0 แลว

จุดสมดุล x จะเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียรเชิงเสนกํากับ และกรณีที่สอง ถา Re( ) 0 จุดสมดุล

x จะเปนจุดสมดุลที่ไมเสถียร

2.4.3 สมการลักษณะเฉพาะ (Characteristic equations)

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธสามัญ

( ) ( )y t ay t (2.13)

กําหนดให ( ) ty t e จะไดวา ( ) ty t e ทั้งนี้เมื่อแทนคา ( )y t และ ( )y t ลงในสมการเชิง

อนุพันธ (2.13) จะไดวา

t te ae

ดังนั้นสมการลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธสามัญ (2.13) คือ

a (2.14)

17

ซ่ึงสมการ (2.14) คือสมการลักษณะเฉพาะของสมการ (2.13) ท้ังนี้จากหัวขอท่ีผานมา ถา a จุด

สมดุล 0y ของสมการ (2.13) จะเปนจุดสมดุลท่ีมีความเสถียรเชิงเสนกํากับเมื่อ 0a และเปน

จุดสมดุลที่ไมเสถียรเมื่อ 0a

ในทํานองเดียวกัน พิจารณาสมการเชิงอนุพันธดีเลยเชิงเสนในรูปอยางงาย

( ) ( ) ( )y t ay t by t (2.15)

สมมุติใหคําตอบของสมการ (2.15) สามารถเขียนไดในรูปฟงกชันเอ็กซโพเนนเชียล ( ) ty t e ซ่ึงเรา

จะไดวา ( ) ty t e e และ ( ) ty t e ทั้งนี้เมื่อแทนคา ( ), ( )y t y t และ ( )y t

ทั้งหมดลงในสมการ (2.15) จะไดวา

t t te ae be e

เมื่อจัดรูปของสมการขางตนใหม จะไดสมการลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธดีเลย (2.15) คือ

a be (2.16)

ซ่ึงสมการ (2.16) คือสมการลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธดีเลย (2.15) ซ่ึงเปนสมการไมเชิงเสน

นอกจากนั้นการหาคําตอบ ของสมการ (2.16) มีความยุงยากมากกวาในกรณีของสมการเชิงอนุพันธ

สามัญที่ไมมีดีเลย

18

2.5 ระบบพลวัตเชิงเสนแบบออโตโนมัส

สําหรับระบบพลวัตเชิงเสนแบบออโตโนมัส (autonomous linear dynamical system) ซ่ึงมี

รูปแบบเปนสมการเชิงอนุพันธในระบบเวลาตอเนื่อง (continuous-time system) ดังนี้

( )t x Ax (2.17)

โดยที่ x เปนตัวแปรสถานะ (state variable) โดยที่ ( ) nt x

n เปนมิติของตัวแปรสถานะ (state dimension) หรือจํานวนตัวแปรสถานะ (the number of

states )

A เปนเมทริกซพลวัต (dynamics matrix) ของระบบ ท้ังนี้เราจะกลาววา A มีสมบัติเวลา

ยืนยง (time invariant) ถา A ไมขึ้นกับเวลา t

ในหัวขอนี้เราไดรวบรวมพ้ินฐานทางพลวัตท่ีเกี่ยวของกับระบบพลวัตเชิงเสนแบบออโตโนมัส โดย

รายละเอียดและเนื้อหาที่นํามานั้น ผูสนใจสามารถศึกษาเพ่ิมเติมจาก [11]

2.5.1 การประมาณคาสําหรับระบบเวลาตอเนือ่ง

พิจารณสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน

0; (0) x Ax x x (2.18)

การประมาณคําตอบของสมการเชิงอนุพันธอาจหาไดจากวิธีเชิงตัวเลข ซ่ึงมีการประมาณหลายวิธี

สําหรับวิธีหนึ่งที่เปนสามารถนํามาใชในการประมาณคาไดแก การประมาณคาแบบออยเลอรขางหนา

(forward Euler approximation) ทําไดโดยการสมมุติให h t เปนเวลาที่มีคาเล็ก ๆ ซ่ึงทําให x

เปลี่ยนแปลงเพียงเล็กนอยภายในเวลา h วินาที การประมาณคาแบบออยเลอรขางหนาเปนดังนี้

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t h t h t h t x x x I A x (2.19)

19

จะเห็นวา สมการ (2.19) มีรูปแบบเปนระบบพลวัตเชิงเสนตอเนื่องเวลาวิยุต (discrete time) ดังนั้น เรา

อาจประมาณคําตอบของ (2.18) ดวยคําตอบการเรียกซํ้าของ (2.19) โดยเร่ิมจาก 0(0) x x นั้นคือ

( ) ( ) (0)kkh h x I A x

โดยทั่วไป การประมาณออยเลอรขางหนาใหคําตอบที่ไมแมนยํา ดังนั้น จึงไมนิยมนําไปใชในทาง

ปฎิบัติ

2.5.2 ระบบพลวัตเชิงเสนอันดับสูง

พิจารณาระบบพลวัตเชิงเสนอันดับ k

( ) ( 1) n1 0... ; ( )k k

k t x A x A x x

โดยที่ ( )mx เปนสัญลักษณที่แสดงอนุพันธอันดับท่ี m ของตัวแปรสถานะ x นิยาม z เปนตัวแปร

สถานะใหม ดังนี้

(1)nk

( 1)k

x

xz

x

เมื่อหาอนุพันธของ z พบวา

(1)

(2)

( )

0 1 2 1

( ) ( )

k

k

t t

0 I 0 0x

0 0 I 0x

z z0 0 0 I

x A A A A

(2.20)

ปรากฏวา ระบบพลวัตเชิงเสนอันดับ k สามารถเขียนเปนระบบพลวัตเชิงเสนตอเนื่องอันดับหนึ่งที่มี

รูปแบบ (2.20) และ z เปนตัวแปรสถานะ

20

2.5.3 ระบบที่ทําใหเปนเชิงเสน (linearization system)

พิจารณาระบบพลวัตไมเชิงเสนเวลายืนยง (nonlinear time-invariant system) ที่อธิบายดวย

สมการเชิงอนุพันธ ดังนี้

( )x f x (2.21)

โดยที่ : n nf นั่นคือ

1 2

T

nf f f f และ 1 2

T

nx x x x

กําหนดให x เปนจุดสมดุล (equilibrium point) กลาวคือ ( ) f x 0 ฉะนั้น คําตอบหนึ่งที่

สอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธ (2.21) ไดแก

( ) , 0t t x x

สําหรับการหาคําตอบทั่วไปที่ไมเทากับจุดสมดุล ถา ( )tx มีคาใกลกับ x เราอาจประมาณ ( ( ))tf x

ดวยสองพจนแรกของอนุกรมเทยเลอรนั้นคือ ประมาณสมการเชิงอนุพันธ (2.21) เปน

( ) ( ( )) ( ) ( )( ( ) )t t t x f x f x Df x x x (2.22)

โดยที่ ( )Df x แทนจาโคเบียนเมทริกซ (Jacobian matrix) ของ f ที่จุดสมดุล x ซ่ึงกําหนดโดย

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

( )

n

n

n n n

n

f f f

x x xf f f

x x x

f f f

x x x

Df x

21

เมื่อกําหนดให ( ) ( )t t y x x และ ( ) f x 0 เมื่อ x เปนจุดสมดุล จะเขียนสมการประมาณ

สําหรับ (2.21) ไดวา

( ) ( ) ( )t ty Df x y (2.23)

การแทนเคร่ืองหมาย ดวยเคร่ืองหมาย ใน (2.23) ใหผลลัพธเปนการประมาณทําใหเปนเชิงเสน

(linearized approximation) ของสมการเชิงอนุพันธ (2.21) เมื่อตัวแปรสถานะอยูใกลกับ x จะเห็นวา

สมการเชิงอนุพันธที่ทําใหเปนเชิงเสนมีรูปแบบเปนระบบพลวัตเชิงเสนตอเนื่อง ดวยการประมาณแบบ

นี้ เราคาดหวังวาคําตอบของ ( ) ( )t y Df x y จะเปนคําตอบประมาณที่ดีของ (2.21)

2.5.4 ความเสถียร (stability)

ในที่นี้เราจะกลาวถึงความเสถียรของระบบพลวัตเชิงเสนแบบออโตโนมัส (2.17) ซ่ึงจะเร่ิมตน

โดยการกลาวถึงนิยามของความเสถียรของระบบสมการ (2.17) ดังบทนิยามตอไปนี้

บทนิยาม 2.4 ระบบพลวัตเชิงเสนตอเนื่อง ( ) ( )t tx Ax มีความเสถียร (stability) ถาเมทริกซ

เปลี่ยนสถานะลูเขาสูศูนย นั่นคือ

0te A เมื่อ t

หมายเหตุ ความหมายของความเสถียร

• ตัวแปรสถานะ ( )tx ลูเขาสู 0 เมื่อ t โดยไมขึ้นอยูกับสถานะเร่ิมตน (0)x

• แนววิถีของ x Ax ลูเขาสู 0 เมื่อ t

ในที่นี้ teA เราเรียกวาเมทริกซเอ็กซโพเนนเชียล โดยที่

0

2 2 3 31 12! 3

1 ( )! !

t k

k

t te tk

t

A I A A AA (2.24)

22

เมื่อพิจารณาคาของ lim tt e

A คาของลิมิตนัน้ขึ้นอยูกับคาไอเกนของเมทริกซ A (ดูรายละเอียด

เพ่ิมเติมไดใน [11]) และความเสถียรของระบบพลวัตเชิงเสนแบบออโตโนมัส (2.17) สามารถพิจารณา

จากคาไอเกนของเมทริกซ A ตามทฤษฎีบทตอไปนี้

ทฤษฏีบท 2.5 ระบบพลวัตเชิงเสนตอเนื่อง ( ) ( )t tx Ax มีความเสถียรก็ตอเมื่อคาไอเกนทกุตัว

ของ A มีสวนจริงนอยกวาศูนย นั่นคือ

Re ( ) 0, 1,...,i i n A (2.25)

โดยที่ ( )i A คือ คาไอเกนของ A

พิสูจน สําหรับการพิสูจนทฤษฎีบท 2.5 นั้น ผูสนใจสามารถศึกษาเพ่ิมเติมไดจาก [11]

2.5.5 วิธีวิเคราะหความเสถียรของระบบเชิงเสน (stability criteria for linear systems)

สําหรับระบบเชิงเสนแบบโอโตโนมัสของ ′X = AX ที่ det A ถาให ( )t=X X คําตอบจะ

สอดคลองกับเง่ือนไขเร่ิมตน 0(0) =X X และ 0 0≠X

โดยที่

• ถา det 0> และ 0trace < แสดงวาคาไอเกนของ A มีสวนจริงเปนลบ

• ถา det 0> และ 0trace = แสดงวา คาไอเกนของ A เปนสวนจินตภาพแท

• ถา det 0> และ 0trace > แสดงวาคาไอเกนของ A มีสวนจริงเปนบวก

บทที่ บทที่ 33

วิธีดําเนินการวิธีดําเนินการ

ในบทนี้เราจะกลาวถึงขั้นตอนในการดําเนินโครงการ ซ่ึงงานหลักในบทนี้จะกลาวถึงการ

วิเคราะหความเสถียร (stability analysis) ของตัวแบบของแคลดอร-คาแลคกี สําหรับการลงทุนโดยเปน

ตัวแบบที่อยูในรูปของสมการเชิงอนุพันธสามัญและสมการเชิงอนุพันธดีเลย โดยขั้นแรกเราไดทําการ

หาจุดสมดุลของสมการ ในขั้นตอไปจะพิจารณาหาจุดสมดุลของตัวแบบแคลดอร-คาแลคกีในกรณีที่ไม

มีดีเลยและหาความเสถียร จากนั้นทําการวิเคราะหตัวแบบในกรณีที่มีดีเลย โดยในขั้นตอนการวิเคราะห

หาความเสถียร เราใชวิธีการแปลงใหอยูในรูปสมการเชิงเสนรอบจุดสมดุล ซ่ึงขั้นตอนการวิเคราะหและ

ขั้นตอนการดําเนินงานนั้นจะไดกลาวถึงในหัวขอตอไป

3.1 ตัวแบบของแคลดอร-คาแลคกี สําหรับการลงทุน

ความสนใจที่สําคัญเกี่ยวกับการใชสมการเชิงอนุพันธที่มีดีเลย [1] ซ่ึงมีความสัมพันธกับ

พ้ืนฐานทางเศรษฐกิจ ในกรณีนี้เราจะกลาวถึงตัวแบบในรูปของสมการเชิงอนุพันธกรณีที่ไมมีดีเลยและ

กรณีที่มีดีเลย โดยทั่วไปการอธิบายเชิงพลศาสตรของสมการเชิงอนุพันธท่ีมีดีเลย จะยุงยากกวาสมการ

เชิงอนุพันธสามัญ

24

แคลดอและคาแลคกีได4นําเสนอ 1ระบบสมการเกี่ยวของกับรายไดประชาชาติและทุนเรือนหุน

ซ่ึงเรียกสมการของแคลดอ-คาแลคกีซ่ึงมีรูปแบบดังตอไปนี้

1กรณีที่ไมมีดีเลย

( ) ( ( ), ( )) ( ( ))

( ) ( ( ), ( )) ( )

Y t I Y t K t S Y t

K t I Y t K t K t

(3.1)

กรณีที่มีดีเลย

( ) ( ( ), ( )) ( ( ))

( ) ( ( ), ( )) ( )

Y t I Y t K t S Y t

K t I Y t K t K t

(3.2)

โดยที่คาฟงกชันการลงทุนและฟงกชันการออมมคีาดังนี้เทานั้น

( , ) , 021 BY

A AI Y K Ke

(3.3)

1และ

( )S Y Y (3.4)

1จากระบบสมการ (3.1) - (3.4) 1กําหนดให

( )Y t เปนอัตราการเปลี่ยนแปลงของรายไดประชาชาติ

( , )I Y K เปนฟงกชันการลงทุน (investment function)

( )K t เปนอัตราการเปลี่ยนแปลงของทุนเรือนหุน

( )S Y เปนฟงกชันการออม (saving function)

เปนสัมประสิทธ์ิการปรับตัวของตลาดสินคา

25

เปนคาเส่ือมราคาทุนเรือนหุน (depreciation rate of capital stock)

เปนคาสัมประสิทธ์ิของเงินออม โดยที่ (0,1)

เปนดีเลยของเวลาที่จําเปนสําหรับทุนใหมที่จะติดต้ัง

และในที่นี้เราจะสมมติวา , 0A B และ 0 เปนคาพารามิเตอรเทานั้น

ทั้งฟงกชันการลงทุนและฟงกชันการออมในสมการ (3.3) และ (3.4) นี้การลงทุนจะ 4ขึ้นอยูกับ

ทุนเรือนหุน กลาวคือถาทุนเรือนหุนสูงจะมีการลงทุนตํ่า และถามีรายไดประชาชาติเพ่ิมขึ้นจะมีการ

ลงทุนที่สูง 1 จะไดวา 0KI IK

และ 0YI IY

นอกจากนี้สําหรับตัวแบบทั่วไปของ

รายไดประชาชาติจะมีความสัมพันธกับฟงกชันการออม ซ่ึงจากสมการ (3.4) พบวา SY

ดังนั้น

จึงสรุปไดวา

0 1YS SY

1เนื่องจาก 0 1

ในที่นี้ เราจะสมมติให Y YI S ซ่ึงหมายความวา เงินทุนจะเพ่ิมขึ้นเร็วกวาเงินออม ที่รายได

ประชาชาติในยานจุดสมดุล นอกจากนี้ในงานของ 1แคลดอร [1] 1กําหนดให 0 เพ่ือทําใหเปน

สัมประสิทธ์ิของการปรับตัวของตลาด และ 0 คือคาเส่ือมของราคาเงินทุน

3.2 การวิเคราะหตัวแบบของแคลดอร-คาแลคกี สําหรับการลงทุน ในกรณีไมมีดีเลย

พิจารณาความเสถียร ของสมการของแคลดอร-คาแลคกีใน (3.1) กรณีที่ไมมีดีเลย นั่นคือ

กําหนดให 0 ซ่ึงเปนรูปแบบสมการเชิงอนุพันธสามัญ จะไดสมการในรูป

26

( ) ( ( ), ( )) ( ( ))Y t I Y t K t S Y t

(3.5)

( ) ( ( ), ( )) ( )K t I Y t K t K t

(3.6)

และจากวิเคราะหสมการ (3.5) และ (3.6) เร่ิมตนโดยการหาจุดสมดุลของระบบสมการ (3.5) - (3.6)

เนื่องจาก I และ S เปนฟงกชันที่ยังไมไดกําหนด ในที่นี้เราสมมติให ( , )Y K เปนจุดสมดุลของ (3.5)

- (3.6) จากนั้นโดยใชวิธีการทําใหอยูในรูปเชิงเสน (linearized method) ไดโดยการกําหนดให

( , ) ( ( ), ( )) ( ( )) ( , ) ( )F Y K I Y t K t S Y t I Y K S Y

( , ) ( ( ), ( )) ( )G Y K I Y t K t K t

และหาอนุพันธของฟงกชัน F และ G เทียบกับตัวแปร Y จะได

[ ]Y Y Y Y YF I S I S

( , ) (0)Y Y YG I Y K K I I

หาอนุพันธของฟงกชัน F และ G เทียบกับตัวแปร K จะได

(0)K K KF I I

(1)K K KG I I

ซ่ึงสามารถเขียนความสัมพันธตาง ๆ ในรูปจาโคเบียนเมทริกซ ไดเปน

( )Y K Y Y K

Y K Y K

F F I S I

G G I I

KJ

27

ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซ KJ คือ

det ( )( )Y Y K K YI S I I I KJ

และเทรซของเมทริกซ KJ คือ

tr ( ) ( )Y Y KI S I KJ

ในการตรวจสอบความเสถียรของจุดสมดุลสามารถพิจารณาไดจากคาของ det KJ และ tr KJ

ที่จุดสมดุล ( , )Y K กลาวคือ ถา det 0KJ แลวจุดสมดุล ( , )Y K เปนจุดอานมา ถา det 0KJ

แลวจะสามารถแยกไดเปน 2 กรณี คือ ถา tr 0KJ จะเปนจุดที่ไมเสถียรและถา tr 0KJ จะเปน

จุดที่เสถียร

เมื่อเราแทนฟงกชันการลงทุนลงไปใน (3.5) - (3.6) จะได

( ) ( , )21

( ) ( , )21

BY

BY

A AY t F Y K K Ye

A AK t G Y K K Ke

(3.7)

ขั้นตอนในการวิเคราะหสมการ (3.7) สรุปไดดังนี้

ข้ันที่ 1 หาจุดสมดุลของระบบสมการ

แทนคา ( ) 0Y t และ ( ) 0K t ลงในระบบสมการ (3.7) จะไดวา

021 BY

A A K Ye

(3.8)

021 BY

A A K Ke

(3.9)

28

จาก (3.8) และ (3.9) พบวา ( , ) (0,0)Y K เปนจุดสมดุลของ (3.7) ซ่ึงในที่นี้เราจะพิจารณาเฉพาะจุด

สมดุลดังกลาว

ข้ันที่ 2 แปลงสมการอยูในรูปเชิงเสน กําหนดใหโดย

u Y Y

v K K

จะไดระบบเชิงเสนสําหรับ (3.7) คือ

( , )

( ) ( )

( ) ( )Y K

Y K

Y K

u t F F u t

v t G G v t

( , )

( ) ( )

( )Y K

Y Y K

Y K

I S I u t

I I v t

(3.10)

แทน ( , ) (0,0)Y K จะเปนจุดสมดุลของระบบสมการ (3.10)

(0,0)

( ) ( ) ( )

( ) ( )Y Y K

Y K

u t I S I u t

v t I I v t

(3.11)

หาคาของเมทริกซจาโคเบียน ที่จุด (0,0) และแทนคาลงในสมการ (3.11) จะได

( ) ( )( ) ( )4

( ) ( )4

ABu t u t

v t AB v t

(3.12)

กําหนดให

( ) ( )4

4

AB

AB

A

หาคาไอเกนของเมทริกซ A จาก det( - ) 0 A I

29

( ) ( )

4 0( )

4

AB

AB

(3.13)

4พิจารณาสมการ (3.13) ไดวา

2 ( ) 0K Y Y K Y Y Y K YI S I I I I S I S (3.14)

จากทฤษฎีบทเราท-เฮอวิทซ ที่กลาวมาแลว ในบทที่ 2 จะไดเง่ือนไขเพียงพอที่จะทําใหระบบมี

ความเสถียร ดังทฤษฎีบทตอไปนี้

ทฤษฏีบท 3.1 จากตัวแบบ (3.7) ถากําหนดเง่ือนไขของพารามิเตอร , , , 0A B และ 0

โดยที่ 0 1 แลวทุกคําตอบจะลูเขาสูจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K ซ่ึงเปนจุดสมดุลที่เสถียร

พิสูจน ตองการตรวจสอบวาจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K นี้เปนจุดสมดุลที่เสถียรหรือไม โดยใช

ทฤษฏีบท 2.5 และทฤษฏีบทของเราท-เฮอวิทซ ตามทฤษฎีบท 2.1 และบทแทรก 2.2 ท่ีกลาวมาแลวใน

บทที่ 2

เนื่องจากสมการ (3.12) เปนสมการพหุนามดีกรี 2 จากบทแทรก 2.2 ตองตรวจสอบเง่ือนไข

ดังตอไปนี้

11

2

00, det 0

1

aa

a

จากสมการ (3.14) กําหนดให

0 1a

1 4K Y YABa I S I

30

2

4 4

K Y Y Y K Ya I I I S I S

ABAB

ดังนั้น เมื่อแทนคาตามเง่ือนไขที่ไดกลาวมาใน 3.1 แลว จะทําให 1 0a และ 1 2 0a a นั้น

เปนจริง จาก เราท-เฮอรวิทซ แสดงวารากทั้งหมดของพหุนามมีสวนจริงที่เปนลบ ดังนั้น จุดสมดุล

( , ) (0,0)Y K เปนจุดที่เสถียร

3.3 การวิเคราะหตัวแบบของแคลดอร-คาแลคกี สําหรับการลงทุน ในกรณีท่ีมีดีเลย

4เมื่อพิจารณาตัวแบบแบบ ดีเลยของสมการ4แคลดอร-คาแลคกี

( ) ( ( ), ( )) ( ( ))

( ) ( ( ), ( )) ( )

Y t I Y t K t S Y t

K t I Y t K t K t

(3.15)

0แทน t ดวย t 0ในสมการที่สองจะได

( ) ( ( ), ( )) ( ).K t I Y t K t K t

(3.16)

จากการประมาณโดยใชอนุกรมเทยเลอรจะไดวา

( ) ( ) ( )K t K t K t

หาอนุพันธเทียบ t ทั้งสองขางจะได

( ) ( ) ( )K t K t K t

แทนสมการลงในสมการ (3.16)

( ) ( ) ( ( ), ( )) [ ( ) ( ) ]K t K t I Y t K t K t K t (3.17)

จะไดวา

31

( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( )K t K t I Y t K t K t K t

จัดรูปสมการใหงายขึ้น โดย

0 ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( )

( ) ( ( ), ( )) ( ) [ ( ) ( )]

( ) ( ( ), ( ) ( ) ) ( ) [ ( ) ( )]

( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) [ ( ) ( )]

( ) ( (K

K t K t I Y t K t K t K t

K t I Y t K t K t K t K t

K t I Y t K t K t K t K t K t

K t I Y t K t I K t K t K t K t

K t I Y t

), ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )]

( ) [ ( ( ), ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]K

K

K t K t K t I K t K t

K t I Y t K t K t K t I K t K t

จะไดวา

( ) ( ( ), ( ) ( ) ) ( ) [ ( ) ( )] 0K t I Y t K t K t K t K t K t (3.18)

ใหสังเกตวาถา 0 ลงใน (3.18) แลว จะตรงกับสมการใน (3.6)

( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 0KK t I Y t K t K t K t I K t K t (3.19)

เพ่ือเปนการลดอันดับของอนุพันธใน (3.19) เราจะเปลี่ยนตัวแปรให ( ) ( )Z t K t ดังนั้นตัวแบบของ

แคลดอร-คาแลคกีที่มีดีเลย 4สามารถเขียนไดในรูประบบ1สมการเชิงอนุพันธดังนี้

( ) ( ( ( ), ( )) ( ( )))

( ) ( )

1 1( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( )K

Y t I Y t K t S Y t

K t Z t

Z t I Y t K t K t I Z t

(3.20)

32

หาจุดสมดุลของสมการ โดยให ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0Y t K t Z t จะได

0 ( )21

021

1 10 ( )2 21 1

BY

BY

KBY BY

A A K Ye

A A K Ke

A A A AK I K Ke e

(3.21)

จะเห็นไดชัดวา ( , , ) (0,0, 0)Y K Z เปนจุดสมดุลของระบบสมการ (3.21) ซ่ึงในที่นี้เราจะพิจารณา

เฉพาะจุดสมดุลดังกลาว

ระบบสมการ (3.20) ไมเปนเชิงเสน เมื่อทําเปนเชิงเสนแลวจะไดจาโคเบียนเมทริกซ คือ

( ) 0

0 0 1

1 1 1( ) ( )

Y Y K

Y K K

I S I

I I I

DJ

โดยดีเทอรมิแนนตของจาโคเบียนเมทริกซ คือ

1det ( )( ) 0

det0

Y Y K K YI S I I I

D

K

J

J

โดยที่ KJ เปนจาโคเบียนดีเทอรมิแนนต ในหัวขอ 3.2

และเทรซของจาโคเบียนเมทริกซ คือ

1tr tr 0

D KJ J

จะมีอสมการที่เกิดจากเง่ือนไข det 0KJ และ tr 0KJ ในรูปแบบของแคลดอร

33

จากนั้น หาสมการลักษณะเฉพาะของ DJ จาก

( ) 0

det( ) 0 1

1 1 1( ) ( )

Y Y K

Y K K

I S I

I I I

DJ I

และหาคาไอเกนของ DJ จากดีเทอรมิแนนตขางตน จะได

1 10 1

1

Y Y K K Y

K Y Y

I S I I I

I I S

2 1Y Y K K Y

KY Y

I S I I I

II S

2 2

22 2 3

Y K Y K K Y Y

Y Y Y Y Y

K K KK Y Y Y Y Y

I I S I I I S

I I S I S

I I II I I S I S

2

22 2 2 3 3

Y K Y K K Y Y Y

Y K Y Y

KK Y K Y Y Y

I I S I I I S I

S I I S

II I I I I S

2 31

KY K K Y Y Y Y Y

K Y

K Y K Y K Y Y Y

II I I S I S I S

I S

I I I I I S I S

34

3 21

1

Y Y K

Y Y K K Y Y K Y Y

K Y Y Y

I S I

I S I I S I I I S

I S I S

นํา ( 1) คูณตลอด เพ่ือจัดรูปสมการ จะได

3 21

1

Y Y K

Y Y K K Y Y K Y Y

K Y Y Y

I S I

I S I I S I I I S

I S I S

3 21

1

Y Y K

Y Y K Y Y K

K Y Y Y

I S I

I S I I S I

I S I S

ให

11 trY Y Ka I S I

DJ

21

Y Y K Y Y Ka I S I I S I

3 detK Y Y Ya I S I S

DJ

พิจารณาสมการลักษณะเฉพาะ

3 21 2 3 0a a a (3.22)

เมื่อแทนคา ( , ) (0,0)Y K จะไดคาสัมประสิทธ์ิของพหุนาม (3.22) คือ

35

1

2

3

1 04

1( ) ( ( ))4 4

04

ABa

AB ABa

ABa

(3.23)

จากทฤษฎีบทเราท-เฮอวิทซ ที่กลาวมาแลว ในบทที่ 2 จะไดเง่ือนไขเพียงพอที่จะทําใหระบบมี

ความเสถียร ดังทฤษฎีบทตอไปนี้

ทฤษฏีบท 3.2 สําหรับตัวแบบ (3.15) ถา

1 1( ) (( ) )

และ

21 1[ ( ) ( ( ))]

เมื่อ 4

AB แลวจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K เปนจุดสมดุลที่เสถียร

พิสูจน ตองการตรวจสอบวาจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K นี้เปนจุดสมดุลที่เสถียรหรือไม โดยใช

วิธีการของเราท-เฮอวิทซ ตามบทแทรก 2.2 และ ทฤษฎีบท 2.5 ที่กลาวมาแลวในบทที่ 2

เนื่องจากสมการ (3.22) เปนสมการพหุนามดีกรี 3 จากบทแทรก 2.2 ตองตรวจสอบเง่ือนไข

ตอไปนี้

1 31

2

0, det 01

a aa

a

และ

1 3 5

2 4

1 3

det 1 0

0

a a a

a a

a a

(3.24)

36

เง่ือนไขแรกใน (3.24) เปนจริงเสมอ จาก (3.23) ดังนั้นเราจึงตองแสดงเพ่ิมเติมในเง่ือนไขท่ีสองและ

สามของ (3.24)

ตรวจสอบเง่ือนไขที่สองของ

1 3

2

01

a a

a

ซ่ึงจะไดวา 1 2 3 0a a a โดยเง่ือนไขเปนจริงก็ตอเมื่อ 1 2 3a a a เมื่อแทนคา 1 2,a a และ 3a

จาก (3.23) จะไดเง่ือนไขคอื

1 1( ) (( ) )

(3.25)

ตรวจสอบเง่ือนไขที่สามของสมการ (3.24) พบวาเง่ือนไขเปนจริง เมื่อ

1 32 3 2

2 3 3 2 1 31 2

1 3

0

1 0 ( ) 0

0

a aa a

a a a a a aa a

a a

ดังนั้นถา 22 1 3a a a จะทําใหเง่ือนไขนี้เปนจริง และเมื่อแทนคา 1 2,a a และ 3a จาก (3.23) จะได

21 1[ ( ) ( ( ))]

(3.26)

ดังนั้นจาก (3.25) และ (3.26) สรุปไดวาจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K ของตัวแบบ (3.22) จะ

เสถียร ถาเง่ือนไขตอไปนี้เปนจริง

1. 1 1( ) (( ) )

และ 2. 21 1[ ( ) ( ( ))]

37

ในบทถัดไปนี้ เราจะแสดงตัวอยาง 6 ชุด โดย 3 ชุดแรกจะเปนตัวแบบกรณีท่ีไมมีดีเลยสวนใน

3 ชุดหลังจะมีเทอมดีเลย ในทั้งสองกรณีนี้จะมีตัวอยางทั้งที่เสถียรและไมเสถียร โดยที่เรากําหนด

คาพารามิเตอรเพ่ือใหสอดคลองกับ ทฤษฏีบท 3.1 และ 3.2 เทานั้น

บทที่ บทที่ 44

ผลการดําเนินงานและสรุปผลผลการดําเนินงานและสรุปผลและขอเสนอแนะและขอเสนอแนะ

4.1 บทนํา

ในบทนี้เราจะแสดงตัวอยางเพ่ือสนับสนุนผลจากการวิเคราะหที่ไดดําเนินการมาแลวในบท

ที่ผานมา โดยการใชโปรแกรมสําเร็จรูปทางคณิตศาสตร Matlab® เพ่ือชวยในการวาดกราฟแสดง

คําตอบเชิงตัว เลขที่ไดและพิจารณาความเสถียรของสมการแคลดอร -คาแลคกี สําหรับ

คาพารามิเตอรตางๆ ที่ใชในตัวอยางไดพิจารณาจากเง่ือนไขพอเพียงของทฤษฎีบท 3.1 - 3.2

กรณีที่ 1 กรณีที่ไมมีดีเลย

( )

( )

( ) ( ) ( )21

( ) ( ) ( )21

BY t

BY t

A AY t K t Y te

A AK t K t K te

(4.1)

กรณีที่ 2 กรณีที่มีดีเลย

( )

( )

( ) ( ) ( )21

( ) ( ) ( )21

BY t

BY t

A AY t K t Y teA AK t K t K t

e

(4.2)

39

4.2 ผลการดําเนินงาน

ในหัวขอนี้จะแสดงตัวอยางผลท่ีไดจากโปรแกรมสําเร็จรูปโดยแสดงคําตอบของปญหา

(4.3) และ (4.2) เมื่อกําหนดคาพารามิเตอรในกรณีตาง ๆ และจะแยกแสดงตัวอยางเปนสองกรณี

ใหญ ๆ ไดแก กรณีที่ตัวแบบไมมีดีเลยและกรณีท่ีตัวแบบมีดีเลยเขามาเกี่ยวของพรอมท้ังแสดงผล

การดําเนินงานในกรณีของตัวแบบที่มีดีเลยและไมมีดีเลยวาคําตอบจะมีความเสถียรเมื่อมีเง่ือนไข

เพียงพอของระบบนั้น ๆ

4.2.1 กรณีที่ไมมีดีเลยสมการจะอยูในรูปแบบ

พิจารณาสมการ

( )

( )

( ) ( ) ( )21

( ) ( ) ( )21

BY t

BY t

A AY t K t Y te

A AK t K t K te

(4.4)

เพ่ือเปนการสนับสนุนทฤษฏีบท 3.1 เกี่ยวกับเง่ือนไขความเสถียรของจุดสมดุล กลาวคือ ในกรณีที่

ไมมีดีเลย จุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K ของระบบจะเสถียร ถาคาพารามิเตอรสอดคลองเง่ือนไข

, , , 0A B และ 0 ที่ 0 1

40

ตัวอยาง 4.1 แสดงตัวอยางคําตอบเชิงตัวเลขจากโปรแกรม Matlab® ของสมการ (4.4) โดยมี

คาพารามิเตอรตาง ๆ คือ

3A , 0.5B 1, 0.34 , 0.9 และ 0.18 (4.5)

โดยกําหนดคาเร่ิมตน (0) 1Y และ (0) 1K

เนื่องจากคาพารามิเตอรสอดคลองกับเง่ือนไขในทฤษฏีบท 3.1 ดังนั้นจากผลเชิงทฤษฎี

คําตอบจะลูเขาสูจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K ซ่ึงเมื่อใชโปรแกรมสําเร็จรูป Matlab®

จะไดผลดังภาพ

ที่ 4.1

ภาพท่ี 4.1 ความสัมพันธระหวาง เวลา t กับตัวแปร Y และ K จากตัวอยาง 4.1

จากภาพที่ 4.1 จะพบวากราฟแสดงคําตอบมีลักษณะแกวงกวัดในชวงแรกเล็กนอยกอนที่

คําตอบจะลูเขาสูจุดสมดุล 0Y และ 0K ซ่ึงจุดสมดุลดังกลาวเปนจุดที่มีความเสถียรเชิง

เสนกํากับ นอกจากนั้นเราจะสังเกตไดวากราฟจะเร่ิมลูเขาสูจุดสมดุลเมื่อเวลา 10t และเมื่อวาด

41

กราฟแสดงความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน(K ) และรายไดประชาชาติ (Y ) จากคาพารามิเตอร

ตาง ๆ ที่กําหนด ใน (4.5) จะไดผลลัพธดังภาพตอไปนี้

ภาพท่ี 4.2 ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน( )K กับรายไดประชาชาติ( )Y จากตัวอยาง 4.1

จากภาพที่ 4.2 แสดงระนาบเฟสระหวางตัวแปร Y และ K พบวาเสนโคงหรือแนววิถี

(trajectory) ของความสัมพันธระหวางตัวแปร Y และ K ในระนาบเฟสเร่ิมตนที่จุดเร่ิมตน

0 0( , ) (1,1)Y K โดยแนววิถีจะลูเขาสูจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K ดังนั้นจึงสรุปจากภาพไดวาจุด

สมดุลดังกลาวเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียร

ตัวอยาง 4.2 แสดงตัวอยางคําตอบเชิงตัวเลขจากโปรแกรม Matlab® ของสมการ (4.4)โดยมี

คาพารามิเตอรตางๆ คือ

7A , 0.7B , 0.4, 5 , 0.9 และ 9 (4.6)

โดยกําหนดคาเร่ิมตน (0) 1Y และ (0) 1K

42

เนื่องจากคาพารามิเตอรที่กําหนดไวนั้นสอดคลองกับเง่ือนไขในทฤษฏีบท 3.1 ดังนั้นจาก

ผลเชิงทฤษฎี คําตอบจะลูเขาสูจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K โดยการลูเขาเปนแบบลูเขาทางเดียว

(monotone convergence) ซ่ึงเมื่อใชโปรแกรมสําเร็จรูป Matlab®

ชวยในการแสดงผลของคําตอบ จะ

ไดผลลัพธดังภาพที่ 4.3

ภาพท่ี 4.3 ความสัมพันธระหวาง เวลา t และตัวแปร Y และK จาก ตัวอยาง 4.2

จากภาพ 4.3 จะพบวาเมื่อกราฟแสดงคําตอบมีลักษณะคําตอบจะลู เขาสู จุดสมดุล

( , ) (0,0)Y K ซ่ึงจุดสมดุลดังกลาวเปนจุดที่มีความเสถียรเชิงเสนกํากับ และเมื่อวาดกราฟแสดง

ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน(K ) และรายไดประชาชาติ (Y ) จากคาพารามิเตอรตาง ๆ ที่

กําหนด ใน (4.5) จะไดผลลัพธดังภาพตอไปนี้

43

ภาพท่ี 4.4 ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน ( )K กับรายไดประชาชาติ ( )Y จากตัวอยาง 4.2

จากภาพที่ 4.4 แสดงระนาบเฟสระหวางตัวแปร Y และ K พบวาเสนโคงของ

ความสัมพันธระหวางตัวแปร Y และ K ในระนาบเฟสเร่ิมตนที่จุดเร่ิมตน 0 0( , ) (1,1)Y K โดย

แนววิถีจะลูเขาสูจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K ดังนั้นจึงสรุปจากภาพไดวาจุดสมดุลดังกลาวเปนจุด

สมดุลที่มีความเสถียร

ตัวอยาง 4.3 ตัวอยางคําตอบคําตอบเชิงตัวเลขจากโปรแกรม Matlab® ของสมการ (4.4) โดยคา

ของพารามิเตอรตาง ๆ กําหนดโดย

6A , 1B , 0.4 , 0.2 , 0.5 และ 0.05 (4.7)

เมื่อกําหนดคาเร่ิมตน (0) 1Y และ (0) 1K

44

เนื่องจาก 0.05 0 จึงไมสอดคลองกับเง่ือนไขในทฤษฏีบท 3.1 ดังนั้นจากผลเชิง

ทฤษฎีเราคาดวาจุดสมดุลเปนจุดสมดุลที่ไมเสถียร เมื่อใชโปรแกรมสําเร็จรูป Matlab®

เพ่ือแสดงผล

จะไดผลลัพธดังภาพที่ 4.5

ภาพท่ี 4.5 ความสัมพันธระหวาง เวลา t และตัวแปร Y และ K จากตัวอยาง 4.3

จากภาพที่ 4.5 จะพบวาเมื่อกราฟแสดงคําตอบมีลักษณะแกวงกวัด คําตอบไมลูเขาสูจุด

สมดุลและมีคาบประมาณ 22 หนวยเวลา ซ่ึงอาจเปนวัน สัปดาห หรือเดือน เปนตน และเมื่อวาด

กราฟแสดงความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน (K ) และรายไดประชาชาติ (Y ) จากคาพารามิเตอร

ตาง ๆ ที่กําหนด ใน (4.7) จะไดผลลัพธดังภาพตอไปนี้

45

ภาพท่ี 4.6 ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน ( )K กับรายไดประชาชาติ ( )Y จากตัวอยาง 4.3

จากภาพที่ 4.6 แสดงระนาบเฟสระหวางตัวแปร Y และ K พบวาแนววิถี ระหวางตัวแปร

Y และ K ในระนาบเฟสเกิดลักษณะที่เปนวง (cycle)

4.2.2 กรณีที่มีดีเลย

จากทฤษฏีบท 3.2 พบวา ตองการตรวจสอบวาสมการนี้จะเสถียรหรือไม โดยวิธีของเราท-

เฮอวิทซ เนื่องจากสมการ (3.14) เปนสมการพนุนามดีกรี 3 ตองตรวจสอบเง่ือนไขวาสําหรับความ

เสถียรของจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K คือ

1 1( ) (( ) )

และ

21 1[ ( ) ( ( ))]

46

พิจารณาตัวแบบแคลดอร-คาแลคกีทีม่ีดีเลย

( ) ( ( ( ), ( )) ( ( )))

( ) ( )

1 1( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( )K

Y t I Y t K t S Y t

K t Z t

Z t I Y t K t K t I Z t

(4.8)

เราจะแสดงตัวอยางเพ่ือสนับสนุนผลตามทฤษฏีบท 3.2 ดังตอไปนี้

ตัวอยาง 4.4 แสดงตัวอยางคําตอบคําตอบเชิงตัวเลขจากโปรแกรม Matlab® ของสมการ (4.4) โดย

มีคาพารามิเตอรตางๆ คือ

4A , 1B , 0.4 , 0.8 , 0.2 0.8 และ 0.7 (4.9)

โดยกําหนดคาเร่ิมตน (0) 1Y และ (0) 1K

1 1( ) (( ) ) 0.514

0.046

และ

21[ ( ) ( ( ))] 0.26

1 0.027

เมื่อแทนคาพารามิเตอรตาง ๆ ลงไปในเง่ือนไขตาง ๆ พบวาเง่ือนไขทั้งหมดสอดคลองกับทฤษฏีบท

3.2 ดังนั้นจากผลเชิงทฤษฎี คําตอบจะลูเขาสูจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K และเมื่อใชโปรแกรม

สําเร็จรูป Matlab®

จะไดผลดังภาพที่ 4.7

47

ภาพท่ี 4.7 ความสัมพันธระหวาง เวลา t และตัวแปร Y และ K จาก ตัวอยาง 4.4

จากภาพ 4.7 จะพบวาเมื่อกราฟแสดงคําตอบมีลักษณะแกวงกวัด จะสังเกตเห็นวาจะแกวง

กวัดชวงแรกเพียงเล็กนอย กอนที่คําตอบจะลูเขาสูจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K ที่เวลา 30t ซ่ึง

จุดสมดุลดังกลาวเปนจุดที่มีความเสถียรเชิงเสนกํากับ และเมื่อวาดกราฟแสดงความสัมพันธ

ระหวางทุนเรือนหุน(K ) และรายไดประชาชาติ (Y ) จากคาพารามิเตอรตาง ๆ ท่ีกําหนด ใน (4.9)

จะไดผลลัพธดังภาพตอไปนี้

48

ภาพท่ี 4.8 ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน ( )K กับรายไดประชาชาติ ( )Y จาก ตัวอยาง 4.4

จากภาพที่ 4.8 แสดงระนาบเฟสระหวางตัวแปร Y และ K พบวาแนววิถี ระหวางตัวแปร

Y และ K ในระนาบเฟสเร่ิมตนที่จุดเร่ิมตน 0 0( , ) (1,1)Y K โดยแนววิถีจะลูเขาสูจุดสมดุล

( , ) (0,0)Y K ดังนั้นจึงสรุปจากภาพไดวาจุดสมดุลดังกลาวเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียร

ตัวอยาง 4.5 แสดงตัวอยางคําตอบคําตอบเชิงตัวเลขจากโปรแกรม Matlab® ของสมการ (4.4)โดย

มีคาพารามิเตอรตางๆ คือ

1A , 1B , 0.1 , 0.99 , 1 1 และ 0.99 (4.10)

โดยกําหนดคาเร่ิมตน (0) 1Y และ (0) 1K

จากคาพารามิเตอรตาง ๆ ขางตน พบวา

1 1( ) (( ) ) 1.930

1.152

49

และ

21[ ( ) ( ( ))] 3.688

1 1.328

ซ่ึงผลที่ไดสอดคลองกับเง่ือนไขในทฤษฏีบท 3.2 ดังนั้นจากผลเชิงทฤษฎี คําตอบจะลูเขาสูจุดสมดุล

( , ) (0,0)Y K เมื่อใชโปรแกรมสําเร็จรูป Matlab®

จะไดผลดังภาพที่ 4.9

ภาพท่ี 4.9 ความสัมพันธระหวาง เวลา t และตัวแปร Y และ K จาก ตัวอยาง 4.5

จากภาพที่ 4.9 จะพบวาเมื่อกราฟแสดงคําตอบมีลักษณะคําตอบจะลูเขาสูจุดสมดุล 0Y

และ 0K ซ่ึงจุดสมดุลดังกลาวเปนจุดที่มีความเสถียรเชิงเสนกํากับ และเมื่อวาดกราฟแสดง

ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน (K ) และรายไดประชาชาติ (Y ) จากคาพารามิเตอรตาง ๆ ที่

กําหนด ใน (4.10) จะไดผลลัพธดังภาพตอไปนี้

50

ภาพท่ี 4.10 ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน ( )K กับรายไดประชาชาติ ( )Y จาก ตัวอยาง 4.5

จากภาพที่ 4.10 แสดงระนาบเฟสระหวางตัวแปร Y และ K พบวาเสนโคงของ

ความสั มพันธ หรือแ นววิถี ระห ว าง ตัว แปรท้ั งสองในระน าบเฟ สเ ร่ิมต น ท่ี จุด เ ร่ิมต น

0 0( , ) (1,1)Y K โดยแนววิถีจะลูเขาสูจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K ดังนั้นจึงสรุปจากภาพไดวาจุด

สมดุลดังกลาวเปนจุดสมดุลที่มีความเสถียร

51

ตัวอยาง 4.6 แสดงตัวอยางคําตอบคําตอบเชิงตัวเลขจากโปรแกรม Matlab® ของสมการ (4.4) โดย

มีคาพารามิเตอรตางๆ คือ

6A , 1B , 0.2 , 0.5 , 0.05 , 0.8 และ 0.6 (4.11)

โดยกําหนดคาเร่ิมตน (0) 1Y และ (0) 1K

เนื่องจาก

1 1( ) (( ) ) 1.011

และ

0.053

ดังนั้นคาทั้งสอง ไมสอดคลองกับเง่ือนไขในทฤษฏีบท 3.2 ดังนั้นจากผลเชิงทฤษฎีจุดสมดุล

( , ) (0,0)Y K เปนจุดสมดุลที่ไมเสถียร และเมื่อใชโปรแกรมสําเร็จรูป Matlab®

จะไดผลแสดง

ไดดังภาพที่ 4.11

ภาพท่ี 4.11 ความสัมพันธระหวาง เวลา t และตัวแปร ,Y K จาก ตัวอยาง 4.6

52

จากภาพที่ 4.11 จะพบวาเมื่อกราฟแสดงคําตอบมีลักษณะแกวงกวัดคําตอบไมลูเขาสูจุด

สมดุลและมีคาบประมาณ 24 ทั้ง ( )Y t และ ( )K t เมื่อวาดกราฟแสดงความสัมพันธระหวางทุน

เรือนหุน( K ) และรายไดประชาชาติ (Y ) จากคาพารามิเตอรตาง ๆ ที่กําหนด ใน (4.11) จะได

ผลลัพธดังภาพตอไปนี้

ภาพท่ี 4.12 ความสัมพันธระหวางทุนเรือนหุน ( )K กับรายไดประชาชาติ ( )Y จาก ตัวอยาง 4.6

จากภาพที่ 4.12 แสดงระนาบเฟสระหวางตัวแปร Y และ K พบวา เสนโคงของ

ความสัมพันธ หรือแนววิถี ระหวางตัวแปรทั้งสองในระนาบเฟสเกิดลักษณะที่เปนวง (cycle)

53

4.3 สรุปผลและขอเสนอแนะ

ในโครงงานนี้เราไดอธิบายถึงสมการเชิงอนุพันธสามัญและสมการเชิงอนุพันธดีเลย ที่

อธิบายปญหารายไดประชาชาติกับทุนเรือนหุนโดยใชสมการแคลดอร-คาแลคกี จุดประสงคหลัก

ในการหาความเสถียรของจุดสมดุลและลักษณะของคําตอบ โดยการวิเคราะหในโครงงานนี้เราจะ

ใชวิธีการแปลงสมการใหอยูในรูปสมการเชิงเสนรอบจุดสมดุล สวนผลการดําเนินงานไดแสดง

ตัวอยางของคําตอบเชิงตัวเลขดวยโปรแกรมสําเร็จรูปทางคณิตศาสตร Matlab®

โดยภาพรวมผลที่

ไดจากการวิเคราะหและจากโปแกรม Matlab®

คําตอบเชิงตัวเลขมีความสอดคลองกัน

ในสวนของการวิเคราะหความเสถียรเราไดสรุปผลการวิเคราะหในกรณีที่ไมมีดีเลย ใน

ทฤษฏีบท 3.1 ซ่ึงเง่ือนไขของพารามิเตอรคือ , , , 0A B และ 0 เมื่อ 0 1

นอกจากนั้นเราไดแสดงตัวอยางสนับสนุนทฤษฏีบท 3.1 ในตัวอยางท่ี 4.1 ถึงตัวอยางท่ี 4.3 พบวา

เมื่อคาพารามิ เตอรตาง ๆ สอดคลองกับเ ง่ือนไขแลว จะทําใหคําตอบจะลู เขาสู จุดสมดุล

( , ) (0,0)Y K แตเนื่องจากตัวอยางที่ 4.3 มีคา 0 จึงทําใหไมสอดคลองกับเง่ือนไข ซ่ึงทํา

ใหจุดสมดุลเปนจุดสมดุลที่ไมเสถียร

ในทางกลับกันสวนกรณีที่มีดีเลยในทฤษฏีบท 3.2 มีเง่ือนไขคือ

1 1( ) (( ) )

และ

21 1[ ( ) ( ( ))]

โดยที่ 4

AB

54

นอกจากนั้น เรายังไดแสดงตัวอยางสนับสนุนทฤษฏีบท 3.2 ในตัวอยางท่ี 4.4 ถึงตัวอยางที่

4.6 พบวาในตัวอยางที่ 4.4 และ 4.5 เมื่อคาพารามิเตอรตาง ๆ แลวผลท่ีไดสอดคลองกับเง่ือนไขใน

ทฤษฏีบท 3.2 คําตอบจะลูเขาสูจุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K สวนในตัวอยางที่ 4.6 เนื่องจาก

1 1( ) (( ) ) 1.011

และ

0.053

ซ่ึงไมสอดคลองกับเง่ือนไขในทฤษฏีบท 3.2 จึงยังสรุปไมได แตจากการพิจารณาคําตอบเชิงตัวเลข

โดยใชโปรแกรม Matlab®

ในตัวอยางท่ี 4.6 จะพบวา จุดสมดุล ( , ) (0,0)Y K เปนจุดสมดุลที่

ไมเสถียร

เอกสารอางอิง

[1] Matsumoto, A. and Szidarovszky, F.(2007). Delay Differential Nonlinear Economic

Models. Arizona: University of Arizona

[2] Kadder, A. and Talibi Alaoui, H. (2008). Nonlinear Analysis : Modelling and Control,

(No. 4) Vol. 13, 439-449

[3] Xiaoqin P. Wu .Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations Spec.

Ed. I,2009 No. 1-20;

[4] ความรูเบื้องตนเกี่ยวกับเศรษฐศาสตร. วันที่คนขอมูล 20 มกราคม 2555, เว็บไซต

http://lpn.nfe.go.th/web_lpn8/unit1.htm

[5] รายไดประชาชาติ. วันที่คนขอมูล 20 มกราคม 2555, เว็บไซต

http://blog.eduzones.com/offy/44720

[6] ราชบัณฑิตยสถาน(2552). พจนานุกรมศัพทเศรษฐศาสตร ฉบับราชบัณฑิตยสถาน

[7] http://www.bangkokbiznews.com/home/media/2009/03/11/images/news_img_2368

[8] Gantmacher, F. R. (1959). Application of The Theory of Matrices .

New York: Interscience Publishers, Inc. , pp. 213.

[9] Hale, J.K., Magalhaes, L.T. and Oliva, W. (2002). Dynamics in Infinite Dimensions,

2nd ed. New York: Springer-Verlag

[10] Kuang, Y. (1993). Delay Differential Equation with Applications in Population

Dynamics, New York: Academic Press.

[11] เดวิด บรรเจิดพงศชัย, (2551) ระบบควบคุมพลวัต (Dynamical Control Systems

Analysis,Design and Applications) pp.113-139

ภาคผนวก

การใชคําส่ัง dde23 ในโปรแกรม Matlab®

สําหรับแสดงผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธดีเลย

การใชคําสั่ง dde23 ในโปรแกรม Matlab®

สําหรับแสดงผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธดีเลย

เราสามารถหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธดีเลยโดยใชคําส่ัง dde23 จาก

โปรแกรม Matlab® ซ่ึงสามารถทําไดโดยงายเพียงแคเรียนรูรูปแบบการใชคําส่ัง และนําไปประยุกตใช

ในสมการเชิงอนุพันธดีเลยที่เราจะศึกษา

สมการเชิงอนุพันธดีเลยมีรูปแบบทั่วไปคือ

1 2( ) , ( ), ( ), ( ),..., ( )ky t f t y t y t y t y t

สําหรับรูปแบบของคําส่ัง dde23 มีดังนี้

0 sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan)

หรือ 0 sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan,options)

โดยที่ ddefun คือ ฟงกชันของสมการเชิงอนุพันธดีเลยที่เราใชหาผลเฉลยเชิงตัวเลข

ซ่ึง ddefun มีรูปแบบดังนี้ dydt = ddefun(t,y,Z)

โดยที่ t คือ เวลา

y คือ คอลัมนเวกเตอรที่ซ่ึงเราจะประมาณคาผลเฉลยของสมการ

เชิงอนุพันธดีเลย

Z(:,j) คือ คา ( )jy t สําหรับดีเลย j จะสอดคลองกันกบั lags(j)

โดยคาที่ใสจะเปนคอลัมนเวกเตอรซ่ึงสอดคลองกับ

1 2, ( ), ( ), ( ),..., ( )kf t y t y t y t y t

เมื่อ 0lags คือ คาคงที่บวกของตัวดีเลยซ่ึงแทนคาเปนเวกเตอร

โดยที่ 0history คือ ฟงกชันคาเง่ือนไขเร่ิมตน 0tspan คือ ชวงของการอินทิเกรต

58

และ 0options คือ ตัวปรับคาซ่ึงโครงสรางนั้นสามารถปรับไดโดยใชคําส่ัง 0ddeset โดยที่คาของ

ddeset คือ การสรางหรือปรับเปลี่ยนการต้ังคาของสมการเชิงอนุพันธดีเลย ซ่ึงรูปแบบคําส่ังของ

ddeset แบงไดเปน 3 รูปแบบโดยมีรายละเอียดดังนี้

options = ddeset('name1',value1,'name2',value2,...)

สรางตัวเลือกอินทิเกรเตอร 1ที่มีช่ือโดยระบุคา 1 และสวนที่ที่ไมไดระบุคาจะใหเปนคาดั้งเดิม 1ซ่ึงจะ

พอเพียงตอชนิดของตัวอักษรที่ตองระบุช่ือของคุณสมบัติ1

options = ddeset(oldopts,'name1',value1)

1เปนการปรับเปลี่ยนตัวเลือก oldopts โดยการเขียนทับคาตาง ๆ ใน oldopts ท่ีระบุโดยใชช่ือ คา

คู และสงกลับแกไขโครงสรางซ่ึงเปนอารกิวเมนตของผลลัพธ options = ddeset(oldopts,newopts)

1เปนการรวมโครงสรางตัวเลือกที่มีอยู oldopts กับ newopts ซ่ึงเปนโครงสรางตัวใหม และ

สามารถต้ังคาใน newopts โดยแทนที่คาที่ตรงกันใน oldopts

0 คําส่ัง dde23 เปนคําส่ังที่คืนคาผลเฉลยเปนโครงสรางของ sol ซ่ึงเมื่อเราใชฟงกชันชวย

(deval) และคาเอาทพุทของ sol ใชในการคํานวณหาผลเฉลยที่จุด tint ซ่ึงอยูในชวงของ

0tspan = [t0, tf] โดยคําส่ัง deval นั้นจะไดพูดถึงตอไป

โครงสรางของ sol ซ่ึงถูกคืนคาโดยคําส่ัง dde23 มีลักษณะตามนี้

sol.x คือ รูปแบบของตัวแปรอิสระในที่นี้คือ t

sol.y คือ รูปแบบของคาผลเฉลยหรือตัวแปรตาม ( )y t

sol.yp คือ คา ( )y t ที่เวลา t

sol.solver คือ คําส่ังที่ใชในการหาผลเฉลยในที่นี้คือ 'dde23'

deval เปนคําส่ังที่ใชคํานวณหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธฟงกชันซ่ึงคําส่ังดังกลาว

เหมาะสําหรับการคํานวณฟงกชันกพหุนามที่นิยามเปนชวงๆ (piecewise polynomial function) และมี

ขอดีในการทําตัวแปรใหเปนเวกเตอร ซ่ึงผลลัพธสามารถวาดกราฟไดงายขึ้น

59

สําหรับรูปแบบของคําส่ัง deval มีดังนี้

sxint = deval(sol,xint) sxint = deval(xint,sol)

รูปแบบคําส่ังทั้งสองเปนคําส่ังที่ใชคํานวณหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธโดยที่ sol

เปนโครงสราง ซ่ึงถูกคืนคาโดยมีกรณีดังนี้

กรณีแรก สําหรับการแกปญหาคาเร่ิมตน

(ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb หรือ ode15i)

กรณีที่สอง สําหรับสมการเชิงอนุพันธดีเลย (dde23 หรือ 0ddesd)

กรณีที่สาม สําหรับการแกปญหาคาขอบ (bvp4c หรือ bvp5c)

0สําหรับรูปแบบคําส่ัง 0deval อีกรูปแบบนึงมีดังนี้

sxint = deval(sol,xint,idx) sxint = deval(xint,sol,idx) [sxint, spxint] = deval(...)

รูปแบบคําส่ังทั้งสามเปนคําส่ังคํานวณหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธเชนเดียวกับคําส่ังดานบนแต

คืนคาผลเฉลยเพียงอยางเดียว

ขอสังเกตุ

สําหรับปญหาคาขอบที่มีหลาย ๆ คา ผลเฉลยของสมการนั้นไดมาโดยคําส่ัง 0bvp4c หรือ 0bvp5c ซ่ึง

คําส่ังดังกลาวใชในการหาผลเฉลยซ่ึงบางกรณีอาจจะไมตอเนื่องที่อินเตอรเฟส สําหรับที่ จุด

อินเตอรเฟส xc คําส่ัง deval คืนคาเฉลี่ยของลิมิตทางซายและลิมิตทางขวาของ xc ในการรับคา

ลิมิตเราจะต้ังคาใหอารกิวเมนท xint ของ deval ลดลงเล็กนอยหรือเพ่ิมขึ้นเล็กนอยกวา xc

ตัวอยาง A1

พิจารณาระบบสมการเชิงอนุพันธดีเลย Wille' and Baker ดังนี ้

1 1

2 1 2

3 2

( ) ( 1)

( ) ( 1) ( 0.2)

( ) ( )

y t y t

y t y t y t

y t y t

(A1)

60

บนชวง [0,5] โดยมีฟงกชันคาเร่ิมตน 1 2 3( ) 1, ( ) 1, ( ) 1y t y t y t เมื่อ 0t

โดยเราใชรูปแบบของคําส่ัง dde23 ดังนี้

sol = dde23(ddefun, lags, history, tspan)

การระบุตัวแปรสามารถระบุไดดังนี้

ddefun คือฟงกชันของสมการเชิงอนุพันธดีเลยที่ใชคํานวณหาผลเฉลย ในที่นี้คือ ddex1d.m ซ่ึง

สามารถเขียนเปนโปรแกรมคอมพิวเตอรไดดังนี้

function dydt = ddex1de(t,y,Z) % Differential equations function for DDEX1. ylag1 = Z(:,1); ylag2 = Z(:,2); dydt = [ ylag1(1) ylag1(1) + ylag2(2) y(2) ];

0คาของ lags คือ0คาของตัวดีเลยซ่ึงแทนคาเปนเวกเตอรในที่นี้คือ [1, 0.2]

0คาของ history คือฟงกชันเง่ือนไขเร่ิมตนที่ใชคํานวณคําตอบที่เวลา t และคืนคาเหลานั้นเปน

เวกเตอรหลัก ในที่นี้เราให 0history คือ ddex1hist.m ซ่ึงสามารถเขียนเปนโปรแกรม

คอมพิวเตอรไดดังนี ้ function s = ddex1hist(t) % Constant history function for DDEX1. s = ones(3,1);

คาของ tspan คือชวงของการอินทิเกรท ในที่นี้คือ [0,5]

โปรแกรมที่เสร็จสมบูรณแลวพรอมที่จะใชคํานวณและวาดกราฟของผลเฉลยคือ

function ddex1 sol = dde23(@ddex1de,[1, 0.2],@ddex1hist,[0, 5]); figure; plot(sol.x,sol.y) title('An example of Wille'' and Baker.'); xlabel('time t'); ylabel('solution y');

ผลจากฟงกชัน ddex1 ขางตนจะไดกราฟผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธดีเลย (A1) แสดงดัง

ภาพ A1

61

ภาพท่ี A1 แสดงผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธดีเลย (A1)

ตัวอยาง A2 พิจารณาสมการเชิงอนุพันธดีเลย ซ่ึงเปนตัวแบบเซลลเม็ดเลือดแดงดังนี ้

( )( ) ( ) N tN t N t e (A2)

โดยที่ 0, 0, 0t และ 0 ซ่ึงมีฟงกชันคาเร่ิมตน ( ) 0.5y t เมื่อ 0t

ในตัวอยางนี้เราจะแสดงกราฟระหวาง ( 2)y t และ ( )y t ซ่ึงในการวิเคราะหทางพลวัตจะ

มีความซับซอน โดยโปรแกรมใน ddex2de.m ใชในการเขียนฟงกชันสมการเชิงอนุพันธดีเลยโดย

ซอรซโคดของโปรแกรมมีดังนี้

function v = ddex2de(t,y,Z) delta = 2 ; rho = 2 ; gamma = 2 ; v = -delta*y+(rho*exp(-r*Z));

สําหรับฟงกชัน ddex2.m ขั้นตอนแรกท่ีทํา คือกําหนดใหอารเรย t คํานวณ 1000 จุดใน

[2,100] และรับคาในแตละอาเรยดวย deval ตอมาคํานวณคาคําตอบของ 2t หลังจากนั้นรับ

คาประมาณของ ( )y t และ ( 2)y t ที่ t เดียวกัน

โปรแกรมใน ddex2.m ใชในการคํานวณและวาดกราฟของระนาบเฟสหรือเปนกราฟ

ระหวาง ( 2)y t และ ( )y t ซ่ึงเขียนเปนโปรแกรมไดดังนี้

62

function ddex2 sol = dde23(@ddex2de,2,0.5,[0, 100]); t = linspace(2,100,1000); y = deval(sol,t); ylag = deval(sol,t - 2); plot(y,ylag); xlabel('y(t)'); ylabel('y(t-2)');

ผลจากฟงกชัน ddex2 ขางตนเราจะไดกราฟดังตอไปนี ้

ภาพท่ี A2 แสดงผลการเปรียบเทียบระหวาง ( )y t และ ( 2)y t