āļāļĨāļ§āļąāļāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļļāļĢāļāļīāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
Dynamics of the Kaldor-Kalecki Business Model with Time Delay
āļāļēāļĒāļāļĩāļĢāļ§āļąāļāļ āļāļķāļāļŠāļĢāļĢāļāļĻāļļāļ āļāļąāļĒ
āļāļēāļĒāļāļāļĄāļāļĢ āļāļēāļĨāļāļĢāļĢāļ
āļāļēāļĒāļāļąāļĒāļāļāļąāļ āļāļĢāļ°āļ āļąāļŠāđāļĢāļāļąāļĒ
āđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāđāļāļāļŠāļ§āļāļŦāļāļķāđāļāļāļāļāļāļēāļĢāļĻāļķāļāļĐāļēāļāļēāļĄāļŦāļĨāļąāļāļŠāļđāļāļĢāļāļĢāļīāļāļāļēāļ§āļīāļāļĒāļēāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļąāļāļāļīāļ
āļŠāļēāļāļēāļ§āļīāļāļēāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļĢāļ°āļĒāļļāļāļ āļ āļēāļāļ§āļīāļāļēāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ
āļāļāļ°āļ§āļīāļāļĒāļēāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļĢāļ°āļĒāļāļļāļ āļĄāļŦāļēāļ§āļīāļāļĒāļēāļĨāļĒāļąāđāļāļāđāļāđāļĨāļĒāļĩāļāļĢāļ°āļāļāļĄāđāļāļĨāļēāļāļĢāļ°āļāļāļĢāđāļŦāļāļāļ·
āļāļāļēāļĢāļĻāļķāļāļĐāļē 2554
āļĨāļīāļāļŠāļīāļāļāđāļīāļāļāļāļ āļēāļāļ§āļīāļāļēāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ āļāļāļ°āļ§āļīāļāļĒāļēāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļĢāļ°āļĒāļļāļāļ āļĄāļŦāļēāļ§āļīāļāļĒāļēāļĨāļąāļĒāđāļāļāđāļāđāļĨāļĒāļĩāļāļĢāļ°āļāļāļĄāđāļāļĨāļēāļāļĢāļ°āļāļāļĢāđāļŦāļāļ·āļ
āļāđāļ·āļāđāļāļĢāļāļāļēāļ : āļāļĨāļ§āļąāļāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļļāļĢāļāļīāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
Dynamics of the Kaldor-Kalecki Business Models with Time Delay
āđāļāļĒ : āļāļēāļĒāļāļĩāļĢāļ§āļąāļāļ āļāļķāļāļŠāļĢāļĢāļāļĻāļļāļ āļāļąāļĒ
āļāļēāļĒāļāļāļĄāļāļĢ āļāļēāļĨāļāļĢāļĢāļ
āļāļēāļĒāļāļąāļĒāļāļāļąāļ āļāļĢāļ°āļ āļąāļŠāđāļĢāļāļąāļĒ
āļŠāļēāļāļēāļ§āļīāļāļē : āļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļĢāļ°āļĒāļļāļāļ
āļ āļēāļāļ§āļīāļāļē : āļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ
āļāļāļ° : āļ§āļīāļāļĒāļēāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļĢāļ°āļĒāļļāļāļ
āļāļēāļāļēāļĢāļĒāļāļĩāđāļāļĢāļķāļāļĐāļē : āļāļēāļāļēāļĢāļĒ āļāļĢ.āđāļāļāļāļąāļĒ āļāļļāļāļ§āļļāļāļīāļāļĢāļĩāļāļēāļāļēāļ
āļāļēāļāļēāļĢāļĒāļāļĩāđāļāļĢāļķāļāļĐāļēāļĢāļ§āļĄ : āļĢāļāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļēāļāļēāļĢāļĒ āļŠāļļāļāļĢ āļĢāļąāļāļāļāļąāļāļ
āļāļāļēāļĢāļĻāļķāļāļĐāļē : 2554
āļ āļēāļāļ§āļīāļāļēāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ āļāļāļ°āļ§āļīāļāļĒāļēāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļĢāļ°āļĒāļļāļāļ āļĄāļŦāļēāļ§āļīāļāļĒāļēāļĨāļąāļĒāđāļāļāđāļāđāļĨāļĒāļĩāļāļĢāļ°āļāļāļĄāđāļāļĨāļē-
āļāļĢāļ°āļāļāļĢāđāļŦāļāļ·āļāļāļāļļāļĄāļąāļāļīāđāļŦāđāļāļĢāļāļāļēāļĢāļāļĩāđāđāļāļāļŠāļ§āļāļŦāļāļķāđāļāļāļāļāļāļēāļĢāļĻāļķāļāļĐāļēāļāļēāļĄāļŦāļĨāļąāļāļŠāļđāļāļĢāļāļĢāļīāļāļāļēāļ§āļīāļāļĒāļēāļĻāļēāļŠāļāļĢ
āļāļąāļāļāļīāļ āļŠāļēāļāļēāļ§āļīāļāļēāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļĢāļ°āļĒāļļāļāļ
āļāļēāļāļēāļĢāļĒāļāļĩāđāļāļĢāļķāļāļĐāļē
(āļāļēāļāļēāļĢāļĒ āļāļĢ.āđāļāļāļāļąāļĒ āļāļļāļāļ§āļļāļāļīāļāļĢāļĩāļāļēāļāļēāļ)
āļāļēāļāļēāļĢāļĒāļāļĩāđāļāļĢāļķāļāļĐāļēāļĢāļ§āļĄ
(āļĢāļāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļēāļāļēāļĢāļĒ āļŠāļļāļāļĢ āļĢāļąāļāļāļāļąāļāļ)
āļāļĢāļĢāļĄāļāļēāļĢ
(āļĢāļāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļēāļāļēāļĢāļĒ āļāļĢāļĩāļĒāļē āļāļļāļĄāļāļĢāļąāļāļĒ)
āļ
āļāļāļāļąāļāļĒāļ
āđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāđāļāļāļāļēāļĢāļĻāļķāļāļĐāļēāđāļĨāļ°āļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļāļāļļāļĢāļāļīāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ (Kaldor â Kalecki
Model) āļāļĢāļāļĄāļāļąāđāļāļĻāļķāļāļĐāļēāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āđāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļĨāļ°āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāļāđāļķāļāļāļąāļ§āđāļāļ
āļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āđāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļĩāđāđāļŠāļāļāļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļīāļāļąāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ āđāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļ°āđāļāļ
āļāļĩāđāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļŦāļēāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāļāđāļąāļāļŠāļāļāļāļĢāļāļĩ āđāļāļĒāđāļ
āļ§āļīāļāļĩāļāļēāļĢāđāļāļĨāļāđāļŦāļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāđāļŠāļāļĢāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ āļāļēāļāļāļĨāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāđāļēāđāļŦāđāļĢāļēāđāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļ
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāđāļĩāđāļĢāļēāđāļĨāļ·āļāļāļĄāļēāļĻāļķāļāļĐāļē āđāļāļŠāļ§āļāļāļēāļĒāļāļāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāļāļ°āđāļŠāļāļāļāļ§āļēāļĄ
āđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļąāđāļāļŠāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāđāļāļĢāļđāļāļāļĢāļēāļ āđāļāļĒāļāļēāļĢāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ
MatlabÂŪ āļāđāļķāļāļāļāļ§āļēāļāļĨāļāļēāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāļāļĨāļāļĩāđāđāļāļāļēāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦ
āļ
Abstract
In this project we aim to study and analyze Kaldor-Kalecki model related to the investment and
capital stock with and without time lag. The analysis will be focused on the stability of such a model. The
method used to investigate stability properties for both problems is the linearization method. The
sufficient conditions for the asymptotical stability of modelsâ equilibrium are obtained. In addition, this
study can help us to gain some fundamental knowledge make a decision in order to minimize business
faults. At the end of this project, we show the stability behaviour of the Kaldor-Kalecki model. Our
consequences show that the analytical and numerical results are alike.
āļ
āļāļīāļāļāļīāļāļĢāļĢāļĄāļāļĢāļ°āļāļēāļĻ
āđāļāļĢāļāļāļēāļāđāļĢāđāļ·āļāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāđāļēāļĨāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļāļĨāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļĨāļ°
āđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ āđāļāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļ§āļēāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāđāļāļāļēāļĢāļāļąāļāļāđāļēāļāļāļĨāļļāļĨāļ§āļ āđāļāđāļāļ·āđāļāļāđāļāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļāļēāļĒāļāļāļāļ§āļīāļāļēāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāđāļĨāļ°āļāļēāļĢ
āļŠāļāļąāļāļŠāļāļļāļāļāļ§āļĒāđāļŦāļĨāļ·āļāļāļēāļ āļāļēāļāļēāļĢāļĒ āļāļĢ.āđāļāļāļāļąāļĒ āļāļļāļāļ§āļļāļāļīāļāļĢāļĩāļāļēāļāļēāļ āđāļĨāļ° āļĢāļĻ.āļŠāļļāļāļĢ āļĢāļąāļāļāļāļąāļāļ āļāđāļķāļāđāļāļāļāļēāļāļēāļĢāļĒāļāļĩāđ
āļāļĢāļķāļāļĐāļēāđāļĨāļ°āļāļĩāđāļāļĢāļķāļāļĐāļēāļĢāļ§āļĄāđāļāļāļēāļĢāļāļąāļāļāđāļēāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāđāļīāļāļāļĩāđ āļāļĩāļāļāļąāđāļāļĒāļąāļāļŠāļĨāļ°āđāļ§āļĨāļēāļāļąāļāļĄāļĩāļāļē āđāļāđāļ·āļāđāļŦāļāđāļēāļāļĢāļķāļāļĐāļēāđāļĨāļ°āđāļāļ°āļāđāļē
āđāļāļ§āļāļēāļāđāļāļāļēāļĢāđāļāđāļāļāļāļŦāļēāļāļēāļāđāļāļĩāđāđāļāļīāļāļāļķāđāļāđāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļēāļĢāļāļąāļāļāđāļēāđāļāļĢāļāļāļēāļāļĄāļēāļāļāļāļĢāļ°āļāļąāđāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāđāļīāļāļāļĩāđāđāļŠāļĢāđāļ
āļŠāļĄāļāļđāļĢāļ āļāļēāļāđāļāļēāļĢāļđāļŠāļķāļāļāļēāļāļāđāļķāļāđāļāļāļ§āļēāļĄāļāļĢāļļāļāļēāļāļāļāļāļēāļāļāļēāļāļēāļĢāļĒāđāļĨāļ°āļāļēāļāļāļēāļāļēāļĢāļĒāļāļĩāđāļāļĢāļķāļāļĐāļēāļĢāļ§āļĄāđāļāļāļāļĒāļēāļāļĒāđāļīāļ āļāļķāļāļāļ
āļāļĢāļēāļāļāļāļāļāļļāļāļāļēāļāļēāļĢāļĒāļāļĩāđāđāļŦāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđ
āļāļēāļāđāļāļēāļāļāļāļĢāļēāļāļāļāļāļāļĢāļ°āļāļļāļāļāļāļēāļāļēāļĢāļĒ āđāļĨāļ°āļāļļāļāļāļĨāļēāļāļĢāļāļļāļāļāļēāļāđāļāļ āļēāļāļ§āļīāļāļēāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ āļĄāļŦāļēāļ§āļīāļāļĒāļēāļĨāļąāļĒ
āđāļāļāđāļāđāļĨāļĒāļĩāļāļĢāļ°āļāļāļĄāđāļāļĨāļēāļāļĢāļ°āļāļāļĢāđāļŦāļāļ·āļāļāļĩāđāđāļāđāļŦāļ§āļīāļāļēāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđ āļāļāļĢāļĄāļŠāđāļąāļāļŠāļāļ āļāđāļēāđāļāļ°āļāđāļēāļāļĩāđāđāļāļāļāļĢāļ°āđāļĒāļāļ āđāļĨāļ°
āļāļēāļĢāļāļ§āļĒāđāļŦāļĨāļ·āļāđāļāļ·āđāļāļāļđāļĨāđāļāļāļēāļāļāļēāļāđāđāļāļāļēāļāđāļāļē āđāļĨāļ°āļŠāļļāļāļāļēāļĒāļāļĩāđāļāļĩāđāļāļēāļāđāļĄāđāļāļāļēāļāđāļāļēāļāļāļāļĢāļēāļāļāļāļāļāļĢāļ°āļāļļāļāļāļīāļāļē
āļĄāļēāļĢāļāļēāļāļĩāđāđāļāļŠāļāđāļŠāļĩāļĒāđāļĨāļĩāđāļĒāļāļāļđāļĄāļē āļ āđāļāļāļēāļŠāļāļĩāđāļāļ§āļĒ
āļāļąāđāļāļāļĩāđāļŦāļēāļāđāļāļ·āđāļāļŦāļēāļ āļēāļĒāđāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļĄāļĩāļāļāļāļāļāļĢāļāļāļāļĢāļ°āļāļēāļĢāđāļ āļāļēāļāđāļāļēāļāļāļāļāļĢāļēāļāļāļāļāļ āļąāļĒāđāļ§ āļ āļāļĩāđāļāļĩāđāļāļ§āļĒ
āļāļĢāļāļĄāļāļąāđāļāļāļāļĢāļąāļāļāđāļēāļāļīāļāļĄāđāļāđāļ·āļāļāđāļēāđāļāđāļāđāļīāļĄāđāļāļīāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļēāļĢāļāđāļāļāļēāļĢāļāđāļēāļāļēāļāđāļāļāļāļēāļāļāļāļāđāļ
āļāļēāļĒāļāļĩāļĢāļ§āļąāļāļ āļāļķāļāļŠāļĢāļĢāļāļĻāļļāļ āļāļąāļĒ
āļāļēāļĒāļāļāļĄāļāļĢ āļāļēāļĨāļāļĢāļĢāļ
āļāļēāļĒāļāļąāļĒāļāļāļąāļ āļāļĢāļ°āļ āļąāļŠāđāļĢāļāļąāļĒ
āļŠāļēāļĢāļāļąāļ
āļŦāļāļē
āļāļāļāļąāļāļĒāļāļ āļēāļĐāļēāđāļāļĒ āļ
āļāļāļāļąāļāļĒāļāļ āļēāļĐāļēāļāļąāļāļāļĪāļĐ āļ
āļāļīāļāļāļīāļāļĢāļĢāļĄāļāļĢāļ°āļāļēāļĻ āļ
āļŠāļēāļĢāļāļąāļāļ āļēāļ āļ
āļāļāļāđāļĩ 1 āļāļāļāđāļē 1
1.1 āļāļ§āļēāļĄāđāļāļāļĄāļēāđāļĨāļ°āļāļ§āļēāļĄāļŠāđāļēāļāļąāļāļāļāļāļāļāļŦāļē 1
1.2 āļ§āļąāļāļāļļāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļāļāļāđāļāļĢāļāļāļēāļ 3
1.3 āļāļāļāđāļāļāļāļāļāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļ 3
1.4 āļĢāļ°āđāļāļĩāļĒāļāļ§āļīāļāļĩāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļ 4
1.5 āļāļĢāļ°āđāļĒāļāļāļāļĩāđāđāļāļĢāļąāļāļāļēāļāđāļāļĢāļāļāļēāļ 5
āļāļāļāđāļĩ 2 āļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāļāđāļ·āļāļāļēāļāđāļĨāļ°āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāļāđāļ·āļāļāļēāļāļāđāļĩāđāļāđāļĩāļĒāļ§āļāļāļ 6
2.1 āļāđāļēāļĻāļąāļāļāļāđāļ·āļāļāļēāļāļāļēāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ 6
2.2 āļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļĩāđāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļ 7
2.3 āļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāļāđāļ·āļāļāļēāļ 9
2.3.1 āļāļēāļĢāļŦāļēāļāļēāđāļāđāļāļāđāļĨāļ°āđāļāđāļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢ 9
2.3.2 āļ§āļīāļāļĩāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļ Routh-Hurwitz 11
2.4 āļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļ 13
2.4.1 āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāđāļĨāļ°āļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ 14
2.4.2 āļāļēāļĢāļāđāļēāđāļŦāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ 15
2.4.3 āļŠāļĄāļāļēāļĢāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļāļēāļ° 16
āļ
āļŠāļēāļĢāļāļąāļ (āļāļ)
āļŦāļāļē
2.5 āļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāđāļāļāļāļāđāļāđāļāļĄāļąāļŠ 18
2.5.1 āļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāļēāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļĢāļ°āļāļāđāļ§āļĨāļēāļāļāđāļāļ·āđāļāļ 18
2.5.2 āļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāļąāļāļāļąāļāļŠāļđāļ 19
2.5.3 āļĢāļ°āļāļāļāļĩāđāļāđāļēāđāļŦāđāļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ (linearization system) 20
2.5.4 āļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ 21
2.5.5 āļ§āļīāļāļĩāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļĢāļ°āļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ 22
āļāļāļāđāļĩ 3 āļ§āļīāļāļĩāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļĢ 23
3.1 āļāļąāļ§āđāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļ 23
3.2 āļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļ āđāļāļāļĢāļāļĩāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ 25
3.3 āļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļ āđāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ 30
āļāļāļāđāļĩ 4 āļāļĨāļāļēāļĢāļāļēāđāđāļāļīāļāļāļēāļāđāļĨāļ°āļŠāļĢāļāļļāļāļĨāđāļĨāļ°āļāļāđāļŠāļāļāđāļāļ° 38
4.1 āļāļāļāđāļē 38
4.2 āļāļĨāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļ 39
4.2.1 āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ 39
4.2.2 āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ 45
4.3 āļŠāļĢāļļāļāļāļĨāđāļĨāļ°āļāļāđāļŠāļāļāđāļāļ° 53
āđāļāļāļŠāļēāļĢāļāļēāļāļāļīāļ 55
āļ āļēāļāļāļāļ§āļ 56
āļ
āļŠāļēāļĢāļāļąāļāļ āļēāļ
āļ āļēāļāļāđāļĩ āļŦāļāļē
4.1 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ āđāļ§āļĨāļē t āļāļąāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āļāļēāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.1 40
4.2 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ ( )K āļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī ( )Y āļāļēāļ
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.1 41
4.3 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ āđāļ§āļĨāļē t āđāļĨāļ°āļāļąāļ§āđāļāļĢ ,Y K āļāļēāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.2 42
4.4 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ ( )K āļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī ( )Y āļāļēāļ
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.2 43
4.5 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ āđāļ§āļĨāļē t āđāļĨāļ°āļāļąāļ§āđāļāļĢ ,Y K āļāļēāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.3 44
4.6 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ ( )K āļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī ( )Y āļāļēāļ
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.3 45
4.7 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ āđāļ§āļĨāļē t āđāļĨāļ°āļāļąāļ§āđāļāļĢ ,Y K āļāļēāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.4 47
4.8 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ ( )K āļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī ( )Y āļāļēāļ
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.4 48
4.9 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ āđāļ§āļĨāļē t āđāļĨāļ°āļāļąāļ§āđāļāļĢ ,Y K āļāļēāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.5 49
4.10 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ ( )K āļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī ( )Y āļāļēāļ
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.5 50
4.11 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ āđāļ§āļĨāļē t āđāļĨāļ°āļāļąāļ§āđāļāļĢ ,Y K āļāļēāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.6 51
4.12 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ ( )K āļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī ( )Y āļāļēāļ
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.6 52
A1 āđāļŠāļāļāļāđāļēāļāļāļāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ (A1) 61
A2 āđāļŠāļāļāļāļĨāļāļēāļĢāđāļāļĢāļĩāļĒāļāđāļāļĩāļĒāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ ( )y t āđāļĨāļ° ( 2)y t 62
āļāļāļāļĩāđ āļāļāļāļĩāđ 11
āļāļāļāđāļēāļāļāļāđāļē
1. āļāļ§āļēāļĄāđāļāļāļĄāļēāđāļĨāļ°āļāļ§āļēāļĄāļŠāđāļēāļāļąāļāļāļāļāļāļāļŦāļē
āļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāļāļ·āļāļāļēāļĢāđāļāļŠāļāļĒāļāļĢāļąāļāļĒāļēāļāļĢ2āđāļāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āļāļēāļ āđ āđāļāļĒāļĄāļļāļāļŦāļ§āļąāļāļāļ°āđāļāļĢāļąāļāļāļĨāļāļāļāđāļāļāļāļēāļāļāļēāļĢāđāļ
āļāļēāļĒāļāļąāđāļāđāļāļāļāļēāļāļ [4] āļāđāļķāļāļāļđāļĨāļāļāļļāļāđāļāđāļ·āļāļ§āļēāđāļāļīāļāļŠāļāļŦāļĢāļ·āļāļāļĨāļāļāļāđāļāļāļŠāļ§āļāđāļāđāļīāļĄāļāđāļĩāļāļ°āđāļāļĢāļąāļāļāļ·āļāļāļąāđāļ āļāļ°āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļ
āļāļāđāļāļĒāļĢāļ°āļĒāļ°āđāļ§āļĨāļē āļāļąāļāļĢāļēāđāļāļīāļāđāļāļ āđāļĨāļ°āļāļ§āļēāļĄāđāļŠāđāļĩāļĒāļāļāļĩāđāļāļēāļāđāļāļīāļāļāļķāđāļāđāļāļāļĒāļēāļāļāļļāļĄāļāļē āļŦāļĢāļ·āļāļāļēāļāļāļĨāļēāļ§āđāļāļ§āļē āļāļēāļĢāļāļāļĄ
āđāļāđāļ·āļāđāļŦāđāļāļĢāļąāļāļāļĨāļāļāļāđāļāļāļāļĩāđāļĄāļēāļāļāļķāđāļ āļāđāļķāļāđāļĢāļēāļāļ°āļāļāļāļĒāļāļĄāļĢāļąāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāđāļĩāļĒāļāļāļĩāđāđāļāđāļīāļĄāļāļķāđāļāđāļāļāļāļąāļ āļāļēāļĢāļāļąāļāļŠāļīāļāđāļāļāđāļēāđāļāļīāļ
āļāļāļĄāļĄāļēāļĨāļāļāļļāļ āđāļĢāļēāļāļķāļāļāļāļāļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļāļĒāļēāļāļĢāļāļāļāļāļ āđāļĨāļ°āļĻāļķāļāļĐāļēāļŦāļēāļāļāļĄāļđāļĨāļāļĩāđāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāđāļāļāļāļĒāļēāļāļāļĩ āđāļāđāļ·āļāđāļŦāđāļāļĢāļąāļ
āļāļĨāļāļāļāđāļāļāļāļēāļĄāļāļĩāđāļāļēāļāļŦāļ§āļąāļāđāļ§āđāļĨāļ°āđāļāđāļ·āļāļĨāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāđāļĩāļĒāļāļāļĩāđāļāļ°āđāļāļīāļāļāļķāđāļāļāļēāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļ āđāļāļāļĨāļēāļāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļāļļāļāļąāļ
āļĄāļĩāļāļēāļāđāļĨāļ·āļāļāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāđāļŦāđāļĢāļēāđāļĨāļ·āļāļāļĄāļēāļāļĄāļēāļĒ āļāđāļąāļāļŠāļīāļāļāļĢāļąāļāļĒāļāļēāļāļāļēāļĢāđāļāļīāļ (financial assets) āļāļĢāļ°āđāļ āļ
āļāļąāļāļāļāļąāļāļĢ āļŦāļļāļāļāļđ āļŦāļļāļāļāļļāļ āļāļāļāļāļļāļāļĢāļ§āļĄāļāļĢāļ°āđāļ āļāļāļēāļ āđ āļŦāļĢāļ·āļ āļŠāļīāļāļāļĢāļąāļāļĒāļāđāļĩāļāļąāļāļāļāļāđāļ (tangible assets) āđāļāļ
āļāļāļāļāđāļē āļāļĩāđāļāļīāļ āļāļēāļāļēāļĢ āđāļāļāļĢāļāļīāļĨāļāļīāļāļāļē āđāļāļĢāđāļ·āļāļāļāļĢāļ°āļāļąāļ āļāļēāļĢāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāļāļ§āļēāļĄāđāļāļēāđāļāđāļāļŠāļīāļāļāļĢāļąāļāļĒāļāđāļĩāļāļ°āļĨāļāļāļļāļāļāļķāļāļĄāļĩ
āļāļ§āļēāļĄāļŠāđāļēāļāļąāļāļāļāđāļĢāļēāļĄāļēāļ āļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāđāļāļĒāđāļĄāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđ āļŦāļĢāļ·āļāđāļĄāđāļāļēāđāļāđāļāđāļĢāđāļ·āļāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāđāļĩāļĒāļāđāļĨāļ°āļāļēāļāđāļĨāļ·āļāļāđāļāļāļēāļĢ
āļĨāļāļāļļāļāļāļĩāļāļ āļāļ·āļāđāļāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāđāļĩāļĒāļāļŠāļđāļāļāđāļķāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāđāļēāđāļŦāđāļāļīāļāļāļēāļĢāļŠāļđāļāđāļŠāļĩāļĒāļāļąāđāļāļāļēāļāļāļēāļ āđāļ§āļĨāļē āđāļĢāļāļāļēāļ
āļĢāļ§āļĄāļāļąāđāļāđāļāļīāļāļāļāļ āđāļāļāļēāļāļāļāļ Matsumoto āđāļĨāļ° Szidarovszky [1] āđāļāļāđāļēāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļ
2
āļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ (Kaldor-Kalecki investment model) āđāļāđāļ·āļāļāļĩāđāļāļ°āļĻāļķāļāļĐāļēāļāļēāļĢāđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāđāļāļĨāļāļĢāļēāļĒāđāļ
āļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī (national income) āđāļĨāļ°āļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ (capital stock)
āđāļĢāļēāļāļķāļāļāđāļēāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļāļŦāļēāļāļļāļĢāļāļīāļ āļāđāļķāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļĩāđāļāļ°āļĻāļķāļāļĐāļēāđāļ
āļāļĩāđāļāļĩāđāđāļāļāđāļāđāļāļāļŠāļāļāļāļĢāļāļĩ āļāļ·āļ
āļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
[ ( ( ), ( )) ( ( ))],
( ( ), ( )) ( )
dY I Y t K t S Y tdtdK I Y t K t K tdt
(1.1)
āļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
[ ( ( ), ( )) ( ( ))],
( ( ), ( )) ( )
dY I Y t K t S Y tdtdK I Y t K t K tdt
(1.2)
āđāļĄāļ·āđāļ Y āđāļāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī, K āđāļāļāļāđāļēāļāļ§āļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ, āđāļāļ āļŠāļąāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļīāļāļāđāļīāļāļēāļĢāļāļĢāļąāļāļāļąāļ§āļāļāļ
āļāļĨāļēāļāļŠāļīāļāļāļē, āđāļāļāļāļēāđāļŠāđāļ·āļāļĄāļĢāļēāļāļēāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ (depreciation rate of capital stock), I āđāļāļāļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢ
āļĨāļāļāļļāļ (investment function), S āđāļāļ āļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļāļāļĄ (saving function), āđāļĨāļ°āļāļēāļāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ āđāļāļ
āļāļ§āļāļĢāļ°āļĒāļ°āđāļ§āļĨāļēāļāļĩāđāļāļāļāļāļēāļĢ (āļāļĩāđāļĨāļĒ) āđāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāļāļĢāđāļąāļāđāļŦāļĄ āļāļąāđāļāļāļĩāđāļĢāļēāļĒāļĨāļ°āđāļāļĩāļĒāļāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļąāļāļāļąāļ§āđāļāļ (1.1) - (1.2) āļāļ°
āđāļāļāļĨāļēāļ§āļāļķāļāđāļāļāļāļāļĩāđ 2 āđāļĨāļ°āļāļāļāļĩāđ 3 āļāļāđāļ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāđāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāđāļĢāļēāđāļĨāļ·āļāļāđāļāļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāđāļĨāļ°āļāļāļāļāļąāļ
āļāļēāļĢāļāļāļĄāļāļĩāđāđāļŠāļāļāđāļ [1] āļāļąāđāļāļāļ·āļ
( , )
21 BY
A AI Y K Ke
(1.3)
3
āđāļĨāļ°
( )S Y Y (1.4)
āđāļĄāļ·āđāļ , 0A B , 0 āđāļĨāļ° 0 1 āđāļāļāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢ
2. āļ§āļąāļāļāļļāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļāļāļāđāļāļĢāļāļāļēāļ
āļ§āļąāļāļāļļāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļāļāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđ āļāļ·āļāļāļēāļĢāļĻāļķāļāļĐāļēāđāļĨāļ°āļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāđāļāļīāļāļāļĨāļ§āļąāļ (dynamical analysis) āļāđāļķāļ
āđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāļāļąāļāļāļąāļāļĢāļēāļāļēāļĢāđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāđāļāļĨāļāļāđāļĩāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļąāļāđāļ§āļĨāļēāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ (Kaldor-
Kalecki equation) āļāļąāđāļāļĢāļđāļāđāļāļāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļĨāļ°āđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ āđāļāļĒāļĄāļĩāļ§āļąāļāļāļļāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļāļąāļāļāļĩāđ
2.1 āđāļāđāļ·āļāļĻāļķāļāļĐāļēāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāļāđāļ·āļāļāļēāļāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļąāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāđāļāđāļ·āļāļāļāļ āđāļāļĒāđāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļĩāđāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāļāļąāļ
āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļīāļāļąāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ
2.2 āđāļāđāļ·āļāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļŦāļēāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļ āļāđāļĩāļāđāļēāđāļŦāļāļąāļ§āđāļāļāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļē
āđāļĨāļāļāļĩ āđāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļĨāļ°āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
2.3 āđāļāđāļ·āļāļāļĢāļ°āļĒāļļāļāļāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ āđāļāđāļ·āļāļāļ§āļĒāđāļāļāļēāļĢāđāļāļāļāļŦāļēāđāļĨāļ°āļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦ
āļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļĩāđāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāļāļąāļāļāļāļŦāļēāļāļēāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāđāļ
3. āļāļāļāđāļāļāļāļāļāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļ
āļāļēāļĢāļĻāļķāļāļĐāļēāđāļĨāļ°āļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļĢāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđ āđāļāļāļāļēāļĢāļĻāļķāļāļĐāļēāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļŦāļēāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļāļāļāļ
āļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ (1.1)-(1.2) āđāļāļĒāđāļĨāļ·āļāļāđāļāļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļāļāļĄāđāļĨāļ°
4
āļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāđāļ (1.3)-(1.4) āđāļāļĒāļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ ( 0 ) āđāļĨāļ°āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ āđāļāļĒāļāļēāļĢ
āļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāđāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāļāļ°āđāļĨāļ·āļāļāļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāđāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđ ( , )21 BY
A AI Y K Ke
āđāļāļēāļāļąāđāļ āļāļāļāļāļēāļāļāļąāđāļāđāļĢāļēāļĒāļąāļāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ MatlabÂŪ āđāļāđāļ·āļāđāļāļĢāļĩāļĒāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļĨāļāļēāļĢ
āļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļąāļāļāđāļēāļāļāļāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļāļāļĩāđāđāļāļĄāļēāļāļēāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§
4. āļĢāļ°āđāļāļĩāļĒāļāļ§āļīāļāļĩāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļ
āđāļāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļļāļāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļāļ·āļāļāļēāļĢāļĻāļķāļāļĐāļēāđāļĨāļ°āđāļāļĢāļĩāļĒāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļĨāļ§āļąāļāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļāļāļļāļĢāļāļīāļ
āļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ (1.1)-(1.2) āđāļāļĒāđāļĨāļ·āļāļāđāļāļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļāļāļĄāđāļĨāļ°āļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (1.3)-
(1.4) āđāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļĨāļ°āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ āđāļāļĒāļĄāļĩāļāļąāđāļāļāļāļāđāļāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļāļāļēāļ āđ āļāļąāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
4.1 āļĢāļ§āļāļĢāļ§āļĄāļāļāļĄāļđāļĨāđāļĨāļ°āđāļāļ·āđāļāļŦāļēāļāļĩāđāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāļāļąāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļ āļĢāļ§āļĄ
āļāļąāđāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļāļŦāļēāļāļēāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāđāļāļ·āđāļāļāļāļ
4.2 āļĻāļķāļāļĐāļēāļāļ§āļēāļĄāļŦāļĄāļēāļĒāđāļĨāļ°āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļĢāđāļĨāļ°āļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļ āđ āđāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļ
āļāļļāļĢāļāļīāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļĨāļ°āļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ āļāđāļķāļāļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāđāļāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļ
āļāļāļļāļāļąāļāļāļŠāļēāļĄāļąāļāđāļĨāļ°āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒāļāļēāļĄāļĨāđāļēāļāļąāļ
4.3 āļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļŦāļēāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļāļāđāļĩāļāđāļēāđāļŦāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ āļāļąāđāļāđāļ
āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļĨāļ°āļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ (1.1)-(1.2)
5
4.4 āļāļĢāļ°āļĒāļļāļāļāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ MatlabÂŪ āđāļāđāļ·āļāļāļ§āļĒāđāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļąāļ§āđāļāļ
āļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļĩāđāđāļĨāļ·āļāļāļĄāļēāļĻāļķāļāļĐāļē āļāļĢāļāļĄāļāļąāđāļāđāļŠāļāļāļāļĨ āđāļĨāļ°āļāļ āļīāļāļĢāļēāļĒāļāļĨāļāļĩāđāđāļāļāļēāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦ
āļāļąāļ§āđāļāļāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§
5. āļāļĢāļ°āđāļĒāļāļāļāđāļĩāđāļāļĢāļąāļāļāļēāļāđāļāļĢāļāļāļēāļ
āđāļāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāđāļĢāļēāđāļāļāđāļēāļāļēāļĢāļĻāļķāļāļĐāļē āđāļĨāļ°āļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļē
āđāļĨāļāļāļĩ āļāļąāļāļāļąāđāļāđāļĄāļ·āđāļāļāđāļēāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāđāļŠāļĢāđāļāđāļĨāļ§āļāļĢāļ°āđāļĒāļāļāļāļĩāđāļāļēāļāļ§āļēāļāļ°āđāļāļĢāļąāļāļāļēāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāļŠāļĢāļļāļāđāļāļāļąāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
5.1 āđāļāļĢāļąāļāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļąāļāļāđāļ·āļāļāļēāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļŠāļēāļĄāļąāļ āđāļĨāļ°āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒāļāļĩāđ
āđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ āđāļāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ
5.2 āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļŦāļēāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļāļāļĩāđāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāļāļąāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļāļāļļāļĢāļāļīāļ
āļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāđāļ
5.3 āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāđāļāļāļāļŦāļēāļāļēāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļēāļāļāļĢāļ°āļāļēāļĢāđāļ
āļāļāļāļĩāđ āļāļāļāļĩāđ 22
āļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđ āđāļāļ·āđāļāļāļāļ āđāļāļ·āđāļāļāļāļ āđāļĨāļ°āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāļāđāļ·āļāļāļēāļāļāļĩāđāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāđāļĨāļ°āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāļāđāļ·āļāļāļēāļāļāļĩāđāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļ
āđāļāļāļāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āļāļāļīāļāļēāļĒāļāļķāļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļāļĩāđāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāđāļĨāļ°āļāļ§āļēāļĄāļŦāļĄāļēāļĒāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļāļ
āđāļāļĨāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ (Kaldor-Kalecki equation) āļĢāļ§āļĄāļāļąāđāļāļŠāļĄāļāļąāļāļīāđāļāļīāļāļāļĨāļ§āļąāļ (dynamic properties) āļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļ
āļĢāļ§āļĄāļāļąāđāļāļāļāļīāļāļēāļĒāļāļ§āļēāļĄāļŦāļĄāļēāļĒāļāļāļāļāđāļēāļĻāļąāļāļāļāđāļ·āļāļāļēāļāļāļēāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ āđāļāđāļ·āļāļāļĩāđāļāļ°āļāđāļēāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāļāđāļ·āļāļāļēāļāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āđāļ
āļāļĢāļ°āļĒāļļāļāļāđāļāđāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāļāļāđāļ āļāļāļāļāļēāļāļāļąāđāļāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāļāđāļ·āļāļāļēāļāļāļēāļ
āļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļĩāđāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāđāļĨāļ°āļāđāļēāđāļāļāļāļĩāđāļāļ°āļāļāļāđāļāđāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđ āļāļĨāļāļāļāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāļāđāļ·āļāļāļēāļāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāđāļāđāļ
āļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāđāļāļŠāļĢāļļāļāđāļĨāļ°āļĢāļ§āļāļĢāļ§āļĄāđāļ§āđāļāļŠāļ§āļāļāļēāļĒāļāļāļāļāļāļāļĩāđāļāļ§āļĒ
āđāļāļāđāļāļĩāļĒāļ§āļāļąāļ
2.1 āļāđāļēāļĻāļąāļāļāļāđāļ·āļāļāļēāļāļāļēāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāđāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāļĄāļĩāļāđāļēāļĻāļąāļāļāļāđāļ·āļāļāļēāļāļāļēāļāļāļēāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļēāļ āđ āļāđāļķāļāđāļāļāļāđāļēāļĻāļąāļāļāđāļāļāļēāļ°āļāļēāļ
āļāļąāļāļāļąāđāļāđāļāđāļ·āļāđāļŦāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļāļēāđāļāđāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļĒāđāļīāļāļāļķāđāļāđāļĢāļēāļāļķāļāđāļāđāļĢāļĩāļĒāļāđāļĢāļĩāļĒāļāļāđāļēāļĻāļąāļāļāļāļĩāđāļāđāļēāđāļāļāļāļāļāđāļāđāļ
āļāļąāļ§āđāļāļāļāļĩāđ āđāļāļĒāļāđāļēāļĻāļąāļāļāļāļēāļ āđ āđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāđāļāļĢāļ§āļāļĢāļ§āļĄāļĄāļēāļāļēāļ [5] â [7]
7
āļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī (National Income) āļāļ·āļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļĢāđāļāļāļĢāļ°āđāļāļĻāđāļāļāļĢāļ°āđāļāļĻāļŦāļāļķāđāļ
āļĢāļ§āļĄāļāļąāļāđāļāļāļ§āļāđāļ§āļĨāļēāđāļāđāļ§āļĨāļēāļŦāļāļķāđāļāļŦāļĢāļ·āļāļĄāļđāļĨāļāļēāļāļāļāļŠāļīāļāļāļēāđāļĨāļ°āļāļĢāļīāļāļēāļĢāļāļąāđāļāļŦāļĄāļāļāļĩāđāļāļĢāļ°āļāļēāļāļĢāļāļāļāļāļĢāļ°āđāļāļĻāļāļąāđāļāļāļĨāļīāļ
āđāļāđāļāļĢāļāļāļĢāļ°āļĒāļ°āđāļ§āļĨāļēāļŦāļāļķāđāļ (āđāļāļĒāļāļāļāļīāļĄāļąāļāļāļ°āļāļīāļāđāļāļĢāļāļāļĢāļ°āļĒāļ°āđāļ§āļĨāļē 1 āļ)
āļāļĨāļīāļāļ āļąāļāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļīāļŠāļļāļāļāļī (Net National Product) āļāļ·āļāļĄāļđāļĨāļāļēāļŠāļļāļāļāļīāļāļāļāļŠāļīāļāļāļēāđāļĨāļ°āļāļĢāļīāļāļēāļĢāļāļąāđāļ
āļŠāļļāļāļāļēāļĒāļāļĩāđāļāļĨāļīāļāđāļāļĢāļ°āļĒāļ°āļŦāļāļķāđāļāđāļāļĒāļāļĢāļąāļāļĒāļēāļāļĢāļāļāļāļāļĢāļ°āđāļāļĻāđāļāļąāđāļāđāļāļāđāļāļēāļāļāļāļāļąāđāļāļāļĩāđāļāļĨāļīāļāđāļāđāļĨāļ°āļāļāļāļāļĢāļ°āđāļāļĻ
āļŦāļļāļāļāļļāļāļŦāļĢāļ·āļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ (capital stock) āļāļ·āļāđāļāļīāļāļāļļāļāļāļāļāļāļĢāļīāļĐāļąāļāļāđāļķāļāļāļāļāļ°āđāļāļĩāļĒāļāđāļĨāļ°āđāļĢāļĩāļĒāļāļāđāļēāļĢāļ°āđāļĨāļ§
āļāđāļķāļāļāļēāļāļāļ°āđāļāļāļāļāļāđāļāļāļŦāļļāļāļāļĢāļ°āđāļ āļāļāļēāļāđ āđāļāļ āļŦāļļāļāļŠāļēāļĄāļąāļāļāļąāļāļŦāļļāļāļāļļāļĢāļīāļĄāļŠāļīāļāļāļī
āļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļ (investment) āļāļ·āļāļāļēāļĢāļāđāļĩāđāļĢāļēāđāļāļāļēāļĒāđāļāļīāļāļŠāļāļĢāļđāļāđāļāļāļŦāļāļķāđāļāđāļāļāļāļāļļāļāļąāļ āđāļāļĒāļĄāļļāļāļŦāļ§āļąāļāļāļ°āđāļāļĢāļąāļ
āļāļĨāļāļāļāđāļāļāļāļēāļāļāļēāļĢāđāļāļāļēāļĒāļāļąāđāļāđāļāļāļāļēāļāļ
āļāļēāļĢāļāļāļĄ (saving) āļāļ·āļāļŠāļ§āļāļāļāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĩāđāđāļŦāļĨāļ·āļāļāļēāļāļāļēāđāļāļāļēāļĒāļŦāļĢāļ·āļāļāļēāļĢāļāļĢāļīāđāļ āļ
āļāļēāđāļŠāļ·āđāļāļĄāļĢāļēāļāļē (depreciation) āļāļ·āļāļĄāļđāļĨāļāļēāļāļāļāļŠāļīāļāļāļēāļāļĩāđāļĨāļāļĨāļāļāļēāļĄāļāļēāļĒāļļāļāļēāļĢāđāļāļāļēāļ
āļ§āļāļąāļāļąāļāļĢāļāļļāļĢāļāļīāļ (business cycle) āđāļāļāļ āļēāļ§āļāļēāļĢāļāļāļĩāđāđāļŠāļāļāļāļķāļāļāļēāļĢāđāļāļĨāļ·āđāļāļāđāļŦāļ§āđāļāļāļēāļāļŠāļđāļāļāļķāđāļ (upswing)
āļŦāļĢāļ·āļāļāđāđāļēāļĨāļ (downswing) āļāļāļāļāļĨāļīāļāļ āļąāļāļāļĄāļ§āļĨāļĢāļ§āļĄāļ āļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āđāļāļĻāļāļąāļāđāļāļ·āđāļāļāļĄāļēāļāļēāļāļāļēāļĢāļāļĒāļēāļĒāļāļąāļ§āļŦāļĢāļ·āļāļŦāļāļāļąāļ§
āļāļāļāļāļīāļāļāļĢāļĢāļĄāļāļēāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļāļīāļ
2.2 āļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļāļāļāļīāđāļāļĨāļąāļŠ āđāļāļĨāļāļāļĢ
1āđāļāļ 11935 āļāļīāđāļāļĨāļąāļŠ āđāļāļĨāļāļāļĢ (Nicholas Kaldor, 1908â1986) āđāļāļĻāļķāļāļĐāļēāļāļąāļ§āđāļāļāļāđāļĩāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāļāļąāļ
āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī (national income) āđāļĨāļ°āļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ (capital stock) āđāļāļĢāļđāļāļāļāļ
8
āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļ āļāļāļĄāļē Matsumoto āđāļĨāļ° Szidarovszky [1] āđāļāļĻāļķāļāļĐāļēāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢāđāļĨāļ°āđāļāđāļāđāļīāļĄ
āđāļāļāļĄāļāļāļ1āļāļĩāđāļĨāļĒāđāļāđāļ·āļāđāļāļāļĢāļ°āļĒāļ°āđāļ§āļĨāļēāđāļāļāļēāļĢāļāļąāļāļŠāļīāļāđāļāļĨāļāļāļļāļ (investment decision) 1āđāļāļĒāļāļąāļ§āđāļāļāđāļ [1] āđāļāļ 1
āļāļąāļ§āđāļāļāđāļāļĢāļđāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ 1āļāđāļķāļāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļāļąāļāļāļĩāđ
( ) ( ( ), ( )) ( ( ))
( ) ( ( ), ( )) ( )
Y t I Y t K t S Y t
K t I Y t K t K t
(2.1)
1āļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.1) āđāļĢāļĩāļĒāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļ 1āđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ (Kaldor- Kalecki model) āļāļķāđāļ 6āļāļāļīāļāļēāļĒāļāļēāļĢ
āđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāđāļāļĨāļāļāļāļ 1āđāļāļīāļāļĨāļāļāļļāļāđāļāļĢāļđāļāđāļāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļāđāļĄāđāļāļīāļāđāļŠāļ 1āđāļĨāļ°āļĄāļĩāđāļāļāļĄ 1āļāļĩāđāļĨāļĒāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāđāļ§āļĨāļēāđāļāļāļēāļĢ
āļŠāļ°āļŠāļĄāļāļļāļ āđāļāļĒāļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦāļāļąāļ§āđāļāļĢāđāļĨāļ°āļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļ āđ āļāļĩāđāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāļāļ·āļ
Y āļāļ·āļ āļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī (national income)
K āļāļ·āļ āļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ (capital stock)
āļāļ·āļ āļŠāļąāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļīāļāļāđāļīāļāļēāļĢāļāļĢāļąāļāļāļąāļ§āļāļāļāļāļĨāļēāļāļŠāļīāļāļāļē
āļāļ·āļ āļāļēāđāļŠāđāļ·āļāļĄāļĢāļēāļāļēāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ (depreciation rate of capital stock)
I āļāļ·āļ āļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļ (investment function)
S āļāļ·āļ āļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļāļāļĄ (saving function)
āļāļ·āļ āļāļēāļŠāļąāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļīāļāļāđāļīāļāļāļāđāļāļīāļāļāļāļĄ
āđāļĨāļ° āļāļ·āļ āļāļĩāđāļĨāļĒāļāļāļāđāļ§āļĨāļēāļāļĩāđāļāđāļēāđāļāļāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļļāļāđāļŦāļĄāļāļĩāđāļāļ°āļāļīāļāļāđāļąāļ
āđāļāļ 1940 āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāļāđāļķāļāļāļāļīāļāļēāļĒāļ§āļąāļāļāļąāļāļĢāļāļļāļĢāļāļīāļāļāļĩāđāļĨāļāļāļļāļāļāđāļĩāđāļĄāļĄāļĩ
āđāļāļāļĄāļāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ āļāđāļķāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āļĄāļĩāļĢāļđāļāđāļāļāļāļąāļāļāļĩāđ
( ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))
( ) ( ( ), ( )) ( )
Y t I Y t K t S Y t K t
K t I Y t K t K t
(2.2)
āđāļĨāļ°āđāļāļ 1999 āļāļēāļāļŦāļĨāļąāļāļĢāļđāļāđāļāļāļ§āļąāļāļāļąāļāļĢāļāļļāļĢāļāļīāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢāđāļĨāļ°āđāļāļ§āļāļīāļāļāļāļāļāļēāđāļĨāļāļāļĩāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļąāļāļāļĩāđāļĨāļĒāļāļāļ
āđāļ§āļĨāļē Krawiec āđāļĨāļ° Szydlowski [2] āļāļķāļāđāļāđāļŠāļāļāļāļēāļĄāļāļąāļ§āđāļāļāļāļēāļāļāļļāļĢāļāļīāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āđāļāđāļ
9
( ) [ ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))]
( ) ( ( ), ( )) ( )
Y t I Y t K t S Y t K t
K t I Y t K t K t
(2.3)
āļĨāļąāļāļĐāļāļ°āļŠāđāļēāļāļąāļāļāļāļāļĢāļđāļāđāļāļāļāļĩāđāļāļ·āļāđāļĄāđāļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāļāļāļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāđāļĨāļ°āļāļēāļĢāđāļāđāļīāļĄāļāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļāļēāđāļāđāļ
āļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī
2.3 āļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāļāđāļ·āļāļāļēāļāļāļēāļāļāļĩāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ
āđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļāđāļāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāđāļāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāļāđāļ·āļāļāļēāļāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļąāļāļāļĩāļāļāļāļīāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ āļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦ
āļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļ āđāļĨāļ°āļĢāļēāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļŦāļļāļāļēāļĄ āļāđāļķāļāđāļĢāļēāļāļ°āļāđāļēāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āļāļĩāđāļĄāļēāļāļĢāļ°āļĒāļļāļāļ āđāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļąāļ§
āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āļĢāļ§āļĄāļāļąāđāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§ āļāđāļķāļāđāļāļŦāļąāļ§āļāļāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āļāļĨāļēāļ§āļāļķāļ
āļāđāļ·āļāļāļēāļāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļĩāđāļāđāļēāđāļāļāļāļāļāđāļāđāļāđāļāļĢāļāļāļēāļ āđāļāļĒāļĄāļĩāļŦāļąāļ§āļāļāļĒāļāļĒāļāļąāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
2.3.1 āļāļēāļĢāļŦāļēāļāļēāđāļāđāļāļāđāļĨāļ°āđāļāđāļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢāļāļāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļ
āļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ A āđāļāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļāļāļąāļāļļāļĢāļąāļŠ
11 1
1
n
m mn
a a
a a
A
āđāļĨāļ° X āđāļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢāļŦāļĨāļąāļ (column vector) āđāļāļĒāļāļĩāđ
1
2
n
x
x
x
X
10
āđāļĨāļ° āđāļāļāļāļēāļāļāļāļĩāđāđāļ āđ āļāļĩāđāļāđāļēāđāļŦ AX X āļāļēāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļŦāļāļĒāļđāđāļāļāļĩāļāļĢāļđāļāļŦāļāļķāđāļāļāļ·āļ ( ) A I X 0
āđāļĄāļ·āđāļ I āđāļāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļāđāļāļāļĨāļąāļāļĐāļāļĄāļīāļāļī n n āļāļē āļāļĩāđāļāđāļēāđāļŦāļŠāļĄāļāļēāļĢ ( ) A I X 0 āļĄāļĩāļāđāļēāļāļāļāđāļĄāđāļāļ
āđāļ§āļāđāļāļāļĢāļĻāļđāļāļĒ (zero vector) āđāļĢāļĩāļĒāļāļ§āļē āļāļēāđāļāđāļāļ āļāļē X 0 āļāļĩāđāļŠāļĄāļāļąāļĒāļāļąāļ āļāđāļķāļāđāļāļāļāđāļēāļāļāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ
( ) A I X 0 āđāļĢāļĩāļĒāļāļ§āļēāđāļāđāļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢ (eigenvectors)
āļāļēāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ ( ) A I X 0 āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļŦāļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāļāļēāļĢāđāļāļāđāļāļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļāļēāļ āđ āđāļāļĢāļđāļāđāļāļ
āļāļāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ āļāļĩāđāļāļĢāļ°āļāļāļāļāļ§āļĒāļāļąāļ§āđāļāļĢāļāđāļēāļāļ§āļ n āļāļąāļ§āđāļāļĢ āđāļĨāļ° n āļŠāļĄāļāļēāļĢ āļāļ°āđāļ
11 1 12 1
21 2 22 2 2
1 1 2 2
( ) ... 0
... 0
... 0
n n
n n
n n nn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
(2.4)
āļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļĩāđāđāļāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļāļāļąāļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ āļāđāļķāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļĩāđāļāļ°āļĄāļĩāļāđāļēāļāļāļāļāđāļĩāđāļĄāđāļāļāļĻāļđāļāļĒāļāđāļāļāđāļĄāļ·āđāļ
det( ) 0 A I āļāļąāđāļāļāļ·āļ
11 12 1
21 22 2
1 2
det( ) 0
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
A I
(2.5)
āđāļĢāļēāđāļĢāļĩāļĒāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.5) āļ§āļē āļŠāļĄāļāļēāļĢāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļāļēāļ° (characteristic equation) āļāļēāđāļĢāļēāļŦāļēāļāļēāļāļĩāđāļāļāļĢāļĄāļīāđāļāļāļāļāļāļ
āđāļĄāļāļĢāļīāļāļ A I āļāļ°āđāļāļ§āļē
11 1 0det 0n n
nb b b A I
(2.6)
āđāļāļĒāļāļĩāđ 1 2 1, , ,n nb b b āđāļĨāļ° 0b āđāļāļāļāļēāļāļāļāļĩāđ
11
āļāļēāļāļāļēāļĒāļĄāļ·āļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.6) āđāļāļāļāļāļāļāļąāļāļāļŦāļļāļāļēāļĄāđāļāđāļāļāļĄāļāļāļ āļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāļāļĢāļĩ n āļĢāļēāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ
(2.6) āļāļķāļāđāļāļāļāļēāđāļāđāļāļāļāļąāđāļāļŦāļĄāļāļāļĩāđāļĄāļĩāđāļĄāđāļāļīāļ n āļāļēāđāļāļāļāļ§āļĒ 1 2, ,..., n āļāđāļķāļāļāļēāļāļāļ°āļĄāļĩ i āļāļēāļāļāļąāļ§āļāđāđāļēāļāļąāļāļāđ
āđāļ āđāļĨāļ°āļĢāļēāļāļāļēāļāļāļ°āđāļāļāļāđāļēāļāļ§āļāļāļĢāļīāļāļŦāļĢāļ·āļāļāđāļēāļāļ§āļāđāļāļīāļāļāļāļāļāđāđāļ
2.3.2 āļ§āļīāļāļĩāļāļēāļĢāļŦāļēāļĢāļēāļāļāļāļāđāļĢāļēāļ-āđāļŪāļāļĢāļ§āļīāļāļ (RouthâHurwitz Theorem)
āđāļĢāļēāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļĢāļēāļāļāļĩāđāļŠāļ§āļāļāļĢāļīāļāđāļāļāļĨāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļŦāļļāļāļēāļĄāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāđāļēāļĨāļąāļāļĻāļķāļāļĐāļēāđāļāļāļēāļāļāļēāļĢ
āļŠāļąāļāđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļŦāļļāļāļēāļĄ āļāļąāđāļāļāļ·āļ
1 2
0 1 2 1( ) ...n n nn nf z a z a z a z a z a (2.7)
āđāļĄāļ·āđāļ 0 {0}a āđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āļŠāļāđāļāļ§āļēāļĢāļēāļāļāļāļāļāļŦāļļāļāļēāļĄāļĄāļĩāļŠāļ§āļāļāļĢāļīāļāļāļāļĒāļāļ§āļēāļĻāļđāļāļĒāļŦāļĢāļ·āļāđāļĄāđāļāļĒāđāļ
āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 2.1 āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāđāļĢāļēāļ-āđāļŪāļāļĢāļ§āļīāļāļ (RouthâHurwitz Theorem)
āđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāđāļēāđāļāļāđāļĨāļ°āđāļāļĩāļĒāļāļāļāļāļĩāđāļāđāļēāđāļŦāļĢāļēāļāļāļąāđāļāļŦāļĄāļāļāļāļāļāļŦāļļāļāļēāļĄ (2.7) āļĄāļĩāļŠāļ§āļāļāļĢāļīāļāđāļāļāļĨāļ āļāļ·āļ
1 3 5
0 2 41 3 5
1 3 1 31 0 2 4
2 0 21 3
0
0
0 00, det 0, det 0, , det 0
1 0 00
0 . . n
a a a
a a aa a a
a a a aa a a a
a a aa a
a
āļāļīāļŠāļđāļāļ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļāļīāļŠāļđāļāļāļāļđāļĢāļēāļĒāļĨāļ°āđāļāļĩāļĒāļāđāļāđāļīāļĄāđāļāļīāļĄāļāļēāļ [ 8 ]
12
āđāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđ 0 1a āļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.7) āļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāđāļāļ
1 2
1 2 1( ) ...n n nn nf z z a z a z a z a (2.8)
āļāļąāļāļāļąāđāļ āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 2.1 āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļāđāļŦāļĄāļāļąāļāļāļāđāļāļĢāļāļāļāđāļāļāļĩ āđ
āļāļāđāļāļĢāļ 2.2 āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.8) āļāļ°āđāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāđāļēāđāļāļāđāļĨāļ°āđāļāļĩāļĒāļāļāļāļāļĩāđāļāđāļēāđāļŦāļĢāļēāļāļāļąāđāļāļŦāļĄāļāļāļāļāļāļŦāļļāļāļēāļĄ
(2.8) āļĄāļĩāļŠāļ§āļāļāļĢāļīāļāđāļāļāļĨāļ āļāļ·āļ
1 3 5
2 41 3 5
1 3 1 31 2 4
2 21 3
0
1 0
0 00, det 0, det 1 0, , det 0
1 0 1 00
0 . . n
a a a
a aa a a
a a a aa a a
a aa a
a
āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 2.1 āđāļĨāļ°āļāļāđāļāļĢāļ 2.2 āļāļēāļāļāļāļāļĩāđāļāļ°āđāļāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāļāđāļ·āļāļāļēāļāļāđāļĩāļāļ°āđāļāđāļāļāļēāļĢāļŦāļēāđāļāđāļ·āļāļāđāļ
āđāļāļĩāļĒāļāļāļāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āļāđāļķāļāļāļ°āļāļāļāđāļāđāļāļāļāļāļĩāđ 3 āļāļāđāļ
āļāļāđāļāļāļĩāđāļāļ°āđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāļēāļĢāđāļāļāļāđāļāļĢāļāđāļāđāļ·āļāđāļŠāļāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāđāļēāđāļāļāđāļĨāļ°āđāļāļĩāļĒāļāļāļāđāļāļĒāđāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļĩāđ
āļāđāļēāļŦāļāļāđāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 2.1 āđāļĨāļ°āļāļāđāļāļĢāļ 2.2
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 2.1 āđāļĄāļ·āđāļāļāđāļēāļŦāļāļ 21 2( )f z z a z a āļāļ°āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļāļāđāļāļĢāļ 2.2 āđāļāļĩāļĒāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļĩāđāļāđāļē
āđāļŦāļĢāļēāļāļāļąāđāļāļŦāļĄāļāļāļāļ f āļĄāļĩāļŠāļ§āļāļāļĢāļīāļāļāļāļĒāļāļ§āļēāļĻāļđāļāļĒ āđāļāđāļāļĢāļđāļāļāļąāļāļāļĩāđ
1. 1 0a
āđāļĨāļ° 2. 11 2
2
0det 0
1
aa a
a
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 2.2 āđāļĄāļ·āđāļāļāđāļēāļŦāļāļ 3 21 2 3( )f z z a z a z a āļāļ°āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļāļāđāļāļĢāļ 2.2 āđāļāļĩāļĒāļ
āđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļĩāđāļāđāļēāđāļŦāļĢāļēāļāļāļąāđāļāļŦāļĄāļāļāļāļ f āļĄāļĩāļŠāļ§āļāļāļĢāļīāļāļāļāļĒāļāļ§āļēāļĻāļđāļāļĒ āđāļāđāļāļĢāļđāļāļāļąāļāļāļĩāđ
13
1. 1 0a
2. 1 31 2 3
2
det 01
a aa a a
a
āđāļĨāļ° 3.
1 3
2 3 1 2 3
1 3
0
det 1 0 ( ) 0
0
a a
a a a a a
a a
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 2.3 āđāļĄāļ·āđāļāļāđāļēāļŦāļāļ 4 3 21 2 3 4( )f z z a z a z a z a āļāļ°āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļāļāđāļāļĢāļ 2.2
āđāļāļĩāļĒāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļĩāđāļāđāļēāđāļŦāļĢāļēāļāļāļąāđāļāļŦāļĄāļāļāļāļ f āļĄāļĩāļŠāļ§āļāļāļĢāļīāļāļāļāļĒāļāļ§āļēāļĻāļđāļāļĒ āđāļāļĒāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļāđāļāļāļēāļĄāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļĩāđ 1-3
āđāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāļĩāđ 2.2āđāļāđāļāļĢāļđāļāļāļąāļāļāļĩāđ
1. 1 0a
2. 1 31 2 3
2
det 01
a aa a a
a
3.
1 32
2 4 3 1 2 3 4 1
1 3
0
det 1 ( ) 0
0
a a
a a a a a a a a
a a
āđāļĨāļ° 4.
1 3
2 4 24 3 1 2 3 4 1
1 3
0 2 4
0 0
1 0det ( ( ) ) 0
0 0
0
a a
a aa a a a a a a
a a
a a a
2.4 āļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļ
āđāļāļŦāļąāļ§āļāļāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āļāļĨāļēāļ§āļāļķāļāļāļ§āļēāļĄāļŦāļĄāļēāļĒāļāļāļāļāđāļēāļ§āļēāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļāđāļ·āļāļāļĩāđāļāļ°āļāđāļēāļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāļāļĩāđāđāļāļāļąāđāļāđāļ
āļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļŠāļēāļĄāļąāļāđāļĨāļ°āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ āļāđāļķāļāđāļāļāļāļļāļāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļŦāļĨāļąāļ
āđāļāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāđāļīāļāļāļĩāđ
14
2.4.1 āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāđāļĨāļ°āļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ
āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāđāļāļĢāļđāļāđāļāļ
( ) ( ( ))t t y f y (2.9)
āđāļāļĒāļāļĩāđ , nt y āđāļĨāļ° : n nf āđāļĢāļēāļāļ°āļāļĨāļēāļ§āļ§āļē y āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ (equilibrium point)
āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.9) āđāļĄāļ·āđāļ y āđāļāļāļāđāļēāļāļāļāļāļāļāļĩāđ (constant solution) āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.9) āļāļąāđāļāļāļ·āļ ( )f0 y āđāļĢāļē
āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļŦāļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļēāļāļāļēāļĢāđāļāļāļāļē ( )t y 0 āđāļĨāļ° ( )t y y āđāļāļĒāļāļąāđāļ§āđāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļŦāļĄāļēāļĒāļāļķāļāļāļļāļāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩ
āļāļēāļĢāđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāđāļāļĨāļāļāļāļāļāļē y āđāļĄāļ·āđāļāđāļ§āļĨāļēāļŦāļĢāļ·āļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļāļīāļŠāļĢāļ°āđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāđāļāļĨāļ āđāļāļāļēāļāļāđāļēāļĢāļē āđāļĢāļēāđāļĢāļĩāļĒāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļ§āļĒ
āļĻāļąāļāļāļāđāļēāļāļ·āđāļ āđ āđāļāļ āļāļļāļāļāļĢāļķāļ (fixed-point) āļŠāļāļēāļāļ°āļāļāļāļąāļ§ (steady-state) āđāļāļāļāļ āđāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.9) āđāļāļ
āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļāļāļąāļāļāļāđāļāđāļāļĄāļąāļŠ (non-autonomous equation)
āđāļāļŠāļ§āļāļāļāđāļāđāļĢāļēāļāļ°āļāļāļīāļāļēāļĒāļāļīāļĒāļēāļĄāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļąāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļāļĢāļđāļāđāļāļāļāļēāļ āđ āļāđāļķāļāļāļāļāļīāļĒāļēāļĄāļāļĩāđāļāļ°āđāļāļāļđāļ
āļāđāļēāđāļāļāļĢāļ°āļĒāļļāļāļāđāļāđāļāļāļāļāļāđāļ
āļāļāļāļīāļĒāļēāļĄ 2.3 (āļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ; [10])
(1) āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ y āļāļ°āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ (stability) āļāđāļāļāđāļĄāļ·āđāļāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļļāļāļāļē 0 āļāļ°āļĄāļĩāļāļē
( ) 0 āļāđāļķāļāļāđāļēāđāļŦāļāļļāļāļāđāļēāļāļāļ ( )ty āļāļē (0) y y āđāļĨāļ§ ( )t y y
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļļāļāļāļē 0t
(2) āļāļĨāļēāļ§āļ§āļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ y āļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāđāļēāļāļąāļ (asymptotic stability) āļāļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ y āļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄ
āđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļēāļĄāļāļ (1) āđāļĨāļ°āļĄāļĩāļŠāļĄāļāļąāļāļīāđāļāđāļīāļĄāđāļāļīāļĄāļāļ·āļ
lim ( )t
t
y y
15
āļāļēāļāļāļāļāļīāļĒāļēāļĄ 2.3 āđāļĢāļēāļāļēāļāļāļĨāļēāļ§āļŠāļĢāļļāļāđāļāļ§āļē āļāļēāļāđāļēāļŦāļāļāļāļēāđāļĢāđāļīāļĄāļāļāļāđāļĩāđāļāļĨāđāļāļĩāļĒāļāļāļąāļ āđāļĨāļ§āļāļĪāļāļīāļāļĢāļĢāļĄāļāļāļ
āļāđāļēāļāļāļāļāļĩāđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāđāļāļāļ°āļĄāļĩāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āļāļĩāđāđāļĄāđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāđāļāļĨāļ āđāļĢāļēāļāļ°āđāļĢāļĩāļĒāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāđāļāļ§āļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāđāļēāļāļąāļāļāļąāđāļāđāļāđāļīāļĄāđāļāļīāļĄāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāđāļĩāļ§āļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāđāļāļāļāļāđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāđāļĩāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ āđāļĨāļ°
āļāđāļēāļāļāļāļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāđāļĄāļ·āđāļ t āļĄāļĩāļāļēāđāļāđāļīāļĄāļāļķāđāļāđāļĢāđāļ·āļāļĒ āđ
2.4.2 āļāļēāļĢāļāđāļēāđāļŦāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ (linearization method)
āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļŠāļēāļĄāļąāļ
( ) ( )x t f x (2.10)
āļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ x āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.10) āđāļāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļŦāļĢāļ·āļāđāļāļĨāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļŦāļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļ
āđāļŠāļ āđāļĢāļēāļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ ( ) ( )y t x t x āđāļĨāļ°āđāļāļŠāļĄāļāļąāļāļīāđāļāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļāļēāļĒāļāļāļļāļāļĢāļĄāđāļāļĒāđāļĨāļāļĢ (Taylorâs series
expansion) āļāļ°āđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļāļāļēāļĢāđāļāļĨāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ (linearized equation) āļāļąāļāļāļĩāđ
āļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ ( ) ( )y t x t x
( ) ( )x t y t x
āļāļēāļāļāļāļļāļāļĢāļĄāđāļāļĒāđāļĨāļāļĢ
2 ( )1 1( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ... ( )( )2! !
k kf x f x f x x x f x x x f x x xk
āđāļāļāļāļē y x x āļĨāļāđāļāļāļāļļāļāļĢāļĄāđāļāļĒāđāļĨāļāļĢāļāļēāļāļāļ āļāļ°āđāļ
2 ( )1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )2! !
k kf x f x f x y f x y f x yk
āđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļ ( ) 0f x āđāļĄāļ·āđāļāļāļąāļāđāļāļāļĄāļāļāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļąāļāļāļąāļāļŠāļāļāļāļķāļāđāđāļ āđāļĢāļēāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāļāļāļāļąāļ f āđāļāļĢāļđāļ
āđāļāļīāļāđāļŠāļāđāļ āđāļāļĒāļāļĩāđ
16
( ) ( )f x f x y
āļāļēāļ ( ) ( )x t f x āđāļĨāļ° ( ) ( )x t y t āđāļāļāļĨāļāđāļ (2.10) āļāļ°āđāļ
( ) ( ) ( )y t f x y t (2.11)
āļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.11) āđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļ (2.10) āļāđāļķāļāđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļĄāđāļāļīāļāđāļŠāļ āđāļŦ
āļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāđāļŠāļ āļāļąāđāļāļāļĩāđāļāļēāļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ ( )f x āļāļ°āđāļāļ§āļēāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.11) āđāļāļĩāļĒāļāđāļāđāļāļĢāļđāļ
( ) ( )y t y t
(2.12)
āļāļēāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.12) āļāđāļēāļāļāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļ·āļ ( ) ty t ce āđāļĄāļ·āđāļ c āđāļāļāļāļēāļāļāļāđāļĩ āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļ
āļŠāļĄāļāļļāļĨ x āļāļķāđāļāļāļĒāļđāļāļąāļāļāļēāļāļāļ āļāđāļķāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļāđāļāđāļāļāļŠāļāļāļāļĢāļāļĩ āđāļāđāļ āļāļĢāļāļĩāđāļĢāļ āļāļē Re( ) 0 āđāļĨāļ§
āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ x āļāļ°āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāđāļēāļāļąāļ āđāļĨāļ°āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļŠāļāļ āļāļē Re( ) 0 āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ
x āļāļ°āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāđāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
2.4.3 āļŠāļĄāļāļēāļĢāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļāļēāļ° (Characteristic equations)
āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļŠāļēāļĄāļąāļ
( ) ( )y t ay t (2.13)
āļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ ( ) ty t e āļāļ°āđāļāļ§āļē ( ) ty t e āļāļąāđāļāļāļĩāđāđāļĄāļ·āđāļāđāļāļāļāļē ( )y t āđāļĨāļ° ( )y t āļĨāļāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļ
āļāļāļļāļāļąāļāļ (2.13) āļāļ°āđāļāļ§āļē
t te ae
āļāļąāļāļāļąāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļāļēāļ°āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļŠāļēāļĄāļąāļ (2.13) āļāļ·āļ
a (2.14)
17
āļāđāļķāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.14) āļāļ·āļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļāļēāļ°āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.13) āļāđāļąāļāļāļĩāđāļāļēāļāļŦāļąāļ§āļāļāļāđāļĩāļāļēāļāļĄāļē āļāļē a āļāļļāļ
āļŠāļĄāļāļļāļĨ 0y āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.13) āļāļ°āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāđāļĩāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāđāļēāļāļąāļāđāļĄāļ·āđāļ 0a āđāļĨāļ°āđāļāļ
āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāđāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļĄāļ·āđāļ 0a
āđāļāļāđāļēāļāļāļāđāļāļĩāļĒāļ§āļāļąāļ āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļāļīāļāđāļŠāļāđāļāļĢāļđāļāļāļĒāļēāļāļāļēāļĒ
( ) ( ) ( )y t ay t by t (2.15)
āļŠāļĄāļĄāļļāļāļīāđāļŦāļāđāļēāļāļāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.15) āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļāđāļāļĢāļđāļāļāļāļāļāļąāļāđāļāđāļāļāđāļāđāļāļāđāļāļĩāļĒāļĨ ( ) ty t e āļāđāļķāļāđāļĢāļē
āļāļ°āđāļāļ§āļē ( ) ty t e e āđāļĨāļ° ( ) ty t e āļāļąāđāļāļāļĩāđāđāļĄāļ·āđāļāđāļāļāļāļē ( ), ( )y t y t āđāļĨāļ° ( )y t
āļāļąāđāļāļŦāļĄāļāļĨāļāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.15) āļāļ°āđāļāļ§āļē
t t te ae be e
āđāļĄāļ·āđāļāļāļąāļāļĢāļđāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļēāļāļāļāđāļŦāļĄ āļāļ°āđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļāļēāļ°āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ (2.15) āļāļ·āļ
a be (2.16)
āļāđāļķāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.16) āļāļ·āļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļāļēāļ°āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ (2.15) āļāđāļķāļāđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļĄāđāļāļīāļāđāļŠāļ
āļāļāļāļāļēāļāļāļąāđāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļāđāļēāļāļāļ āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.16) āļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāļĒāļļāļāļĒāļēāļāļĄāļēāļāļāļ§āļēāđāļāļāļĢāļāļĩāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļ
āļŠāļēāļĄāļąāļāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
18
2.5 āļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāđāļāļāļāļāđāļāđāļāļĄāļąāļŠ
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāđāļāļāļāļāđāļāđāļāļĄāļąāļŠ (autonomous linear dynamical system) āļāđāļķāļāļĄāļĩ
āļĢāļđāļāđāļāļāđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāđāļāļĢāļ°āļāļāđāļ§āļĨāļēāļāļāđāļāļ·āđāļāļ (continuous-time system) āļāļąāļāļāļĩāđ
( )t x Ax (2.17)
āđāļāļĒāļāļĩāđ x āđāļāļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļŠāļāļēāļāļ° (state variable) āđāļāļĒāļāļĩāđ ( ) nt x
n āđāļāļāļĄāļīāļāļīāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļŠāļāļēāļāļ° (state dimension) āļŦāļĢāļ·āļāļāđāļēāļāļ§āļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļŠāļāļēāļāļ° (the number of
states )
A āđāļāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļāļāļĨāļ§āļąāļ (dynamics matrix) āļāļāļāļĢāļ°āļāļ āļāđāļąāļāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āļāļĨāļēāļ§āļ§āļē A āļĄāļĩāļŠāļĄāļāļąāļāļīāđāļ§āļĨāļē
āļĒāļ·āļāļĒāļ (time invariant) āļāļē A āđāļĄāļāļķāđāļāļāļąāļāđāļ§āļĨāļē t
āđāļāļŦāļąāļ§āļāļāļāļĩāđāđāļĢāļēāđāļāļĢāļ§āļāļĢāļ§āļĄāļāđāļīāļāļāļēāļāļāļēāļāļāļĨāļ§āļąāļāļāđāļĩāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāļāļąāļāļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāđāļāļāļāļāđāļāđāļāļĄāļąāļŠ āđāļāļĒ
āļĢāļēāļĒāļĨāļ°āđāļāļĩāļĒāļāđāļĨāļ°āđāļāļ·āđāļāļŦāļēāļāļĩāđāļāđāļēāļĄāļēāļāļąāđāļ āļāļđāļŠāļāđāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļĻāļķāļāļĐāļēāđāļāđāļīāļĄāđāļāļīāļĄāļāļēāļ [11]
2.5.1 āļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāļēāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļĢāļ°āļāļāđāļ§āļĨāļēāļāļāđāļāļ·āļāđāļ
āļāļīāļāļēāļĢāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ
0; (0) x Ax x x (2.18)
āļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāđāļēāļāļāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļēāļāļŦāļēāđāļāļāļēāļāļ§āļīāļāļĩāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļ āļāđāļķāļāļĄāļĩāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļŦāļĨāļēāļĒāļ§āļīāļāļĩ
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļ§āļīāļāļĩāļŦāļāļķāđāļāļāļĩāđāđāļāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāđāļēāļĄāļēāđāļāđāļāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāļēāđāļāđāļ āļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāļēāđāļāļāļāļāļĒāđāļĨāļāļĢāļāļēāļāļŦāļāļē
(forward Euler approximation) āļāđāļēāđāļāđāļāļĒāļāļēāļĢāļŠāļĄāļĄāļļāļāļīāđāļŦ h t āđāļāļāđāļ§āļĨāļēāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļēāđāļĨāđāļ āđ āļāđāļķāļāļāđāļēāđāļŦ x
āđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāđāļāļĨāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļĨāđāļāļāļāļĒāļ āļēāļĒāđāļāđāļ§āļĨāļē h āļ§āļīāļāļēāļāļĩ āļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāļēāđāļāļāļāļāļĒāđāļĨāļāļĢāļāļēāļāļŦāļāļēāđāļāļāļāļąāļāļāļĩāđ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t h t h t h t x x x I A x (2.19)
19
āļāļ°āđāļŦāđāļāļ§āļē āļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.19) āļĄāļĩāļĢāļđāļāđāļāļāđāļāļāļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāļāđāļāļ·āđāļāļāđāļ§āļĨāļēāļ§āļīāļĒāļļāļ (discrete time) āļāļąāļāļāļąāđāļ āđāļĢāļē
āļāļēāļāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāđāļēāļāļāļāļāļāļ (2.18) āļāļ§āļĒāļāđāļēāļāļāļāļāļēāļĢāđāļĢāļĩāļĒāļāļāđāđāļēāļāļāļ (2.19) āđāļāļĒāđāļĢāđāļīāļĄāļāļēāļ 0(0) x x āļāļąāđāļāļāļ·āļ
( ) ( ) (0)kkh h x I A x
āđāļāļĒāļāļąāđāļ§āđāļ āļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāļāļĒāđāļĨāļāļĢāļāļēāļāļŦāļāļēāđāļŦāļāđāļēāļāļāļāļāļĩāđāđāļĄāđāļĄāļāļĒāđāļē āļāļąāļāļāļąāđāļ āļāļķāļāđāļĄāļāļīāļĒāļĄāļāđāļēāđāļāđāļāđāļāļāļēāļ
āļāļāļīāļāļąāļāļī
2.5.2 āļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāļąāļāļāļąāļāļŠāļđāļ
āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāļąāļāļāļąāļ k
( ) ( 1) n1 0... ; ( )k k
k t x A x A x x
āđāļāļĒāļāļĩāđ ( )mx āđāļāļāļŠāļąāļāļĨāļąāļāļĐāļāļāļĩāđāđāļŠāļāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļąāļāļāļąāļāļāđāļĩ m āļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļŠāļāļēāļāļ° x āļāļīāļĒāļēāļĄ z āđāļāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ
āļŠāļāļēāļāļ°āđāļŦāļĄ āļāļąāļāļāļĩāđ
(1)nk
( 1)k
x
xz
x
āđāļĄāļ·āđāļāļŦāļēāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļāļ z āļāļāļ§āļē
(1)
(2)
( )
0 1 2 1
( ) ( )
k
k
t t
0 I 0 0x
0 0 I 0x
z z0 0 0 I
x A A A A
(2.20)
āļāļĢāļēāļāļāļ§āļē āļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāļąāļāļāļąāļ k āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļāļāļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāļāđāļāļ·āđāļāļāļāļąāļāļāļąāļāļŦāļāļķāđāļāļāļĩāđāļĄāļĩ
āļĢāļđāļāđāļāļ (2.20) āđāļĨāļ° z āđāļāļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļŠāļāļēāļāļ°
20
2.5.3 āļĢāļ°āļāļāļāļĩāđāļāđāļēāđāļŦāđāļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ (linearization system)
āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļĄāđāļāļīāļāđāļŠāļāđāļ§āļĨāļēāļĒāļ·āļāļĒāļ (nonlinear time-invariant system) āļāļĩāđāļāļāļīāļāļēāļĒāļāļ§āļĒ
āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļ āļāļąāļāļāļĩāđ
( )x f x (2.21)
āđāļāļĒāļāļĩāđ : n nf āļāļąāđāļāļāļ·āļ
1 2
T
nf f f f āđāļĨāļ° 1 2
T
nx x x x
āļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ x āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ (equilibrium point) āļāļĨāļēāļ§āļāļ·āļ ( ) f x 0 āļāļ°āļāļąāđāļ āļāđāļēāļāļāļāļŦāļāļķāđāļāļāļĩāđ
āļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļ (2.21) āđāļāđāļ
( ) , 0t t x x
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļāđāļēāļāļāļāļāļąāđāļ§āđāļāļāļĩāđāđāļĄāđāļāļēāļāļąāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ āļāļē ( )tx āļĄāļĩāļāļēāđāļāļĨāļāļąāļ x āđāļĢāļēāļāļēāļāļāļĢāļ°āļĄāļēāļ ( ( ))tf x
āļāļ§āļĒāļŠāļāļāļāļāļāđāļĢāļāļāļāļāļāļāļļāļāļĢāļĄāđāļāļĒāđāļĨāļāļĢāļāļąāđāļāļāļ·āļ āļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļ (2.21) āđāļāļ
( ) ( ( )) ( ) ( )( ( ) )t t t x f x f x Df x x x (2.22)
āđāļāļĒāļāļĩāđ ( )Df x āđāļāļāļāļēāđāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļ (Jacobian matrix) āļāļāļ f āļāļĩāđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ x āļāđāļķāļāļāđāļēāļŦāļāļāđāļāļĒ
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
( )
n
n
n n n
n
f f f
x x xf f f
x x x
f f f
x x x
Df x
21
āđāļĄāļ·āđāļāļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ ( ) ( )t t y x x āđāļĨāļ° ( ) f x 0 āđāļĄāļ·āđāļ x āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ āļāļ°āđāļāļĩāļĒāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļ
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļ (2.21) āđāļāļ§āļē
( ) ( ) ( )t ty Df x y (2.23)
āļāļēāļĢāđāļāļāđāļāļĢāđāļ·āļāļāļŦāļĄāļēāļĒ āļāļ§āļĒāđāļāļĢāđāļ·āļāļāļŦāļĄāļēāļĒ āđāļ (2.23) āđāļŦāļāļĨāļĨāļąāļāļāđāļāļāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāđāļēāđāļŦāđāļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ
(linearized approximation) āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļ (2.21) āđāļĄāļ·āđāļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļŠāļāļēāļāļ°āļāļĒāļđāđāļāļĨāļāļąāļ x āļāļ°āđāļŦāđāļāļ§āļē
āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļāđāļēāđāļŦāđāļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāļĄāļĩāļĢāļđāļāđāļāļāđāļāļāļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāļāđāļāļ·āđāļāļ āļāļ§āļĒāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāđāļāļ
āļāļĩāđ āđāļĢāļēāļāļēāļāļŦāļ§āļąāļāļ§āļēāļāđāļēāļāļāļāļāļāļ ( ) ( )t y Df x y āļāļ°āđāļāļāļāđāļēāļāļāļāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāļĩāđāļāļĩāļāļāļ (2.21)
2.5.4 āļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ (stability)
āđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āļāļĨāļēāļ§āļāļķāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāđāļāļāļāļāđāļāđāļāļĄāļąāļŠ (2.17) āļāđāļķāļāļāļ°āđāļĢāđāļīāļĄāļāļ
āđāļāļĒāļāļēāļĢāļāļĨāļēāļ§āļāļķāļāļāļīāļĒāļēāļĄāļāļāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (2.17) āļāļąāļāļāļāļāļīāļĒāļēāļĄāļāļāđāļāļāļĩāđ
āļāļāļāļīāļĒāļēāļĄ 2.4 āļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāļāđāļāļ·āđāļāļ ( ) ( )t tx Ax āļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ (stability) āļāļēāđāļĄāļāļĢāļīāļāļ
āđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāļŠāļāļēāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļĻāļđāļāļĒ āļāļąāđāļāļāļ·āļ
0te A āđāļĄāļ·āđāļ t
āļŦāļĄāļēāļĒāđāļŦāļāļļ āļāļ§āļēāļĄāļŦāļĄāļēāļĒāļāļāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
âĒ āļāļąāļ§āđāļāļĢāļŠāļāļēāļāļ° ( )tx āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđ 0 āđāļĄāļ·āđāļ t āđāļāļĒāđāļĄāļāļķāđāļāļāļĒāļđāļāļąāļāļŠāļāļēāļāļ°āđāļĢāđāļīāļĄāļāļ (0)x
âĒ āđāļāļ§āļ§āļīāļāļĩāļāļāļ x Ax āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđ 0 āđāļĄāļ·āđāļ t
āđāļāļāļĩāđāļāļĩāđ teA āđāļĢāļēāđāļĢāļĩāļĒāļāļ§āļēāđāļĄāļāļĢāļīāļāļāđāļāđāļāļāđāļāđāļāļāđāļāļĩāļĒāļĨ āđāļāļĒāļāļĩāđ
0
2 2 3 31 12! 3
1 ( )! !
t k
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t te tk
t
A I A A AA (2.24)
22
āđāļĄāļ·āđāļāļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļāļēāļāļāļ lim tt e
A āļāļēāļāļāļāļĨāļīāļĄāļīāļāļāļąāļāđāļāļķāđāļāļāļĒāļđāļāļąāļāļāļēāđāļāđāļāļāļāļāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļ A (āļāļđāļĢāļēāļĒāļĨāļ°āđāļāļĩāļĒāļ
āđāļāđāļīāļĄāđāļāļīāļĄāđāļāđāļ [11]) āđāļĨāļ°āļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāđāļāļāļāļāđāļāđāļāļĄāļąāļŠ (2.17) āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāļīāļāļēāļĢāļāļē
āļāļēāļāļāļēāđāļāđāļāļāļāļāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļ A āļāļēāļĄāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 2.5 āļĢāļ°āļāļāļāļĨāļ§āļąāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāļāđāļāļ·āđāļāļ ( ) ( )t tx Ax āļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāđāļāļāđāļĄāļ·āđāļāļāļēāđāļāđāļāļāļāļāļļāļāļąāļ§
āļāļāļ A āļĄāļĩāļŠāļ§āļāļāļĢāļīāļāļāļāļĒāļāļ§āļēāļĻāļđāļāļĒ āļāļąāđāļāļāļ·āļ
Re ( ) 0, 1,...,i i n A (2.25)
āđāļāļĒāļāļĩāđ ( )i A āļāļ·āļ āļāļēāđāļāđāļāļāļāļāļ A
āļāļīāļŠāļđāļāļ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļāļīāļŠāļđāļāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 2.5 āļāļąāđāļ āļāļđāļŠāļāđāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļĻāļķāļāļĐāļēāđāļāđāļīāļĄāđāļāļīāļĄāđāļāļāļēāļ [11]
2.5.5 āļ§āļīāļāļĩāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļĢāļ°āļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ (stability criteria for linear systems)
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļĢāļ°āļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāđāļāļāđāļāđāļāđāļāļĄāļąāļŠāļāļāļ âēX = AX āļāļĩāđ det A āļāļēāđāļŦ ( )t=X X āļāđāļēāļāļāļāļāļ°
āļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ 0(0) =X X āđāļĨāļ° 0 0â X
āđāļāļĒāļāļĩāđ
âĒ āļāļē det 0> āđāļĨāļ° 0trace < āđāļŠāļāļāļ§āļēāļāļēāđāļāđāļāļāļāļāļ A āļĄāļĩāļŠāļ§āļāļāļĢāļīāļāđāļāļāļĨāļ
âĒ āļāļē det 0> āđāļĨāļ° 0trace = āđāļŠāļāļāļ§āļē āļāļēāđāļāđāļāļāļāļāļ A āđāļāļāļŠāļ§āļāļāļīāļāļāļ āļēāļāđāļ
âĒ āļāļē det 0> āđāļĨāļ° 0trace > āđāļŠāļāļāļ§āļēāļāļēāđāļāđāļāļāļāļāļ A āļĄāļĩāļŠāļ§āļāļāļĢāļīāļāđāļāļāļāļ§āļ
āļāļāļāļĩāđ āļāļāļāļĩāđ 33
āļ§āļīāļāļĩāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļĢāļ§āļīāļāļĩāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļĢ
āđāļāļāļāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āļāļĨāļēāļ§āļāļķāļāļāļąāđāļāļāļāļāđāļāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāđāļāļĢāļāļāļēāļĢ āļāđāļķāļāļāļēāļāļŦāļĨāļąāļāđāļāļāļāļāļĩāđāļāļ°āļāļĨāļēāļ§āļāļķāļāļāļēāļĢ
āļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ (stability analysis) āļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāđāļāļĒāđāļāļ
āļāļąāļ§āđāļāļāļāļĩāđāļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļŠāļēāļĄāļąāļāđāļĨāļ°āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ āđāļāļĒāļāļąāđāļāđāļĢāļāđāļĢāļēāđāļāļāđāļēāļāļēāļĢ
āļŦāļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ āđāļāļāļąāđāļāļāļāđāļāļāļ°āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļŦāļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāđāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄ
āļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļĨāļ°āļŦāļēāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ āļāļēāļāļāļąāđāļāļāđāļēāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļąāļ§āđāļāļāđāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ āđāļāļĒāđāļāļāļąāđāļāļāļāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦ
āļŦāļēāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ āđāļĢāļēāđāļāļ§āļīāļāļĩāļāļēāļĢāđāļāļĨāļāđāļŦāļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāđāļŠāļāļĢāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ āļāđāļķāļāļāļąāđāļāļāļāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāđāļĨāļ°
āļāļąāđāļāļāļāļāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļāļāļąāđāļāļāļ°āđāļāļāļĨāļēāļ§āļāļķāļāđāļāļŦāļąāļ§āļāļāļāļāđāļ
3.1 āļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļ
āļāļ§āļēāļĄāļŠāļāđāļāļāļĩāđāļŠāđāļēāļāļąāļāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļąāļāļāļēāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ [1] āļāđāļķāļāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļāļąāļ
āļāđāļ·āļāļāļēāļāļāļēāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļāļīāļ āđāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āļāļĨāļēāļ§āļāļķāļāļāļąāļ§āđāļāļāđāļāļĢāļđāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļĨāļ°
āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ āđāļāļĒāļāļąāđāļ§āđāļāļāļēāļĢāļāļāļīāļāļēāļĒāđāļāļīāļāļāļĨāļĻāļēāļŠāļāļĢāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāđāļĩāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ āļāļ°āļĒāļļāļāļĒāļēāļāļāļ§āļēāļŠāļĄāļāļēāļĢ
āđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļŠāļēāļĄāļąāļ
24
āđāļāļĨāļāļāđāļĨāļ°āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāđāļ4āļāđāļēāđāļŠāļāļ 1āļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļīāđāļĨāļ°āļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ
āļāđāļķāļāđāļĢāļĩāļĒāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļāļāđāļāļĨāļāļ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāļāđāļķāļāļĄāļĩāļĢāļđāļāđāļāļāļāļąāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
1āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
( ) ( ( ), ( )) ( ( ))
( ) ( ( ), ( )) ( )
Y t I Y t K t S Y t
K t I Y t K t K t
(3.1)
āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
( ) ( ( ), ( )) ( ( ))
( ) ( ( ), ( )) ( )
Y t I Y t K t S Y t
K t I Y t K t K t
(3.2)
āđāļāļĒāļāļĩāđāļāļēāļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāđāļĨāļ°āļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļāļāļĄāļĄāļāļĩāļēāļāļąāļāļāļĩāđāđāļāļēāļāļąāđāļ
( , ) , 021 BY
A AI Y K Ke
(3.3)
1āđāļĨāļ°
( )S Y Y (3.4)
1āļāļēāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.1) - (3.4) 1āļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ
( )Y t āđāļāļāļāļąāļāļĢāļēāļāļēāļĢāđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāđāļāļĨāļāļāļāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī
( , )I Y K āđāļāļāļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļ (investment function)
( )K t āđāļāļāļāļąāļāļĢāļēāļāļēāļĢāđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāđāļāļĨāļāļāļāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ
( )S Y āđāļāļāļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļāļāļĄ (saving function)
āđāļāļāļŠāļąāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļīāļāļāđāļīāļāļēāļĢāļāļĢāļąāļāļāļąāļ§āļāļāļāļāļĨāļēāļāļŠāļīāļāļāļē
25
āđāļāļāļāļēāđāļŠāđāļ·āļāļĄāļĢāļēāļāļēāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ (depreciation rate of capital stock)
āđāļāļāļāļēāļŠāļąāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļīāļāļāđāļīāļāļāļāđāļāļīāļāļāļāļĄ āđāļāļĒāļāļĩāđ (0,1)
āđāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒāļāļāļāđāļ§āļĨāļēāļāļĩāđāļāđāļēāđāļāļāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļļāļāđāļŦāļĄāļāļĩāđāļāļ°āļāļīāļāļāđāļąāļ
āđāļĨāļ°āđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āļŠāļĄāļĄāļāļīāļ§āļē , 0A B āđāļĨāļ° 0 āđāļāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāđāļāļēāļāļąāđāļ
āļāļąāđāļāļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāđāļĨāļ°āļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļāļāļĄāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.3) āđāļĨāļ° (3.4) āļāļĩāđāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāļāļ° 4āļāļķāđāļāļāļĒāļđāļāļąāļ
āļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ āļāļĨāļēāļ§āļāļ·āļāļāļēāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļāļŠāļđāļāļāļ°āļĄāļĩāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāļāđāđāļē āđāļĨāļ°āļāļēāļĄāļĩāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļīāđāļāđāļīāļĄāļāļķāđāļāļāļ°āļĄāļĩāļāļēāļĢ
āļĨāļāļāļļāļāļāļĩāđāļŠāļđāļ 1 āļāļ°āđāļāļ§āļē 0KI IK
āđāļĨāļ° 0YI IY
āļāļāļāļāļēāļāļāļĩāđāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļąāđāļ§āđāļāļāļāļ
āļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļīāļāļ°āļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļāļąāļāļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļāļāļĄ āļāđāļķāļāļāļēāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.4) āļāļāļ§āļē SY
āļāļąāļāļāļąāđāļ
āļāļķāļāļŠāļĢāļļāļāđāļāļ§āļē
0 1YS SY
1āđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļ 0 1
āđāļāļāļĩāđāļāļĩāđ āđāļĢāļēāļāļ°āļŠāļĄāļĄāļāļīāđāļŦ Y YI S āļāđāļķāļāļŦāļĄāļēāļĒāļāļ§āļēāļĄāļ§āļē āđāļāļīāļāļāļļāļāļāļ°āđāļāđāļīāļĄāļāļķāđāļāđāļĢāđāļ§āļāļ§āļēāđāļāļīāļāļāļāļĄ āļāļĩāđāļĢāļēāļĒāđāļ
āļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļīāđāļāļĒāļēāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ āļāļāļāļāļēāļāļāļĩāđāđāļāļāļēāļāļāļāļ 1āđāļāļĨāļāļāļĢ [1] 1āļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ 0 āđāļāđāļ·āļāļāđāļēāđāļŦāđāļāļ
āļŠāļąāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļīāļāļāđāļīāļāļāļāļāļēāļĢāļāļĢāļąāļāļāļąāļ§āļāļāļāļāļĨāļēāļ āđāļĨāļ° 0 āļāļ·āļāļāļēāđāļŠāđāļ·āļāļĄāļāļāļāļĢāļēāļāļēāđāļāļīāļāļāļļāļ
3.2 āļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļ āđāļāļāļĢāļāļĩāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāđāļ (3.1) āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ āļāļąāđāļāļāļ·āļ
āļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ 0 āļāđāļķāļāđāļāļāļĢāļđāļāđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļŠāļēāļĄāļąāļ āļāļ°āđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļĢāļđāļ
26
( ) ( ( ), ( )) ( ( ))Y t I Y t K t S Y t
(3.5)
( ) ( ( ), ( )) ( )K t I Y t K t K t
(3.6)
āđāļĨāļ°āļāļēāļāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.5) āđāļĨāļ° (3.6) āđāļĢāđāļīāļĄāļāļāđāļāļĒāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.5) - (3.6)
āđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļ I āđāļĨāļ° S āđāļāļāļāļāļāļāļąāļāļāļĩāđāļĒāļąāļāđāļĄāđāļāļāđāļēāļŦāļāļ āđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāđāļĢāļēāļŠāļĄāļĄāļāļīāđāļŦ ( , )Y K āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļ (3.5)
- (3.6) āļāļēāļāļāļąāđāļāđāļāļĒāđāļāļ§āļīāļāļĩāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļŦāļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ (linearized method) āđāļāđāļāļĒāļāļēāļĢāļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ
( , ) ( ( ), ( )) ( ( )) ( , ) ( )F Y K I Y t K t S Y t I Y K S Y
( , ) ( ( ), ( )) ( )G Y K I Y t K t K t
āđāļĨāļ°āļŦāļēāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļąāļ F āđāļĨāļ° G āđāļāļĩāļĒāļāļāļąāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āļāļ°āđāļ
[ ]Y Y Y Y YF I S I S
( , ) (0)Y Y YG I Y K K I I
āļŦāļēāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļāļāļāļāļāļāļąāļ F āđāļĨāļ° G āđāļāļĩāļĒāļāļāļąāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ K āļāļ°āđāļ
(0)K K KF I I
(1)K K KG I I
āļāđāļķāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļāļēāļ āđ āđāļāļĢāļđāļāļāļēāđāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļ āđāļāđāļāļ
( )Y K Y Y K
Y K Y K
F F I S I
G G I I
KJ
27
āļāļĩāđāļāļāļĢāļĄāļīāđāļāļāļāļāļāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļ KJ āļāļ·āļ
det ( )( )Y Y K K YI S I I I KJ
āđāļĨāļ°āđāļāļĢāļāļāļāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļ KJ āļāļ·āļ
tr ( ) ( )Y Y KI S I KJ
āđāļāļāļēāļĢāļāļĢāļ§āļāļŠāļāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāļīāļāļēāļĢāļāļēāđāļāļāļēāļāļāļēāļāļāļ det KJ āđāļĨāļ° tr KJ
āļāļĩāđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , )Y K āļāļĨāļēāļ§āļāļ·āļ āļāļē det 0KJ āđāļĨāļ§āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , )Y K āđāļāļāļāļļāļāļāļēāļāļĄāļē āļāļē det 0KJ
āđāļĨāļ§āļāļ°āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļĒāļāđāļāđāļāļ 2 āļāļĢāļāļĩ āļāļ·āļ āļāļē tr 0KJ āļāļ°āđāļāļāļāļļāļāļāļĩāđāđāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļĨāļ°āļāļē tr 0KJ āļāļ°āđāļāļ
āļāļļāļāļāļĩāđāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
āđāļĄāļ·āđāļāđāļĢāļēāđāļāļāļāļāļāļāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļāļĨāļāđāļāđāļ (3.5) - (3.6) āļāļ°āđāļ
( ) ( , )21
( ) ( , )21
BY
BY
A AY t F Y K K Ye
A AK t G Y K K Ke
(3.7)
āļāļąāđāļāļāļāļāđāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.7) āļŠāļĢāļļāļāđāļāļāļąāļāļāļĩāđ
āļāđāļąāļāļāļĩāđ 1 āļŦāļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ
āđāļāļāļāļē ( ) 0Y t āđāļĨāļ° ( ) 0K t āļĨāļāđāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.7) āļāļ°āđāļāļ§āļē
021 BY
A A K Ye
(3.8)
021 BY
A A K Ke
(3.9)
28
āļāļēāļ (3.8) āđāļĨāļ° (3.9) āļāļāļ§āļē ( , ) (0,0)Y K āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļ (3.7) āļāđāļķāļāđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāđāļāļāļēāļ°āļāļļāļ
āļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§
āļāđāļąāļāļāļĩāđ 2 āđāļāļĨāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ āļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦāđāļāļĒ
u Y Y
v K K
āļāļ°āđāļāļĢāļ°āļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļ (3.7) āļāļ·āļ
( , )
( ) ( )
( ) ( )Y K
Y K
Y K
u t F F u t
v t G G v t
( , )
( ) ( )
( )Y K
Y Y K
Y K
I S I u t
I I v t
(3.10)
āđāļāļ ( , ) (0,0)Y K āļāļ°āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.10)
(0,0)
( ) ( ) ( )
( ) ( )Y Y K
Y K
u t I S I u t
v t I I v t
(3.11)
āļŦāļēāļāļēāļāļāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļāļāļēāđāļāđāļāļĩāļĒāļ āļāļĩāđāļāļļāļ (0,0) āđāļĨāļ°āđāļāļāļāļēāļĨāļāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.11) āļāļ°āđāļ
( ) ( )( ) ( )4
( ) ( )4
ABu t u t
v t AB v t
(3.12)
āļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ
( ) ( )4
4
AB
AB
A
āļŦāļēāļāļēāđāļāđāļāļāļāļāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļ A āļāļēāļ det( - ) 0 A I
29
( ) ( )
4 0( )
4
AB
AB
(3.13)
4āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.13) āđāļāļ§āļē
2 ( ) 0K Y Y K Y Y Y K YI S I I I I S I S (3.14)
āļāļēāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāđāļĢāļēāļ-āđāļŪāļāļ§āļīāļāļ āļāļĩāđāļāļĨāļēāļ§āļĄāļēāđāļĨāļ§ āđāļāļāļāļāļĩāđ 2 āļāļ°āđāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļāļāļĩāđāļāļ°āļāđāļēāđāļŦāļĢāļ°āļāļāļĄāļĩ
āļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ āļāļąāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.1 āļāļēāļāļāļąāļ§āđāļāļ (3.7) āļāļēāļāđāļēāļŦāļāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļāļāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢ , , , 0A B āđāļĨāļ° 0
āđāļāļĒāļāļĩāđ 0 1 āđāļĨāļ§āļāļļāļāļāđāļēāļāļāļāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āļāđāļķāļāđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
āļāļīāļŠāļđāļāļ āļāļāļāļāļēāļĢāļāļĢāļ§āļāļŠāļāļāļ§āļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āļāļĩāđāđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļŦāļĢāļ·āļāđāļĄ āđāļāļĒāđāļ
āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 2.5 āđāļĨāļ°āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāļāļāļāđāļĢāļēāļ-āđāļŪāļāļ§āļīāļāļ āļāļēāļĄāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 2.1 āđāļĨāļ°āļāļāđāļāļĢāļ 2.2 āļāđāļĩāļāļĨāļēāļ§āļĄāļēāđāļĨāļ§āđāļ
āļāļāļāļĩāđ 2
āđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.12) āđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļŦāļļāļāļēāļĄāļāļĩāļāļĢāļĩ 2 āļāļēāļāļāļāđāļāļĢāļ 2.2 āļāļāļāļāļĢāļ§āļāļŠāļāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļ
āļāļąāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
11
2
00, det 0
1
aa
a
āļāļēāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.14) āļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦ
0 1a
1 4K Y YABa I S I
30
2
4 4
K Y Y Y K Ya I I I S I S
ABAB
āļāļąāļāļāļąāđāļ āđāļĄāļ·āđāļāđāļāļāļāļēāļāļēāļĄāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļĩāđāđāļāļāļĨāļēāļ§āļĄāļēāđāļ 3.1 āđāļĨāļ§ āļāļ°āļāđāļēāđāļŦ 1 0a āđāļĨāļ° 1 2 0a a āļāļąāđāļ
āđāļāļāļāļĢāļīāļ āļāļēāļ āđāļĢāļēāļ-āđāļŪāļāļĢāļ§āļīāļāļ āđāļŠāļāļāļ§āļēāļĢāļēāļāļāļąāđāļāļŦāļĄāļāļāļāļāļāļŦāļļāļāļēāļĄāļĄāļĩāļŠāļ§āļāļāļĢāļīāļāļāļĩāđāđāļāļāļĨāļ āļāļąāļāļāļąāđāļ āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ
( , ) (0,0)Y K āđāļāļāļāļļāļāļāļĩāđāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
3.3 āļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļļāļ āđāļāļāļĢāļāļĩāļāđāļĩāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
4āđāļĄāļ·āđāļāļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļāļąāļ§āđāļāļāđāļāļ āļāļĩāđāļĨāļĒāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ4āđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ
( ) ( ( ), ( )) ( ( ))
( ) ( ( ), ( )) ( )
Y t I Y t K t S Y t
K t I Y t K t K t
(3.15)
0āđāļāļ t āļāļ§āļĒ t 0āđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļĩāđāļŠāļāļāļāļ°āđāļ
( ) ( ( ), ( )) ( ).K t I Y t K t K t
(3.16)
āļāļēāļāļāļēāļĢāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāđāļāļĒāđāļāļāļāļļāļāļĢāļĄāđāļāļĒāđāļĨāļāļĢāļāļ°āđāļāļ§āļē
( ) ( ) ( )K t K t K t
āļŦāļēāļāļāļļāļāļąāļāļāđāļāļĩāļĒāļ t āļāļąāđāļāļŠāļāļāļāļēāļāļāļ°āđāļ
( ) ( ) ( )K t K t K t
āđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļĨāļāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.16)
( ) ( ) ( ( ), ( )) [ ( ) ( ) ]K t K t I Y t K t K t K t (3.17)
āļāļ°āđāļāļ§āļē
31
( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( )K t K t I Y t K t K t K t
āļāļąāļāļĢāļđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļŦāļāļēāļĒāļāļķāđāļ āđāļāļĒ
0 ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( )
( ) ( ( ), ( )) ( ) [ ( ) ( )]
( ) ( ( ), ( ) ( ) ) ( ) [ ( ) ( )]
( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) [ ( ) ( )]
( ) ( (K
K t K t I Y t K t K t K t
K t I Y t K t K t K t K t
K t I Y t K t K t K t K t K t
K t I Y t K t I K t K t K t K t
K t I Y t
), ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )]
( ) [ ( ( ), ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]K
K
K t K t K t I K t K t
K t I Y t K t K t K t I K t K t
āļāļ°āđāļāļ§āļē
( ) ( ( ), ( ) ( ) ) ( ) [ ( ) ( )] 0K t I Y t K t K t K t K t K t (3.18)
āđāļŦāļŠāļąāļāđāļāļāļ§āļēāļāļē 0 āļĨāļāđāļ (3.18) āđāļĨāļ§ āļāļ°āļāļĢāļāļāļąāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļ (3.6)
( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 0KK t I Y t K t K t K t I K t K t (3.19)
āđāļāđāļ·āļāđāļāļāļāļēāļĢāļĨāļāļāļąāļāļāļąāļāļāļāļāļāļāļļāļāļąāļāļāđāļ (3.19) āđāļĢāļēāļāļ°āđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāļāļąāļ§āđāļāļĢāđāļŦ ( ) ( )Z t K t āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļāļ
āđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ 4āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļāđāļāļĢāļđāļāļĢāļ°āļāļ1āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļąāļāļāļĩāđ
( ) ( ( ( ), ( )) ( ( )))
( ) ( )
1 1( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( )K
Y t I Y t K t S Y t
K t Z t
Z t I Y t K t K t I Z t
(3.20)
32
āļŦāļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ āđāļāļĒāđāļŦ ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0Y t K t Z t āļāļ°āđāļ
0 ( )21
021
1 10 ( )2 21 1
BY
BY
KBY BY
A A K Ye
A A K Ke
A A A AK I K Ke e
(3.21)
āļāļ°āđāļŦāđāļāđāļāļāļąāļāļ§āļē ( , , ) (0,0, 0)Y K Z āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.21) āļāđāļķāļāđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āļāļīāļāļēāļĢāļāļē
āđāļāļāļēāļ°āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§
āļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.20) āđāļĄāđāļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļ āđāļĄāļ·āđāļāļāđāļēāđāļāļāđāļāļīāļāđāļŠāļāđāļĨāļ§āļāļ°āđāļāļāļēāđāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļ āļāļ·āļ
( ) 0
0 0 1
1 1 1( ) ( )
Y Y K
Y K K
I S I
I I I
DJ
āđāļāļĒāļāļĩāđāļāļāļĢāļĄāļīāđāļāļāļāļāļāļāļāļēāđāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļ āļāļ·āļ
1det ( )( ) 0
det0
Y Y K K YI S I I I
D
K
J
J
āđāļāļĒāļāļĩāđ KJ āđāļāļāļāļēāđāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļĩāđāļāļāļĢāļĄāļīāđāļāļāļ āđāļāļŦāļąāļ§āļāļ 3.2
āđāļĨāļ°āđāļāļĢāļāļāļāļāļāļēāđāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļĄāļāļĢāļīāļāļ āļāļ·āļ
1tr tr 0
D KJ J
āļāļ°āļĄāļĩāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļĩāđāđāļāļīāļāļāļēāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļ det 0KJ āđāļĨāļ° tr 0KJ āđāļāļĢāļđāļāđāļāļāļāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ
33
āļāļēāļāļāļąāđāļ āļŦāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļāļēāļ°āļāļāļ DJ āļāļēāļ
( ) 0
det( ) 0 1
1 1 1( ) ( )
Y Y K
Y K K
I S I
I I I
DJ I
āđāļĨāļ°āļŦāļēāļāļēāđāļāđāļāļāļāļāļ DJ āļāļēāļāļāļĩāđāļāļāļĢāļĄāļīāđāļāļāļāļāļēāļāļāļ āļāļ°āđāļ
1 10 1
1
Y Y K K Y
K Y Y
I S I I I
I I S
2 1Y Y K K Y
KY Y
I S I I I
II S
2 2
22 2 3
Y K Y K K Y Y
Y Y Y Y Y
K K KK Y Y Y Y Y
I I S I I I S
I I S I S
I I II I I S I S
2
22 2 2 3 3
Y K Y K K Y Y Y
Y K Y Y
KK Y K Y Y Y
I I S I I I S I
S I I S
II I I I I S
2 31
KY K K Y Y Y Y Y
K Y
K Y K Y K Y Y Y
II I I S I S I S
I S
I I I I I S I S
34
3 21
1
Y Y K
Y Y K K Y Y K Y Y
K Y Y Y
I S I
I S I I S I I I S
I S I S
āļāđāļē ( 1) āļāļđāļāļāļĨāļāļ āđāļāđāļ·āļāļāļąāļāļĢāļđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ āļāļ°āđāļ
3 21
1
Y Y K
Y Y K K Y Y K Y Y
K Y Y Y
I S I
I S I I S I I I S
I S I S
3 21
1
Y Y K
Y Y K Y Y K
K Y Y Y
I S I
I S I I S I
I S I S
āđāļŦ
11 trY Y Ka I S I
DJ
21
Y Y K Y Y Ka I S I I S I
3 detK Y Y Ya I S I S
DJ
āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļāļēāļ°
3 21 2 3 0a a a (3.22)
āđāļĄāļ·āđāļāđāļāļāļāļē ( , ) (0,0)Y K āļāļ°āđāļāļāļēāļŠāļąāļĄāļāļĢāļ°āļŠāļīāļāļāđāļīāļāļāļāļāļŦāļļāļāļēāļĄ (3.22) āļāļ·āļ
35
1
2
3
1 04
1( ) ( ( ))4 4
04
ABa
AB ABa
ABa
(3.23)
āļāļēāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāđāļĢāļēāļ-āđāļŪāļāļ§āļīāļāļ āļāļĩāđāļāļĨāļēāļ§āļĄāļēāđāļĨāļ§ āđāļāļāļāļāļĩāđ 2 āļāļ°āđāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļāļāļĩāđāļāļ°āļāđāļēāđāļŦāļĢāļ°āļāļāļĄāļĩ
āļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ āļāļąāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.2 āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļąāļ§āđāļāļ (3.15) āļāļē
1 1( ) (( ) )
āđāļĨāļ°
21 1[ ( ) ( ( ))]
āđāļĄāļ·āđāļ 4
AB āđāļĨāļ§āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
āļāļīāļŠāļđāļāļ āļāļāļāļāļēāļĢāļāļĢāļ§āļāļŠāļāļāļ§āļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āļāļĩāđāđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļŦāļĢāļ·āļāđāļĄ āđāļāļĒāđāļ
āļ§āļīāļāļĩāļāļēāļĢāļāļāļāđāļĢāļēāļ-āđāļŪāļāļ§āļīāļāļ āļāļēāļĄāļāļāđāļāļĢāļ 2.2 āđāļĨāļ° āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 2.5 āļāļĩāđāļāļĨāļēāļ§āļĄāļēāđāļĨāļ§āđāļāļāļāļāļĩāđ 2
āđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.22) āđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļŦāļļāļāļēāļĄāļāļĩāļāļĢāļĩ 3 āļāļēāļāļāļāđāļāļĢāļ 2.2 āļāļāļāļāļĢāļ§āļāļŠāļāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļ
āļāļāđāļāļāļĩāđ
1 31
2
0, det 01
a aa
a
āđāļĨāļ°
1 3 5
2 4
1 3
det 1 0
0
a a a
a a
a a
(3.24)
36
āđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļĢāļāđāļ (3.24) āđāļāļāļāļĢāļīāļāđāļŠāļĄāļ āļāļēāļ (3.23) āļāļąāļāļāļąāđāļāđāļĢāļēāļāļķāļāļāļāļāđāļŠāļāļāđāļāđāļīāļĄāđāļāļīāļĄāđāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāđāļĩāļŠāļāļāđāļĨāļ°
āļŠāļēāļĄāļāļāļ (3.24)
āļāļĢāļ§āļāļŠāļāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļĩāđāļŠāļāļāļāļāļ
1 3
2
01
a a
a
āļāđāļķāļāļāļ°āđāļāļ§āļē 1 2 3 0a a a āđāļāļĒāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļāļāļĢāļīāļāļāđāļāļāđāļĄāļ·āđāļ 1 2 3a a a āđāļĄāļ·āđāļāđāļāļāļāļē 1 2,a a āđāļĨāļ° 3a
āļāļēāļ (3.23) āļāļ°āđāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļāļ·
1 1( ) (( ) )
(3.25)
āļāļĢāļ§āļāļŠāļāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļĩāđāļŠāļēāļĄāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.24) āļāļāļ§āļēāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļāļāļĢāļīāļ āđāļĄāļ·āđāļ
1 32 3 2
2 3 3 2 1 31 2
1 3
0
1 0 ( ) 0
0
a aa a
a a a a a aa a
a a
āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļē 22 1 3a a a āļāļ°āļāđāļēāđāļŦāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļĩāđāđāļāļāļāļĢāļīāļ āđāļĨāļ°āđāļĄāļ·āđāļāđāļāļāļāļē 1 2,a a āđāļĨāļ° 3a āļāļēāļ (3.23) āļāļ°āđāļ
21 1[ ( ) ( ( ))]
(3.26)
āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļēāļ (3.25) āđāļĨāļ° (3.26) āļŠāļĢāļļāļāđāļāļ§āļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļ (3.22) āļāļ°
āđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ āļāļēāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļāđāļāļāļĩāđāđāļāļāļāļĢāļīāļ
1. 1 1( ) (( ) )
āđāļĨāļ° 2. 21 1[ ( ) ( ( ))]
37
āđāļāļāļāļāļąāļāđāļāļāļĩāđ āđāļĢāļēāļāļ°āđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 6 āļāļļāļ āđāļāļĒ 3 āļāļļāļāđāļĢāļāļāļ°āđāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļĢāļāļĩāļāđāļĩāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāļŠāļ§āļāđāļ
3 āļāļļāļāļŦāļĨāļąāļāļāļ°āļĄāļĩāđāļāļāļĄāļāļĩāđāļĨāļĒ āđāļāļāļąāđāļāļŠāļāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļāļ°āļĄāļĩāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāļąāđāļāļāļĩāđāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļĨāļ°āđāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ āđāļāļĒāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāđāļēāļŦāļāļ
āļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāđāļāđāļ·āļāđāļŦāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļ āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.1 āđāļĨāļ° 3.2 āđāļāļēāļāļąāđāļ
āļāļāļāļĩāđ āļāļāļāļĩāđ 44
āļāļĨāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļāđāļĨāļ°āļŠāļĢāļļāļāļāļĨāļāļĨāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļāđāļĨāļ°āļŠāļĢāļļāļāļāļĨāđāļĨāļ°āļāļāđāļŠāļāļāđāļāļ°āđāļĨāļ°āļāļāđāļŠāļāļāđāļāļ°
4.1 āļāļāļāđāļē
āđāļāļāļāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāđāļāđāļ·āļāļŠāļāļąāļāļŠāļāļļāļāļāļĨāļāļēāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļĩāđāđāļāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļĢāļĄāļēāđāļĨāļ§āđāļāļāļ
āļāļĩāđāļāļēāļāļĄāļē āđāļāļĒāļāļēāļĢāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ MatlabÂŪ āđāļāđāļ·āļāļāļ§āļĒāđāļāļāļēāļĢāļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļ
āļāđāļēāļāļāļāđāļāļīāļāļāļąāļ§ āđāļĨāļāļāļĩāđāđāļāđāļĨāļ°āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļĨāļāļāļĢ -āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļ
āļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļāđ āļāļĩāđāđāļāđāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāđāļāļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļāļēāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.1 - 3.2
āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđ 1 āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
( )
( )
( ) ( ) ( )21
( ) ( ) ( )21
BY t
BY t
A AY t K t Y te
A AK t K t K te
(4.1)
āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđ 2 āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
( )
( )
( ) ( ) ( )21
( ) ( ) ( )21
BY t
BY t
A AY t K t Y teA AK t K t K t
e
(4.2)
39
4.2 āļāļĨāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļ
āđāļāļŦāļąāļ§āļāļāļāļĩāđāļāļ°āđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāļĨāļāđāļĩāđāļāļāļēāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļāđāļāļĒāđāļŠāļāļāļāđāļēāļāļāļāļāļāļāļāļāļŦāļē
(4.3) āđāļĨāļ° (4.2) āđāļĄāļ·āđāļāļāđāļēāļŦāļāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāđāļāļāļĢāļāļĩāļāļēāļ āđ āđāļĨāļ°āļāļ°āđāļĒāļāđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāđāļāļāļŠāļāļāļāļĢāļāļĩ
āđāļŦāļ āđ āđāļāđāļ āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļāļąāļ§āđāļāļāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļĨāļ°āļāļĢāļāļĩāļāđāļĩāļāļąāļ§āđāļāļāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļāļēāļĄāļēāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļāļāļāļĢāļāļĄāļāđāļąāļāđāļŠāļāļāļāļĨ
āļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļāđāļāļāļĢāļāļĩāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļĨāļ°āđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāļ§āļēāļāđāļēāļāļāļāļāļ°āļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļĄāļ·āđāļāļĄāļĩāđāļāđāļ·āļāļāđāļ
āđāļāļĩāļĒāļāļāļāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļāļąāđāļ āđ
4.2.1 āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļ°āļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāđāļāļ
āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢ
( )
( )
( ) ( ) ( )21
( ) ( ) ( )21
BY t
BY t
A AY t K t Y te
A AK t K t K te
(4.4)
āđāļāđāļ·āļāđāļāļāļāļēāļĢāļŠāļāļąāļāļŠāļāļļāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.1 āđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļąāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ āļāļĨāļēāļ§āļāļ·āļ āđāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđ
āđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āļāļāļāļĢāļ°āļāļāļāļ°āđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ āļāļēāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļŠāļāļāļāļĨāļāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļ
, , , 0A B āđāļĨāļ° 0 āļāļĩāđ 0 1
40
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.1 āđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāđāļēāļāļāļāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļāļāļēāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄ MatlabÂŪ āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (4.4) āđāļāļĒāļĄāļĩ
āļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļ āđ āļāļ·āļ
3A , 0.5B 1, 0.34 , 0.9 āđāļĨāļ° 0.18 (4.5)
āđāļāļĒāļāđāļēāļŦāļāļāļāļēāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ (0) 1Y āđāļĨāļ° (0) 1K
āđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.1 āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļēāļāļāļĨāđāļāļīāļāļāļĪāļĐāļāļĩ
āļāđāļēāļāļāļāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āļāđāļķāļāđāļĄāļ·āđāļāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļ MatlabÂŪ
āļāļ°āđāļāļāļĨāļāļąāļāļ āļēāļ
āļāļĩāđ 4.1
āļ āļēāļāļāđāļĩ 4.1 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ āđāļ§āļĨāļē t āļāļąāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āļāļēāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.1
āļāļēāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.1 āļāļ°āļāļāļ§āļēāļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļāļāđāļēāļāļāļāļĄāļĩāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļ§āļāļāļ§āļąāļāđāļāļāļ§āļāđāļĢāļāđāļĨāđāļāļāļāļĒāļāļāļāļāļĩāđ
āļāđāļēāļāļāļāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ 0Y āđāļĨāļ° 0K āļāđāļķāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āđāļāļāļāļļāļāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļāļīāļ
āđāļŠāļāļāđāļēāļāļąāļ āļāļāļāļāļēāļāļāļąāđāļāđāļĢāļēāļāļ°āļŠāļąāļāđāļāļāđāļāļ§āļēāļāļĢāļēāļāļāļ°āđāļĢāđāļīāļĄāļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāđāļĄāļ·āđāļāđāļ§āļĨāļē 10t āđāļĨāļ°āđāļĄāļ·āđāļāļ§āļēāļ
41
āļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļāļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ(K ) āđāļĨāļ°āļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī (Y ) āļāļēāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢ
āļāļēāļ āđ āļāļĩāđāļāđāļēāļŦāļāļ āđāļ (4.5) āļāļ°āđāļāļāļĨāļĨāļąāļāļāļāļąāļāļ āļēāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
āļ āļēāļāļāđāļĩ 4.2 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ( )K āļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī( )Y āļāļēāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.1
āļāļēāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.2 āđāļŠāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāđāļāļŠāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āļāļāļ§āļēāđāļŠāļāđāļāļāļŦāļĢāļ·āļāđāļāļ§āļ§āļīāļāļĩ
(trajectory) āļāļāļāļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āđāļāļĢāļ°āļāļēāļāđāļāļŠāđāļĢāđāļīāļĄāļāļāļāļĩāđāļāļļāļāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ
0 0( , ) (1,1)Y K āđāļāļĒāđāļāļ§āļ§āļīāļāļĩāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļķāļāļŠāļĢāļļāļāļāļēāļāļ āļēāļāđāļāļ§āļēāļāļļāļ
āļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.2 āđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāđāļēāļāļāļāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļāļāļēāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄ MatlabÂŪ āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (4.4)āđāļāļĒāļĄāļĩ
āļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļāđ āļāļ·āļ
7A , 0.7B , 0.4, 5 , 0.9 āđāļĨāļ° 9 (4.6)
āđāļāļĒāļāđāļēāļŦāļāļāļāļēāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ (0) 1Y āđāļĨāļ° (0) 1K
42
āđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļĩāđāļāđāļēāļŦāļāļāđāļ§āļāļąāđāļāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.1 āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļēāļ
āļāļĨāđāļāļīāļāļāļĪāļĐāļāļĩ āļāđāļēāļāļāļāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āđāļāļĒāļāļēāļĢāļĨāļđāđāļāļēāđāļāļāđāļāļāļĨāļđāđāļāļēāļāļēāļāđāļāļĩāļĒāļ§
(monotone convergence) āļāđāļķāļāđāļĄāļ·āđāļāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļ MatlabÂŪ
āļāļ§āļĒāđāļāļāļēāļĢāđāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļāđāļēāļāļāļ āļāļ°
āđāļāļāļĨāļĨāļąāļāļāļāļąāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.3
āļ āļēāļāļāđāļĩ 4.3 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ āđāļ§āļĨāļē t āđāļĨāļ°āļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ°K āļāļēāļ āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.2
āļāļēāļāļ āļēāļ 4.3 āļāļ°āļāļāļ§āļēāđāļĄāļ·āđāļāļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļāļāđāļēāļāļāļāļĄāļĩāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āļāđāļēāļāļāļāļāļ°āļĨāļđ āđāļāļēāļŠāļđ āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ
( , ) (0,0)Y K āļāđāļķāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āđāļāļāļāļļāļāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāđāļēāļāļąāļ āđāļĨāļ°āđāļĄāļ·āđāļāļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļ
āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ(K ) āđāļĨāļ°āļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī (Y ) āļāļēāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļ āđ āļāļĩāđ
āļāđāļēāļŦāļāļ āđāļ (4.5) āļāļ°āđāļāļāļĨāļĨāļąāļāļāļāļąāļāļ āļēāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
43
āļ āļēāļāļāđāļĩ 4.4 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ ( )K āļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī ( )Y āļāļēāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.2
āļāļēāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.4 āđāļŠāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāđāļāļŠāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āļāļāļ§āļēāđāļŠāļāđāļāļāļāļāļ
āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āđāļāļĢāļ°āļāļēāļāđāļāļŠāđāļĢāđāļīāļĄāļāļāļāļĩāđāļāļļāļāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ 0 0( , ) (1,1)Y K āđāļāļĒ
āđāļāļ§āļ§āļīāļāļĩāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļķāļāļŠāļĢāļļāļāļāļēāļāļ āļēāļāđāļāļ§āļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āđāļāļāļāļļāļ
āļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.3 āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāđāļēāļāļāļāļāđāļēāļāļāļāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļāļāļēāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄ MatlabÂŪ āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (4.4) āđāļāļĒāļāļē
āļāļāļāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļ āđ āļāđāļēāļŦāļāļāđāļāļĒ
6A , 1B , 0.4 , 0.2 , 0.5 āđāļĨāļ° 0.05 (4.7)
āđāļĄāļ·āđāļāļāđāļēāļŦāļāļāļāļēāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ (0) 1Y āđāļĨāļ° (0) 1K
44
āđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļ 0.05 0 āļāļķāļāđāļĄāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.1 āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļēāļāļāļĨāđāļāļīāļ
āļāļĪāļĐāļāļĩāđāļĢāļēāļāļēāļāļ§āļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāđāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ āđāļĄāļ·āđāļāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļ MatlabÂŪ
āđāļāđāļ·āļāđāļŠāļāļāļāļĨ
āļāļ°āđāļāļāļĨāļĨāļąāļāļāļāļąāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.5
āļ āļēāļāļāđāļĩ 4.5 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ āđāļ§āļĨāļē t āđāļĨāļ°āļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āļāļēāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.3
āļāļēāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.5 āļāļ°āļāļāļ§āļēāđāļĄāļ·āđāļāļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļāļāđāļēāļāļāļāļĄāļĩāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļ§āļāļāļ§āļąāļ āļāđāļēāļāļāļāđāļĄāļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļ
āļŠāļĄāļāļļāļĨāđāļĨāļ°āļĄāļĩāļāļēāļāļāļĢāļ°āļĄāļēāļ 22 āļŦāļāļ§āļĒāđāļ§āļĨāļē āļāđāļķāļāļāļēāļāđāļāļāļ§āļąāļ āļŠāļąāļāļāļēāļŦ āļŦāļĢāļ·āļāđāļāļ·āļāļ āđāļāļāļāļ āđāļĨāļ°āđāļĄāļ·āđāļāļ§āļēāļ
āļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļāļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ (K ) āđāļĨāļ°āļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī (Y ) āļāļēāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢ
āļāļēāļ āđ āļāļĩāđāļāđāļēāļŦāļāļ āđāļ (4.7) āļāļ°āđāļāļāļĨāļĨāļąāļāļāļāļąāļāļ āļēāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
45
āļ āļēāļāļāđāļĩ 4.6 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ ( )K āļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī ( )Y āļāļēāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.3
āļāļēāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.6 āđāļŠāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāđāļāļŠāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āļāļāļ§āļēāđāļāļ§āļ§āļīāļāļĩ āļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ
Y āđāļĨāļ° K āđāļāļĢāļ°āļāļēāļāđāļāļŠāđāļāļīāļāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āļāļĩāđāđāļāļāļ§āļ (cycle)
4.2.2 āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
āļāļēāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.2 āļāļāļ§āļē āļāļāļāļāļēāļĢāļāļĢāļ§āļāļŠāļāļāļ§āļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļĩāđāļāļ°āđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļŦāļĢāļ·āļāđāļĄ āđāļāļĒāļ§āļīāļāļĩāļāļāļāđāļĢāļēāļ-
āđāļŪāļāļ§āļīāļāļ āđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (3.14) āđāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļāļļāļāļēāļĄāļāļĩāļāļĢāļĩ 3 āļāļāļāļāļĢāļ§āļāļŠāļāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļ§āļēāļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļ§āļēāļĄ
āđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āļāļ·āļ
1 1( ) (( ) )
āđāļĨāļ°
21 1[ ( ) ( ( ))]
46
āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļāļąāļ§āđāļāļāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩāļāļĩāļĄāđāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ
( ) ( ( ( ), ( )) ( ( )))
( ) ( )
1 1( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( )K
Y t I Y t K t S Y t
K t Z t
Z t I Y t K t K t I Z t
(4.8)
āđāļĢāļēāļāļ°āđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāđāļāđāļ·āļāļŠāļāļąāļāļŠāļāļļāļāļāļĨāļāļēāļĄāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.2 āļāļąāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.4 āđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāđāļēāļāļāļāļāđāļēāļāļāļāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļāļāļēāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄ MatlabÂŪ āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (4.4) āđāļāļĒ
āļĄāļĩāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļāđ āļāļ·āļ
4A , 1B , 0.4 , 0.8 , 0.2 0.8 āđāļĨāļ° 0.7 (4.9)
āđāļāļĒāļāđāļēāļŦāļāļāļāļēāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ (0) 1Y āđāļĨāļ° (0) 1K
1 1( ) (( ) ) 0.514
0.046
āđāļĨāļ°
21[ ( ) ( ( ))] 0.26
1 0.027
āđāļĄāļ·āđāļāđāļāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļ āđ āļĨāļāđāļāđāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļēāļ āđ āļāļāļ§āļēāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļąāđāļāļŦāļĄāļāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ
3.2 āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļēāļāļāļĨāđāļāļīāļāļāļĪāļĐāļāļĩ āļāđāļēāļāļāļāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āđāļĨāļ°āđāļĄāļ·āđāļāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄ
āļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļ MatlabÂŪ
āļāļ°āđāļāļāļĨāļāļąāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.7
47
āļ āļēāļāļāđāļĩ 4.7 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ āđāļ§āļĨāļē t āđāļĨāļ°āļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āļāļēāļ āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.4
āļāļēāļāļ āļēāļ 4.7 āļāļ°āļāļāļ§āļēāđāļĄāļ·āđāļāļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļāļāđāļēāļāļāļāļĄāļĩāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļ§āļāļāļ§āļąāļ āļāļ°āļŠāļąāļāđāļāļāđāļŦāđāļāļ§āļēāļāļ°āđāļāļ§āļ
āļāļ§āļąāļāļāļ§āļāđāļĢāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļĨāđāļāļāļāļĒ āļāļāļāļāļĩāđāļāđāļēāļāļāļāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āļāļĩāđāđāļ§āļĨāļē 30t āļāđāļķāļ
āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āđāļāļāļāļļāļāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāđāļēāļāļąāļ āđāļĨāļ°āđāļĄāļ·āđāļāļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļāļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļ
āļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ(K ) āđāļĨāļ°āļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī (Y ) āļāļēāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļ āđ āļāđāļĩāļāđāļēāļŦāļāļ āđāļ (4.9)
āļāļ°āđāļāļāļĨāļĨāļąāļāļāļāļąāļāļ āļēāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
48
āļ āļēāļāļāđāļĩ 4.8 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ ( )K āļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī ( )Y āļāļēāļ āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.4
āļāļēāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.8 āđāļŠāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāđāļāļŠāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āļāļāļ§āļēāđāļāļ§āļ§āļīāļāļĩ āļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ
Y āđāļĨāļ° K āđāļāļĢāļ°āļāļēāļāđāļāļŠāđāļĢāđāļīāļĄāļāļāļāļĩāđāļāļļāļāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ 0 0( , ) (1,1)Y K āđāļāļĒāđāļāļ§āļ§āļīāļāļĩāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ
( , ) (0,0)Y K āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļķāļāļŠāļĢāļļāļāļāļēāļāļ āļēāļāđāļāļ§āļēāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.5 āđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāđāļēāļāļāļāļāđāļēāļāļāļāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļāļāļēāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄ MatlabÂŪ āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (4.4)āđāļāļĒ
āļĄāļĩāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļāđ āļāļ·āļ
1A , 1B , 0.1 , 0.99 , 1 1 āđāļĨāļ° 0.99 (4.10)
āđāļāļĒāļāđāļēāļŦāļāļāļāļēāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ (0) 1Y āđāļĨāļ° (0) 1K
āļāļēāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļ āđ āļāļēāļāļāļ āļāļāļ§āļē
1 1( ) (( ) ) 1.930
1.152
49
āđāļĨāļ°
21[ ( ) ( ( ))] 3.688
1 1.328
āļāđāļķāļāļāļĨāļāļĩāđāđāļāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.2 āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļēāļāļāļĨāđāļāļīāļāļāļĪāļĐāļāļĩ āļāđāļēāļāļāļāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ
( , ) (0,0)Y K āđāļĄāļ·āđāļāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļ MatlabÂŪ
āļāļ°āđāļāļāļĨāļāļąāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.9
āļ āļēāļāļāđāļĩ 4.9 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ āđāļ§āļĨāļē t āđāļĨāļ°āļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āļāļēāļ āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.5
āļāļēāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.9 āļāļ°āļāļāļ§āļēāđāļĄāļ·āđāļāļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļāļāđāļēāļāļāļāļĄāļĩāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āļāđāļēāļāļāļāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ 0Y
āđāļĨāļ° 0K āļāđāļķāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āđāļāļāļāļļāļāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļāļīāļāđāļŠāļāļāđāļēāļāļąāļ āđāļĨāļ°āđāļĄāļ·āđāļāļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļ
āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ (K ) āđāļĨāļ°āļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī (Y ) āļāļēāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļ āđ āļāļĩāđ
āļāđāļēāļŦāļāļ āđāļ (4.10) āļāļ°āđāļāļāļĨāļĨāļąāļāļāļāļąāļāļ āļēāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
50
āļ āļēāļāļāđāļĩ 4.10 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ ( )K āļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī ( )Y āļāļēāļ āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.5
āļāļēāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.10 āđāļŠāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāđāļāļŠāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āļāļāļ§āļēāđāļŠāļāđāļāļāļāļāļ
āļāļ§āļēāļĄāļŠāļą āļĄāļāļąāļāļ āļŦāļĢāļ·āļāđ āļāļ§āļ§āļīāļāļĩ āļĢāļ°āļŦ āļ§ āļēāļ āļāļąāļ§ āđāļāļĢāļāđāļą āļāļŠāļāļāđāļāļĢāļ°āļ āļēāļāđāļ āļŠāđ āļĢāđāļīāļĄāļ āļ āļāđāļĩ āļāļļāļ āđ āļĢāđāļīāļĄāļ āļ
0 0( , ) (1,1)Y K āđāļāļĒāđāļāļ§āļ§āļīāļāļĩāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļķāļāļŠāļĢāļļāļāļāļēāļāļ āļēāļāđāļāļ§āļēāļāļļāļ
āļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
51
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.6 āđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāđāļēāļāļāļāļāđāļēāļāļāļāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļāļāļēāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄ MatlabÂŪ āļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ (4.4) āđāļāļĒ
āļĄāļĩāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļāđ āļāļ·āļ
6A , 1B , 0.2 , 0.5 , 0.05 , 0.8 āđāļĨāļ° 0.6 (4.11)
āđāļāļĒāļāđāļēāļŦāļāļāļāļēāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ (0) 1Y āđāļĨāļ° (0) 1K
āđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļ
1 1( ) (( ) ) 1.011
āđāļĨāļ°
0.053
āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļēāļāļąāđāļāļŠāļāļ āđāļĄāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.2 āļāļąāļāļāļąāđāļāļāļēāļāļāļĨāđāļāļīāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ
( , ) (0,0)Y K āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāđāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ āđāļĨāļ°āđāļĄāļ·āđāļāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļ MatlabÂŪ
āļāļ°āđāļāļāļĨāđāļŠāļāļ
āđāļāļāļąāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.11
āļ āļēāļāļāđāļĩ 4.11 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ āđāļ§āļĨāļē t āđāļĨāļ°āļāļąāļ§āđāļāļĢ ,Y K āļāļēāļ āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.6
52
āļāļēāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.11 āļāļ°āļāļāļ§āļēāđāļĄāļ·āđāļāļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļāļāđāļēāļāļāļāļĄāļĩāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āđāļāļ§āļāļāļ§āļąāļāļāđāļēāļāļāļāđāļĄāļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļ
āļŠāļĄāļāļļāļĨāđāļĨāļ°āļĄāļĩāļāļēāļāļāļĢāļ°āļĄāļēāļ 24 āļāļąāđāļ ( )Y t āđāļĨāļ° ( )K t āđāļĄāļ·āđāļāļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāđāļŠāļāļāļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļ
āđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ( K ) āđāļĨāļ°āļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī (Y ) āļāļēāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļ āđ āļāļĩāđāļāđāļēāļŦāļāļ āđāļ (4.11) āļāļ°āđāļ
āļāļĨāļĨāļąāļāļāļāļąāļāļ āļēāļāļāļāđāļāļāļĩāđ
āļ āļēāļāļāđāļĩ 4.12 āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļ ( )K āļāļąāļāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī ( )Y āļāļēāļ āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ 4.6
āļāļēāļāļ āļēāļāļāļĩāđ 4.12 āđāļŠāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāđāļāļŠāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļąāļ§āđāļāļĢ Y āđāļĨāļ° K āļāļāļ§āļē āđāļŠāļāđāļāļāļāļāļ
āļāļ§āļēāļĄāļŠāļąāļĄāļāļąāļāļ āļŦāļĢāļ·āļāđāļāļ§āļ§āļīāļāļĩ āļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļāļąāđāļāļŠāļāļāđāļāļĢāļ°āļāļēāļāđāļāļŠāđāļāļīāļāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āļāļĩāđāđāļāļāļ§āļ (cycle)
53
4.3 āļŠāļĢāļļāļāļāļĨāđāļĨāļ°āļāļāđāļŠāļāļāđāļāļ°
āđāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāđāļĢāļēāđāļāļāļāļīāļāļēāļĒāļāļķāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļŠāļēāļĄāļąāļāđāļĨāļ°āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ āļāļĩāđ
āļāļāļīāļāļēāļĒāļāļāļŦāļēāļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļīāļāļąāļāļāļļāļāđāļĢāļ·āļāļāļŦāļļāļāđāļāļĒāđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļĨāļāļāļĢ-āļāļēāđāļĨāļāļāļĩ āļāļļāļāļāļĢāļ°āļŠāļāļāļŦāļĨāļąāļ
āđāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāđāļĨāļ°āļĨāļąāļāļĐāļāļ°āļāļāļāļāđāļēāļāļāļ āđāļāļĒāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāđāļāđāļāļĢāļāļāļēāļāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°
āđāļāļ§āļīāļāļĩāļāļēāļĢāđāļāļĨāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļŦāļāļĒāļđāđāļāļĢāļđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāđāļŠāļāļĢāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ āļŠāļ§āļāļāļĨāļāļēāļĢāļāđāļēāđāļāļīāļāļāļēāļāđāļāđāļŠāļāļ
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāļāļāļāđāļēāļāļāļāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļāļāļ§āļĒāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļŠāđāļēāđāļĢāđāļāļĢāļđāļāļāļēāļāļāļāļīāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ MatlabÂŪ
āđāļāļĒāļ āļēāļāļĢāļ§āļĄāļāļĨāļāļĩāđ
āđāļāļāļēāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāđāļĨāļ°āļāļēāļāđāļāđāļāļĢāļĄ MatlabÂŪ
āļāđāļēāļāļāļāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļāļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļ
āđāļāļŠāļ§āļāļāļāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļ§āļēāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢāđāļĢāļēāđāļāļŠāļĢāļļāļāļāļĨāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāđāļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāđāļĄāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒ āđāļ
āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.1 āļāđāļķāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļāļāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļ·āļ , , , 0A B āđāļĨāļ° 0 āđāļĄāļ·āđāļ 0 1
āļāļāļāļāļēāļāļāļąāđāļāđāļĢāļēāđāļāđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļŠāļāļąāļāļŠāļāļļāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.1 āđāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāđāļĩ 4.1 āļāļķāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāđāļĩ 4.3 āļāļāļ§āļē
āđāļĄāļ·āđāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļī āđāļāļāļĢāļāļēāļ āđ āļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāđ āļāđāļ·āļāļāđāļāđāļĨāļ§ āļāļ°āļāđāļēāđāļŦāļāđāļēāļāļāļāļāļ°āļĨāļđ āđāļāļēāļŠāļđ āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ
( , ) (0,0)Y K āđāļāđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāļĩāđ 4.3 āļĄāļĩāļāļē 0 āļāļķāļāļāđāļēāđāļŦāđāļĄāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļ āļāđāļķāļāļāđāļē
āđāļŦāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđāđāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
āđāļāļāļēāļāļāļĨāļąāļāļāļąāļāļŠāļ§āļāļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.2 āļĄāļĩāđāļāđāļ·āļāļāđāļāļāļ·āļ
1 1( ) (( ) )
āđāļĨāļ°
21 1[ ( ) ( ( ))]
āđāļāļĒāļāļĩāđ 4
AB
54
āļāļāļāļāļēāļāļāļąāđāļ āđāļĢāļēāļĒāļąāļāđāļāđāļŠāļāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļŠāļāļąāļāļŠāļāļļāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.2 āđāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāđāļĩ 4.4 āļāļķāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāļĩāđ
4.6 āļāļāļ§āļēāđāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāļĩāđ 4.4 āđāļĨāļ° 4.5 āđāļĄāļ·āđāļāļāļēāļāļēāļĢāļēāļĄāļīāđāļāļāļĢāļāļēāļ āđ āđāļĨāļ§āļāļĨāļāđāļĩāđāļāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļ
āļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.2 āļāđāļēāļāļāļāļāļ°āļĨāļđāđāļāļēāļŠāļđāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āļŠāļ§āļāđāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāļĩāđ 4.6 āđāļāļ·āđāļāļāļāļēāļ
1 1( ) (( ) ) 1.011
āđāļĨāļ°
0.053
āļāđāļķāļāđāļĄāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļāļāļĪāļĐāļāļĩāļāļ 3.2 āļāļķāļāļĒāļąāļāļŠāļĢāļļāļāđāļĄāđāļ āđāļāļāļēāļāļāļēāļĢāļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļāđāļēāļāļāļāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļ
āđāļāļĒāđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄ MatlabÂŪ
āđāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāđāļĩ 4.6 āļāļ°āļāļāļ§āļē āļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨ ( , ) (0,0)Y K āđāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļļāļĨāļāļĩāđ
āđāļĄāđāļŠāļāļĩāļĒāļĢ
āđāļāļāļŠāļēāļĢāļāļēāļāļāļīāļ
[1] Matsumoto, A. and Szidarovszky, F.(2007). Delay Differential Nonlinear Economic
Models. Arizona: University of Arizona
[2] Kadder, A. and Talibi Alaoui, H. (2008). Nonlinear Analysis : Modelling and Control,
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[3] Xiaoqin P. Wu .Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations Spec.
Ed. I,2009 No. 1-20;
[4] āļāļ§āļēāļĄāļĢāļđāđāļāļ·āđāļāļāļāļāđāļāļĩāđāļĒāļ§āļāļąāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ. āļ§āļąāļāļāļĩāđāļāļāļāļāļĄāļđāļĨ 20 āļĄāļāļĢāļēāļāļĄ 2555, āđāļ§āđāļāđāļāļ
http://lpn.nfe.go.th/web_lpn8/unit1.htm
[5] āļĢāļēāļĒāđāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāļēāļāļī. āļ§āļąāļāļāļĩāđāļāļāļāļāļĄāļđāļĨ 20 āļĄāļāļĢāļēāļāļĄ 2555, āđāļ§āđāļāđāļāļ
http://blog.eduzones.com/offy/44720
[6] āļĢāļēāļāļāļąāļāļāļīāļāļĒāļŠāļāļēāļ(2552). āļāļāļāļēāļāļļāļāļĢāļĄāļĻāļąāļāļāđāļĻāļĢāļĐāļāļĻāļēāļŠāļāļĢ āļāļāļąāļāļĢāļēāļāļāļąāļāļāļīāļāļĒāļŠāļāļēāļ
[7] http://www.bangkokbiznews.com/home/media/2009/03/11/images/news_img_2368
[8] Gantmacher, F. R. (1959). Application of The Theory of Matrices .
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[10] Kuang, Y. (1993). Delay Differential Equation with Applications in Population
Dynamics, New York: Academic Press.
[11] āđāļāļ§āļīāļ āļāļĢāļĢāđāļāļīāļāļāļāļĻāļāļąāļĒ, (2551) āļĢāļ°āļāļāļāļ§āļāļāļļāļĄāļāļĨāļ§āļąāļ (Dynamical Control Systems
Analysis,Design and Applications) pp.113-139
āļ āļēāļāļāļāļ§āļ
āļāļēāļĢāđāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļ dde23 āđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄ MatlabÂŪ
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāđāļŠāļāļāļāļĨāđāļāļĨāļĒāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ
āļāļēāļĢāđāļāļāđāļēāļŠāļąāđāļ dde23 āđāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄ MatlabÂŪ
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāđāļŠāļāļāļāļĨāđāļāļĨāļĒāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ
āđāļĢāļēāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļŦāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļāļĒāđāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļ dde23 āļāļēāļ
āđāļāļĢāđāļāļĢāļĄ MatlabÂŪ āļāđāļķāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāđāļēāđāļāđāļāļĒāļāļēāļĒāđāļāļĩāļĒāļāđāļāđāļĢāļĩāļĒāļāļĢāļđāļĢāļđāļāđāļāļāļāļēāļĢāđāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļ āđāļĨāļ°āļāđāļēāđāļāļāļĢāļ°āļĒāļļāļāļāđāļ
āđāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āļĻāļķāļāļĐāļē
āļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒāļĄāļĩāļĢāļđāļāđāļāļāļāļąāđāļ§āđāļāļāļ·āļ
1 2( ) , ( ), ( ), ( ),..., ( )ky t f t y t y t y t y t
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļĢāļđāļāđāļāļāļāļāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļ dde23 āļĄāļĩāļāļąāļāļāļĩāđ
0 sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan)
āļŦāļĢāļ·āļ 0 sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan,options)
āđāļāļĒāļāļĩāđ ddefun āļāļ·āļ āļāļāļāļāļąāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒāļāļĩāđāđāļĢāļēāđāļāļŦāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļ
āļāđāļķāļ ddefun āļĄāļĩāļĢāļđāļāđāļāļāļāļąāļāļāļĩāđ dydt = ddefun(t,y,Z)
āđāļāļĒāļāļĩāđ t āļāļ·āļ āđāļ§āļĨāļē
y āļāļ·āļ āļāļāļĨāļąāļĄāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢāļāļĩāđāļāđāļķāļāđāļĢāļēāļāļ°āļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢ
āđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ
Z(:,j) āļāļ·āļ āļāļē ( )jy t āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļĩāđāļĨāļĒ j āļāļ°āļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļāļāļāļą lags(j)
āđāļāļĒāļāļēāļāļĩāđāđāļŠāļāļ°āđāļāļāļāļāļĨāļąāļĄāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢāļāđāļķāļāļŠāļāļāļāļĨāļāļāļāļąāļ
1 2, ( ), ( ), ( ),..., ( )kf t y t y t y t y t
āđāļĄāļ·āđāļ 0lags āļāļ·āļ āļāļēāļāļāļāļĩāđāļāļ§āļāļāļāļāļāļąāļ§āļāļĩāđāļĨāļĒāļāđāļķāļāđāļāļāļāļēāđāļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢ
āđāļāļĒāļāļĩāđ 0history āļāļ·āļ āļāļāļāļāļąāļāļāļēāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ 0tspan āļāļ·āļ āļāļ§āļāļāļāļāļāļēāļĢāļāļīāļāļāļīāđāļāļĢāļ
58
āđāļĨāļ° 0options āļāļ·āļ āļāļąāļ§āļāļĢāļąāļāļāļēāļāđāļķāļāđāļāļĢāļāļŠāļĢāļēāļāļāļąāđāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāļĢāļąāļāđāļāđāļāļĒāđāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļ 0ddeset āđāļāļĒāļāļĩāđāļāļēāļāļāļ
ddeset āļāļ·āļ āļāļēāļĢāļŠāļĢāļēāļāļŦāļĢāļ·āļāļāļĢāļąāļāđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāļāļēāļĢāļāđāļąāļāļāļēāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ āļāđāļķāļāļĢāļđāļāđāļāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļāļāļāļ
ddeset āđāļāļāđāļāđāļāļ 3 āļĢāļđāļāđāļāļāđāļāļĒāļĄāļĩāļĢāļēāļĒāļĨāļ°āđāļāļĩāļĒāļāļāļąāļāļāļĩāđ
options = ddeset('name1',value1,'name2',value2,...)
āļŠāļĢāļēāļāļāļąāļ§āđāļĨāļ·āļāļāļāļīāļāļāļīāđāļāļĢāđāļāļāļĢ 1āļāļĩāđāļĄāļĩāļāđāļ·āļāđāļāļĒāļĢāļ°āļāļļāļāļē 1 āđāļĨāļ°āļŠāļ§āļāļāļĩāđāļāļĩāđāđāļĄāđāļāļĢāļ°āļāļļāļāļēāļāļ°āđāļŦāđāļāļāļāļēāļāļąāđāļāđāļāļīāļĄ 1āļāđāļķāļāļāļ°
āļāļāđāļāļĩāļĒāļāļāļāļāļāļīāļāļāļāļāļāļąāļ§āļāļąāļāļĐāļĢāļāļĩāđāļāļāļāļĢāļ°āļāļļāļāđāļ·āļāļāļāļāļāļļāļāļŠāļĄāļāļąāļāļī1
options = ddeset(oldopts,'name1',value1)
1āđāļāļāļāļēāļĢāļāļĢāļąāļāđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāļāļąāļ§āđāļĨāļ·āļāļ oldopts āđāļāļĒāļāļēāļĢāđāļāļĩāļĒāļāļāļąāļāļāļēāļāļēāļ āđ āđāļ oldopts āļāđāļĩāļĢāļ°āļāļļāđāļāļĒāđāļāļāđāļ·āļ āļāļē
āļāļđ āđāļĨāļ°āļŠāļāļāļĨāļąāļāđāļāđāļāđāļāļĢāļāļŠāļĢāļēāļāļāđāļķāļāđāļāļāļāļēāļĢāļāļīāļ§āđāļĄāļāļāļāļāļāļāļĨāļĨāļąāļāļ options = ddeset(oldopts,newopts)
1āđāļāļāļāļēāļĢāļĢāļ§āļĄāđāļāļĢāļāļŠāļĢāļēāļāļāļąāļ§āđāļĨāļ·āļāļāļāļĩāđāļĄāļĩāļāļĒāļđ oldopts āļāļąāļ newopts āļāđāļķāļāđāļāļāđāļāļĢāļāļŠāļĢāļēāļāļāļąāļ§āđāļŦāļĄ āđāļĨāļ°
āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļāđāļąāļāļāļēāđāļ newopts āđāļāļĒāđāļāļāļāļĩāđāļāļēāļāļĩāđāļāļĢāļāļāļąāļāđāļ oldopts
0 āļāđāļēāļŠāđāļąāļ dde23 āđāļāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļāļāļĩāđāļāļ·āļāļāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒāđāļāļāđāļāļĢāļāļŠāļĢāļēāļāļāļāļ sol āļāđāļķāļāđāļĄāļ·āđāļāđāļĢāļēāđāļāļāļāļāļāļąāļāļāļ§āļĒ
(deval) āđāļĨāļ°āļāļēāđāļāļēāļāļāļļāļāļāļāļ sol āđāļāđāļāļāļēāļĢāļāđāļēāļāļ§āļāļŦāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒāļāļĩāđāļāļļāļ tint āļāđāļķāļāļāļĒāļđāđāļāļāļ§āļāļāļāļ
0tspan = [t0, tf] āđāļāļĒāļāđāļēāļŠāđāļąāļ deval āļāļąāđāļāļāļ°āđāļāļāļđāļāļāļķāļāļāļāđāļ
āđāļāļĢāļāļŠāļĢāļēāļāļāļāļ sol āļāđāļķāļāļāļđāļāļāļ·āļāļāļēāđāļāļĒāļāđāļēāļŠāđāļąāļ dde23 āļĄāļĩāļĨāļąāļāļĐāļāļ°āļāļēāļĄāļāļĩāđ
sol.x āļāļ·āļ āļĢāļđāļāđāļāļāļāļāļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļāļīāļŠāļĢāļ°āđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāļāļ·āļ t
sol.y āļāļ·āļ āļĢāļđāļāđāļāļāļāļāļāļāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒāļŦāļĢāļ·āļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļāļēāļĄ ( )y t
sol.yp āļāļ·āļ āļāļē ( )y t āļāļĩāđāđāļ§āļĨāļē t
sol.solver āļāļ·āļ āļāđāļēāļŠāđāļąāļāļāļĩāđāđāļāđāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒāđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāļāļ·āļ 'dde23'
deval āđāļāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļāļāļĩāđāđāļāļāđāļēāļāļ§āļāļŦāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļāļāļāļąāļāļāđāļķāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§
āđāļŦāļĄāļēāļ°āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāļāđāļēāļāļ§āļāļāļāļāļāļąāļāļāļāļŦāļļāļāļēāļĄāļāļĩāđāļāļīāļĒāļēāļĄāđāļāļāļāļ§āļāđ (piecewise polynomial function) āđāļĨāļ°āļĄāļĩ
āļāļāļāļĩāđāļāļāļēāļĢāļāđāļēāļāļąāļ§āđāļāļĢāđāļŦāđāļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢ āļāđāļķāļāļāļĨāļĨāļąāļāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāđāļāļāļēāļĒāļāļķāđāļ
59
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļĢāļđāļāđāļāļāļāļāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļ deval āļĄāļĩāļāļąāļāļāļĩāđ
sxint = deval(sol,xint) sxint = deval(xint,sol)
āļĢāļđāļāđāļāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļāļāļąāđāļāļŠāļāļāđāļāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļāļāļĩāđāđāļāļāđāļēāļāļ§āļāļŦāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒāđāļāļīāļāļāļąāļ§āđāļĨāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāđāļāļĒāļāļĩāđ sol
āđāļāļāđāļāļĢāļāļŠāļĢāļēāļ āļāđāļķāļāļāļđāļāļāļ·āļāļāļēāđāļāļĒāļĄāļĩāļāļĢāļāļĩāļāļąāļāļāļĩāđ
āļāļĢāļāļĩāđāļĢāļ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāđāļāļāļāļŦāļēāļāļēāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ
(ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb āļŦāļĢāļ·āļ ode15i)
āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļŠāļāļ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ (dde23 āļŦāļĢāļ·āļ 0ddesd)
āļāļĢāļāļĩāļāļĩāđāļŠāļēāļĄ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļēāļĢāđāļāļāļāļŦāļēāļāļēāļāļāļ (bvp4c āļŦāļĢāļ·āļ bvp5c)
0āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļĢāļđāļāđāļāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļ 0deval āļāļĩāļāļĢāļđāļāđāļāļāļāļķāļāļĄāļĩāļāļąāļāļāļĩāđ
sxint = deval(sol,xint,idx) sxint = deval(xint,sol,idx) [sxint, spxint] = deval(...)
āļĢāļđāļāđāļāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļāļāļąāđāļāļŠāļēāļĄāđāļāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļāļāđāļēāļāļ§āļāļŦāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāđāļāļāđāļāļĩāļĒāļ§āļāļąāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļāļāļēāļāļāļāđāļ
āļāļ·āļāļāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒāđāļāļĩāļĒāļāļāļĒāļēāļāđāļāļĩāļĒāļ§
āļāļāļŠāļąāļāđāļāļāļļ
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļāļŦāļēāļāļēāļāļāļāļāļĩāđāļĄāļĩāļŦāļĨāļēāļĒ āđ āļāļē āļāļĨāđāļāļĨāļĒāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāļāļąāđāļāđāļāļĄāļēāđāļāļĒāļāđāļēāļŠāđāļąāļ 0bvp4c āļŦāļĢāļ·āļ 0bvp5c āļāđāļķāļ
āļāđāļēāļŠāđāļąāļāļāļąāļāļāļĨāļēāļ§āđāļāđāļāļāļēāļĢāļŦāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒāļāđāļķāļāļāļēāļāļāļĢāļāļĩāļāļēāļāļāļ°āđāļĄāļāļāđāļāļ·āđāļāļāļāļĩāđāļāļīāļāđāļāļāļĢāđāļāļŠ āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļĩāđ āļāļļāļ
āļāļīāļāđāļāļāļĢāđāļāļŠ xc āļāđāļēāļŠāđāļąāļ deval āļāļ·āļāļāļēāđāļāļĨāļĩāđāļĒāļāļāļāļĨāļīāļĄāļīāļāļāļēāļāļāļēāļĒāđāļĨāļ°āļĨāļīāļĄāļīāļāļāļēāļāļāļ§āļēāļāļāļ xc āđāļāļāļēāļĢāļĢāļąāļāļāļē
āļĨāļīāļĄāļīāļāđāļĢāļēāļāļ°āļāđāļąāļāļāļēāđāļŦāļāļēāļĢāļāļīāļ§āđāļĄāļāļ xint āļāļāļ deval āļĨāļāļĨāļāđāļĨāđāļāļāļāļĒāļŦāļĢāļ·āļāđāļāđāļīāļĄāļāļķāđāļāđāļĨāđāļāļāļāļĒāļāļ§āļē xc
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ A1
āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ Wille' and Baker āļāļąāļāļāļĩ āđ
1 1
2 1 2
3 2
( ) ( 1)
( ) ( 1) ( 0.2)
( ) ( )
y t y t
y t y t y t
y t y t
(A1)
60
āļāļāļāļ§āļ [0,5] āđāļāļĒāļĄāļĩāļāļāļāļāļąāļāļāļēāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ 1 2 3( ) 1, ( ) 1, ( ) 1y t y t y t āđāļĄāļ·āđāļ 0t
āđāļāļĒāđāļĢāļēāđāļāļĢāļđāļāđāļāļāļāļāļāļāđāļēāļŠāđāļąāļ dde23 āļāļąāļāļāļĩāđ
sol = dde23(ddefun, lags, history, tspan)
āļāļēāļĢāļĢāļ°āļāļļāļāļąāļ§āđāļāļĢāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāļĢāļ°āļāļļāđāļāļāļąāļāļāļĩāđ
ddefun āļāļ·āļāļāļāļāļāļąāļāļāļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒāļāļĩāđāđāļāļāđāļēāļāļ§āļāļŦāļēāļāļĨāđāļāļĨāļĒ āđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāļāļ·āļ ddex1d.m āļāđāļķāļ
āļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļāļāļĄāļāļīāļ§āđāļāļāļĢāđāļāļāļąāļāļāļĩāđ
function dydt = ddex1de(t,y,Z) % Differential equations function for DDEX1. ylag1 = Z(:,1); ylag2 = Z(:,2); dydt = [ ylag1(1) ylag1(1) + ylag2(2) y(2) ];
0āļāļēāļāļāļ lags āļāļ·āļ0āļāļēāļāļāļāļāļąāļ§āļāļĩāđāļĨāļĒāļāđāļķāļāđāļāļāļāļēāđāļāļāđāļ§āļāđāļāļāļĢāđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāļāļ·āļ [1, 0.2]
0āļāļēāļāļāļ history āļāļ·āļāļāļāļāļāļąāļāđāļāđāļ·āļāļāđāļāđāļĢāđāļīāļĄāļāļāļāļĩāđāđāļāļāđāļēāļāļ§āļāļāđāļēāļāļāļāļāļĩāđāđāļ§āļĨāļē t āđāļĨāļ°āļāļ·āļāļāļēāđāļŦāļĨāļēāļāļąāđāļāđāļāļ
āđāļ§āļāđāļāļāļĢāļŦāļĨāļąāļ āđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāđāļĢāļēāđāļŦ 0history āļāļ·āļ ddex1hist.m āļāđāļķāļāļŠāļēāļĄāļēāļĢāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄ
āļāļāļĄāļāļīāļ§āđāļāļāļĢāđāļāļāļąāļāļāļĩ āđ function s = ddex1hist(t) % Constant history function for DDEX1. s = ones(3,1);
āļāļēāļāļāļ tspan āļāļ·āļāļāļ§āļāļāļāļāļāļēāļĢāļāļīāļāļāļīāđāļāļĢāļ āđāļāļāļĩāđāļāļĩāđāļāļ·āļ [0,5]
āđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļāļĩāđāđāļŠāļĢāđāļāļŠāļĄāļāļđāļĢāļāđāļĨāļ§āļāļĢāļāļĄāļāļĩāđāļāļ°āđāļāļāđāļēāļāļ§āļāđāļĨāļ°āļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāļāļāļāļāļĨāđāļāļĨāļĒāļāļ·āļ
function ddex1 sol = dde23(@ddex1de,[1, 0.2],@ddex1hist,[0, 5]); figure; plot(sol.x,sol.y) title('An example of Wille'' and Baker.'); xlabel('time t'); ylabel('solution y');
āļāļĨāļāļēāļāļāļāļāļāļąāļ ddex1 āļāļēāļāļāļāļāļ°āđāļāļāļĢāļēāļāļāļĨāđāļāļĨāļĒāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ (A1) āđāļŠāļāļāļāļąāļ
āļ āļēāļ A1
61
āļ āļēāļāļāđāļĩ A1 āđāļŠāļāļāļāļĨāđāļāļĨāļĒāļāļāļāļĢāļ°āļāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ (A1)
āļāļąāļ§āļāļĒāļēāļ A2 āļāļīāļāļēāļĢāļāļēāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒ āļāđāļķāļāđāļāļāļāļąāļ§āđāļāļāđāļāļĨāļĨāđāļĄāđāļāđāļĨāļ·āļāļāđāļāļāļāļąāļāļāļĩ āđ
( )( ) ( ) N tN t N t e (A2)
āđāļāļĒāļāļĩāđ 0, 0, 0t āđāļĨāļ° 0 āļāđāļķāļāļĄāļĩāļāļāļāļāļąāļāļāļēāđāļĢāđāļīāļĄāļāļ ( ) 0.5y t āđāļĄāļ·āđāļ 0t
āđāļāļāļąāļ§āļāļĒāļēāļāļāļĩāđāđāļĢāļēāļāļ°āđāļŠāļāļāļāļĢāļēāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ ( 2)y t āđāļĨāļ° ( )y t āļāđāļķāļāđāļāļāļēāļĢāļ§āļīāđāļāļĢāļēāļ°āļŦāļāļēāļāļāļĨāļ§āļąāļāļāļ°
āļĄāļĩāļāļ§āļēāļĄāļāļąāļāļāļāļ āđāļāļĒāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāđāļ ddex2de.m āđāļāđāļāļāļēāļĢāđāļāļĩāļĒāļāļāļāļāļāļąāļāļŠāļĄāļāļēāļĢāđāļāļīāļāļāļāļļāļāļąāļāļāļāļĩāđāļĨāļĒāđāļāļĒ
āļāļāļĢāļāđāļāļāļāļāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāļĄāļĩāļāļąāļāļāļĩāđ
function v = ddex2de(t,y,Z) delta = 2 ; rho = 2 ; gamma = 2 ; v = -delta*y+(rho*exp(-r*Z));
āļŠāđāļēāļŦāļĢāļąāļāļāļāļāļāļąāļ ddex2.m āļāļąāđāļāļāļāļāđāļĢāļāļāđāļĩāļāđāļē āļāļ·āļāļāđāļēāļŦāļāļāđāļŦāļāļēāļĢāđāļĢāļĒ t āļāđāļēāļāļ§āļ 1000 āļāļļāļāđāļ
[2,100] āđāļĨāļ°āļĢāļąāļāļāļēāđāļāđāļāļĨāļ°āļāļēāđāļĢāļĒāļāļ§āļĒ deval āļāļāļĄāļēāļāđāļēāļāļ§āļāļāļēāļāđāļēāļāļāļāļāļāļ 2t āļŦāļĨāļąāļāļāļēāļāļāļąāđāļāļĢāļąāļ
āļāļēāļāļĢāļ°āļĄāļēāļāļāļāļ ( )y t āđāļĨāļ° ( 2)y t āļāļĩāđ t āđāļāļĩāļĒāļ§āļāļąāļ
āđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāđāļ ddex2.m āđāļāđāļāļāļēāļĢāļāđāļēāļāļ§āļāđāļĨāļ°āļ§āļēāļāļāļĢāļēāļāļāļāļāļĢāļ°āļāļēāļāđāļāļŠāļŦāļĢāļ·āļāđāļāļāļāļĢāļēāļ
āļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ ( 2)y t āđāļĨāļ° ( )y t āļāđāļķāļāđāļāļĩāļĒāļāđāļāļāđāļāļĢāđāļāļĢāļĄāđāļāļāļąāļāļāļĩāđ
62
function ddex2 sol = dde23(@ddex2de,2,0.5,[0, 100]); t = linspace(2,100,1000); y = deval(sol,t); ylag = deval(sol,t - 2); plot(y,ylag); xlabel('y(t)'); ylabel('y(t-2)');
āļāļĨāļāļēāļāļāļāļāļāļąāļ ddex2 āļāļēāļāļāļāđāļĢāļēāļāļ°āđāļāļāļĢāļēāļāļāļąāļāļāļāđāļāļāļĩ āđ
āļ āļēāļāļāđāļĩ A2 āđāļŠāļāļāļāļĨāļāļēāļĢāđāļāļĢāļĩāļĒāļāđāļāļĩāļĒāļāļĢāļ°āļŦāļ§āļēāļ ( )y t āđāļĨāļ° ( 2)y t