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E-BOOK01
INVALSI Matematica
© 2012 by Skill On Line s.r.l. – tutti i diritti riservati
E-BOOK01
INVALSI Matematica
Scuola secondaria di II grado
© 2012 by Skill On Line s.r.l. – tutti i diritti riservati
E-book01 INVALSI Matematica
Scuola secondaria di II grado
Preparazione alle prove INVALSI
Skill On Line srl ne ha curato la raccolta ed il commento.
E-BOOK01
INVALSI Matematica
Sommario
Scuola secondaria di II grado
© 2012 by Skill On Line s.r.l. – tutti i diritti riservati
Numeri ____________________________________________________________ 7
Tabella dei numeri primi fino a 1000 ....................................................................................................... 8
Concetto di insieme ............................................................................................................................... 9
Notazione scientifica ............................................................................................................................ 10
Operazioni con i numeri relativi ............................................................................................................ 11
Sono pari o dispari ............................................................................................................................... 13
Numero misto ...................................................................................................................................... 14
Esempi di operazioni con i polinomi ...................................................................................................... 15
Percentuale ......................................................................................................................................... 17
Variazione percentuale ........................................................................................................................ 19
All’ufficio cambio ................................................................................................................................. 20
Sconto ................................................................................................................................................. 21
Numeri razionali e irrazionali ................................................................................................................ 22
Potenza e proprietà delle potenze ........................................................................................................ 23
Potenza ad esponente intero ................................................................................................................ 24
Potenze positive e negative del ‘10’ ...................................................................................................... 26
Tabella euro ......................................................................................................................................... 27
Unità di misura del peso ....................................................................................................................... 28
Espressioni letterali .............................................................................................................................. 29
Operazioni con le percentuali ............................................................................................................... 30
Prodotti notevoli .................................................................................................................................. 31
Calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) ...................................................................................... 32
Calcolo dell’area di una figura geometrica col metodo della quadrettatura ............................................ 33
Formule per il quadrato........................................................................................................................ 34
Come si calcola la circonferenza ........................................................................................................... 35
Equazione ............................................................................................................................................ 36
Sistema di numerazione a base 10 ........................................................................................................ 37
Risolvere una disequazione .................................................................................................................. 38
Risolvere una disequazione di primo grado ad una incognita ................................................................. 39
Disequazioni di II grado ........................................................................................................................ 40
Implicazioni logiche tra proposizioni ..................................................................................................... 42
Come risolvere i problemi matematici .................................................................................................. 43
Sistema sessagesimale ......................................................................................................................... 44
Proporzioni .......................................................................................................................................... 45
Un gioco per allenarti a confrontare le frazioni ..................................................................................... 46
Un gioco con percentuali e frazioni ....................................................................................................... 47
Un gioco per allenarti a ordinare i numeri ............................................................................................. 48
Un’applicazione per allenarti con i diagrammi di Venn .......................................................................... 49
Colpisci il bersaglio ............................................................................................................................... 50
Allenati con i criteri di divisibilità .......................................................................................................... 51
Gioca a collocare i numeri sulla retta .................................................................................................... 52
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INVALSI Matematica
Sommario
Scuola secondaria di II grado
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Spazio e Figure _____________________________________________________ 53
Formule area e perimetro..................................................................................................................... 54
Poligoni regolari ................................................................................................................................... 55
Solidi ottenuti per rotazione ................................................................................................................. 56
Teorema di Pitagora ............................................................................................................................. 57
Angoli al centro e alla circonferenza ..................................................................................................... 58
Sviluppo di un parallelepipedo rettangolo e di un cubo ......................................................................... 59
Calcolo dell’area di una figura geometrica col metodo della quadrettatura ............................................ 61
Calcolare l’area del cubo ...................................................................................................................... 62
Teorema sui triangoli ........................................................................................................................... 63
Criteri di similitudine ............................................................................................................................ 64
Asse di simmetria ................................................................................................................................. 65
Assi di simmetria .................................................................................................................................. 67
Classificazione dei triangoli in base al numero di assi di simmetria ........................................................ 68
Quadrilateri ......................................................................................................................................... 69
Quadrato e sviluppo del cubo ............................................................................................................... 70
Formule per il quadrato........................................................................................................................ 71
Rettangolo ........................................................................................................................................... 72
Formule per il cubo .............................................................................................................................. 73
Volume del cubo .................................................................................................................................. 74
Formule per il parallelepipedo rettangolo ............................................................................................. 75
Proporzioni .......................................................................................................................................... 76
Calcolo del termine incognito di una proporzione ................................................................................. 77
Triangoli .............................................................................................................................................. 78
Triangolo isoscele................................................................................................................................. 79
Triangolo rettangolo ............................................................................................................................ 80
Triangolo equilatero ............................................................................................................................. 81
Cerchio ................................................................................................................................................ 82
Formule per il cilindro .......................................................................................................................... 83
Applet per il tronco di cono .................................................................................................................. 84
Grafico della retta ................................................................................................................................ 85
Un’applicazione per allenarti con la retta .............................................................................................. 86
Un’applicazione per disegnare una retta ............................................................................................... 87
Specchio piano ..................................................................................................................................... 88
Isometrie – Alcuni esempi .................................................................................................................... 89
Rette parallele e perpendicolari............................................................................................................ 90
Angoli alterni interni ............................................................................................................................ 91
Teorema dell'angolo esterno ................................................................................................................ 92
Disuguaglianze triangolari .................................................................................................................... 93
Strumento interattivo .......................................................................................................................... 94
Coefficiente angolare ed intercetta ....................................................................................................... 95
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INVALSI Matematica
Sommario
Scuola secondaria di II grado
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Dati e previsioni ____________________________________________________ 96
Istogramma ......................................................................................................................................... 97
Grafico e Istogramma ........................................................................................................................... 98
Areogramma ...................................................................................................................................... 100
Probabilità di un evento ..................................................................................................................... 102
Eventi dipendenti e probabilità composta ........................................................................................... 103
Eventi indipendenti ed eventi dipendenti ........................................................................................... 104
Un gioco per capire la probabilità ....................................................................................................... 105
Calcolare lo sconto e la percentuale .................................................................................................... 106
Tabella ............................................................................................................................................... 107
Esempio di tabella .............................................................................................................................. 108
Media aritmetica, Mediana e Moda .................................................................................................... 109
Media aritmetica e media ponderata .................................................................................................. 112
Media pesata ..................................................................................................................................... 114
Media pesata con Excel ...................................................................................................................... 115
Scarto quadratico medio .................................................................................................................... 117
Varianza ............................................................................................................................................ 118
Moto rettilineo uniforme ................................................................................................................... 119
Frequenze .......................................................................................................................................... 120
Distribuzione frequenza – (un esempio) ............................................................................................. 121
Rapporti e Proporzioni ....................................................................................................................... 122
Gioca con le coordinate cartesiane ..................................................................................................... 124
Operazioni con i numeri relativi .......................................................................................................... 125
Scrivere equazioni per risolvere problemi ........................................................................................... 127
Un’applicazione per calcolare le variazioni percentuali ........................................................................ 128
Rappresentazioni grafiche .................................................................................................................. 129
Prodotto cartesiano ........................................................................................................................... 130
Tabelle a doppia entrata .................................................................................................................... 131
Relazioni e funzioni ________________________________________________ 133
Scala di rappresentazione ................................................................................................................... 134
Equazione .......................................................................................................................................... 135
Proporzioni ........................................................................................................................................ 136
Funzioni ............................................................................................................................................. 137
Concetto di funzione .......................................................................................................................... 138
Aritmetica dei numeri pari e dispari .................................................................................................... 139
Alcuni consigli per risolvere i problemi................................................................................................ 140
Coordinate in un grafico ..................................................................................................................... 141
Grafico con Excel (costruzione del grafico con Excel) ........................................................................... 142
Come si calcolano le coordinate del punto di intersezione tra due rette? ............................................. 144
Disequazione di primo grado ad una incognita .................................................................................... 145
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INVALSI Matematica
Sommario
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Tabella ............................................................................................................................................... 146
Equazione della parabola ................................................................................................................... 147
Negazione .......................................................................................................................................... 148
Retta ................................................................................................................................................. 149
Un’applicazione per verificare i parametri di una retta ........................................................................ 150
Esercizio: Dalle parole alla formula ..................................................................................................... 151
Valore assoluto .................................................................................................................................. 152
Percentuale ....................................................................................................................................... 153
Variazione percentuale ...................................................................................................................... 154
Molla ................................................................................................................................................. 155
Espressioni letterali ............................................................................................................................ 156
Proporzionalità quadratica ................................................................................................................. 157
Moto rettilineo uniforme ................................................................................................................... 159
Un’applicazione per verificare i tuoi calcoli geometrici ........................................................................ 160
Un gioco per ripassare perimetri e aree .............................................................................................. 161
Un gioco per trovare le coordinate del sommergibile .......................................................................... 162
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INVALSI Matematica
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Numeri
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INVALSI Matematica Numeri
Numeri 8
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Tabella dei numeri primi fino a 1000
1 2 3 5 7
11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67
71 73 79 83 89 97
101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167
173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277
281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401
409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523
541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641
643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769
773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997
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INVALSI Matematica Numeri
Numeri 9
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Concetto di insieme
Un insieme è una collezione di oggetti, che è a sua volta un oggetto. Si tratta di un concetto
fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi.
Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere,
persone, figure, etc., anche non necessariamente
omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli
oggetti della collezione vanno invece ben definiti e
determinati.
Gli oggetti che compongono un insieme si dicono
elementi di questo insieme; nel linguaggio
matematico, detto a un elemento dell'insieme A, si
dice che a appartiene ad A o in simboli: a € A
Un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme B quando tutti gli elementi di A appartengono anche
a B.
Operazioni tra insiemi
Le principali operazioni tra insiemi sono:
L'unione di due insiemi A e B si indica con:
A ∪ B ed è l'insieme formato da tutti gli elementi di A e B presi una
sola volta.
L'intersezione di due insiemi A e B si indica con:
A ∩ B ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che
appartengono sia all'insieme A che all'insieme B
contemporaneamente.
Insieme di alunni di una classe
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Numeri 10
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Notazione scientifica
La notazione scientifica viene usata per esprimere i numeri reali utilizzando le potenze intere di
dieci, ed è usata per numeri molto grandi o molto piccoli. La notazione permette di esprimere
quantità fisiche senza includere lunghe file di zeri:
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
106 = 1 000 000
109 = 1 000 000 000
1020 = 100 000 000 000 000 000 000
Oltre alle potenze positive, si possono usare le potenze negative: 10-n è uguale a 1/10n e in decimali
si può esprimere con uno 0 seguito dalla virgola, da n-1 zeri e da un 1:
10-1 = 1/10 = 0,1
10-3 = 1/1000 = 0,001
10-9 = 1/1 000 000 000 = 0,000000001
In questo modo, un numero molto grande come 123 000 000 000 000 000 000 può essere espresso
come 1,23 · 1020, (si mette la virgola dopo il primo numero e poi si contano tutte le altre cifre per
determinare l’esponente).
Un numero piccolo come 0,0000123 può essere scritto come 1,23 · 10-5 (si mette la virgola dopo la
prima cifra diversa da zero, poi si contano tutti gli zeri per determinare l’esponente).
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INVALSI Matematica Numeri
Numeri 11
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Operazioni con i numeri relativi
L’addizione di numeri interi relativi si svolge nel seguente modo:
se i due numeri sono concordi si addizionano i numeri senza il segno e si mette il segno che c’è;
es.) (+ 3) + (+ 5) = + 8
es.) (- 7) + (- 3) = - 10
se i due numeri sono discordi si sottraggono i numeri senza segno e si mette il segno del più grande.
es.) (+ 3) + (- 5) = - 2
es.) (+ 7) + (- 3) = + 4
La sottrazione di due numeri interi relativi non è altro che l’addizione tra il primo e l’opposto del
secondo cioè a – b = a + ( - b).
es.) (+ 3) - (+ 5) = + 3 + (- 5) = - 2
es.) (- 7) - (- 3) = - 7 + (+ 3) = - 4
Prodotto tra numeri relativi
es.) (-4)∙(-4)= +16
es.) (+4)∙(-4)= -16
Ricorda che:
- ∙ - = + (meno per meno = più)
+ ∙ + = + (più per più = più)
- ∙ + = - (meno per più = meno)
+ ∙ - = - (più per meno = meno)
Quoziente tra numeri relativi
opposti
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INVALSI Matematica Numeri
Numeri 12
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es.) (-6) : (+3) = (-6)/(+3) = - 2
es.) (+6) : (+3) = (+6)/(+3) = +2
Ricorda che:
- ∶ - = + (meno diviso meno = più)
+ ∶ + = + (più diviso più = più)
- ∶ + = - (meno diviso più = meno)
+ ∶ - = - (più diviso meno = meno)
Potenze con esponente intero
a) quanto vale la potenza (-4)2?
Per eseguire il calcolo della potenza ( −42) occorre fare il prodotto:
(−4) ∙ (−4) = +16
b) quanto vale la potenza 3−2?
Ricorda che la potenza ad esponente negativo è uguale ad una frazione che ha per numeratore
l'unità e per denominatore la potenza della stessa base con esponente positivo, cioè:
3−2 = 1
(3)2
c) quanto vale la potenza −3−2?
−3−2 = 1
(−3)2
In generale: a−n = 1
(a)n
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INVALSI Matematica Numeri
Numeri 13
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Sono pari o dispari
In matematica un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a
seconda che la sua ultima cifra sia pari o dispari. Ovvero, se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, è dispari,
altrimenti è pari.
• L'insieme dei numeri pari può essere scritto come:
Pari = 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.
• L'insieme dei numeri dispari può essere scritto come:
Dispari = 2Z+ 1 = {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}.
Dove Z è l’insieme dei numeri relativi. [I numeri interi (o numeri relativi) sono formati dall'unione
dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno -
davanti ai naturali positivi. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z,
perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero.]
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Numeri 14
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Numero misto
Il numero misto è la somma fra un intero e una frazione propria.
6 + 3
4 é un numero misto.
Per calcolare la somma fra l'intero e la frazione si opera come di seguito:
6 + 3
4= 24 + 3
4= 27
4
Si opera allo stesso modo per i seguenti casi:
• per la somma fra un intero e una frazione impropria (non è un numero misto perché la
frazione è impropria) ma si calcola come di seguito:
6 + 5
3= 18 + 5
3= 23
3
• per la differenza fra un intero e una frazione
6 − 5
3= 18 − 5
3= 13
3
• per la differenza tra una frazione e un intero
7
3− 2 =
7 − 6
3= 1
3
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Numeri 15
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Esempi di operazioni con i polinomi
• Somma di polinomi con riduzione dei termini simili
sciogliamo le parentesi in cui sono contenuti i due
polinomi e in questo caso cambiamo anche i segni dei
monomi contenuti nella seconda parentesi
raggruppiamo i coefficienti dei monomi simili
effettuiamo la somma algebrica dei coefficienti
raggruppati
• Prodotto di un polinomio per un monomio:
applichiamo la proprietà distributiva del
prodotto rispetto alla somma:
svolgiamo le singole moltiplicazioni tra
monomi:
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Numeri 16
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• Prodotto di due polinomi
applichiamo la proprietà distributiva del
prodotto rispetto alla somma:
svolgiamo ora le due moltiplicazioni tra
un monomio per un polinomio come
abbiamo visto in precedenza:
poiché e sono monomi
simili, possiamo effettuare una
riduzione del polinomio:
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Numeri 17
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Percentuale
La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Si ottiene
moltiplicando per 100 il rapporto a/b e ponendo a fianco il simbolo %.
Esempio: 5 allievi su 25 risultano assenti. La percentuale degli allievi assenti allora sarà:
𝟓
𝟐𝟓 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟎%
Quindi la percentuale è un rapporto che indica quante parti sul totale (rispetto a 100) soddisfano
una certa condizione.
Nota bene
Se si conosce la percentuale degli assenti e il loro numero come si opera?
Riprendendo l’esempio di sopra sappiamo che 5 studenti sono assenti e rappresentano il 20 % di
tutti gli studenti della classe. Ci domandiamo quanti sono in tutto gli studenti? Basta utilizzare la
stessa formula e ricavare il numero degli studenti:
𝟓
𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐− 𝒔𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟎 % 𝒅𝒂 𝒄𝒖𝒊:
𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐− 𝒔𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊 =𝟓 × 𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟎= 𝟐𝟓
Lo sconto
Supponiamo di trovare un'offerta che ci dice che su un videogioco che costa 70 euro si applica uno
sconto pari al 20 per cento, quanto pagheremo alla cassa?
L'operazione da fare sarà: 70 (prezzo del videogioco), moltiplicato per 20 (percentuale di sconto), il
tutto diviso 100 per calcolare lo sconto:
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Numeri 18
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Sconto = (70 x 20)/100 = 14 euro
Ora sottraiamo i 14 euro di sconto ai 70 euro del videogioco per ottenere il prezzo scontato:
prezzo scontato = 70 – 14 = 56 euro
il risultato è 56 euro, il prezzo del videogioco scontato.
Trucchetto
Avresti potuto ottenere il prezzo scontato direttamente facendo 70 x 0,8 = 56 euro. Perché?
Suggerimento: su 100 parti se ne pagano solo 80!
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Numeri 19
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Variazione percentuale
1. Supponiamo di voler calcolare la variazione percentuale per un oggetto che l’anno scorso
costava 80 € e quest’anno invece costa 120 €.
Dobbiamo operare nel modo seguente:
𝒗𝒂𝒓% = (𝟏𝟐𝟎 − 𝟖𝟎)
𝟖𝟎∙ 𝟏𝟎𝟎 =
𝟒𝟎
𝟖𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟓𝟎%
cioè il prezzo dell’oggetto è aumentato del 50%
2. Possiamo anche calcolare la variazione percentuale del prezzo attuale (120 €) dell’oggetto
rispetto a quanto costava l’anno precedente (80 €).
Dobbiamo operare nel modo seguente:
𝒗𝒂𝒓% = (𝟏𝟐𝟎 − 𝟖𝟎
𝟏𝟐𝟎∙ 𝟏𝟎𝟎)% = (
𝟒𝟎
𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎)% ≅ 𝟑𝟑%
cioè il prezzo dell’oggetto l’anno scorso era il 33% in meno rispetto a quello attuale.
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Numeri 20
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All’ufficio cambio
Quando ci rechiamo all’estero o per vacanza o per studio abbiamo l’esigenza di effettuare il cambio
della valuta; bisogna fare dei calcoli talvolta neanche semplici per molti. Però si può ricorrere ad una
regola pratica come riportato di seguito:
fissato un indice di cambio se voglio sapere quanti dollari riceverò basterà moltiplicare il numero
degli euro da cambiare per l’indice di cambio
viceversa
se voglio sapere quanti euro dovrò cambiare per ricevere un numero determinato di dollari basterà
dividere il numero dei dollari per l’indice di cambio.
Esempio
1) Ho da cambiare 1000 euro e l’indice di cambio è 1,33
Riceverò 1330 dollari cioè: 1000 x 1,33
2) Voglio sapere quanti euro dovrò cambiare per avere 1000 dollari
1000/1,33 = 752 cioè devo cambiare 752 euro per avere 1000 dollari
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Numeri 21
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Sconto
Supponiamo di trovare un'offerta che ci dice che su un videogioco che costa 70 euro si applica uno
sconto pari al 20 per cento, quanto pagheremo alla cassa?
L'operazione da fare sarà: 70 (prezzo del videogioco), moltiplicato per 20 (percentuale di sconto), il
tutto diviso 100 per calcolare lo sconto:
Sconto = (70 x 20)/100 = 14 euro
Ora sottraiamo i 14 euro di sconto ai 70 euro del videogioco per ottenere il prezzo scontato:
prezzo scontato = 70 – 14 = 56 euro
il risultato è 56 euro, il prezzo del videogioco scontato.
Trucchetto
Avresti potuto ottenere il prezzo scontato direttamente facendo 70 x 0,8 = 56 euro. Perché?
Suggerimento: su 100 parti se ne pagano solo 80!
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Numeri 22
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Numeri razionali e irrazionali
Un numero razionale è un numero che si ottiene come rapporto tra due numeri interi, il secondo
dei quali diverso da 0. Si esprime mediante una frazione a/b, di cui a è detto il numeratore e b il
denominatore. Esempi di numeri razionali:
𝟑
𝟒; 𝟏𝟑
𝟓; −
𝟏
𝟑; −𝟑
I numeri razionali formano un campo, indicato con il simbolo Q che sta per quoziente.
Si dicono numeri irrazionali i numeri che non possono essere descritti come rapporto di due numeri
interi. Ad esempio: π; √2
Infatti come si può verificare nessuno di questi due numeri può essere descritto come rapporto di
due numeri interi. (𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟕…… ; √𝟐 = 1,4142136…… )
Da non dimenticare
Per stabilire tra due o più numeri chi è minore o maggiore ricorda la seguente rappresentazione:
i numeri sono ordinati da − ∞ a + ∞ dal più piccolo al più grande.
Esempio
-3 < -2 ; +3 > +2 ;
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Potenza e proprietà delle potenze
In matematica la potenza è un'operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti
rispettivamente base ed esponente - il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a:
𝒂𝒏 : = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙∙∙ 𝒂⏟ 𝒏 𝐯𝐨𝐥𝐭𝐞
Le potenze scritte nella forma an si leggono come elevato alla n o più semplicemente alla n.
L’esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.
Alcuni esponenti hanno un loro nome. L’esponente due è spesso indicato come al quadrato (un
numero alla seconda rappresenta l’area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l’esponente
3 come al cubo (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel
valore).
Esempi
32 = 3 x 3 = 9
23= 2 x 2 x 2 = 8
(𝟏
𝟐)𝟑
=𝟏
𝟐 ×
𝟏
𝟐 ×
𝟏
𝟐 =
𝟏
𝟖
Proprietà delle potenze
Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente
uguale alla somma degli esponenti. 32 x 33 = 35
Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente
uguale alla differenza degli esponenti. 35 : 32 = 33
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto
degli esponenti. (32)3 = 36
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Potenza ad esponente intero
In matematica la potenza è un'operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti
rispettivamente base ed esponente - il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a:
𝒂𝒏 : = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙∙∙ 𝒂⏟ 𝒏 𝐯𝐨𝐥𝐭𝐞
Le potenze scritte nella forma an si leggono come elevato alla n o più semplicemente alla n.
L’esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.
Alcuni esponenti hanno un loro nome. L’esponente due è spesso indicato come al quadrato (un
numero alla seconda rappresenta l’area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l’esponente
3 come al cubo (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel
valore).
Esempi
32 = 3 x 3 = 9
23= 2 x 2 x 2 = 8
(𝟏
𝟐)𝟑
=𝟏
𝟐 ×
𝟏
𝟐 ×
𝟏
𝟐 =
𝟏
𝟖
Detto questo ci chiediamo:
a) quanto vale la potenza (-4)2?
Per eseguire il calcolo della potenza (-4)2 occorre fare il prodotto:
(−𝟒) ∙ (−𝟒) = +𝟏𝟔
Ricorda che:
- ∙ - = + (meno per meno = più)
+ ∙ + = + (più per più = più)
- ∙ + = - (meno per più = meno)
+ ∙ - = - (più per meno = meno)
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b) quanto vale la potenza 3-2?
Ricorda che la potenza ad esponente negativo è uguale ad una frazione che ha per numeratore
l'unità e per denominatore la potenza della stessa base con esponente positivo, cioè:
𝟑−𝟐 = 𝟏
(𝟑)𝟐
c) quanto vale la potenza -3-2?
−𝟑−𝟐 = 𝟏
(−𝟑)𝟐
In generale: 𝐚−𝐧 = 𝟏
(𝐚)𝐧
Proprietà delle potenze
Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente
uguale alla somma degli esponenti.
𝟐𝟑 × 𝟐𝟐 = 𝟐𝟑+𝟐 = 𝟐𝟓
Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente
uguale alla differenza degli esponenti.
𝟐𝟑 ∶ 𝟐𝟐 = 𝟐𝟑−𝟐 = 𝟐𝟏
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto
degli esponenti.
(𝟐𝟑)𝟒 = 𝟐𝟏𝟐
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Potenze positive e negative del ‘10’
Di seguito vengono riportate alcune potenze positive con base ‘10’ ed esponente maggiore di zero:
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
106 = 1 000 000
109 = 1 000 000 000
1020 = 100 000 000 000 000 000 000
Oltre alle potenze positive, si possono usare le potenze negative: 10-n è uguale a 1/10n e in decimali
si può esprimere con uno 0 seguito dalla virgola, da n-1 zeri e da un 1:
10-1 = 1/10 = 0,1
10-2 = 1/100 = 0,01
10-3 = 1/1000 = 0,001
10-4 = 1/10000 = 0,0001
10-5 = 1/100000 = 0,00001
10-6 = 1/1000000 = 0,000001
10-7 = 1/10000000 = 0,0000001
10-8 = 1/100000000 = 0,00000001
10-9 = 1/1000000000 = 0,000000001
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Tabella euro
Nella figura a lato è riportato un esempio di tabella; in essa
viene riportato il peso per ogni moneta.
Ad esempio si può leggere alla ‘7’ riga che la moneta da 1
euro ha il peso di 7,5 g.
Una tabella è formata da una griglia di righe e colonne che intersecandosi individuano tante celle.
cella
riga
La tabella in figura è composta da 4 righe e 5 colonne; quindi se si vuole individuare la posizione
dove c’è la scritta in rosso ‘cella’ bisogna indicare la prima riga e la 5 colonna.
Moneta Peso
1 centesimo 2,3 g
2 centesimi 3,06 g
5 centesimi 3,92 g
10 centesimi 4,19 g
20 centesimi 5,74 g
50 centesimi 7,8 g
1 euro 7,5 g
2 euro 8,5 g
colonna
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Unità di misura del peso
Il chilogrammo o kilogrammo (simbolo: kg) è l'unità di misura di base della massa nel Sistema
internazionale di unità di misura (SI). Esso è definito come la massa del prototipo internazionale del
kilogrammo.
Un Kg corrisponde a:
• 0,001 T - tonnellate
• 0,01 Q - quintali
• 0,1 Mg - miriagrammi
• 10 hg - ettogrammi
• 100 dag - decagrammi
• 1000 g - grammi
• 10000 dg - decigrammi
• 100000 cg - centigrammi
• 1000000 mg - milligrammi
Relazioni con il grammo
• T – tonnellata = 1.000.000 g
• Q – quintale = 100.000 g
• Mg – miriagrammo = 10.000 g
• kg – chilogrammo = 1.000 g
• hg – ettogrammo = 100 g
• dag – decagrammo = 10 g
• g – grammo
• dg – decigrammo = 0,1 g
• cg – centigrammo = 0.01 g
• mg – milligrammo = 0,001 g
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Espressioni letterali
Un’espressione letterale è un’espressione algebrica dove compaiono numeri e lettere; ad esempio
a + b + c + d ; 3a - 5b2 + 7c ; 4𝑥+3𝑦
3
assegnando alle lettere dei valori numerici le espressioni letterali diventano numeriche.
Esempio 1
5ab + 2c per a= 3 ; b = - 4 , c = 2 si ha:
5 ∙ 3 ∙ (−4) + 2 ∙ 2 = −60 + 4 = −56
Esempio 2
((𝒂 + 𝒃) ∙ 𝒄
𝒃) +
𝒂 ∙ 𝒃
𝒄
per a = 1 ; b= 2 ; c= 4
((𝟏 + 𝟐) ∙ 𝟒
𝟐) +
𝟏 ∙ 𝟐
𝟒= (
𝟏𝟐
𝟐) +
𝟐
𝟒= 𝟔 +
𝟏
𝟐= 𝟏𝟑
𝟐
Esempio 3
𝟑𝒙
𝟐+ 𝟐𝒚 − 𝟏𝟐 per x = 4 ; y = 4
𝟑 ∙ 𝟒
𝟐+ 𝟐 ∙ 𝟒 − 𝟏𝟐 =
𝟖
𝟐+ 𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟒 + 𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟎
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Operazioni con le percentuali
Esempio 1
Quanti euro hai se vinci il 25% di un premio di 100 euro?
x = 100 ∙ 25
100 = 25 euro
Esempio 2
25 euro che percentuale rappresenta del premio di 100 euro?
100 ∙ x = 25
x =25
100= 25%
Esempio 3
25 euro rappresenta il 25% del premio. A quanto ammonta il premio?
x ∙ 25
100 = 25
x = 25 ∙ 100
25= 100 euro
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Prodotti notevoli
Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo
termine, più il doppio prodotto del primo per il secondo,
più il quadrato del secondo termine.
(Nel caso del segno meno il doppio prodotto è negativo)
Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine,
più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo,
più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo,
più il cubo del secondo termine.
(Nel caso del segno meno vanno alternati i segni)
Differenza di due quadrati
Differenza di due cubi
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2ab + 𝑏2
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 - 2ab + 𝑏2
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2b + 3𝑎𝑏2+ 𝑏3
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 - 3𝑎2b + 3𝑎𝑏2- 𝑏3
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 - 𝑏2
(𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + ab + 𝑏2) = 𝑎3 - 𝑏3
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Calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.)
Consideriamo due numeri, per esempio 6 e 8. Scriviamo per entrambi i multipli, avremo:
per i multipli di 6
6, 12 , 18, 24, 30 ,36 , 42, 48 ………….
per i multipli di 8
8, 16, 24, 32, 40, 48,………………..
possiamo osservare che le due serie hanno i seguenti numeri in comune:
24, 48 sono multipli per entrambi i numeri
il più piccolo di essi prende il nome di minimo comune multiplo (m.c.m), cioè 24
quindi 24 è il m.c.m. tra 6 e 8 ; si scrive: m.c.m. (6,8) = 24
Vediamo un altro esempio
Trovare il m.c.m tra: 5 e 20
multipli di 5: 5,10,15,20,25,30,35,40,45,60,75,90………..
multipli di 20: 20,40,60,80,100,120…………………..
20, 40, 60 sono multipli di entrambi
per trovare il minimo comune multiplo bisogna prendere il più piccolo tra essi, cioè 20;
si può scrivere m.c.m. (5,20) = 20
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Calcolo dell’area di una figura geometrica col metodo della
quadrettatura
Per determinare l’area di una figura geometrica col contorno irregolare come quella riportata nella
figura non possiamo utilizzare le formule abituali. Si può utilizzare il metodo della quadrettatura;
questo metodo ci permette di conoscere l’area con una buona approssimazione e che migliora
quanto più piccoli sono i quadretti.
Supponiamo di voler calcolare l’area della superficie racchiusa dalla curva. Possiamo agire nel
seguente modo:
1) Disegniamo un poligono quadrettato che sia sempre esterno alla curva e contiamo quanti
quadretti contiene (in pratica l’area del poligono esterno alla curva)
2) Disegniamo poi un poligono quadrettato interno alla curva e contiamo quanti quadretti contiene
(in pratica l’area del poligono interno alla curva)
L’area racchiusa dalla curva è intermedia alle aree dei due poligoni pertanto il suo valore
approssimato si può calcolare facendo la media aritmetica delle due aree, cioè:
𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒓𝒂𝒄𝒄𝒉𝒊𝒖𝒔𝒂 = 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐 + 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐
𝟐
È evidente che quanto più saremo precisi nel tracciare i due poligoni in maniera adiacente alla curva tanto più il risultato risulterà meglio approssimato.
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Formule per il quadrato
Il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati uguali e quattro angoli
uguali (tutti retti).
Le diagonali di un quadrato sono uguali e perpendicolari;
si intersecano nel loro punto di mezzo e misurano
𝐝 = 𝐥 ∙ √𝟐
Formule
Legenda: 2p = perimetro; L = lato; A = area; d = diagonale
Perimetro del quadrato > 2p = 4L
Lato > L = 2p
A
Area del quadrato > A = L2
Lato > L = √A
Area del quadrato > A = d2
2
Diagonale > d = √2A
Lato > L = d
√2
Diagonale > d = L√2
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Come si calcola la circonferenza
Esempio
Si vuole delimitare un’area a forma di cerchio con una corda. Il raggio del cerchio deve essere pari
a 10 m. Quanto deve essere lunga la corda per costruire il cerchio?
La lunghezza della corda è pari alla circonferenza, quindi basta utilizzare la formula per il suo
calcolo:
𝐂 = 𝟐 ∙ 𝛑 ∙ 𝐫 = 𝟐 ∙ 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟏𝟎 = 𝟔𝟐, 𝟖 𝐦
Ricorda
Il cerchio è una figura geometrica costituita da tutti i punti equidistanti (stessa distanza) da un
punto ‘o’ detto centro. Il luogo geometrico
costituito da tutti questi punti viene detto
‘Circonferenza’. La distanza dal centro ‘o’ ad
uno di questi punti viene detto ‘raggio’. Il
doppio del raggio viene detto ‘diametro’.
Formule
La circonferenza si calcola: C = 2 ∙ π ∙ r = π ∙ d (r=raggio; d=diametro)
L’area si calcola: A = π ∙ r2
cerchio
circonferenza
centro
raggio
O
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Equazione
Ogni equazione del tipo:
ax + b = 0 (con a diverso da zero)
si dice equazione di primo grado in una incognita.
Risolvere un’equazione significa trovare quel valore di ‘x’ che soddisfi l’equazione data.
Un’equazione di primo grado ammette sempre una ed una sola soluzione.
Esempi
a) 3x + 3 = 0
3x = -3
𝑥 = −3
3= −1
b) 2x -4x + 3 + 1 = 0
-2x = - 3 – 1
-2x = -4
𝑥 = −4
−2= +2
Verifica dell’equazione
Per controllare se la soluzione trovata è esatta si può sostituire ad ‘x’ la soluzione trovata e verificare
che i due membri abbiano lo stesso valore; verifichiamo l’equazione dell’esempio b):
-2(+2) = -4 -4 = -4
Esercizio
Prova a risolvere la seguente equazione:
6x – 6 = 2x +4
[Ris. 𝑥 =5
2 ]
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Sistema di numerazione a base 10
Il nostro sistema di numerazione si dice posizionale in quanto il valore di un simbolo dipende dalla
posizione che esso occupa nella scrittura del numero. I simboli usati (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) vengono
detti cifre.
Esempio. Nel numero 2 6 9 5 le cifre sono 2, 6, 9, 5
Nella scrittura di un numero decimale si distinguono due parti: la parte intera, che è quella prima
della virgola e la parte decimale che è quella dopo la virgola. Per quanto detto precedentemente
ogni cifra ha un valore che dipende dalla posizione che essa occupa nel numero stesso. Questo
valore si chiama valore posizionale della cifra.
Spostandosi da destra verso sinistra, il valore posizionale delle cifre aumenta di 10 volte per ogni
posto.
Esempi
1 decina = 10 unità
1 centinaia = 10 decine = 100 unità
1 migliaia = 100 decine = 1000 unità
Esercizio Scomponi il numero 34,567
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Risolvere una disequazione
Una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni che contengono delle
incognite.
Esempio
3(𝑥 − 1) − 2 < 5𝑥 + 1
3𝑥 − 3 – 2 < 5𝑥 + 1
3𝑥 − 5𝑥 < 3 + 2 + 1
−2𝑥 < 6
Moltiplichiamo per (-1) per cambiare i segni ricordando che bisogna anche cambiare verso alla
disuguaglianza
2𝑥 > − 6
𝑥 > − 6
2
𝑥 > − 3
Significa che la disuguaglianza è verificata per tutti i valori della x maggiori di -3 (x > -3) come
riportato anche nel grafico
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Risolvere una disequazione di primo grado ad una incognita
x - 12 ≥ 6x – 2 (portiamo tutte le ‘x’ da una parte ed i numeri dall’altra, avremo)
x - 6x ≥ 12 – 2 (eseguiamo le operazioni)
-5x ≥ 10 (dividiamo entrambi per -2 e cambiamo verso alla disequazione)
x ≤ -5
quindi la soluzione è l’insieme delle x minori di -5, cioè (-∞,−5]
oppure graficamente:
(con il cerchietto si indica che è compreso anche il valore -5)
Quindi ricorda che:
• Una disequazione si dice di primo grado se l’esponente dell’incognita ‘x’ è pari ad 1.
Esempio
x - 12 ≥ 6x - 2 è una disequazione di primo grado ad una incognita
Per risolverla si applicano le stesse regole utilizzate per risolvere un’equazione di primo grado ad
una incognita con una sola ed importante differenza: se si moltiplica o si divide per un numero
negativo si deve cambiare verso alla diseguaglianza, cioè ≥ diventa ≤ e viceversa.
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Disequazioni di II grado
Di seguito puoi consultare delle comode tabelle di riepilogo per l’individuazione delle soluzioni delle
disequazioni di secondo grado(puoi ritagliarle o fotocopiarle per inserirle nei tuoi appunti):
• ax2 + bx + c > 0
• ax2+ bx + c ≥ 0
• ax2 + bx + c < 0
• ax2 + bx + c ≤ 0
in funzione del valore del delta (Δ = b2 - 4ac) e del coefficiente del termine di secondo grado (a).
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Nota bene
Se hai bisogno di una veloce rinfrescata sulle disequazioni di II grado consulta questo materiale al
link:
http://www.raiscuola.rai.it/lezione/le-disequazioni-di-secondo-grado/1713/default.aspx
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Implicazioni logiche tra proposizioni
La congiunzione logica (simbolo che si legge e) è un connettivo logico attraverso il quale, a partire
da due proposizioni A e B, si forma una nuova proposizione chiamata:
congiunzione di A e B che si indica con la
quale è vera soltanto nel caso in cui A e B siano
entrambe vere, mentre è falsa in tutti gli altri casi
possibili.
V = VERA ; F = FALSA
La disgiunzione inclusiva o disgiunzione logica
(simbolo V, che si legge ‘o’), è un connettivo logico
attraverso il quale, a partire da due proposizioni A e B,
si forma una nuova proposizione A V B chiamata A o B
la quale è vera solo nel caso in cui almeno una delle
due proposizioni da cui è formata A e B è vera mentre è falsa quando tutte e due sono false.
V = VERA ; F = FALSA
La negazione
Data una proposizione ‘p’ la sua negazione ‘¬p’ (si legge non p) è la proposizione ‘p’ che è vera
quando ‘p’ è falsa e viceversa:
Esempio
P “ tutti i gatti sono neri“
‘¬p “c’è almeno un gatto non nero” (è corretta)
Nessun gatto è nero (non corretta)
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
p q p ^ q
V V V
V F V
F V V
F F F
p ¬p
V F
F V
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Come risolvere i problemi matematici
Per risolvere un problema matematico bisogna procedere in un ordine ben preciso:
1. Prima di tutto devi Leggere Attentamente Il Testo per capire di cosa si sta parlando.
2. Dopo la lettura del testo devi Riconoscere La/E Domanda/E e cosa ti viene richiesto.
3. Devi Cercare Informazioni Utili E Dati Indispensabili per arrivare alla soluzione del
problema.
4. Devi riflettere per Scegliere Le Operazioni adeguate E Fare I Calcoli Correttamente.
5. Devi rileggere la domanda e Formulare La Risposta Completa E Adatta Alla Situazione.
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Sistema sessagesimale
Il sistema con cui si esprime la misura del tempo (e quella degli angoli) è quello sessagesimale (a
base 60), cioè:
1 h = 60 min; 1 min = 60 sec
Conversione da sistema sessagesimale a sistema decimale
Consideriamo il seguente esempio:
3 : 15 : 45 (3 h 15 min 45 sec)
• Le ore rimangono uguali.
• I minuti (15) li dividiamo per 60 ottenendo 0,25 (15 minuti sono 25/100 di ora, di 60 minuti)
• I secondi (45) li dividiamo per 3600 e otteniamo 0,0125 [45 sec sono 125/10.000 di ora, di
3600 sec]
Sommiamo le tre quantità e otteniamo il valore decimale:
3 + 0,25 + 0,0125 =3,2625 h.
Conversione da sistema decimale a sessagesimale
Consideriamo il valore ottenuto precedentemente nel nostro esempio: 3,2625 h
• Il valore intero, 3, è quello in ore.
• La parte decimale 0,2625, la moltiplichiamo per 60 ottenendo 15,75; Il valore intero 15,
rappresenta i minuti.
• La parte decimale 0,75, la moltiplichiamo per 60 ottenendo 45 secondi
quindi in definitiva si avrà:
3 h 15 min 45 sec
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Numeri 45
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Proporzioni
Abbiamo una proporzione quando tra quattro numeri il rapporto tra i primi due numeri è uguale al
rapporto tra gli ultimi due numeri. Una proporzione è pertanto un’uguaglianza tra due rapporti
formati con quattro numeri che prendono il nome di termini della proporzione:
a
b=
c
d
che si può anche scrivere come: a : b = c : d (si legge: a sta a b come c sta a d) Il primo ed il quarto termine (a e d) si dicono estremi, mentre il secondo ed il terzo termine si dicono
medi.
Esempio 1
36 : 4 = 𝑦 : 8
La 𝑦 = 36 × 8
4 (un medio è uguale al prodotto tra gli estremi diviso l’altro medio)
Esempio 2
36 : 4 = 72 ∶ 𝑦
La y = 4 × 72
36 (un estremo è uguale al prodotto tra i medi diviso l’altro estremo)
Grandezze direttamente ed inversamente proporzionali
Due grandezze variabili si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando la prima
anche l’altra raddoppia, triplica.
Due grandezze variabili si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando la prima
l’altra si dimezza, si riduce a un terzo.
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Numeri 46
Scuola secondaria di II grado
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Un gioco per allenarti a confrontare le frazioni
A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare il gioco che vedi in figura. Fai ‘click’
sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e allenati a confrontare le frazioni.
Buon divertimento.
http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2010/12/11/confronta-le-frazioni-giocando/
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Numeri 47
Scuola secondaria di II grado
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Un gioco con percentuali e frazioni
A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare il “gioco” che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e abbina le percentuali, le frazioni e le immagini se vuoi battere l’hacker. Il malvagio hacker * occorre attivare il plug-in Flash ** per utilizzare il gioco su tablet android basta utilizzare un ottimo browser (navigatore) che supporta la visualizzazione di Flash: Puffin.
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Numeri 48
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Un gioco per allenarti a ordinare i numeri
A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare il gioco che vedi in figura. Fai ‘click’
sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e allenati a inserire i numeri al loro posto.
Buon divertimento.
http://lnx.sinapsi.org/geometria/flash/retta_numerica.swf
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Numeri 49
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Un’applicazione per allenarti con i diagrammi di Venn
A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare l’applicazione che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e allenati a riconoscere le
rappresentazioni degli insiemi proposti con i diagrammi di Venn.
Buon divertimento.
http://lnx.sinapsi.org/wordpress/tag/eulero/
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Colpisci il bersaglio
A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare il “gioco” che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e allenati a colpire il bersaglio:
Colpisci il bersaglio e impara le coordinate cartesiane
* occorre attivare il plug-in Flash
** per utilizzare il gioco su tablet android basta utilizzare un ottimo browser (navigatore) che supporta la visualizzazione
di Flash: Puffin.
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Allenati con i criteri di divisibilità
A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare il “gioco” che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e allenati con i criteri di divisibilità.
https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2014/12/03/allenati-con-i-criteri-di-divisibilita/
* occorre attivare il plug-in Flash ** per utilizzare il gioco su tablet android basta utilizzare un ottimo browser (navigatore) che supporta la visualizzazione di Flash: Puffin.
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Numeri 52
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Gioca a collocare i numeri sulla retta
A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare il “gioco” che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e colloca i numeri sulla retta.
https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2015/04/23/colloca-il-numero-sulla-linea/
* occorre attivare il plug-in Flash ** per utilizzare il gioco su tablet android basta utilizzare un ottimo browser (navigatore) che supporta la visualizzazione di Flash: Puffin.
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Spazio e Figure
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Spazio e Figure 54
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Formule area e perimetro
Figura Quadrato Rettangolo Triangolo Trapezio
Area
A = l x l
oppure
A = l 2
A = b x h
A =
𝒃 × 𝒉
𝟐
A =
(𝑩+ 𝒃) × 𝒉
𝟐
Perimetr
o P = l x 4
P = 2b + 2h
oppure
P = 2 x (b + h)
P = b + c + d P = B + b + c + d
l
l
b
h
b
a c h
h
b
c
B
a
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 55
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Poligoni regolari
Un poligono regolare è un poligono cha ha i lati e gli angoli uguali. Per esempio sono poligoni
regolari:
• il triangolo equilatero
• il quadrato
• il pentagono regolare
• l’ esagono regolare
• l’ ettagono regolare
• l’ ottagono regolare
• etc.
I centri dei cerchi delle circonferenze inscritte e circoscritte di ogni poligono regolare coincidono.
L’apotema di un poligono regolare è il raggio del cerchio inscritto.
In un poligono regolare, se dividiamo l’ apotema per un lato otteniamo un numero, detto numero
fisso. L’area invece si calcola moltiplicando il perimetro per l’apotema e dividendo per due, oppure
moltiplicando il quadrato del lato per un fattore che dipende dal numero di lati.
Il dodecagono
In geometria, un dodecagono è un poligono con 12 lati e 12 angoli. In
un dodecagono regolare tutti i lati hanno lunghezza uguale e tutti gli
angoli sono di 150°.
Numero fisso = 1,866
Area = (p x a)/2
oppure
Area = l2 x 11.196
AP
OTE
MA
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Spazio e Figure 56
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Solidi ottenuti per rotazione
I solidi ottenuti per rotazione si ottengono dalla rotazione di una figura piana intorno ad una retta
(asse di rotazione).
Esempi
Cilindro
Il cilindro è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo
intorno ad un suo lato.
Cono
Il cono è un solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo intorno ad
un suo cateto.
Sfera
La sfera è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un
semicerchio attorno al proprio diametro.
Il raggio e il centro del semicerchio sono il raggio e il centro della sfera.
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 57
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Teorema di Pitagora
Il teorema di Pitagora stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo.
Enunciato
In un triangolo rettangolo, l'area del
quadrato costruito sull'ipotenusa è
equivalente alla somma delle aree dei
quadrati costruiti sui due cateti.
Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi
cateti, il teorema è espresso dall'equazione:
a2 + b2 = c2 o, in alternativa, risolvendolo per c:
√𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄 Da cui si ricavano i rispettivi cateti:
√𝒄𝟐 − 𝒃𝟐 = 𝒂 e
√𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 = 𝒃
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Spazio e Figure 58
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Angoli al centro e alla circonferenza
Per comprendere quale relazione ci sia tra gli angoli al centro e alla circonferenza occorre ricordare
il seguente Teorema:
In ogni circonferenza l'angolo al centro è doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo
stesso arco.
Ipotesi
A��B = angolo al centro
A��B = angolo alla circonferenza (insiste sullo stesso arco 𝐴𝐵)
Tesi
A��B = 2 A��B
Dimostrazione
Tracciamo il diametro COD e poi cominciamo col dimostrare che DOB =
2DCB osservando che:
• il triangolo OBC è isoscele poiché OB ed OC sono uguali in quanto
raggi della circonferenza e quindi i due angoli OCB ed OBC sono
uguali
• l’angolo DOB è un angolo esterno rispetto al triangolo OCB ed è
pari a 2 OCB, infatti:
DOB = 180 - COB = 180 – (180 - 2 OCB) = 2 OCB
quindi:
DOB = 2 OCB = 2DCB come volevasi dimostrare.
ora per dimostrare che DOA= 2DCA si agisce come prima (puoi provarlo
a fare tu).
Concludendo allora si ha che:
A��B = 2 D��B + 2D��A = 2(D��B + D��A) = 2 A��B
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Spazio e Figure 59
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Sviluppo di un parallelepipedo rettangolo e di un cubo
Osserva lo sviluppo di un parallelepipedo rettangolo.
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Spazio e Figure 60
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Sviluppo del cubo
Osserva lo sviluppo di un cubo.
4
3
1
2
5
6
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Spazio e Figure 61
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Calcolo dell’area di una figura geometrica col metodo della
quadrettatura
Per determinare l’area di una figura geometrica col contorno irregolare come quella riportata nella
figura non possiamo utilizzare le formule abituali. Si può utilizzare il metodo della quadrettatura;
questo metodo ci permette di conoscere l’area con una buona approssimazione e che migliora
quanto più piccoli sono i quadretti.
Supponiamo di voler calcolare l’area della superficie racchiusa dalla curva. Possiamo agire nel
seguente modo:
1) Disegniamo un poligono quadrettato che sia sempre esterno alla curva e contiamo quanti
quadretti contiene (in pratica l’area del poligono esterno alla curva)
2) Disegniamo poi un poligono quadrettato interno alla curva e contiamo quanti quadretti contiene
(in pratica l’area del poligono interno alla curva)
L’area racchiusa dalla curva è intermedia alle aree dei due poligoni pertanto il suo valore
approssimato si può calcolare facendo la media aritmetica delle due aree, cioè:
𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒓𝒂𝒄𝒄𝒉𝒊𝒖𝒔𝒂 = 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐 + 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐
𝟐
È evidente che quanto più saremo precisi nel tracciare i due poligoni in maniera adiacente alla curva
tanto più il risultato risulterà meglio approssimato.
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 62
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Calcolare l’area del cubo
In geometria il cubo è un solido che presenta 6 facce quadrate, 8 vertici
e 12 spigoli; in ogni vertice si incontrano tre spigoli i quali sono ortogonali
due a due; in ogni vertice si intersecano anche tre facce le quali sono a
due a due ortogonali.
A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare l’attività che vedi in figura. Si
tratta di una calcolatrice di aree di poligoni. Nella figura abbiamo congelato la situazione che
propone il calcolo dell’area di un cubo con spigolo pari a: 5 m
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e prova a verificare tu stesso con lo strumento
interattivo quanto viene mostrato in figura.
http://www.calcoloarea.it/calcolo-area-cubo.htm
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 63
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Teorema sui triangoli
Teorema - In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.
Ipotesi: supponiamo sia assegnato il triangolo ABC (quello in rosso)
Tesi: dimostriamo che il lato AB è minore della somma degli altri due lati AC e CB.
Dimostrazione: prolunghiamo il lato AC con un segmento CD uguale a CB; poi congiungiamo il punto
B con il punto D; si ottiene il triangolo isoscele CDB (CB=CD); gli angoli alla base in un triangolo
isoscele sono uguali quindi α = γ.
Inoltre α è minore di β perché è una parte dell’angolo β quindi anche γ che è uguale ad α è minore
di β.
Osservato questo si può dedurre quindi che nel triangolo ABD il lato AB opposto all’angolo minore
γ è minore dell’angolo AD, cioè AB<AD; ma AD = AC + CD e poiché CB=CD possiamo scrivere che: AD
= AC + CB quindi AB < AC + CB.
D
B
A C
β α
γ
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 64
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Criteri di similitudine
Primo criterio di similitudine
Due triangoli sono simili quando gli angoli corrispondenti sono congruenti
Secondo criterio di similitudine
Due triangoli sono simili quando hanno due lati in proporzione e, l’angolo fra essi compreso, è
congruente.
Terzo criterio di similitudine
Due triangoli sono simili quando tutti e tre i lati sono in proporzione.
E-BOOK01
INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 65
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Asse di simmetria
Simmetria rispetto all’asse x
Consideriamo l’asse x (y = 0) come asse di simmetria. Il simmetrico di A(x,y) rispetto all’asse delle x
è il punto B(x’, y’)
osserviamo dunque che: l’ascissa di B è uguale a quella di A,
l’ordinata di B è uguale all’ordinata di A cambiata di segno.
Le equazioni della simmetria rispetto all’asse x sono quindi:
x’ = x y ’ = - y
Es. A(3, 2) simmetrico B(3, -2)
Simmetria rispetto all’asse y
Consideriamo l’asse y (x = 0) come asse di simmetria. Il simmetrico di A(x, y) rispetto all’asse delle
x è il punto B(x’, y’)
osserviamo dunque che: l’ascissa di B è uguale a
quella di A cambiata di segno, l’ordinata di B è uguale
all’ordinata di A.
Le equazioni della simmetria rispetto all’asse y sono
quindi:
x’ = - x y’ = y
Es. A(3,2) simmetrico B(-3, 2)
E-BOOK01
INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 66
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Simmetria rispetto ad un punto qualsiasi
Si calcolano le coordinate del punto medio come di seguito:
{𝒙𝒄 =
𝒙 + 𝒙′
𝟐
𝒚𝒄 = 𝒚 + 𝒚′
𝟐
−→ {𝟐𝒙𝒄 = 𝒙 + 𝒙′
𝟐𝒚𝒄 = 𝒚 + 𝒚′
Dal sistema si ricavano le equazioni di simmetria rispetto ad un punto qualsiasi:
{𝒙′ = 𝟐𝒙𝒄 − 𝒙𝒚′ = 𝟐𝒚𝒄 − 𝒚
E-BOOK01
INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 67
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Assi di simmetria
Di seguito alcuni esempi di assi di simmetria nei poligoni regolari.
• Il triangolo equilatero ha tre assi di simmetria
• Il quadrato ha quattro assi di simmetria
• Il pentagono ha cinque assi di simmetria
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 68
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Classificazione dei triangoli in base al numero di assi di simmetria
Considera il triangolo isoscele ABC riportato in figura e osserva che possiede un solo asse di
simmetria (puoi capirlo se ritagli il triangolo e poi lo pieghi lungo l’asse CK; le due parti sono
uguali).
Nota la misura del segmento AB, spostiamo ‘C’ fintanto che il
triangolo ABC risulti equilatero.
Puoi ora osservare che ci sono tre assi di simmetria.
Concludendo, si possono classificare i triangoli in base al numero di assi di simmetria che
possiedono:
• zero assi di simmetria per il triangolo scaleno
• un asse di simmetria per il triangolo isoscele
• tre assi di simmetria per il triangolo equilatero.
E-BOOK01
INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 69
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Quadrilateri
Il quadrilatero è un poligono con quattro lati.
Tutti i quadrilateri hanno quattro vertici e quattro angoli interni; la somma delle ampiezze degli
angoli interni di ogni quadrilatero è uguale a 360°.
I vari tipi di quadrilateri sono:
Quadrato: esso è una figura con tutti i lati e gli angoli congruenti, cioè uguali. Perimetro= lato x 4
Rettangolo: è una figura con tutti gli angoli uguali, cioè retti (90°) e con i lati opposti paralleli e
uguali. Ogni angolo è composto da due rette perpendicolari.
Perimetro= (primo-lato x 2) + (secondo-lato x 2)
Trapezio: figura con due lati opposti paralleli e le diagonali dividono in due parti congruenti ogni
singolo angolo. Esso può essere di 3 tipi diversi:
• Trapezio Rettangolo: possiede due angoli retti.
Perimetro = primo-lato+ secondo-lato + terzo-lato + quarto-lato
• Trapezio Isoscele: ha due lati uguali.
Perimetro=(lati-uguali x 2)+ terzo-lato + quarto-lato
• Trapezio Scaleno: ha tutti gli angoli e i lati diversi.
Perimetro = primo-lato+ secondo-lato + terzo-lato + quarto-lato
Rombo: ha tutti i lati uguali e gli angoli due a due uguali, in più ha una diagonale maggiore e una
minore.
Perimetro= lato x 4
Parallelogramma: ha i lati opposti e uguali a due a due, gli angoli adiacenti sommati formano un
angolo di 180°.
Perimetro= (primo-lato x 2) + (secondo-lato x 2)
E-BOOK01
INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 70
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Quadrato e sviluppo del cubo
Il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati
uguali e quattro angoli uguali (tutti retti).
Le diagonali di un quadrato sono uguali e perpendicolari;
si intersecano nel loro punto di mezzo e misurano
𝒅 = 𝒍 ∙ √𝟐
Sviluppo del cubo
4
3
1
2
5
6
E-BOOK01
INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 71
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Formule per il quadrato
Il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati
uguali e quattro angoli uguali (tutti retti).
Le diagonali di un quadrato sono uguali e perpendicolari;
si intersecano nel loro punto di mezzo e misurano
𝒅 = 𝒍 ∙ √𝟐 Formule
Legenda: 2p = perimetro; L = lato; A = area; d = diagonale
Perimetro del quadrato > 2p = 4L
Lato > L = 2p
A
Area del quadrato > A = L2
Lato > L = √A
Area del quadrato > A = d2
2
Diagonale > d = √2A
Lato > L = d
√2
Diagonale > d = L√2
E-BOOK01
INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 72
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Rettangolo
Il rettangolo è un particolare quadrilatero.
I quadrilateri hanno quattro vertici e quattro angoli interni la cui somma
è pari a 360°. Tra i quadrilateri abbiamo i parallelogrammi che hanno la
caratteristica di avere i due lati paralleli uguali e gli angoli opposti uguali.
Il rettangolo è un particolare parallelogrammo con i due lati opposti
paralleli e congruenti (uguali) e con tutti gli angoli interni congruenti
(uguali) e retti, cioè di 90° gradi.
Detta ‘b’ la base ed ‘h’ l’altezza, l’area ‘A’ si calcola con:
𝐀 = 𝐛 × 𝐡
Indicando con ‘P’ la misura del perimetro, possiamo scrivere:
𝐏 = 𝟐𝐛 + 𝟐𝐡
E-BOOK01
INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 73
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Formule per il cubo
Il cubo o esaedro regolare presenta 6 facce quadrate, 8 vertici e 12 spigoli; in ogni vertice si
incontrano tre spigoli i quali sono ortogonali due a due; in ogni vertice si intersecano anche tre facce
le quali sono a due a due ortogonali.
Il cubo è un parallelepipedo rettangolo regolare.
Legenda:
SL = Superficie laterale, ST = Superficie totale, l = Spigolo, d = Diagonale, V = Volume
𝑺𝑳 = 𝟒𝒍𝟐;
𝑺𝑻 = 𝟔𝒍𝟐;
𝑽 = 𝒍𝟑;
𝒅 = 𝒍 ∙ √𝟑;
𝒍 = √𝑺𝑻
𝟔 v √𝑽
𝟑 v
√𝑺𝑳𝟒
E-BOOK01
INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 74
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Volume del cubo
Il volume del cubo si calcola elevando al "cubo" (alla terza) la lunghezza del lato di uno qualsiasi dei
quadrati che formano le facciate.
Cioè: "lato x lato x lato"
La formula: V = l³
Formule
Legenda: SL = Superficie laterale, ST = Superficie totale
l = Spigolo, d = Diagonale, V = Volume
E-BOOK01
INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 75
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Formule per il parallelepipedo rettangolo
Fonte: http://www.youmath.it/formulari/formulari-di-geometria-solida/477-parallelepipedo-rettangolo.html
E-BOOK01
INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 76
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Proporzioni
Abbiamo una proporzione quando tra quattro numeri il rapporto tra i primi due numeri è uguale al
rapporto tra gli ultimi due numeri. Una proporzione è pertanto un’uguaglianza tra due rapporti
formati con quattro numeri che prendono il nome di termini della proporzione:
a
b=
c
d
che si può anche scrivere come: a : b = c : d (si legge: a sta a b come c sta a d) Il primo ed il quarto termine (a e d) si dicono estremi, mentre il secondo ed il terzo termine si dicono
medi.
Esempio 1
36 : 4 = 𝑦 : 8
La 𝑦 = 36 × 8
4 (un medio è uguale al prodotto tra gli estremi diviso l’altro medio)
Esempio 2
36 : 4 = 72 ∶ 𝑦
La y = 4 × 72
36 (un estremo è uguale al prodotto tra i medi diviso l’altro estremo)
Grandezze direttamente ed inversamente proporzionali
Due grandezze variabili si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando la prima
anche l’altra raddoppia, triplica.
Due grandezze variabili si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando la prima
l’altra si dimezza, si riduce a un terzo.
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Spazio e Figure 77
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Calcolo del termine incognito di una proporzione
Esempio 1
36 : 4 = 𝑦 : 8
La 𝑦 = 36 × 8
4 (un medio è uguale al prodotto tra gli estremi diviso l’altro medio)
Esempio 2
36 : 4 = 72 ∶ 𝑦
La y = 4 × 72
36 (un estremo è uguale al prodotto tra i medi diviso l’altro estremo)
Ricorda Abbiamo una proporzione quando tra quattro numeri il rapporto tra i primi due numeri è uguale al rapporto tra gli ultimi due numeri. Una proporzione è pertanto un’uguaglianza tra due rapporti formati con quattro numeri che prendono il nome di termini della proporzione:
a
b=
c
d
che si può anche scrivere come: a : b = c : d ( si legge: a sta a b come c sta a d ) Il primo ed il quarto termine (a e d) si dicono estremi, mentre il secondo ed il terzo termine si dicono medi.
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 78
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Triangoli
Il triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli.
Un triangolo si dice ‘equilatero’ se ha tutti e tre i lati uguali
Un triangolo si dice ‘isoscele’ se ha due lati uguali
Un triangolo si dice ‘scaleno’ se ha i tre lati disuguali
Un triangolo si dice ‘ottusangolo’ se ha un angolo ottuso
Un triangolo si dice ‘acutangolo’ se ha tre angoli acuti
Un triangolo si dice ‘rettangolo’ se ha un angolo retto; i due lati
adiacenti all’angolo retto si chiamano ‘cateti’; il lato opposto
all’angolo retto si chiama ‘ipotenusa’.
Da ricordare: Per costruire un triangolo è necessario che ogni lato sia minore della somma degli
altri due.
E-BOOK01
INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 79
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Triangolo isoscele
Si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede almeno due lati uguali o un triangolo che
possiede almeno due angoli uguali. Infatti vale il seguente Teorema: Un triangolo ha due lati uguali
solo se ha due angoli uguali.
Gli angoli alla base del triangolo crescono al crescere dell’altezza.
Come in tutti i triangoli la somma delle ampiezze degli angoli vale
180 gradi.
Formule
𝑷 = 𝟐𝒂 + 𝒃
A = b∙ h
2
𝒉 = √𝒂𝟐 − (𝒃
𝟐)𝟐
(verificala con il teorema di Pitagora e ricorda che la base è divisa in due
dall’altezza)
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 80
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Triangolo rettangolo
Un triangolo si dice ‘rettangolo’ se ha un angolo retto.
I due lati adiacenti all’angolo retto si chiamano ‘cateti’; ‘b’
e ‘c’ sono i due cateti come puoi vedere in figura.
Il lato opposto all’angolo retto si chiama ‘ipotenusa’ ed è il
lato più lungo. Nella figura il lato ‘a’ rappresenta
l’ipotenusa.
Formule
𝐏 = 𝐚 + 𝐛 + 𝐜
𝐀𝐫𝐞𝐚 = 𝐛 ∙ 𝐜
𝐚
𝐚 = √𝐛𝟐 + 𝐜𝟐
𝐛 = √𝐚𝟐 − 𝐜𝟐
𝐜 = √𝐚𝟐 − 𝐛𝟐
Da ricordare
Per costruire un triangolo è necessario che ogni lato sia minore della somma degli altri due.
a b
c
𝜶 = 𝟗𝟎°
𝜶
Triangolo rettangolo
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 81
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Triangolo equilatero
Il triangolo equilatero è un poligono con tre lati e tre angoli. Un triangolo si dice ‘equilatero’ se ha
tutti e tre i lati uguali. I tre angoli sono tutti di 60°.
Formule del Triangolo Equilatero
A= area, b= base, l= lato, h= altezza, p= perimetro
Area = b x h / 2
Base = 2A / h
Altezza = 2A / b
Perimetro = b + l + l
Perimetro = 3l
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 82
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Cerchio
Il cerchio è una figura geometrica costituita
da tutti i punti equidistanti (stessa
distanza) da un punto ‘o’ detto centro. Il
luogo geometrico costituito da tutti questi
punti viene detto ‘Circonferenza’.
La distanza dal centro ‘o’ ad uno di questi
punti viene detto ‘raggio’. Il doppio del
raggio viene detto ‘diametro’.
Formule
La circonferenza si calcola:
𝑪 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 = 𝝅 𝒅 (r = raggio; d = diametro)
L’area del cerchio si calcola:
𝑨 = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐
Esercizio
Si vuole delimitare un’area a forma di cerchio con una corda. Il raggio del cerchio deve essere pari
a 10 m. Quanto deve essere lunga la corda per costruire il cerchio?
Sol. [La lunghezza della corda è pari alla circonferenza, quindi basta utilizzare la formula per il suo calcolo:
𝑪 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 = 𝟐 ∙ 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟏𝟎 = 𝟔𝟐, 𝟖 𝒎]
cerchio
circonferenza
centro
raggio
O
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 83
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Formule per il cilindro
Area Volume Formule inverse
Ab = π ∙ r2
Al = π ∙ 2r ∙ h
𝑨𝒕= 𝑨𝒍 + 𝟐𝑨𝒃
V = π ∙ r2∙ ∙ h
h = V
πr2
r = √V
πh
Ab : area di base
Al : area laterale
Ricorda che
Il cilindro è un solido generato dalla rotazione di un rettangolo intorno
ad un suo lato. Più precisamente si definisce cilindro il solido generato
dalla rotazione completa di un rettangolo intorno ad un suo lato (asse
del cilindro).
AB – altezza del cilindro intorno a cui ruota il rettangolo
CD - generatrice , una qualunque delle posizioni assunte dal lato CD
nella rotazione
ABCD – superficie laterale del cilindro; superficie descritta dalla
generatrice CD.
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 84
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Applet per il tronco di cono
A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare l’applet che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e osserva la costruzione del tronco di cono
per rotazione del trapezio rettangolo.
http://www.gobnf.com/formule/default.aspx?code=0010332LKBP1
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 85
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Grafico della retta
Da ricordare
L'equazione generale di una retta può essere scritta così: y = m x + q
• m rappresenta il coefficiente angolare della retta.
Ad ogni aumento di 1 unità per l'ascissa x, l'ordinata y varia di m unità.
• q rappresenta il valore dell'ordinata per un valore di x che vale 0.
Il valore q dell'ordinata fornisce il punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate.
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 86
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Un’applicazione per allenarti con la retta
A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare l’applicazione che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e osserva come variano i parametri
della retta.
Buon divertimento.
https://www.geogebra.org/m/KCvRQkZK
Ricorda
L'equazione generale di una retta può essere scritta così: y = m x + q
• m rappresenta il coefficiente angolare della retta.
Ad ogni aumento di 1 unità per l'ascissa x, l'ordinata y varia di m unità.
• q rappresenta il valore dell'ordinata per un valore di x che vale 0.
Il valore q dell'ordinata fornisce il punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate.
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 87
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Un’applicazione per disegnare una retta
A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare l’applicazione che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e osserva come disegnare una retta
indicando la sua equazione o le coordinate dei suoi punti.
Buon divertimento.
http://www.gpmeneghin.com/schede/analitica/retta.htm
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 88
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Specchio piano
Quando ci si guarda ad uno specchio si può facilmente osservare che la nostra immagine presenta
tre caratteristiche:
a. si presenta dritta
b. presenta con le nostre stesse dimensioni
c. si presenta dietro allo specchio con la stessa
distanza che noi abbiamo posti davanti allo
specchio
Come si può vedere dalla figura nell’immagine la destra e
la sinistra sono scambiate fra loro; ciò accade allo stesso modo per le scritte come per l’esempio
della scritta riportata nel quesito che guardata nello specchio retrovisore
diventa
Per comprendere il fenomeno osserviamo la figura accanto. Il raggio luminoso proveniente
dall’oggetto viene riflesso dallo specchio e colpisce il nostro occhio. Al nostro occhio appare come
se provenisse da dietro lo specchio in un punto apparente situato sul prolungamento dei raggi.
L’immagine formata dietro lo specchio prende il nome di immagine virtuale.
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 89
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Isometrie – Alcuni esempi
Simmetria centrale centro ‘O’ il segmento PP’ ha ‘O’ come punto medio P(x, y) -> P’(-x,-y) Simmetria assiale Asse a P’ si trova dalla parte opposta di P rispetto ad ‘a’ sulla retta passante per ‘P’ e perpendicolare ad ‘a’ P(x, y) -> P’(-x, y) Rotazione Centro ‘O’ Angolo α orientato OP’ = OP
POP′ = α
POP′ è orientato come α
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 90
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Rette parallele e perpendicolari
Rette parallele
Le due rette (r) ed (s) sono parallele in quanto non si intersecano in alcun punto. Esse formano, con
l'asse delle ascisse, due angoli uguali e pertanto devono avere lo stesso coefficiente angolare.
Nel grafico sono rappresentate le rette parallele
• r -> y = m1 x + q1
• s -> y = m2 x + q2
I loro coefficienti angolari quindi devono essere uguali m1=
m2
Ricorda allora che: due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.
Rette perpendicolari
Nel grafico sono rappresentate le due rette (r) ed (s)
perpendicolari tra loro in quanto intersecandosi formano
quattro angoli retti (90°)
• r -> y = m1 x
• s -> y = m2 x
I loro coefficienti angolari devono essere l’uno il reciproco dell’opposto dell’altro, cioè:
m1 = − 1
m2
Ricorda allora che: due rette sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari sono uno il
reciproco e opposto dell'altro.
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 91
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Angoli alterni interni
Due rette (r, s) tagliate da una trasversale danno origine ad 8 angoli.
Gli angoli a, d, g, f vengono detti ‘interni’
Gli angoli b, c, h, e vengono detti ‘esterni’
Gli angoli (a-f) e (d-g) vengono detti ‘coniugati interni’
Gli angoli (b-e) e (c-h) vengono detti ‘coniugati esterni’
Gli angoli (a-g) e (d-f) vengono detti ‘alterni interni’
Gli angoli (b-h) e (c-e) vengono detti ‘alterni esterni’
Gli angoli (b-f) , (c-g), (d-h), (a-e) vengono detti ‘corrispondenti’
Se le due rette (r, s) sono parallele si ha che gli angoli corrispondenti, gli angoli alterni interni e gli
angoli alterni esterni sono uguali, cioè:
• b=f; c=g; d=h; a=e
• a=g; d=f;
• b=h; c=e,
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Spazio e Figure 92
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Teorema dell'angolo esterno
Il Secondo teorema dell'angolo esterno, anche detto Teorema dell'angolo esterno (somma), spiega
con una semplice dimostrazione che in un triangolo qualsiasi l'angolo esterno corrispondente ad
uno degli angoli interni è congruente alla somma degli altri due angoli interni.
In formula, α=β+γ
Fai clic sul link seguente per vedere un’animazione che enuncia e dimostra il secondo teorema
dell’angolo esterno di un triangolo:
http://www.gigiboscaino.it/triangoli-ii-teorema-dellangolo-esterno/
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Spazio e Figure 93
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Disuguaglianze triangolari
A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare l’attività che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e nota le diseguaglianze triangolari.
Disuguaglianze tra i lati
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 94
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Strumento interattivo
A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare l’attività che vedi in figura. Si
tratta di uno strumento interattivo che consente di modificare i punti notevoli dei triangoli. Nella
figura abbiamo congelato la situazione proposta nel quesito. Fai ‘click’ sul link e poi segui le
istruzioni nella pagina e prova a verificare tu stesso con lo strumento interattivo quanto viene
mostrato in figura.
Strumento interattivo sui punti notevoli dei triangoli
* occorre attivare il plug-in Flash
** per utilizzare il gioco su tablet android basta utilizzare un ottimo browser (navigatore) che supporta la
visualizzazione di Flash: Puffin.
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INVALSI Matematica Spazio e Figure
Spazio e Figure 95
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Coefficiente angolare ed intercetta
L'equazione generale di una retta può essere scritta così: y = m x + q
• m rappresenta il coefficiente angolare della retta.
Ad ogni aumento di 1 unità per l'ascissa x, l'ordinata y varia di m unità.
• q rappresenta il valore dell'ordinata per un valore di x che vale 0.
Il valore q dell'ordinata fornisce il punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate
A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare l’attività che ved i in figura. Si
tratta di uno strumento interattivo che consente di modificare il valore del coefficiente angolare m
e della intercetta q.
Nella figura abbiamo congelato la situazione proposta nel quesito: m=-0,7 e q=2,3.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e prova a verificare tu stesso con lo
strumento interattivo quanto viene mostrato in figura.
https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2014/12/17/equazione-della-retta-nel-piano/
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INVALSI Matematica
96
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Dati e previsioni
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INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 97
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Istogramma
Un istogramma è un particolare grafico dove ogni dato è rappresentato dalla superficie di un
rettangolo. I rettangoli hanno tutti ugual base e il confronto fra le loro superfici è possibile grazie
alle diverse altezze. Come per i diagrammi a linee, i rettangoli possono essere posizionati in verticale
o in orizzontale.
Inoltre, possono essere disegnati uno di seguito all’altro senza spazi intermedi, in modo da formare
un’unica superficie (istogramma) oppure separatamente a strisce verticali (ortogramma). Nel lessico
quotidiano però si parla di istogramma in ambedue i casi.
Vengono anche detti: grafici a colonna, grafici a rettangolo
Esempio
Disegniamo l’istogramma relativo alla classifica di alcune squadre di calcio di serie A.
0
10
20
30
40
50
60
P
u
n
t
i
Classifica Serie A
Serie 1
E-BOOK01
INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 98
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Grafico e Istogramma
La figura rappresenta un piano cartesiano; per poterlo
disegnare devi tracciare l’asse delle X (le ascisse) e l’asse delle
y (le ordinate).
L’asse delle X e delle Y sono suddivisi in tanti parti uguali; ogni
parte è uguale all’unità di misura U.
Il punto ‘A’ è un punto del piano cartesiano. Per trovare il
punto bisogna conoscere le sue coordinate: l’ascissa ‘1’ e
l’ordinata ‘3’.
Riepilogando quindi, ogni punto del piano si può individuare con una coppia di numeri reali chiamati
rispettivamente ascissa e ordinata del punto e si scrive: P(x,y);
L’Istogramma
Un istogramma è un particolare grafico dove ogni dato è rappresentato dalla superficie di un
rettangolo.
I rettangoli hanno tutti ugual base e il confronto fra le loro superfici è possibile grazie alle diverse
altezze. Come per i diagrammi a linee, i rettangoli possono essere posizionati in verticale o in
orizzontale.
Vengono anche detti: grafici a colonna, grafici a rettangolo.
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INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 99
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Esempio
Disegniamo l’istogramma relativo alla classifica di alcune squadre di calcio di serie A.
Puoi verificare che la Juventus ha 50 punti, l’Inter tra 40 e 50 punti, il Napoli 40 punti, etc.
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P
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Classifica Serie A
Serie 1
E-BOOK01
INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 100
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Areogramma
L'areogramma è un tipo di rappresentazione grafica in cui le diverse percentuali dei risultati di
un'indagine sono visualizzate da aree proporzionali di una figura geometrica piana o
tridimensionale.
L'unità di misura utilizzata è, spesso, la percentuale.
Tra gli areogrammi troviamo il diagramma circolare (comunemente indicato con grafico a torta).
Esempio 1 – Costruiamo un areogramma con Excel
Da un’indagine effettuata su 25 alunni è emerso che:
• 15 vanno a scuola a piedi (rappresenta il 60%)
• 8 vanno a scuola in autobus (rappresenta il 32%)
• 2 vanno a scuola in bicicletta (rappresenta il 8%)
Riporta i dati in Excel come mostrato in figura, selezionali tutti e poi fai clic sulla voce di menu ‘Inserisci’ ,
ancora clic sull’icona ‘Grafico a torta’ e seleziona il primo diagramma, otterrai il grafico in figura.
Esempio 2 – Costruiamo l’ areogramma presentato nel quesito con Excel
Dai dati possiamo scrivere che:
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INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 101
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• pane e pasta rappresenta il 45% della spesa (quindi 270)
• carne e pesce rappresenta il 25% della spesa (quindi 150)
• frutta e verdura rappresenta il 30% della spesa (quindi 180)
Riporta i dati in Excel come mostrato in figura, selezionali tutti e poi fai clic sulla voce di menu ‘Inserisci’ ,
ancora clic sull’icona ‘Grafico a torta’ e seleziona il primo diagramma, otterrai il grafico in figura.
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INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 102
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Probabilità di un evento
Si definisce probabilità di un evento il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei
casi possibili supposti tutti ugualmente possibili
p = P(E) = 𝒎
𝒏
Essendo m il numero dei casi favorevoli ed n il numero dei casi possibili.
Ad esempio: Nel lancio di una moneta posso ottenere o testa o croce.
I casi favorevoli sono 1;
I casi possibili sono 2 (le due facce della moneta),
quindi:
p = 𝟏
𝟐 = 0,5 (cioè il 50%)
Se si fanno due lanci si possono ottenere le seguenti combinazioni (TT, CC, TC,CT);
in questo caso per calcolare la probabilità che facendo due lanci si ottenga la combinazione (TT)
dovremo considerare che:
I casi favorevoli sono 1
I casi possibili sono 4
p = 𝟏
𝟒 = 0,25 (cioè il 25%)
Per calcolare la probabilità che facendo due lanci si ottenga la combinazione TC o CT dovremo
considerare che:
I casi favorevoli sono 2
I casi possibili sono 4
p = 𝟐
𝟒 = 0,5 (cioè il 50%)
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INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 103
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Eventi dipendenti e probabilità composta
Consideriamo un evento composto da due semplici eventi dipendenti fra loro. In un sacchetto con
3 palline bianche ed 8 nere estraiamo successivamente due palline, senza rimettere nel sacchetto
la prima. Vogliamo calcolare la probabilità che le palline estratte siano entrambe bianche.
Si tratta di un evento composto da due eventi semplici dipendenti, infatti al verificarsi del primo
(estrazione pallina bianca) si modifica il secondo evento in quanto si modifica il numero dei casi
possibili e dei casi favorevoli.
Alla prima estrazione i casi possibili sono 11 e i casi favorevoli sono 3 pertanto:
𝒑(𝑬𝟏) = 𝟑
𝟏𝟏
Alla seconda estrazione se nella prima estrazione è sortita una pallina bianca i casi possibili sono 10
e i casi favorevoli sono 2 pertanto:
p(E2) = 2
10=1
5
Per il principio della probabilità composta si ha:
p(E) = p(E1) ∙ p(E2) = 3
11 ∙ 1
5=
3
55
Quindi la probabilità di un evento composto da due eventi semplici dipendenti è data dal prodotto
di p(E1) ∙ p(E2) condizionata dal verificarsi dell’evento E1.
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INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 104
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Eventi indipendenti ed eventi dipendenti
Esistono degli eventi che possono presentarsi come combinazione di due o più eventi come ad
esempio il lancio di due dadi, l’estrazione di due o più numeri. Per questi casi si parla di eventi
composti e la relativa probabilità viene definita come probabilità composta.
Occorre pertanto distinguere gli eventi in:
Eventi indipendenti: se il verificarsi del primo evento non altera la probabilità di verificarsi del
secondo.
Come esempio potremmo considerare il lancio di due monete e l’evento; ‘esce in entrambe la testa
E(T,T)’;si tratta di un evento composto in quanto è il risultato di due eventi semplici indipendenti
fra loro E1(T) ed E2(T) che non dipendono assolutamente l’uno dall’altro; infatti il lancio della prima
moneta non influenza in alcun modo il lancio della seconda moneta.
Eventi dipendenti: se il verificarsi del primo evento altera la probabilità di verificarsi del secondo.
Come esempio consideriamo un sacchetto con 3 palline bianche ed 8 nere ed estraiamo
successivamente due palline, senza rimettere nel sacchetto la prima. Consideriamo l’evento che le
palline estratte siano entrambe bianche. Si tratta di un evento composto da due eventi semplici
dipendenti, infatti al verificarsi del primo (estrazione pallina bianca) si modifica il secondo evento in
quanto si modifica il numero dei casi possibili e dei casi favorevoli.
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INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 105
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Un gioco per capire la probabilità
A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare il gioco che vedi in figura. Fai ‘click’
sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e allenati a cercare di indovinare che probabilità
hai di ottenere una pallina blu piuttosto che una rossa.
Buon divertimento.
http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2011/03/03/capire-le-probabilita-con-un-gioco/
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INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 106
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Calcolare lo sconto e la percentuale
Supponiamo di trovare un'offerta che ci dice che su un videogioco che costa 70 euro si applica uno
sconto pari al 20 per cento, quanto pagheremo alla cassa?
L'operazione da fare sarà: 70 (prezzo del videogioco), moltiplicato per 20 (percentuale di sconto), il
tutto diviso 100 per calcolare lo sconto:
Sconto = (70 x 20)/100 = 14 euro
Ora sottraiamo i 14 euro di sconto ai 70 euro del videogioco per ottenere il prezzo scontato:
prezzo scontato = 70 – 14 = 56 euro
il risultato è 56 euro, il prezzo del videogioco scontato.
Calcolo della percentuale
La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Si ottiene
moltiplicando per 100 il rapporto a/b e ponendo a fianco il simbolo %.
Esempio: 5 allievi su 25 risultano assenti. La percentuale degli allievi assenti allora sarà:
𝟓
𝟐𝟓 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟎%
Quindi la percentuale è un rapporto che indica quante parti sul totale (rispetto a 100) soddisfano
una certa condizione.
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INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 107
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Tabella
Una tabella è formata da una griglia di righe e colonne che intersecandosi individuano tante celle.
cella
riga
La tabella in figura è composta da 4 righe e 5 colonne; quindi se si vuole individuare la posizione
dove c’è la scritta in rosso ‘cella’ bisogna indicare la prima riga e la 5 colonna.
Es. Verifica che nella tabella seguente il ragazzo più alto è ‘Vittorio’ e il dato si trova nella cella
individuata dalla riga 4 e la colonna 3, cioè 173 cm.
Nome Età Altezza
Angelo 15 165
Mario 14 172
Luca 16 170
Vittorio 14 173
Dario 16 169
colonna
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INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 108
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Esempio di tabella
• Tabella pari e dispari
Addizione e sottrazione
Moltiplicazione
Divisione *
pari ± pari = pari pari × pari = pari pari / dispari = pari
pari ± dispari = dispari pari × dispari = pari dispari / dispari = dispari
dispari ± dispari = pari dispari × dispari = dispari pari / pari può dare un risultato
o pari o dispari.
dispari ± pari = dispari. dispari / pari non da mai un
risultato intero
Si applica solo per i numeri interi quando il risultato è un numero intero
In matematica, qualsiasi numero intero è o pari o dispari. Se è un multiplo di due (es. 8=2x2x2x2),
è un numero pari, altrimenti, è un numero dispari (es. 7 non lo puoi ricavare moltiplicando tante
volte 2).
Ancora un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a seconda che
la sua ultima cifra sia pari o dispari. Ovvero, se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, è dispari, altrimenti è
pari.
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INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 109
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Media aritmetica, Mediana e Moda
Per effettuare indagini statistiche è necessario saper calcolare la media, la mediana e la moda. Di
seguito vengono riportati alcuni esempi di calcolo.
Media aritmetica
La media aritmetica è il tipo di media impiegato più comunemente e quello al quale, con il termine
"media", si fa in genere riferimento nel parlare comune. Viene usata per riassumere con un solo
numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una
popolazione).
Viene calcolata sommando i diversi valori a disposizione, i quali vengono divisi per il loro numero
complessivo. La formula della media aritmetica semplice per n elementi è:
media = 𝑽𝟏+𝑽𝟐+𝑽𝟑+𝑽𝒏
𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒊
Oltre che in matematica, la media aritmetica è ampiamente impiegata in svariati campi, quali
economia, sociologia e nella maggior parte delle discipline accademiche.
Esempio
Consideriamo una classe composta da 10 alunni e di voler calcolare l’altezza media; nella tabella
sono indicate le varie altezze in cm.
Alunno Altezza in cm.
Mario 166
Giovanni 143
Alberto 159
Danilo 153
Francesco 145 Giulio 151
Carlo 152
Bruno 147
Sandro 163 Mauro 165
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INVALSI Matematica Dati e previsioni
Dati e previsioni 110
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l’altezza media sarà pari a:
166+143+159+153+145+151+152+147+163+165
10 = 154,4 cm
Mediana
Si dice Mediana di una distribuzione ordinata la modalità che divide gli elementi della distribuzione
in due gruppi di uguale numerosità
Se la distribuzione ha numerosità dispari la mediana avrà valore pari al valore assunto
dall’osservazione centrale; se la distribuzione ha numerosità pari la mediana avrà valore pari al
valore medio calcolato prendendo le due osservazioni centrali.
Esempio
Si supponga di aver raccolto le votazioni riportate da uno studente alle prove scritte svolte durante
l’anno scolastico;
Votazione 4 5 6 7
Frequenza 1 4 9 6
e calcoliamo la mediana della distribuzione. Per calcolare la mediana scriviamo i voti dal più piccolo al più grande con riferimento alla frequenza registrata per ogni votazione:
4,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7 10 votazioni 10 votazioni
Mediana = 6 Il numero dei voti è pari (20) per cui la mediana è pari al valore medio calcolato sommando il valore del decimo e dell’undicesimo valore e dividendo il tutto per due, cioè: Mediana = (6 + 6)/2 = 6
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Dati e previsioni 111
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Moda
La moda è definita come la modalità della distribuzione che ha frequenza massima.
Per cui con riferimento all’esempio precedente la moda sarà pari alla votazione cui corrisponde la
massima frequenza, cioè: 6
Osservazione: Verifica che per l’esempio precedente il valore ‘6’ rappresenta sia il valore della
media aritmetica, della mediana e della moda.
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Dati e previsioni 112
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Media aritmetica e media ponderata
Media aritmetica
La media aritmetica è il tipo di media impiegato più comunemente e quello al quale, con il termine
"media", si fa in genere riferimento nel parlare comune. Viene usata per riassumere con un solo
numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una
popolazione).
Viene calcolata sommando i diversi valori a disposizione, i quali vengono divisi per il loro numero
complessivo. La formula della media aritmetica semplice per n elementi è:
media = 𝑽𝟏+𝑽𝟐+𝑽𝟑+𝑽𝒏
𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒊
Oltre che in matematica, la media aritmetica è ampiamente impiegata in svariati campi, quali
economia, sociologia e nella maggior parte delle discipline accademiche.
Media ponderata
Quando si deve tenere conto non solo dei singoli valori ma anche di quante volte gli stessi valori
compaiono nei dati raccolti, cioè della loro frequenza, bisogna ricorrere alla media ponderata o
pesata. Per calcolare la media ponderata:
• si moltiplica ciascun valore per la relativa frequenza(peso);
• si sommano i prodotti ottenuti;
• si divide per la somma delle frequenze(pesi).
Esempio
Una spedizione di 10 casse di accessori costa € 200 per cassa. A causa del notevole consumo di
questi accessori, una seconda spedizione di 40 casse ora costa € 300 per cassa. Calcoliamo la media
ponderata che costituisce una rappresentazione più accurata del costo medio di una cassa di
accessori in queste due spedizioni.
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Dati e previsioni 113
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valori: 200 - 300
frequenze(pesi): 10 – 40 ---- somma frequenze(pesi) = 50
Costo medio cassa = 10 × 200 + 40 × 300
50=
= 2000 + 12000
50= 14000
50= 280 €
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Dati e previsioni 114
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Media pesata
Quando si deve tenere conto non solo dei singoli valori ma anche di quante volte gli stessi valori
compaiono nei dati raccolti, cioè della loro frequenza, bisogna ricorrere alla media ponderata o
pesata.
Per calcolare la media ponderata:
• si moltiplica ciascun valore per la relativa frequenza(peso)
• si sommano i prodotti ottenuti
• si divide per la somma delle frequenze(pesi)
Prendiamo come esempio quello relativo ai punteggi ottenuti in una verifica da alcuni alunni di una
classe, cioè:
• 7 alunni hanno ottenuto un punteggio medio di: 5,5
• 10 hanno ottenuto un punteggio medio di: 6
• 5 hanno ottenuto un punteggio medio di: 7,5
• 2 hanno ottenuto un punteggio medio di: 8
e calcoliamo il punteggio medio ottenuto dalla classe:
valori: 5,5 - 6 - 7,5 - 8
frequenze(pesi): 7 – 10 – 5 – 2 ---- somma frequenze(pesi) = 24
Punteggio- medio-classe = 5.5 × 7 + 6 × 10 + 7,5 × 5 + 8 × 2
24=
= 38.5 + 60 + 37.5 + 16
24= 152
24= 6,33
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Dati e previsioni 115
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Media pesata con Excel
D: Quali funzioni possono aiutarmi per calcolare una media pesata con Excel?
R: Un buon esempio di media pesata è il calcolo di un prezzo medio.
Immaginiamo di avere le seguenti transazioni:
01/01/05: 100 unità a 10€
01/06/05: 1000 unità a 9,5€
01/07/05: 500 unità a 12€
In generale, la formula è:
MEDIA PESATA = [(peso 1 x valore 1) + (peso 2 x valore 2) + (peso n x valore n)] / (somma dei pesi)
quindi:
MEDIA PESATA = [(100 x 10) + (1000 x 9,5) + (500 x 12)] / (100+1000+500) = 16.500 / 1.600 =
10,3125
In Excel si può usare la funzione MATR.SOMMA.PRODOTTO() che somma coppie di valori
moltiplicandoli tra essi, abbinata alla somma semplice dei pesi che va al denominatore.
Immaginiamo che le unità siano state inserite da A1 a A3 e i prezzi da B1 a B3. La formula sarà:
=MATR.SOMMA.PRODOTTO(A1:A3; B1:B3) / SOMMA(A1:A3)
fonte: http://www.excelling.it/home/77-faq/191-calcolare-la-media-pesata-con-excel
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Dati e previsioni 116
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Esempio
Una spedizione di 10 casse di accessori costa € 200 per cassa. A causa del notevole consumo di
questi accessori, una seconda spedizione di 40 casse ora costa € 300 per cassa. Calcoliamo la media
ponderata che costituisce una rappresentazione più accurata del costo medio di una cassa di
accessori in queste due spedizioni.
• valori: 200 - 300
• frequenze(pesi): 10 – 40 ---- somma frequenze(pesi) = 50
• Costo medio cassa = 𝟏𝟎 · 𝟐𝟎𝟎 + 𝟒𝟎 · 𝟑𝟎𝟎
𝟓𝟎=
= 𝟐𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟎= 𝟏𝟒𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟎= 𝟐𝟖𝟎 €
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Dati e previsioni 117
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Scarto quadratico medio
Lo scarto quadratico medio o anche deviazione standard misura la dispersione dei dati intorno al
valore atteso.
In pratica la deviazione standard ci fornisce l'informazione su quanto i vari valori (dai quali si è
ricavata la media) siano "lontani" dalla media.
In effetti data una serie di valori bisogna calcolarne prima la media aritmetica, poi si calcolano per
ogni valore le differenze al quadrato tra il valore stesso e il valore medio, si sommano tutte le
differenze trovate e le si divide per il numero di valori, infine si fa la radice quadrata del risultato di
questo rapporto. Facciamo un esempio:
Supponiamo che gli studenti della classe 1A abbiano ottenuto i seguenti voti: 7,7,6,6,6.5
Quelli della 1B i seguenti: 8,7,5,4,8.5
Calcoliamo il valore medio per entrambe le classi:
1A) 𝟕+𝟕+𝟔+𝟔+𝟔.𝟓
𝟓= 𝟔. 𝟓 1B)
𝟖+𝟕+𝟓+𝟒+𝟖.𝟓
𝟓= 𝟔. 𝟓
Calcoliamo ora la deviazione standard con i passi suddetti per entrambe le classi:
1A) (𝟕 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟕 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟔 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟔 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟔. 𝟓 − 𝟔. 𝟓)𝟐 = 𝟎. 𝟓𝟐 + 𝟎. 𝟓𝟐 + (−𝟎. 𝟓)𝟐 + (−𝟎. 𝟓)𝟐 + (𝟎)𝟐 = 𝟏
Dev. stand. = √𝟏
𝟓≅ 𝟎. 𝟒𝟓
1B) (𝟖 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟕 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟓 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟒 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟖. 𝟓 − 𝟔. 𝟓)𝟐 =
𝟏. 𝟓𝟐 + 𝟎. 𝟓𝟐 + (−𝟏. 𝟓)𝟐 + (−𝟐. 𝟓)𝟐 + (𝟐)𝟐 = 𝟏𝟓
Dev. stand. = √𝟏𝟓
𝟓≅ 𝟏. 𝟕𝟑
Come si può notare pur avendo la stessa media, per la classe 1B la deviazione standard ha un valore
maggiore perché i voti sono più' distanti dalla media 6.5.
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Dati e previsioni 118
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Varianza
La varianza è la media aritmetica dei quadrati delle differenze tra ogni valore x i della distribuzione e
un valore medio preso come riferimento. Vediamo un esempio di calcolo della varianza.
Consideriamo la seguente distribuzione statistica:
X = 7, 5 ,8, 4, 6
Calcoliamo la media aritmetica della distribuzione:
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 7 + 5 + 8 + 4 + 6
5= 6
Per calcolare la varianza dobbiamo sommare i quadrati delle differenze tra i valori x i della
distribuzione X e il valore medio (6).
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = (7 − 6)2 + (5 − 6)2 + (8 − 6)2 + (4 − 6)2 + (6 − 6)2
5
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = (1)2 + (−1)2 + (2)2 + (−2)2 + (0)2
5
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 1 + 1 + 4 + 4 + +0
5= 2
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Dati e previsioni 119
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Moto rettilineo uniforme
Un corpo si muove con moto uniforme quando percorre spazi uguali in tempi uguali. Ciò equivale a
dire che la velocità è costante.
Se la traiettoria è rettilinea (cioè non curva) si parla di moto rettilineo uniforme.
Nella tabella viene riportato la legge che lega (s) spazio e (t) tempo.
La stessa viene rappresentata nel grafico:
s = vt (detta anche legge oraria)
Per la velocità v= s/t, come puoi osservare nel grafico prendendo le varie coppie (s,t), si trova sempre
il valore ‘2’, a sostegno di quanto detto sopra in merito alla costanza della velocità nel moto
rettilineo uniforme. [ (s=2, t=1: v= 2) ; (s=4, t=2: v= 2) ; (s=6, t=3: v= 2) etc. ]
La velocità nel sistema S.I. si misura in metri al secondo.
Formule
𝒗 = 𝒔
𝒕 ; 𝒕 =
𝒔
𝒗 ; 𝒔 = 𝒗 ∙ 𝒕
t s 0 0
1 2 2 4
3 6
4 8
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Dati e previsioni 120
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Frequenze
In statistica si definiscono 2 tipi di frequenze:
FREQUENZA ASSOLUTA: è il numero di volte che si verifica un evento a prescindere dal numero
totale delle prove.
FREQUENZA RELATIVA: è il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero di prove eseguite; viene
misurata con un numero decimale compreso tra 0 e 1, o in percentuale.
f =numero di esiti favorevoli
numero di prove eseguite ∙ 100
Esempio
La tabella seguente indica la fascia di peso rilevato tra 400 studenti presso una scuola superiore e
la loro frequenza, cioè il numero di volte in cui ogni dato (peso) si è verificato.
Fascia di peso N. studenti
frequenza assoluta frequenza percentuale
40-50 150 37,5
51-54 100 25 55-57 80 20
58-61 40 10
62-65 30 7,5
400 100
Nella prima riga possiamo leggere che 150 studenti su 400 sono nella fascia di peso (40-50) e che la
loro frequenza percentuale è del 37,5%, cioè:
f = 150
400 ∙ 100 = 37,5
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Dati e previsioni 121
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Distribuzione frequenza – (un esempio)
In un sondaggio fatto all'interno di una facoltà composta da 250 studenti (la popolazione statistica),
si intende rilevare il carattere "Gradimento dei professori", secondo le cinque modalità "molto
deluso", "insoddisfatto", "parzialmente soddisfatto", "soddisfatto", "entusiasta". Risulta che 10
studenti si dicono entusiasti dell'operato dei professori, 51 si dicono soddisfatti, 63 mediamente
soddisfatti, 90 insoddisfatti, 36 molto delusi.
La distribuzione di frequenza viene rappresentata con una tabella come la seguente:
Gradimento dei professori
Frequenze assolute
Frequenze relative
Frequenze percentuali
Frequenze cumulate percentuali
molto deluso 36 36/250 = 0,144 14,4 14,4
insoddisfatto 90 90/250 = 0,360 36 14,4+36 = 50,4
parzialmente soddisfatto
63 63/250 = 0,252 25,2 50,4+25,2 = 75,6
soddisfatto 51 51/250 = 0,204 20,4 75,6+20,4 = 96
entusiasta 10 10/250 = 0,040 4 96+4 = 100
Totali 250 250/250 = 1,000 100
Nel caso ipotizzato, la colonna delle frequenze relative mostra che è molto deluso il 14,4% degli
studenti e che la percentuale degli studenti non pienamente soddisfatti (modalità da "molto deluso"
a "parzialmente soddisfatto") arriva al 75,6%.
Fonte: [Wikipedia]
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Dati e previsioni 122
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Rapporti e Proporzioni
Abbiamo una proporzione quando tra quattro numeri il rapporto tra i primi due numeri è uguale al
rapporto tra gli ultimi due numeri. Una proporzione è pertanto un’uguaglianza tra due rapporti
formati con quattro numeri che prendono il nome di termini della proporzione:
a
b=
c
d
che si può anche scrivere come: a : b = c : d (si legge: a sta a b come c sta a d) Il primo ed il quarto termine (a e d) si dicono estremi, mentre il secondo ed il terzo termine si dicono
medi.
Esempio 1
36 : 4 = 𝑦 : 8
La 𝑦 = 36 × 8
4 (un medio è uguale al prodotto tra gli estremi diviso l’altro medio)
Esempio 2
36 : 4 = 72 ∶ 𝑦
La y = 4 × 72
36 (un estremo è uguale al prodotto tra i medi diviso l’altro estremo)
Esercizio Risolvi le due proporzioni seguenti:
16 : 2 = y : 1 [Ris. 𝑦 = 8 ]
y : 9 = 3 : 27 [Ris. 𝑦 = 1]
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Dati e previsioni 123
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Grandezze direttamente ed inversamente proporzionali
Due grandezze variabili si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando la prima
anche l’altra raddoppia, triplica.
Due grandezze variabili si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando la prima
l’altra si dimezza, si riduce a un terzo.
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Dati e previsioni 124
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Gioca con le coordinate cartesiane
A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare il gioco che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e verifica se conosci le coordinate cartesiane.
http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2015/10/06/impara-le-coordinate-cartesiane/ Per poter utilizzare il gioco dovresti almeno sapere che la figura
seguente rappresenta un piano cartesiano; per poterlo disegnare
devi tracciare l’asse delle ‘x (le ascisse)’ e l’asse delle ‘y (le
ordinate)’.
L’asse delle ‘x’ e delle ‘y’ sono suddivisi in tanti parti uguali; ogni
parte è uguale all’unità di misura ‘U’. Il punto ‘A’ è un punto del piano cartesiano. Per trovare il
punto bisogna conoscere le sue coordinate: l’ascissa ‘1’ e l’ordinata ‘3’
Riepilogando quindi, ogni punto del piano si può individuare con una coppia di numeri reali chiamati
rispettivamente ascissa e ordinata del punto e si scrive: P(x, y);
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Dati e previsioni 125
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Operazioni con i numeri relativi
L’addizione di numeri interi relativi si svolge nel seguente modo:
se i due numeri sono concordi si addizionano i numeri senza il segno e si mette il segno che c’è;
es.) (+ 3) + (+ 5) = + 8
es.) (- 7) + (- 3) = - 10
se i due numeri sono discordi si sottraggono i numeri senza segno e si mette il segno del più grande.
es.) (+ 3) + (- 5) = - 2
es.) (+ 7) + (- 3) = + 4
La sottrazione di due numeri interi relativi non è altro che l’addizione tra il primo e l’opposto del
secondo cioè a – b = a + ( - b).
es.) (+ 3) - (+ 5) = + 3 + (- 5) = - 2
es.) (- 7) - (- 3) = - 7 + (+ 3) = - 4
Prodotto tra numeri relativi
es.) (-4)∙(-4)= +16
es.) (+4)∙(-4)= -16
Ricorda che:
- ∙ - = + (meno per meno = più)
+ ∙ + = + (più per più = più)
- ∙ + = - (meno per più = meno)
+ ∙ - = - (più per meno = meno)
Quoziente tra numeri relativi
opposti
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Dati e previsioni 126
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es.) (-6) : (+3) = (-6)/(+3) = - 2
es.) (+6) : (+3) = (+6)/(+3) = +2
Ricorda che:
- ∶ - = + (meno diviso meno = più)
+ ∶ + = + (più diviso più = più)
- ∶ + = - (meno diviso più = meno)
+ ∶ - = - (più diviso meno = meno)
Potenze con esponente intero
a) quanto vale la potenza (-4)2?
Per eseguire il calcolo della potenza ( −42) occorre fare il prodotto:
(−4) ∙ (−4) = +16
b) quanto vale la potenza 3−2?
Ricorda che la potenza ad esponente negativo è uguale ad una frazione che ha per numeratore
l'unità e per denominatore la potenza della stessa base con esponente positivo, cioè:
3−2 = 1
(3)2
c) quanto vale la potenza −3−2?
−3−2 = 1
(−3)2
In generale: a−n = 1
(a)n
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Dati e previsioni 127
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Scrivere equazioni per risolvere problemi
Allenati con questi esempi; prova a risolvere i problemi senza guardare le soluzioni. Poi confronta
i tuoi risultati con quelli riportati negli esempi.
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Dati e previsioni 128
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Un’applicazione per calcolare le variazioni percentuali
A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare l’applicazione che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e utilizzala per la verifica del calcolo
della variazione percentuale tra due valori iniziando con quella proposta nel quesito.
Buon divertimento.
http://www.rivaluta.it/calcola_variazione_percentuale.asp
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Dati e previsioni 129
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Rappresentazioni grafiche
I dati possono essere rappresentati attraverso diverse modalità grafiche. Di seguito proponiamo un
link ad un documento della Prof. Weebly dove vengono illustrate modalità di rappresentazioni di
dati come:
• Tabelle a doppia entrata
• Istogramma e ortogramma
• Aerogramma
• Ideogramma
• Diagramma cartesiano
strumenti utili anche in altre discipline di studio o altri settori della vita quotidiana.
Fai click sul link per visualizzare o stampare il documento
Rappresentazioni grafiche
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Dati e previsioni 130
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Prodotto cartesiano
Si definisce prodotto cartesiano A x B di due insiemi A e B l'insieme di tutte le coppie ordinate che
hanno come primo elemento un elemento di A e come secondo elemento un elemento di B.
Esempio
Dati gli insiemi
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { a, b, c }
si costruiscono tutte le coppie considerando come primo elemento un elemento di A e come
secondo elemento un elemento di B, cioè:
A x B = { (1,a) (1,b) (1,c) (2,a) (2,b) (2,c) (3,a) (3,b) (3,c) (4,a) (4,b) 4,c) }
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Dati e previsioni 131
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Tabelle a doppia entrata
Le tabelle a doppia entrata sono tabelle nelle quali una qualunque informazione contenuta in una
“cella” (incrocio tra righe e colonne) deve essere letta entrando da due parti: da una riga e da una
colonna.
Prendiamo ad esempio l’orario scolastico che segue
LUNEDÌ MARTEDÌ MERCOLEDÌ GIOVEDÌ VENERDÌ SABATO
1 Arte Religione Geografia Matematica Geografia
2 Arte Epica Geografia Storia Matematica
3 Antologia Storia Antologia Grammatica Inglese
4 Grammatica Matematica Inglese Tecnologia Tedesco
5 Inglese Matematica Tedesco Matematica Matematica
6 Musica Motoria Tecnologia Motoria Musica
è una tabella a doppia entrata perché per leggere l’orario dobbiamo leggere prima in riga (l’ora) e
poi in colonna (giorno).
Pertanto se volessimo sapere quale lezione abbiamo alla prima ora del giovedì di questo orario
scolastico, dovremmo considerare la riga con etichetta “1” e percorrerla finché incontriamo la
colonna con intestazione giovedì. Il contenuto della casella raggiunta ci dà l’informazione. Quindi la
prima ora del giovedì abbiamo matematica.
Altri esempi di tabelle a doppia entrata possono essere il gioco degli scacchi, la dama o la battaglia
navale.
Il re bianco si trova in (E;1), la regina nera si trova in (D;8).
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Dati e previsioni 132
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Come si può notare si parla di “prima ora del giovedì”, di re bianco in (E;1) o di regina nera in (D;8)
e non di “giovedì alla prima ora” (anche se nel linguaggio comune si può dire), di re bianco in (1;E),
di regina nera in (8;D). Questo perché in una tabella a doppia entrata si considerano prima le righe
e poi le colonne per convenzione cioè si considera in senso orario. Questo tipo di dati si chiama
COPPIA ORDINATA.
Diamo allora la seguente definizione:
DEFINIZIONE: una COPPIA ORDINATA è una coppia di simboli elencati con un ordine assegnato.
Quindi nei nostri esempi i simboli sono indicati prima dalle righe (ore e lettere maiuscole) e poi dalle
colonne (giorni e numeri).
Uno degli esempi più noti e già incontrati di tabella a doppia entrata nella carriera scolastica è la
TAVOLA PITAGORICA dove in riga e colonna ci sono i numeri naturali e nelle celle ci sono i loro
prodotti.
Fonte: http://ilsitodellaprof.weebly.com/uploads/1/4/7/6/14767182/rappresentazione_dati.pdf
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Relazioni e funzioni
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Scala di rappresentazione
La scala di rappresentazione è il rapporto tra le dimensioni della realtà e quella di una sua
rappresentazione. La rappresentazione in scala viene utilizzata in cartografia, nel disegno, etc.
La scala essendo il rapporto tra due grandezze omogenee è uguale al rapporto delle due misure
(carta e realtà) espresse nella stessa unità di misura. Il rapporto è, quindi, un numero puro,
indipendente dall’unità di misura prescelta.
La scala numerica è una frazione avente per numeratore l’unità e per denominatore il numero che
indica quante volte bisogna moltiplicare una lunghezza misurata sulla carta per ottenere la
corrispondente misura reale.
Esempio 1:10.000
Nel leggere un rapporto di scala si usa leggere il segno di due punti come “(sta) a”.
Esempio 1:10.000 si legge 1 (sta) a 10.000
Se troviamo scala 1:1.000.000 (si legge 1 (sta) a 1 milione) significa che 1 centimetro sulla carta
corrisponde a 1.000.000 di centimetri nella realtà e cioè a 10 chilometri.
Esercizio
Completa le seguenti affermazioni:
Scala 1: 150.000 significa che 1 cm sulla carta corrisponde a …………………nella realtà e cioè a
……………Km.
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Equazione
Ogni equazione del tipo:
ax + b = 0 (con a diverso da zero) si dice equazione di primo grado in una incognita.
Risolvere un’equazione significa trovare quel valore di ‘x’ che soddisfi l’equazione data.
Un’equazione di primo grado ammette sempre una ed una sola soluzione.
Esempi
a) 3x + 3 = 0
3x = -3
𝑥 =−3
3= −1
b) 2x -4x + 3 + 1 = 0
-2x = - 3 – 1
-2x = -4
𝑥 =−4
−2= +2
Verifica dell’equazione
Per controllare se la soluzione trovata è esatta si può sostituire ad ‘x’ la soluzione trovata e verificare
che i due membri abbiano lo stesso valore; verifichiamo l’equazione dell’esempio b):
-2(+2) = -4
-4 = -4
Esercizio Prova a risolvere le seguenti equazioni:
6x – 6 = 2x +4 [Ris. 𝑥 =5
2]
3x – 3 = x +1 [Ris. 𝑥 = 2]
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Proporzioni
Abbiamo una proporzione quando tra quattro numeri il rapporto tra i primi due numeri è uguale al
rapporto tra gli ultimi due numeri. Una proporzione è pertanto un’uguaglianza tra due rapporti
formati con quattro numeri che prendono il nome di termini della proporzione:
a
b=
c
d
che si può anche scrivere come: a : b = c : d (si legge: a sta a b come c sta a d) Il primo ed il quarto termine (a e d) si dicono estremi, mentre il secondo ed il terzo termine si dicono
medi.
Esempio 1
36 : 4 = 𝑦 : 8
La 𝑦 = 36 × 8
4 (un medio è uguale al prodotto tra gli estremi diviso l’altro medio)
Esempio 2
36 : 4 = 72 ∶ 𝑦
La y = 4 × 72
36 (un estremo è uguale al prodotto tra i medi diviso l’altro estremo)
Grandezze direttamente ed inversamente proporzionali
Due grandezze variabili si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando la prima
anche l’altra raddoppia, triplica.
Due grandezze variabili si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando la prima
l’altra si dimezza, si riduce a un terzo.
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Funzioni
Una funzione può essere empirica o matematica.
Una funzione si dice empirica se i valori di Y (variabile dipendente) corrispondenti a quelli della X
(variabile indipendente) non si possono ottenere tramite calcoli matematici, ma piuttosto vengono
rilevati dall’osservazione diretta.
Una funzione si dice matematica se la si può esprimere con una formula che consente di calcolare il
valore della y corrispondente ad un qualsiasi elemento del dominio della x.
Esempi di funzioni empiriche
• L'altezza di un albero è funzione della sua età
• Il valore della temperatura atmosferica è funzione dell'ora della giornata
Esempi di funzioni matematiche
• L'area del quadrato è funzione del lato
• Il peso di un corpo è funzione del suo peso specifico
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Concetto di funzione
Una funzione è definita dai seguenti oggetti:
Un insieme X detto dominio della funzione.
Un insieme Y detto codominio della funzione.
Una relazione f : X → Y (si legge f è tale che ad x corrisponde y) che ad ogni elemento dell'insieme
X associa uno ed un solo elemento dell'insieme Y;
l'elemento assegnato a x ∈ X tramite f viene abitualmente indicato con f(x).
Si dice che x è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre y
= f(x) è un valore della variabile dipendente della funzione.
Rappresentazione di una funzione che associa i valori
del dominio X ai valori del codominio Y
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Aritmetica dei numeri pari e dispari
In matematica, qualsiasi numero intero è o pari o dispari. Se è un multiplo di due(es. 8=2x2x2x2), è
un numero pari, altrimenti, è un numero dispari (es. 7 non lo puoi ricavare moltiplicando tante volte
2).
Ancora un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a seconda che
la sua ultima cifra sia pari o dispari. Ovvero, se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, è dispari, altrimenti è
pari.
L'insieme dei numeri pari può essere scritto come:
Pari = 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.
L'insieme dei numeri dispari può essere scritto come:
Dispari = 2Z+ 1 = {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}.
Dove Z è l’insieme dei numeri relativi. [I numeri interi (o numeri relativi) sono formati dall'unione
dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno -
davanti ai naturali positivi. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z ,
perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero.]
Addizione e sottrazione
Moltiplicazione
Divisione *
pari ± pari = pari pari × pari = pari pari / dispari = pari
pari ± dispari = dispari pari × dispari = pari dispari / dispari = dispari
dispari ± dispari = pari dispari × dispari = dispari pari / pari può dare un risultato
o pari o dispari.
dispari ± pari = dispari. dispari / pari non da mai un
risultato intero
Si applica solo per i numeri interi quando il risultato è un numero intero
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Alcuni consigli per risolvere i problemi
Per risolvere un problema matematico bisogna procedere in un ordine ben preciso:
1. Prima di tutto devi Leggere Attentamente Il Testo per capire di cosa si sta parlando.
2. Dopo la lettura del testo devi Riconoscere La/E Domanda/E e cosa ti viene richiesto.
3. Devi Cercare Informazioni Utili E Dati Indispensabili per arrivare alla soluzione del
problema.
4. Devi riflettere per Scegliere Le Operazioni adeguate E Fare I Calcoli Correttamente.
5. Devi rileggere la domanda e Formulare La Risposta Completa E Adatta Alla Situazione.
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Coordinate in un grafico
La figura rappresenta un piano cartesiano; per poterlo
disegnare devi tracciare l’asse delle X (le ascisse) e l’asse delle
y (le ordinate).
L’asse delle X e delle Y sono suddivisi in tanti parti uguali; ogni
parte è uguale all’unità di misura U.
Il punto ‘A’ è un punto del piano cartesiano. Per trovare il
punto bisogna conoscere le sue coordinate: l’ascissa ‘1’ e l’ordinata ‘3’.
Riepilogando quindi, ogni punto del piano si può individuare con una coppia di numeri reali chiamati
rispettivamente ascissa e ordinata del punto e si scrive: P(x,y);
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Grafico con Excel (costruzione del grafico con Excel)
1. Attiva il software Excel
2. Scrivi nella cella B1 il valore 1000
3. Scrivi nella cella B2 la formula =B1*1,1
4. Seleziona la cella e poi posiziona il mouse nell’angolo
in basso a destra; poi con il tasto sinistro premuto
trascina fino alla riga 20 e otterrai
5. fai clic su menu ‘inserisci’ e poi su
‘Grafico a linee’; seleziona il primo tipo di grafico
(a linee) e otterrai il grafico riportato di seguito
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Prova, se ti va, ad indicare gli assi e un titolo per il grafico.
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Come si calcolano le coordinate del punto di intersezione tra due
rette?
Consideriamo ad esempio le due rette assegnate nel quesito:
a) y = 2x – 5
b) y = -3x +1
Dobbiamo dapprima verificare che le due rette non siano parallele (già lo sappiamo dal grafico sopra
riportato) ma comunque verifichiamolo. Le due rette non sono parallele se hanno i coefficienti
angolari diversi, pertanto la ‘a’ ha coefficiente angolare ma = 2 mentre la ‘b’ ha coefficiente angolare
mb = -3; pertanto non sono parallele. Premesso ciò si mettono a sistema le due equazioni delle rette,
cioè:
{y = 2x − 5
y = −3x + 1
e si risolve il sistema (si può utilizzare ad es. il metodo di sostituzione), quindi:
{y = 2x − 5
y = −3x + 1 ; {
y = 2x − 5 2x − 5 = −3x + 1
; {y = 2x − 5
2x + 3x = 5 + 1
{y = 2x − 5 5x = 6
; {y = 2x − 5
x = 6
5= 1,2
; {y = 2
6
5− 5
x = 6
5= 1,2
; {y = −
13
5= −2,6
x = 6
5= 1,2
Quindi il punto d’intersezione tra le due rette P(x : y) avrà coordinate P(1,2 : -2,6).
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Disequazione di primo grado ad una incognita
Una disequazione si dice di primo grado quando l’esponente dell’incognita ‘x’ è pari ad 1
Esempio
x - 12 ≥ 6x - 2 è una disequazione di primo grado ad una incognita
per risolverla si applicano le stesse regole utilizzate per risolvere un’equazione di primo grado ad
una incognita con una sola ed importante differenza: se si moltiplica o si divide per un numero
negativo si deve cambiare verso alla diseguaglianza, cioè ≥ diventa ≤ e viceversa.
Risolviamo la disequazione
x - 12 ≥ 6x – 2 (portiamo tutte le ‘x’ da una parte ed i numeri dall’altra, avremo)
x - 6x ≥ 12 – 2 (eseguiamo le operazioni)
-5x ≥ 10 (dividiamo entrambi per -2 e cambiamo verso alla disequazione)
x ≤ -5
quindi la soluzione è l’insieme delle x minori di -5, cioè (-∞,-5]
oppure graficamente:
(con il cerchietto si indica che è compreso anche il valore -5)
-5
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Tabella
Una tabella è formata da una griglia di righe e colonne che intersecandosi individuano tante celle.
cella
riga
La tabella in figura è composta da 4 righe e 5 colonne; quindi se si vuole individuare la posizione
dove c’è la scritta in rosso ‘cella’ bisogna indicare la prima riga e la 5 colonna.
Es. Verifica che nella tabella seguente il ragazzo più alto è ‘Vittorio’ e il dato si trova nella cella
individuata dalla riga 4 e la colonna 3, cioè 173 cm.
Nome Età Altezza
Angelo 15 165
Mario 14 172
Luca 16 170
Vittorio 14 173
Dario 16 169
colonna
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Equazione della parabola
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistante da un punto fisso, detto fuoco, e
da una retta fissa, chiamata direttrice.
Equazione della parabola: 𝒀 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
𝒂𝒔𝒔𝒆: 𝒙 = −𝒃
𝟐𝒂
𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆: 𝑽(−𝒃
𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄− 𝒃𝟐
𝟒𝒂)
𝑭𝒖𝒐𝒄𝒐: 𝑭(−𝒃
𝟐𝒂, 𝟏− 𝒃𝟐+ 𝟒𝒂𝒄
𝟒𝒂)
𝑫𝒊𝒓𝒆𝒕𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆: 𝒚 = − 𝟏− 𝒃𝟐+ 𝟒𝒂𝒄
𝟒𝒂
Esempio
Parabola con equazione 𝑌 = 3 ∙ 𝑥2
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Negazione
Data una proposizione ‘p’ la sua negazione ‘¬p’ (si legge non p) è la proposizione ‘p’ che è vera
quando ‘p’ è falsa e viceversa:
p ¬p
V F
F V
Esempio
P “tutti i gatti sono neri”
¬p “c’è almeno un gatto non nero” (è corretta)
Nessun gatto è nero (non corretta)
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Retta
L'equazione generale di una retta può essere scritta così: y = m x + q
• m rappresenta il coefficiente angolare della retta.
Ad ogni aumento di 1 unità per l'ascissa x, l'ordinata y varia di m unità.
• q rappresenta il valore dell'ordinata per un valore di x che vale 0.
Il valore q dell'ordinata fornisce il punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate
di seguito il grafico della retta di equazione Y = 3X + 15
Verifica che:
• q = 15
• m=3
• ad ogni aumento di 1 unità per l'ascissa X, l'ordinata Y varia di 3 unità.
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Un’applicazione per verificare i parametri di una retta
A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare l’applicazione che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e verifica i parametri di una retta
digitando la sua equazione. Inizia con quella proposta nel quesito.
Buon divertimento.
http://www.gpmeneghin.com/schede/analitica/retta.htm
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Esercizio: Dalle parole alla formula
A) Trova l’anno in cui fu scoperta l’America aggiungendo a 1000, 4 volte il numero 100 e 2 volte il numero 46.
B) Trova l’anno in cui ci fu la ‘Presa della Bastiglia’ aggiungendo a 500, il suo doppio e il prodotto
di 17 per se stesso.
Sol. A [1000 + 4 x 100 + 2 x 46 = 1000 + 400 + 92 = 1492 ] Sol. B [500 + 2x 500 + 17 x 17 = 500 + 1000 + 289 = 1789]
• Trovare l’anno in cui fu scoperta l’America aggiungendo a 1000,
4 volte il numero 100 e
2 volte il numero 46.
1000 + 4 ∙ 100 + 2 ∙ 46 = 1000 + 400 + 92 = 1492
• Trova l’anno in cui ci fu la ‘Presa della Bastiglia’ aggiungendo a 500,
il suo doppio e
il prodotto di 17 per se stesso.
500 + 2 ∙ 500 + 17 ∙ 17 = 500 + 1000 + 289 = 1789
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Valore assoluto
Nel caso di numeri reali il valore assoluto si definisce come:
|𝒙| = {𝒙 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟎−𝒙 𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎
Il grafico mostra che il valore dell’ordinata è sempre il medesimo sia che l’ascissa sia positiva che
negativa (es. per x=5 si ha y=5; per x =-5 si ha y=5)
Esempio
|𝒙 − 𝟏| = 𝟒
|𝒙 − 𝟏| = ±𝟒
Risoluzione grafica
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
-10 -5 0 5 10
Serie1
𝒙 − 𝟏 = 𝟒 𝒙 = 𝟓
𝒙 − 𝟏 = −𝟒 𝒙 = −𝟑
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Percentuale
La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi.
Si ottiene moltiplicando per 100 il rapporto a/b e ponendo a fianco il simbolo %.
Esempio: 5 allievi su 25 risultano assenti. La percentuale degli allievi assenti allora sarà:
𝟓
𝟐𝟓 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟎%
Quindi la percentuale è un rapporto che indica quante parti sul totale (rispetto a 100) soddisfano
una certa condizione.
Esercizio
Quale sarebbe la percentuale degli alunni presenti?
Ris. [80%]
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Variazione percentuale
Esempi di calcolo
1. Supponiamo di voler calcolare la variazione percentuale per un oggetto che l’anno scorso
costava 80 € e quest’anno invece costa 120 €.
Dobbiamo operare nel modo seguente:
𝒗𝒂𝒓% = (𝟏𝟐𝟎 − 𝟖𝟎)
𝟖𝟎∙ 𝟏𝟎𝟎 =
𝟒𝟎
𝟖𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟓𝟎%
cioè il prezzo dell’oggetto è aumentato del 50%
2. Possiamo anche calcolare la variazione percentuale del prezzo attuale (120 €) dell’oggetto
rispetto a quanto costava l’anno precedente (80 €).
Dobbiamo operare nel modo seguente:
𝒗𝒂𝒓% = (𝟏𝟐𝟎 − 𝟖𝟎)
𝟏𝟐𝟎∙ 𝟏𝟎𝟎 =
𝟒𝟎
𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎 ≅ 𝟑𝟑%
cioè il prezzo dell’oggetto l’anno scorso era il 33% in meno rispetto a quello attuale.
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Molla
Una molla è un oggetto elastico, generalmente fabbricato in acciaio, usato ed ottimizzato per
accumulare energia meccanica. In meccanica, e fisica, la
legge di Hooke è la più semplice relazione costitutiva di
comportamento dei materiali elastici.
Essa è formulata dicendo che l'allungamento subìto da
una molla è direttamente proporzionale alla forza
applicata:
F=Kδ
K: costante di proporzionalità; viene detta costante elastica e dipende dalla molla.
δ: è l’allungamento subito dalla molla
I materiali per i quali la legge di Hooke è un'utile approssimazione del reale comportamento sono
detti materiali elastico-lineari.
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Espressioni letterali
Un’espressione letterale è un’espressione algebrica dove compaiono numeri e lettere; ad esempio
a + b + c + d ; 3a - 5b2 + 7c ; 4𝑥+3𝑦
3
assegnando alle lettere dei valori numerici le espressioni letterali diventano numeriche.
Esempio 1
5ab + 2c per a= 3 ; b = - 4 , c = 2 si ha:
𝟓 ∙ 𝟑 ∙ (−𝟒) + 𝟐 ∙ 𝟐 = −𝟔𝟎 + 𝟒 = −𝟓𝟔
Esempio 2
((𝒂 + 𝒃) ∙ 𝒄
𝒃) +
𝒂 ∙ 𝒃
𝒄
per a = 1 ; b= 2 ; c= 4
((𝟏 + 𝟐) ∙ 𝟒
𝟐) +
𝟏 ∙ 𝟐
𝟒= (
𝟏𝟐
𝟐) +
𝟐
𝟒= 𝟔 +
𝟏
𝟐= 𝟏𝟑
𝟐
Esempio 3
𝟑𝒙
𝟐+ 𝟐𝒚 − 𝟏𝟐
per x = 4 ; y = 4
𝟑 ∙ 𝟒
𝟐+ 𝟐 ∙ 𝟒 − 𝟏𝟐 =
𝟖
𝟐+ 𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟒 + 𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟎
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Proporzionalità quadratica
Proporzionalità quadratica diretta
Si ha una proporzionalità quadratica diretta tra due grandezze X e Y quando la grandezza variabile
Y è direttamente proporzionale al quadrato di una grandezza X, ovvero se le due grandezze sono
collegate da una relazione come:
𝐘
𝐗𝟐 = K
Esempio
Y
X2 = 9 avremo che:
Y X
9 1
36 2
81 3
dalla tabella si può notare che:
• quando X raddoppia, Y diventa quattro volte più grande;
• quando X triplica, Y diventa nove volte più grande;
più in generale quando X viene moltiplicata per n volte, Y diventa n2 volte maggiore.
Proporzionalità quadratica inversa
Si ha una proporzionalità quadratica inversa tra due grandezze X e Y quando la grandezza variabile
Y è inversamente proporzionale al quadrato di una grandezza X, ovvero se le due grandezze sono
collegate da una relazione come:
y =K
x2
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Esempio
y =1
x2 avremo che:
Y X
1 1
1
4 2
1
9 3
dalla tabella si può notare che:
• quando X raddoppia, Y diventa quattro volte più piccola;
• quando X triplica, Y diventa nove volte più piccola;
più in generale quando X viene moltiplicata per n volte, Y diventa 𝟏
𝐧𝟐 volte minore.
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Moto rettilineo uniforme
Un corpo si muove con moto uniforme quando percorre spazi uguali in tempi uguali. Ciò equivale a
dire che la velocità è costante.
Se la traiettoria è rettilinea (cioè non curva) si parla di moto rettilineo uniforme.
Nella tabella viene riportato la legge che lega (s) spazio e (t) tempo.
La stessa viene rappresentata nel grafico:
s = vt (detta anche legge oraria)
Per la velocità v= s/t, come puoi osservare nel grafico prendendo le varie coppie (s,t), si trova sempre
il valore ‘2’, a sostegno di quanto detto sopra in merito alla costanza della velocità nel moto
rettilineo uniforme. [ (s=2, t=1: v= 2) ; (s=4, t=2: v= 2) ; (s=6, t=3: v= 2) etc. ]
La velocità nel sistema S.I. si misura in metri al secondo.
Formule
𝒗 = 𝒔
𝒕 ; 𝒕 =
𝒔
𝒗 ; 𝒔 = 𝒗 ∙ 𝒕
t s 0 0
1 2 2 4
3 6
4 8
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Un’applicazione per verificare i tuoi calcoli geometrici
A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare l’applicazione che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e verifica i calcoli relativi a varie figure
geometriche. Inizia con quella proposta nel quesito.
Buon divertimento.
http://win.sinapsi.org/public/formule_geometria/index.html
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Un gioco per ripassare perimetri e aree
A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare il “gioco” che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e abbina le percentuali, le frazioni e le
immagini se vuoi battere l’hacker.
Laboratorio di aree e perimetri
* occorre attivare il plug-in Flash
** per utilizzare il gioco su tablet android basta utilizzare un ottimo browser (navigatore) che supporta la
visualizzazione di Flash: Puffin.
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Un gioco per trovare le coordinate del sommergibile
A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare il “gioco” che vedi in figura.
Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e trova le coordinate del sommergibile
https://www.geogebra.org/m/Mk3qzN3D
* occorre attivare il plug-in Flash
** per utilizzare il gioco su tablet android basta utilizzare un ottimo browser (navigatore) che supporta la
visualizzazione di Flash: Puffin.