Eπίπεδος πυκνωτής κενού χωρητικότητας C0, φορ τίζεται µε πηγή σταθερής τάσεως V0. Aποσυνδέουµε τον πυκνωτή από την πηγή και στην συνέχεια εισάγουµε στον χώρο µεταξύ των οπλισ µών του µεταλλική πλάκα, πάχους ίσου προς το ένα τρίτο της από στασης των οπλισµών του πυκνωτή. Eάν οι πλευρές της πλάκας είναι παράλληλες και ισεµβαδικές προς τους οπλισµούς του πυκνωτή, κατά πόσο θα µεταβληθεί η τάση στους οπλισµούς του; ΛYΣH: Έστω ότι η µεταλλική πλάκα έχει τοποθετηθεί σε τέτοια θέση, ώστε οι αντικρυστές όψεις της προς τον θετικό και τον αρνητικό οπλισµό του πυκ νωτή να απέχουν αντίστοιχες αποστάσεις x1 και x2 (σχ. 1). Tότε πάνω στις πλευρές αυτές της πλάκας αναπτύσσονται από επαγωγή τα ηλεκτρικά φορτία ±Q, µε αποτέλεσµα στην τελική κατάσταση του συστήµατος το ηλεκτρικό πεδίο να έχει µηδενική ένταση στο εσωτερικό της µεταλλικής πλάκας, ενώ η έντασή

Σχήµα 1 του στον υπόλοιπο χώρο του πυκνωτή θα µείνει αναλλοίωτη. Έτσι το σύστηµα ισοδυναµεί τώρα µε δύο πυκνωτές που συνδέονται κατά σειρά, οι δε χωρητικό τητες τους υπολογίζονται από τις σχέσεις:

C1 = ε0S/x1 και C1 = ε0S/x1 όπου S το εµβαδόν των οπλισµών του πυκνωτή. H ολική χωρητικότητα C του συστήµατος, θα είναι:

�

C=C1C2

C1 + C2

=(!0S/x1)(!0S/x2)

!0S/x1 + !0S/x2

�

!

�

C=!0S/x1x2

(x1 + x2)/x1x2

=!0S

x1 + x2

(1)

Όµως ισχύει x1 +x2=2L/3, οπότε η σχέση (1) γράφεται:

�

C=!

0S

2L/3=

3!0S

2L=

3C0

2 (2)

Eάν V είναι η τάση του πυκνωτή µετά την εισαγωγή της µεταλλικής πλάκας µέσα σ’ αυτόν, τότε θα ισχύει:

q = CV

�

!

(2)

�

q = 3C0V/2 (3) όπου q το σταθερό ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή. Όµως ισχύει q=C0V0, οπότε η (3) γράφεται:

�

C0V

0= 3C

0V/2

�

!

�

V = 3V0/3 (4)

Δηλαδή µε την εισαγωγή της µεταλλικής πλάκας υπό σταθερό φορτίο, µειώνε ται η τάση του πυκνωτή κατά ΔV και ισχύει:

ΔV = V0 - V !(4)

�

!V = V0- 2V

0/3 = V

0/3

P.M. fysikos

Δίνεται η παρακάτω συνδεσµολογία πυκνωτών στην οποία οι πυκνωτές µε χωρητικότητες C1 και C2 είναι αφόρτιστοι, ενώ ο πυκνωτής χωρητικότητας C0 φέρει ηλεκτρικό φορτίο q0. Eάν κλείσει ο διακόπτης Δ να βρεθούν: i) τα τελικά φορτία των πυκνωτών της συνδεσµολογίας και ii) ο λόγος της τελικής προς την αρχική ηλεκτροστατική ενέργεια του συστήµατος. ΛYΣH: i) Mε το κλείσιµο του διακόπτη οι οπλισµοί του φορτισµένου πυκ νωτή χωρητικότητας C0, φέρονται σ’ επαφή µε τους οπλισµούς των δύο άλλων αφόρτιστων πυκνωτών, οπότε θα συµβεί φόρτιση των πυκνωτών αυτών. Στην τελική κατάσταση οι τρεις πυκνωτές θ’ αποκτήσουν κοινή τάση VMN, η οποία υπολογίζεται µε βάση την αρχή διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου για το σύ στηµα των τριών οπλισµών που συνδέονται µε το σηµείο M. Έτσι, αν q1, q2, q0 είναι τα ηλεκτρικά φορτία που φέρουν οι οπλισµοί αυτοί, θα ισχύει:

q0 = q0΄ + q1 + q2

�

! q0 = C0VMN + C1VMN + C2VMN

�

!

q0 = VMN(C0 + C1 + C2)

�

!

�

VMN =q0

C0 + C1 + C2

(1)

Άρα τα τελικά ηλεκτρικά φορτία των τριών πυκνωτών θα είναι:

�

q1 = C1VMN

�

!

(1)

�

q1 =q0C1

C0 + C1 + C2

(2)

�

q2 = C2VMN

�

!

(1)

�

q2 =q0C2

C0 + C1 + C2

(3)

�

q0'= C0VMN

�

!

(1)

�

q0'=q0C0

C0 + C1 + C2

(4)

Σχήµα 2 ii) H αρχική ηλεκτροστατική ενέργεια του συστήµατος των τριών πυκνωτών είναι η αρχική ενέργεια του πυκνωτή χωρητικότητας C0, δηλαδή ισχύει:

�

W!"# = q0

2 /2C0 (5) H τελική ηλεκτροστατική ενέργεια του συστήµατος είναι:

�

W!"# = q0

2/2C!"#

= q0

2/2(C0 + C1 + C2) (6) Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (5) και (6) έχουµε:

�

W!"#

W$%&

=C

0

C0+ C

1+ C

2

< 1

P.M. fysikos

Δίνεται επίπεδος πυκνωτής, που οι οπλισµοί του είναι κατακόρυφοι και ο µεν ένας είναι ακίνητος, ενώ ο άλλος µπο ρεί να µετακινείται χωρίς τριβή κατά µήκος κατάλληλου οδηγού. Oι οπλισµοί συνδέονται µε τους πόλους ηλεκτρικής γεννήτριας σταθερής τάσεως V και κάποια στιγµή ο οπλισµός που µπορεί να κινείται αφή νεται ελεύθερος. Nα εκφράσετε την ταχύτητα του οπλισµού αυτού σε συνάρτηση µε την απόστασή του x από τον ακίνητο οπλισµό. Δίνεται η µάζα m και το εµβαδόν S του κινητού οπλισµού, καθώς και η αρχι κή του απόσταση x0 από τον ακίνητο.

ΛYΣH: O κινητός οπλισµός του πυκνωτή υπό την επίδραση της ηλεκτρικής

δύναµης F, που δέχεται από τον ακίνητο οπλισµό, τίθεται σε κίνηση πλησιάζον τας προς αυτόν µε αποτέλεσµα η απόσταση x των δύο οπλισµών να µειώνεται.

Σχήµα 3 Kατά την κίνηση αυτή η τάση του πυκνωτή παραµένει σταθερή και ίση µε V, αφού οι οπλισµοί του έχουν µόνιµη σύνδεση µε τους πόλους της ηλεκτρικής γεννήτριας, ενώ η χωρητικότητα C του πυκνωτή αυξάνεται σύµφωνα µε την σχέση C=ε0S/x. Aυτό σηµαίνει ότι, κατά την κίνηση του οπλισµού το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή θα αυξάνεται και µάλιστα για µια τυχαία θέση του κινητού οπλισµού θα ισχύει:

q = CV = ε0SV/x (1) Eξάλλου το ηλεκτρικό φορτίο q0 του πυκνωτή την στιγµή που ο κινητός οπλισ µός αφήνεται ελεύθερος θα είναι: q0 = C0V = ε0SV/x0 (2) Άρα η αύξηση του ηλεκτρικού φορτίου του πυκνωτή, στην διάρκεια που η απόσ ταση των οπλισµών ελαττώθηκε από την τιµή x0 στην τιµή x, είναι:

Δq = q - q0

�

!(2)

(1)

�

!q = "0SV(1/x - 1/x0) (3)

Στο χρονικό αυτό διάστηµα η ηλεκτρική γεννήτρια έδωσε ηλεκτρική ενέργεια Wπ ίση µε ΔqV, δηλαδή ισχύει:

Wπ = VΔq

�

!

(3)

�

W!= "0SV2(1/x - 1/x0) (4)

Όµως στον ίδιο χρόνο η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή αυξήθη κε κατά ΔWπυκ η δε κινητική ενέργεια του κινητού οπλισµού αυξήθηκε κατά mv2/2, όπου

�

! v η ταχύτητα του οπλισµού την στιγµή που η απόστασή του από

τον ακίνητο οπλισµό είναι x. Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα ισχύει:

Wπ = ΔWπυκ + mv2/2

�

! mv2/2 = Wπ - ΔWπυκ (5)

Όµως ισχύει:

�

!W"#$ =%

0SV

2

2x-%

0SV

2

2x0

=%

0SV

2

2

1

x-

1

x0

&

' (

)

* + (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4), (5) και (6) παίρνουµε την σχέση:

�

mv2

2= !

0SV

2 1

x-

1

x0

"

# $

%

& ' -

!0SV

2

2

1

x-

1

x0

"

# $

%

& ' =

!0SV

2

2

1

x-

1

x0

"

# $

%

& '

�

!

�

v2

=!

0SV

2

m

1

x-

1

x0

"

# $

%

& '

�

!

�

v = V!

0S

m

1

x-

1

x0

"

# $

%

& '

Παρατήρηση: H ταχύτητα

�

! v του κινητού οπλισµού µπορεί να υπολογισθεί

εάν εφαρµόσουµε για τον οπλισµό αυτόν το θεώρηµα κινητικής ενέργειας–έρ γου µεταξύ της αρχικής του θέσεως και της θέσεως, όπου αποκτά ταχύτητα

�

! v ,

ευρισκόµενος σε απόσταση x από τον ακίνητο οπλισµό. Έτσι θα έχουµε:

�

mv2

2- 0 = W!

F !

�

v2

=2W!

F

m !

�

v =2W!

F

m (8)

όπου

�

W!

F το αντίστοιχο έργο της ηλεκτρικής δύναµης

�

!

F . Όµως σε κάθε θέση

του κινητού οπλισµού το µέτρο της

�

!

F συνδέεται µε την απόσταση x, µέσω της σχέσεως:

�

F =!

0SV

2

2

1

x2 (9)

Άρα για το έργο

�

W!

F έχουµε:

�

W!

F = (dW)

x0

x

! = (Fdx)

x0

x

!

�

!

(9)

�

W!

F =

!0SV

2

2

dx

x2

"

# $

%

& '

x0

x

( !

�

W!

F =!

0SV

2

2

dx

x2

"

# $

%

& '

x0

x

( =!

0SV

2

2

1

x-

1

x0

"

# $

%

& ' (10)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (10) παίρνουµε:

�

v =!

0SV

2

m

1

x-

1

x0

"

# $

%

& ' = V

!0S

m

1

x-

1

x0

"

# $

%

& '

P.M. fysikos

Δίνεται µια λεπτή µεταλλική πλάκα, απεριόριστης έκτασης, φορτισµένη οµοιόµορφα µε ηλεκτρικό φορτίο επιφανειακής πυκνότητας σ. i) Xρησιµοποιώντας κατάλληλα τον νόµο του Gauss να δείξετε ότι, το µέτρο της έντασης του οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου που σχηµατί ζεται στις δύο µεριές της πλάκας, δίνεται από την σχέση:

�

E =|! | /"0

ii) Eάν απέναντι από την πλάκα τοποθετηθεί µια ακριβώς όµοια αφόρ τιστη γειωµένη πλάκα, να δείξετε ότι ανάµεσα στις δύο πλάκες σχη µατίζεται οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, του οποίου η ένταση έχει µέτρο:

�

E =|2! | /"0

όπου ε0 η απόλυτη διηλεκτρική σταθερά του κενού. ΛYΣH: i) Eπειδή το ηλεκτρικό φορτίο της µεταλλικής πλάκας είναι οµοιό µορφα κατανεµηµένο στις δύο όψεις της, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι οι δυναµικές γραµµές του ηλεκτροστατικού πεδίου, που υπάρχει εκατέρωθεν της πλάκας είναι ευθείες. Όµως αυτές τέµνουν κάθετα την πλάκα αφού αυτή απο τελεί ισοδυναµική επιφάνεια, που σηµαίνει ότι οι δυναµικές γραµµές είναι µεταξύ τους παράλληλες και ισαπέχουσες. Δηλαδή το ηλεκτροστατικό πεδίο της φορτισµένης πλάκας είναι οµογενές. Για να υπολογίσουµε το κοινό µέτρο των εντάσεων

�

!

E 1 και

�

!

E 2 του ηλεκτροστατικού πεδίου στους δύο χώρους που

εκτείνονται εκατέρωθεν της φορτισµένης πλάκας, θεωρούµε κλειστή επιφά νεια, η οποία αποτελείται από τις έξι έδρες ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέ δου, του οποίου οι δύο απέναντι έδρες S1 και S2 είναι κάθετες στις δυναµικές γραµµές του πεδίου (σχ. 4), ενώ οι άλλες τέσσερις έδρες του είναι παράλληλες προς τις δυναµικές γραµµές. Eφαρµόζοντας για την κλειστή αυτή επιφάνεια τον νόµο της ηλεκτρικής ροής του Gauss παίρνουµε την σχέση: Φολ = Q/ε0 (1) όπου Q το ηλεκτρικό φορτίο που περικλείει το παραλληλεπίπδο. Όµως η ολική ηλεκτρική ροή Φολ που διέρχεται µέσα στις έξι έδρες του παραλληλεπιπέδου είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των επί µέρους ηλεκτρικών ροών που αντι στοιχούν στις έδρες αυτές, δηλαδή ισχύει η σχέση:

Φολ = Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4 + Φ5 + Φ6

�

!

�

!"#

= E1S1$%&(!

E 1'! n 1) + E2S2$%&(

!

E 2'! n 2) + 0 + 0 + 0 + 0

�

!

�

!"#

= ± ES ± ES = ± 2ES (2) όπου S το κοινό εµβαδόν των εδρών S1 και S2 του παραλληλεπιπέδου και E το

κοινό µέτρο των εντάσεων

�

!

E 1,

�

!

E 2. (Tο πρόσηµο + αντιστοιχεί στην περίπτωση

που ισχύει Q>0, ενώ το - αντιστοιχεί σε Q<0). Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε:

�

± 2ES =Q

!0

�

!

�

E =1

!0

±Q

2S

"

# $

%

& ' =

1

!0

|Q|

2S (3)

Όµως το ηλεκτρικό φορτίο Q είναι οµοιόµορφα διανεµηµένο πάνω σε εµβαδόν 2S, οπότε το πηλίκο Q/2S εκφράζει την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ της πλάκας, µε αποτέλεσµα η σχέση (3) να γράφεται:

�

E =|! | /"0 (4)

Σχήµα 4 Σχήµα 5 ii) Όταν απέναντι προς την ηλεκτρισµένη πλάκα A τοποθετηθεί όµοια µεταλ λική πλάκα B, που είναι αφόρτιστη και προσγειωµένη (σχ. 5), τότε η πλάκα αυτή φορτίζεται από επαγωγή µε ηλεκτρικό φορτίο αντίθετο του φορτίου της αρχικής πλάκας. Tο ηλεκτρικό αυτό φορτίο κατανέµεται οµοιόµορφα στην όψη της πλάκας που είναι αντικρυστή προς την πλάκα A, ενώ το ηλεκτρικό φορτίο της A συγκεντρώνεται* τώρα στη µιά µόνο όψη της, ώστε τα φορτία των πλα κών να είναι το ένα απέναντι του άλλου. Aυτό έχει ως αποτέλεσµα να διπλά σιάζεται η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου της πλάκας A, δηλαδή αυτή γίνε

ται 2σ. Για να υπολογίσουµε το µέτρο της έντασης E του οµογενούς ηλεκτρι κού πεδίου, που υπάρχει µεταξύ των πλακών A και B, θεωρούµε κλειστή επιφάνεια, η οποία αποτελείται από τις έξι έδρες ενός παραλληλεπιπέδου, του οποίου η µία έδρα S1 είναι στο εσωτερικό της πλάκας A και παράλληλη προς αυτή, η απέναντι έδρα S2 είναι µέσα στο ηλεκτρικό πεδίο των πλακών και κάθε τη στις δυναµικές γραµµές (σχ. 5), οι δε άλλες τέσσερις έδρες του είναι πα ράλληλες προς τις δυναµικές γραµµές του πεδίου. Eφαρµόζοντας για την κλειστή αυτή επφάνεια το νόµο της ηλεκτρικής ροής του Gauss, έχουµε για -------------------------- * H συγκέντρωση των ηλεκτρικών φορτίων των δύο πλακών σε επιφάνειες που είναι η µία απέναντι της άλλης, οφείλεται στην αµοιβαία έλξη των αντίθετων φορτί ων τους.

την ολική ηλεκτρική ροή Φολ που διέρχεται µέσα από αυτή, την σχέση: Φολ = Q/ε0 (5) όπου Q το ηλεκτρικό φορτίο που περικλείει η επιφάνεια αυτή. Όµως η Φολ είναι ίση µε το άθροισµα των επί µέρους ηλεκτρικών ροών που διέρχονται από τις έξι έδρες του παραλληλεπιπέδου, οπότε θα ισχύει :

Φολ = Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4 + Φ5 + Φ6

�

!

�

!"#

= 0 + ES$%&(!

E '! n ) + 0 + 0 + 0 + 0

�

!

�

!"#

= ± ES (6) όπου S το κοινό εµβαδόν των εδρών S1 και S2 και E το µέτρο της έντασης του οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου των δύο πλακών (το πρόσηµο + αντιστοιχεί σε Q>0 και το - σε Q<0 ). Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε:

�

± ES =Q

!0

�

!

�

E =1

!0

±Q

S

"

# $

%

& ' =

1

!0

|Q|

S (7)

Όµως το πηλίκο Q/S αποτελεί την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου της πλά κας A, η οποία όµως είναι 2σ, οπότε η (7) γράφεται:

�

E =|2! | /"0

P.M. fysikos

Δίνεται θετικά φορτισµένος µεταλλικός αγωγός, που η εξωτερική του επιφάνεια έχει τυχαίο σχήµα. Eάν σ είναι η επι φανειακή πυκνότητα φορτίου σ’ ένα σηµείο της επιφάνειας αυτής, να δείξετε µε εφαρµογή του νόµου του Gauss ότι, το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου λίγο πιο πάνω από το σηµείο αυτό είναι ίσο µε σ/ε0. Στην συνέχεια να δείξετε ότι, το µέτρο της δύναµης επί ενός στοι χειώδους τµήµατος dS της εξωτερικής επιφάνειας του αγωγού που βρίσκεται στην περιοχή του θεωρούµενου σηµείου, δίνεται από την σχέση. dF = !

2 dS/2"0

ΛYΣH: Θεωρούµε ένα τυχαίο σηµείο M της εξωτερικής επιφάνειας του µεταλ λικού αγωγού, στο οποίο η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου είναι σ και παίρ νουµε στην περιοχή του σηµείου αυτού ένα στοιχειώδες τµήµα, εµβαδού dS. Στην συνέχεια θεωρούµε στοιχειώδη κύλινδρο, που ο άξονάς του είναι κάθετος στο εµβαδόν dS, οι βάσεις του έχουν εµβαδόν dS και η µία βρίσκεται έξω από τον αγωγό, ενώ η άλλη είναι µέσα σ’ αυτόν. (σχ. 6). Eάν

�

!

E είναι το διάνυσµα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του αγωγού λίγο πιο κάτω από το σηµείο M, τότε το διάνυσµα αυτό θα είναι παράλληλο προς την παράπλευρη επιφάνεια του κύλινδρου και κάθετο στις δύο βάσεις του. Eίναι φανερό ότι, από την βάση του κύλινδρου που βρίσκεται µέσα στον αγωγό, δεν διέρχεται ηλεκτρική ροή, διότι εκεί η ένταση του πεδίου είναι µηδενική. Eπίσης µηδέν θα είναι και η

ηλεκτρική ροή διαµέσου της παράπλευρης επιφάνειας του κύλινδρου, αφού αυτή δεν διασχίζεται από δυναµικές γραµµές. Έτσι η ολική ηλεκτρική ροή dΦ που διέρχεται από την κυλινδρική επιφάνεια θα είναι ίση µε την ηλεκτρική ροή που διέρχεται από την βάση του κύλινδρου, που βρίσκεται έξω από τον αγωγό, δηλαδή θα ισχύει:

�

d! = EdS"#$(!

E %! n ) = EdS"#$0 = EdS (1)

όπου

�

! n το µοναδιαίο διάνυσµα της βάσεως αυτής. Όµως ο κύλινδρος περικλείει

ηλεκτρικό φορτίο dQ=σdS και σύµφωνα µε τον νόµο του Gauss θα ισχύει:

�

d! = dQ/"0 !(1)

�

EdS = dQ/!0

�

!

�

EdS = !dS/"0

�

!

�

E = ! /"0 (2)

Σχήµα 6 Έστω

�

!

E x η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουργούν πάνω στο στοιχει

ώδες τµήµα dS, τα ηλεκτρικά φορτία που υπάρχουν στην υπόλοιπη εξωτερική επιφάνεια του αγωγού. Tο ηλεκτρικό φορτίο dQ του στοιχειώδους τµήµατος dS, θεωρούµενο ανεξάρτητα από το υπόλοιπο φορτίο του αγωγού θα δηµιουρ γούσε πολύ κοντά προς το κοίλο και το κυρτό του µέρος τις αντίστοιχες εντά σεις

�

!

E 1 και

�

!

E 2, που για λόγους συµµετρίας θα είναι µεταξύ τους αντίθετες.

Xρησιµοποιώντας την αρχή της επαλληλίας για ένα εσωτερικό σηµείο του αγω γού που βρίσκεται πολύ κοντά στο στοιχειώδες τµήµα dS θα έχουµε:

�

!

E x+

!

E 1=

!

0

�

!

�

!

E x= -

!

E 1

�

!

�

!

E x=

!

E 2 (3)

Eξάλλου για ένα εξωτερικό σηµείο του αγωγού, που βρίσκεται στην περιοχή του dS και πολύ κοντά σ’ αυτό θα έχουµε:

�

!

E =

!

E 2+

!

E x

�

!

(3)

�

!

E =

!

E x+

!

E x

�

!

�

!

E x=!

E /2 Δηλαδή η ένταση

�

!

E x είναι οµόρροπη της

�

!

E και το µέτρο της είναι:

�

Ex=E/2

�

!

(2)

�

Ex= ! /2"

0 (4)

Έτσι η δύναµη

�

d

!

F που δέχεται το ηλεκτρικό φορτίο dQ από τα υπόλοιπα φορ τία της εξωτερικής επιφάνειας του αγωγού, θα έχει µέτρο:

dF = ExdQ

�

!

(4)

�

dF =!dQ

2"0

=!!dS

2"0

=!

2dS

2"0

P.M. fysikos

Mέσα στον αέρα βρίσκεται µεταλλική σφαίρα ακτί νας R, φορτισµένη µε θετικό ηλεκτρικό φορτίο Q. Nα δείξετε ότι η απωστική δύναµη που εξασκεί το ένα µισό της σφαίρας πάνω στο άλ λο µισό, έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση:

�

F!"

=Q2/32#$0R2

όπου ε0 η απόλυτη διηλεκτρική σταθερά του κενού. ΛYΣH: Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα dS στο πάνω µισό µέρος του σφαιρι κού αγωγού, του οποίου η επιβατική ακτίνα σχηµατίζει γωνία φ µε τον άξονα συµµετρίας yy΄ του αγωγού. Aυτό δέχεται από το ηλεκτρικό φορτίο, που είναι κατανεµηµένο στην υπόλοιπη επιφάνεια του σφαιρικού αγωγού, στοιχειώδη δύ

Σχήµα 7 ναµη

�

d

!

F 1, που έχει φορέα την επιβατική ακτίνα του στοιχειώδους τµήµατος,

φορά προς το εξωτερικό µέρος της σφαίρας και µέτρο που υπολογίστηκε στο προηγούµενο παράδειγµα και είναι:

�

dF1

= !2dS/2"

0 (1)

Όµως η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ είναι ίση µε Q/4πR2, οπότε η σχέση (1) γράφεται:

�

dF1 = Q2dS/32!0"2R4 (2)

Aναλύουµε την

�

d

!

F 1 σε µια κατακόρυφη συνιστώσα

�

d! F 1y και σε µια οριζόντια

συνιστώσα

�

d

!

F 1x

. H οριζόντια συνιστώσα έχει τον ίδιο φορέα, αντίθετη φορά και

ίσο µέτρο µε την αντίστοιχη συνιστώσα

�

d!

F 2x

της ηλεκτρικής δύναµης

�

d!

F 2 που

δέχεται το συµµετρικό του dS ως προς τον άξονα yy΄ στοιχειώδες τµήµα, οπό τε µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η συνισταµένη ηλεκτρική δύναµη

�

!

F !"

που δέ χονται όλα τα στοιχειώδη τµήµατα του πάνω ηµισφαιρίου είναι ίση µε το δια νυσµατικό άθροισµα των κατακόρυφων συνιστωσών

�

d! F y . Όµως όλες οι κατακό

ρυφες συνιστώσες είναι οµόρροπες, οπότε το µέτρο της F!" θα είναι ίσο µε το άθροισµα των µέτρων των κατακόρυφων συνιστωσών, δηλαδή θα έχουµε:

�

F!" = (dFy) = (dF#$%&)''

�

!

(1)

�

F!" =Q2dS#$%&32'0(

2R4

)

*

+

,

-

. / =Q2

32'0(2R4

(dS#$%&)/ (3)

Όµως το γινόµενο dSσυνφ είναι ίσο µε το εµβαδόν dS’ της προβολής του dS πάνω στο ισηµερινό επίπεδο του µεταλλικού σφαιρικού αγωγού (σχ. 7), οπότε το άθροισµα Σ(dSσυνφ) είναι ίσο µε πR2. Έτσι η (3) γράφεται:

�

F!"

=Q2

#R2

32$0#2R4

=Q2

32$0#R2

P.M. fysikos

Mεταλλική σφαίρα ακτίνας r, φέρει στην εξωτερι κή της επιφάνεια θετικό ηλεκτρικό φορτίο Q. H σφαίρα περιβάλλεται µε αφόρτιστο µεταλλικό σφαιρικό δακτύλιο, οµόκεντρο της σφαίρας, του οποίου η εσωτερική ακτίνα είναι R1 η δε εξωτερική είναι R2. i) Nα βρεθούν τα δυναµικά της µεταλλικής σφαίρας και του µεταλλι κού σφαιρικού δακτυλίου. ii) Eάν προσγειωθεί ο µεταλλικός δακτύλιος, ποια είναι η νέα τιµή του δυναµικού της σφαίρας και ποια είναι η µεταβολή της ηλεκτρο στατικής ενέργειας του συστήµατος; iii) Eάν διακόψουµε την προσγείωση του δακτυλίου και στην συνέχει α προσγειώσουµε την µεταλλική σφαίρα µέσω λεπτού σύρµατος, που διέρχεται από µια µικρή οπή του δακτυλίου, να υπολογιστεί το ηλεκτ ρικό φορτίο που θα παραµείνει στην σφαίρα καθώς και το δυναµικό του σφαιρικού δακτυλίου. ΛYΣH: i) Tο ηλεκτρικό φορτίο Q της µεταλλικής σφαίρας είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένο στην εξωτερική της επιφάνεια και δηµιουργεί από επαγωγή φορ

τίο -Q επί της κοίλης επιφάνειας του σφαιρικού µεταλλικού δακτυλίου και αντίστοιχο φορτίο +Q επί της κυρτής επιφάνειας αυτού (σχ. 8.α). Tο ηλεκτρο στατικό πεδίο που οφείλεται στο φορτίο Q της σφαίρας και στα επαγωγικά ηλεκτρικά φορτία ±Q παρουσιάζει ακτινική συµµετρία ως προς το κέντρο O, το δε µέτρο της έντασης του σε συνάρτηση µε την απόσταση x από το κέντρο O δί νεται από την σχέση:

�

E =

0 , 0 ! x < r

Q/4"#0x2 , r < x < R1

0 , R1 < x < R2

Q/4"#0x2 , R2 < x < +$

%

&

' '

(

'

'

(1)

Έτσι για το δυναµικό Vσφ του σφαιρικού αγωγού θα σχύει η σχέση:

Σχήµα 8.α

�

V!" = VA,B +VB,# +V# ,$ = (Edx)

r

R1

% + (Edx)

R1

R2

% + (Edx)

R2

+$

%

�

!

(1)

�

V!" =Qdx

4#$ 0x2

%

& '

(

) *

r

R1

+ + (0dx)

R1

R2

+ +Qdx

4#$0x2

%

& '

(

) *

R2

+,

+

�

!

�

V!" =Q

4#$0

dx

x2

%

& '

(

) *

r

R1

+ +Q

4#$ 0

dx

x2

%

& '

(

) *

R2

+,

+

�

!

�

V!" =Q

4#$0

1

r-

1

R1

%

& '

(

) * +

Q

4#$0

1

R2

%

& '

(

) *

�

!

�

V!" =Q

4#$0

1

r-

1

R1

+1

R2

%

& '

(

) * (2)

Για το δυναµικό Vδ του σφαιρικού δακτυλίου ισχύει η σχέση:

�

V! = (Edx)

R2

+"

# =Q

4$% 0

dx

x2

&

' (

)

* +

R2

+"

# =Q

4$% 0R2

(3)

ii) Όταν ο σφαιρικός δακτύλιος προσγειωθεί, τότε το ηλεκτρικό φορτίο +Q που φέρει στην κυρτή του επιφάνεια διαρρέει προς την Γη, οπότε δηµιουργείται ένας σφαιρικός πυκνωτής µε ηλεκτρικό φορτίο Q, δηλαδή καταργείται το ηλεκ τρικό πεδίο στον εξωτερικό χώρο του σφαιρικού δακτυλίου, ενώ το ηλεκτρικό πεδίο µεταξύ του σφαιρικού αγωγού και της κοίλης επιφάνειας του δακτυλίου παραµένει αναλλοίωτο (σχ. 8.β). Mέσα σ’ αυτό το πεδίο η κοίλη επιφάνεια του δακτυλίου αποτελεί ισοδυναµική επιφάνεια µε δυναµικό µηδέν. Έτσι για το νέο δυναµικό V΄σφ. του σφαιρικού αγωγού θα ισχύει η σχέση:

Σχήµα 8.β

�

V'!" = VM -VN = (Edx)

r

R1

#

�

!

�

V'!" =Q

4#$ 0

dx

x2

%

& '

(

) *

r

R1

+

�

!

�

V'!" =Q

4#$0

dx

x2

%

& '

(

) *

r

R1

+ =Q

4#$ 0

1

r-

1

R1

%

& '

(

) * (4)

Eξάλλου µε την κατάργηση του ηλεκτροστατικού πεδίου στον εξωτερικό χώρο του σφαιρικού δακτυλίου µειώνεται η ηλεκτρική ενέργεια του συστήµατος κατά ποσότητα ίση προς την ηλεκτρική ενέργεια που ήταν αποθηκευµένη στον εξωτερικό χώρο του δακτυλίου, πριν αυτός προσγειωθεί. Όµως η ενέργεια αυτή είναι ίση προς την ηλεκτρική ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου σφαιρικού αγωγού ακτίνας R2 και ηλεκτρικού φορτίου Q. Έτσι η ζητούµενη ελάττωση ΔW της ηλεκτρικής ενέργειας του συστήµατος, η οφειλόµενη στην προσγείωση του σφαιρικού δακτυλίου θα είναι:

�

!W = QV"/2

�

!

(3)

�

!W= Q2/8"#0R2 (5) iii) Eάν διακόψουµε την προσγείωση του σφαιρικού δακτυλίου και στην συνέ χεια προγειώσουµε την µεταλλική σφαίρα, τότε ένα µέρος του αρχικού της φορ

τίου θα διαρεύσει* προς την Γη και τελικά θα παραµείνει πάνω σ’ αυτήν φορτίο Qx<Q. Eξάλλου, το ηλεκτρικό φορτίο -Q του µεταλλικού δακτυλίου θα ανακατανεµηθεί και ένα µέρος αυτού ίσο µε –Qx θα παραµείνει στην κοίλη του επιφάνεια και το υπόλοιπο φορτίο -Q+Qx θα κατανεµηθεί στην κυρτή του επιφά νεια. Στο νέο ηλεκτροστατικό πεδίο που θα διαµορφωθεί ο σφαιρικός αγωγός αποτελεί ισοδυναµική επιφάνεια µε δυναµικό ίσο προς το δυναµικό της Γης, δηλα δή ίσο µε µη δέν. Έτσι θα έχουµε την σχέση:

Σχήµα 8.γ

�

0 = VA',B' +VB',! ' +V! '," = (Edx)

r

R1

# + (Edx)

R1

R2

# + (Edx)

R2

+"

#

�

!

(1)

�

0 =Qx

4!"0

dx

x2

#

$ %

&

' (

r

R1

) + (0dx)

R1

R2

) +Qx - Q

4!"0

dx

x2

#

$ %

&

' (

R2

+*

)

�

!

�

0 =Qx

4!" 0

dx

x2

#

$ %

&

' (

r

R1

) +Qx - Q

4!" 0

dx

x2

#

$ %

&

' (

R2

+*

)

�

!

�

0 =Qx

4!"0

1

r-

1

R1

#

$ %

&

' ( +

Qx - Q

4!"0

1

R2

#

$ %

&

' (

�

!

�

0 =Qx

r-Qx

R1

+Qx

R2

-Q

R2

�

!

�

Q

R2

= Qx

1

r-

1

R1

+1

R2

!

" #

$

% &

�

!

�

Qx =Q

R2

/1

r-

1

R1

+1

R2

!

" #

$

% & (6)

--------------------------------------- * Aκριβέστερα ηλεκτρόνια εκ της Γης µεταφερόµενα στην µεταλλική σφαίρα εξουδετερώνουν ένα µέρος του θετικού της φορτίου, γεγονός που επιβεβαιώνει ποσοτικά την αρχική πρόβλεψη ότι, µειώνεται το ηλεκτρικό φορτίο του σφαιρικού αγωγού. Έτσι στην τελική κατάσταση η µορφή του ηλεκτροστατικού πεδίου που οφείλεται στα επί των σφαιρικών επιφανειών υπάρχοντα ηλεκτρικά φορτία ±Qx και -Q+Qx θα έχει την µορφή του σχήµατος (8.γ).

Παρατήρηση: Aπό την σχέση (6) προκύπτει ότι:

�

Q

Qx

= R2

1

r+

1

R2

-Q

R1

!

" #

$

% &

�

!

�

Q

Qx

=R2

r+1 -

R2

R1

�

!

�

Q

Qx

= 1+ R2

1

r-

1

R1

!

" #

$

% &

�

!

�

Q

Qx

> 1

�

!

�

Qx < Q

P.M. fysikos

Mια συνεχής κατανοµή ηλεκτρικών φορτίων είναι εντοπισµένη σε σφαιρική περιοχή, ακτίνας R. H κατανοµή αυτή δηµι ουργεί ηλεκτρικό πεδίο, του οποίου η ένταση µεταβάλλεται µε την απόσταση r απο το κέντρο της κατανοµής, σύµφωνα µε την σχέση:

E =

!r3 /"0 , 0 ! r ! R

!R5 /"0r2 , R ! r < +"

#

$ %

& %

όπου α θετική και σταθερή ποσότητα. Nα βρεθεί η συνάρτηση δυναµι κού του ηλεκτρικού πεδίου της κατανοµής. ΛYΣH: Eάν V είναι το δυναµικό σε απόσταση r απο το κέντρο της σφαιρικής κατανοµής φορτίων, θα ισχύει: E = - dV/dr ! dV = -Edr (1) Για R ≤ r <

�

+! η (1) γράφεται:

dV = -

!R5

"0

!dr

r2

!

�

V = -!R

5

"0

dr

r2

!

" #

$

% & ' + C =

!R5

"0r

+C (2)

H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει εκ της οριακής συνθήκης µηδενισµού του δυναµικού στο άπειρο, οπότε εύκολα διαπιστώνεται ότι C=0 και η (2) παίρ νει την µορφή:

�

V =!R

5

"0

!1

r µε R ≤ r <

�

+! (3)

Για 0≤r≤ R η (1) γράφεται:

dV = -

!r3

"0

!dr !

V = -!r

4

4"0

+ C'

(4)

H σταθερά ολοκλήρωσης C' θα προκύψει αν απαιτήσουµε η συνάρτηση δυνα µικού να είναι συνεχής στην θέση r=R, οπότε θα ισχύει:

r! -R

limV =r!

+R

limV !

-!R

4

4"0

+ C'=!R

5

"0

!1

R !

C'=

!R4

"0

+!R

4

4"0

=5!R

4

4"0

Έτσι η σχέση (4) γράφεται:

V = -

!r4

4"0

+5!R

4

4"0

=!(5R4 - r4)

4"0

µε 0 ≤ r ≤ R (5)

Oι σχέσεις (3) και (5) συνοψίζονται στην σχέση:

V =

!(5R4 - r4 )/4"0 , 0 ! r ! R

!R5 /"0r , R ! r < +"

#

$ %

& %

P.M. fysikos

Tρία πολύ λεπτά µεταλλικά φύλλα µε απεριόρι στες διαστάσεις, τοποθετούνται αντικρυστα σε απόσταση α, όπως φαί νεται στο σχήµα (9). Kάθε φύλλο φέρει θετικό ηλεκτρικό φορτίο, οµοιόµορφα κατανεµηµένο, του οποίου η επιφανειακή πυκνότητα εί ναι σ. Nα βρείτε τις συναρτήσεις της έντασης και του δυναµικού του ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουργούν τα φύλλα σε όλο τον χώρο. Δίνε ται η απόλυτη διηλεκτρική σταθερά ε0

του κενού και ότι το µεσαίο φύλλο έχει δυναµικό µηδεν. ΛYΣH: i) Σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας, η αλγεβρική τιµή της έντα σης του ηλεκρτικού πεδίου στην περιοχή 0<x<α έχει την µορφή:

�

E'x=

!

2"0

+!

2"0

-!

2"0

=!

2"0

(1)

Σχήµα 10

Στην περιοχή -α < x < 0 για λόγους συµµετρίας η συνάρτηση της έντασης έχει την µορφή:

�

E'x= -!/2"

0 (2) Xρησιµοποιώντας την ίδια αρχή βρίσκουµε ότι η συνάρτηση E=E(x) στην περιο χή α<x<+∝. είναι της µορφής:

�

E''x=

!

2"0

+!

2"0

+!

2"0

=3!

2"0

(3)

Για λόγους συµµετρίας στην περιοχή -∝<x<0 η συνάρτηση E=E(x) είναι:

�

E''x= -3!/2"

0 (4) Δηλαδή η συνάρτηση E=E(x) έχει την µορφή:

�

E =

-3!/2"0 , -! < x < -#

-!/2"0 , - # < x < 0

!/2"0 , 0 < x < #

3!/2"0 , # < x < +!

"

#

$ $

%

$

$

(5)

H συνάρτηση δύναµικού V=V(x) θα βρεθεί µέσω της σχέσεως:

�

dV = -Edx !

�

V = - E(x)dx! + C (6)

όπου C σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία θα βρεθεί από την οριακή συνθήκη, ότι για x=0 είναι V=0. Για 0<x<α η (6) γράφεται:

V = -!dx

2"0

! +C !

V = -!x

2"0

+C !

�

x! + 0

limV = C

Άρα

�

V = -!x

2"0

για 0 ≤ x < α (7)

και

�

x!"#

limV = -!#

2"0

Για α<x<+∝ η (6) γράφεται:

V = -3!dx

2"0

! +C' !

V = -3!x

2"0

+C' (8)

όπου C’ σταθερά ολοκλήρωσης. Eπειδή η συνάρτηση δυναµικού είναι συνεχής ισχύει:

�

x !+"

limV =x!

#"

limV = -!"

2"0

οπότε η (8) δίνει:

-!"

2#0

= -3!"

2#0

+C' !

C'=2!"

2#0

=!"

#0

Σχήµα 11 Άρα

V = -3!x

2"0

+!#

"0

=!

"0

# - 3x( ) για α≤x<+∝

Aνάλογα εργαζόµενοι στις περιοχές -α<x<0 και -∝<x≤-α καταλήγουµε στις σχέ σεις:

�

V =!x/2"0 , - # ! x < 0

!(3x +#)/2"0 , -" < x ! -#

#

$

%

Oι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης V=V(x) φαίνεται στο σχήµα (11)

P.M. fysikos

Δύο λεπτά µεταλλικά φύλλα (α) και (β) απεριόρι στων διαστάσεων φέρουν θετικά φορτία οµοιόµορφα κατανεµηµένα πάνω σ’ αυτά, µε αντίστοιχες επιφανειακές πυκνότητες φορτίου σα και σβ. Tα φύλλα βρίσκονται το ενα απέναντι του άλλου µέσα σ’ ένα χώρο, όπου έχει διαµορφωθεί ηλεκτροστατικό πεδίο του οποίου η

ένταση αριστερά του φύλλου (α) είναι παντού

�

!

E 1, δεξιά του φύλλου

(β) είναι παντού

�

!

E 3 και µεταξύ των δύο φύλλων είναι παντού

�

!

E 2. Oι

εντάσεις αυτές είναι κάθετες στα δύο φύλλα και δεν απορρέουν µόνο από τα ηλεκτρικά τους φορτία, αλλά και από και άλλες πηγές, οι οποίες δεν µας ενδιαφέρουν. Aς δεχθούµε ότι τα δύο φύλλα έχουν µεταξύ τους κατάλληλο ελαστικό σύνδεσµο που µας επιτρέπει να µετρήσουµε την δύναµη που δέχεται το σύστηµα από το ηλεκτροστατι κό πεδίο. Nα δείξετε ότι η δύναµη αυτή ανά µονάδα επιφανείας του συστήµατος ικανοποιεί την σχέση:

�

!

F * =!"+!#

2(!

E 1+!

E 3)

ΛYΣH: Θεωρούµε ένα στοιχείο εµβαδού dS του φύλλου (α). Aυτό δέχεται στην

όψη του που είναι στραµµένη προς το µέρος του πεδίου έντασης

�

!

E 1 δύναµη*

�

!"dS!

E 1/2 και στην άλλη όψη του που είναι στραµµένη προς το µέρος του πεδί

ου έντασης

�

!

E 2 δύναµη

�

!"dS!

E 2/2, που σηµαίνει ότι η συνολική ηλεκτρική

δύναµη επί του στοιχείου αυτού είναι:

�

d!

F !

="

!

2

!

E 1+!

E 2( ) dS !

�

d!

F !

dS="

!

2

!

E 1+!

E 2( ) (1)

Mε ανάλογο τρόπο βρίσκουµε ότι η δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας του φύλλου (β) είναι:

�

d!

F !

dS="!

2

!

E 2+!

E 3( ) (2)

Σχήµα 11

Άρα η δύναµη

!

F * ανά µονάδα επιφάνειας στο σύστηµα των δύο φύλλων είναι:

!

F *=

d

!

F !

dS+

d

!

F "

dS !(2)

(1)

�

!

F *=!"

2

!

E 1+!

E 2( ) +

!#

2

!

E 2+!

E 3( ) (3)

Eφαρµόζοντας τον νόµο του Gauss για δύο ορθογώνια παραλληλεπίπεδα που οι τοµές τους µε το επίπεδο του σχήµατος είναι ορθογωνιακές γραµµές A1B1Γ1Δ1 και A2B2Γ2Δ2 (σχ. 11) παίρνουµε τις σχέσεις: ------------------------------------------------ * Bλέπε 5ο παράδειγµα, όπου υπάρχει αναλυτική απόδειξη, ότι η ένταση του πε

δίου πολύ κοντά στο στοιχείο dS γίνεται

�

! E

1/2, όταν δεν ληφθεί υπ’ όψη στην δια

µόρφωση της

�

! E

1 το στοιχειώδες φορτίο σα dS που υπάρχει επί του στοιχείου dS. Aυτό είναι απαραίτητο όταν το φορτίο σα dS θεωρείται ως υπόθεµα και όχι ως πηγή.

�

(! E 2!! n ) - (E1!

! n ) =!"/#0

- (! E 2!! n ) + (

! E 3!! n ) =!$ /#0

"

#

$

!

�

! E

2- E

1=! n !" /#0

-! E

2+! E

3=! n !$ /#0

!

"

#

!

�

!

E 2

=!

E 1+! n !" /#0!

E 2

=!

E 3-! n !$ /#0

!

" #

$ # (4)

όπου

! n το µοναδιαίο διάνυσµα της κάθετης προς τα δύο φύλλα διεύθυνσης.

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε:

�

!

F *=!"

2

!

E 1+!

E 3-! n !# /$0( ) +

!#

2

!

E 3+!

E 1+! n !" /$0( ) !

�

!

F *=

!"

2+!#

2

!

" #

$

% & !

E 1+!

E 3( ) -

!"!#

! n

2$0

+!"!#

! n

2$0

!

�

!

F * =!"+!#

2! (!

E 1 +!

E 3)

P.M. fysikos