実践事例【具体的な課題集】- 1 - 実践事例【具体的な課題集】曓研究では，繰り返し指導してきた。その結果，以下のような生徒の変容を様々な泯動場面

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●実践事例●【具体的な課題集】

本研究では，

繰り返し指導してきた。

その結果，以下のような生徒の変容を様々な活動場面

で確認することができた。

基本技能基本技能基本技能基本技能をををを身身身身にににに付付付付けさせるけさせるけさせるけさせる手手手手だてだてだてだて子子子子どもたちのどもたちのどもたちのどもたちの変容変容変容変容

ここでは実際に授業で用いた導入課題と説明シート，および授業の一コマを載せる。

導入課題には中学校第２学年，第 3学年で扱うものも挙げたが，これは今回の研究（第 1学年

の取組）に系統性をもたせた指導を今後も継続して行っていってほしいという研究員の願いの現

れである。また，当然ながら数量関係の指導に 3 年間の見通しをもたせる必要性を示したもので

もある。

日常日常日常日常のののの具体的具体的具体的具体的なななな事象事象事象事象のののの中中中中にあるにあるにあるにある数量関係数量関係数量関係数量関係をををを表表表表，，，，式式式式，，，，グラフグラフグラフグラフによってによってによってによって表現表現表現表現することはすることはすることはすることは，，，，目目目目にににに

見見見見えなかったえなかったえなかったえなかった二二二二つのつのつのつの数量数量数量数量のののの関係関係関係関係をををを目目目目にににに見見見見えるようにしえるようにしえるようにしえるようにし，，，，そのそのそのその関係関係関係関係をををを能率的能率的能率的能率的にににに調調調調べべべべ，，，，本質本質本質本質をををを解解解解

明明明明しようとするものであるしようとするものであるしようとするものであるしようとするものである。。。。

ここで紹介する導入課題や説明シートを参考に，問題となっている対象を明確に意識して考察

する，数学的活動の一層の充実を今後も図っていただきたい。

■ 身近身近身近身近なななな事例事例事例事例によるによるによるによる課題提示課題提示課題提示課題提示

（（（（変化変化変化変化のののの様子様子様子様子をををを視覚視覚視覚視覚でとらえるでとらえるでとらえるでとらえる））））

■ 意図的意図的意図的意図的ななななノートノートノートノートづくりのづくりのづくりのづくりの継続継続継続継続

（（（（説明説明説明説明シートシートシートシートのののの活用活用活用活用））））

■ 表表表表，，，，式式式式，，，，グラフグラフグラフグラフのののの一体化一体化一体化一体化

（（（（関数関数関数関数をををを活用活用活用活用できるできるできるできる力力力力のののの育成育成育成育成））））

○答えを求めた後も日常生活に照らして考えた

り，説明の仕方を工夫したりするようになる。

○解決に至るまでの思考の振り返りが容易とな

り，仲間同士で相互補助し合う姿が増える。

○変化の様子を調べ，説明する手段としての

『表，式，グラフのよさ』が理解される。

【ワークシート】

① 具体的な事象の中にある二つの数量の変化

や対応を調べるための導入課題を提示し，

② 表，式，グラフを常に関連付けたワークシ

ートを使って授業を展開し，

③ 日常使う自分の言葉で説明できるよう，

日常に存在する二つの数量の関係を調べよう

１学年実践事例

２学年実践事例

３学年実践事例

説明シート

研究のまとめ

みてね

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《《《《１１１１年生年生年生年生》》》》

この課題で伴って変わる２つの数量は

窓を開けた長さが変わると，開いた部分の面積も変わることです。

窓を開けた長さを cm、開いた部分の面積を 2cm として調べます。

【表現してみよう１】変化の様子を、表表表表に表すと

【表現してみよう２】変化の様子を、ググググラフラフラフラフに表すと

原点を通り、

傾き 50 の

直線となる。

【表現してみよう３】変化の様子を、式式式式に表すと

50 倍すると

開けた長さを 50倍すれば面積が出る。

これらのことから２つの数量の間に、比例の関係が成り立つことが分かります。

さらに、２つの数量には０≦ ≦30，０≦ ≦1500 という変域変域変域変域があります。

( cm ) 0 1 2 3 4 ･･･ 30

(2cm ) 0 50 100 150 200 ･･･1500 y

x

〔事例①〕縦縦縦縦５０５０５０５０cm、、、、横横横横３０３０３０３０cmのののの長方形長方形長方形長方形のののの窓窓窓窓をををを

開開開開けたけたけたけたときのときのときのときの長長長長さとさとさとさと、、、、開開開開いたいたいたいた部分部分部分部分のののの面面面面

積積積積のののの関係関係関係関係をををを調調調調べましょうべましょうべましょうべましょう。。。。

y x

y yx50xx

x y

実際に教室の窓を開け閉め

して変化の様子を確かめると、

イメージが膨らみました。

変域も意識できました。

先生、窓(ガラスの部分）の面

積も変わっていくよ。

ホントだ！…いい発見だね。

他にも変わるものはあるかな？

・この窓は、うちの小窓と同じく

らいの大きさだよ。

教室の窓はもっと大きいよ。

…測ってみよう！

窓が開いた部分の周の長さや、２枚

の窓の重なった部分の面積など、伴

って変わる事象が様々にあるので、

生徒の考えた関係で問題解決をは

かると、学習意欲を一層喚起でき

ます。

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ケーブルカーが上昇する時間が変わると，のぼった高さも変わることです。

上昇する時間を x分、のぼった高さを ycmとして調べます。


【表現してみよう２】変化の様子を、グラフグラフグラフグラフに表すと

原点を通り、

傾き 50 の直線となる。


50 倍すると

時間を 50 倍すれば高さが出る。

これらのことから

２つの数量の間に、比例の関係

が成り立つことが分かります。

さらに、２つの数量には

０≦ ≦10 ，０≦ ≦500

という変域変域変域変域があります。

表やグラフに

表れた「５０」

って何だろう？

(分) 0 1 2 3 4 ･･･ 10

(cm ) 0 50 100 150 200 ･･･500 yx

yx50xx y

y x

〔事例②〕１１１１分分分分間間間間にににに５０５０５０５０cm上昇上昇上昇上昇するするするするケーブケーブケーブケーブルカールカールカールカー

がありがありがありがありますますますます。。。。このこのこのこのケーブルカーケーブルカーケーブルカーケーブルカーがががが１０１０１０１０分間分間分間分間にににに上昇上昇上昇上昇

するするするする時間時間時間時間とのぼったとのぼったとのぼったとのぼった高高高高さのさのさのさの関係関係関係関係をををを調調調調べましょうべましょうべましょうべましょう。。。。

・そうだね、ここでの速さとはケー

ブルカーが１分あたりに上昇した

距離のことなんだ。

・では、ケーブルカーが降りる時を

考えてみようか。

比例定数「５０」はどうなるかな？

・ xが１ずつ増加したときの y

の増加量です。

・ xが１のときの yの値です。

・傾きです。

・１分あたりの上った高さです。

・式を見ると「道のり＝速さ×

時間」と同じだと思います。

今度は下に移動するから１分あたりに「－５０」

上昇すると思います。グラフも右下がり

になるかな？！

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おもり A の重さが変わると，おもり Bの重さも変わることです。

おもりＡの重さを xg、おもりＢの重さを ygとして調べます。



原点を通り、

傾き 0.8 の直線

となる。


0.8 倍すると

Ａのおもりを 0.8 倍すれば Bの重さがきまる。

これらのことから２つの数量の間に、

比例の関係が成り立つことが分かります。


０≦ ≦（20），０≦ ≦（16）


少人数グループで実験を行いま

した。グループごとに支点Ｏから

Ａ，Ｂまでの距離を変えたので、

様々な変化となり、比例定数につ

いての理解が深まりました。

(g) 0 1 2 3 4 ･･･

(g) 0 0.8 1.6 2.4 3.2 ･･･ yx

x y

y x

〔例題③〕右右右右のののの図図図図のようにのようにのようにのように、、、、支点支点支点支点ООООのののの両側両側両側両側にににに

おもりおもりおもりおもりＡ，ＢＡ，ＢＡ，ＢＡ，Ｂをつりをつりをつりをつり下下下下げたてこがつりげたてこがつりげたてこがつりげたてこがつり合合合合ってってってって

いますいますいますいます。。。。支点支点支点支点ООООからからからからＡ，ＢＡ，ＢＡ，ＢＡ，Ｂまでのまでのまでのまでの距離距離距離距離ははははそそそそれれれれ

ぞれぞれぞれぞれ８８８８ cm、、、、１０１０１０１０cmでしたでしたでしたでした。。。。２２２２つのおもりつのおもりつのおもりつのおもり

のののの関係関係関係関係をををを調調調調べましょうべましょうべましょうべましょう。。。。

yx0.8x

ＯＯＯＯ

ＡＡＡＡＢＢＢＢ

“てこ”は小学校５年生の理科で

学習しています。おもりと支点ま

での距離の関係を授業の中で復

習するといいですよ！

グループごとに変域を決めました。

先生、グループによって変化の

様子が違います。グラフの傾き

も変わりました。

S君のシート

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街灯から離れた距離が変わると，影の長さも変わることです。

街灯からの距離を xm、影の長さを ymとして調べます。




0.5 倍すると

街灯からの距離を倍すれば影の長さがきまる。


２つの数量の間に、比例の関係

が成り立つことが分かります。


０≦ ，０≦


・少人数のグループで操作活動をし

ました。伴って変わる２量を限定せ

ずに取り組んだので、変化の様子

がよくつかめました。

・難解な部分もあり、個に応じて「ヒ

ントカード」や、アドバイスを与えま

した。

〔例題④〕街灯街灯街灯街灯をををを背背背背にしてにしてにしてにして、、、、まっすぐにまっすぐにまっすぐにまっすぐに離離離離れれれれ

てててて歩歩歩歩くくくく人人人人がいますがいますがいますがいます。。。。街灯街灯街灯街灯のののの高高高高さをさをさをさを４４４４．．．．５５５５m、、、、歩歩歩歩

いているいているいているいている人人人人のののの身長身長身長身長をををを１１１１．．．．５５５５mととととしたときしたときしたときしたとき、、、、歩歩歩歩いいいい

ているているているている人人人人がががが街灯街灯街灯街灯からからからから離離離離れたれたれたれた距離距離距離距離とととと影影影影のののの長長長長さのさのさのさの

関係関係関係関係をををを調調調調べましょうべましょうべましょうべましょう。

x y yx0.5x

( ) 0 1 2 3 4 ･･･

( ) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 ･･･

yx m

m

12

x y

・私たちは長さを 0.01 倍に縮小して実

際に測って調べました。

・僕たちは反対側を歩いたときを考えまし

た。( x 、 y 、比例定数が負の数になったよ)

・うちの班は影の長さと街灯から影の先

までの距離の変化を調べました。

Tさんのシート

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《《《《２２２２年生年生年生年生》》》》


正方形の枚数が変わると，周の長さも変わることです。

正方形の枚数を x枚、周の長さを ycmとして調べます。



xの値が１増加すると y

の値は４増加するから

傾き４の直線となる。

また x＝１のとき、

y＝８だから

x＝０のとき y＝４

と考えられる。

↓

点（０，４）を通り

傾き４の直線となる。


４倍すると＝０のとき、 y＝４

折り紙の枚数を４倍し、4を加えれば周の長さがきまる。


一次関数の関係が成り立つことが分かります。

さらに、２つの数量には 1≦ ，８≦ という変域変域変域変域があります。

・生徒の習熟の程度に応じて、具

体的操作から規則性をとらえさ

せました。

・本来は連続した量ではないこ

とを操作の中で確認しました。

(枚) 1 2 3 4 5 ･･･

(cm ) 8 12 16 20 24 ･･･

yx

〔例題①〕右右右右のののの図図図図のようにのようにのようにのように、、、、１１１１辺辺辺辺がががが２２２２ cmのののの正方形正方形正方形正方形

をををを、、、、右右右右上上上上にににに１１１１ cmずつずらしながらずつずらしながらずつずらしながらずつずらしながら、、、、重重重重ねてねてねてねて並並並並べてべてべてべて

いきますいきますいきますいきます。。。。このときこのときこのときこのとき正方形正方形正方形正方形のののの枚枚枚枚数数数数とととと周周周周のののの長長長長さのさのさのさの関係関係関係関係

についてについてについてについて調調調調べましょうべましょうべましょうべましょう。。。。

((((ただしただしただしただし、、、、正方形正方形正方形正方形のののの枚数枚数枚数枚数はははは１１１１以上以上以上以上のののの整数整数整数整数としますとしますとしますとします。。。。))))

x y

x y yx4xO4 x

Yさんのシート

・グラフの点をつなぐと直線になるのは比例のときと

同じです。

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おもりの重さが変わると，ばねの長さも変わることです。

おもりの重さを xg 、ばねの長さを ycmして調べます。



xの値が 20増加したとき yの値は４

増加したから、

変化の割合は 4÷20＝0.2 となる。

また x＝10のとき、 y＝14だから

x＝０のとき、 y＝12となる。

↓

点(０，12)を通り、

傾き 0.2の直線となる。


0.2 倍すると

x＝0 のとき y＝12


一次関数の関係が成り立つことが

分かります。


０≦ ≦，０≦ という変域変域変域変域があります。

なるほど。伸びた部分だけをみ

ると比例になるね。２つの関係

からどんなことがいえるかな？ x y

〔例題②〕ばねののびはばねののびはばねののびはばねののびは、、、、下下下下げたおもりのげたおもりのげたおもりのげたおもりの重重重重さにさにさにさに比比比比

例例例例しますしますしますします。。。。今今今今、、、、１０１０１０１０ gのおもりをのおもりをのおもりをのおもりを下下下下げげげげるとるとるとると、、、、ばねのばねのばねのばねの

長長長長ささささはははは１１１１４４４４cmになりになりになりになり、、、、３０３０３０３０ gのおもりのおもりのおもりのおもりをををを下下下下げたらばげたらばげたらばげたらば

ねのねのねのねの長長長長さはさはさはさは１８１８１８１８cmになりまになりまになりまになりまししししたたたた。。。。このときこのときこのときこのとき、、、、おもりおもりおもりおもり

のののの重重重重さとさとさとさとばねのばねのばねのばねの長長長長さのさのさのさの関係関係関係関係についてについてについてについて調調調調べましょうべましょうべましょうべましょう。。。。

(ｇ) 0 10 20 30 40 ･･･

(㎝) 12 14 16 18 20 ･･･

yx

x y yx0.2xO12

・10g 重くなると２cm 伸びてい

るからおもりを下げていないと

きは 12cm だと思います。

・ばねの伸びた部分の長さとお

もりの重さを比べると比例の

関係になりました。

何も下げていないとき、ば

ねの長さは何cmだろう？

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xの値が１増加すると yの値は

３増加するから傾き３の直線

となる。

また x＝１のとき y＝４だから

x＝０のとき、 y＝１となる。

↓

点(０，１)を通り、

傾き３の直線となる。


正方形の個数が変わると，マッチ棒の本数も変わることです。

正方形の個数を x個、マッチ棒の本数を y本として調べます。




３倍すると x＝0 のとき y＝1


一次関数の関係が成り立つことが分かります。


１≦ ，４≦


・１年時、「文字と式」の導入課

題として扱ったので、生徒たち

は本課題に取り組みやすかっ

たようです。

・求め方に着目して、『ものの

見方、考え方』を養う授業展

開をしました。文字式の復習

もできました。

〔例題③〕右右右右のののの図図図図のようにのようにのようにのように、、、、マッチマッチマッチマッチ棒棒棒棒

でででで正方形正方形正方形正方形をををを作作作作りりりり、、、、それをそれをそれをそれを横横横横にににに並並並並べてべてべてべていきいきいきいき

ますますますます。。。。正方形正方形正方形正方形のののの個数個数個数個数とそのときとそのときとそのときとそのとき必要必要必要必要ななななママママ

ッチッチッチッチ棒棒棒棒のののの本数本数本数本数のののの関係関係関係関係をををを調調調調べましょうべましょうべましょうべましょう。。。。

((((ただしただしただしただし、、、、正方形正方形正方形正方形のののの個数個数個数個数はははは１１１１以上以上以上以上のののの整数整数整数整数))))

(個) 1 2 3 4 5 ･･･

(本) 4 7 10 13 16 ･･･

yx

x y yx3xO1

x y

・だれの求め方でも、同

じ式ｙ＝３ｘ＋１で変化の様

子が表せます。

・変化の割合３は正方形の数

が１つずつ増えるときのマ

ッチ棒の増える数とし

てまとめられます。

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AP間の距離が変わると，△APDの面積も変わることです。 AP 間の距離を xcm、△APD の面積を 2ycm として調べます。




（１）１≦ x≦３のとき・・・底辺が４cm、高さが xcmの三角形

（２）３≦ x≦７のとき・・・常に底辺が４cm、高さが３cmの三角形

（３）７≦ x≦10のとき・・底辺が４cm、高さが(10－ cmx) の三角形


２つの数量の間に、一次関数

の関係が成り立つことが分かります。


０≦ ≦10 ，０≦ ≦６


個々の理解に応じてＡＢ上、ＢＣ上、ＣＤ上と点 P

を動かし３ヶ所でできる三角形を提示しました。動

かすときはゆっくりと操作し、三角形が大きくなっ

ていく様子や、小さくなっていく様子を視覚でも押

さえて調べていきました。

〔例題④〕右右右右のののの図図図図のようなのようなのようなのようなＡＢ＝ＡＢ＝ＡＢ＝ＡＢ＝３３３３cm、ＢＣ、ＢＣ、ＢＣ、ＢＣ

＝＝＝＝４４４４ cmのののの長方形長方形長方形長方形ＡＢＣＤＡＢＣＤＡＢＣＤＡＢＣＤがありますがありますがありますがあります。。。。点点点点ＰＰＰＰははははＡＡＡＡ

をををを出発出発出発出発してしてしてして、、、、辺上辺上辺上辺上ををををＢ、ＣＢ、ＣＢ、ＣＢ、Ｃをををを通通通通ってってってって、Ｄ、Ｄ、Ｄ、Ｄまでまでまでまで動動動動くくくく

ものとしますものとしますものとしますものとします。。。。このときこのときこのときこのとき AAAAＰＰＰＰ間間間間のののの距離距離距離距離とととと△△△△ＡＰＤＡＰＤＡＰＤＡＰＤのののの

面積面積面積面積のののの関係関係関係関係をををを調調調調べましょうべましょうべましょうべましょう。。。。

( cm ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( 2cm ) 0 2 4 6 6 6 6 6 4 2 0 yx

x＝１のとき：４×１÷２＝２ x＝２のとき：４×２÷２＝４１≦ x≦３のときは x＝３のとき：４×３÷２＝６ y は２ 2cm ずつ増える。 x＝４のとき：４×３÷２＝６ x＝５のとき：４×３÷２＝６３≦ x≦７のときは x＝６のとき：４×３÷２＝６ y は常に一定の６ 2cm 。 x＝７のとき：４×３÷２＝６ x＝８のとき：４×２÷２＝４７≦ x≦10のときは x＝９のとき：４×１÷２＝２ y は－２ 2cm ずつ増える。 x＝10のとき：４×０÷２＝０

x y

yx 6

yx2x

yxP2xO20

x y

x y

x y 表の中で面積が一定になっているところはグラフが

平らなところです。変化が 0 という意味です。

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《《《《３３３３年生年生年生年生》》》》


ＡＰ,ＡＱの長さが変わると，△ＡＰＱの面積も変わることです。

AP,AQ の長さを xcm、△APQ の面積を 2ycm として調べます。



原点を通る放物線となる。


0.5 倍すると

2x の値を 0.5 倍すれば yの値がきまる。

これらのことから２つの数量の間に、二乗に比例の関係が成り立つことが分かりま

す。さらに、２つの数量には０≦ ，０≦ という変域変域変域変域があります。

・式の意味を読み取ったとき

生徒たちは関数と図形の結

び付きに驚いていました。

・式を求めた後、式から表、グ

ラフを負の世界にまで拡張し

放物線を完成させました。

〔例題①〕図図図図のようなのようなのようなのような正方形正方形正方形正方形ＡＢＣＤＡＢＣＤＡＢＣＤＡＢＣＤのののの頂点頂点頂点頂点ＡＡＡＡ

からからからから点点点点Ｐ、ＱＰ、ＱＰ、ＱＰ、Ｑがががが同時同時同時同時にににに出発出発出発出発しししし、Ｐ、Ｐ、Ｐ、ＰははははＡＢＡＢＡＢＡＢ上上上上ををををＢＢＢＢ

までまでまでまで、、、、QQQQ ははははＡＤＡＤＡＤＡＤ上上上上ををををＤＤＤＤまでまでまでまで同同同同じじじじ速速速速さでさでさでさで動動動動きますきますきますきます。。。。

ＡＰ、ＡＱＡＰ、ＡＱＡＰ、ＡＱＡＰ、ＡＱのののの長長長長さとさとさとさと△△△△ＡＰＱＡＰＱＡＰＱＡＰＱのののの面積面積面積面積のののの関係関係関係関係をををを調調調調

べましょうべましょうべましょうべましょう。。。。

( cm ) 0 1 2 3 4 ･･･

( 2cm ) 0 0.5 2 4.5 8 ･･･

yx

y yx12x

2

x y

x2

この式って三角形

の面積を求める公

式と同じだよ！

コンピュータで実際に

放物線のグラフを示

すと曲線の美しさに感

動していました。

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ボールを転がした時間が変わると，転がった距離も変わることです。

ボールを転がした時間を x秒、転がった距離を ymとして調べます。



yは 2x の２倍に

なっている。

よって yは 2x に

比例する。

原点を通る

放物線となる。


２倍すると

2x の値を２倍すれば yの値がきまる。


２つの数量の間に、二乗に比例

の関係が成り立つことが分かります。


０≦ ，０≦ という変域変域変域変域があります。

物体の運動は中学校 3年の理科で学

習しています。実験操作を理科の授業

と関連させるといいですよ。

〔例題②〕右右右右のののの図図図図のようなのようなのようなのような斜斜斜斜

面面面面ででででボールボールボールボールをををを転転転転がしたときのがしたときのがしたときのがしたときの

時間時間時間時間とととと転転転転がったがったがったがった距離距離距離距離とのとのとのとの関係関係関係関係

をををを調調調調べましょうべましょうべましょうべましょう。。。。

(秒) 0 1 2 3 4 ･･･

(m ) 0 2 8 18 32 ･･･ yx

y yx2x2

x y

0 1 4 9 16 ･･

x2

xと yの関係をすぐに判断

することは難しいので、表に 2x の値を記入できるスペー

スを用意しておきました。

x2

・2 点（０，０）（１，２）を通るので

比例の関係だと思います。

・それじゃあ、比例定数は２だね。

・でも y÷２を計算すると 0，１，４，９，・・・

となり一定になりませ～ん。

・「0，１，４，９・・・」その数って！？

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段数が変わると，階段状の図形の面積も変わることです。

段数を x段、階段状の図形の面積を 2ycm として調べます。



表より

yは 2x に比例し、

原点を通る

放物線となる。


１倍すると

2x の値を１倍すれば yの値がきまる。


２つの数量の間に、二乗に比例の関係が成り立つことが分かります。

さらに、２つの数量には０≦ ，０≦ という変域変域変域変域があります。

・実際に操作することで

yが 2x に比例する様子

をつかませました。

・表、式、グラフを関連付

けて考えようとする生徒

が増えてきました。

〔例題③〕右右右右のののの図図図図はははは、、、、方眼方眼方眼方眼にににに１１１１段段段段、、、、

２２２２段段段段、、、、３３３３段段段段、、、、・・・・・・・・・・・・とととと段数段数段数段数をををを一段一段一段一段

ずつずつずつずつ増増増増やしてやしてやしてやして、、、、階段状階段状階段状階段状のののの図形図形図形図形をををを描描描描

いたものですいたものですいたものですいたものです。。。。方眼方眼方眼方眼のののの１１１１目盛目盛目盛目盛りりりりをををを

１１１１ cmとしとしとしとしたときたときたときたとき、、、、段数段数段数段数とととと階段状階段状階段状階段状

のののの図形図形図形図形のののの面積面積面積面積のののの関係関係関係関係をををを調調調調べましょうべましょうべましょうべましょう。。。。

(段) 0 1 2 3 4 ･･･

( 2cm ) 0 1 4 9 16 ･･･

yx

y yxx2

x y

x2

・2xy = になることは表、式、

グラフからいえます。ほかに、

図形で考えることもできま

す。図形を半分に切って貼り

合わせると段数を 1 辺の長さ

とする正方形ができるので面

積はいつでも段数の

二乗です。

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●実践事例●【説明シート】

“すぐに使える関数説明シート”を活用して

数量関係の変化や対応の特徴をとらえましょう！

★使える説明シート１★・・・・表の活用

★使える説明シート２★・・・・グラフの活用

＜説明シート表＞年組番氏名

変化の様子を、表に表すと

＜説明シートグラフ＞年組番氏名

変化の様子を、グラフに表すと

■身近身近身近身近なななな事例事例事例事例によるによるによるによる課題提示課題提示課題提示課題提示変化変化変化変化のののの様子様子様子様子をををを視覚視覚視覚視覚でとらえでとらえでとらえでとらえ、、、、

日常生活日常生活日常生活日常生活とととと関数関数関数関数のののの世界世界世界世界をををを近近近近づけましょうづけましょうづけましょうづけましょう！！！！

■意図的意図的意図的意図的ななななノートノートノートノートづくりのづくりのづくりのづくりの継続継続継続継続説明説明説明説明シートシートシートシートをををを使使使使ってってってって表表表表，，，，式式式式，，，，ググググラフラフラフラフをををを一体一体一体一体のののの

ものとしてものとしてものとしてものとして扱扱扱扱っていきましょうっていきましょうっていきましょうっていきましょう！！！！

■表表表表，，，，式式式式，，，，グラフグラフグラフグラフのののの一体化一体化一体化一体化変化変化変化変化のののの様子様子様子様子をををを日常使日常使日常使日常使うううう自分自分自分自分のののの言葉言葉言葉言葉でででで表現表現表現表現しししし、、、、

関数関数関数関数をををを活用活用活用活用できるできるできるできるようにしましょうようにしましょうようにしましょうようにしましょう！！！！

y

x

- 14 -

★使える説明シート３★・・・・表・式・グラフの活用

＜説明シート＞年組番氏名

私はの課題を解決しました。

◎ この課題で伴って変わる２つの数量の関係は

が変わると，

も変わることです。

【表現してみよう１】変化の様子を、表に表すと

【表現してみよう２】変化の様子を、グラフに表すと

【表現してみよう３】変化の様子を、式に表すと


２つの数量の間に、の関係が成り立つことが分かります。

さらに、２つの数量にはという変域があります。

この課題の答えはになります。

yx

yx

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正答率のほかに，答えを出すまでの過程に注目すると次のような解答が多く見られた。

●●●●グラフグラフグラフグラフ上上上上のののの点点点点をををを読読読読みみみみ取取取取りりりり，，，，表表表表にににに表表表表してしてしてして式式式式をををを考考考考えるえるえるえる。。。。

●●●●文章文章文章文章やややや表表表表にににに表表表表れているれているれているれている変数変数変数変数をををを読読読読みみみみ取取取取りりりり，，，，グラフグラフグラフグラフにににに表表表表してしてしてして比例比例比例比例をををを考考考考えるえるえるえる。。。。

■■■■ 身近身近身近身近なななな事例事例事例事例によるによるによるによる課題提示課題提示課題提示課題提示

■■■■ 意図的意図的意図的意図的ななななノートノートノートノートづくりのづくりのづくりのづくりの継続継続継続継続

■■■■ 表表表表，，，，式式式式，，，，グラフグラフグラフグラフのののの一体化一体化一体化一体化

◎◎◎◎研究課題研究課題研究課題研究課題『『『『変化変化変化変化』』』』をををを読読読読みみみみ取取取取るるるる子子子子どもをどもをどもをどもを育育育育てようてようてようてよう

本研究では，「表，式，グラフ」による表現がその変化や対応の特徴をとらえるための手だて

となっていることに着目し，表，式，グラフの活用によって関数を探求する能力を伸ばすことを

目指した。その際，関数関数関数関数をををを表表表表すのにすのにすのにすのに，「，「，「，「表表表表，，，，式式式式，，，，グラフグラフグラフグラフ」」」」がががが有効有効有効有効であることであることであることであること。。。。つまり

・・・・関数関数関数関数はははは「「「「表表表表，，，，式式式式，，，，グラフグラフグラフグラフ」」」」をををを用用用用いるといるといるといると性質性質性質性質がががが理解理解理解理解しやすいしやすいしやすいしやすい。。。。

・・・・関数関数関数関数はははは「「「「表表表表，，，，式式式式，，，，グラフグラフグラフグラフ」」」」にににに表現表現表現表現することですることですることですることで能率的能率的能率的能率的にににに調調調調べべべべ

られるられるられるられる。。。。

ことを指導の中でしっかりとおさえ，「表，式，グラフ」を用い

て生徒一人生徒一人生徒一人生徒一人ひとりがひとりがひとりがひとりが日常使日常使日常使日常使うううう「「「「自分自分自分自分のののの言葉言葉言葉言葉」」」」でででで数量関係数量関係数量関係数量関係のののの

変化変化変化変化やややや特徴特徴特徴特徴をををを説明説明説明説明できるできるできるできる力を伸ばそうと試みた。

その手だてとしては，繰り返し授業の中で

を図り，生徒の目に見える学力の向上をねらった。

本研究の手だてが有効であったかを測る一つの指標として，単元の学習後に事後テストを行っ

た。調査問題は平成１７年度さいたま市学習状況調査をもとに，本テーマに係わる問題から数値

等多少の変更を加えて出題した。

結果は以下のとおりである。

グラフグラフグラフグラフからからからから

座標座標座標座標をををを求求求求めめめめ

るるるる問題問題問題問題

グラフグラフグラフグラフからからからから

式式式式をををを求求求求めるめるめるめる

問題問題問題問題

文章文章文章文章からからからから比比比比

例例例例をををを判断判断判断判断すすすす

るるるる問題問題問題問題

研究校研究校研究校研究校 76%76%76%76% 51%51%51%51% 60%60%60%60%

全国 72% 39% 60%

研究研究研究研究のまとめのまとめのまとめのまとめ

（（（（２２２２））））研究研究研究研究のののの成果成果成果成果

（（（（１１１１））））研究研究研究研究のののの視点視点視点視点

イメージイメージイメージイメージ図図図図

〈表現方法〉

関数

式

表グラフ

言葉

60%

51%

76%

60%

39%

72%

0%

20%

40%

60%

80%

全国研究校

- 16 -

さらに，普段の授業での生徒の活動からは，次のような変化も現れた。

●●●●「「「「のののの値値値値がががが1111増加増加増加増加したときのしたときのしたときのしたときの対応対応対応対応するするするするのののの増加量増加量増加量増加量」」」」とととと「「「「比例定数比例定数比例定数比例定数」，「」，「」，「」，「グラフグラフグラフグラフのののの傾傾傾傾きききき」」」」をををを関関関関

連付連付連付連付けてけてけてけて考考考考えられるようになったえられるようになったえられるようになったえられるようになった。。。。

●●●●「「「「原点原点原点原点」」」」をををを＝＝＝＝００００のののの時時時時のののののののの値値値値としてとしてとしてとして，，，，常常常常にににに意識意識意識意識できるようになったできるようになったできるようになったできるようになった。。。。

●●●●文章題文章題文章題文章題をををを考考考考えるえるえるえる際際際際，「，「，「，「変域変域変域変域」」」」をををを必必必必ずずずず考考考考えるようになったえるようになったえるようになったえるようになった。。。。

これらは，今後の関数の学習（2, axybaxy =+= ）を進めていく上で大きな

力となる。

今回のテストの結果では，全国のそれと比較し，数値的に大きな差異は認められ

なかったものの，解答の内容や普段の授業での生徒の活動から，

「「「「関数関数関数関数」」」」をとらえるをとらえるをとらえるをとらえる力力力力が着実に身に付いた手ごたえを感じた。

本研究では，自分の考えを日常使う言葉や式を用いて説明できる力を付けるための研究を進

めてきた。

二つの数量の変化や対応を調べることに関して，小学校から中学校でその内容は大きく変わ

る。そこで，中学校でも具体的な事象から考察することを重視し，生徒の主体的な問題解決活

動をうながしていく。その際，

数量関係数量関係数量関係数量関係をををを意図的意図的意図的意図的・・・・意識的意識的意識的意識的にににに「「「「表表表表，，，，式式式式，，，，グラフグラフグラフグラフ」」」」をををを一体化一体化一体化一体化させてさせてさせてさせて指導指導指導指導することすることすることすること，及び

数量関係数量関係数量関係数量関係をををを読読読読みみみみ取取取取りりりり，，，，自分自分自分自分のののの言葉言葉言葉言葉でででで表現表現表現表現できるできるできるできる力力力力をををを育成育成育成育成することすることすることすることが有効であることを確

認した。

今後はさらに，生徒がそのよさを実感し，関数を能率的に調べることによって関数を探求す

る能力を伸ばしていけるよう指導を継続していく必要がある。

（（（（３３３３））））研究研究研究研究のののの課題課題課題課題

２２２２表表表表，，，，式式式式，，，，グラフグラフグラフグラフをををを活用活用活用活用しししし，，，，

『『『『変化変化変化変化』』』』をををを自分自分自分自分のののの言葉言葉言葉言葉でででで表現表現表現表現．．．．．．．．．．．．．

させようさせようさせようさせよう．．．．

。。。。

３３３３身近身近身近身近なななな事象事象事象事象をををを考察考察考察考察しししし，，，，

自自自自らららら『『『『変化変化変化変化』』』』をををを読読読読みみみみ取取取取．．．．．．．．．．

らせよらせよらせよらせよ．．．

うううう．。。。。

１１１１説明説明説明説明シートシートシートシートをををを活用活用活用活用しししし，，，，

表表表表，，，，式式式式，，，，グラフグラフグラフグラフをををを一体一体一体一体のものとしてとらえのものとしてとらえのものとしてとらえのものとしてとらえ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

させようさせようさせようさせよう．．．．

。。。。

（（（（４４４４））））数学科数学科数学科数学科からのからのからのからの提言提言提言提言

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