중학도형 핵심 Keyword별 정리(인강용)file.megastudy.net/FileServer/teacher_2007/t_promotion...6 상위권의올바른자세는단1%의출제가능성도소홀히하지않는것이다.-강한수학신승범샘

1

상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘

중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART1.� 평면도형 - 다각형

다각형과 각

1)� 볼록 n 각형의 대각선 총수 :�n (n-3)

2

0개 2개 5개 9개

2)�삼각형의 내각과 외각 : 내각의 총합 180°, 외각의 총합 360°

180°

180°

180°180°α

βα+β

3)� n 각형의 내각의 총합 : ( n -2)× 180°

n 각형의 외각의 총합 : 360°

삼각형과 사각형의 정의

1)� 삼각형의 변의 길이에 대한 조건

세 변 a, b, c 를 갖는 삼각형에서 a 가 최대 변일 때,

a, b, c > 0이고 a < b+c (세 변 중 어느 것이 최대 변

인지 모를 때는 a < b+c, b < c+a, c < a+b를 모두

확인하여야 한다.)

2)� 삼각형의 분류

① 이등변삼각형 : 두 변의 길이가 같은 삼각형

➡ a = b 또는 b= c 또는 c= a

② 정삼각형 : 세 변의 길이가 같은 삼각형

➡ a = b= c

③ 직각삼각형 : 한 내각의 크기가 직각인 삼각형

➡ a 2= b2+c 2 (a 가 최대 변일 때 )

④ 예각삼각형 : 세 내각의 크기가 모두 예각인 삼각형

➡ a 2 < b2+c 2 (a 가 최대 변일 때 )

⑤ 둔각삼각형 : 한 내각의 크기가 둔각인 삼각형

➡ a 2 > b2+c 2 (a 가 최대 변일 때 )

삼각형

예각 삼각형 직각 삼각형 둔각 삼각형

이등변 삼각형

정삼각형

3)� 사각형의 분류

① 사다리꼴 : 한 쌍의 대변이 평행한 사각형

② 평행사변형 : 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형

③ 직사각형 : 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형

④ 마 름 모 : 네 변의 길이가 모두 같은 사각형

⑤ 정사각형 : 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의

크기가 모두 같은 사각형

사각형

사다리꼴평행사변형

직사각형 마름모

정사각형

꼭짓점의 개수

한 꼭짓점에서 그을수 있는 대각선의 수

중복처리

합 : n × 180°

분할된 삼각형의 개수

2



삼각형의 오심

1)� 무게중심

① 세 중선의 교점

② 삼각형 넓이 6등분

A

B CD

F ES 1 GS 2

S 1S 3 S 3

S 2

△ABC 에서 세 중선 AD, BE, CF 의 교점을 무게

중심 G 라 할 때,

(△AGF 의 넓이 )= (△BGF 의 넓이 )= S 1

(△AGE 의 넓이 )= (△CGE 의 넓이 )= S 2

(△BGD 의 넓이 )= (△CGD 의 넓이 )= S 3라 할 때

밑변의 길이가 같고 꼭짓점 G를 공유하므로 수직높이도 같다.

(△ABD 의 넓이 )= (△ACD 의 넓이 )에서

2S 1+S 3= 2S 2+S 3 ∴ S 1=S 2

(△BAE 의 넓이 )= (△BCE 의 넓이 )에서

2S 1+S 2= 2S 3+S 2 ∴ S 1=S 3

③ 중선의 2 : 1 내분점

위의 그림에서 S 1=S 2=S 3이므로 △ABD 에서

BG 로 분할된 △ABG 와 △DBG 의 넓이의 비는

2 : 1이다. 따라서 AG : GD = 2 : 1이다. 마찬가지

방법으로 BG : GE= 2 : 1, CG : GF= 2 : 1임을

알 수 있다.

2k

k

무게중심

A

B C

2)� 외심

① 외접원의 중심

② 외심에서 삼각형의 각 꼭짓점까지의 거리 같다.

A

B CO

③ 세 변의 수직이등분선의 교점

위의 그림에서 △AOC 는 이등변삼각형이므로 점 O 에

서 AC 에 내린 수선의 발은 AC 의 중점이 된다. 역으

로 AC 의 수직이등분선 위에 점 O 가 존재한다. 마찬

가지 방법으로 AB 의 수직이등분선 위에 점 O 가 존재

하고, BC 의 수직이등분선 위에 점 O 가 존재한다.

외심

A

B C

④ 직각삼각형의 빗변의 중점은 외심이다.

3



3)� 내심

① 내접원의 중심

② 내심에서 각 변에 내린 수선의 길이 같다.

A

F E

DB C

③ 세 내각의 이등분선의 교점

위의 그림에서 △BIF 와 △BID 는 합동이다.

(∵ BI공통, IF= ID, ∠F=∠D=90°이므로

RHS 합동)

따라서 대응각인 ∠IBF와 ∠IBD는 같으므로 BI 는

∠FBD 의 이등분선이다.

마찬가지 방법으로 AI 는 ∠FAE의 이등분선, CI 는

∠ECD의 이등분선이다.

내심

A

B C

④ (△ABC 의 넓이 )=12⋅(AB + BC+ CA )⋅r

(단, r 은 내접원의 반지름)

4)� 수심 : ① 꼭짓점에서 대변에 내린 세 수선의 교점

수심

A

FE

DB C

② BC 를 지름으로 하는 원은 점 E, F 를 지난다.

5)� 방심 : ① 방접원의 중심, 한 내각과 두 외각의 이등분선의

교점, 3개 존재

방심

A

B C

D E

② (△ABC 의 둘레 )= AD+ AE

4



삼각형의 합동조건

1)� 삼각형의 합동조건

① 대응하는 세 변의 길이가 같다. ( SSS 합동)

A

B

C

A'

B'

C'

② 대응하는 두 변의 길이와 그 사잇각의 크기가 같다.

( SAS 합동)

A

B

C

A'

B'

C'

③ 대응하는 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 같다.

( ASA 합동)

A

B

C

A'

B'

C'

2)� 직각삼각형의 합동조건

① 빗변의 길이와 직각이 아닌 나머지 한 내각의 크기가 같다.

( RHA 합동)

A'

B' C'

A

B C

② 빗변의 길이와 나머지 한 변의 길이가 같다. ( RHS 합동)

A'

B' C'

A

B C

3)� 합동조건의 의미

삼각형의 6요소(변 3개, 각 3개) 중 3개의 요소만으로도

삼각형이 유일하게 결정된다.

삼각형의 닮음조건

1)� 삼각형의 닮음조건

① 대응하는 세 변의 길이의 비가 같다. ( SSS 닮음)

② 대응하는 두 변의 길이의 비와 그 사잇각의 크기가 같다.

( SAS 닮음)

③ 대응하는 두 각의 크기가 같다. ( AA 닮음)

2)� 중점 연결정리

△ABC 에서 AB, AC 의 중점을 각각 D, E 라 하면

① DEꁚBC, 2DE= BC

② 점 D 를 지나 BC 에 평행한 직선은 점 E 를 지난다.

A

D E

B C

A

D E

B C

( SAS 닮음) ( AA 닮음)

5



평행

1)� 평행선의 성질

① 동위각의 크기가 같다.

② 엇각의 크기가 같다.

β

α

e

m

(α+β=180°)

2)� 닮음을 이용한 비례관계

A

B C

D E

B C

A

ED

△ABC 와 △ADE 는 AA 닮음이므로

ABAD

=ACAE

=BCDE

3)� 넓이 일정

AA'

B C

(△ABC 의 넓이) = (△A'BC 의 넓이)

중점

1)� 이등변삼각형의 성질

① AB= AC 인 △ABC 에서 AD 가 중선 ( BC 의 중

점이 D )일 때 AD⊥ BC이다.

(∵ △ABD 와 △ACD 가 SSS 합동 )

② 역으로 점 A 에서 BC 에 내린 수선의 발을 D 라 할

때 점 D 는 BC 의 중점이 된다.

(∵ △ABD 와 △ACD 가 RHS 합동 )

A

B C

D

A

B C

D

2)� 평행사변형의 성질

ABꁚCD, BCꁚAD 인 평행사변형 ABCD 에서 두 대

각선의 교점을 P라 할 때 점 P는 AC 의 중점이자 BD

의 중점이다. (∵ △ABP와 △CDP가 ASA 합동 )

A D

B C

P

6



3)� 파푸스의 중선정리

a

c c

db

a 2+b2=2(c 2+d 2)

A

B CH D

△ABC 에서 BC 의 중점이 D 일 때,

점 A 에서 BC 에 내린 수선의 발을 H라 하면

△ABH에서 AB2= AH

2+ BH

2 ⋯⋯ ㉠

△ACH에서 AC2= AH

2+ CH

2 ⋯⋯ ㉡

△ADH에서 AH2= AD

2- DH

2 ⋯⋯ ㉢

㉠+㉡에서 AB2+ AC

2=2 AH

2+ BH

2+ CH

2

㉢을 대입하면

AB2+ AC

2

=2( AD2- DH

2)+ BH

2+ CH

2

=2 AD2+( BH

2- DH

2)+ ( CH

2- DH

2)

= 2 AD2+ BD⋅( BH- DH )+ BD⋅( CH+ PH)

= 2 AD2+ BD⋅BC

= 2 AD2+2 BD

2

수선/직각

1)� 한 꼭짓점을 공유하는 삼각형의 넓이 비

S 1 S 2

m n

높이 일정

S 1 : S 2=m : n

2)� 피타고라스의 정리

① a 가 빗변일 때, a 2= b2+c 2

b

c

b

c b

ca

a

c

b

② 역으로 a 2= b2+c 2일 때, a 가 빗변인 직각삼각형

3)� 특수한 직각삼각형과 삼각비

① 30°

60°

aa

32

a

12a

12a

②

2a a

a45°

(정삼각형) (정사각형)

sin 30°=12

sin 60°=32

sin 45°=12

cos 30°=32

cos 60°=12

cos 45°=12

tan 30°=13

tan 60°= 3 tan 45°=1

7



4)� 직각삼각형의 닮음

△ABC ꁀ△DAC ꁀ△DBA 로부터

① AD2= BD × CD

② BA2= BD × BC, CA

2= CD × CB

DB C

A

5)� 삼각형의 넓이

b

a

θ

bsinθ S=12absinθ

6)� 마름모의 성질 : 두 대각선이 서로 수직이등분

각의 이등분선

1)� 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점은 내심

2)� 비례관계

A

D

x y

m nB C

x : y=m : n

△ABC 에서 각 A 의 이등분선이 BC 와 만나는 점을

D 라 하자.

△ABD 의 넓이를 S 1, △ACD 의 넓이를 S 2 라 하면

S 1 : S 2=m : n

AD = z, ∠BAD=∠CAD=θ라 하면

S 1=12xzsinθ, S 2=

12yzsinθ이므로

S 1 : S 2=x : y

3)� 삼각형의 넓이

θ θx y

z

m n

12xzsinθ+

12yzsinθ=

12xysin2θ

8


중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART2.� 평면도형 - 원

원과 부채꼴

1)� 원의 둘레와 넓이

원의 반지름의 길이가 r 일 때

① 원의 둘레 : 2πr

② 원의 넓이 : πr 2

2)� 중심각과 호의 길이와 부채꼴의 넓이

① 중심각 ∝호의 길이 ∝부채꼴의 넓이(비례관계)

θ

2θ

2S

S

3S

3θ

3l

l

2l

반지름의 길이 r , 중심각의 크기가 θ인 부채꼴에서

호의 길이 l= 2πr ×θ

360°

부채꼴의 넓이 S= πr 2× θ360°

② 중심각과 현의 길이는 비례하지 않음

③ 활꼴의 넓이

r

θ πr 2× θ

360°-

12r 2sinθ

(부채꼴) (삼각형)

3)� 중심각과 원주각의 관계

① 한 호에 대한 원주각의 크기는 항상 일정하며, 그 호에

대한 중심각의 크기의 12

과 같다.

2θ

θ

θ

② 지름에 대한 원주각의 크기는 90° 이다. 역으로 직각삼

각형이 주어질 때, 외접원의 중심은 빗변의 중점이다.

③ 원 위의 점 P, 외부의 점 Q, 내부의 점 R 에 대하여

∠AQB (외부각) < ∠APB (원주각) < ∠ARB (내부각)

A B

R

P''

P'

P Q

9



원과 현

1)� 원의 중심과 현

① 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다.

( ∵ △OAH와 △OBH가 RHS 합동)

A

H

B

O

② 역으로 현의 수직이등분선은 반드시 원의 중심을 지난다.

A

B

( ∵ AB 의 수직이등분선은 점 A 와 점 B 까지 각각의

거리가 같은 점의 자취이므로 )

2)� 비례관계(할선에 대한 정리)

① a

c

d

b

ab= cd

A

P

C

B

D

□ABDC가 원에 내접하므로

∠B=∠PCA, ∠D=∠PAC

△PAC ꁀ△PDB ( AA 닮음)이므로

PA : PD= PC : PB

②

a

c

d

b

ab= cd

A

DP

C

B

에 대한 원주각 ∠A=∠D, 에 대한 원주각

∠C=∠B 이므로

△PAC ꁀ△PDB ( AA 닮음)에서

PA : PD= PC : PB

③b a

c

접점

ab= c 2

A

P

CO

Q

B

PO 의 연장선이 원과 만나는 점을 Q 라 하면

△PCO 에서 PC2= PO

2- CO

2

CO= QO 이므로

PC2= PO

2- QO

2= ( PO+ QO)( PO- QO)

앞의 ①에 의해 증명 끝.

10



원과 접선

1)� 보조선

① 원에 대한 접선이 나오면 0순위로 원의 중심에서 접점

까지 연결하는 보조선을 그린다.

접점

② 원에 접하는 삼각형과 접선

r

r α

αββ

접점 AP

∠ABC=∠CAP

(∵ α+β+γ=90° )

2)� 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선

O

A

B

CP

PA= PB

(∵△PAO ≡△PBO, RHS 합동 )

AB 를 OP가 수직이등분

(∵△AOC ≡△BOC, SAS 합동 )

원에 접하는 삼각형/사각형

1)� 외접하는 삼각형

원 O 의 중심 =△ABC 의 내심

A

BC

O

2)� 내접하는 삼각형

원 O 의 중심 =△ABC 의 외심

O

BC

A

3)� 외접하는 사각형

a

b c

d

r

반지름의 길이가 r 인 원에

외접하는 사각형의 넓이 : 12(a+b+c+d )r

4)� 내접하는 사각형

A

B

D

C E

2β

β

α

2α

한 쌍의 대각의 크기의 합은

180° (∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°)

한 외각의 크기는 내대각의 크기와 같다.

( ∠DCE =∠A )

( ∵ 중심각과 원주각의 관계에 의해 2α+2β=360°)

11


중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART3.� 입체도형

닮음비

1)� 닮음비 m : n 인 두 도형의 길이비를 뜻한다.�

2

3 6

4

(닮음비가 1 : 2인 평면도형)

2

3

1

9

6

3

(닮음비가 1 : 3인 입체도형)

2)� 닮음비가 m : n 인 두 도형의 넓이비는 m 2 : n 2,�

부피비는 m 3 : n 3이다.�

각기둥/원기둥

1)� 삼각기둥

① 겉넓이 : 전개도 이용

② 부 피 : (밑넓이=삼각형의 넓이) × (높이)

AB

C

A'B'

C'

⇒

A' B'

C'

C'

B CA

C

C

C'

2)� 사각기둥


② 부 피 : (밑넓이=사각형의 넓이) × (높이)

A

B C

D

A'

B'

C'D'

⇒

D'

B

A

C

D

DA A

A' A'

D'

B' C'

A'

3)� 원기둥


② 부 피 : (밑넓이=원의 넓이) × (높이)

Q

P

⇒

Q

P

Q

P

원둘레와 선분의길이는 같다.

12



각뿔/원뿔

1)� 삼각뿔(사면체)


② 부 피 : (밑넓이) × (높이) ×13

A

B

C

D⇒

A

B D

C

A A

2)� 사각뿔


② 부 피 : (밑넓이) × (높이) ×13

B

A

CD

E⇒

A

A

A

AB

CD

E

3)� 원뿔


② 부 피 : (밑넓이) × (높이) ×13

A

B

⇒

원둘레와 호의길이 같다.

A

B B

③ 모선의 길이 l, 밑면의 원의 반지름 길이 r 일 때

전개도에서 생기는 부채꼴의 중심각의 크기 :

rl× 360°

각뿔대/원뿔대

1)� 삼각뿔대


② 부 피 : (큰 삼각뿔 부피) - (작은 삼각뿔 부피)

평행한 두 삼각형(닮음 관계)

2)� 사각뿔대


② 부 피 : (큰 사각뿔 부피) - (작은 사각뿔 부피)

평행한 두 사각형(닮음 관계)

3)� 원뿔대


② 부 피 : (큰 원뿔 부피) - (작은 원뿔 부피)

평행한 두 원

13



정다면체

1)� 정사면체와 전개도

2)� 정육면체와 전개도

3)� 정팔면체와 전개도

4)� 정십이면체와 전개도

5)� 정이십면체와 전개도

구

1)� 구의 겉넓이 :�반지름의 길이 r 일 때, (겉넓이) = 4πr 2

2)� 구의 부피 :�반지름의 길이 r 일 때, (부피) =43πr 3

14


중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART4.� 모의고사 기출문제

E

모의고사 기출문제

1. 한 변의 길이가 9 인 정사각형 ABCD 에서 변 AB,

BC, CD, DA 의 중점을 각각 P, Q, R, S 라 하고,

선분 AQ 와 CP의 교점을 M , 선분 AR 과 CS 의

교점을 N이라 하자. 이 때, 사각형 AMCN의 넓이를

구하시오.

2. 그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 P(3, 7), Q (1, 1),

R (9, 3)으로부터 같은 거리에 있는 직선 l 이 선분

PQ, PR 과 만나는 점을 각각 A, B 라 하자. 선분

QR 의 중점을 C 라 할 때, △ABC 의 무게중심의 좌표

를 G (x, y )라 하면 x+y의 값은?

xO

y

C

l

R (9, 3)

Q (1, 1)

P (3, 7)

A

B

① 163

② 6 ③ 203

④ 223

⑤ 8

3. 그림에서 △ABC 와 △CDE 가 정

삼각형일 때, ∥보기∥에서 옳은 것

을 모두 고른 것은? (단, 세 점 B, E,

D 는 한 직선 위에 있다.)

∠ACD=∠BCE AD= BE

∠ADB= 60°

∥보기∥

① ② , ③ , ④ , ⑤ , ,

4. 그림과 같이 두 점 A , B 에서 직선 l 에 내린 수선의

발을 각각 P , Q 라고 하자. 또 두 선분 AQ 와 BP의

교점을 X 라 하고 점 X 에서 직선 l 에 내린 수선의 발

을 Y 라고 하자.

이 때 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

AP : XY = PQ : YQ

AP : BQ = PY : YQ

∠AYX =∠BYX

보기

① ② , ③ , ④ , ⑤ , ,

15



5. 세로의 길이가 10 cm인 직사각형 모양의 종이를 그림과

같이 접었을 때, 삼각형 ABC (색칠한 부분)의 넓이는?

① 50 33

cm 2②

100 33

cm 2③ 50 3 cm 2

④ 50 cm 2⑤ 75 cm 2

6. 그림과 같이 가로의 길이가 4 , 세로의 길이가 6인 직사

각형 ABCD 가 있다. 선분 DC 의 중점을 M이라 하고,

대각선 AC 위의 임의의 한 점 P에서 세 직선 BC,

DC, AM에 내린 수선의 발을 각각 Q, R, S 라 하자.

점 P가 PQ = PS 를 만족시킬 때, 선분 PR 의 길이는

qp

이다. 이때, p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는

서로소인 자연수이다.)

7. 그림은 한 변의 길이가 2 인 정삼각형 OAB 를 꼭짓점

O 를 중심으로 반시계 방향으로 30°씩 연속하여 회전한

모양과 그 결과로 만들어진 다각형이다.

이 다각형의 넓이를 a+b 3라 할 때, b-a 의 값을 구

하시오. (단, a, b는 유리수이다.)

8. 그림과 같이 직선 l위에 1번부터 9번까지 9개의 볼링

핀을 같은 간격으로 세운다. 1번 볼링핀으로부터 직선 l

과 수직으로 9m 떨어진 지점 P에서 공을 굴려 1번,

4번, 9번 볼링핀을 명중시키는 직선 경로를 각각

a, b, c 라 하자. 경로 a 와 b가 이루는 각의 크기와 경

로 b와 c 가 이루는 각의 크기가 같을 때, 1번 볼링핀에

서 9번 볼링핀까지의 거리는? (단, 볼링핀과 공의 크기는

고려하지 않는다.)

a b c

P

l

① 9 m ② 10m ③ 11m

④ 12 m ⑤ 13m

16



9. 그림과 같이 반지름의 길이가 9 cm 인 원 O 에서 호

AB 와 호 CD 의 길이는 각각 4π cm, 6π cm이고, 선분

AB 와 선분 CD 의 연장선이 만나서 이루는 예각의 크기가

30〫일 때, 호 AC 의 길이는?

① 4π cm ② 174π cm ③

92π cm

④ 5π cm ⑤ 112π cm

10.반지름의 길이가 2인 원 O 에 내접하는 정육각형이 있다.

그림과 같이 정육각형의 각 변을 지름으로 하는 원 6개를

그릴 때, 어두운 부분의 넓이는?

① 3 3 -π ② 3 3+π ③ 2 3- π3

④ 2 3+ π3

⑤ 34

+ π3

11.그림의 원 O 에서 두 현 AB 와 CD 는 서로 수직으로 만

나고, 그 교점은 P이다. AP= 12 cm, BP= 16 cm,

DP= 24 cm 이고, 원의 반지름의 길이를 r cm 라 할 때,

r 2의 값을 구하시오.

12.그림과 같이 한 변의 길이가 6인 정삼각형 ABC 의 각

꼭짓점에서 그 대변의 삼등분점에 그은 선분들로 둘러싸인

도형에 내접하는 원의 넓이는?

A

CB

① 27π ②

37π ③

47π

④ 57π ⑤

67π

17



13.다음은 원 내부의 점 E 에서 만나는 두 현 AB, CD 에

대하여 점 E 를 지나며 현 BC 에 평행인 직선이 현

AD 의 연장선과 만나는 점을 F , 점 F 에서 원에 그은

접선의 접점을 G 라 할 때, EF = FG 임을 증명하는 과

정이다. (단, 선분 BC 와 선분 AD 는 평행하지 않다.)

∠FED 와 (가) 는 동위각이므로 같고 원주각

의 성질에 의하여 ∠BAD 와 (가) 는 같으므

로 ∠FED= ∠BAD 이다.

∠EFD 가 공통이므로 △FED 와 (나) 는

닮음이고 EF 2= (다) 이다.

접선과 할선의 성질에서 FG 2= (다) 이다.

따라서 EF = FG 이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은?

(가) (나) (다)

① ∠BCD △FAE AD⋅DF

② ∠BEF △BCE DE⋅DF

③ ∠BCD △BCE AD⋅DF

④ ∠BEF △FAE AF⋅DF

⑤ ∠BCD △FAE AF⋅DF

14.교내 체육대회에서 댄스 동아리 회원 10명이 음악에 맞춰

춤을 추기로 하였다. 그림과 같이 운동장 한 가운데에 커다

란 원을 그리고 그 원의 둘레를 10등분하는 지점에 회원

들을 배치하였다. 소품을 준비하기 위하여 성도와 윤희 사

이의 거리와 철수와 은지 사이의 거리를 측정하였더니 각

각 a m, bm이었다. 다음 중 민호와 영희 사이의 거리를

나타내는 것은? (단, 단위는 모두 m 이다.)

①3a+2b

5②

a+2b3

③ 2a+b

3

④ 2a+b

2⑤

a+b2

15.반지름의 길이가 10인 두 원 O, O'가 그림과 같이 두

점 A, C 에서 만날 때 생기는 마름모 ABCD 가 있다.

∠ABC = 150°일 때, 원 O 위의 임의의 점 P에 대하

여 △APC 의 넓이의 최댓값이 a+b 3이다. a+b의

값을 구하시오. (단, a, b는 유리수)

18



16.다음은 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정오각형의

한 변의 길이를 a 라 할 때, 이 원에 내접하는 정십각형의

한 변의 길이를 a 를 써서 나타낸 과정이다.

그림과 같이 정오각형의 한 꼭짓점 A 와 정식각형의

한 꼭짓점 B 를 이으면 원의 지름이 된다. 이때, 지름

AB 와 정오각형의 한 변 CD 가 만나는 점을 E 라

하자.

이때, 정십각형의 한 변의 길이를 x라 하면,

AC = (가) 이다.

한편, 삼각형 ABC 에서 AC × BC = AB × CE이므로

(가) ⋅x=a ⋯⋯ ㉠

이고, ㉠의 식을 정리하면

x4- (나) ⋅x2+a 2=0 ⋯⋯ ㉡

이다.

따라서 ㉡의 방정식을 풀면 x= (다) 이다.

∥과정∥

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

(가) (나) (다)

① 1-x2 2 1+ 1-a 2

② 1-x2 4 2- 4-a 2

③ 4-x2 2 1+ 1-a 2

④ 4-x2 4 2+ 4-a 2

⑤ 4-x2 4 2- 4-a 2

17.그림은 선분 AB 를 지름으로 하는 원 O 에 내접하는 사각

형 APBQ를 나타낸 것이다. AP =4 cm, BP= 2 cm

이고 QA= QB 일 때, 선분 PQ 의 길이는?

① 3 2 cm ② 10 23

cm ③ 14cm

④ 4 103

cm ⑤ 4 cm

18.한 모서리의 길이가 1 인 정사면체 4 개와 정팔면체 1개

를 붙이면 그림과 같이 한 모서리의 길이가 2 인 정사면체

를 만들 수 있다.

이를 이용하여 한 모서리의 길이가 1 인 정사면체와 정팔

면체의 부피의 비를 구하면?

① 1 : 2 ② 1 : 3 ③ 1 : 4

④ 1 : 5 ⑤ 1 : 8

19



19.밑면의 반지름의 길이가 3 cm 인 세 원기둥을 각 원기둥

의 밑면의 중심이 선분 AB 위에 오도록 나란히 붙인다.

그림은 이 세 원기둥을 점 A 로부터 높이 15 cm 인 점

C 와 점 B 로부터 높이 5 cm 인 점 D 를 지나는 평면으

로 잘라서 만든 입체도형이다.

이 입체도형의 부피가 V cm 3일 때,

V10π

의 값을 구

하시오.

20.그림과 같이 부피가 250 cm 3인 사각뿔을 밑면에 평행한

평면으로 잘라 세 부분으로 나누었다. 도형 P, Q, R 의

옆넓이의 비가 9 : 7 : 9일 때, 도형 Q 의 부피는?

① 70 cm 3 ② 72 cm 3

③ 74 cm 3

④ 76 cm 3 ⑤ 78 cm 3

20



모의고사 기출문제 해설지

1. 정답 27

삼각형 ABC 에서, AP = PB 이므로

△CAP=△CPB

(△ACP의 넓이 )=12×

812

=814

점 M은 △ABC 의 무게중심이므로

CM : MP= 2 : 1에서 △AMC :△APM=2 : 1

(△AMC 의 넓이 )=814

×23

=272

∴ (□AMCN의 넓이 )= 2×272

= 27

2. 정답 ⑤

세 점 P, Q, R 에서 직선 l 에 내린 수선의 발을 각각

P', Q', R'라 하면 △PAP'≡△QAQ'( ∵ASA 합

동)이므로 점 A 는 선분 PQ 의 중점이다. 마찬가지로 점

B 는 선분 PR 의 중점이다.

따라서, 세 점 A, B, C는 각각 선분 PQ, 선분 PR ,

선분 QR의 중점이므로 △ABC의 무게중심은 △PQR

의 무게중심과 일치한다.

xO

y

C

l

R (9, 3)

Q (1, 1)

P (3, 7)

A

B

P'Q'

R'

△ABC 의 무게중심을 G (x, y )라 하면

x=3+1+9

3=

133

, y=7+1+3

3=

113

따라서, x+y=133

+113

= 8

3. 정답 ⑤

∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°

이므로

∠ACD=∠BCE (참)

△ACD 와 △BCE 에서

AC= BC, DC= EC, ∠ACD=∠BCE 이므로

△ACD ≡△BCE ( SAS 합동)이다.

∴ AD= BE (참)

∠BEC= 180°-∠DEC= 180°-60°=120°이고

∠ADC=∠BEC 이므로

∠ADB =∠ADC-∠EDC

=120°-60°=60° (참)

이상에서 옳은 것은 , , 이다.

4. 정답 ⑤

△QAPꁀ△QXY 이므로

AP : XY = PQ : YQ (참)

△APQ 와 △XYQ 에서

AP : XY = PQ : YQ 이므로

AP=XY⋅PQ

YQ

△PQB 와 △PYX 에서

BQ : XY = PQ : PY 이므로

BQ =XY⋅PQ

PY

∴ AP : BQ=1

YQ:

1

PY= PY : YQ (참)

에서 PY : YQ 이므로 △APY △BQY 이고,

∠AYP=∠BYQ

XY 는 직선 l 에 수직이므로

∠AYX =∠BYX (참)

이상에서 옳은 것은 , , 이다.

21



5. 정답 ②

∠ADB = 70°이므로 ∠DAB =60°이다.

따라서 ∠BAC =∠CAE =60°

또 DEꁚ BC 이므로 ∠DAB=∠ABC= 60°,

∠ACB =∠CAE =60°이다.

따라서 삼각형 ABC 는 높이가 10인 정삼각형이다.

AC =10×23

=203

이므로

△ABC=34

× ( 203 )

2

=100 3

3( cm 2)

6. 정답 15

두 직사각형 □ABCD 와 □PQCR 은 닮음이므로

PQ= 3k (단, k > 0)라 하면 PR= 2k이다.

(△APM의 넓이) =12⋅AM⋅PS

(△PMC 의 넓이) =12⋅MC⋅PR

선분 DC 의 중점이 M이므로 DM= MC=3이고

△ADM에서 피타고라스정리에 의해 AM= 5

또한, PS = PQ= 3k이고 PR= 2k

∴ (△AMC 의 넓이) =12⋅5⋅3k+

12⋅3⋅2k

=212

k

한편, (△AMC 의 넓이) =12⋅MC⋅AD

=12⋅3⋅4= 6

∴212

k= 6에서 2k=87

따라서 p+q= 7+8= 15

7. 정답 120

① 정삼각형 △AOB 의 넓이 : 34

×4= 3

② 이등변삼각형△CDE의 넓이 :

CM= OC - OM=2- 3, ∠DCM=60°이므로

DMCM

= tan (∠DCM)= 3

DM= 3⋅CM= 3 (2- 3 )

∴ △CDE= 2⋅12

CM⋅DM=-12+7 3

①, ②의 삼각형이 각각 6개씩 존재하므로

6× (①+②) =6× (-12+8 3)=-72+48 3

∴ b-a= 120

8. 정답 ④

1번, 4번, 9번 볼링핀을 각각 점 A, M, B 라 하고, 인접

한 두 볼링핀의 간격을 k라 하면 AM= 3k, BM= 5k

이다. 이때, AM은 각 P의 이등분선 이므로

9 : PB = AM : MB = 3 : 5

PB= 15( m )

BA

P

9

15

3k 5kM

이때, 피타고라스의 정리를 사용하면

AB = 15 2-9 2=12( m )

22



9. 정답 ⑤

반지름의 길이가 9 cm에서 원주는 18π cm 이다.

점 D 에서 선분 AB 에 평행한 선을 긋고 원과의 교점을

E 라 하면, 평행선의 성질에 의해서

∠EDC = 30〫

중심각의 크기는 원주각의 크기의 두 배이므로

=18π ×60〫360〫

=3π

=18π-(4π+6π+3π )= 5π

평행선의 성질에 의해서

∠ABE =∠BED

=52π

∴

=52π +3π

=112π

[다른 풀이]

∠BAD =a°라 하면

∠ADC = a°+ 30〫

중심각의 크기는 원주각의 두 배이므로

(부채꼴 BOD 의 중심각의 크기)= 2a°

(부채꼴 AOC 의 중심각의 크기)= 2a°+60°

반지름의 길이가 9 cm이므로 전체 원주는 18π cm 이다.

=18π ×4a°+60°

360°

=18π-(4π+6π )= 8π이므로

18π ×4a°+60°

360°=8π ,

a°=25°

(부채꼴 AOC의 중심각의 크기) =2a+60°=110〫

∴ =18π ×110°360°

=112π ( cm )

10. 정답 ①

△OPQ 는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이고,

△ABC 는 한 변의 길이가 1인 정삼각형이므로

S 1=△OPQ -(△APB +부채꼴 ABC+△ACQ )

= 3 - ( 34

+ π6+

34 )= 3

2- π

6

구하고자 하는 부분의 넓이 S 는 6S 1 이므로

S= 6( 32

- π6 )=3 3-π

11. 정답 260

두 현 AB 와 CD 의 교점이 P일 때,

PA× PB= PC× PD 이므로

12× 16= PC× 24에서 PC= 8

원의 중심 O 에서 두 현 AB 와 CD 에 내린 수선의 발

을 각각 M , N이라 하자.

원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로

AM= BM=12+16

2= 14

CN= DN=8+24

2= 16

OM= NP= CN- PC= 16-8= 8

직각삼각형 OMB 에서 피타고라스의 정리에 의해

r 2= 8 2+14 2= 64+196= 260

23



12. 정답 ②

A

BD E

P O

CQ

6

3

3 3

1

AQ = 36-9= 3 3

AD = 1+27= 2 7

원의 중심 O 가 △ABC 의 무게중심이므로

AO =23

AQ = 2 3

△ADQ 와 △AOP가 닮음이므로

AO : OP= AD : DQ

2 3 : OP = 2 7 : 1

OP=37

∴ 원의 넓이는 37π

13. 정답 ⑤

∠FED = ∠BCD (동위각)

∠BAD = ∠BCD (원주각)이므로,

∠FED =∠BAD ⋯⋯ ㉠

∠EFD 는 공통 ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡로부터

△FED ꁀ △FAE , AF : EF = EF : DF 이므로

EF 2= AF⋅DF

또, 접선과 할선의 성질로부터

FG 2= AF⋅DF

따라서 EF = FG 이다.

14. 정답 ④

원의 중심을 O, 6명의 위치를 A, B, C, D, E, F 라

하고, 선분 CD 와 선분 BE 의 교점을 G 라 하자.

사각형 ACDB 에서 ∠ACD =∠BDC , ∠A=∠B

이고, 원에 내접하는 사각형에서 마주보는 두 각의 합은

180°이므로

∠A+∠BDC =∠A+∠ACD = 180°

따라서 ABꁚCD

같은 방법으로 사각형 CEFD 에서 CDꁚEF

또, CAꁚEB, EBꁚOD 임을 알 수 있다.

따라서 사각형 ACGB, GEOD 는 평행사변형이고

CG= AB, GD= EO

∴ CD= CG+ GD

= AB+ EO

= a+12b=

2a+b2

( m )

15. 정답 75

점 O 에서 AC 에 내린 수선의 발을 H라 하자.

∠ABC =∠ADC = 150°이므로

∠AOC = 60°이다. (∵ ∠APC = 30°)

따라서 △AOC 가 정삼각형이다.

△APC 의 넓이가 최대가 되려면 밑변 AC 의 길이가

일정하므로 높이가 최대이어야 한다. 즉, 점 P가 OH의

연장선 위에 있을 때, 높이 PH가 최대가 되므로

PH= OP+ OH=10+5 3

∴ △APC 의 최대 넓이를 S 라고 하면

S=12× AC × PH

=12× 10× (10+5 3)

=50+25 3

따라서 a+b= 75

16. 정답 ⑤

그림과 같이 정오각형의 한 꼭짓점 A 와 정십각형의 한

꼭짓점 B 를 이으면 원의 지름이 된다.

이때, 지름 AB 와 정오각형의 한 변 CD 가 만나는 점을

E 라 하자.

24



A

B

C

D

E

a

1

x

이때, 정십각형의 한 변의 길이를 x라 하면,

AC = 4-x2이다.

한편, 삼각형 ABC 에서

12×AC ×BC =

12×AB ×CE 이므로

4-x2⋅x= a ⋯⋯ ㉠ 이고,

㉠의 식을 정리하면

x4-4x2+a 2= 0 ⋯⋯ ㉡ 이다.

㉡의 방정식을 풀면, x2=2± 4-a 2이다.

이때, 0 < x < 1이어야 하므로

x2=2- 4-a 2에서

x= 2- 4-a 2이다.

∴ (가) 4-x 2, (나) 4 , (다) 2- 4-a 2

17. 정답 ①

AB 가 원의 지름이므로, 원주각

∠APB =∠AQB = 90°이다.

피타고라스의 정리를 이용하면

AB = 4 2+2 2= 20= 2 5

QA 2+ QB 2= AB 2=20이므로

QA = QB= 10

사각형 AQBP의 넓이는 두 삼각형 PAB , QBA 의

넓이의 합과 같으므로

( 12 ×4×2 )+ ( 12 × 10 × 10 )=9

또, AQ = BQ 에서 원주각의 성질을 이용하면,

∠APQ =∠BPQ = 45°이고, 사각형의 넓이는 두 삼각

형 PAQ , PBQ 의 넓이의 합과 같으므로 PQ =x라

하면 다음이 성립한다.

9= ( 12 ×4×x× sin 45°)+ ( 12 ×2×x× sin 45°) =

32

2x

∴ x= 9×2

3 2= 3 2

18. 정답 ③

한 모서리의 길이가 1 인 정사면체와 2 인 정사면체의 닮

음비가 1 : 2이므로 부피의 비는 1 : 8이다.

한 모서리의 길이가 1인 정사면체와 정팔면체의 부피를

각각 V 1 , V 2라 하면

(모서리의 길이가 1 인 정사면체 4 개의 부피와 정팔면체

1 개의 부피의 합) =4V 1+V2

(모서리의 길이가 2 인 정사면체의 부피) =8V 1

4V 1+V 2= 8V 1, V 2=4V 1

∴ V1 : V2=1 : 4

19. 정답 27

문제에서 주어진 입체도형과 같은 입체도형을 뒤집어 붙이

면 그림과 같이 반지름의 길이가 3 cm 이고, 높이가

20 cm 인 원기둥 3개가 된다.

원기둥 3개의 부피는

3× (밑넓이) × (높이)

=3× (π × 3 2)× 20= 540π

따라서 주어진 입체도형의 부피 V cm 3는

V = 540π ÷ 2= 270π

∴ V10π

=27

25



20. 정답 ③

세 도형 P, Q, R 의 옆넓이의 비가 9 : 7 : 9이므로

위의 그림과 같은 세 사각뿔의 옆넓이의 비는

차례로 9 : (9+7) : (9+7+9)에서 9 : 16 : 25이다.

즉, 세 사각뿔의 닮음비가 3 : 4 : 5이므로

부피의 비는 27 : 64 : 125이다.

따라서 도형 Q 와 자르기 전의 전체 사각뿔의 부피의 비는

(64-27) : 125 = 37 : 125이므로, 도형 Q 의 부피를

x라 하면

37 : 125= x : 250

∴ x= 74( cm 3 )

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중학도형 핵심 Keyword별 정리(인강용)file.megastudy.net/FileServer/teacher_2007/t_promotion...6 상위권의올바른자세는단1%의출제가능성도소홀히하지않는것이다.-강한수학신승범샘