光通信工学２02－1

光通信工学 1. 復習 2. スネルの法則 3. 屈折率 4. 振幅反射（透過）率 5. フレネルの式

x

y

媒質１：n1 媒質２：n2

1θ 1θ

2θ1 1 2 2

1 2 1 2

sin sinn nn n

θ θθ θ

=> → <

ik rk

tk1 2n n>

光通信工学２02－2

光波とは：式で書いた方が分かりやすいかも！ 偏光：電場Eの振動方向 偏波面：電場Eベクトルと波数ベクトルからなる平面

進行方向：+z軸

x方向の直線偏光

x軸

y軸

k

⊥ ⊥E H k

H

H：磁場の強さ +y軸

( )( )

,0,0

0, ,0x

y

E

H

=

=

E

H

平面波＆進行波：簡単・便利

電場Eベクトル

電場E（振動）ベクトル

磁場H（振動）ベクトル

磁場H ベクトル

+x軸

偏波面：x-z平面 右ねじ：電場E（＋） →磁場H（＋）

波数ベクトル ( )0,0, 0k= >k

( ) ( )( ) ( )

0

0

0 0

, cos

, cos

, 0

x

y

E z t t kz

H z t t k

E

HE

zH

ω φ

ω φ

η η

= − +

= − +

= >

振幅一定 赤：正実数

振動ベクトルを記述するときのお約束（平面波の場合） • 電場Eベクトルと磁場Hベクトルの向きは「右ねじ」で設定 • 現実には、電場Eと磁場Hは振動しているから向きも変化する • 詳細は省略するが、上記関係式は電場Ｅと電束密度Dの向きが

一致する「等方性質媒質」に限定される。（例：ガラス） • 参考文献：末田「光エレクトロニクス」p.136（昭晃堂）

波動インピーダンス：205

注意：電場Eも磁場Hも同じ位相速度の波。振動方向と振幅が異なる

光通信工学２02－3

平面波 Plane wave：波数ベクトル表示

複素振幅

複素数表示

実数表示 平面波：振幅・波数ベクトルの位置依存性無。

k

( ) ( ), cost tAψ ω φ= − +r k r

( ) ( ), exp, 0j j

t j

A AeA

tA

eA φ φψ ω= −

= = >

r k r

-30 -20 -10 0 10 20 30

-30

-20

-10

0

10

20

30

k 振幅一定：赤：正実数、青：複素数

定数

厳密に言うと、平面波＆進行波

進行波

進行波

λ

波長：µmオーダー 無限の拡がり

平面波近似の目安 太線の長さ＞＞波長 太線：実際に波が存在

平面波近似 1. ビーム径が波長に比べて非常に大きければ近似可 2. 考えている領域でビームの拡がり（回折）が無視でき

ること

質問：どうして「平面波近似」しますか？ 1. 振幅の位置依存性無（本講義では定数） 2. 波数ベクトルの位置依存性無 3. 数式的に簡単で取り扱いが容易

光通信工学２02－4

( ) ( )Re exp cos

j je e

j t

A A

A kz t kz

A

A

φ φ

ω ω φ

= =

− = − +

波：基本的な表現

( ) ( ), cos2 2cos

z t t kz

t zT

A

A

ψ ω φ

π π φλ

= − +

= − + 周期(s)

周波数：Hz

実数表示

振幅 角周波数（rad/s） 波数（m-1） 初期位相

波長(m)

1f T=

( )2 360radπ = °

複素数表示 ( ) ( )( )

, exp

exp 0, argA

z t jA t kz

j z A At Ak

ψ ω φ

ω φ

= − +

= − = > =

偏角：Argument

注意：実数表示と複素数表示 振幅：赤色（正実数） 青色（複素数）

絶対値

複素振幅

Euler's formula cos sinje jθ θ θ⇒ = +

ｊ：虚数単位：Imaginary unit

括弧内：位相

注意：波数を位相定数と呼ぶ場合もある。

光波に限定されない一般的な「波」の性質

角周波数 2 fω π=

光通信工学２02－5

周波数と波長（真空中）

pv kω

=

152 1 10ω π= = f T Hz

2k π λ=

位相速度 Phase velocity

周波数 Frequency

22 fTπω π= =角周波数 Angular frequency

波数 Wavenumber

2p pf v vλ ωλ π= → =

位相速度：周波数と波長の積

真空中の光速：位相速度 Speed of light in vacuum

80 3 10 /pv c m s= ×

10-9

10-6

10-3

1

1015

1012

109

106 100

周波数 波長 Hz m

1018 γ線

X線

紫外線

可視光線 赤外線

短波

遠赤外線

電磁波の種類 光は電磁波の一種

マイクロ波

電場E

磁場H

進行方向 k

H：磁場の強さ

約束：下ツキ「０」＝真空中

波長 Wavelength 1λ µ m

注意：色は周波数（角周波数）で異なる

光通信工学２02－6

単位 １０の乗数を表す接頭語

呼び方 呼び方

1018 exa E 10-3 milli m

1015 peta P 10-6 micro µ

1012 tera T 10-9 nano n

109 giga G 10-12 pico p

106 mega M 10-15 femto f

103 kilo k 10-18 atto a

可視光スペクトル

400nm 500nm 600nm 700nm 1.3-1.55µm 600THz

光ファイバ通信 低損失帯(0.2-0.3dB/km)

真空中の波長 屈折率 = 1

注意： • 「色は周波数（角周波数）で異なる」と覚えましょう。 • 「波長（波数）で異なる」としても構いませんが、本講義では「角周波数」を頻繁に使用します。

2p pf v vλ ωλ π= → =

µｍ：マイクロメートル

光通信工学２02－7

進行波：前進・後退波

( ) ( ), cosz t t kzAψ ω φ= − + ( ) ( ), cosz t t kzAψ ω φ= + +

波の速度 等位相位置が移動する速度なので位相速度と呼ぶ場合もある。

位相速度：201

0lim ω∆ →

∆= = → ≡

∆p ptzv v ct k

前進（進行）波：Forward traveling wave 後退（進行）波：Backward traveling wave 0k > 0k >

注意：符号

光速の場合：記号cで表わす場合が多い。 ラテン語 で速さを意味するceleritasの頭文字

平面波なら：振幅一定 注意：実数表示と複素数表示 振幅：赤色（正実数） 青色（複素数）

光通信工学２02－8

前進波と後退波：光の場合 電場E

磁場H

( ) ( )( ) ( ) ( )

0

0

, cos

, cosx

y

E z t t kz

H

E

z t kzE t

ω φ

η ω φ

= − +

= − +

x

yz

進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ） 磁場H：ｋ→電場E

x

yz

後退波

前進波

電場E

磁場H

前進波：直線偏光

平面波：定数振幅（波の拡がり無限大、非現実的だけど）

磁場Hを-y方向

( )

( )( ) ( )( ) ( )

1 , 0

, ,0,0 , 0, , ,0 , 0,0, , 0x yE z t H z t k k

ωµ= × • =

= = = ± >

H k E k E

E H k

後退波：直線偏光

ベクトル表示をしましょう！

0k >

係数：205：μ：透磁率 磁場H：ｋ→電場E

( ) ( )( ) ( ) ( )

0

0

, cos

, cosx

y

E

E

E z t t kz

H z t t kz

ω φ

η ω φ

= + +

= − + +

赤：正実数

波動インピーダンス：205

光通信工学２02－9

ベクトル表示：光波の場合

電場E

x

z

進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ） 磁場H：ｋ→電場E

前進波

( )( )( )

, ,

, ,

, ,

x y z

x y z

x y z

E E E

H H H

k k k

=

=

=

E

H

k

( )

( )( )( )( )

( )

1 , 0

, ,0,0

0, , ,0

0,0, , 0

x

y

E z t

H z t

k k

ωµ= × • =

=

=

= ± >

H k E k E

E

H

k

関係式：電場Eと磁場Hと波数ベクトル

y電場E

E

k

前進波

H磁場H

磁場H

一般化

光通信工学２02－10

x

y 波数ベクトル 入射波

波数ベクトル 反射波

波数ベクトル 透過波

1θ 1θ

2θ

ik rk

tk1 2n n>

スネルの法則 Snell's law ：屈折 思い出してみましょう！

入射波：波数ベクトルの大きさ（201-13）

反射波：波数ベクトルの大きさ 透過波：波数ベクトルの大きさ

スネルの法則

1 1 2 2 1 2 1 2

0 01 2

1 2

sin sin ,

,

n n n n

c cn nc c

θ θ θ θ= > → <

= = 約束：下ツキ「０」＝真空中 真空中の光速（位相速度）

01 0 0

1 1 0 0

0,c n k kc c c cω ω ω

= = = > =ik

01 0

1 1 0

0c n kc c cω ω

= = = >rk 0 2 02 2 0

0c n kc c cω ω

= = = >tk

媒質１：n1 媒質２：n2

媒質中の光速（位相速度）：波数ベクトルの大きさ 1 2 1 2> → < ⇔ = >n n c c i r tk k k

ω=pv k

光通信工学２02－11

教えてくれること • 入射波、透過波：波数ベクトル情報のみ。 • つまり、屈折率が異なる媒質の境界で透過波がどちらの方向に進むのかを教えてくれる。

スネルの法則で教えてくれないこと： 「光」の特徴である波としての電場Ｅや磁場Hの振る舞い（振幅情報）？

スネルの法則が教えてくれること、教えてくれないこと

y

x

1θ 1θ

2θ

ik rkik

等位相面

屈折率 媒質１：n1

屈折率 媒質１：n2

入射波：平面波近似 波数ベクトルの位置依存性無

反射波：平面波近似

tk

境界面：z-x

透過波：平面波近似

z軸：奥から手前

電場E：境界面内方向成分（z軸）のみ

添え字：Incident（入射）, Reflection（反射）, Transmission（透過）

光通信工学２02－12

( )0,0, tzE=tE

反射と透過を考える：s偏光成分 senkrecht（垂直）

y

x

1θ 1θ

2θ

ik rkik

等位相面

簡単のため 電場E：境界面内方向成分（z軸）のみ 波数ベクトル：紙面内方向成分のみ

屈折率 媒質１：n1

屈折率 媒質１：n2

( ) ( )0,0, , , ,0 , 0, 0z x yE k k k= = = > • =E k k E k

入射波：平面波近似 波数ベクトルの位置依存性無

反射波：平面波近似

tk

( ) ( )0

1 1 , ,0y z x zk E k Eωµ ωµ= × → −H k E

境界面：z-x

磁場H：202-9

透過波：平面波近似

非磁性体：ガラスなど 真空中の透磁率

0µ µ=

z軸：奥から手前

反射前後

ik → rk

( )0,0, rzE=rE( )0,0, izE=iE

これから反射波と透過波の振幅を求めましょう！但し、電場Eのみ。 Key words：振幅反射率、振幅透過率

光通信工学２02－13

( ) ( )( )

( ) ( )1 0 1 1 0 11 0

, exp

exp

, ,0 sin , cos ,0

0

iz

ix

i

iy

ix iy

i

E t j t

j t k x k y

k k n k n k

n k

E

E

ω

ω

θ θ

= −

= − −

= = −

= >

i

i

i

r k r

k

k

x

y

波数ベクトル 透過波

1θ 1θ

2θ

ik rk

tk1 2n n>

電場Eを複素数表示で記述：z成分のみ

入射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似

反射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似

( ) ( )( ) ( )1 0 1 1 0 1, exp

, ,0 sin , cos ,0

rz rx ry

rx ry

rE t j t k x k y

k k n k n

E

k

ω

θ θ

= − −

= =r

r

k

透過電場E（z成分のみ）：平面波近似

( ) ( )( ) ( )2 0 2 2 0 2, exp

, ,0 sin , cos ,0

tz tx ty

tx ty

tE t j t k x k y

k k n k n

E

k

ω

θ θ

= − −

= = −t

r

k

注意

0 00 1 2

0 1 2

, ,c ck n nc c cω

= = =

真空中の波数 屈折率

青：複素振幅（定数）

媒質１：n1 媒質２：n2

( ) ( ) ( )0,0, , , , , ,i iz iz izE E t E x y z t= ≡E r

添え字：Incident（入射） Reflection（反射）, Transmission（透過）

参照：202-10

( )0,0, rzE=rE

( )0,0, tzE=tE

光通信工学２02－14

( ) ( ) ( ), , , , @ 0iz rz tzE t E t E t y+ = =r r r

( ) ( ) ( )0

1, ,0 , 0,0, , , ,0x y z y z x zk k E k E k Eωµ= = = −k E H

x

y 波数ベクトル 入射波

波数ベクトル 反射波

波数ベクトル 透過波

1θ 1θ

2θ

ik rk

tk1 2n n>

境界条件：結論のみ 境界条件の導出：205

電場Eの境界条件：電場Eの面内方向成分（z成分）が一致

媒質１側：入射波と反射波の合成波 媒質２側：透過波

磁場Hの境界条件：磁場Hの面内方向成分（ｘ成分）が一致

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), , , , @ 0

, , ,

ix rx tx

iy iz ry rz ty tz

H t H t H t y

k E t k E t k E t

+ = =

+ =

r r r

r r r

求めたい関係？ • 複素振幅反射率と複素振幅透過率

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, exp

, exp

, exp

iz ix iy

rz rx ry

t

i

r

tz tx ty

E t j t k x k y

E t j t k x k y

E t

E

E

E j t k x k y

ω

ω

ω

= − −

= − −

= − −

r

r

r

入射電場E z成分のみ

反射電場E z成分のみ

透過電場E z成分のみ ,= = tr

i is sr t

EEE E

媒質１：n1 媒質２：n2

磁場Hは簡単！：202-12

注意：未知数が２個だから方程式が２個、

光通信工学２02－15

計算：電場E

( ) ( ) ( ), , , , @ 0iz rz tzE t E t E t y+ = =r r r

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0

0

0

, exp exp

, exp exp

, exp exp

yiz ix iy ix

yrz rx ry rx

i

ytz tx t

i

r r

ty txt

E t j t k x k y j t k x

E t j t k x k y j t k x

E E

E E

E EE t j t k x k y j t k x

ω ω

ω ω

ω ω

=

=

=

= − − → −

= − − → −

= − − → −

r

r

r

1 1 2 2

1 0 1

1 0 1sin sin

2 0 2 1 0 1

sinsin

sin sin

ix

rxn n

tx tx ix rx tx

k n kk n k

k n k k n k k k kθ θ

θθ

θ θ=

==

= → = → = =

202-13

スネルの法則

+ =i r tE E E

関係式：電場Eの複素振幅 波数ベクトル：面内方向成分（x成分）が一致

電場Eの境界条件：電場Eの面内方向成分（z成分）が一致 青：複素振幅（定数）

添え字：Incident（入射） Reflection（反射）, Transmission（透過）

202-13

光通信工学２02－16

フレネルの式 Fresnel’s equation

( ) ( ) ( ), , , , @ 0iy iz ry rz ty tzk E t k E t k E t y+ = =r r r

202-14

1 0 1

2 0 2

cos

cos

θ

θ

+ =

= − = −

= −

i riy ry ty

iy ry

ty

tE E Ek k kk k n kk n k

関係式：電場Eの複素振幅 + =i r tE E E

複素振幅反射率と複素振幅透過率：実数

省略：p偏光成分：parallel（平行） 参考文献：本宮「波動光学の風景」 O plus E, 29, 11, p.1168 (2007) O plus E, 29, 12, p.1286 (2007)

磁場Hの境界条件：磁場Hの面内方向成分（ｘ成分）が一致

細かい計算手順は省略

青：複素振幅（定数）

202-13

2 21 12/ 11 1 2 2

2 21 2 2 2 1 1

2/ 11 1 12 2

1 1 2 2 1 1

cos sincos coscos cos cos sin

2 2 cos 2coscos cos cos sin

θ θθ θθ θ θ θ

θ θθ θ θ θ

≡

≡

− − −−= = → →

+ + + −

= = → →+ + + −

iy ty n n ns

iy ty

iy n n

r

i

t n

y yis

i t

k k nn nrk k n n n

k ntk k n n

EE

EE n

( )i r tiy tyk E kE E− =

光通信工学２02－17

入射波

反射波

入射波

反射波

位相シフトがπの場合、入射波と反射波は反射点で位相シフト。山なら谷、谷なら山

フレネルの式が教えてくれること（一例）：反射光の位相変化 屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相は不変 屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相がπシフト

位相シフトがなければ、入射波と反射波は反射点で位相ずれ無し。山なら山、谷なら谷

屈折率低い

屈折率高い

屈折率高い

屈折率低い

入射波と透過波は屈折率の大小に係わらず位相シフト無し。 これを、入射波と透過波の位相は連続であると言う。

透過波

スネルの法則のみでは分かりません

光通信工学２02－18

複素振幅反射率と屈折率の関係

x

y

媒質１：n1 媒質２：n2

波数ベクトル 入射波

波数ベクトル 反射波

波数ベクトル 透過波

1θ 1θ

2θ

ik rk

tk

フレネルの式 Fresnel’s equation

2 21 1

2 21 1

12 2

1 1

2 1

cos sin

cos sin2cos

cos sin

θ θ

θ θ

θ

θ θ

− −= =

+ −

= =+ −

≡

r

i

t

i

s

s

EE

E

nr

n

tn

n n n

E

2 21

12 2

1 1

sin 0

2coscos sin

0θ

θ

θ θ

− >

=+ −

→ >

s

n t

i

EE

tn

注意：屈折率の大小に係わらず成立 但し、青色（複素振幅）、複素数/複素数 = 正実数

複素振幅透過率：全反射を除く 1 2 2

1 2 1 1cos sin0

θ θ → > −= >r i

n

s

n n nE Er

複素振幅反射率：屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射する場合

複素振幅反射率：屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射する場合

1 2 21 2 1 1cos sin

0θ θ>< → < −

=

光通信工学２02－19 光通信工学２02－19

( ) ( )( )

, exp

cos

, 0i i

iz ix iy

ix iy i

i

i

i iij

ij

E t j t k x k y

t k xE

E

E

e e EE

k y

E φ φ

ω

ω φ

= − −

→ − − +

= = >

r

x

y 波数ベクトル 入射波

波数ベクトル 反射波

波数ベクトル 透過波

1θ 1θ

2θ

ik rk

tk1 2n n>

反射光の位相変化：複素数表示と実数表示

媒質１：n1 媒質２：n2

202-13

複素振幅反射率：屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射する場合

複素振幅反射率：屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射する場合

青色（複素数） 赤色（正実数）

( ) ( )( )

, exp

cos

, 0r r

rz rx ry

rx ry r

r

r

r rrj

rj

E t j t k x k y

t k xE

E

E

e e EE

k y

E φ φ

ω

ω φ

= − −

→ − − +

= = >

r

= rs ir E E

φ φ π→ = +r i 位相がπシフト

位相は不変（連続） φ φ→ =r i

= rs ir E E

複素数/複素数 = 正実数

複素数/複素数 = 負実数

入射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似

反射電場Ｅ（z成分のみ）：平面波近似

光通信工学２02－20

入射波

反射波

入射波

反射波

位相シフトがπの場合、入射波と反射波は反射点で位相シフト。山なら谷、谷なら山

結論：反射光の位相変化（s偏光） 屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相は不変 屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相がπシフト

位相シフトがなければ、入射波と反射波は反射点で位相ずれ無し。山なら山、谷なら谷

実はp偏光でも状況は同じであるが、やや座標系が複雑になるためちょっと解釈が難しい。 参考文献：河合「光学設計のための基礎知識」p.145、オプトロニクス社

屈折率低い

屈折率高い

屈折率高い

屈折率低い

206：光の干渉で「この結論」を利用します。

透過波

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