设 kt k=1,2,…n. - web.xidian.edu.cn · 1,, 2 11, (k=1,2, ,n) N t t k k tt tt k k k k µσ µσ µσ − −− − −− 提示：考虑增量 BB 相互独立且服从正态分布：

随机过程引论 2014秋季学期 Introduction to Stochastic Process

西安电子科技大学 ——数学与统计学院冯海林 School of Mathematics and Statistics Xidian University

与布朗运动相关的随机过程

设Wk= {Wkt,t≥0}是标准布朗运动，k=1,2,…n.

如果W1,…,Wn, 相互独立,则称 (W1, … ,Wn) 是n-维标准布朗运动.

1. n-维标准布朗运动



问题：设 (W1 W2 ) = {W1t, W2

t，t≥0}是二维标准布朗运动. 试计算当第一个过程首次达到给定水平z>0时，第二个过程的一维分布.

可以用二维和三维标准布朗运动描述平面和空间中的布朗运动的质点。



2. 布朗运动 2( , )µ σ −

2

2 2

,

, ,

2

R, 0

={ , 0}

( , )

t t

t

t W

t

µ σ

µ σ µ σ

µ σ

µ σ

µ σ

∈ >

= +

≥

−

设，定义

B

则称随机过程 B B 为

布朗运动.



例3.3.1 计算布朗运动的均值函数和相关函数.

2( , )µ σ −



例3.3.2 验证布朗运动是正态过程. 2( , )µ σ −

2 2

1

, ,

21 1

, (k=1,2, ,n)

N

k kt t

k k k kt t t t

µ σ µ σ

µ σ

−

− −

−

− −

提示：考虑增量

B B

相互独立且服从正态分布：

( ( ), ( ))



时，称为带有漂移系数的布朗运动. µ

带漂移的布朗运动可用质点在直线上的非对称随机游动逼近.

带漂移的布朗运动可以刻画工程、物理以及金融领域的诸多现象。

1σ =



对逐渐劣化的系统来说，其劣化过程可以用一个带漂移参数的布朗运动描述：

1.预防维修策略问题当过程的状态为b时系统失效，此时可通过费用为 R的维修返回良好状态0. 若在该过程的状态为x(x<b)时采用费用为C的预防维修，则此时系统能回到良好状态的概率为px, 仍然转为失效的概率为1-px.

µ σ= + ≥ , 0t tX t W t

2.剩余寿命预测问题



设有一自融资金且无消费的单身汉计划T时结婚，他在[0,T]期间的t时刻将财产Xt中的Yt用于买股票， Xt –Yt用于买债券.若要在T时财产达到Xt =Z, 则在[0,T] 做怎样的投资策略？该问题转化为求解下列倒向参数随机微分方程.

t t(X ,Y ) rX (b r) Y (R )(X Y )0

t t t tf rr R

= + − + − −

>

其中，

为债券利率，为市场贷款利率，一般R>r.

tX (X ,Y )dt Y

t t t t

T

d f dWX Z

= − =

此为带漂移的布朗运动的微分形式.



3. 布朗桥

1

={ , }

brt t

br brt

tW tW

t

∈

= −

∈

对任意的 [0,1],定义

B

则称随机过程 B B [0,1]为0到0的

布朗桥.



例3.3.3 计算布朗桥的均值函数和相关函数.

例3.3.4 验证布朗桥是正态过程.



0 1

R, (b a)

.

a b brt t

a b a b

a b a ba t t

a ba ba b

→

→ →

∈

= + − + ∈

=

设常数 , 定义从到的布朗桥：

B B [0,1]

(1)验证 B = ,B

(2)计算从到的布朗桥的均值函数和协方差函数.

(3)验证从到的布朗桥也是正

例3.3.5

态过程.



1

1( ( ) )2

, , 1 2( , ,..., )T T

X k

n

jm t u uCu

t t nu u u eϕ−

=

1 1 1

( ) (1 ,2

)= = =

−∑ ∑∑=

n

X k X k

n n

k k lk l

lk

j u u um t C t t

e

注意到：正态过程X的特征函数为

也可以用过程的n维特征函数

1

1 , , 1 2( , ,..., ) E[ ]

na bt kk

k

n

j B u

t t nu u u eϕ→

=∑

=



布朗桥在统计中的应用

1 U[0 1]n 设X , ,X 独立同服从，分布,对0<s<1,记

(X )1

i

n

n si

≤=∑N (s)= I

(s) , P(lim (s) s) 1n n nnF n F

→∞= = =N (s) 则有

(s) (s)- ,{ (s) s 1}

n n

n

n F nαα

= →∞

≤ ≤

若令 ( s)则当时，

，0 的极限过程为布朗桥.



4. 几何布朗运动

2

设定义

其中是( , )-布朗运动,

则称随机过程为几何布朗运动

µ σ

µ σ

µ σ

µ σ

µ σ

∈ >

= ≥

= ≥

2,

2

2,

B

,

B

R, 0,

B , 0

B

B { , 0}

t

t

get

t

ge

e t

e t



geB解：均值函数 m = ge

t( ) E[B ]tµ σ µ σ+=

2,BE[ ]=E[ ]t tt We e

σµ= E[ ]tWte e

σµ

2

2=t

te e

计算几何布朗运动的均值函数和例3.3.6 相关函数.



geB相关函数 µ σµ σ ++=R ( , ) [E[ ]ts t Ws Ws t e e

σµ σ

σµ σ

σµ σ

−+

−+

−+

=

=2

2

( )( ) 2

( )( ) 2

( )( ) 2 2

E[ ]

E[ ]E[ ]

=

t ss

t ss

W Ws t W

W Ws t W

t ss t s

e e e

e e e

e e e



几何布朗运动在股票价格建模中的应用：

n若X 表示某种股票在n时刻的价格，通常认为价格

百分比是独立同分布的，即令

1, 1n

nn

n−

≥XY =

X

1 1 2 1 1 0n n n n n n n n− − − −= = X =Y X =Y Y X Y Y Y X

01

ln ln lnn

n kk=

⇒ +∑X = Y X{ln }{ }

n

n

由中心极限定理 X 近似为

布朗运动，因此 X 近似为

几何布朗运动.



5. 反射布朗运动

= ≥

= ≥

定义

则称随机过程为反射布朗运动

B , 0

B {B , 0}

ret t

re ret

W t

t



解：x 0时，有

≥

= ≤F( ; ) P(B )rett x x

= ≤ = − ≤ ≤P( ) P( )t tW x x W x

ϕ+

−= ∫ ( )

x

txy dy

其中即分布的密度函数ϕπ

−=

2

21( ) , (0, )

2

yt

t y e N tt

计算反射布朗运动的一维分布函数、均值函数

和

例3.3.7

方差函数.



reB解：均值函数 m =( ) E[ ]tt W

ϕ ϕ+∞ +∞

−∞= =∫ ∫0( ) 2 ( )t ty y dy y y dy

π−+∞

= ∫2

20

12

2

yty e dy

t

y y(令 z=

t tπ

−+∞= ∫

2

20

2)

2

yte dy

z tππ

+∞ −= =∫

2

20

2 22

z te dz



reB方差函数 = 2 2D ( ) E[ ]-E[ ]t tt W W

π π= −2 2t 2t

E[ ]- =tW t



6. 奥恩斯坦-乌伦贝克过程设定义

其中

则称随机过程为奥恩斯坦乌伦贝克过程

αγ

α α

α

γ

−

>

= ≥

= −

= ≥

∫

( )

2 2

0

0,

B , 0

1( )= ( 1),

2B {B , 0} -

ou tt t

t s t

ou out

e W t

t e ds e

t



例计算奥恩斯坦乌伦贝克过程的均值函数和相关函数8 -

ouB解：均值函数 m α

γ−= ( )( ) E[ ]t

tt e Wα

γ−= ( )E[ ]=0t

te W

ouB相关函数 α α

γ γ− −= ( ) ( )R ( , ) E[ ]s t

s ts t e W e W

不妨设0αγ γ

− + ≤ <( )( ) ( )= E[ ]s ts te W W s t

αγ γ γ γ

− +( )( ) ( ) ( ) ( )= E[ ( - + )]s ts t s se W W W W

α αγ γ γ γ

αγ

αγ

− + − +

− +

− +

= +

=

( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2( )

( )

= E[ ( - )]+ E[ ]

0 E[ ]

( )

s t s ts t s s

s ts

s t

e W W W e W

e W

s e



布朗运动的逼近与仿真

三种逼近方式：基于随机游动的逼近布朗运动的帕里-维纳表示（一个标准的布朗运动），给出其样本轨道的仿真基于小波函数的逼近方法

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