e-Learning Calculus

행렬

행렬은 일종의 엑셀 프로그램과 비슷한 역할을 한다. 행과 열에 일정한 수를 배치한 후,

행렬의 연산법칙에 따라 연산을 하면 함수가 처리되듯 계산이 가능하게 된다. 즉, 행렬은

대량의 데이터를 다루는 곳 어디에서든 사용이 가능하다는 장점이 있다. 행렬의 발생은 군

부대에서 미사일을 만드는데 필요한 재료량을 주문하고 그 가격의 이해관계를 따져볼 때,

일일이 계산하는 것이 상당히 번거롭기 때문에 숫자만으로 간략화한 후 정해진 연산법칙

으로 계산한 것에서 시작되었다. 비슷한 계산식이 여러 개 반복되면 복잡하고 한 눈에 들

어오지 않기 때문에 행렬을 사용한 것이다. 예를 들어, 미사일을 만드는데 필요한 원료를

나트륨, 황산이라고 할 때, A사에서 나트륨과 황산의 그램당 가격이 60원, 40원, B사에서

나트륨과 황산의 그램당 가격이 35원, 60원이라 하면, 나트륨을 100, 황산을 150그램 사

려고 할 때, A사와 B사 중 어디에서 사는 것이 더 비용이 적게 들까? 이것을 행렬의 곱셈

으로 계산하면 위와 같다. 즉, 사에서 사는 것이 더 효율적이라는 결론을 얻을 수 있

다. 이번시간에는 행렬과 행렬식을 이용하여 연립방정식의 해법, 역행렬을 구하는 방법에

대해 학습한다.

e-Learning Calculus

e-Learning Calculus

행렬식 전개(사러스 방법)

행렬식 전개(여인수 전개법)

= 에서 행과 열을 제외한 나머지 원소로 이루어진 행렬식

e-Learning Calculus

1) 행렬과 행렬식

(1) 행렬

행렬

수나 수를 나타내는 문자를

소괄호( )나 대괄호[ ]안에

직사각형의 형태로 배열한 것

◉ 행렬의 연산

․ 행렬의 상등

․ 행렬의 실수 배

･ 행렬의 합과 차

･ 행렬의 곱

행렬은 열과 행의 수가 같은 조건에서만 정의되며 그 결과는 다음과 같다.

e-Learning Calculus

예제

풀이

예제

풀이

예제

풀이 　

= (1․4+2․5+3․6)=(32)

= ․ ․ ․ ․ ․ ․․ ․ ․ ․ ․ ․ =

e-Learning Calculus

종류 정의 예

정사각행렬

(=정방행렬) 행과 열의 수가 같은 행렬

(2차 정방행렬) (3차 정방행렬)

대각행렬

주대각선의 원소를 제외한 나머지

원소가 모두 0인 정사각행렬

-단위행렬 : 주대각선의 원소는 1,

나머지는 모두 0인 정사각행렬

-삼각행렬 : 주대각원소의 위 또는

아래 부분의 원소가 0인 정사각행

렬

전치행렬

행렬 에서 행과 열을 바꾼 행렬

의 전치행렬을 로 표기한다.

대칭행렬

정사각행렬에서 주대각선에 대하

여 대칭적인 행렬

즉, 인 행렬

영행렬 행렬의 모든 원소가 0인 행렬

◉ 행렬의 종류

(2) 행렬식

◉ 행렬식의 표현

･ 일 때, 행렬식 = 와 같이 표현한다.

･ 2차, 3차 행렬식의 전개 (사러스 방법)

e-Learning Calculus

※ 사러스 방법의 행렬식 전개는 2차, 3차 행렬식의 전개에만 행당하고, 고차 행렬식은

뒤에 배울 여인수 전개법을 이용하여 구한다.

예제 사러스 방법에 의하여 다음 행렬식을 전개하여라.

(1) 을 구하여라.

(2)

를 구하여라.

풀이 (1) =

(2)

◉ 여인수 전개법

의 소행렬식 = 행렬식에서 번째 행과 번째 열의 원소 를 제외한

나머지 원소로 이루어진 행렬식

의 여인수

이 때,

예제1

의 값을 구하여라.

e-Learning Calculus

풀이 한 행이나 열에서 0이 가장 많은 줄을 기준으로 잡는다.

원소 소행렬식 여인수

제 3행에 관한 전개

(3) 다지기

1 다음 행렬의 곱을 구하여라.

2 다음 행렬의 곱을 구하여라.

θ θθ θ

θ θθ θ

3 다음 행렬식의 값을 구하여라.

(1)

(2) θ θθ θ

(3)　

4 여인수 전개법에 의하여 행렬식

를 구하여라. □

2) 연립방정식과 역행렬

(1) 연립방정식의 해법

e-Learning Calculus

◉ 크래머의 공식

예제 크래머의 공식을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하여라.

풀이

(2) 역행렬 구하기

e-Learning Calculus

memo

역행렬

정사각형렬 에 대하여 단위행렬을 라 할 때 를 만족시키는

행렬 가 존재할 때, 를 의 역행렬이라 하고 로 표기한다.

즉,

◉ 수반행렬을 이용한 역행렬 구하기

예제 수반행렬을 이용하여 다음 3차 행렬의 역행렬을 구하여라.

풀이

e-Learning Calculus

(3) 다지기

◎ 다음 문제를 풀어보자.

※ (1~2) 주어진 행렬의 역행렬을 구하여라.

1

2 θ θθ θ

θ θθ θ

※ (3~4) 주어진 연립방정식을 크래머의 공식을 이용하여 풀어라.

3

4

e-Learning Calculus

◉ 행렬식 전개(사러스 방법)

◉ 행렬식 전개(여인수 전개법)

= 를 제외한 나머지 원소로 이루어진 행렬식

◉ 크래머의 공식

◉ 행렬을 이용하여 역행렬 구하기

e-Learning Calculus

1 주어진 행렬의 전치행렬을 구하여라.

2 다음 두 행렬의 곱을 구하여라.

3 다음의 행렬식을 사러스 방법에 의하여 전개하여라.

　

4 다음 연립방정식을 크래머의 공식에 의하여 풀어라.

5 다음 행렬 의 역행렬 를 구하여라.

① ② ③

e-Learning Calculus

1) 행렬과 행렬식

1

2

3 (1)

(2) θ θθ θ

θ θ

(3)　

=

4

에서 2행에 0이 가장 많으므로 2행에 관해서 전개한다.

다지기 정답 p.8

1

2

3

4

e-Learning Calculus

2) 연립방정식과 역행렬

1 이고 일 때, 이므로

일때

2 이고 일 때, 이므로

θ θθ θ

일때θ θθ θ

θ θθ θ θ θ

θ θ

3 를 행렬로 바꾸면,

이제, 크래머의 공식을 적용하면,

4 에서 이고 에서

이므로

을 행렬로 바꾸면,

이제, 크래머의 공식을 적용하면,

다지기 정답 p.11

1

2 θ θθ θ

3

4

e-Learning Calculus

1 전치행렬은 행렬 에서 행과 열을 바꾼 행렬이다.

퀴즈퀴즈 정답 p.13

1

2

3 -2

4

5

e-Learning Calculus

2

3

4 를 행렬로 바꾸면,

이제, 크래머의 공식을 적용하면,

5

이고 일 때,

이므로