적당히 No! 편하게 No! 남동화 삼각함수4강 겉핥기 No! The Quilt …file1.megastudy.net/fileserver/file_att/russelblue_tv/... · 2017-03-22 · 적당히 No! 편하게

적당히 No! 편하게 No! 겉핥기 No!

남동화 tr 삼각함수 4강 The Quilt Program 자연 1기

- 1 -

Theme No. 01 삼각함수의 정의와 그래프

Note

삼각함수의 정의

반지름의 길이가 인 원 위의 점 에 대하여 동경 가

나타내는 일반각의 크기를 라 하면

sin

, cos

, tan

csc

, sec

, cot

삼각함수의 그래프

sin

① 정의역 : 실수 전체의 집합

② 치역 : ≤ ≤

③ 주기 :

④ 대칭성 : 원점에 대하여 대칭

cos

① 정의역 : 실수 전체의 집합

② 치역 : ≤ ≤

③ 주기 :

④ 대칭성 : 축에 대하여 대칭

tan ① 정의역 :

(은 정수)를 제외한 실수

전체의 집합

② 치역 : 실수 전체의 집합

③ 주기 :

④ 대칭성 : 원점에 대하여 대칭

핵심체크

1) 함수 sin sin 의 그래프와 직선 가 서로 다른

세 점에서 만나도록 하는 음수 의 값의 범위를 구하여라.



- 2 -

Theme No. 02 단위원을 이용한 방부등식의 풀이

Note

방부등식의 해

방/부등식의 해를 찾는 순서

⇨ 1st) sin cos 로 둔다

2nd) 단위원과의 교점확보

3rd) 교점과 원점을 연결한 각의 크기가 방/부등식의 해 이다

1) 삼각방정식

≤ 일 때, 방정식 sin cos 의 서로 다른 실근의 개수를 구하면?2)

2) 삼각부등식

≤ 에서 부등식 sin cos≥의 해가 ≤≤ 일 때, 의 값은?3)

≤ 에서 부등식 sin cos의 해가 일 때, 의 값은?4)

핵심체크

5) 함수 의 그래프가 그림과 같을 때,

삼각방정식 cos 의 서로 다른 실근의 개수를 구하여라.

(단, ≤ ≤ )



- 3 -

Theme No. 03 삼각함수의 덧셈정리 및 활용

Note

덧셈정리

1) sin sincoscossin sin sincos cossin2) cos coscossinsin cos coscossinsin3) tan tan tan

tan tan

tan tan tantan tan

활용

1) 두 직선이 이루는 예각

두 직선 , ′ ′가 이루는 예각의 크기를 라고 하면

tan ′ ′ (단, tan, ′ tan)

핵심체크

6) 그림과 같이 ABDE , ADBC 인 두 직각삼각형

ABC와 ADE가 있다. ∠CAE 라고 할 때, cos 의 값은?

(단, 점 B는 변 AD 위에 있다.)

①

②

③

④

⑤

7) 좌표평면에서 두 직선 , 이 이루는

예각의 크기를 라 하자. tan

일 때, 상수 의 값은?

(단, )

①

②

③

④

⑤



- 4 -

Theme No. 04 삼각함수의 극한과 미분

Note

도구

lim→

sin , lim

→

tan , lim

→

cos

(단, 는 라디안)

미분

1) sin ⇨ ′ cos2) cos ⇨ ′ sin

핵심체크

8) lim→

sin 의 값은?

① ② ③

④ ⑤ sin

9) 연속함수 가 lim→ cos

를 만족시킬 때,

lim→

이다. 의 값은? (단, 이다.)

① ② ③ ④ ⑤

10) lim→

sin

lim

→

tan

lim→ sin

의 값은?

(단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)① ② ③ ④ ⑤



- 5 -

Theme No. 05 합성과 내적

Note

합성과 최대/최소

① sin cos sin

② sin cos cos

③ 함수의 최댓값최솟값

sin cos sin에서

≦ sin≦ 이므로

최댓값 : , 최솟값 :

내적과 최대/최소

sin cos 의 최대/최소를 구하는 다른 아이디어!!!

핵심체크

11) 그림과 같이 원 위의 점 P 에 대하여 직선

OP 와 축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 라고 할 때,

의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

(단, ≤ 이고, O 는 원점이다.)



- 6 -

✪ 적용

12) 그림과 같이 원점 O 를 중심으로 하고

점 P 을 지나는 원과 곡선 이 만나는 두 점을

각각 A , B 라 하자. ∠APB

일 때, 의 값은?

O

A B

P

①

②

③

④

⑤

13) 그림과 같이 직선 위의 점 P가 제사분면에 위치

할 때, 동경 OP가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 라

고 하자. sin coscot의 값을 구하시오. (단, O는

원점이다.)



- 7 -

14) 함수 sin 의 그래프가 그림과 같을 때, 세 양수

에 대하여 의 값은?

① ②

③ ④

⑤

15) 함수 가 다음 세 조건을 만족시킨다.

(가)� 모든�실수� 에�대하여�

이다.

(나)� ≤≤

일�때,� sin

(다)�

≤일�때,� sin

이때 함수 의 그래프와 직선

가 만나는 점의 개수는?

① ② ③ ④ ⑤



- 8 -

16) 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 에서

∠ ∠ cos

이다.

tansin

이라 할 때, 의 값을 구하여라.

(단, 은 서로소인 자연수이다.)

17)그림과 같이 원 위의 점 A 을 지나고 축

에 수직인 직선 위에 점 B 가 있다. 선분 OB가 원과

만나는 점을 C라 하고 원 위의 점 C에서의 접선이 축과 만나

는 점을 D라 하자. ∠COA 라 할 때, 색칠한 부분의 넓이

를 를 이용하여 나타내면? (단, O는 원점이다.)

①

②

③

④

⑤



- 9 -

18)그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원 O 위에 두 점 A B가

있다. 점 A에서의 접선이 OB의 연장선과 만나는 점을 C , 점

B에서 OA에 내린 수선의 발을 D , ∠AOB 라고 하자.

OD AC⋅BD 일 때, cscseccot 의 값은?

(단,

)

① ② ③ ④ ⑤

19)sin cos sin cos 를 만족시키는 각 에 대하여

다음 식을 간단히 하시오. (단, sin cos≠) csc tan csc tan



- 10 -

20)

cossin

cos

sinsincos

을 간단히 하면?

① ② ③

④ sin ⑤ cos

21) 에서 방정식 tantan

의 서로 다른

네 실근을 작은 것부터 차례대로 라 할 때,

의 값은?

①

②

③

④

⑤



- 11 -

22) ≤ 일 때, 부등식 cossinsin 의 해는 ≤ 또는 이다.

cos의 값은?

① ②

③

④

⑤

23) 그림과 같이 인 직사각형 에서 를

로 내분하는 점을 라 하자. ∠ 라 할 때, tan의 값을 구하여라.



- 12 -

24) 그림과 같이 AB , BC 이고

∠ABC

인 직각삼각형 ABC 가 있다.

선분 AB 를 지름으로 하는 반원 위의 점 P 에서의 접선과 AC의 연장선이 만나는 점을 Q 라 하자. ∠PQA

이고

∠PAB 라 할 때, tan의 값을 구하시오.

단

25)그림과 같이 원점 O를 지나고 축의 양의 방향과 이루는 각

의 크기가 인 직선이 원 과 제 사분

면에서 만나는 점을 P라 하자. 점 P를 지나고 원에 접하는 직

선이 축과 만나는 점을 Q라 하고, 직선 OP 위에 PQ PR가 되는 점 R를 제 사분면에 잡는다. 점 R에서 축에 내린

수선의 발을 H라 할 때, 선분 OH의 길이의 최댓값은?

① ② ③ ④ ⑤



- 13 -

26) 좌표평면에 함수 ln의 그래프와

직선

이 있다. 곡선 위의 서로

다른 두 점 A , B 에서의 접선을 각각 ,

이라 하자. 세 직선 , , 으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형

일 때, 의 값을 구하시오.

27) 그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원

위의 점 C 를 ACBC 가 되도록 잡는다. 호 BC 위를 움직이

는 점 P 에 대하여 선분 AP 와 선분 BC 가 만나는 점을 Q 라

하고, ∠PAB 라 하자. 삼각형 BPQ 의 넓이를 라 할

때, lim→

의 값은? 단

①

② ③ ④ ⑤



- 14 -

28) 함수 sin ≦≦

의 역함수를

sin 라 할 때, lim→

sin

의 값은?

①

②

③ ④ ⑤

29)그림과 같이 중심이 이고 길이가 인 선분 를 지름으

로 하는 원 위의 점 에서 선분 에 내린 수선의 발을 ,

점 에서 선분 에 내린 수선의 발을 , 점 에서 선분

에 내린 수선의 발을 라 하자.

∠ 일 때, 삼각형 의 넓이를 ,

삼각형 의 넓이를 라 하자. lim→

일 때,

의 값을 구하시오.(단, 와 는 서로소인 자연수이다.)



- 15 -

30)그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가

인

부채꼴 OAB가 있다. 호 AB 위의 점 T에서 선분 OA와 선분

OB에 내린 수선의 발을 각각 P , Q라 하고∠TOP 라 하

자. 점 P와 점 Q를 지름의 양끝으로 하고 점 T를 지나는 반원

을 C라 할 때, 반원 C의 호 TP , 선분 PA, 부채꼴 OAT의 호

AT로 둘러싸인 부분의 넓이를 , 삼각형 OPQ의 넓이를

라 하자. lim→

일 때, 의 값을 구하시오.

(단,

)

31)그림과 같이 점 A 과 원 위의 점 P에 대

하여 직선 AP가 원 과 두 점에서 만날 때 두

점 중에서 점 P에 가까운 점을 Q라 하자.

∠OAP 라 할 때, lim→

PQ의 값은?

①

② ③

④ ⑤



- 16 -

32) 중심이 O이고, 두 점 A B를 지름의 양 끝으로 하며 반지

름의 길이가 인 원 가 있다. 그림과 같이 원 위의 점 P에

대하여 점 O를 지나고 직선 AP와 평행한 직선이 선분 PB와

만나는 점을 Q , 호 PB와 만나는 점을 R라 하자.

∠PAB 라 하고, 점 Q와 점 R를 지름의 양 끝

으로 하는 원의 넓이를 라 할 때,

lim→

이다. 의 값을 구하시오.

(단, QR 이고, 와 는 서로소인 정수이다.)

33) 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원 위

에 두 점 P Q를 ∠ABP ∠BAQ 가 되도록

잡는다. 두 선분 AQ BP와 호 PQ에 내접하는 원의 반지름의

길이를 라 할 때, lim→

이다. 의

값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.)



- 17 -

34) 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 에서 변

AB 의 중점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 반원 위

에 점 P가 있다.∠BAP 일 때, 삼각형 APC 의 넓이를

, 부채꼴 OBP 의 넓이를 라 하자.

lim→

라 할 때, 의 값을 구하시오.

(단, ＜＜

)

35) 그림과 같이 좌표평면에서 원 과

곡선 ln이 제 사분면에서 만나는 점을 A 라 하자.

점 B 에 대하여 호 AB 위의 점 P 에서 축에 내린 수선

의 발을 H , 선분 PH 와 곡선 ln 이 만나는 점을 Q라 하자. ∠POB 라 할 때, 삼각형 OPQ 의 넓이를 ,

선분 HQ 의 길이를 라 하자. lim→

일 때, 의

값을 구하시오. (단,

이고, O 는 원점이다.)



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정답 및 해설

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)�13) 14) 15)�16) 17) 18)�19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)26)�27)�28) 29)�30) 31) 32) 33) 34) 35)

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