長柱の座屈

-1-

　断面寸法に対して非常に長い柱に圧縮荷重を加えると、初期段階においては一様圧縮変形を生ずるが、

ある荷重に達すると急に横方向にたわむことがある。このように長柱が軸圧縮荷重を受けていて突然横

方向にたわむ現象を座屈といい、この現象を示す荷重を座屈荷重 Pcr、このときの応力を座屈応力 scrと

いう。

図−１に示すように一端を鉛直な剛性壁に固定された長柱が自

由端に圧縮力 Pを受ける場合を考えよう。柱の長手方向に x軸

を採り、柱のたわみを vとする。この柱から図−２に示すよう

に左端から距離 xにある点から長さ dxの微小要素 ABCDを取り

出し、この要素について力のつり合い、力のモーメントのつり

合いを考える。面 ABおよび CDに作用する軸力、せん断力およ

び曲げモーメントは図に示すようであるとする。また、面 ABお

よび面 CDのたわみ角を q1および q2とする。図−２および図−３、４を参照しながら、この微小要素

の力のつり合い式、力のモーメントのつり合い式を考えると以下のような式が立てられる。

v方向の力のつり合い

sin cos sin cosN F N F dF 01 1 2 2i i i i- - + + =] g 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１）

x方向の力のつり合い

cos sin sin cosN F F dF N 01 1 2 2i i i i+ - + - =] g 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（２）

E点に関する力のモーメントのつり合い

vcos sinM N d Fds M dM N dx 01 1i i+ + - + - =] g 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（３）

変形は微小であり、q1、q2-(rad)-<< 1(rad)-（約 57.3°）であるから、

,v

v v

cos cos

sin tan

sin tan

ds dx

dxd

dxd

dxddx

1 11 2

1 1 1

2 2 2 2

2

.

. .

. .

. .

i i

i i i

i i i

=

= +

4　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（４）

と考えることが出来る。

（Ａ）v方向の力のつり合い

式（１）は、式（４）の関係を用いれば次のように書き直せる。

v v vNdxd

F F dF Ndxd

dxddx 02

2

- + + - + =] dg n

上式を整理すると、

vdF N

dxddx 02

2

- =

xOO

v

P

図−１曲げと圧縮を受けるはり

ds

F

F+dFdx

θ1θ2

M M+dM

xxO

v

v

x+dx

A

d v

BC

D

EN N

図−２　微小長さ要素

θ1

θ1

xOF

v

Nθ2

θ2

xO

F+dF

v

N

図−３　AB面 図−４　CD面

-2-

両辺を dxで割れば、

vdxdF

Ndxd

02

2

- = 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（５）

となる。ところで、たわみ vと曲げモーメント Mの関係、

vM EI

dxd

2

2

=-

を用いれば、はりに生ずるせん断力 Fと曲げモーメント Mの関係は次のように書き直せる。

vF

dxdM

EIdxd

3

3

= =- 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（６）

また、軸力 Nと圧縮荷重 Pの関係は、

cos cosP N N or P N N1 2. .i i= =] g

であるから、これらの関係を式（５）に代入すれば、

v vEIdxd

Pdxd

04

4

2

2

- - =

ここで、PEI

2a= とおけば、

v vdxd

dxd

04

42

2

2

a+ = 　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（７）

となる。微小要素 ABCDは静的なつり合いの状態にあるので、式（７）を満たしているはずである。

（Ｂ）x方向の力のつり合い

式（２）は、式（４）の関係を利用して書き直せば、次のようになる。

v v v

v v v

N Fdxd

F dFdxd

dxddx N

N Fdxddx dF

dxd

dFdxddx N

0

0

2

2

2

2

2

2

+ - + + - =

- - - - =

] dg n

さらに式（６）の関係を用いれば、次のように変形される。

v v v v v vN EI

dxd

dxddx EI

dxddxdxd

EIdxddxdxddx N 03

3

2

2

4

4

4

4

2

2

+ + + - =

上式で 5次以上の微少量を無視すれば、

N N 0- =

となり、上式は成立している（x方向の力のつり合いが成立している）ことが分かる。

（Ｃ）E点に関する力のモーメントのつり合い

式（３）は、式（４）の関係を用いれば、

v vM Nd Fdx M dM N

dxddx 0+ + - + - =] g

さらに整理すれば、

v vNdxd

FdxdM

Ndxd

0+ - - =

となる。式（６）の関係に注意すれば、上式は自ら成立していることが分かる。

以上の検討から、柱から切り出された微小要素が静的つり合い状態にあるという条件から、

v vdxd

dxd

04

42

2

2

a+ = 　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（７）

　　ただし、

-3-

EIP

a=

が成立していなければならないことが分かる。この条件式（７）は、4階の定数係数線形同次常微分方

程式であり、固有値は 0（重根）、ia、-iaであるから、一般解は次の形である。

v sin cosx C x C x C x C1 2 3 4a a= + + +] g 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（８）

条件式（７）は、柱が軸圧縮荷重を受けて横方向にたわんだ場合に、微小要素が静的つり合い条件を充

足していなければならないということから導かれたものであり、柱の両端の状態（例えば、固定端とか

自由端）とは無関係である。したがって、柱のたわみ式は、式（７）を満たし、かつ柱の両端の条件式

を満たす必要がある。

では次に、柱の両端の満たすべき条件について考えてみる。

固定端の場合

たわみおよびたわみ角が共にゼロであるから、

,v vdxd

0 0= = 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（９）

回転端の場合

力のモーメントがゼロであるから、

vdxd

EIM

2

2

=- より、 vdxd

02

2

=

たわみもゼロであるから、v 0= である。したがって、

,v vdxd

0 02

2

= = 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１０）

自由端の場合

回転端の場合と同様にモーメントがゼロであるから、

vdxd

02

2

=

端末におけるはりに生ずるせん断力 Fは、外力 Pと次の関係になる。

vsin tanF P P P P

dxd

. .i i i= = 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１１）

一方、せん断力 Fとたわみ vとの間に式（６）の関係があるから、

であるから、式（１１）は次のように書き直せる。

v vEIdxd

Pdxd

03

3

+ =

ここで

EIP 2a=

と置いたから、

v vdxd

dxd

03

32a+ =

となる。したがって、自由端での端末条件は、

,v v v

dxd

dxd

dxd

0 02

2

3

32a= + = 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１３）

である。

x

v回転端 O

x

v

P

θ

θ

Psinθ

自由端部

拡大

P

O

x

v固定端O

-4-

以上の結果を表に整理すると、表−１に示すようになる。

表−１　端末条件端末の形式 端末条件

固定端 ,v vdxd

0 0= =

回転端 ,v vdxd

0 02

2

= =

自由端 ,v v v

dxd

dxd

dxd

0 02

2

3

32a= + =

具体例両端 A、Bが回転端の場合の長さ lの長柱が圧縮荷重 Pを受ける場合について考えてみよう。

式（７）の一般解

v sin cosx C x C x C x C1 2 3 4a a= + + +] g 　 -- -- - - - -（８）

が、x=0および x=lで、表−１に示す回転端の条件を満足

するように定数 C1、C2、C3、C4を定めれば良い。

したがって、

vsin cos

dxd

C x C x2

22

12

2a a a a=- - 　- - - - - - - - - - -（９）

であるから、x=0のとき ,v vdxd

0 02

2

= = より

C C 02 4+ = 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１０）

C 022a- = 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１１）

x=lのとき ,v vdxd

0 02

2

= = より

sin cosC l C l C l C 01 2 3 4a a+ + + = 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１２）

sin cosC l C l 021

22a a a a- - = 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１３）

式（１０）から（１３）を行列を用いて表わせば、

sin

sin

cos

cos

l

l

l

l

l

C

C

C

C

0

0

1 0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

02

2

2

1

2

3

4

a

a a

a

a

a a-

-

-

=f f fp p p

定数 C1、C2、C3、C4が同時に 0とならない解が存在するためには、係数行列式が 0、すなわち

sin

sin

cos

cos

l

l

l

l

l

0

0

1 0

0

0

1

0

1

0

0

2

2

2

a

a a

a

a

a a-

-

-

=

でなければならない。上式から次式が得られる。

sinl l 04a a =

l 04 !a であるから、

sin l 0a =

P PA B

lv

x

図−５　両端が回転端の長柱の圧縮

-5-

となる。したがって、 ,PEI l0 0>Fa= であるから l 0Fa であることを考慮すれば、

, , , ,l n n 0 1 2 3 ga r= =] g

であれば良い。

EIP

a=

であるから、上式に代入し辺々 2乗すれば、

EIPl n2 2 2r=

となるから、荷重 Pを求めると

, , ,P EIln

n 1 2 32

2 2

gr

= =] g

となる。ただし、n=0のときは P=0となるからこれを除いた。上式から得られる最小の荷重はn 1= の

ときであり、このときの荷重をオイラーの座屈荷重 Pcrと呼んでいる。

P EIl

cr 2

2r= 　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１４）

柱の軸に垂直な断面積を Aとすれば、オイラーの座屈応力 scrは次のようになる。

AP

EAIl

EAAr

lE

rl

Ecrcr

2

2 2

2

2

2

2

2

2

vr r r

mr

= = = = =d n

　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１５）

ただし、

r：断面２次半径（I Ar2= ）

l：細長比（ lrm= ）

また、定数 C1、C2、C3、C4を求めると、C C C 02 3 4= = = となり、圧縮荷重がオイラーの座屈荷重と等

しいとき、

EIP

EIEIl l

1cr

2

2

ar r

= = =

となるから、たわみ v(x)は、

v sinx Clx1

r=] g

となる。

　様々な端末条件を持つ長柱のたわみは、式（８）の定数 C1、C2、C3、C4を表−１の条件で決定する

ことであるが、それらの場合の最小座屈荷重 Pcrはオイーラーの座屈荷重の式の形に表わすことが出来

る。

P klEI

lEI

cre

2

2

2

2r r= = 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１６）

ただし、

l：長柱長さ

E：縦弾性係数

I：断面の図心を通る軸に関する断面２次モーメントの最小値

k：端末条件係数

-6-

le：相当長さ（有効長さ）　　llk

e=

各端末条件に対する端末条件係数 k、相当長さ leは、表−２に示すようになる。

また、オイラーの座屈応力 scrは、次式で与えられる。

AP

kAIlE

kAAr

lE

k

rl

Ek

E

k

E E

crcr

e

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

vr r r

mr

m

rmr

= = = = =

= =

d

d

n

n

　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１７）

ただし、

A：軸に垂直な断面積

r：断面２次半径（I Ar2= ）

l：細長比（ lrm= ）

le：相当細長比（k

lre

emm

= = ）

　式（１６）、（１７）から分かるように、座屈荷重、座屈応力は長柱の長さ lが短くなるに従い増大する。

ここでの説明で導かれた座屈荷重、座屈応力は、弾性変形を仮定している。したがって、圧縮の比例限

度以下の座屈荷重、座屈応力を与える leに対しては有効である。オイラーの座屈荷重が有効性を失う

短い柱に対しては、幾つかの実験式が与えられている。

問題　一端固定端、他端自由端の条件のもとで長さ l=2.5m、断面が80 100mm mm# の矩形断面を持つ鋼材の

オイラーの座屈荷重 Pcrを求めよ。ただし、縦弾性係数 Eは 206GPa、安全率を 3として求めよ。

解答　式（１６）に表−２で与えられる相当長さ leを代入すれば求められる。断面２次モーメント Iの値は、

幅 bが 100mm、高さ hが 80mmと考えた方が、幅 bが 80mm、高さ hが 100mmと考えるよりも小さい。

したがって、

.Ibh12 12

100 10 80 104 27 10

m m m3 3 3 3

6 4# # ##= = =

- --] ]g g

表−２から、

.l l2 2 2 5 5m me #= = =

表−２

端末条件端末条件係数

k

相当長さ（有効長さ）

le

両端回転端 1 l一端固定端、他端自由端 0.25 2l一端固定端、他端回転端 .2 04 2. . .l l0 699 0 7.

両端固定端 4 l/2

-7-

したがって、式（１６）を用いれば、

.. .P

lEI

N

5

206 10 4 27 103 473 10 347 3m

m mN kNcr

e2

2

2

2 92

6 4

5

# # # ##.

rr

= = =

-

] g

安全率を 3とすることから、座屈荷重 Pcrは上で求めた荷重の 1/3となり、

P 116kNcr=

となる。

問題　縦横寸法が120 90mm mm# の矩形断面を持つ長さ lが 3.0mの木製の柱がある。両端固定の場合、この

柱のオイラーの座屈荷重を求めよ。ただし、縦弾性係数 Eを 7.8GPaとする。

解答　最小の断面２次モーメント Iは、幅 bが 120mm、厚さ hが 90mmの場合である。したがって、

.Ibh12 12

120 10 90 107 290 10

m m m3 3 3 3

6 4# # ##= = =

- --] ]g g

座屈荷重 Pcrは式（１６）に表−２から得られる相当長さ le=l/2を代入すると、

.

. ..P

lEI

N

3 02

7 9 10 7 290 102 5262 10 253m

m mN kNcr

e2

2

2

2 92

6 4

5# # # #

# .r r

= = =

-

c m

となる。