e Statistic A

ESTATSTICA

Mendona Jnior, A. F.

Mossor RN

17 de outubro de 2013

Variveis Aleatrias e Distribuio de Probabilidades

Varivel aleatria Varivel aleatria discreta e contnua Distribuies de probabilidade Funes de distribuio Esperana de funo de uma varivel Varincia de uma varivel aleatria

VOCABULRIO BSICO DA ESTATSTICA

VARIVEL

Uma varivel corresponde a uma caracterstica de um item ou de um indivduo

POPULAO

Uma populao consiste em todos os itens ou indivduos em relao aos quais voc deseja tirar uma concluso

AMOSTRA

Uma amostra corresponde parcela da populao selecionada para anlise

PARMETRO

Um parmetro uma medida numrica que descreve uma caracterstica de uma populao

Vocabulrio bsico da estatstica

VARIVEIS ALEATRIAS

Variveis Aleatrias

DEFINIES

uma funo que associa cada elemento de um espao amostral a um nmero real

uma funo com valores numricos, cujo valor determinado por fatores de chance

uma varivel quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatrios

uma funo que atribui um valor numrico a cada resultado individual de uma experincia aleatria

Regra que atribui um valor numrico a cada possvel resultado de um experimento

Figura 1. Mapeamento de eventos em nmeros reais

Variveis Aleatrias

Variveis Aleatrias

A FUNO VARIVEL ALEATRIA (V.A.) Seja X um valor numrico, cujo valor depende do resultado do experimento. Se X associa um resultado a um nmero, ento X uma funo cujo domnio o conjunto de resultados e cuja imagem o conjunto dos nmeros reais. Essa funo X conhecida pelo nome de Varivel Aleatria.

Desta forma, pode-se escrever os resultados de um experimento aleatrio atravs de nmeros, ao invs de palavras ou smbolos, possibilitando um tratamento matemtico facilitado. Em outras palavras, a varivel aleatria traduz o resultado do experimento em nmeros reais.

S

atributo qualitativa

quantitativa

discreta

contnua

Definio: varivel aleatria a funo que associa cada elemento de S a um nmero real.

v.a.

Variveis Aleatrias

Variveis Aleatrias

s

S

X (s) X

Rx

Variveis Aleatrias

s1 s2 s3 s4 s5 s6

x1 x2 x3 x4

S

KK

KC

CK

CC

X: nmero de caras em 2 lances de moeda

0 1 2

X(CC) = 0

X(KC) = X(CK) = 1

X(KK) = 2

P(X = 0) = P(CC)

P(X = 1) = P(KC CK)

P(X = 2) = P(KK)

X(S) (imagem)

Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa)

Variveis Aleatrias

TIPOS DE VARIVEIS ALEATRIAS

Tipos de Variveis Aleatrias

So classificadas conforme a natureza do conjunto de valores reais que elas podem assumir

VARIVEL ALEATRIA DISCRETA

Assume um nmero finito ou infinito numervel de valores numricos. Quando os valores podem ser listados.

VARIVEL ALEATRIA CONTNUA

Assume um valor dado por uma medida em uma escala contnua, isto , todos os valores possveis em um intervalo real. Quando os valores no podem ser listados.

x Discreta Contnua A distino entre variveis aleatrias discretas e contnuas importante porque a utilizao de diferentes modelos (DISTRIBUIES) de probabilidade depende do tipo de varivel aleatria considerado


Definio: uma v.a. discreta quando o conjunto de valores possveis (imagem) for finito ou infinito numervel.

P(X = xi) 0 para todo i

( ) 1ii

P X x

Funo de Probabilidade

( ) ( )f x P X x


Exemplos: a) jogar um dado X: ponto obtido no dado X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} X: = 1 se ponto for igual a 6 X: = 0 caso contrrio X = {0, 1} b) jogar 5 moedas (ou uma moeda 5 vezes) X: nmero de caras em 5 lances X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} c) jogar uma moeda at tirar uma cara X: nmero de jogadas at tirar uma cara (incluindo-se a cara) X = {1, 2, 3, ...} X: nmero de coroas at tirar uma cara X = {0, 1, 2, ...} d) sortear 5 pontos em um mapa pedolgico X: nmero de pontos correspondentes classe Argissolo X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}


Definio: uma v.a. contnua quando o conjunto de valores possveis (imagem) for inumervel.

Se o conjunto imagem inumervel, no h sentido em falar de valores especficos e portanto: P(X = x) = 0

Funo Densidade de Probabilidade (fdp)

( ) 0f x

( ) ( )b

a

P a X b f x dx ( ) 1f x dx

Qual a probabilidade de se escolher uma pessoa qualquer com 1,7567234309... metros de altura?

P(a < X < b) 0

x

f(x)

a b

( )P a X b


Problema: Define-se uma varivel X como o nmero de caras em 6 lances de moeda. Qual a probabilidade de se obter mais que 4 caras nesses 6 lances?

X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} P(X > 4) = P(X = 5) + P(X = 6) P(X = 5) = P(KKKKKC KKKKCK KKKCKK KKCKKK KCKKKK CKKKKK) = 6/64 P(X = 6) = P(KKKKKK) = 1/64 P(X > 4) = 7/64


RESUMO - Varivel Aleatria

RESUMO - Exemplo

DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE

DEFINIES

uma funo que relaciona os valores possveis de uma V.A. com as respectivas probabilidades de ocorrncia

uma correspondncia que associa probabilidades aos valores de uma V.A.

Mostra a proporo das vezes em que a V.A. tende a assumir cada um dos diversos valores

Distribuies de Probabilidade


TROCANDO EM MIDOS A distribuio de probabilidade, ou modelo probabilstico, indica, para uma varivel aleatria, quais so os resultados que podem ocorrer e qual a probabilidade de cada resultado acontecer.


EXEMPLOS

Lana-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuio de probabilidades para a V.A. nmero de caras.

Resultados Possveis Probabilidades

0 0,5

1 0,5 Total 1

QUAIS RESULTADOS

QUAL PROBABILIDADE


EXEMPLOS

Lana-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuio de probabilidades para a V.A. nmero de caras.

0,50 0,50


EXEMPLOS

Considerando-se que 2 moedas tenham sido lanadas, construir a distribuio de probabilidades para a V.A. nmero de caras.

REGRA DA MULTIPLICAO

A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram igual multiplicao das probabilidades individuais.

P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B)


EXEMPLOS


Resultados

Possveis Resultados Numricos

Probabilidades

CC 0 0,5 x 0,5 = 0,25

CK 1 0,5 x 0,5 = 0,25

KC 1 0,5 x 0,5 = 0,25

KK 2 0,5 x 0,5 = 0,25

Total 1


EXEMPLOS

1o Lanamento

K

2o Lanamento

0,5

0,5

0,5

0,5

P(x) = 0,25

C

0,5

0,5

K

C

K

C

P(x) = 0,25

P(x) = 0,25

P(x) = 0,25

Resultados Possveis Probabilidades

0 0,25

1 0,5

2 0,25 Total 1


EXEMPLOS



EXEMPLOS

Um lote de peas possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuio de probabilidades para a V.A. nmero de itens com defeito dentre 2 sorteados aleatoriamente.

REGRA DA ADIO

A probabilidade de que um entre dois eventos mutuamente excludentes ocorra igual soma das probabilidades individuais.

P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B)

AXIOMAS

Como os valores das distribuies de probabilidades so probabilidades, e como as V.A. devem tomar um de seus valores, temos as duas regras a seguir que se aplicam a qualquer distribuio de probabilidades:

1. A soma de todos os valores de uma distribuio de probabilidades deve ser igual a 1

P(x) = 1 Onde x toma todos os valores possveis

2. A probabilidade de ocorrncia de um evento deve ser

0 P(x) 1 Para todo x


x A

VARIVEIS ALEATRIAS DISCRETAS

Varivel Aleatria Discreta

VALOR ESPERADO

O valor esperado, ou esperana, ou mdia, de uma distribuio de probabilidades corresponde mdia dos resultados da varivel aleatria quando o nmero de observaes for muito grande.


VALOR ESPERADO

X P(x)

x1 p1

x2 p2

. . . . . .

xn pn Total 1

E(x) = x = (xi . pi)


VARINCIA

X P(x)

x1 p1

x2 p2

. . . . . .

xn pn Total 1

Var(x) = x = pi(xi - x)2

EXEMPLOS

Um grande lote de peas possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuio de probabilidades para a V.A. nmero esperado de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente e o desvio padro.


Res. Possveis Res. Numricos Probabilidades

BBB 0 0,064

BBD 1 0,096

BDB 1 0,096

DBB 1 0,096

BDD 2 0,144

DBD 2 0,144

DDB 2 0,144

DDD 3 0,216

Total 1

EXEMPLOS


Itens com defeito (X = xi) Probabilidades (P (X = xi) )

O 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216 Total 1

EXEMPLOS


E(x) = x = (xi . pi) = 1,8 itens

Itens com defeito (X = xi) Probabilidades (P (X = xi) )

O 0,064

1 0,288

2 0,432

3 0,216 Total 1

EXEMPLOS


Var(x) = x = pi(xi - x)2 = 0,8485 item


REGRA DA MULTIPLICAO

A probabilidade de que dois eventos no independentes ocorram igual multiplicao das probabilidades individuais.

P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B / A)

Probabilidade do evento B ocorrer dado que o evento A tenha ocorrido

EXEMPLOS

Um lote com 20 peas contm 4 defeituosas. Se forem retiradas duas peas do lote, qual a probabilidade de serem retiradas:

a) Duas peas boas?

b) Duas peas defeituosas?


EXEMPLOS


P(B) = 16 / 20

B: Pea Boa

D: Pea Defeituosa

P(D) = 4 / 20

EXEMPLOS


Se a primeira pea for:

Boa Defeituosa

P(B/B) = 15 / 19 P(B/D) = 4 / 19

P(D/B) = 16 / 19 P(D/D) = 3 / 19

EXEMPLOS


Se ambas as peas forem:

Boa Defeituosa

P(B/B) = 16/20 x 15/19 = 0,6316 P(D/D) = 4/20 x 3/19 = 0,0316


REGRA DA ADIO

A probabilidade de que pelo menos um entre dois eventos no excludentes ocorra igual a:

P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)

EXEMPLOS

A 3M Construes constri 01 (um) condomnio quando acha que h probabilidade de pelo menos 40% de vender todos os apartamentos no 1 ano. Constri 02 (dois), aos quais atribui as probabilidades de 40% e 50%. Qual a probabilidade de que pelo menos 01 (um) condomnio seja vendido em sua totalidade?


EXEMPLOS

P(A) = 0,4

P(B) = 0,5

P(A e B) = 0,4 . 0,5 = 0,2

P(A ou B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7


Resultados Possveis (A/B) Probabilidades

Vende / No Vende 0,2

Vende / Vende 0,2

No Vende / Vende 0,3

No Vende / No Vende 0,3 Total 1

EXEMPLOS



EXEMPLOS Um comerciante espera vender um automvel at sexta-feira. A expectativa de que venda na segunda-feira de 50%. Na tera-feira de 30%, na quarta-feira de 10%, na quinta-feira e na sexta-feira de 5%. Seu lucro de 3.000 u.m. se vender na segunda-feira diminui 40% a cada dia. Calcule o valor esperado de lucro deste negociante nesta venda.


EXEMPLOS

A tabela a seguir apresenta dados relativos distribuio de sexo e alfabetizao em habitantes do RN com idade entre 20 e 24 anos.

Sexo Alfabetizado

Total Sim No

Masc. 39.577 8.672 48.249

Fem. 46.304 7.297 56.601

Total 85.881 15.969 101.850

Um jovem entre 20 e 24 anos escolhido ao acaso

: 101.850 jovens com idade entre 20 e 24 anos

Definimos os eventos: M: jovem sorteado do sexo masculino

F: jovem sorteado do sexo feminino

S: jovem sorteado alfabetizado

N: jovem sorteado no alfabetizado


EXEMPLOS

Temos:

0,157 101.850

15.969 = P(N) = 0,843

101.850

85.881 = P(S) =

0,526 101.850

56.601 = P(F) = 0,474

101.850

48.249 = P(M) =


EXEMPLOS


EXEMPLOS

Qual a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado e ser do sexo masculino?

Qual a probabilidade do jovem escolhido

ser alfabetizado ou ser do sexo masculino?

Qual a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que do sexo masculino?


RESUMO

A funo que associa probabilidades aos possveis valores de uma V.A.D. X, chamada de funo de probabilidade discreta e representada por:

p(x) = P(X = x), x A

PROPRIEDADES

0 p(x) 1

p(x) = 1 x A

VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS

Varivel Aleatria Contnua

DEFINIO

Uma varivel aleatria considerada contnua quando pode tomar qualquer valor de determinado intervalo

Variveis aleatrias contnuas tm um nmero infinito de valores possveis (Medio) Tempo gasto no deslocamento de uma pessoa desde a

sua residncia at seu local de trabalho Perda de peso experimentada por uma pessoa submetida

a uma dieta alimentar.


PROPRIEDADES

Para V.A. contnua no faz sentido estabelecer um par entre xi e p(xi)

A probabilidade de ocorrer um xi especfico 0 (zero)

A distribuio de probabilidades denominada funo densidade de probabilidade (f.d.p.) que uma funo no negativa

A probabilidade de ocorrer valores entre a e b definida pela rea sob a curva entre os valores a e b.

a b

f(X)

A probabilidade de qualquer valor individual zero

P(a X b)


EXEMPLOS

Verifique que f(x) = x/8 pode ser a densidade de probabilidade de uma varivel aleatria definida sobre o intervalo de x = 0 x = 4


0,5

0,25

0 0 1 2 3 4

f(x)

x

A primeira regra atendida pois x/8 no-negativo (positivo ou nulo) para qualquer valor no intervalo de 0 a 4

EXEMPLOS

Verifique que f(x) = x/8 pode ser a densidade de probabilidade de uma varivel aleatria definida sobre o intervalo de x = 0 x = 4


0,5

0,25

0 0 1 2 3 4

f(x)

x

A segunda regra tambm verificada pois a rea do tringulo pode ser calculada como (b x h) / 2 = (4 x ) / 2 = 1

EXEMPLOS

Qual a probabilidade de uma varivel aleatria com essa densidade de probabilidade tomar um valor menor do que 2?


0,5

0,25

0 0 1 2 3 4

f(x)

x

A probabilidade dada pela rea do tringulo sombreado na figura abaixo que abrange os valores da v.a. menores do que 2 A rea ser (2 x )/2 = 1/4

EXEMPLOS

Um jogo de azar realizado da seguinte forma: toma-se um crculo e divide-o em duas partes iguais, 1 e 2. Sobre o centro do crculo, fixado um ponteiro, o qual girado e anota-se o nmero do setor onde a ponta do ponteiro parou.


EXEMPLOS


Construir a distribuio de probabilidades para o nmero obtido neste experimento

1 2

EXEMPLOS


X = xi P (X = xi)

1 0,5

2 0,5 Total 1

EXEMPLOS


0,50 0,50

EXEMPLOS

Considerar a mesma situao, s que o crculo dividido em quatro partes iguais. Construir a distribuio de probabilidades para o nmero obtido neste experimento.


EXEMPLOS


Construir a distribuio de probabilidades para o nmero obtido neste experimento

1 2

4 3

EXEMPLOS


X = xi P (X = xi)

1 0,25

2 0,25

3 0,25

4 0,25 Total 1

EXEMPLOS


0,25 0,25 0,25 0,25

DVIDA Qual o nmero mximo de setores que se consegue

em um crculo

INFINITOS


? DVIDA Como ficaria o histograma


1

1

FUNO DENSIDADE DE PROBABILIDADE A funo densidade de probabilidade est

relacionada com a probabilidade da varivel aleatria contnua assumir algum resultado possvel.



f(x)


CARACTERSTICAS O estudo de uma varivel aleatria contnua

anlogo ao das variveis discretas.

A distribuio de probabilidades indica, para uma varivel aleatria, quais so os resultados que podem ocorrer e qual a probabilidade de cada resultado acontecer.


CARACTERSTICAS A rea sob a funo densidade 1.


f(x)

1 ou 100%


CARACTERSTICAS A probabilidade da varivel aleatria assumir um

valor determinado zero, pois existem infinitos resultados possveis.

As probabilidades sempre se referem a intervalos de valores.


CARACTERSTICAS

xi

f(x)

X

P (X = xi) = 0

CARACTERSTICAS

A probabilidade da varivel aleatria assumir um valor em um intervalo igual rea sob a funo densidade naquele intervalo.


f(x)

X

P (a x b)

f (x) dx = F(b) F(a) a

b

EXEMPLOS

Sobre o centro de um crculo, fixado um ponteiro, o qual girado e anota-se o ngulo formado pelo ponteiro com o eixo horizontal, como na figura a seguir.


Definir a f.d.p. para o ngulo () obtido neste experimento.

EXEMPLOS

0o

f(x)


1

360o

1/360

X

Qual a probabilidade de se obter um ngulo entre 30o e 60o?

EXEMPLOS


0o

f(x)

P(30o < X < 60o)

360o

1/360

X 30o 60

o

rea = 60 - 30 / 360 - 0 rea = 1 / 12 = 0,08333

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