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@Um dies von Quadwu ant allgemeine re kompakte Hengen zn
vuakgemeinern ,
wird folgendes beuotigt :
Lemma : Sei Ve IR" "
Offen,
I := ( c. d) e R, FECYV,
I ),
A is f ( x'
, xu ) e V×I / xneflx ' ) } ,
M :=f ( ×'
, xu ) E V×I / xu: fk ' ) } and re C ( M
,
5" "
) ein aus
A hinans zeigendes Normale # ( d.
c-FG ' )
Dann gilt fir jede Funkkon
,
#Fe C
'
( KI, R ) n C ( II
,R ) unit
± 1
ThyKompaktem Trager in KI Rake jet . . .n} : .
1
1. 1
l'
.
A 1I
1 1
a)§ . Fcx ) dx - § Fla ) yla ) dsla ).
1. :#
'
-
.
.
1
. .
.; I !X#Beweis : zunoichst fir jtu :
2, µ
"
"F(i. xndxu QFlx '
, flxnldsflx 't +c)
"
d, FI i. xu ) dxu
Fubini fcx ' )
t
a) d;
Flxl de = f ) d,
F ( x'
, xn ) dxu dx'
C
¥f 2, µ
" "
Fixixu ) dxu dx'
- f. Flxiflxtldsflx ' ) dx'
*Glx ' )
nr . : f 2;
Glisdx' ;[!,
,f, Glx' ) dx '
=p.
!→n. ,} tstltldxs dI¥m
| one dx;
G unit Null ant(
Er ,r]" zvfotynht)
= 0 da G E C'
kompahtru Trigo in V hat-
@
.. .
= - f Flx '
, xu ) djflx ' ) dx'
= ¥ Flx ) y( x ) ds ( x )
tsflt ' )and VGKT : ✓ nthttilli .
da vgl " = .
jntkofuillt
nun j=n : a) 2 Flxsdx = f.)"% Fl ×
'
, xu ) dxndx '
if ( Flx '
, fix 's ) - FC i. c ) ) dx '
÷ da F kompakkn Trigo in VXI hat.
g§ Flx )vulx ) dslx )
vnix ) : ( 1+1141×111'
)' "
& VGLXT : Vttlloflxillt a
@
Satz : ( lntegralsatz von Gaup & Ostrogradsky )
Sei AER"
Kompakt mitglattem Rand and oiuperem Normaleufeldv : da → 5
"
,Uta often und F E C '( U
,R
" ).
Dann gilt :
a) divflx ) dx = ) e Flx ), vlx ) > dslx ) ( * )
2A
Beweis : Sci { U, ]j% offeue liberdeckung von A
,so dass Use Alda ⇒ j :O
und { f ;c. C
* ( R"
,[ on ] ) } ! nine { U
; } uwtergeorduete Zvkguug der
E ins auf A.
Un
Uz
F;
( x ) i= f ;F ( × )
,also t.ge Fjlx ) = Flx ) tfxea
.
:
wir zeigen C * ) fir jedes j :
AUo
'
j :O : }ede komponente For,,k=7 , ... in hat
kompahhn Trager in Uo . Damit ist
a) Jr,
to ,k( x ) dx = 0
, also )a div to ( x ) dx = 0
Ebenso gilt ) < Fold, v( x ) > dslx ) = 0
,da to |ya=O .
JA
j±0 : Nach dem Lemma gilt far jede kompouentc Fan :
)a Jr, Fgu ( × ) dx = ) F.su ( x ) vulx ) dslx )
JA
Damitist )a divtcxsdx . §=.
§,
I 2¥67 §a|aEµHvudsH
= g)a
< F ( x ), v( x ) ) dslx )
.
D
@
Ben . : ° Tatsochlich haben wir etwas starkeres gezeigt ,wamlich :
)a Jr, Fnlx) dx = f.
a
E. rule ) dslx ) K k=1,
...
, n.
o Der Satz gilt anch, weun 2A uichtnbvall glatt
. ' st
, weun die Menge
der Puukte in keiner offenen Umgebung Graph liner C ? Fkt. ist line
( n . ^ ) - dim
. Nullmeuge ist ( → vgl . Konigsberg ).
° Fir h=7 ist Gamp I HDI,
denn unit A :[ a. b ] e R haben wir
} F '
( x ) dx = fgdiv Fk ) dx:p
Flb ) - Fla )
i. Soup"
unit 2A . Ya , b }
• In du Physik wird oft eine kurzschreibweise vwweudet :|.
8. Edx : )aE. disk)
J
o Interpretation : ) < Fcx ) , nlx ) > ds ( × ) ist" Flnp
"
von F dnroh 2A.wenn F a. B
. fesohwfeld einer Fhissigkeit ist ) &
div F ( x ) =
, ,
Quellstarke"
non F bei ×.
Anweudungsbsp . : ( Archimedlschw Auftrieb )
Beschreibt A eR3 linen in nine Fhissigkeit unit Dionte S eingetanchten
Kerper , anf den bei × ESA der Druck Sxsvlx ) ansgeinbt wind ( unit xseo ),
dann ist die gcsamte Auflriebskraft :
f = % Sx }v( × ) dsk ) unit komponenten
is :| self.
'
53
f , =/.
Sxsylesdstes =p ¥ 5¥ dx 0
^
. .
1
#/ # Soup unit Fn : ' Sxssnj gewicht du verdroingten#%€§¥,
Fhissiguut .