e13

Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 13

1

Za konstrukcijo na sliki dolo~i pribli`ek prve lastne frekvence.

LEI, m

M

x

RE[ITEV Za re{evanje problema bomo uporabili ve~ razli~nih pristopov. 1. pristop - prevedba na eno prostostno stopnjo Sistem bomo re{evali s prevedbo na sistem z eno prostostno stopnjo in zato moramo za izra~un privzeti neko oblikovno (interpolacijsko) funkcijo. Obravnavali bomo nekaj razli~nih oblikovnih oblikovnih funkcij. a) Trigonometri~na funkcija:

( )

xxL

=

1 2

cos

Prepri~amo se lahko, da izbrana funkcija ustreza kinemati~nima robnima pogojema na mestu vpetja:

( ) ( )x = = =0 0 0 0 0: ; ' hkrati pa je pomik na prostem koncu od ni~ razli~en1, drugi odvod (sorazmeren momentu) pa je enak ni~. Opazimo, da pre~na sila ni enaka ni~.

( ) ( )x L L L= =: ; " 0 0 Sedaj moramo poiskati posplo{eno maso m* kot:

( ) ( )( ) ( )( )m m x x dx M L m xL

dx MLL

mxL

xL

dx M

x

L

x

L

x

L

* cos cos

cos cos

= + =

+

=

+

+

= =

=

2

0

22

0

2

2

0

12

12

1 22 2

1 Ni nujno, da je enak 1.


2

=

+

+

+m xxL

L Lx

xL

L

M

L

22

2 2 22

2

42

0

sinsin

=

+

+

+

=

+

+ =

+

m L LL

L LL L

L

L

M

m L L L M m L M

22

22

42

32

4

sinsin

Sli~no poi{~emo posplo{eno togost kot:

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

k EI x x dx

x xL L

x xL L

k EI x xL L

dx EIL

xL

dx

EIL

Lx x

L

x

L

x

L

x

L

*

*

' '

' sin " cos

cos cos

sin

=

=

=

=

=

=

+

=

= =

2

02

24

0

42

0

4

2 2 2 2

2 2 2 2

2

22

22

=

+

+

=

=

=

42

2 2

2 2 16 2 32

0

4

4 4

4

4

3

L

EIL

LL L

L

L

M

EIL

L EIL

L EIL

L

sin

Pribli`ek prve lastne frekvence zna{a torej:

= =

+

=

+

km

EIL

m L MmEI

LM L

EI

*

*

4

3

44

3

4

3232

41

32 32

4 32

b) Kot drugo obliko interpolacijske funkcije vzamemo stati~no upogibnico, ki nastane zaradi enotne horizontalne sile (P=1) na prostem kocu:

( ) xP L

EIxL

xL

LEI

xL

xL

=

=

3 2

2

3

3

3 2

2

3

363

63


3

Tudi za to funkcijo se lahko prepri~amo, da ustreza kinemati~nima robnima pogojema na mestu vpetja:

( ) ( )x = = =0 0 0 0 0: ; ' Pomik na prostem koncu h je od ni~ razli~en, drugi odvod (sorazmeren momentu) pa je enak ni~. Opazimo, da pre~na sila ni enaka ni~.

( ) ( )x L L L= =: ; " 0 0 Posplo{ena masa m* je:

( ) ( )( ) ( )( )

( )

m m x x dx M L

m x LEI

xL

xL

dx M LEI

LL

LL

m LEI

xL

xL

xL

dx M LEI

m LEI

xL

xL

x

L

x

L

x

L

* = +

=

+

=

+

+

=

=

=

=

2

0

2

3 2

2

3

3

2

0

3 2

2

3

3

2

6

2

4

4

5

5

6

60

3 2

6

2

5

4

6

63

63

369 6

62

369

56

6 57

60

6

2

6

2

5

4

6

5

7

6

6

2

7

2

6

2

7

2

6

2

7 9

369

56

6 7 9

363335 9

11420 9

+

+

=

+

+

=

+

=

+

xL

M LEI

m LEI

LL

LL

LL

M LEI

m LEI

M LEI

m LEI

M LEI

L

Analogno poi{~emo posplo{eno togost kot:

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

k EI x x dx

x LEI

xL

xL

x LEI L

xL

k EI x LEI L

xL

dx EI LEI L

xL

dx

EI LEI L

xL

xL

dx

x

L

x

L

x

L

x

L

*

*

' '

' "

=

=

=

=

=

=

+

=

= =

=

2

0

3

2

2

3

3

2 3

6

2 2 3

2

0

6

2 2 3

2

0

6

2 4 5

2

60

66 3

66 6

366 6

366 6

3636 72 36

=

+

=

+

=

=

EI LEI

xL

xL

xL

EI LEI

LL

LL

LL

EI LEI L

LEI

L6

2 4

2

5

3

60

6

2 4

2

5

3

6

6

2 3

3

3636 72

2363

3636 72

2363 36

123

Ker pa je kot oblikovna funkcija privzeta stati~na upogibnica, lahko posplo{eno


4

togost izra~unamo tudi kot (Fajfar 416):

( ) ( )k P x x dxLEI

LL

LL

LEI

LEIx

L* = =

=

=

=

0

3 2

2

3

3

3 3

16

36

23

,

kjer je P(x) ena~ba obte`be, ki smo jo upo{tevali pri izbiri upogibnice in nima zveze z dinami~no obte`bo konstrukcije.

= =

+

=

+

km

LEI

m LEI

MLEI

m LEI

M LEI

*

*

3

7

2

6

2

4 33

363335 9

1

123335 3

c) Kot tretjo obliko interpolacijske funkcije vzamemo upogibnico, ki nastane zaradi enakomerne enotne horizontalne obte`be (q=1) vzdol` konzole:

( ) xq L

EIxL

xL

xL

LEI

xL

xL

xL

=

+

=

+

4 4

4

3

3

2

2

4 4

4

3

3

2

2244 6

244 6

Tudi ta funkcija ustreza kinemati~nim robnim pogojem na koncu in pogojem na prostem koncu. Sedaj moramo poiskati posplo{eno maso m* kot:

( ) ( )( ) ( )( )

( )

m m x x dx M L

m x LEI

xL

xL

xL

dx M LEI

LL

LL

LL

m LEI

xL

xL

xL

xL

xL

xL

dx M LEI

x

L

x

L

x

L

* = +

=

+

+

+

=

+ + +

+

=

=

=

2

0

2

4 4

4

3

3

2

2

2

0

4 4

4

3

3

2

2

2

8

2

8

8

6

6

4

4

7

7

6

6

5

50

4

244 6

244 6

57616 36 8 12 48

24

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

3

576 916

736

58

812

748

6

64

576 916

736

58

812

748

6

64

57634944

15120

2

8

2

9

8

7

6

5

4

8

7

7

6

6

50

8

2

8

2

9

8

7

6

5

4

8

7

7

6

6

5

8

2

8

2

m LEI

xL

xL

xL

xL

xL

xL

M LEI

m LEI

LL

LL

LL

LL

LL

LL

M LEI

m LEI

L M

L

=

+

LEI

m LEI

M LEI

8

2

9

2

8

26413

3240 64


5

Analogno poi{~emo posplo{eno togost kot:

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

k EI x x dx

xL

EIx

LxL

xL

xL

EIx

LxL L

k EI xL

EIx

LxL L

dx

EIL

EIx

LxL

x

L

x

L

*

*

' '

' "

=

=

+

=

+

=

+

=

+

=

=

2

0

4 3

4

2

3 2

4 2

4 3 2

8

2

2

4 3 2

2

0

8

2

4

8

2

244

12 1224

1224

12

57612

2412

576144

576 6 43

7

2

6 50

8

2

5

8

3

6 4

4

7

3

6

2

50

8

2

5

8

3

6 4

4

7

144 576 288 576

576144

5576

3144 576

4288

3576

2

576144

5576

3144 576

4288

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

= L

xL

xL

xL

dx

EIL

EIx

LxL L

xx

Lx

Lx

L

EIL

EIL

LLL L

LL

L

x

L

L

=

=

=

LL

LL

EIL

EI LEI L

EIL

EI

3

6

2

5

8

2 3

5

2

5

3576

2

5761445 20 20

Ker pa je tudi v tem primeru kot oblikovna funkcija privzeta stati~na upogibnica, lahko posplo{eno togost izra~unamo ponovno kot (Fajfar 416):

( ) ( )k P x x dx q LEI

xL

xL

xL

dx

LEI

xL

xL

xL

dx LEI

xL

xL

xL

LEI

LL

LL

LL

LEI

L

x

L

x

L

x

L L

* = =

+

=

+

=

+

=

+

=

= =

=

0

4 4

4

3

3

2

20

4 4

4

3

3

2

20

4 5

4

4

3

3

20

4 5

4

4

3

3

2

4

244 6

244 6

24 54

46

3

24 54

46

3 246

5

=

=

6120 20

5 5LEI

LEI

Prva frekvenca je torej:

= =

+

=

+

km

LEI

m LEI

L M LEI

m LEI

M LEI

*

*

5

8

2

8

2

4 320

57634944

15120 64

1911134

2064

2. pristop - koncentracija mase


6

V~asih se ra~un kontinuirnih konstrukcij prevede v ra~un konstrukcij s koncentriranimi masami. Natan~nost pristopa nara{~a s pove~evanjem {tevila koncentriranih mas2. Kot primer si oglejmo najenostavnej{i slu~aj (in s tem tudi najmanj natan~en), to je diskretizacijo z eno koncentrirano maso.

LEI, m

M+mL/2

Na prostem koncu stebra koncentriramo polovico mase stebra, za drugo polovico pa predpostavimo, da deluje v vpetem koncu. Masa, ki jo upo{tevamo v ra~unu, je sedaj enostavno

Mm L

+2

Podajnost pa:

d LEI

k EIL11

3

3

13

3=

=

= =

+

=

+

km

EIL

M m L m LEI

M LEI

3

2

1

6 3

3

4 3

Jasno je, da bo uspe{nost pristopa nara{~ala s pove~evanjem vrednosti mase M napram masi stebra. 3. pristop - Rayleighov princip Za konzervativne sisteme velja zakon o ohranitvi mehanske energije, ki se zapi{e kot: E E konsk p+ = . Maksimalna potencialna energije nastopi pri maksimalni deformaciji (takrat je

2 Kadar uporabimo ve~ kot eno maso, imamo sistem z ve~ prostostnimi stopnjami, ki jih bomo obravnavali {ele v nadaljevanju.


7

kineti~na energija enaka ni~), maksimalna kineti~na energija pa nastopi, ko je potencialna energija enaka ni~. Iz zakona o ohranitvi mehanske energije sledi da sta maksimalna potencialna in maksimalne kineti~na energija enaki. Lastno kotno frekvenco tako dobimo iz izena~itve maksimalne potencialne in kineti~ne energije. ^e kot predpostavljeno upogibnico izberemo stati~no upogibnico, ki nastane zaradi horizontalne sile P na prostem konu (ki je za P=1 enaka fukciji (x), ki smo jo uporabili v 1. pristopu, to~ka b)

( )v xP L

EIxL

xL

=

3 2

2

3

363 ,

lahko predpostavimo lastno nihanje konstrukcije kot:

( ) ( ) ( ) ( )u x t v x t P LEI

xL

xL

t, sin sin= =

3 2

2

3

363

Maksimalna potencialna energija je sedaj (upo{tevali smo, da je maksimalna vrednost sinusne funkcije enaka 1):

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

V E EI x u x dx EI x v x dx

EI xP L

EI Lx

Ldx

PEI x

LEI L

xL

dx

px

L

x

L

x

L

x

L

max max ' ' ' '= = =

=

=

= =

= =

12

12

12 36

6 62 36

6 6

2

0

2

0

2 6

2 2 3

2

0

2 6

2 2 3

2

0

V zadnjem integralu spoznamo ~len k*, ki smo ga izra~uali v 1 pristopu, to~ka b. Tako velja:

V EP k

pmax max

*

= =2

2

Ker pa smo kot upogibnico prevzeli stati~no upogibnico, je maksimalna potencialna energija kar enaka delu sile na opravljeni poti:

( )V P v P v L PP L

EILL

LL

PP L

EIP L

EIP kmax max

*= = =

=

=

= 12

12

12 6

312 6

212 3

12

3 2

2

3

3

3 2 32

Kineti~na energija pa je:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

E T m x u x dx M u L

m v x dx M v LP

m

kx

L

x

L

max max

*

& &= = +

= +

=

=

=

12

12 2

2

0

2

2 2

0

22

2


8

Tudi kineti~no energijo smo izrazili s pomo~jo izraza m*, ki smo ga izpeljali v 1. pristopu, to~ka b.

2

2

2

2

22

1

12

12

=

=

=

V

T

P k

Pm

km

max

max

*

*

*

*

Primerjava izra~unov energij in lastne frekvence za oblikovno funkcijo torej poka`e, da je izra~un lastne frekvence enak kot z prvim postopkom, to~ka b. Isto velja tudi za upogibnico zaradi zvezne obte`be. Rayleighov princip je torej omejena vrsta postopka s prevedbo na sistem z eno prostostno stopnjo. Omejen vrsta zato, ker nam originalni pristop s prevedbo na sistem z eno prostostno stopnjo omogo~i {e izra~un posplo{ene obte`be in s tem tvorbo diferencialne ena~be, Rayleighov princip pa omogo~a samo izra~un pribli`ka prve lastne frekvence. 4. pristop - re{evanje diferencialne ena~be za kontinuirne sisteme Izhajali bomo iz diferencialne ena~be za lastno nihanje:

mu

t xEI

ux

+

=

2

2

2

2

2

2 0

Re{itev i{~emo v obliki produkta krajevne (prostorske) in ~asovne funkcije: ( ) ( ) ( )u x t x Y t, =

Nastavek odvajamo in dobimo:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

u x t

tx Y t

u x tt

x Y t,

&,

&&= = 2

2

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

u x tx

x Y tu x tx

x Y tu x tx

x Y t

u x tx

x Y t

,'

,' '

,' ' '

,

= = =

=

2

2

3

3

4

44

Tako dobimo (ker je upogibna togost konstanta vzdol` prereza):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )m x Y t EI x Y t + = && 4 0 . Ena~bo preuredimo:

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

&& &&Y tY t

EI xm x

Y tY t

EI xm x

+

= =

4 4

0


9

Ker je levi del samo funkcija ~asa in desni del samo funkcija koordinate x, je jasno, da sta lahko levi in desni del enaka samo, ~e sta enaka neki konstanti. Ozna~imo jo z:

( )( )

( ) ( )( )

&&Y tY t

EI xm x

=

=

42

Separacija nas tako vodi do diferencialne ena~be:

( ) ( ) ( ) 4 4 4 20x a x amEI

= = ,

katere splo{na re{itev je znana:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x C a x C a x C a x C a x= + + + 1 2 3 4sin cos sinh cosh Konstante Ci dolo~imo s pomo~jo naslednjih robnih pogojev:

( )( )

( ) ( )( )

xxx L EI L M Lx L L

= =

= =

= =

= =

0 0 00 0 0

0

2

'' ' '

' '

Tretji robni pogoj dobimo iz dinami~nega ravnote`ja na prostem koncu - pre~na sila sedaj namre~ ni ve~ enaka ni~:

Tako dobimo: ( ) ( )

( )( ) ( )( )( )

Q M u L, t Q M u L, t

EI u L, t M u L, tEI L) Y t M L) Y tEI L)M L)

Y tY t

+ = =

=

=

= =

&& &&

' ' ' ( ) &&

' ' ' ( ( &&

' ' ' ((

&&

0

2

Opazimo, da smo zanemarili lastni vztrajnostni moment koncentrirane mase, saj bi v tem primeru dobili tudi ~etrti pogoj od ni~ razli~en. ^e bi obravnavali konzolo brez koncentrirane mase na koncu, bi bil tudi tretji pogoj enak ni~. Upo{tevanje robnih pogojev vodi do ena~be:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0+ + =cos cosh sin cosh sinh cosa L a LMm

a a L a LMm

a a L a L ,

iz katere numeri~no izra~unamo lastne frekvence - poi{~emo vrednosti koeficienta a, za katere je gornja ena~ba identi~no izpolnjena. Pripomniti velja, da tako dobimo vse lastne frekvence in ne samo prvo.

( )M u L, t &&

Qu


10

5. pristop - Metoda kon~nih elementov Metoda kon~ih elementov je numeri~na metoda, kjer obravnavano konstrukcijo opi{emo s ustreznim {tevilo elementov kon~nih dolìn. Za vsak tak element najprej zapi{emo lokalno togostno in masno matriko, nato pa vse lokalne matrike s pomo~jo transformacijskih matrik prevedemo v zapis v globalnem koordinatnem sistemu in nato zdruìmo v globalni togostno in masno matriko. Za izra~un lastnih frekvenc (tudi sedaj lahko dobimo pribli`ke vi{jih lastnih frekvenc in ne samo prve) nato uporabimo eno izmed metod, ki jih bomo spoznali {ele pri sistemih z ve~ prostostnimi stopnjami. Za sestavo togostne in masne matrike lahko uporabimo kar stati~ne lokalne togostne in masne matrike, ki so znane è iz statike. Ker so pri izpeljavi teh matrik uporabljene stati~ne interpolacijske funkcije, je potrebno pri re{evanju dinami~nih problemov (v nasprotju s stati~nimi problemi) za posamezen konstrukcijski element uporabiti ve~ kon~nih elementov, konvergenca metode pa obi~ajno nara{~a s pove~evanjem {tevila uporabljenih kon~nih elementov. êprav bi lahko tudi s pomo~jo metode kon~nih elementov dobili analiti~ne izraze za priblièk lastne frekvence, kjer bi nastopale veli~ine L, EI in m kot spremenljivke, se metoda kon~nih elementov v praksi uporablja pravzaprav kot izklju~no numeri~na metoda, saj jo uporabljamo v primerih, ki jih ne moremo re{evati s pomo~jo diferencialnih ena~b, torej pri kompleksnej{ih konstrukcijah. Zato bomo za demonstracijo metode izbrali naslednji primer, kjer maso M predstavlja kocka s stranico d.

Vrednosti: L=0.5 m, d=0.05 m, prerez b/h = 0.05/0.003 m = 2666.666 kg/m3 m= 0.4 kg/m' M=0.333333 kg.

Izra~un z metodo kon~nih elementov bomo izvedli s pomo~jo razli~nih diskretizacij dveh razli~nih modelov. V prvem modelu bo masa M upo{tevana kot koncentrirana masa na koncu konzole z dolìno

L' Ld

m= + =2

0 525.

LEI, m

M

x

d


11

Spodnja tabela podaja konvergenco re{itev:

N elementov

1 [Hz] 2 [Hz] 3 [Hz] 4 [Hz] 5 [Hz]

1 3.286176 54.858921 1232.8089 - - 2 3.285945 41.271964 151.74329 402.58601 1232.8089 3 3.285925 40.988161 131.76603 305.60922 586.31279 4 3.285921 40.934456 130.36005 274.60155 514.99091 5 3.285920 40.919361 129.89932 271.51488 469.92919 10 3.285919 40.909377 129.58105 268.85377 459.28516 50 3.285919 40.908702 129.55890 268.65685 458.32262

Vidimo, da posamezne re{itve resni~no konvergirajo. V drugem modelu bo masa M upo{tevana s svojim kon~nim elementom dol`ine d na koncu konzole z dolzino L. Tabela podaja konvergenco re{itev:

N elementov

1 [Hz] 2 [Hz] 3 [Hz] 4 [Hz] 5 [Hz]

2 3.324442 48.183181 31597.563 205902.43 - 3 3.324281 40.333564 131.74034 305.45928 47046.294 4 3.324266 40.102674 123.90601 252.15878 472.87131 5 3.324263 40.061802 122.84006 246.69484 413.68698 10 3.324262 40.043292 122.34315 243.21984 405.50624 50 3.324262 40.042531 122.32228 243.06875 404.81459 100 3.324262 40.042530 122.32225 243.06859 404.81382

Vidimo, da tudi sedaj posamezne re{itve resni~no konvergirajo. Primerjava numeri~nih rezultatov za razli~ne pristope Za oceno prve lastne frekvence imamo na razpolago {e nekaj pribli`kov. Vpra{anje je, kateri izmed njih je najto~nej{i. 1. pristop


12

a)

=

+

= =1

32 32

4 3220 8533265 3 318910175

44

3

4

mEI

LM L

EI

rads

Hz. .

b) =

+

= =1

123335 3

20 65104728 3 2867162554 3m LEI

M LEI

rads

Hz. .

c) =

+

= =1

911134

2064

2120608071 33750525694 3m LEI

M LEI

rads

Hz. .

2. pristop

=

+

= =1

6 3

19 29943986 30716012534 3m LEI

M LEI

rads

Hz. .

4. pristop Poiskati moramo ni~le karakteristi~ne ena~be. Poi{~emo jih lahko samo numeri~no.

aa EI

m

a

a

a

a

1 1

4

1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

= =

= =

= = =

= = =

= = =

= = =

2.157149024845512 20.64603665926832rad

3.285918789579035 Hz

7.611147514064512 257.036952825352rad

40.90870159943309 Hz

13.54490166314485 814.0423480586868rad

129.5588635796731 Hz

19.50477696785647 1688.018736390447rad

268.6565259282747 Hz

25.4757613217607 2879.715794301054rad

458.3210033628165 Hz

Vidimo, da so to dejansko vrednosti, h katerim konvergirajo re{itve z metodo kon~nih elementov, prvi model. 6. pristop meritve S pomo~jo meritev sta bili zaznani samo frekvenci


13

1

2

324739 55

==

..

HzHz

Za meritev vi{jih frekvenc ni bilo na razpolagao dovolj kvalitetne opreme. Vidimo, da so vse metode dokaj dobro napovedale lastno frekvenco. Primernost postopkov in dobljenih izrazov O to~nosti oz. primernosti vsakega izraza bomo {e dodatno sklepali na osnovi dveh skrajnih primerov: v prvem primeru bo veljalo M=0, v drugem pa m=0. Prvi skrajni primer - M=0 1. pristop

a)

=

=

132 3

24

3663878777

44

4mEI

L

EIm L

.

b) =

=

1

123335

3567530344 4m LEI

EIm L

.

c) =

=

1911134

35300904324 4m LEI

EIm L

.

Pri razli~nih interpolacijskih funkcijah predstavlja najni`ja vrednost najbolj{i pribli`ek lastne frekvence. 2. pristop

=

=

1

6

2 4494897434 4m LEI

EIm L

.

4. pristop Ena~ba se sedaj poenostavi v:

( ) ( )1 0+ =cos cosha L a L Njene numeri~ne re{itve za prvih pet lastnih frekvenc so (paziti je potrebno, da se ne spregleda kak{na ni~la):


14

aL

a EIm

a EIm

EIm L

aL

EIm L

aL

EIm L

aL

EIm L

aL

EIm L

1 1

42

4

2 2 4

3 3 4

4 4 4

5 4 4

18751 3516

4 69409 22 034

7 85476 61697

10 9955 120 90

14 1372 199 86

= =

= =

= =

= =

= =

= =

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

To~na vrednost je seveda =

3516 4.EI

m L

5. pristop - metoda kon~nih elementov ^eprav dobimo numeri~ni rezultate, lahko z njihovo pomo~jo izpeljemo naslednje izraze (s 50 kon~nimi elementi):

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

=

=

=

=

=

3.516015273006391

22.03449275244415

61.6972404697449

120.9021119293056

199.8604138705638

.

.

.

.

.

EIm L

EIm LEI

m LEI

m LEI

m L

Ponovno se lahko prepri~amo, da izrazi konvergija k izrazom, ki jih dobimo iz diferencialne ena~be. 2. primer - m=0 1. pristop


15

a)

=

=

132

17447169534

3M LEI

EIM L

.

b) =

=

1

3

17320508083 3M LEI

EIM L

.

c) =

=

120

64

17888543823 3M LEI

EIM L

.

2. pristop

=

=

1

3

17320508083 3M LEI

EIM L

.

4. pristop Je popolnoma neuporaben, saj velja za enakomerno porazdeljeno maso. 5. pristop - metoda kon~nih elementov Diskretizacija z enim kon~nim elementom da:

=

17320508075 3. 68877EI

M L

Diskretizacija z desetimi kon~nimi elementi da:

=

1.732050807568426EI

M L3

Diskretizacija z petdesetimi kon~nimi elementi da:

=

1.732050807411536EI

M L3

prakti~no enak rezultat. ^etrta vrednost predstavlja pravi rezultat. Opazimo tudi, da se druga vrednost ujema s ~etrto. Vzrok za ujemanje le`i v izbiri oblikovne funkcije za ta primer - izbrana je bila namre~ oblikovna funkcija za koncentrirano silo na prostem koncu. Opazimo, da ostali dve oblikovni funkciji vodita do precenitve lastne frekvence. Na osnovi obeh obravnavanih slu~ajev lahko sklepamo naslednje:


16

Najmanj{a ocena izmed vseh treh ocen, dobljenih s pomo~jo prevedbe sistema na sistem z eno prostostni stopnjo daje najbolj{i priblièk dejanski lastni frekvenci, kar pomeni, da dobljena vrednost nikoli ni manj{a od to~ne vrednosti. Za primer, ko nastopita obe masi, porazdeljena in koncentrirana, ne moremo o najprimernj{i oceni soditi na osnovi ena~b direktno, saj smo videli da v prvem primeru tretja ocena daje najbolj{i priblièk, v drugem primeru pa druga. Pri~akujemo lahko, da bo najbolj{a ocena v veliki meri odvisna od razmerja celotna porazdeljena masa/koncentrirana masa. Vendar lahko pri~akujemo, da bodo vsi pristopi, razen drugega, dali inìnersko sprejemljive rezultate. Tudi pristop s koncentracijo mas bo vodil do korektnih rezultatov, vendar je takrat potrebno bistveno pove~ati {tevilo koncentriranih mas.

Documents

e13