e14

Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 14

1

Za betonsko konstrukcijo na sliki dolo~i odziv konstrukcije na podano obte`bo.

5 m

EI, m

M1

20 m

P(t)

7 m 8 m

M2

6 m

0.40 m

0.40 m

prerez stebra

M1= 8000 kg M2= 12000 kg Obte`ba se prvi 2 sekundi spreminja po ena~bi ( ) ( )( ) [ ]P t t N= 25000 1 cos

0.5 1 1.5 2

10000

20000

30000

40000

50000

t

F(t)

Nosilec pravokotnega prereza ima dimenziji b/h=0.5/1.2 m, steber pa ima pravokotni prerez b/h= 0.4/0.4 m Konstrukcija je betonska iz MB 25, E=30 GPa. RE[ITEV Izra~un m in EI nosilca: m b h kg m

EI Eb h

Nm

= = =

=

=

=

05 12 2500 1500

1230 10

0 5 1212

216 103

93

9 2

. . / '. .

.

Ker je masa stebra relativno majhna

'm/kg4002500m4.0m4.0m4.0m4.0ms === jo lahko zanemarimo.


2

Dolo~itev pribli`ka prve lastne frekvence. Problem bomo re{evali s prevedbo na sistem z eno prostostno stopnjo in zato bomo steber nadomestili z linearno vertikalno vzmetjo (saj je osna togost stebra manj{a od osne togosti nosilca). Njena togost je:

mN108.0

6m4.0m4.01030

HAEk 9

9

stebra

=

=

=

5 m

EI, m

M1

20 m

P

7 m 8 m

M2

k

Za izra~un moramo sedaj privzeti neko oblikovno (interpolacijsko) funkcijo. Izhodi{~e koordinatnega sistema postavimo v levo podporo in izberemo interpolacijsko funkcijo v obliki polinoma. Kinemati~ni pogoji so:

( )( )( )( )

xxxx

= =

= =

= =

= =

0 0 10 0 020 20 020 20 0

:: ":: "

Tak{na izbira kinemati~nih pogojev ima za posledico, da lahko izberemo polinom 3. reda, ki dobi obliko:

( ) 20x1x =

Iz ena~be in slike interpolacijske funkcije vidimo, da se pomiki spreminjajo linearno vzdol` dol`ine nosilca, kar ustreza primeru, ko je upogibna togost nosilca tako velika, da se nosilec prakti~no zasu~e okoli desne podpore kot togo telo (posplo{ena togost konstrukcije po polju bi bila enaka ni~, k posplo{eni togosti bi prispeval samo steber - vzmet).


3

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

Vendar lahko pri~akujemo, da upogibnica ne bo potekala linearno med obema koncema in zato vpeljemo nek pomik tudi v polju. Izberemo ga tako, da bo odgovarjal zami{ljeni liniji upogiba:

( )( )( )( )( )

xxxxx

= =

= =

= =

= =

= =

0 0 10 0 010 10 220 20 020 20 0

:: "::: "

Interpolacijska funkcija, ki odgovarja zapisanim pogojem, je:

( ) x =

3 x

1000003 x2500

+19 x100

+ 14 3


4

5 10 15 20

0.5

1

1.5

2

x

Zavedati se je potrebno, da je v primeru, ko je osna togost stebra zelo velika, ta interpolacijska funkcija popolnoma napa~na. Posplo{ena masa m* se izra~una kot:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kg3962286139394.31012M5Mdxxmdxxxmm 2221L

0x

2L

0x

2* =++== ==

Posplo{ena togost zna{a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )mN108.2985984dxx''EI0kdxx''xEI0kk 8

L

0x

22L

0x

22* =+=+= ==

Pribli`ek prve lastne frekvence tako zna{a:

= =

=

=

km

*

*

8.2985984 10139394.3103962286

77.15780249222468rads

12.28004566474572 Hz

8

Izra~un z metodo kon~ih elementov (steber upo{tevan v izra~unu, nosilec diskretiziran s 40 kon~nimi elementi), da naslednji rezultat:

Hz 13.692s

rad55072182.5884184

Hz 3.421 s

rad26303220.8434398

22

11

==

==


5

Primerjava rezultatov in slik poka`e, da smo z na{o oblikovno funkcijo popolnoma zgre{ili obliko in s tem tudi pribli`ek prve lastne frekvence. Ker brez metode kon~nih elementov nimamo osnove za oceno primernosti rezultatov, lahko uporabimo izbolj{ano Rayleighovo metodo, in nato izvedemo primerjavo rezultatov. Dobljene rezultate bomo torej izbolj{ali z uporabo Rayleighove metode in sicer tako, da bomo izbolj{ali upogibe. Pomika pod masama sta:

( ) ( )( ) ( )

v

v10

20

5

12

= =

= =

1.81875

1.82848

Najprej izra~unamo vztrajnostne sile (vztrajnostne sile zaradi mase nosilca bomo upo{tevali tako, da bomo maso nosilca nadomestili s koncentriranimi masami - del mase bo {el k masama M1 in M2, preostanek pa v desno podporo).

5 m

EI, m

M1+(5+3.5)m

20 m

P1

7 m 8 m

M2+(3.5+4)m

k

P2

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

P m M v x t m M

m M v

P m M v x t m M

m M v

1 1 12

12

10 2

2 2 22

22

20 2

5 35 5 35 5

5 35

35 4 35 4 12

35 4

+ + = + +

= + + =

+ + = + +

= + + =

. && , .

.

. && , .

.

37739.0625 N

42512.16 N

Izra~unajmo sedaj nove pomike (novo upogibnico) zaradi obte`be z vztrajnostnima silama:


6

5 m

P1

20 m

7 m 8 m

P2

k

3.75

x1=1

2.00.75

+

[M1]

4.8

x2=1

2.00.4

+

[M2]

Pomika v1 in v2 pod silama P1 in P2 sta:

( )

( ) 23-2

2

21112

23-221

2

11

1

1065947914.85698355Pk4.0P

EI6.153P

k4.075.0P

EI6666666.103v

1008086063.72077874Pk

4.075.0PEI

6666666.103Pk75.0P

EI75.93v

=++

+=

=

+++=

Nov pribli`ek lastne frekvence sedaj izra~unamo kot:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

18 5 7 5

8 5 7 51 1

011

2 20

21

1 11 2

2 21 2

2

4=+ + +

+ + + =

=

=

M m v v M m v v

M m v M m v

. .

. .

346.89956352337420.8357412600946041

20.37351460251608rads

3.242545557145346 Hz

( )

( )

v

v11

21

=

=

1.544421201613819

2.01603720705642

Vidimo, da se je upogibnica nekoliko spremenila in da se dobljeni rezultat sedaj `e mnogo bolj ujema z rezultatom, dobljenim z metodo kon~nih elementov. Ker pa tega na splo{nem ne vemo, ponovimo postopek. Novi vztrajnostni sili sta sedaj

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

P m M v

P m M v1

11

211 2

21

22

21 2

8 5

7 5

+ =

+ =

.

.

32046.73993348677

46872.86506406178


7

Pomika v1 in v2 pod njima sta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

vEI

Pk

PEI

Pk

P

vEI

Pk

PEI

Pk

P

12

11

2

11

21

21

2

22

11

11

21

2

21

2

93 75 0 75 1036666666 0 75 0 4

103 6666666 0 75 0 4 1536 0 4

= + + +

=

= +

+ +

=

. . . . .

. . . . .3.680635904651703 10

4.892619313579444 10

-3

-3

Nov pribli`ek frekvence zna{a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

18 5 7 5

85 7 51 1

112

2 21

22

1 12 2

2 22 2

2

4=+ + +

+ + + =

=

=

M m v v M m v v

M m v M m v

. .

. .

347.28346652145860.83765400088113

20.361497737049rads

3.240633013605789 Hz

( )

( )

v

v12

22

=

=

1.525957011637528

2.028433928331262

Vidimo, da se je pribli`ek prve lastne frekvence dejansko {e izbolj{al, vendar napredek ni tako velik kot v prvem koraku. Zato naredimo {e eno iteracijo. Novi vztrajnostni sili sta sedaj:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

P m M v

P m M v1

21

212 2

22

22

22 2

85

7 5

+ =

+ =

.

.

31663.60799147872

47161.08883370186

Pomika v1 in v2 pod njima sta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

vEI

Pk

PEI

Pk

P

vEI

Pk

PEI

Pk

P

13

12

2

12

22

22

2

23

12

12

22

2

22

2

93 75 0 75 103 6666666 0 75 0 4

1036666666 0 75 0 4 153 6 0 4

= + + +

=

= +

+ +

=

. . . . .

. . . . .3.6776785701637 10

4.894641228158461 10

-3

-3



8

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

18 5 7 5

85 7 51 1

213

2 22

23

1 13 2

2 23 2

2

4=+ + +

+ + + =

=

=

M m v v M m v v

M m v M m v

. .

. .

347.28518233460610.8376625545509417

20.36144407694732rads

3.240624473335361 Hz

( )

( )

v

v13

23

= 1.524722892134129

= 2.029261499333401

Vidimo, da postopek konvergira, vendar ne to~no k vrednosti, izra~unani s pomo~jo metode kon~nih elementov. Po nekaj dodatnih iteracijah bi namre~ dobili

= =20.3614rads

3.24062 Hz

Vzrok za odstopanje (-2.3 %) ne le`i direktno v postopku, ampak v dejstvu, da smo maso nosilca koncentrirali v dveh to~kah. ^e bi zato koncentrirali v ve~ to~kah (in za vsako to~ko izra~unali pripadajo~o vztrajnostno silo), bi lahko dosegli {e bolj{e ujemanje. Oglejmo si torej koncentracijo mas v treh to~kah, kjer dodatno to~ko damo na prosti konec nosilca (v tej to~ki bi lahko npr. zajeli tudi polovico mase stebra).

5 m

EI, m

M1+(2.5+3.5)m

20 m

P1

7 m 8 m

M2+(3.5+4)m

k

P2

2.5m P3

Pomiki pod masami so:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

v

v

v

10

20

30

5

12

0

= =

= =

= =

1.81875

1.82848

1


9

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( )

P m M u x t m M

m M v

P m M u x t m M

m M v

P m u x t m

o

1 1 12

12

12

2 2 22

22

20 2

32

2 5 35 2 5 35 5

2 5 35

35 4 35 4 12

35 4

2 5 2 5

+ + = + +

= + + =

+ + = + +

= + + =

=

. . && , . .

. .

. && , .

.

. && , .

30918.75 N

42512.16 N

( )( )

= =

0

2 5 2 32. m v o 3750. N

Diagram momentov za silo x3=1

x3=1

1.0

[M3]

Pomiki v1, v2 in v3 pod silami P1, P2 in P3 so:

( )

( )

( )

vEI

Pk

PEI

Pk

Pk

P

vEI

Pk

PEI

Pk

Pk

P

vk

Pk

Pk

P

11

1

2

1 2 2 3

2

21

1 1 2

2

2 3

2

31

1 2

2

93 75 0 75 103 6666666 0 75 0 4 0 75 1

103 6666666 0 75 0 4 153 6 0 4 0 4 1

0 75 1 0 4 1 1

= + + +

+

=

= +

+ + +

=

= +

+

. . . . . .

. . . . . .

. .

3.423478325769544 10

4.528499290101756 10

-3

-3

32= 5.492990812499999 10-5

Nov pribli`ek lastne frekvence sedaj izra~unamo kot:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

16 7 5

6 7 51 1

011

2 20

21

3 30

31

1 11 2

2 21 2

3 31 2

2

4=+ + + +

+ + + + =

=

=

M m v v M m v v M v v

M m v M m v M v

.

.

298.57194402104810.6760496405802717

21.01528116365007rads

3.344685877660908 Hz


10

( )

( )

( )

v

v

v

11

21

31

=

=

=

1.511951959861398

1.999975675429822

0.02425935681246985

Vidimo, da se sedaj dobljeni rezultat `e prakti~no ujema z rezultatom, dobljenim z metodo kon~nih elementov, bistveno pa se je spremenila tudi oblika upogibnice. Ker pa v splo{nem ne moremo oceniti pribli`ka lastne frekvence, ponovimo postopek. Nove vztrajnostne sile so sedaj

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

P m M v

P m M v

P m v

11

12

11 2

21

22

21 2

31 2

31 2

6

7 5

2 5

+ =

+ =

=

25703.18331764379

46499.43445374338

90.97258804676197

.

.

Pomiki v1, v2 in v3 pod silami P1, P2 in P3 so:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

vEI

Pk

PEI

Pk

Pk

P

vEI

Pk

PEI

Pk

Pk

P

vk

P

12

11

2

11

21

21

31

2

22

11

11

21

2

21

31

2

32

11

93 75 0 75 103 6666666 0 75 0 4 0 75 1

103 6666666 0 75 0 4 153 6 0 4 0 4 1

0 75 1 0 4

= + + +

+

=

= +

+ + +

= +

. . . . . .

. . . . . .

. .

3.38287049944237 10

= 4.55919328302076 10

-3

-3

( ) ( )1 12

12

31 2

kP

kP + = 4.746016732222116 10-5


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

16 7 5

6 7 51 1

112

2 21

22

3 31

32

1 12 2

2 22 2

3 32 2

2

4=+ + + +

+ + + + =

=

=

M m v v M m v v M v v

M m v M m v M v

.

.

298.95476738703780.677833423487658

21.00106174649038rads

3.342422787132057 Hz

( )

( )

( )

v

v

v

12

22

32

=

=

=

1.491996747604583

2.010807552665383

0.02093205025057732

Ker je sprememba lastne frekvence med obema iteracijama majhna, lahko


11

zaklju~imo z izra~unom. Vidimo, da pribli`ek prve lastne frekvence dejansko konvergira k vrednosti, nekoliko vi{ji od vrednosti, dobljeni z metodo kon~nih elementov. Ra~un odziva Posplo{ena masa je sedaj:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m x x dx m M m M mx

L* . .= = + + + +

== 2

01

22

2 26 5 7 5 12 2 5 0

131852.3841500495 kg

1. faza - obte`ba deluje na konstrukcijo Diferencialna ena~ba gibanja se sedaj zapi{e kot:

( ) ( )m z t k z t F* * *&& + = oziroma

( ) ( )

( ) ( )

&&

&&

*

*

*

*

*

*

z tkm

z tFm

z t z tFm

+ =

+ = 2

Posplo{ena obte`ba se izra~una kot:

( ) ( )F p x t x dxx

L* ,=

=

0

Ker pa imamo koncentrirano obte`bo, dobimo kar

( )( ) ( ) ( )( )( )( )

F t v t

t

* cos cos

cos

=

25000 1 25000 1

122

= 2.010807552665383

= 50270.18881663462

Diferencialna ena~ba se torej zapi{e kot: ( ) ( ) ( )( )&&z t z t+ = 441.0445944799019 0.381261128804668 1- cos t

Najprej poi{~emo re{itev pripadajo~e homogene diferencialne ena~be: &&z zh h+ =

2 0 katere re{itev je:

( ) ( ) ( )z t A t B th = + sin cos


12

Ker je desna stran diferencialne ena~be sestavljena iz konstante in trigonometri~ne funkcije, i{~emo pripadajo~o partikularno re{itev v taki obliki:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

z C D Ez D cos Ez D E

P

P

P

= + +

=

=

sin t cos tt sin t

sin t cos t

&

&& 2 2

kar vodi do:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

+ + +

=

2 2D E C D Esin t cos t 441.0445944799019 sin t cos t

0.381261128804668 - 0.381261128804668 cos t

Iz primerjave istole`e~ih ~lenov dobimo: 441.0445944799019 0.381261128804668

C =0.381261128804668441.0445944799019

8.644502927289408 10

441.0445944799019

441.0445944799019 = -0.381261128804668

=- 0.381261128804668

441.0445944799019-8.842375777291236 10

-4

-4

=

=

+ = =

+

=

C

D D D

E E

E

2

2

2

0 0

Kar da celotno re{itev:

( ) ( ) ( )z A B= + sin t cos t + 8.644502927289408 10 8.842375777291236 10 cos t-4 -4 Ker je konstrukcija na za~etku mirovala, zna{ata za~etna pogoja ( ) ( )z z0 0 0= =& kar vodi do:

( ) ( ) ( )00= +

= +

=

A BB

B

sin 0 cos 0 + 8.644502927289408 10 8.842375777291236 10 cos 08.644502927289408 10 8.842375777291236 10

1.978728500018301 10

-4 -4

-4 -4

-4

in sli~no {e

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

&

&

z A cos Bz A cos BA

=

= ==

t sin t + 8.842375777291236 10 sin t0 sin 0 + 8.842375777291236 10 sin 0

-4

-40 00


13

Re{itev je torej: ( ) ( )

( )z t =

1.978728500018301 10 cos t+ 8.644502927289408 10 8.842375777291236 10 cos t

-5

-4 -4

0 2 t

Prvi izraz pripada lastnemu nihanju, preostala dva pa vsiljenemu nihanju. 2. faza - obte`ba ne deluje ve~ na konstrukcijo Diferencialna ena~ba gibanja se sedaj zapi{e kot: ( ) ( )&&z t z t+ = 2 0

( ) ( )&&z t z t+ =441.0445944799019 0

Njena re{itev je enaka re{tvi pripadajo~e homogene diferencialne ena~be 1. faze ( ) ( ) ( )z t F t G t= + sin cos

Pogoja sta sedaj vrednost pomika in hitrosti na koncu prve faze ( )( )

zz

22

=

=

2.76633800585126160 103.8121628837239571111 10

-5

-4&

Kar vodi do: ( ) ( )

( )z t t

t=

+

1.815223882364436 10 21.001061746490382.766338005851262 10 21.00106174649038

-5

-5

sincos

2 t

Odziv je tako:

1 2 3 4

0.000250.00050.000750.001

0.001250.00150.00175 z(t)

t Ker je odziv v drugi fazi predstavljen samo z komponento, ki pripada lastnemu nihanju, se ta del kmalu izdu{i.


14

Maksimalna vrednost nastopi pri t=0.9552643757063426 s in zna{a zmax=0.001746917657134164. Maksimalni pomik torej zna{a: pod maso m1 vmax= 0.002606395462777193 m pod maso m2 vmax= 0.003512715218849895 m na prostem koncu vmax= 0.00003656656818275316 m Sedaj imamo na razpolago dovolj podatkov, da poi{~emo novo upogibnico kot funkcijo koordinate x. Upo{tevamo naslednje pogoje:

( )x v= =0 0: 0.00003656656818275316 v3 ( )x v= =0 0 0: " kinemati~ni robni pogoj

( )x v= =5 5: 0.002606395462777193 v1 ( )x v= =12 12: 0.003512715218849895 v2 ( )x v= =20 20 0: kinemati~ni robni pogoj ( )x v= =20 20 0: " kinemati~ni robni pogoj

kar pomeni, da lahko za upogibnico (in ne ve~ interpolacijsko funkcijo) uporabimo polinom petega reda: ( )v x = 3.439721747494529 10 x + 5.594787162161308 10 x- 2.696544431197127 x + 5.741709231368962 x + 3.656656818275316

-10 5 -8 4

-6 3 -4 -5

10 10 10

5 10 15 20

0.00050.0010.00150.0020.00250.0030.0035 v

t

Zveza med upogibnico in upogibnim momentom


15

( )M x EId vdx

= 2

2

vodi do upogibnega momenta:

( )M x = -14.85959794917636 x -1450.168832432211 x + 34947.21582831479 x 3 2

5 10 15 20

250005000075000100000125000150000175000

M

x

Maksimalni upogibni moment radi dinami~ne obte`be torej nastopi pri x=10.39008704106237 m in zna{a 189885.9449439181 Nm, kar zna{a manj kot maksimalni moment zaradi stati~ne sile 50000 N: M=240 000 Nm. Kaj se spremeni, ~e se obte`ba spreminja po enaki obliki, le da se v celoti izvede v ~asu 0.2 s?

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

-0.002

-0.001

0.001

0.002

z

t

Iz slike vidimo, da se maksimalni pomik {e vedno pojavi v ~asu trajanja obte`be, torej v fazi, ko {e velja re{itev nehomogene diferencialne ena~be, vendar se je ~as, ko maksimalni pomik nastopi, `e premaknil k koncu trajanja obte`be.

Documents

e14