量子物理工学 I

神戸大学工学部 電気電子工学科

小川 真人

2011/07/14

1

QPE-1

2

2011/07/14 QPE-1

回 日付 内容（あくまで予定) 備考1 4月 14日 古典力学の限界と量子力学の萌芽

2 4月 21日 続き + 波動の基本的性質

3 4月 28日波動の基本的性質(続き)+平面波，

4 5月12日シュレディンガー方程式波動関数

5 5月19日 申し訳ありませんが恐らく 休 講

6 5月26日時間に依存しないシュレディンガー方程式，波動関数の意味，固有値と固有関数

7 6月 2日 ディラックの記法，規格直交性，期待値，演算子

8 6月 9日 中間テスト

9 6月16日 演算子(2)，交換関係

10 6月23日 波束，エーレンフェストの定理

11 6月30日 確率流，不確定性原理

12 7月 7日 自由粒子，周期的境界条件

13 7月14日井戸の中の粒子(無限大閉じ込め)有限閉じ込め (量子井戸，量子細線，量子ドット)

14 7月21日 期末テスト直前ゼミ?

15 7月28日 期末試験

2

QPE-1

量子物理工学Ⅰ

2011/07/14

3

QPE-1

Check & Send Check & Send Check & Send Check & Send Check & Send

今日の内容

• 量子閉じ込め

– 1次元井戸

–量子箱(量子ドット)

2011/07/14

4

QPE-1

井戸の中の粒子―無限大閉じ込めの場合―

2010/07/15

5

QPE-1

井戸の中の粒子（無限大閉じ込め）

xE

dx

xd

m

2

22

2

0x

x

L

n

Lx

sin

2

xV

x

0 L

po

ten

tial

井戸の中

井戸の外

22

2

L

n

mE

（波動関数）

（エネルギー固有値）

ｎに注意（２ｎではない！）

Shrödinger方程式

2011/07/14

6

QPE-1

• 量子井戸 ー 有限閉じ込めの場合

2011/07/14

7

QPE-1

量子井戸，量子細線，量子ドット構造

• 量子閉じ込め （有限閉じ込め）

– 1次元井戸

QPE-12010/07/15

8

QPE-1

電子波の波長と同程度の大きさの領域に閉じ込め

xV

x

02

L

po

ten

tial

0V

2

L

井戸の中の粒子（有限閉じ込め）

xExVdx

d

m

02

22

2

xE

dx

xd

m

2

22

2

井戸の中

井戸の外

境界条件： （i） 解は滑らかにつながる（ψとその微分の連続）(ii) ψ(±∞)=0

超越方程式（transcendental eq.）

2011/07/14

9

QPE-1

超越方程式のグラフ解法

×

×○

○

2011/07/14

10

QPE-1

量子井戸（有限閉じ込め）

障壁層への漏れ

E1

E2

1

2

2011/07/14

11

QPE-1

量子閉じ込め→量子物理I

→P系研究室（QD LD）

電子の波長 λ 程度で閉じ込め → 電子の波長(どの程度?)

2010/07/15

12

QPE-1

量子細線（QWR）トランジスタ（P4）

シリコンの量子ワイヤーの断面

1nm = 10 原子

3nm

9 nmVD

VS

VG

VG

0.7 nm

Source

Drain

Cross section

4nm

SiO2

SiO2Si

2010/07/15

13

QPE-1

Schrödinger方程式（定常状態）

rr EH ˆ （定常状態を考えるならはじめからこれを書いて良い）

H

①考察対象の系に対してハミルトニアン演算子を書く

②Shrödinger方程式をたてる

③Shrödinger方程式を解いて 固有関数ψ（ｒ），固有エネルギーEを求める

④ψ（ｒ），E から 物理量の期待値を求める

物理量： 複素感受率 → 半導体レーザ準位間のエネルギー差 → レーザ， 物質設計電子状態（バンド構造） → 材料設計，トランジスタ設計etc. ….

rr EH ˆ

•自由粒子•井戸の中の粒子• トンネル現象•調和振動子•水素原子 etc.

•状態密度（３D,2D,1D)

• QW,QWR,QD レーザ，メモリ• RTD，MNOS

• フォノン，フォトン•結晶，分子etc.

•量子物理工学 I, II

•固体物性•半導体電子工学I,II

t

EitT

exp

14

QPE-12011/07/14

水素原子→固体物性，半導体電子工学→物性研究

http://www2.kobe-u.ac.jp/~ssouma/handoutai1.html

水素原子の角度部分→結晶の電子状態2010/07/15

15

QPE-1

大丈夫？• Schrödinger方程式を書き下せる？

• 時間依存→時間に依存しないSchrödinger方程式の導出法（考え方）は？

• 波動関数の持つ意味は？

• 固有値，固有状態とは？

• 期待値とは？ (計算できる？)

• 交換関係とは？

• Diracの記法とは？

• 確率密度の流れとは?

• 不確定性とは？

• 自由粒子のSchrödinger方程式の解は？

• 周期的境界条件とは?

• 量子井戸(1D,2D,3D)のSchrödinger方程式の解は？

16

QPE-1

復 習

2011/07/14

17

QPE-1

自由粒子

xE

dx

xd

m

2

22

2

m

kE

2

22

ikxAx exp

Shrödinger方程式

運動量は確定 存在確率密度：場所に依らず一定

E

k

k

波動関数

2A

エネルギー分散関係（Eとｋとの関係）→放物線型

傾き 群速度

m

p

k

Ev

x

g

1

2011/07/14

18

QPE-1

周期的境界条件

x

xx

L

nk

2

ikxAx exp

),2,1,0( xn

xL

xLx x

：周期的境界条件 xLx x

ぐるっと一周りで位相が2πの整数倍

12 nie

2011/07/14

19

QPE-1

確率流密度と連続方程式

確率密度

確率密度の流れ

連続方程式

（確率密度の時間変化） （確率密度の流れの発散）

m

p速度の期待値 に似ている

2011/07/14

20

QPE-1

不確定性原理（１）

(位置と運動量は同時に正確には決められない)

• 不確定性原理

–粒子(電子や光子)の位置と運動量を同時に正確に決めることは原理的に不可能

– 粒子の位置の不確定さ ,運動量の不確定さ とするとx xp

2

xpx

2011/07/14

21

QPE-1

不確定性原理（２）

古典力学: 状態は位置と運動量で決定される。

• いくらでも正確に位置と運動量の値を決定できる

• 同じ状態なら何回測っても同じ値

量子力学: 状態は波動関数で決定される。

• 位置と運動量は同時には決められない。

• 粒子(電子や光子)の位置と運動量を同時に正確に決めることは原理的に不可能

• 同じ状態なのに測るたびに違う値

22

2011/07/14 QPE-1

交換関係と不確定性原理との関係

A B

ABBABA ˆˆˆˆˆ,ˆ

ABBABA ˆˆˆˆˆ,ˆ

ABBA ˆˆˆˆ

演算子 に対して

（積が交換するとは限らない)

ixppxpx xxx ˆˆˆˆˆ,ˆ（例）

（交換子）

（反交換子）

（2つの物理量の間に不確定性原理が成立）

交換しないとき

2011/07/14

23

QPE-1

波動関数…確率解釈

2, tx

tx, が物質の状態を表す・

・ : 時刻 t で位置 x に電子を発見する確率（密度）

・ 確率→ 物理量（の期待値（平均値）が分かる）

・ 規格化: 1,2

txdx 確率の総和が1になる

（粒子をどこかに見出す確率=1）

rr dt2

, : 位置に粒子（電子）を発見する確率

dzzdyydxxdzyx ,,~,, rrr

1,,22

tdzdydxtd rrr

（3次元で書くと）

2011/07/14

24

QPE-1

固有値と固有関数の例（その２）定常状態のSchrödinger方程式

xExH ˆ

: 固有エネルギーE

⇒

定常状態のSchrödinger方程式

（ポテンシャルの形が何であれこの方程式を解くことで系の状態が分かる）

x は，Hamiltonihan の固有関数， は，固有値でないかいって？H E

はい，その通りです．Hは考えている系の全エネルギーに相当するので，

x :（固有）波動関数

と呼びます．

2011/07/14

25

QPE-1

Diracの記法

• 内積

• 正規直交基底（規格直交基底）

• 正規直交基底による波動関数の展開

• 演算子の行列表示

Diracの記法 波動関数を , とした時に r r

の記法Dirac

d rrr* ketbra と呼ぶ

mnnm

Dirac

mnnm uuuud の記法

rrr*

mm m

Dirac

mm m uu の記法

rr

nmmn

Dirac

nmn uAuAuAudAm

ˆˆ* の記法

rrr2011/07/14

26

QPE-1

エルミート演算子

• 演算子 が

あるいは

を満たすとき をエルミート演算子という．

• 性質

– （古典的）物理量に対応する対応する演算子はエルミート

– 固有値は実数

– 異なる固有値に属する固有関数は直交

A rrrrrr dˆdˆ*

* AA

AA ˆˆ (Diracの記法)

A

長谷川浩司

「線型代数」日本評論社 (2004) p.237,

p.307 と同じこと

2011/07/14

27

QPE-1

量子力学では物理量の期待値しか分からない

i

iiPAA

期待値=平均値

物理量の期待値<A>は確率分布 Pi または確率分布関数 P(x) に対して

dxxPxAA

(離散的な場合)

(連続的な場合)

この辺↓も眺めてみる？http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/expectation.html

2011/07/14

28

QPE-1

• ラグランジアン（Lagrangean）～作用

• ハミルトニアン（Hamiltonian）～全エネルギー

rr VtmL 2

2

1 0

rr

LL

dt

d

rrpq VtmLH 2

2

1

（Lagrangean） （Lagrangeの運動方程式）

William Hamilton

Joseph Louis

Lagrange

解析力学 力学・解析力学 (岩波基礎物理シリーズ (1))

2011/07/14

29

QPE-1

Schrödinger方程式

2011/07/14

30

QPE-1

これを物質波の満たすべき方程式だと考えよう

tVtm

tt

i ,,2

, 22

rrrr

ipp ˆt

iEE

ˆ

rp

Vm

E 2

2

t, r両辺に右から （波動関数）

（演 算子化）

いったい何者？

とにかくこれが私の編み出した微細な領域を支配

する方程式だ

（時間に依存する） Schrödinger方程式2011/07/14

31

QPE-1

変数分離法による定常状態のSchrödinger方程式の導出

tT

dt

dixtTxH ˆ

E

tT

tTdt

di

x

xH )(

ˆ定数

(座標のみの関数)(時間のみの関数)

xExH ˆ

tTE

itTdt

d

: 固有エネルギーE

⇒

定常状態のSchrödinger方程式

⇒ titE

itT

expexp

ポテンシャルの形が何であれこの方程式を解く事で電子（系）の状態が分かる

2011/07/14

32

QPE-1

変数分離法による定常状態のSchrödinger方程式の導出

txti

txH ,,ˆ

tTdt

dxtTx

ttx

t

,

tTxHtTxHtxH ˆˆ,ˆ

（時間関数のみ時間微分を受ける）

（位置の関数のみ の作用を受ける）

H

に注意して②を①に代入すると

①

H が時間に依存しないとき tTxtx ,

(座標のみの関数) (時間のみの関数)

とおくと②

2011/07/14

33

QPE-1

定常状態のSchrödinger方程式

tVm

tt

i ,2

, 22

rrr

（時間に依存する） Schrödinger方程式

xExH ˆ

: 固有エネルギーE

⇒

定常状態のSchrödinger方程式

ポテンシャルの形が何であれこの方程式を解くことで系の状態が分かる

H（変数分離）

2011/07/14

34

QPE-1

Schrödinger方程式の例（自由粒子→３章）

m

pTH

2

2

ポテンシャルは働かない

（運動エネルギー）のみv

xipp xx

ˆ演算子化

2

22222

22

1

2

ˆˆ2 xmximm

pH

m

pH

tiEE

ˆ演算子化

txt

itxxm

,,2 2

22

自由粒子の（時間に依存する） Schrödinger方程式2011/07/14

35

QPE-1

Schrödinger方程式の例（自由粒子→３章 p.54）

xExdx

d

m

2

22

2

（定常状態のSchrödinger方程式）

通常は定常状態のSchrödinger方程式をたてて解く (E, φ(x) を求める)

titE

itT expexp

（時間項は）

なので

時間に依存するSchrödinger方程式の解は

t

Eixtx

exp,

と書けるから，定常状態のSchrödinger方程式を解けばよい

(3.1)

2011/07/14

36

QPE-1

復習用の問

• de BroglieとEinsteinの関係式とは？

• Schrödinger方程式はどんなイメージで出てきた?

–平面波の式が上のde BroglieとEinsteinの関係式を満たすにはどんな形にならないといけなかった？

• ようやく，粒子と波動がくっ付いてきたけど波動関数ってどんな性質があるの？どう解釈すればいいの？

2011/07/14

37

QPE-1

Schrödinger方程式

VTH

xipp

ˆ xxx ˆ HH ˆ

txti

txH ,,ˆ

古典的なハミルトニアン（全エネルギー）

■ 演算子への置き換え

→

（時間に依存する） Schrödinger方程式

tx, ：波動関数に作用させて

2011/07/14

38

QPE-1

期待値

000,000,10

000,10000,10

000,000,10

000,000,1300

000,000,10

000,100000,3

000,000,10

000,1000,30

000,000,10

300000,100

000,000,10

20000,000,1

000,000,10

3000,000,10

000,000,10

3000,000,100

000,000,10

99000,100

000,000,10

2000,000,50

000,000,10

1000,000,200

期待値

=144円99銭

2011/07/14

39

QPE-1

Newton 別冊

こんなのを立ち読みすると興味が湧くかも

2011/07/14

40

QPE-1

波動関数（2）

量子力学(確率論的)

・期待値(平均値)は求まる・確率は計算できる（←Schrödinger方程式を解く)

古典力学(決定論的)

・初期値 からｔでの は求まる（←Newtonの運動方程式を解く波の時は波動方程式）

)0(),0( vx

)(),( tvtx

量子力学の波動関数

・ψは直接観測できない・|ψ|2 は存在確率（密度）

：観測可能な量

古典力学の波動

・変移 u(x,t) は直接観測できる

古典力学 量子力学

2011/07/14

41

QPE-1

波動関数（古典論と対比させて眺めると面白い?）

txutv

txux

,1

,2

2

22

2

txti

txxVxm

,,)(2 2

22

古典的波動方程式 Schrödinger方程式

座標に関して二階微分時間に関して二階微分

座標に関して二階微分時間に関して一階微分

txu , 座標x，時刻 t での媒質の変位 (実数)

座標x，時刻 t での波動関数(複素数)

tx,

txu ,2波のパワーを表す量 2

, tx 時刻 tに位置 xに粒子を見出す確率（密度）

2011/07/14

42

QPE-1

固有関数・固有値

A

rr aA ˆ

A ：物理量Aに対応する演算子 （作り方は「例のおきかえ」）

の固有関数 の固有値(定数)A

状態 で記述される粒子の物理量 を測定すれば

その固有値 が確定値として得られる

r

a

A(意味)

2011/07/14

43

QPE-1

波束の伝播の例

[μm]

波束の移動とともに・ 分布は広がる・ 振幅は減尐

5 ns 毎の波形

⊿ = 10 nm

2011/07/14

44

QPE-1

固有値と固有関数の例

kxtiAxp

tE

iAtx x

expexp,

一次元平面波の波動関数

xipA x

ˆˆに対して物理量 Aとして運動量 pxを考えると だから，それを演算すると

txktxpx ,,ˆ

が成り立つ．この式は，波動関数 が演算子 の固有関数であり，

固有値が であることを示している．

tx, xp

k

2011/07/14

45

QPE-1

期待値の計算例

2

2222

dx

d

2dx

d

2

1

2

ˆ

mimm

px

x

d

n

dx

sin

2

m

px

2

2

波動関数 の時，運動エネルギー の期待値m

px

2

2

n

dxx

Ed

n

m

xd

n

ddx

d

mx

d

n

ddxx

m

px

m

p

22

2

22

0

*22

2)(

sin2

2sin

2

2

ˆ

2

中略

（演算子化）

（後ろに作用）

①

を求めてみよう

2011/07/14

46

QPE-1

期待値の計算例

dx

dˆ

ipx

ikxd

x exp1

波動関数 の時，運動量 の期待値を求めてみようxp

k

ikxdxi

ikxd

dxxpxpd

xx

)(

exp1

d

dexp

1ˆ

0

*

中略

（演算子化）

（後ろに作用）

①

2011/07/14

47

QPE-1

期待値の計算例

ikxd

x exp1

xp波動関数が の時，運動量 の期待値xp を計算しよう

kpx 期待値は

kdxd

k

dxikxd

ikxd

k

dxikxd

ikikxd

dxikxdd

dikx

d

dxd

dpp

d

d

d

d

d

xx

0

0

0

0

0

*

1

exp1

exp1

exp1

iexp1

exp1

xiexp

1

xi

xiˆ なぜなら

左の計算をしなくても

xkxpx ˆ

の固有状態だから

kpx

期待値は

xp

2011/07/14

48

QPE-1

2.7演算子の交換関係

の時

AAA ˆˆˆ

(線型性)

BA ˆ,ˆ

(加算性)

BA ˆˆ

(演算子の積)

BA ˆ,ˆ の時

ABAB ˆˆˆˆ と書く

yxyx AAA

zxyx BA ,

zyx BA

zyyx BA ,

zxx BAAB

(行列，ベクトルと同じ)

2011/07/14

49

QPE-1

交換関係

A B

ABBABA ˆˆˆˆˆ,ˆ

ABBABA ˆˆˆˆˆ,ˆ

ABBA ˆˆˆˆ

演算子 に対して

（積が交換するとは限らない)

ixppxpx xxx ˆˆˆˆˆ,ˆ（例）

（交換子）

（反交換子）

（不確定性原理）

2011/07/14

50

QPE-1

たくさんの波の重ね合わせ→

「波束（はそく）」（p.43参照）

2011/07/14

51

QPE-1

粒子・波動二重性（相補性原理:Bohr）

波束の伝播 粒子の軌跡

cf. 「ニールス・ボーア論文集１ 因果性と相補性」（岩波文庫）

二重スリットによる電子の干渉実験 Thomas Young （1805）

Wikipediaより引用

2011/07/14

52

QPE-1

波の重ね合わせ(以前やった通り)

tkxtkxi

tkxitkxitkxi

txkkitxkki

cosexp2

expexpexp

expexp

dk

dvg

ピンクの包絡線の移動速度＝群速度

2011/07/14

53

QPE-1

波長の違う波を重ねるてみると

(a)波長の異なるcos波 (b)1個から10個まで重ねると原点に局在するのが分かる

10

1

2011/07/14

54

QPE-1

ガウスの定理（電磁気I）

2011/07/14

55

QPE-1

復習:エーレンフェストの定理

運動量の期待値＜px＞と力の期待値＜F(x)＞の間にNewtonの運動方程式が成立

dxtxxtxxx ,,* （位置の期待値 ）

dxtxdx

d

itxpp xx ,,ˆ *

xFdt

pd x

（運動量の期待値 ）

（力の期待値 ） 波束の伝播 粒子の軌跡

2011/07/14

56

QPE-1

確率流密度と連続の式

2011/07/14

57

QPE-1

連続の式(粒子数保存)

左から単位時間単位断面積当たりF(x)[個/m2s]入ってきて

右に単位時間単位断面積当たり F(x＋ｄｘ)[個/m2s]出て行く（マイナス符号）

密度ｎ [個/m3]ｘ体積＝箱の中の個数（の増分）

x

txF

t

txn

,,

58

dAdtdxxFxFdAdxtndttn

t

t

tn,

,rF

r

（３D）

2011/07/14 QPE-1

Ｇａｕｓｓの定理

Volume

SurfaceddS rAnA

2011/07/14

59

QPE-1

ガウスの定理（電磁気I）

2011/07/14

60

QPE-1

最小不確定性状態

• コヒーレント状態

–問題に与えられた状態

• Poisson分布

–量子もつれ（entanglement）

–量子暗号

–量子通信（単一フォトン，非直交偏光状態による量子通信）

2011/07/14

61

QPE-1

本日のポイントに代えた小問

• 連続の式とは?

• ガウスの定理とは?

• 確率流密度と連続の方程式の関係は？

• 不確定性原理とは？

2011/07/14

62

QPE-1