量子統計における弱収束に基づく局所漸近正規性

産業技術総合研究所

ゲノム情報研究センター

山形 浩一

普段やってること（ゲノム情報研究センター）•マウスやヒトのゲノム配列を眺めている．

ACATCCTGCGAAAAAGGTGGAGGTGGCAGTTGGTTTAGGTTTCTCTATCTTGTCTTCTTAACCACTAGGATGTGTGTTAGTCAGGTGTGTATGTTGTATTTGAGATCTTTCCAAGTAGGGGACATGGTCTGTGTGTCTGATCAGACATTAGATGACATCCTTGACTTTCTGTAACATGTCTCTTCAGGTGGCCATCCAGCATCCAACCTGGCAACTTCCACCTGCCAATAATGATTAGTCTGTCCATCCTACCATCTGGTCTCAGTTCTAAAGTTTTTAAACTTATCCAGGAAAAGCACTGGGGGGAGGGGAGGAGGGGAGAAGGAGACATCTGGGTCTGTTCCATCCTTCTAACCTTCAACATAAGAAAATAATTCAGACATGATTTAAACAAACAGGCAAAGAACACAGAAATATGAATGCCGATTGGTATACAATAACAAAAGAGAAAGTGAGATGATGACAAAGTGGGCATGACCTGAAATGTCTCTAAAGAAATTAGAGGACCCAACCCCTTATCAAGAGATCTGGTAGGTCTCTTGGTACTGATGACTCTTGGTGTCTAGTGGATCTGCTGCAGTCTTCTGTTGTCAGTGCTAAATCACAGGTTTACAGATTTACTAGAGTTAAAGCAGGCTCAGACAAACATTATCCAGAGAATACTTAACAATCAGTCTTTGACTTTAAAGGTTTGGGGTCCTGATGAAGTGGTAAGAGCCCCAAAATATTATGCCCAGATTGCCCATAGACCCCCATAGTCAAGCAGGAATTCCACTCATATGCCAAAGCAAAGAGTCTTTGTTCAAGCTCCAGCTTGTGCCTTCGAATCTCTCCAATGCAGTGGTTGGGTGTGGAAGGTCCCGAGCTGGTGAAGCTTTGCCTTTTTATCACAGTTACAGCAGGGCAGGTAAATCACAATTTAGCAGTTACTTGATTGGGTAGCATTTGAAAATTGTAGCTTGGAGCATTTCTATGGACTAGTAGTGATTTTAGCTTATTATGAATAATTGTGATTAACTTGAGTAATTTTTTTCAAAACAACTGGAATATTAGGTAATTTCCTCTTTGGAGCTGATTGGTGGTTATTAAGGGTGGAGTGGCTGTTTTTAGGAAAGTTATGGCTGTTGATAGTGGTGTCTTGGTTTCTGGAATAAGCTGTGTTTTTTACAGTAACTGAGCTCAGCCTGTGGATAAGTGTAACATAAGATGGAGACTAAATACAAAATGCAGGTTGTAATGTTAGACTGGGCCCTTCAGATCTCTGTTTTTTCCTTTTTCCATCATCATTCTCATCACTGAGTTCTATCTTGTTGGTGGAACCTGGCGTCATATTTAGGGACAAATTCCTTTTCCAATGCAGTGGCGAGTTTCCCCCATTCACTGTGCTCTGCCTCCATCTTCTTCCAAGATCAAGTAACCTGATGCTGCCTCTGTTGCTTTAGTTGGACCATCTTCATGGTCCACTGCTCTTTCTTTAGTTACATGCAGCCCATACATTGGCCCAGCTCCTAAATCCAATTTGTACTAGAGAAAATTTGTGCTTTTTTTTTTTATCATATGCACTTTAATTGGAGGCCCTTGTTGGCTTTTTGTTCACAACCAAAGTGAGGATTTTGGGACTGCATAATATTCGCTTTTGTGTCCATCAAA

今日は量子状態推定の話

1. 量子推定の基本的な話2. Quantum Gaussian State の推定3. Weak Quantum Local Asymptotic Normality

𝜌𝜃0+

ℎ

𝑛

⊗𝑛 ℎ ∈ ℝ𝑑似ている

量子Gaussian shift model

QLAN

K. Yamagata, A. Fujiwara, and R. D. Gill, “Quantum Local Asymptotic Normality based on a new Quantum Likelihood Ratio”, Annals of Statistics, Vol. 41, No. 4, 2197–2217 (2013).

1. 量子推定の基本的な話

測定値𝑥

量子状態推定

: 量子状態（密度作用素）

: 滑らかなパラメータ（d次元）

: 開集合，この中に真の値があり，それを推定したい

未知の量子状態𝜌𝜃

測定𝑀

推定値 𝜃(𝑥)

𝑀と 𝜃を最適化して，出来るだけ効率よく未知の𝜃を推定したい．

測定値𝑥

不偏推定量未知の量子状態

𝜌𝜃

測定𝑀

推定値 𝜃(𝑥)

𝑀と 𝜃が不偏推定量であるとは，

𝐸𝜃 𝑀, 𝜃𝑖 ≔

𝑥

𝑇𝑟 𝜌𝜃𝑀𝑥 𝜃𝑖 𝑥 = 𝜃𝑖

(∀𝜃 = (𝜃1, … , 𝜃𝑑) ∈ Θ)

𝑀と 𝜃が𝜃0で局所不偏推定量であるとは，

𝐸𝜃0𝑀, 𝜃𝑖 ≔ 𝜃0

𝑖

𝜕𝑖𝐸𝜃0𝑀, 𝜃𝑗 ≔ 𝛿𝑖

𝑗

１次までテイラー展開が一致𝜃0の近くで不偏な推定量

𝜃が1パラメータの場合

真値が𝜃0の近くにあると最適な推定量:

𝜃0

𝜕

𝜕𝜃方向の推定⇒𝐿で測定

𝜕𝜌𝜃0

𝜕𝜃=

1

2(𝐿 𝜌𝜃0

+ 𝜌𝜃0𝐿)

を満たすオブザーバブル 𝐿

𝜃 = 𝜃0 + 𝐽−1 𝐿

ここに 𝐽は 𝐽 = 𝑇𝑟 𝜌𝜃0𝐿2 なるSLD-Fisher情報量

(局所不偏推定量)𝑉𝜃0

𝑀, 𝜃 ≥ 𝐽−1

（量子Cramer-Rao不等式）

の等号を達成可能．

局所不偏推定量の分散

𝜃0における対称対数微分 (SLD)

Multi-parameterの不確定性

𝑉𝜃[𝑀, 𝜃]は推定量の共分散行列，（d-parameterなのでd×d行列）

𝑉𝜃0𝑀, 𝜃 ≥ 𝐽𝜃0

−1

𝑀と 𝜃が𝜃0で（局所）不偏推定量とする，

𝐽𝜃0𝑖𝑗 ≔ 𝑅𝑒 𝑇𝑟 𝜌𝜃0𝐿𝑖𝐿𝑗 は

SLD-Fisher情報行列（d×d行列）

量子CramerRao不等式が等号達成できない（古典統計なら可能）

𝜃0

𝜕

𝜕𝜃𝑖方向の推定⇒𝐿𝑖で測定

𝜕

𝜕𝜃𝑗方向の推定⇒𝐿𝑗で測定

𝐿𝑖 , 𝐿𝑗 ≠ 0

同時測定不可

量子CramerRao不等式

共分散行列をスカラーに

𝑉𝜃0𝑀, 𝜃 に下限がない tr G 𝑉𝜃0

𝑀, 𝜃 を最適化

𝐺>0はd×d実正定値行列（どのparameter の推定を重視するかで

自由に設定）

• SLDが可換の時• Hilbert空間の次元が2の時• 状態がpureの時• 状態がGaussian stateの時

tr G 𝑉𝜃0𝑀, 𝜃 を最小にする推定量が分かっている統計モデル

今日使う

Holevo bound

tr G 𝑉𝜃0𝑀, 𝜃 ≥ 𝑐𝜃0

(𝐺)

ここに 𝑐𝜃0(G) は Holevo bound と呼ばれる量

𝑐𝜃0𝐺 ≔ min

𝑋∈𝜒𝑡𝑟 𝐺 𝑍 𝑋 + 𝑡𝑟 𝐺𝐼𝑚 𝑍 𝑋 𝐺

𝜒 = 𝑋 = (𝑋1, … , 𝑋𝑑) 𝑅𝑒 𝑡𝑟 𝜌𝜃0𝐿𝑖𝑋𝑗 = 𝛿𝑖𝑗

𝑋𝑖 はエルミート作用素

𝑍𝑖𝑗(𝑋) = 𝜌𝜃0𝑋𝑗𝑋𝑖

がんばれば解析的に計算できる

無限に量子相関すれば漸近的に等号達成可能

QLAN

2. Quantum Gaussian State の推定

PとQのGaussian state （簡易版）

P: 運動量演算子Q: 位置演算子

𝑃, 𝑄 = −1 𝒜： PとQが生成する代数空間𝒜上の量子状態:

線形汎関数𝜓: 𝒜 → ℂで表現される．

𝜓 exp −1 𝜉1𝑃 + 𝜉2𝑄

= exp −1 ℎ, 𝜉 −1

2𝜉, 𝑉𝜉

特性関数が

(𝑉>0はdet𝑉 > 1なる実正定値行列. ℎ ∈ ℝ2. )P

Q

h

不確定性原理

Gaussian state

一般のCCR代数上のGaussian state （簡易版）

𝑚 ≥ 𝑟に対して，𝑠𝑝𝑎𝑛ℝ 𝑃1, 𝑄1, … , 𝑃𝑚, 𝑄𝑚 から一次独立な𝑋1, … , 𝑋𝑟

を適当に選べばよい

𝑋𝑖 , 𝑋𝑗 = −2 −1𝑆𝑖𝑗

r個の交換関係

ここに𝑆𝑖𝑗 = −𝑆𝑗𝑖はr×r実交代行列

𝐶𝐶𝑅(𝑆): 𝑋1, … , 𝑋𝑟 が生成する代数空間

𝜓 exp −1𝜉𝑖𝑋𝑖 = exp −1 ℎ, 𝜉 −1

2𝜉, 𝐽𝜉特性関数が

𝑁(ℎ, 𝐽) と記す．ここに 𝐽 ≥ 0は𝐼𝑚 𝐽 = 𝑆なる複素半正定値行列， ℎ ∈ ℝ𝑟

Gaussian state

Gaussian shift model の推定

𝑁(ℎ, 𝐽) ℎ ∈ ℝ𝑟 の ℎを推定したい．

𝐽がRLD-Fisher情報行列の逆行列

𝑅𝑒 𝐽がSLD-Fisher情報行列の逆行列

（記号は，こうなるように調整した）

部分Gaussian shift model の推定

𝑁(𝜏ℎ, 𝐽) ℎ ∈ ℝ𝑑 の ℎを推定したい．

𝐽はr×r複素半正定値行列

𝜏はr×d実行列

これはGaussian shift modelの部分モデル

Holevo bound は

𝑐𝜃0𝐺 ≔ min

𝐹𝑡𝑟 𝐺 𝑍 + 𝑡𝑟 𝐺𝐼𝑚 𝑍 𝐺

𝐹 is an 𝑟 × 𝑑 real matrix s.t. 𝐹𝑡𝜏 = 𝐼

𝑍 = 𝐹𝑡𝐽 𝐹

Holevo bound を一様に達成する不偏推定量が存在

量子統計では部分Gaussian model をfull Gaussian model に帰着できない！！ゆえに𝐽, 𝜏両方がFisher 情報量の役目を果たすべき．

𝐽, 𝜏, 𝐺だけから決まる．

3. Quantum Local Asymptotic Normality (QLAN)量子局所漸近正規性

QLANの概要

量子パラメトリックモデル𝜌𝜃 𝜃 ∈ Θ ⊂ ℝ𝑑

𝜌𝜃0+

ℎ

𝑛

⊗𝑛 ℎ ∈ ℝ𝑑

h: 真の 𝜃の近くにある𝜃0の近傍の local parameter

似ている量子Gaussian

shift model

テンソル積拡大

Holevo bound も達成可

先行研究 (strong QLAN) [Kahn,and Guta, 2009]

問題点• 𝜌𝜃0

の固有値が縮退してると発散する．

• 混合状態のみ• Full parameter modelのみで部分modelは考えていない．• 初めから指数型分布族を仮定していて，一般性に欠く．

channel 量子Gaussian shift model

𝜌𝜃0+

ℎ

𝑛

⊗𝑛 ℎ ∈ ℝ𝑑

本来のLAN理論は滑らかなモデルなら何でもいいはず．

本研究では，strong でなくweak LANの量子化をめざした．

古典Weak LAN

𝑁(ℎ, 𝐽−1) ℎ ∈ ℝ𝑑

𝐽はFisher行列𝑝

𝜃0+ℎ

𝑛

⊗𝑛 ℎ ∈ ℝ𝑑

log 𝑝𝜃0+

ℎ

𝑛

⊗𝑛 − log 𝑝𝜃0

⊗𝑛 = ℎ𝑖Δ𝑖𝑛

−1

2ℎ𝑖ℎ𝑗𝐽𝑖𝑗 + 𝑜 1

「尤度比」の「分布」が一致

すなわち

ここに

Δ(n) ⇝ 𝑁(0, 𝐽) (分布収束)𝑜 1 → 0 (確率収束)

∀ℎ ∈ ℝ𝑑

※尤度比の分布の一致から，あらゆる統計量の分布も一致させれることが示せる．つまり，統計的に一致

収束先の量子 Gaussian shift model

𝜌𝜃0+

ℎ

𝑛

⊗𝑛 ℎ ∈ ℝ𝑑𝑁(𝑅𝑒 (𝜏)ℎ, Σ) ℎ ∈ ℝ𝑑

部分量子Gasusian shift model

Σはr×r複素半正定値行列

𝜏はr×d複素行列

𝐿1, … , 𝐿𝑑: d 個のSLDs

𝐷1, … , 𝐷𝑟: r個のobservables, 𝒯の基底

𝒯: 𝑇𝑟 𝜌𝜃0𝐷 = 0なるエルミート作用素全体 (SLDs の𝒟不変拡張でもよい)

Σ𝑖𝑗 = 𝑇𝑟 𝜌𝜃0𝐷𝑗𝐷𝑖

𝜏𝑖𝑗 = 𝑇𝑟 𝜌𝜃0𝐿𝑗𝐷𝑖

𝑐𝜃0𝐺 ≔ min

𝐹𝑡𝑟 𝐺 𝑍 + 𝑡𝑟 𝐺𝐼𝑚 𝑍 𝐺

𝐹 is an 𝑟 × 𝑑 real matrix s.t. Re(𝐹𝑡𝜏) = 𝐼

𝑍 = 𝐹𝑡Σ 𝐹Holevo bound

Σ, 𝜏だけから決まる．

量子対数尤度比

二つの量子状態 𝜌, 𝜎が相互絶対連続

∃ℒ 𝜎 𝜌 エルミート作用素 s.t.

𝜎 = 𝑒12ℒ 𝜎 𝜌 𝜌 𝑒

12ℒ 𝜎 𝜌⟺

ℒ 𝜎 𝜌 は量子対数尤度比

もし 𝜌 > 0, 𝜎 > 0なら

ℒ 𝜎 𝜌 = 2 log 𝜌−1 𝜎𝜌 𝜎 𝜌−1

Weak QLAN𝜌𝜃が2回微分可能なら

ℒ 𝜌𝜃0+

ℎ

𝑛

⊗𝑛 𝜌𝜃0

⊗𝑛 = ℎ𝑖Δ𝑖𝑛

−1

2ℎ𝑖ℎ𝑗𝐽𝑖𝑗 + 𝑜ℎ

(𝑛)

Δ𝑖𝑛

≔

𝑘=1

𝑛1

𝑛𝐼⊗(𝑘−1) ⊗ 𝐿𝑖 ⊗ 𝐼⊗(𝑛−𝑘)

𝐷𝑗𝑛

≔

𝑘=1

𝑛1

𝑛𝐼⊗(𝑘−1) ⊗ 𝐷𝑗 ⊗ 𝐼⊗(𝑛−𝑘)

𝐷(𝑛)

Δ(𝑛)

𝑜ℎ(𝑛)

⇝ 𝑁000

,Σ 𝜏† 0𝜏 𝐽 00 0 0

（量子中心極限定理）

∀ℎ ∈ ℝ𝑑

古典weak LANとそっくりになる．

𝜌𝜃0+

ℎ

𝑛

⊗𝑛 ℎ ∈ ℝ𝑑 𝑁(𝑅𝑒 (𝜏)ℎ, Σ) ℎ ∈ ℝ𝑑

部分量子Gasusian shift model

Σはr×r複素半正定値行列𝜏はr×d複素行列

Holevo bound の漸近的達成

𝜌𝜃0+

ℎ

𝑛

⊗𝑛 ℎ ∈ ℝ𝑑𝑁(𝑅𝑒 (𝜏)ℎ, Σ) ℎ ∈ ℝ𝑑

部分量子Gasusian shift model

Σはr×r複素半正定値行列

𝜏はr×d複素行列

推定量の列，(𝑀(𝑛), 𝜃(𝑛))があって

𝐸ℎ 𝑀 𝑛 , 𝜃 𝑛 → ℎ

tr 𝐺𝑉ℎ 𝑀 𝑛 , 𝜃 𝑛 → 𝑐(𝐺)

∀ℎ ∈ 𝔻 ⊂ ℝ𝑑 (𝔻は加算部分集合)

漸近的に不偏推定量

Holevo bound 達成

今後の課題

• Holevo bound の達成を加算部分集合から全体にしたい．• 絶対連続をcontiguity (絶対連続の漸近版)に拡張したい．• Iidでないモデルに拡張したい．• 「漸近𝒟不変性」の定義が必要• Gaussian modelの統計量⇒QLANモデル列の統計量は言えるが，逆の証明ができていない．

• 量子分布収束，量子確率収束の理論を作りたい．• 二つのモデルが統計的に同等とは何か？

量子中心極限定理