Q目次歷屆指定科目考試試題 精粹

106學年度指定科目考試數學甲試題分析

東山高中 李善文 老師

1

106學年度指定科目考試

解題老師：東山高中 李善文 老師

358

99學年度指定科目考試

解題老師：臺南一中 張立群 老師

51

100學年度指定科目考試

解題老師：臺南一中 張立群 老師

92

102學年度指定科目考試

解題老師：臺南一中 張立群 老師

194

103學年度指定科目考試

解題老師：臺南一中 張立群 老師

235

104學年度指定科目考試

解題老師：東山高中 李善文 老師

276

105學年度指定科目考試

解題老師：東山高中 李善文 老師

317

101學年度指定科目考試

解題老師：臺南一中 張立群 老師

143

1

106學年度指定科目考試數學甲試題分析

東山高中 數學科教師／李善文

壹、試題分析

一、各題出處、中心概念、難易度

題　號 出 題 範 圍 中 心 概 念 難易度

單選鋫 第二冊單元三 機率 機率的計算 中偏易

單選鋳 第一冊單元三 指數、對數函數根指數的定義與指數律的應用，指數的比較大

小或利用取對數來比較大小中

單選鋴 選修上冊單元二 三角函數

利用二倍角公式求限制範圍下之三角方程式的

解之個數來判斷兩三角函數圖形之交點個數，

或直接作圖判斷兩三角函數圖形之交點個數

中偏難

單選鋽 選修下冊單元二 多項式函數的微積分

三次函數的極值產生處其一階導數為 0，以三

次函數圖形上的點為切點之切線斜率就是在此

點的一階導數，能利用微積分基本定理求定積

分的值

中

多選鍃 第三冊單元三 平面向量

向量的加減法及幾何意義，兩向量的夾角的定

義，兩向量垂直表示夾角為直角且其內積為 0，或利用向量內積的運算性質解決問題

中

多選鎄 選修上冊單元二 三角函數 複數之極式與棣美弗定理的應用解複數方程式 中偏難

多選鎭 選修下冊單元二 多項式函數的微積分

以三次函數圖形上的點為切點的切線斜率就是

在此點的一階導數，三次函數之圖形在其反曲

點處的二階導數為 0，且只有在反曲點的切線

與此三次函數的圖形恰有一個交點。一次函數

的圖形為直線，且其每點處的一階導數就是其

斜率，而二階導數恆為 0。實係數一次方程式

恰有一實根

中偏難

選填 A 選修上冊單元一 機率統計 隨機變數的期望值之定義與計算 中偏易

選填 B第三冊單元二 直線與圓

第三冊單元三 平面向量

平面上兩直線的斜率乘積為 - 1時，表示此兩

直線垂直，水平線的斜率為 0且其方程式為

y = k，適當設直線方程式求其交點，並根據已

知條件求 k 值，再求三直線所圍三角形的面積

，也可用向量的坐標表示法藉由內積或二階行

列式的絕對值之半來求三直線所圍三角形的面

積

中

選填 C 選修下冊單元一 極限與函數求直線與坐標軸所圍三角形區域的格子點個數

，了解數列極限的求法中偏難

2

題　號 出 題 範 圍 中 心 概 念 難易度

選填 D 第四冊單元二 空間中的平面與直線

能由空間中平面的方程式知道其法向量並利用

其求兩平面的夾角，求簡易三元聯立方程式的

解

中

非選一 第四冊單元三 矩陣

二階方陣在坐標平面上定義的線性變換，旋轉

矩陣及其幾何意義，利用兩邊及夾角求三角形

面積，適當設直線上的點之坐標，將所求表成

某變數的二次函數，再利用配方法求最小值

中

非選二第四冊單元一 空間向量

選修下冊單元二 多項式函數的微積分

利用已知條件及向量內積的運算性質求空間中

兩向量的內積，知道正八邊形面積的求法以求

正八角錐的體積，能根據變數的限制範圍並利

用一階導數判斷變數在限制範圍內何處將使函

數產生最大值

中

二、各冊占分

冊　別 第一冊 第二冊 第三冊 第四冊 選修上冊 選修下冊

配　分 6分 6分 15分 25分 21分 27分

今年指定考科數學甲之試題測驗內容皆在大考中心公布的重點範圍內，像去年一樣仍然偏重在第

四冊之學測沒有考的內容，及選修上、下冊之主要概念及應用，共占 73分。試題總題數仍為 13題，

仍比照去年採跨單元或結合不同概念來命題。

三、題型分配

指定考科數學甲題型分為兩部分：今年各類型題數及配分均與去年完全一樣，第壹部分選擇題，

單選 4題、多選 3題及選填 4題，共 11題；第貳部分非選擇題，每年固定有兩大題，有時也可能分

若干小題，今年每大題都有 3小題，比去年多 1小題。今年第壹部分選擇題的配分仍為單選每題 6分

、多選每題 8分及選填每題 7分，共 76分；第貳部分非選擇題的配分為每大題 12分，共 24分。

四、難易度分析

難易度 題 　 號 題　數 占　分 比　例

中偏易 單選鋫、選填 A、非選一禑 231 17 17%

中 單選鋳、鋽、多選鍃、選填 B、D、非選一禙辻、非選二禑禙 631 48 48%

中偏難 單選鋴、多選鎄、鎭、選填 C、非選二辻 431 35 35%

就今年指考數學甲試題而言，筆者認為像去年一樣沒有易的題目，也沒有難的題目，小部分為中

偏易，而大部分為中及中偏難的題目，整體而論，比去年難一些，所考各單元之概念並不艱深，但仍

必須綜合各概念並連結才可能答對。所以中下程度的同學要考好非常不易，中等程度但只靠記憶、觀

3

念不夠清晰的同學有一定難度，中上程度的同學必須觀念清晰及具備綜合分析推理的能力，才可能得

高分。今年數學甲試題比數學乙難很多，但仍是頗有鑑別度的考題。

貳、特殊試題分析

【單選鋽】�此題乍看可能會覺得難，但分析後知所求定積分的值，只要利用微積分基本定理，就

可與已知條件：三次函數的極值產生處其一階導數為 0，及以三次函數圖形上的點為

切點的線的斜率就是在此點的一階導數兩概念連結，是非常漂亮的考題。

【多選鍃】 此題只要知道向量的加減法及幾何意義、兩向量的夾角的定義及兩向量垂直表示夾角

為直角，自己作略圖，就很快知道哪些選項正確，根本不需要套用公式或利用向量內

積的運算性質來解決問題，概念不清楚的同學只想運用運算性質可能要花許多時間才

能做對，所以此題也是非常好的考題，可引導老師及學生在學習及解題上不要一味只

想運用公式，應訓練更好且簡單的思考方向。

【多選鎄】�此題很明顯在考棣美弗定理的應用，也很容易猜到 r = 1，但同學多半不會討論及正確

解題方法，雖然 z n + z- n + 2 = 0　⇔　z 2n + 2z n + 1 = 0，看似為 2n 次方程式，實際上

為 n 次方程式 z n + 1 = 0，不小心很容易判斷錯誤，算是今年考題中較難的試題。

【多選鎭】�此題為多項式函數之三次函數圖形的綜合概念整合題，評量同學是否知道圖形的切線

斜率就是函數在切點的一階導數，是否知道三次函數之圖形在其反曲點處的二階導數

為 0，且只有在反曲點的切線與此三次函數的圖形恰有一個交點，一次函數的圖形為

直線，且其每點處的一階導數就是其斜率，而二階導數恆為 0，實係數一次方程式恰

有一實根。題目不難，但微分的主要觀念都有考到，所以同學不需要一直做難題，應

著重觀念的整合。

參、其他分析、應考對策或結論

今年主要的命題範圍所占分數及難易度比較均衡，主要的命題範圍以第四冊、選修數學甲上、下

冊為主，著重觀念的整合，沒有繁雜的計算。比較 103～ 106這四年指考題目的配分如下表：

冊　別 單 元 名 稱 106年配分 105年配分 104年配分 103年配分

第一冊

數與式 0

6

0

6

0

16

0

18多項式函數 0 0 10 12

指數、對數函數 6 6 6 6

第二冊

數列與級數 0

6

4

11

2

10

2

8排列、組合 0 0 0 0

機率 6 7 8 6

數據分析 0 0 0 0

第三冊

三角 0

15

0

15

4

20

12

18直線與圓 7 4 8 6

平面向量 8 11 8 0

4

冊　別 單 元 名 稱 106年配分 105年配分 104年配分 103年配分

第四冊

空間向量 6

25

7

23

2

12

20

32空間中的平面與直線 7 8 4 2

矩陣 12 8 6 10

二次曲線 0 0 0 0

選修（上）機率統計 7

217

204

172

4三角函數 14 13 13 2

選修（下）極限與函數 7

274

2513

252

20多項式函數的微積分 20 21 12 18

肆、結語

近年來大考中心在命題評量的方法上一直在精進，期望藉由考試的命題方向與方式來導正老師們

的數學教學方法與加強觀念的澄清，進而影響同學有正確的學習方式與態度，所以在指考數學甲的試

題有難度增強的趨勢，同學們要知道只靠記憶及做考古題而不求深入了解數學基本概念及彼此的連結

，是無法應付現今愈來愈多具有包裝的試題，一定要誠實面對自己的問題，徹底明白道理並尋求解決

之道，持續努力，就會抓到訣竅而有好的成績表現。隨著新課綱的到來、多元選修的課程及跨領域的

課程設計與評量方式，我們教師更應積極共同研發教材，將數學軟體與資訊科技融入數學教學以因應

跨領域教材的趨勢及未來命題的方向，願老師能引導同學喜歡數學思考，讓同學在數學的學習上有信

心，相信對數學教育會大有助益，且對一般事物的分析也更清楚。

106 35

8 106學年度指定科目考試

100 ～ 71 分 不錯，記得別粗心失分喔！

70 ～ 60 分 加油！你值得更好的成就。

59 ～ 43 分 是不是還有觀念沒搞懂呢？

42 ～ 26 分 上課都在睡嗎？求你讀書吧。

25 ～ 15 分 你有認真作答嗎？該檢討啦！

第壹部分：選擇題（占 76分）

一、單選題（占 24分）

說明：第鋫題至第鋽題，每題有 5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇 （填）題答案區」。各題答對者，得 6分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

鋫 從所有二位正整數中隨機選取一個數，設 p 是其十位數字小於個位數字的機率。關於 p 值的

範圍，試選出正確的選項。

0.22 # p < 0.33 0.33 # p < 0.44 0.44 # p < 0.55 0.55 # p < 0.66 0.66 # p < 0.77

鋳 設 a 103= 。關於 a5 的範圍，試選出正確的選項。

25 # a5 < 30 30 # a5 < 35 35 # a5 < 40 40 # a5 < 45 45 # a5 < 50

鋴 試問在 0 # x # 2r的範圍中，y = 3 sin x 的函數圖形與 y = 2 sin 2x 的函數圖形有幾個交點？

2個交點

3個交點

4個交點

5個交點

6個交點

36 8

鋽 已知一實係數三次多項式 f ( x )在 x = 1有極大值 3，且圖形 y = f ( x )在 ( 4, f ( 4 ) )之切線方程

式為 y - f ( 4 ) + 5 ( x - 4 ) = 0，試問 ( )f x dx14 ll# 之值為下列哪一選項？

- 5 - 3 0 3 5

二、多選題（占 24分）

說明：第鍃題至第鎭題，每題有 5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選

擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8分；答錯 1個選項者，得 4.8分；答錯 2個選項者，得 1.6分；答錯多於 2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

鍃 設 u 與 v 為兩非零向量，夾角為 120˚。若 u 與 u v+ 垂直，試選出正確的選項。

u 的長度是 v 的長度的 2倍 v 與 u v+ 的夾角為 30˚ u 與 u v− 的夾角為銳角

v 與 u v− 的夾角為銳角

u v+ 的長度大於 u v− 的長度

鎄 已知複數 z 滿足 zn + z - n + 2 = 0，其中 n 為正整數。將 z 用極式表示為 r ( cos i + i sin i )，且

r > 0。試選出正確的選項。

r = 1 n 不能是偶數

對給定的 n，恰有 2n 個不同的複數 z 滿足題設

i可能是 73r

i可能是 74r

鎭 設實係數三次多項式 f ( x )的首項係數為正。已知 y = f ( x )的圖形和直線 y = g ( x )在 x = 1相切，且兩圖形只有一個交點。試選出正確的選項。

f ( 1 ) = g ( 1 ) f l( 1 ) = gl( 1 ) f ll( 1 ) = 0存在實數 a ! 1使得 f l( a ) = gl( a )存在實數 a ! 1使得 f ll( a ) = gll( a )

106 37

三、選填題（占 28分）

說明：鋫第 A 至 D 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（～妔）。

鋳每題完全答對給 7分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 某高中一年級有忠、孝、仁、愛四班的籃球隊，擬由經抽籤決定的右

列賽程進行單淘汰賽（輸一場即被淘汰）：假設忠班勝過其他任何一班

的機率為 54，孝班勝過其他任何一班的機率為

51 ，仁、愛兩班的實力

相當，勝負機率各為 21 。若任一場比賽皆須分出勝負，沒有和局。如

果冠軍隊可獲得 6000元獎學金，亞軍隊可獲得 4000元獎學金，則孝

班可獲得獎學金的期望值為　鎸𡣖　元。

B. 坐標平面上有三條直線 L、L1、L2，其中 L 為水平線，L1、L2 的斜率分別為 43、

34− 。已知 L 被 L1、

、L2 所截出的線段長為 30，則 L、L1、L2 所決定的三角形的面積為　𠼝葲𦳀　。

C. 坐標平面上，x 坐標與 y 坐標均為整數的點稱為格子點。令 n 為正整數，Tn 為平面上以直線

ynx

21 3= − + ，以及 x 軸、y 軸所圍成的三角形區域（包含邊界），而 an 為 Tn 上的格子點數目，則

limna

nn =

"3　𡐓𤋺　。

D. 坐標空間中，平面 ax + by + cz = 0與平面 x = 0、x y3 0+ = 的夾角（介於 0˚ 到 90˚ 之間）都是 60˚，且 a2 + b2 + c2 = 12，則 ( a2 , b2 , c2 ) = 　( 𢰦 , 𤏁 , 妔 )　。

第貳部分：非選擇題（占 24分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二）與子題號（鋫、鋳

、……），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水

的筆書寫，且不得使用鉛筆。每一子題配分標於題末。

一、 在坐標平面上，考慮二階方陣 A51 43

34

=−= G 所定義的線性變換。對於平面上異於原點 O 的點 P1

，設 P1 經 A 變換成 P2，P2 經 A 變換成 P3。令 a OP1= 。

鋫 試求 sin ( +P1OP3 )。（4分）

鋳 試以 a 表示 TP1P2P3 的面積。（4分）

鋴 假設 P1 是圖形 y x101 102= − 上的動點，試求 TP1P2P3 面積的最小可能值。（4分）

38 8

二、 坐標空間中，O ( 0 , 0 , 0 )為原點。平面 z = h（其中 0 # h # 1）上有一以 ( 0 , 0 , h )為圓心的圓，在此圓上依逆時鐘順序取 8點構成正八邊形 P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7，使得各線段 OPj（0 # j # 7）的長度都是 1。請參見示意圖。

鋫 試以 h 表示向量內積 OP OP0 4$ 。（4分）

鋳 若 V ( h )為以 O 為頂點、正八邊形 P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 為底的

正八角錐體積，試將 V ( h )表為 h 的函數。（2分）

（註：角錐體積 31= 底面積 × 高）

鋴 在 OP0 和 OP4 夾角不超過 90˚ 的條件下，試問正八角錐體積 V ( h )的最大值為何？（6分）

z

y

x

Oz=h

P7

P0 P1 P2

P5 P4P3

P6

1

17106

⇔　y = 3 sin x，x = 0、r、2r　　或 x = i、2r - i，其中 cos 4

3i = ，0 2

< <i r

所以 y = 3 sin x 與 y = 2 sin 2x 之圖形在 0 # x # 2r範圍內的交

點共有 5個《方法二》

作 y = 3 sin x 與 y = 2 sin 2x 在

0 # x # 2r之圖形如右：

由圖知共有 5個交點，

故選

鋽由題意得 f l ( 1 ) = 0，f l ( 4 ) = - 5（因為 f l ( 4 )就是切線

y - f ( 4 ) + 5 ( x - 4 ) = 0的斜率）

所以 ( ) ( ) (4) (1) 5 0 5f x dx f x f f14

14= = − =− − =−ll l l l#

故選䕷

二、多選題

鍃《方法一》

因為 u 與 v 為兩非零的向量，它們的夾角為 120˚，且 u 與

u v+ 垂直，

所以 0 ( ) 120cosu u v u u v u u v2 2

c= + = + = +$ $

　　 u u v212

= −

而 0u ! ，所以 u v21= ，即 v u2=

120 2 ( )cosu v u v u u212 2

#c= = − =−$

䕷𨯔； v u2=

虲𨭆；∵ 2( )u v u u v v2 2 2

+ = + +$

　　　　　　　 2u u u u4 32 2 2 2

= − + =

　　　∴ u v u3+ = 。令 v 與 u v+ 的夾角為 i，則

　　　 ( )( ) ( )

cosv u vv u v

u uv u v

2 3

2

i =+

+ = +$ $

　　　　 u

u uu

u2 3

42 33

23

2

2 2

2

2

= − + = =

　　　∴ v 與 u v+ 的夾角 i = 30˚

蚒𨭆；∵ ( ) ( ) 2 0u u v u u v u u u >2 2 2 2

− = − = − − =$ $

　　　∴ u 與 u v− 的夾角為銳角

𨯔；∵ ( )v u v v u v u u u4 5 0<2 2 2 2

− = − =− − =−$ $

　　　∴ v 與 u v− 的夾角為鈍角

蛯𨯔； 2( )u v u u v v2 2 2

− = − +$

　　　　　　 2( ) 4 7u u u u2 2 2 2

= − − + =

　　　∴ u v u v<+ −《方法二》

根據已知條件作圖如右：

u OA CB= = ，v OC AB= = ，

u v OB+ = ，u v CA− = ，

由圖易知：

䕷𨯔； cosu v v6021c= =

　　　∴ v u2=

x

yy=3 sin x

y=2 sin 2x

(0,0)

(r,0)

(2r,0)

u

u

v v

u v+

C B

O A

30˚60˚

u v−

由微積分基本定理知 ( )( )

( )G xdx

d f t dtf x

x0= =l#

由費瑪定理可知 f ( 1 ) = Gl( 1 ) = 0，所以 f ( 1 ) = a + 12 = 0，得

a = - 12鋴 ( ) ( ) 12 ( 2) 12 12( 4 4 1)G x f x x x x x x2 3 2= =− − + =− − + −l

　　 12( 1)( 3 1)x x x2=− − − +

　　 12( 1)( )( )x x x2

3 52

3 5=− − − − − +

列表顯示 Gl( x )值的正、負及 G ( x )的遞增、遞減如下：

x 02

3 5− 1 2

Gl( x ) 12 + 0 - 0 + 12

G ( x ) 0 ↗ ( )G2

3 5− ↘ G ( 1 ) ↗ G ( 2 )

又 ( ) ( ) [ ( )]G f t dt t t t dt1 12 4 4 101 3 2

01= = − − + −# #

　　 ( ) 1t t t t3 16 24 124 3 201= − + − + =

所以在 0 # x # 2的範圍中，G ( x )的最小值為 G ( 0 ) = 0

8 106學年度指定科目考試

虲　蛯　鋴　鋽䕷　鍃虲蚒　䕷　䕷虲蚒

A. 8　 8　 0　　B. 2　 1　 6　C. 1　 2　　　　 D.𢰦𤏁妔 318或 390

第壹部分：選擇題

一、單選題

因為二位正整數為 10 , 11 , 12 , … , 99共有 90個而其中十位數字小於個位數字的二位正整數有 C 362

9 = 個

所以 .p9036 0 4= =

故選虲

《方法一》

因為 a 103= ，所以 ( ) 10a 10 10 1005 3 5 53 3= = =

又 ( ) .29

8729 91 125 100<3 = = ，且 53 = 125 > 100

所以 .4 5 29 100 5< <3= ，得 45 < a5 < 50

《方法二》

因為 a 103= 1031

= ，所以 a5 (10 ) 1031

35

= =5

又 loga5 = log1035

.35 1 6= =

45 2 3 10 2 2 0.4771 1 0.3010 1.65 2log log log log 3#= + − = + − =

. .log log50 2 2 2 0 3010 1 6990= − = − =

所以 45 5log log loga 0< <5

故選蛯

鋴《方法一》

( x , y )為 y = 3 sin x 與 y = 2 sin 2x 之圖形在 0 # x # 2r範圍內

的交點

⇔　y = 3 sin x = 2 sin 2x，0 # x # 2r⇔　y = 3 sin x = 4 sin x cos x，0 # x # 2r⇔　y = 3 sin x，sin x ( 4 cos x - 3 ) = 0，0 # x # 2r

⇔　y = 3 sin x，sin x = 0或 cos x43= ，0 # x # 2r

18 第 8 回

　　　　　孝班得亞軍的機率為 51

54

254

# =

所以孝班獲得獎學金的期望值為 6000 4000 880251

254

# #+ = 元

B. 不失一般原則性，設 L1 與 L2 的交點為原點

L1：3x - 4y = 0，L2：4x + 3y = 0，L：y = k

則 L 與 L1 及 L2 的交點分別為 ( , )k k34 及 ( , )k k

43−

因為 L 被 L1 與 L2 所截線段長為 30

所以 ( )k k34

43 30− − = ，得 k

1225 30= 　⇒　k

572

!=

所以 L 與 L1 及 L2 三條直線所決定的三角形面積為

30 30 216k21

21

572

# # # #= =

C. 因為直線 y nx

21 3= − + 與 x 軸及 y 軸的交點分別為 ( 6n , 0 )及

( 0 , 3 )，所以 Tn 表原點、( 6n , 0 )及 ( 0 , 3 )三點為頂點之直角

三角形區域，得 Tn 上之格子點數目

an = 4 + 3 + 3 +… + 3 + 2 + 2 +… + 2 + 1 + 1 +… + 1

= 4 + 6n + 4n + 2n = 12n + 4

得 ( )lim lim limna

nn

n12 4 12 4 12

nn

n n= + = + =

" " "3 3 3

D. 由已知及空間中兩平面夾角公式得

1 ( )cos

a b ca

a b ca b

21 60

1 33

2 2 2 2 2 2 2 2c= =

+ +=

+ + +

+

$ $

又已知 a2 + b2 + c2 = 12，所以 ( )a a b41

12 4832 2

= = +

得 a2 = 3，( )a b3 122+ = ，即 a 3!= ，( )b3 3 122! + =

嫎當 a 3= 時，( )b3 3 122+ = 　⇒　( b + 1 )2 = 4　⇒　b = 1或 - 3娋當 a 3=− 時，( ) 12b3 3 2− + = 　⇒　( b - 1 )2 = 4　⇒　b = 3或 - 1得 a2 = 3、b2 = 1、c2 = 8或 a2 = 3、b2 = 9、c2 = 0所以 ( a2 , b2 , c2 ) = ( 3 , 1 , 8 )或 ( 3 , 9 , 0 )

第貳部分：非選擇題

一、因為二階方陣 A51 43

34

=−= G 所定義的線性變換表一逆時

　　鐘旋轉 i角之旋轉變換，其中 cos 54

i = ，sin 53

i =

由題意知+P1OP3 = 2i　 2 2sin sin sin cosP OP1 3+ i i i= =

　　　　　 2 5453

2524= =$ $

因為 OP a1 = ，所以 OP OP a2 3= =

　且+P1OP2 =+P2OP3 = i，　+P1OP3 = 2i　 得 TP1P2P3 的面積

　= TP1OP2 的面積 + TP2OP3 的面積

- TP1OP3 的面積

sin sin sina a a21

21

21 22 2 2

i i i= + −

a a a103

103

25122 2 2= + − a

253 2=

2n 個（x = 1～ 2n）x = 0 2n 個（x = 2n + 1～ 4n） 2n 個（x = 4n + 1～ 6n）

y

xO

a P1

P2

P3

ii

虲𨭆；v 與 u v+ 的夾角為+COB = 30˚

蚒𨭆；u 與 u v− 的夾角為+BCA =+OAC，是一銳角

𨯔；v 與 u v− 的夾角為+OCA 的補角，是一鈍角

蛯𨯔； u v OB CA u v<+ = = −故選虲蚒

z = r ( cos i + i sin i )，其中 r > 0，且 z n + z-n + 2 = 0，n ! N又 z n + z-n + 2 = 0　⇔　( z n )2 + 2z n + 1 = 0⇔　( z n + 1 )2 = 0　⇔　z n + 1 = 0　⇔　z n = - 1由棣美弗定理知：r n( cos ni + i sin ni ) = - 1所以 r = 1，且 cos ni = - 1，sin ni = 0，得 ni = ( 2k - 1 ) r，其

中 k ! N

故知 cos sinznk i

nk2 1 2 1

r r= − + − ，k = 1 , 2 , … , n

䕷𨭆；r = 1

虲𨯔；n 可能為偶數，例如 n = 4， cos sinz i41

41

r r= +

蚒𨯔；對給定的 n，恰有 n 個複數 z 滿足已知條件

𨭆；i可能為 73r，例如 n = 7， cos sinz i

73

73

r r= +

蛯𨯔；因為 74

i r= 時，n n74

i r= 不可能為 r的奇數倍

　　　所以 i不可能為 74r

故選䕷

因為 f ( x )為實係數三次多項式，且其首項係數為正

又已知 y = f ( x )的圖形與直線 y = g ( x )在 x = 1相切

可令 g ( x ) = mx + k，其中 m、k ! R，則 gl( x ) = m䕷𨭆；因為切點為 ( 1 , f ( 1 ) )，亦為 ( 1 , g ( 1 ) )　　　所以 f ( 1 ) = g ( 1 )虲𨭆； 因為切線的斜率為 f l ( 1 )就是直線 y = g ( x ) = mx + k 的

斜率 m，又 gl( 1 ) = m，所以 f l ( 1 ) = gl( 1 )蚒𨭆； 因為 y = f ( x )的圖形與直線 y = g ( x )在 x = 1相切，且

兩圖形只有一個交點，所以此切點 ( 1 , f ( 1 ) )就是

　　　 y = f ( x )圖形的反曲點，所以 f ll ( 1 ) = 0𨯔；因為 ( 1 , f ( 1 ) )為 y = f ( x )之圖形的反曲點，

　　　 且 f l( 1 ) = m = gl( 1 )，假設存在異於 1的實數 a，使得

f l( a ) = gl( a )，則二次方程式 f l( x ) = m 有相異兩實根 1與 a，所以 f l( x ) - m = t ( x - 1 ) ( x - a )，其中 t > 0

　　　（因為 t3 為 f ( x )的首項係數，由題意知大於 0）

　　　則 f l ( x ) = tx 2 - t ( a + 1 ) x + ta + m　　　所以 f ll ( x ) = 2tx - t ( a + 1 )　　　得 f ll ( 1 ) = 2t - t ( a + 1 ) = t ( 2 - a - 1 ) ! 0　　　 此與 f ll ( 1 ) = 0矛盾，故假設錯誤，所以不可能存在實

數 a ! 1，使得 f l ( a ) = gl( a )蛯𨯔； 因為 gll( x ) = 0，且 f ll ( x )為一次式，又 f ll ( 1 ) = 0，所

以 f ll ( x ) = gll( x )只有單一實根 1，所以不可能存在實

數 a ! 1，使得 f ll ( a ) = gll( a )故選䕷虲蚒

三、選填題

A. 由題意知：孝班得冠軍的機率為 51

51

251

# =

19106

鋴因為 P1 是圖形 y x101 102= − 上的動點，令 P1 的坐標為

　( 10t , 10t 2 - 10 )，　則 ( ) ( )a OP t t t t10 10 10 100 100 1001

2 2 2 4 2= = + − = − + ，

　由知 TP1P2P3 的面積 (100 100 100)a t t253

2532 4 2= = − +$

　　　　　　　　　　 ( )t t t12 12 12 1221 94 2 2 2= − + = − +

　所以 TP1P2P3 的面積之最小值為 9二、令 O1 表坐標為 ( 0 , 0 , h )的點，由題意知 O1 為平面 z = h 上

正八邊形 P0 P1P2P3P4P5P6P7 的中心，其中 OP OO O Pj j1 1= +

　　，且 OO O Pj1 1= ，（0 # j # 7，j ! Z）

因為+P0O1P4 = 180˚，OP 1j = ，OO h1 =

　所以 O P h h1 1 2j1

2 2= − = − ，（0 # j # 7，j ! Z）

　得 ( ) ( )OP OP OO O P OO O P0 4 1 1 0 1 1 4= + +$ $

　　　　　　 0 0OO O P O P12

1 0 1 4= + + + $

　　　　　　 180 ( )cosh h h h h1 1 12 2 2 2 2c= + − − = − −$ $　　　　　 = 2h2 - 1因為正八邊形 P0 P1P2P3P4P5P6P7 的面積

　 8 [ ( ) 45 ] 4(1 )sinh h21 1

222 2 2c= − = −$ $ $ $ 2 (1 )h2 2= −

　由提示知 ( ) 2 (1 ) ( )V h h h h h31 2

32 22 3= − = −$ $

鋴令 OP0 與 OP4 的夾角為 i，因為 P P O P h2 2 10 4 1 02= = −

　由餘弦定理知 2

cosOP OP

OP OP P P0 4

02

42

0 42

i = + −$ $

　　　　　　　　　 ( )h h2 1 1

1 1 4 1 2 12 2 2

2= + − − = −$ $

　因為 OP0 與 OP4 的夾角 i不超過 90˚（0˚ # i # 90˚）

　所以 0 # cos i = 2h2 - 1 # 1

　故 1h21 2

# # ，得 1h22

# # （∵ h > 0）

　由知 ( ) ( )V h h32 2 1 3 2= −l

　所以在 i # 90˚的條件下，V l( h )恆小於 0

　（∵ 1h21 2

# # 　⇒　 3 3h23 2

# # 　⇒　 2 1 3h212

# #− − − ）

　所以當 1h22

# # 時，V ( h )為嚴格遞減

　（即 V ( h )在閉區間 [ , ]22 1 上為嚴格遞減）

　故知當 h22= 時，V ( h )有最大值

　 (1 )32 2

22

21

31− =$ $