ECONOMETRIA Pruebas de Especificación en el Modelo de Regresión Múltiple

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Pruebas de Especificación en el Pruebas de Especificación en el Modelo de Regresión MúltipleModelo de Regresión Múltiple



Mtro. Horacio Catalán Alonso

NormalidadNormalidadNormalidadNormalidad

Taller de Econometría

Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso

EconometríaEconometría

El modelo de regresión múltiple asume diverso supuestos estadísticos que determinan la validez de los resultados econométricos así como la inferencia estadística

UβY

Asume principalmente

ntesindependie muestrascon

aleatorios regresoresX0)U/(E

fijos regresoresX0)U(E




Estos supuestos garantizan que los estimadores de mínimos cuadrados sean insesgados y eficientes

aciónAutocorrel No0)UU(E

asticidadHeterosced No)U(E

:que implica cual lo)UU(E

fijos regresoresX0)U(E

ji

22i

2/

ji

1/2 XX)β(E

β)β(E




La inferencia estadística sobre los estimadores de MCO se pueden realizar bajo el supuesto de que los errores se distribuyen como una normal con media cero y varianza constante

2,0U

Supuesto de normalidad




Propiedades de los estimadores MCOAsintóticas

n

Nota: Se demuestra que se x es una variable aleatoria con media μ y varianza entonces2

Cuando n tiende a infinito converge a una normal con media cero y varianza 2

2,0Nn

Bajo esta idea se necesita probar como es la distribución de β-βn




La diferencia entre el estimador y el parámetro

UXXXββ1) /1/

UXXXβ-β2) /1/

UXXX1

β-β1

)3 /1/ nn

Permite analizar la distribución




n

UXnXX

UXXX1

)4/1/

/1/

n

La matriz de covarianzas de los regresores converge a una matriz positiva. Esto se cumple con regresores fijos o aleatorios con muestras independientes

1

1/

n QnXX

limP

¿Cuál es la distribución de?n

UX /




La expresión se define como W

Por el supuesto de ortogonalidad

UXn

1 /

WUXn

1)5 /

Aplicando el valor esperado

0UXn

1EWE6) /




La varianza se define como:

//// UX

n

1UX

n

1EWVarWWE)7

n1

XUUXWWE)8 ///

Cuando el entoncesnlim

n

XXWWE)9

/2/




QWWE)10 2/

1/

n QnXX

lim




Q0,NUXn

1lim 2/

n

Si el término de error se distribuye como una normal con media cero y varianza constante entonces

1-2

-12-1

Q0,N

QQQ0,Nβ-βn




De este resultado se obtiene que:

1/2 XXn0,Nβ-βn

Si el estimador es insesgado

1/2 XXβ,Nβ

El estimador de normalidad de los errores garantiza que los estimadores se distribuyan como una normal.




El supuesto de normalidad de los errores garantiza que los estimadores se distribuyan como una normal

El método de MCO garantiza estimadores insesgados. Lo cual permite que la media del estimador sea igual al parámetro

En la práctica

Se aproxima por medio de

Se aproxima con

1Q 1/XX

2K-NUU /

HeteroscedasticidadHeteroscedasticidadHeteroscedasticidadHeteroscedasticidad




Varianza constante

IUUEUVar 2/

2

2

2

00

00

00

UUE / No autocorrelación




¿Cuáles son las implicaciones de varianza no constante?

* * **

* * *

* * * * * **

Varianza de los errores cambia con cada observación

N1,...,iparaUEUVar 2ii i




Bajo el supuesto de que no existe autocorrelación

La matriz de varianza y covarianza se modifica en la diagonal principal la varianza cambia

/UUE

00

00

00

V

2

2

2




Existen diferentes especificaciones para la matriz V

Se asuma que la varianza puede cambiar en cierta proporción dependiendo de la muestra

nii ,...1W

W00

0W0

00W

i2

n

2

1

2

2

2

2




Que la varianza en cada punto de la muestra es proporcional al cuadrado de un regresor

nii ,...1X

X00

0X0

00X

V

2i

2

2n

22

21

2

2

2

2

El aspecto fundamental es que la varianza de los errores cambia con el tamaño de la muestra




El estimador de mínimos cuadrados se define como:

Bajo el supuesto de heteroscedasticidad el estimador es insesgado

X´YX´Xβ1) 1

ββE2)

¿Pero la varianza?

/ββββE)βVar(3)




Si

-1///-1/ XXXUUEXXX)βVar(4)

IVUUE 2/

Entonces

-1//-1/ XXVXXXX)βVar(5)

Los estimadores pierden eficiencia

¿Cuáles son las propiedades estadísticas de X’VX?




Aplicando las propiedades asintóticas

-1/

n

-1/

n

-1/

n

XXlimPVXX

1limP

XXlimP)6

nnn

Sabemos que converge a Q -1

a una matriz positiva

La consistencia del estimador por MCO depende de

-1/

n XX1

limP

n

β




Aplicando las propiedades asintóticas

**n

/n VXX

1limP7) n

Si converge a una matriz positiva el estimador converge al parámetro

*n




Si la varianza cambia en cada punto de la muestra que una proporción Wi i= 1,…,n

iW2i

2i

¿De que depende la convergencia de la matriz X’VX?

donde Wi puede ser X2i el cuadrado de uno de los

regresores

Si Wi es finito para todo i, entonces Wi / n converge




X’VX es la suma de cuadrados y el producto cruzado de los regresores ponderados por Wi

Observación

Sea un modelo de consumo privado (CP) para un conjunto de familias el cual depende del ingreso (Y)y la riqueza financiera (RF)

tURFYCP )8 t1t1t




nn

22

11

/

n21

n21/

RFY

RFY

RFY

XRFRFRF

YYYX )9

n

1

1

2

n2

22

12

W00

0W0

00W

W00

0W0

00W

V )10




nn

22

11

/

n21

n212/

RFY

RFY

RFY

XRFRFRF

YYYVXX )11

n

t

n

t

n

t

n

t

1ii

1iii

1iii

1

2ii

/

RFWRFYW

RFYWYWVXX )12

Si entonces la matriz X’VX converge a una

matriz positiva

n

t 1i 1W




¿Cuál es la solución para los estimadores de MCO?

VXX1

)13 /

n

Es necesario encontrar un estimador para

White H. (1980), “A Heteroskedasticity-consistent covariance estimator and direct test for heteroskedasticity”, Econometrica, vol. 48, 11. 817-838.




Demuestra que

XXT

USo)14 /1

2i

n

i

Es un estimador consistente de VXXn1 /

= Errores de MCO2iU




Así con la expresión 14 la varianza del estimador se aproxima por:

Que puede ser utilizado para obtener la varianza del estimador y realizar las pruebas estadísticas

1/1/ XXSoXX)βVar(15)

Este procedimiento se conoce como estimación robusta “Robust Standard errors”




En nuestro modelo

Una estimación robusta en:

a) Estimar por MCO la ecuación 16

b) Obtener los residuales

c) Obtener la varianza de cada estimador

tURFYCP )16 t1t1t

tU

1/1/ XXSoXX)βVar(




n

t

n

t

n

t

n

t

1

2i

1ii

1ii

1

2i

1/

RFRFY

RFYYXX

La ponderación

n

t 1

2i

i TU

W

T

URF

T

URFY

T

URFY

T

UY

XX

1

2i

2i

1

2iii

1

2iii

2i

1

2i

1/n

t

n

t

n

t

n

t




Problemas con la corrección White:

• Las propiedades asintóticas de los estimadores son ambiguas

• La suma de errores al cuadrado de OLS subestima la varianza de los regresores

• No se recomienda para muestras grandes

• La Prueba de White es extremadamente general no aporta información sobre la naturaleza de la varianza




Si nii ,...,1W2i

2i

Mínimos Cuadrados Generalizados (GLS)

Si es una matriz definida positiva, si exite una matriz P no singular que tiene la propiedad de

2iV)17

IP'P)18

De lo cual se deduce que




1PP')19

P'PP'VPUVar)20 2

De 21 UβY

Multiplicado por P

PUβPPY22)

*Uβ*Y*23)




Se define el estimador GLS

PYX´P'PXX´P'

**´YX**´XXβ1

1GLS

YX'XX'β24) 1-11-GLS




n

2

1

2

n

2

1

W1

00

0W1

0

00W1

W00

0W0

00W

Si

IP'P




n

2

1

W

100

0W

10

00W

1

P




n

2

1

n

2

1

n

2

1

W

100

0W

10

00W

1

W00

0W0

00W

W

100

0W

10

00W

1

P'P

n

n

2

2

1

1

WW

00

0WW

0

00WW

I




n

n

n

n

2

2

2

2

1

1

1

1

n

n

2

2

1

1

W

RF

W

Y

W

RF

W

YW

RF

W

Y

PX

W

CP

W

CPW

CP

PY

El estimador GLS es una ponderación de las variables del modelo




Así

11-2

12GLS

XX'

*XX*'βVar27)

KN

βX-YβX-Y

KNβ*-X*Yβ*-X*Y

S28)

GLS1/

GLS

GLS

/

GLSGLS

2

Estimador de la varianzxa de los errores




2GLS

GLS

11/

GLS

Sq/βR-qR'XΩX'RβR-q

F

Que permita realizar inferencia estadística en el modelo




• Sin embargo GLS requiere la matriz Ω, es decir, en cuanto se afecta la varianza en cada punto de la muestra

• Una especificación común es atribuir la varianza al cuadrado de uno de los regresores

222 Xii




La varianza del error se debe al ingreso (la variable más relevante para el consumo)

Se transforma el modelo como

tUY

RF

Y

Y

Y

CP

i

t2

i

t1

i

t

Se obtienen los estimadores por GLS




• No es el procedimiento más adecuado

• No se puede determinar que variable afecta a la varianza de los errores




En general se obtiene una estimación de la matriz Ω

YX'XX'β 1-11-GLS

Este procedimiento se conoce como Mínimos Cuadrados Factibles (FGLS)




Procedimiento Mínimos Cuadrados Factibles (FGLS)

a) Estimar el modelo

b) Obtener los residuales

c) se obtiene un estimador de la varianza de los errores

d) El estimador es utilizado como un ponderador

KN

U

S

2i

2

iU




(FGLS)

2

2

2

1

S1

00

0S1

0

00S1

ˆ

• Las variables del modelo son individuales por varianza de los errores de MCO

• Es una forma de estandarizar las variables




Cuestiones a revisar

• Transformar las variables por medio de logaritmo a índices o estandarizadas reduce el problema de la varianza

• ¿Qué sucede si la varianza en series de tiempo sigue un proceso como el siguiente?

• Es posible aplicar GLS o FGLS

221-t1

2 0,N~ ttt

AutocorrelaciónAutocorrelaciónAutocorrelaciónAutocorrelación




No existe autocorrelación en le término de error que sucede si

jiuu ji 0E1)

0E jiuu

22n1n

n22

12

21212

uuEuuE

uuEuuE

uuEuuE

UU'E2)

Se afecta la matriz de varianza y covarianza de los errores




El estimador por MCO sigue siendo insesgado

Pierde eficiencia

YX'XX'β3) 1

11 XX'XUU'EX'XX'βVar4)




Asumiendo un proceso de autocorrelación de orden uno

Donde

t1-tt νuu1)

1

0νuE t1-t

2tνVar

0νE t




Bajo el supuesto de no Heteroscedasticidad

2tuVar2)

2

t1-t2tt νuEuEuVar3)

2tt1-t

21-t

2t ννu2uEuVar4)




2tt1-t

21-t

2t νEνuE2uEuVar5)

2ν

22t σuVar6)

2ν

222 σ7)

2

2ν2

1σ

8)




Es necesario definir

s-ti-t uuE Es decir la covarianza de los errores

2

2ν

1-tt1-t

1-tt1-t1-t

1-tt1-t1-tt

-1

uνEuVar

uνCovu,uCov

u,νuCovu,uCov9)




2

2ν

1-tt -1u,uCov

2

2ν2

2

2ν

1-tt

2-tt2-t1-t

1-tt1-t2-tt

-1-1

u,uVar

uνCovu,uCov

u,νuCovu,uCov10)




2

2ν

S

s-tt -1u,uCov11)

De manera general

Se define 2

2ν

0tt -1u,uCov

El coeficiente de correlación se define como

0

s-tt u,uCorr12)S




2

2ν

2

2ν

S

s-tt

-1

-1u,uCorr13)

Ss-tt u,uCorr14)

El procesos de autocorrelación es aproximado por el coeficiente de correlación




Así se define como

2

2ν2

-1

1t1)-(t-tt

SS-tt

22-tt

1-tt

uuE

uuE

uuE

uuE

2




1

1

1

-1)15

2t1t

2

2t

1t2

2

2ν2




Dado que la matriz Ω no es igual a la identidad es necesario aplicar un método que permita obtener estimadores consistentes:

• Bajo la estimación de MCO los estimadores siguen siendo insesgados

TXX'

TXX'

TXX'

T

XX'XX'XX'βVar16)112

112




Las propiedades de la varianza dependen de:

XX'17)

Es necesario que cuando T → ∞ sea

una matriz positiva

XX'T1

*TQ




'st

T

1t

T

1sst XX

T1

18)

donde de X y es el coefieente de autocorrelación entre ut y us

'st XyX

La expresión 18 convergen rapidamente cuando el coeficiente converge a cero. Cuando T → ∞ sea

st

k




Ejemplo:

1,2,3tνρuu

uβxy

t1tt

ttt

3

2

1

2

2

321

x

x

x

1

1

1

xxxT1

XX'T1




3

2

1

3212

32132

21

x

x

x

xxxxxxxxx

3

332312

23222113

212

21

xxxxx

xxxxxxxxxx

31132

3223211233

22

21

xxxx

xxxxxxxxxxx

T1




312

322123

22

21

xx

xxxx2xxx

T1

2x

1T2x

22x

2x 222

T1

'T1

Es una suma ponderada de la covarianza de las variables explicativas




La ponderación esta determinada por ρ

La convergencia esta definida como:

11

T1 2

x




ρ define las propiedades de la varianza de los estimadores por OLS

І ρ І < 1 se garantiza convergencia

Que pasa en los casos en que

І ρ І > 1

І ρ І = 1




La matriz converge a una matriz positiva

si І Ρ І < 1 por lo tanto se puede obtener una estimación por GLS

T'

donde

YX'XX'β 1-11-GLS

-1/2-1 PP'

11-2GLS XX'βVar




0000

010

001

0001 2

-1-1/2 P'P




10000

1

0001

00001

11

2

21

1-12

GLS TXX'

TβVar

La varianza de los estimadores GLS depende de la varianza de los regresores y de ρ




21/1

11βVarβVar

22GLS

OLS

Varianza Relativa

ρ = 0 Ambos estimadores son ineficientes

ρ = 1 La varianza de OLS crece más que la varianza de GLS




1-TT

23

12

12

1-TT

23

12

12

XX

XX

XX

X1

X*PX

YY

YY

YY

Y1

Y*PY

Así la transformación en las variables se define como

*YX*'*XX*'β 1-11-GLS




No tiene problemas de atucorrelación

ttt uβy x

t1-tt uu Si v

1-tt1-tt1-tt u-ux-xβy-y




Ejemplo:

t1-tt21-tt11-tt RF-RFβY-YβCP-CP

La corrección Durbin-Watson en 2 etapas es una estimación GLS




El problema es obtener una estimación de la matriz

Es necesario estimar el coeficiente de correlación

Una estimación de permite obtener estimadores FGLS

¿Cómo calcular ?




Opciones para estimar

1) Estimar ecuación

t1-tt uu v

tu Residuales OLS

(Durbin-Watson 2 etapas). Obtener OLS




2) Box-Pearce

Función de Autocorrelación

t

T

1t

2t

T

1rtr-tt

r

u

uu

ˆ




No incluye completamente la suma de los errores

3) Estimadores OLS modificado

t

T

2t

21-t

T

2t1-tt

u

uu~




Se asume que los errores siguen un proceso de media móvil de orden 1

4) Modelo MA(1)

1-tttu

donde θ es la estimación de ρ




5) Un proceso diferente es utilizar una estimación robusta

Lo cual implica:

• Obtener un estimador aproiado de la varianza de OLS

• Interporar la corrección de autocorrelación

11 XX'X~X'XX'βVar




White (1986) porpone un estimador de la varianza

Newey y West (1987) incorporar la corrección de autocorrelación

El problema es obtener un estimador de

'st

T

1t

T

1sst XX

T1




Se propone

OLS residuales u

ponderador 1L

-1)W(

uS donde

uu)W(T1

SS*

t

T

1tt

't

2t0

T

1t

T

1s-tt0

ll

l tltlttl




• El problema de autocorrelación genera estimadores ineficientes

• Se puede corregir por medio de FGLS si es posible un estimador de ρ

• FGLS implica una transformación de las variables

• Se puede obtener una estimación robusta por emdio de Newey-West




Problemas

• FGLS asume autocorrelación de primer orden y І Ρ І < 1

• ¿Qué sucede cuándo?

t2-t21-t1t uuu v

El proceso de autocorrelación es de orden dos o superior




• Es más complicado la especificación para GLS

• Newey-West propone una corrección semi-parámetrica

• Hendry propone como solución los modelos de especificación dinámica

• La teoría de series de tiempo asumen que las series son procesos estocásticos. Modelos AR, MA y ARIMA





Mtro. Horacio Catalán Alonso

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