DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD ACOPLADA A LA GEOMECÁNICA DE

YACIMIENTOS PETROLEROS

POR: BONIEK BERDUGO ALOMIA

A. ECUACIONES FUNDAMENTALES DEL MODELO DE FLUJO DE FLUIDOS

A.1. Ecuaciones de Conservación de Masa del Fluido

Figura A.1. Diferencial de volumen del sólido con flujo de fluidos.

A.1.1 Tomando un diferencial de volumen figura A.1 y realizando un balance de masa para

la fase agua (para modelar flujo monofásico de agua), se tiene:

ttttoagotamient

nacumulació

sumideros

fuentes

sale

masa

entra

masa

// (A-1)

trrSutZrSutZrSuentra

masawzwwwswwwrww

t

(A-2)

trrSuSutZrSuSu

tZrrSuSusale

masa

wzwwwzwwwswwwsww

wrwwwrww

t

(A-3)

tZrrqsumideros

fuentesv

t

~/ (A-4)

ZrrSSoagotamient

nacumulacióttwwttww

t

/

(A-5)

Reemplazando las ecuaciones (A-2) a (A-5) en (A-1) y eliminando términos semejantes,

despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y dividiendo entre

tZrr , se tiene:

tzr

zrSq

z

Su

r

Su

r

Su

r

Su

wwv

wZwwwSwwwrwwwrww

.~

(A-6)

Considerando que r , , Z y t tienden a cero y que ZrVb , tenemos:

bww

b

v

wZwwwswwwrww

VStV

q

Suz

Sur

Surrr

1

11

~ (A-7)

La expresión (A-7) es la ecuación de flujo de fluidos para la fase agua en un medio poroso

deformable y puede ser escrita de la siguiente manera:

bww

b

vwww VStV

qSu

1.

~

(A-8)

A.1.2 Realizando el mismo proceso desarrollado en el literal anterior, pero esta vez para la

fase petróleo (para modelar monofásico de petróleo), obtenemos:

trrSutZrSutZrSuentra

masaoZoooSoooroo

t

(A-9)

o ro o o ro o

t

o So o o So o

o Zo o o Zo o

masau S u S r r Z t

sale

u S u S r Z t

u S u S r r t

(A-10)

tZrrqsumideros

fuentesv

t

~/ (A-11)

tV

sumiderosfuentesMasaq

b

v

/~

ZrrSSoagotamient

nacumulacióttoottoo

t

/

(A-12)

Reemplazando las ecuaciones (A-9) a (A-12) en (A-1) y eliminando términos semejantes,

despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y dividiendo entre

tZrr , se tiene:

tzr

zrS

qz

Su

r

Su

r

Su

r

Su

oo

v

oZoooSoooroooroo

.

~

(A-13)

Considerando que r , , Z y t tienden a cero y que ZrVb , tenemos:

boo

b

vozooosoooroo VStV

qSuz

Sur

Surrr

111 ~

(A-14)

La expresión (A-14) es la ecuación de flujo de fluidos para la fase petróleo en un medio

poroso deformable y puede ser escrita de la siguiente manera:

vboo

b

ooo qVStV

Su~1

.

(A-15)

A.1.3 Para modelar el flujo de fluidos bifásico Petróleo-Agua, debemos sumar la ecuación

(A-8) con la ecuación que rige la conservación de masa para la fase petróleo (A-15)

llegándose a la expresión (A-16):

bwwoo

b

vwwwooo VSStV

qSuSu

1..

~

(A-16)

La ecuación (A-16) es la expresión para la conservación de masa de una mezcla bifásica de

fluidos en un medio poroso; es de notar que se tienen dos valores de saturación, pues el

medio esta siendo invadido por dos fases.

A.2. Ecuaciones de Conservación de Masa del Sólido

Figura A.2. Diferencial de volumen del sólido.

Tomando un diferencial de volumen figura A.2 y realizando un balance de masa para el

sólido, se tiene:

trrutZrutZruentra

masaZssSssrss

t

111 (A-17)

1 1

1 1

1 1

s rs s rs

t

s Ss s Ss

s Zs s Zs

masau u r r Z t

sale

u u r Z t

u u r r t

(A-18)

En las ecuaciones (A-17) y (A-18), se toma el término 1 para realizar el balance de

masa sobre el esqueleto sólido del yacimiento.

En el sistema del sólido sólo existe término de transferencia por fuentes o sumideros.

tZrrqsumideros

fuentess

t

~/ (A-19)

En la ecuación (A-36), sq es de la forma:

tV

sumiderosfuentessólidoMasaq

b

s

/~

El término de acumulación es de la forma:

/

1 1

1 1

s s s s s st t t t t t

t

s st t t

s st t t t

acumulaciónm m V V

agotamiento

r r Z r r Z

r r Z

(A-20)

Reemplazando las ecuaciones (A-17), (A-18), (A-19) y (A-20) en (A-1) y eliminando

términos semejantes, despreciando el producto de mayor orden entre diferenciales y

dividiendo entre tZrr , se tiene:

1 1 111

1

s rs s Ss s Zs

s rs

s s

u u uu ç

r r r Z

r Zq

r Z t

(A-21)

Considerando que r , , Z y t tienden a cero y que ZrVb , tenemos:

bs

b

sZssSssrss VtV

quZ

ur

urrr

1

1~111

11

(A-22)

La expresión (A-22) corresponde a la ecuación de conservación de masa del sólido y puede

ser escrita de la siguiente manera:

1

1 1s s s b s

b

u V qV t

(A-23)

En la ecuación (A-23), corresponde a la función divergencia. Para el caso de

coordenadas cilíndricas, se define como:

1 1r S Zrf f f

f i j kr r r Z

(A-24)

Donde es la densidad del sólido, es la porosidad, es la velocidad del sólido (x =

r, ). bV es el volumen total, t es el incremento de tiempo, sq es la tasa de producción

o inyección de sólidos.

A.3. Ley de Darcy

La ecuación de flujo planteada por Darcy se puede expresar como:

x rxl l x

t x

q k k P

A l

(A-25)

En la ecuación (A-25), xq representa el caudal de flujo, rxlk permeabilidad relativa del

fluido definida como xl

rxl

l

kk

k en la dirección l ( , ,l r z ), x viscosidad del fluido de

la fase x ( ), xP

l

es el gradiente de presión igual a

P

l

al suponer ; xlk es

la permeabilidad efectiva del medio a la fase x y lk es la permeabilidad absoluta del medio

poroso en dirección l .

La velocidad del fluido xu se define de la siguiente manera:

1x x

x

x t x t

V qVolumen de fluidou

S A t S AÁrea de flujo tiempo

(A-26)

De la ecuación (A-26) se tiene:

x

x x

t

qu S

A (A-27)

Igualando las ecuaciones (A-25) y (A-27) se tiene:

, ,rxl l x

x x

x

k k Pu S para l r z

l

(A-28)

Debido a la presencia de la fase sólida en movimiento, la velocidad del fluido debe ser

expresada en forma relativa a la velocidad del sólido. De esta forma la velocidad relativa

del fluido está definida como:

rx x su u u

(A-29)

Reemplazando la ecuación (A-29) en (A-28) se tiene:

, ,rxl l x

x x s lx

k k PS u u para l r z

l

(A-30)

De la ecuación (A-30) se obtienen las expresiones para cada una de las direcciones de

flujo tanto para el petróleo como para el agua.

Para el petróleo:

ror r

o or o sr

o

k k PS u S u

r

(A-31)

1ro

o o o s

o

k k PS u S u

r

(A-32)

roz z

o oz o sz

o

k k PS u S u

z

(A-33)

Para el agua:

(A-34)

(A-35)

(A-36)

A.4. Ecuación de Estado

A.4.1. Caso No Composicional (Black oil):

La compresibilidad se define como:

1 1x xx

x x x xT P

V Vc

V P V T

Debido a que se supone que la temperatura permanece constante:

1 xx

x x T

Vc

V P

Como xx

x

mV

y considerando que la masa mx permanece constante, la expresión anterior

queda de la siguiente manera:

1 xx

x x

cP

(A-37)

Por otro lado, la deformación volumétrica v , en coordenadas cilíndricas, se define

como:

uzzrrv . (A-38)

Por lo tanto tenemos que para la matriz:

Para la matriz:

(A-39)

Donde rr , y zz son las deformaciones normales en las direcciones r, è y z,

respectivamente. De las Ecuaciones A-38 y A-39 podemos concluir que:

dt

dV

Vdt

dv b

b

vs

1.

A.5. Ecuaciones gobernantes de flujo de fluidos

Las ecuaciones que representan el flujo de fluidos están dadas por las ecuaciones (A-31)-

(A-36). Al reemplazarlas en la ecuación (A-16) obtenemos:

vbwwoo

b

w

w

zrwzszww

w

w

rwsww

w

w

rrwrsrww

o

o

zrozszoo

o

o

rosoo

o

o

rrorsroo

qVSStVz

PkkuS

z

P

r

kkuS

rr

PkkuSr

rrz

PkkuS

z

P

r

kkuS

rr

PkkuSr

rr

~

2

2

1

111

111

(A-41)

Despejando se tiene:

vbwwoo

b

szww

swwsrwwszoosoosroo

w

w

zzrw

w

w

rwww

w

rrwrw

o

o

zrozo

o

o

rooo

o

rroro

qVSStV

uSz

uSr

uSrrr

uSz

uSr

uSrrr

z

Pkwk

z

Pkk

rrr

Pkkr

rr

z

Pkk

z

Pkk

rrr

Pkkr

rr

~

22

2

2

1

1111

11

11

(A-42)

Desarrollando los seis primeros términos del lado derecho de la ecuación (A-42):

s

sroooosrsroo ur

SSrr

ur

uSrrr

11

(A-43)

soooossoo uS

rSu

ruS

r 222

111 (A-44)

szooooszszoo uz

SSz

uuSz

(A-45)

srwwwwsrsrww ur

SSrr

ur

uSrrr

11

(A-46)

swwwwssww uS

rSu

ruS

r 222

111 (A-47)

szwwwwszszww uz

SSz

uuSz

(A-48)

Suponiendo que no hay producción de sólidos, es decir el yacimiento se deforma, pero se

mantiene en estado estacionario, la velocidad del sólido es despreciable comparada con la

velocidad del fluido. Por tal motivo el primer término del lado derecho en las ecuaciones

(A-43) a (A-48) se aproxima a cero, por lo que se obtiene que:

s

sroosroo ur

SuSrrr

1

(A-49)

soosoo uS

ruS

r 22

11 (A-50)

szooszoo uz

SuSz

(A-51)

srwwsrww ur

SuSrrr

1

(A-52)

swwsww uS

ruS

r 22

11 (A-53)

szwwszww uz

SuSz

(A-54)

Con el fin de simplificar trabajaremos las ecuaciones de la (A-49) a (A-54) de la siguiente

forma:

soooso uSSu (A-55)

sgggsg uSSu (A-56)

Para encontrar la expresión del término su

, se expande el lado izquierdo de la

ecuación (A-23):

1

1 1 1s s s s s b s

b

u u V qV t

(A-57)

Se despeja el término su

y se desarrolla la derivada del término de la acumulación:

s

b

s

b

sss

s

s qt

V

Vu

tu ~1

111

1

1

(A-58)

La derivada material respecto a un sólido en movimiento se define como:

su

tdt

d (A-59)

Se reemplaza (A-59) en (A-58):

1

~1

1

1

1

s

sbs

bs

s

qV

dt

d

Vu

(A-60)

Considerando que la masa del sólido permanece constante y que b

p

V

V , spb VVV y

s

ss

V

m , tenemos:

1

~1

1

1

1

s

s

b

b

p

s

s

b

b

p

s

s

s

qV

V

V

V

m

dt

d

V

V

V

V

mu

(A-61)

Así:

1

~

s

ss

qu

(A-62)

Se considera que no hay producción de sólidos, es decir 0~ sq . La ecuación (A-62) queda:

0 su

(A-63)

De esta manera, las expresiones (A-55) a (A-56) son de la forma:

0 oso Su

(A-64)

0 gsg Su

(A-65)

Se reemplazan las ecuaciones (A-64) y (A-65) en (A-42) y se tiene para flujo Bifásico

petróleo-agua:

vbwwoo

b

w

w

wrwzw

w

w

rwww

w

rrwrw

o

o

zrozo

o

o

rooo

o

rroro

qVSStV

z

Pkk

z

Pkk

rrr

Pkkr

rr

z

Pkk

z

Pkk

rrr

Pkkr

rr

~

2

2

1

11

11

(A-66)

De la expresión (A-66) podemos obtener las ecuaciones para flujo Monofásico así:

De Petróleo:

vbo

b

o

o

zrozo

o

o

rooo

o

rroro qV

tVz

Pkk

z

Pkk

rrr

Pkkr

rr

~

2

111

(A-67)

De Agua:

vbw

b

w

w

zrwzw

w

w

rwww

w

rrwrw qV

tVz

Pkk

z

Pkk

rrr

Pkkr

rr

~

2

111

(A-68)

A.6. Ecuación de Zimmerman para el acople Geomecánico

Inicialmente realizaremos el acople geomecánico para flujo bifásico ya que a partir de este

podemos deducir las ecuaciones finales tanto para monofásico de agua como de petróleo

fácilmente. De esta manera tomaremos el primer término del lado derecho de la ecuación

(A-66) y derivándolo obtenemos:

wwoo

bwwoo

b

wwoob

b

SSt

Vt

SSV

SSVtV

1

(A-69)

wwwwoooo

bwwoo

b

wwoob

b

tSS

ttSS

t

Vt

SSV

SSVtV

1

(A-70)

Considerando que tt

Pc

ff

ff

, donde fc es la compresibilidad de un fluido, la

ecuación (A-70) adquiere la siguiente forma:

wwwwwwoooooo

bwwoo

b

wwoob

b

Pt

cSSt

Pt

cSSt

Vt

SSV

SSVtV

1

(A-71)

Reorganizando obtenemos:

wwwwwooooo

bwwoo

b

wwoob

b

Pt

cSSt

Pt

cSSt

Vt

SSV

SSVtV

1

(A-72)

Dado que es necesario tener en cuenta el estado de esfuerzo del yacimiento, utilizaremos la

expresión deducida con base en la compresibilidad de medios porosos de Zimmerman et al

(1986), Ecuación (A-154).

bc

vrbcrbc

b

b cdt

dcc

dt

dPcc

dt

dV

V

1

11 (A-73)

Para acoplar el flujo de fluidos con la deformación geomecánica del yacimiento

reemplazaremos la ecuación (A-73) en la (A-72) obteniéndose:

wwwww

ooooo

bc

vrbcrbc

wwoowwoob

b

Pt

cSSt

Pt

cSStcdt

dcc

dt

dPcc

SSSSVtV

11

*1

(A-74)

wwwww

ooooo

bc

vrbcrbc

wwoowwoob

b

Pt

cSSt

Pt

cSStcdt

dcc

dt

dPcc

SSSSVtV

1

*1

(A-75)

De esta manera la ecuación de flujo de fluidos acoplada a deformación geomecánica para

flujo Bifásico petróleo-agua es:

wwwwwooooo

bc

v

rbcrbcwwoo

v

w

w

zrwz

w

w

w

rwww

w

rrwr

w

o

o

zroz

o

o

o

rooo

o

rror

o

Pt

cSSt

Pt

cSSt

cdt

dcc

dt

dPccSS

qz

Pkk

z

Pkk

rrr

Pkkr

rr

z

Pkk

z

Pkk

rrr

Pkkr

rr

1

11

11

~

2

2

(A-76)

Como ya se dijo a partir de la ecuación (A-76) podemos obtener las expresiones para flujo

Monofásico:

De petróleo:

ooooo

bc

v

rbcrbcoovo

o

o

zroz

o

o

o

rooo

o

rror

o

Pt

cSSt

cdt

dcc

dt

dPccSq

z

Pkk

z

Pkk

rrr

Pkkr

rr

1

11

~

2

(A-77)

De agua:

wwwww

bc

v

rbcrbcwwvw

w

w

zrwzw

w

w

rwww

w

rrwrw

Pt

cSSt

cdt

dcc

dt

dPccSq

z

Pkk

z

Pkk

rrr

Pkkr

rr

)(

1

11

~

2

(A-78)

A.7. Ecuaciones de Equilibrio.

A continuación se presentan las ecuaciones de equilibrio en las direcciones radial,

tangencial y vertical.

Para la dirección radial:

0 0 00 01 1

0r r r rr zr r zr

r r z r r r z r

(A.79)

Para la dirección tangencial2:

0 0 0 02 21 10r z r r z r

r r z r r r z r

(A.80)

Para la dirección vertical:

00 0 01 1

0z zz rz rz z rz rz

z r r r z r r r

(A.81)

Donde i , , ,i r z representa el esfuerzo total en las direcciones radial, tangencial y

vertical, respectivamente. ji , , , ,i r z y , ,j r z representa los correspondientes

esfuerzos de cizalladura.

Ecuaciones de Deformación-Desplazamiento.

El vector desplazamiento u , se define como el vector distancia desde la posición inicial

a la final del mismo. Al momento de definir la deformación , en el caso de los

esfuerzos, se trabaja con deformación normal y de cizalladura, siendo la primera el

cambio unitario (cambio en distancia por unidad de longitud) en la distancia entre dos

puntos, mientras la segunda es el cambio en el ángulo, originalmente recto, entre dos

ejes coordenados del sistema.

r

urr

ru

u

r

1

z

u zz

r

u

r

u

r

u

2

1 rr

r

u

z

u

2

1 zrrz

zz

u

r

1

z

u

2

1

NOMENCLATURA

c Compresibilidad.

bcc Compresibilidad total efectiva.

C Stencil que representa el bloque de referencia (central). Factor de forma.

k Permeabilidad relativa.

K Permeabilidad absoluta.

l Longitud característica.

P Presión del fluido.

CP Presión capilar.

vq Flujo másico de fluidos por fuentes y sumideros por unidad de volumen.

sq Flujo másico de sólidos por fuentes y sumideros por unidad de volumen.

vQ Flujo másico de fluidos por fuentes y sumideros.

r Radio. Dirección radial.

t Tiempo.

u Desplazamiento.

su Desplazamiento del sólido.

su Vector desplazamiento del sólido.

V Volumen.

Z Dirección vertical.

Derivada parcial.

Incremento (decremento).

Viscosidad.

Porosidad.

Densidad.

Esfuerzo.

Esfuerzo efectivo.

Dirección tangencial.

Divergencia.

Gradiente.

Subíndices:

w Agua.

, ,i j k Posición en los ejes coordenados , ,r Z respectivamente.

o Petróleo.

p Poroso.

r Dirección radial. Propiedad relativa. Irreducible.

s Sólido.

S Dirección tangencial.

x Petróleo o agua.

Z Dirección vertical.

Superíndices:

0 Valor de referencia o inicial.

Promedio.