Ecuación de Onda Transversal

Elaborado por M. Sc. Josué Pérez

Superposición e Interferencia de Ondas

Interferencia:

Es el resultado matemático cuando dos pulsos se encuentran.

Superposición:

Consiste en que después de chocar los dos pulsos cada uno sigue su propio

camino y cada uno conserva su propia forma.

El principio de superposición:

Este nos indica que cuando dos o más ondas se mueven en el mismo medio

lineal, el desplazamiento neto del medio en cualquier punto es igual a la suma algebraica de

los desplazamientos causados por todas las ondas.


Reflexión de onda: Una onda al encontrarse con un obstáculo que no le permite pasar se

refleja. Si no hay pérdida de energía la onda incidente es igual a la reflejada.

Ecuación de Onda Transversal

Si en la coordenadas (x,y), y se encuentra dada por la función

, al

tenemos que , sustituyendo encontramos que

Donde

, número de ondas angular

Las ecuación con corrimiento horizontal se definen como

, está ecuación depende de la posición “x” y tiempo “t”.

Onda Incidente

Onda reflejada

A


se obtiene con la ecuación de corrimiento horizontal en “x” si se determina por

, para la ecuación en función de la posición.

se obtiene con la ecuación de corrimiento horizontal en “x” si se determina por

, para la ecuación en función de la posición.

Valor

de Ecuación Valor

de

Cómo

va la

gráfica

respecto

a la

original

Gráfica

Positivo

Positivo Atrás

Positivo

Negativo Atrás

Negativo

Negativo Delante

Negativo

Positivo Delante

En la primera gráfica el punto que corresponde a y=1 es cuando x=-1.57, en la segunda

gráfica el punto que corresponde a y=1 es cuando x=4.8, uno está x detrás y el otro está x

delante.


Superposición Matemáticamente hablando

Caso en que las dos ondas tienen la misma A, k, y ω:

Suponga dos ondas que viajan hacia la derecha, y tienen diferente fase.

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

sin sin

sin sin

sin sin

r

r

r

y A kx t y A kx t

y y y

y A kx t A kx t

y A kx t kx t

Utilizando la identidad trigonométrica

1 2

sin 2sin cos2 2

sen

kx t kx t

Sustituyendo obtenemos

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

sin sin

2 sin cos2 2

2 sin cos2 2

2 sin2

r

r

r

r

y A kx t kx t

kx t kx t kx t kx ty A

kx t kx t kx t kx ty A

kx kx t ty A

1 2cos

2

kx kx t t

1 2 1 2

1 2 1 2

2 22 sin cos

2 2

2 sin cos2 2

r

r

kx ty A

y A kx t

1 2 2 12 sin cos2 2

ry A kx t

2 sin cos2

2 sin cos2

2 cos sin2

r

r

r

y A kx t

y A kx t

y A kx t


= Diferencia de fase.

1 2

2

=Promedio de las constantes de fase

2 cos2

A

=Amplitud de la onda resultante

Ejemplo

Calcule la onda resultante si

1 23.5 sin 2 3 3.5 sin 2 33 4

rad rady m m x t y m m x ts s

Ondas estacionarias

Si suponemos dos ondas que viajan en direcciones contrarias y se superponen. Observamos el

siguiente comportamiento:

0t 4

Tt

2

Tt

3

4

Tt t T

Unas características que surgen de esta superposición son:

1) En la cuerda hay algunos puntos denominados nodos, donde el desplazamiento es cero en

todo momento.

2) Entre los nodos se encuentran antinodos don el desplazamiento oscila con la máxima

amplitud.

Onda Estacionaria:

Se llama onda estacionaria, a un patrón de nodos y antinodos. Su ecuación es

2 sin cosry A kx t


Ondas estacionarias en Cuerdas

Supongamos una cuerda de longitud L que está sujeta por ambos extremos. Una onda

estacionaria se establece con un nodo en ambos extremos y un antinodo en la mitad. En

una onda estacionaria en una cuerda, se producen distintos patrones de vibración. Estos

patrones de vibración se llaman modos de vibración.

¿Por qué 1

2L ? Primero recordemos que

es una longitud de onda: una longitud de

onda es la distancia que hay una cresta y

otra. Es la separación que existe entre dos

puntos que se comportan de manera similar

simultáneamente. Es decir que de un tren de

ondas periódicas es la distancia entre dos

partículas cualesquiera que estén en fase.

Ahora si observamos el dibujo del primer

modo natural vemos la siguiente situación:

Primer Modo de Vibración

A la frecuencia f1 también se le llama frecuencia fundamental.

n=0

n=1

12

2L L

1 1 1

1

2 2

v v Fv f f f f

L L

L

λ


Segundo Modo de Vibración y Primer Sobre tono

Tercer Modo de Vibración o Segundo Sobre tono

En general tenemos entonces que

2

2

nn

n LL

n

2 2n n n

n

v v n Fv f f f f

L L

n

1nf nf , donde n es la cantidad de antinodos.

n=2

L

2 2 2

1v v Fv f f f f

L L

n=3

3 2

2 3L L

3 3 3

3

2 2

3

v v Fv f f f f

LL


Ejemplo

Una cuerda de piano mide 1.10 m de longitud y tiene una masa de 9.00 g (a) ¿A qué tensión

debe someterse la cuerda si se desea que vibre a una frecuencia fundamental de 131 Hz? (b)

¿Cuáles son las frecuencias de los primeros cuatro armónicos?

Datos:

L=1.10 m

m= 9.00 g= 0.009 kg

f1= 131 Hz

¿Qué buscamos?

Fuerza y frecuencias primeros 4 armónicos

Ecuaciones

Desarrollo

Primero encontramos la densidad línea

Calculamos la longitud de onda

Se puede calcular la velocidad

Como

Para el inciso “b”

Respuesta:

(a) La fuerza que se aplica a la cuerda es de 679.42 N. (b) el segundo armónico tiene

una frecuencia de 262 Hz, el tercero de 393 Hz y el cuarto de 524 Hz.


Ondas Sonoras en Tubos

Cuando el tubo es finito y de longitud L. El extremo está abierto a la atmosfera.

Se produce un patrón de resonancia dentro del tubo, tenemos una oda estacionaria

Nuevamente se repite la situación que observamos en la onda estacionaria en una cuerda donde

L=λ/2

Modos Naturales de las Ondas Estacionarias



L

λ

n=1

12

2L L

1 1 1

1

2 2

v v Fv f f f f

L L


Segundo Modo de Vibración y Primer Sobre tono


En general tenemos

entonces que

2

2

nn

n LL

n

2

2

n

n

n

n

vv f f

vf

L

n

n Ff

L

1nf nf

n=2

L

2 2 2

1v v Fv f f f f

L L

n=3

3 2

2 3L L

3 3 3

3

2 2

3

v v Fv f f f f

LL


Caso en que el tubo está cerrado a la superficie

Primero observemos el siguiente dibujo

En el podemos observar como la longitud del

tubo representa un cuarto de la longitud de onda.

Es por ese motivo que L=1/4λ




Quinto Modo de Vibración o Segundo Sobre tono

λ

L

L

n=1

14

4L L

1 1 1

1

4 4

v v Fv f f f f

L L

n=3

3 4

4 3L L

3 3 3

3

4 4

3

v v Fv f f f f

LL

n=5

5 4

4 5L L

5 5 5

5

4 4

5

v v Fv f f f f

LL


En general tenemos

entonces que

4

4

nn

nL

n

4

4

n

n

n

n

vv f f

vf

L

n

n Ff

L

Para n= 1, 3, 5, 7, …

Porque no tenemos los números impares, sabemos que cuando una onda choca contra una pared en

el punto de contacto tendremos siempre un nodo, entonces siempre en la parte sellada del tubo

tendremos que dibujar un nodo. Observemos como se va haciendo en la figura siguiente:

Dibujemos n=1

n=1

Si tratamos de dibujar n=2 obtenemos lo siguiente

Observemos que en este caso no termina en nodo sino

antinodo, y esto contradice lo que veníamos planteando que

en el punto de contacto debe haber un nodo

Ahora dibujemos n=3 Ahora dibujemos n= 4


Esto concluimos que los pares no podemos dibujarlos ya que no cumplen con lo definido antes, que

cuando un onda toca un punto de contacto en una pared en ese punto debe de haber siempre un

nodo y no un antinodo. En todos los caso la longitud del tubo es la misma, únicamente hicimos un

acercamiento a la imagen.

Rapidez en Ondas longitudinales

Si viaja la onda en una barra larga y solida la velocidad es igual a

Si viaja en un liquido o un gas la velocidad es igual a

Ejemplo:

La ecolocalización es una forma de percepción sensorial utilizada por los aniamles como

los murciélagos, las ballenas y las mariposas. El animal emite un pulso sonoro (de una

onda longitudinal) que choca contra los objetos y cuyo reflejo es detectado por el animal.

Las ondas de ecolocalización emitidas por las ballenas tiene una frecuencia cercanas a los

200,000 Hz. (a) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda de ecolocalización de la ballena?

(b) si un obstáculo está a 100 m de la ballena. ¿Cuánto tiempo después de que esta emite

una onda podrá detectar su reflejo? Considere el módulo volumétrico de 2.0 x109 N/m

2 y la

densidad de 1.025x103 kg/m

3.

Datos:

B=2.0 x109 N/m

2 ρ=1.025x10

3 kg/m

3 f= 200,000 Hz x=100 m

Ecuaciones

Desarrollo

Primero se determina la velocidad en el agua usando la ecuación para la misma

Se multiplica por dos ya que va y viene el sonido.

Respuesta

La longitud de onda es de 7.00 mm y el tiempo es de 0.41s.


Energía Transportada por las ondas

La energía transportada por las ondas es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Intensidad: se define como la potencia transportada a través de una unidad de área

perpendicular a la dirección del flujo de energía.

Intensidad en onda esférica

En el caso de una onda esférica que se transmite desde una

fuente puntual en el espacio libre (sin obstáculos), cada frente

de onda es una esfera de radio r. En este caso, la intensidad

Acústica es inversamente proporcional al área del frente de

onda (A), que a su vez es directamente proporcional cuadrado

de la distancia a la fuente sonora. Y queda dado por

Dos intensidades a diferentes distancias desde una fuente de

potencia constante se encuentran relacionadas por

Energía:

La energía queda definida por

Ejemplo:

La intensidad de una onda P de terremoto que viaja a través de la tierra y se detecta a 100

km de la fuente es de 1.0x106 W/m

2. ¿Cuál es la intensidad de esta onda si se detecta a 400

km de la fuente?

Datos

r1=100 km I1=1.0x106 W/m

2 r2=400 km

Ecuaciones

Desarrollo

Respuesta

La intensidad es de 6.3x104 W/m

2


Las ondas con las mismas frecuencias y velocidad viajan a lo largo de dos cuerdas

idénticas. La potencia transmitida hacia abajo en la cuerda una es de 0.30 mW. Si las

ondas en la cuerda dos tienen una amplitud es 1.6 veces mayor de la de las ondas de la

primera cuerda, ¿Cuánta potencia se transmite a lo largo de la cuerda dos?

Datos

P=0.30 mW

Ecuaciones

Desarrollo

Se pueden escribir las potencias usando la relación de intensidad.

Respuesta

La potencia es de 0.77 mW.

Un altoparlante en un poste levantado en un campo de pasto alto genera un sonido de alta

frecuencia de una intensidad de 1.0x10-5

W/m2 a la posición de los oídos de una persona

que está ubicada a 8.0 m directamente abajo. Si la persona camina alejándose del pose de

modo que esté a 24m del altoparlante, ¿cuál es la intensidad del sonido en la nueva posición

de sus oídos?

Datos:

I1= 1.0x10-5

W/m2

r1=8 m r2= 24 m

Ecuaciones

Desarrollo

Respuesta

La intensidad es de 1.1x10-4

W/m2

Una bocina considerada una fuente puntual se encuentra en el centro de un parque. Un

observador se encuentra a una cierta distancia de la bocina, y detecta el sonido con una

intensidad de 5 mW/m2. Se aleja 6 m y la intensidad del sonido se percibe 3mW/m

2.

Calcule la potencia de la bocina.

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Ecuación de Onda Transversal