Ecuación paramétrica

5/14/2018 Ecuaci n param trica - slidepdf.com

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Ecuación paramétrica

Un ejemplo de una curva definida por ecuaciones paramétricas es la curva mariposa.

En la matemática, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curva o

superficie en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una

constante, llamados parámetros, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos

valores se desprendan los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un

móvil.

Descripción

En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se

utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables

independientes, mientras que la restante es la Variable dependiente, con el valor de lamisma siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus

parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera ( x, y) equivale a laexpresión ( x, f ( x)).

Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de X en Y,es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor correspondiente en Y. No

todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se

tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, endonde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto X como Y son considerados variables

dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica)

conocida como parámetro.

Ejemplo

Dada la ecuación Y = X 2, una parametrización tendrá la forma

http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_mariposa



http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica



http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independiente



http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_dependiente



http://es.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1tica



http://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3n



http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad










http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Butterfly_trans01.png


















Una parametrización posible sería

Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una endonde "X" y "Y" equivaliesen a 2U y 4U

2sería igualmente válida. La diferencia sería que,

para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería

diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la

primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1

Curvas notorias

Circunferencia

Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que X

2

+ Y

2

=r

2

Una expresión paramétrica es

Elipse

Una elipse con centro en el origen de coordenadas y que se interseque con el eje X en a y -

a, y con el eje Y en b y -b, verifica que

Una expresión paramétrica es

Representación paramétrica de una curva

La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n

funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-

dimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma

, donde ei representa la i-ésima coordenada del puntogenerado al asignar valores del intervalo [a, b] a t . Por ejemplo, para representar una curva

en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia



http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse







Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto le

corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t

= a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.

Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto

ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en esepunto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente depuntos ordinarios se denomina suave.

Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial

, donde êi representa al

vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima. Por ejemplo, las funciones

paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t , y = sen t .

Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma

.

Representación gráfica de curvas y superficiesLos objetivos de esta práctica son:

Representar gráficamente curvas planas descritas en forma paramétrica, implícita o polar.

Representar gráficamente superficies en R3 dadas en forma paramétrica, implícita o encoordenadas cilíndricas o esféricas.

Representar gráficamente superficies de revolución en R3.

1. Curvas planasCurvas dadas en forma explícita

Entendemos por esto la gráfica de una función real de una variable. Aunque no vamos aprecisar más, se suele imponer alguna condición a la función para llamar curva a su gráfica;

por ejemplo, que sea continua, o que sea derivable o derivable a trozos, o que sea derivablehasta cierto orden prefijado. En las prácticas anteriores ya hemos visto cómo se representa

una

gráfica con las órdenes plot y display, y conocemos diversas opciones que nos

permiten

afinar la presentación, como color, thickness, discont, scaling,... Algunas de

estas

órdenes, en particular display, necesitan cargar antes el paquete plots. Veamos un

ejemplo:

> restart:with(plots):Warning, the name changecoords has been redefined

> f:=x->(x^2+2)/(x-3);

f := x x2 2 x 3> curva:=plot(f(x),x=-15..25,y=-10..30,color=red,thickness=3,di

http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_suave






scont=true):> asint1:=plot(x+3,x=-15..-5,color=blue,thickness=2):> asint2:=plot(x+3,x=5..25,color=black,thickness=2):> display(curva,asint1,asint2,scaling=constrained);

Curvas en forma paramétricaUna curva puede indicarse también en forma paramétrica, es decir, describiendo los puntos

(x,y) de la curva mediante dos funciones: x = f(t), y=g(t). La variable t se suele llamar elparámetro de la curva. Por ejemplo, la circunferencia centrada en el origen y de radio 1 se

puede describir mediante x cos(t ), y sen(t ) , donde t recorre el intervalo [0, 2 ] . En

Maple pueden representarse curvas en forma paramétrica:> restart;> plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]);



No parece una circunferencia, sino más bien una elipse. Eso es porque la escala no es lamisma en los dos ejes y la figura aparece distorsionada. Realmente, lo que se ve es una

elipse.

Podemos pedir que la escala sea la misma con la orden scaling=constrained . Otras

opciones que ya hemos visto también funcionan aquí.>

plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],scaling=constrained,color=blue,thickness=2);



Cualquier curva dada en forma explícita, es decir, como y f( x), también se puede escribir

trivialmente en forma paramétrica, como x t , y f(t ). Veamos la curva y x2 2 x 3del

apartado anterior. Observamos de paso que también aquí se puede usar la opción

discont=true.> plot([t,(t^2+2)/(t-3),t=-15..25],view=[-15..25,-10..30],scaling=constrained,discont=true);



También puede representarse más de una curva a la vez. Naturalmente, el parámetro no

tienepor qué llamarse t . En este ejemplo se llama u en ambas gráficas, pero puede tener

cualquier

otro nombre (incluidos x e y), y también puede tener diferente nombre en cada curva. Así mismo, los parámetros pueden recorrer intervalos distintos en cada curva.> plot([[cos(u),sin(u),u=0..2*Pi],[2*cos(u),sin(u),u=-Pi..Pi]],scaling=constrained,color=[red,blue]);



También se puede usar la orden display. Seguramente, es aún más recomendable usarla

en

este caso, para que las órdenes queden más claras. Para usar esta orden hay que cargar el

paquete plots.> circunferencia:=plot([cos(u),sin(u),u=0..2*Pi],color=red):> elipse:=plot([2*cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],color=blue):> recta:=plot((x+1)/2,x=-2..2,color=black):> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> display(circunferencia,elipse,recta);



Podemos añadir opciones para cambiar el aspecto de la gráfica. Por ejemplo:> display(circunferencia,elipse,recta,view=[-2..2,-1..1],scalin

g=constrained,tickmarks=[5,3]);



Curvas en forma implícitaOtra forma de indicar una curva plana es como las soluciones de una ecuación en dos

variables: f( x, y) 0. Por ejemplo, la circunferencia centrada en el origen y de radio 1 se

puede indicar como x2 y2 1. Esta manera de describir una curva se llama en formaimplícita. Y aunque no podemos entrar aquí en detalles, hay que destacar que no todas las

ecuaciones de este tipo definen lo que podemos entender por curva. En Maple se pueden

representar los puntos ( x, y) que cumplen la ecuación f( x, y) 0, mediante la orden

implicitplot, que pertenece al paquete plots. Veamos un ejemplo:> restart:with(plots):Warning, the name changecoords has been redefined

> implicitplot(x^2+y^2=1,x=-2..2,y=-2..2);



También se pueden añadir la mayoría de las opciones que ya conocemos.> implicitplot(x^2+y^2=1,x=-2..2,y=-2..2,scaling=constrained,co

lor=blue,thickness=3);



Otro ejemplo, en el que mezclamos una curva en forma explícita, otra en forma paramétrica

yuna tercera en forma implícita. Aquí es inevitable usar la orden display:> explicita:=plot(1-x^2,x=-2..2,color=red,thickness=2):

parametrica:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],color=blue,thickness=3):implicita:=implicitplot(x^2/4+y^2=1,x=-2..2,y=-2..3,color=black,thickness=2):> display(explicita,parametrica,implicita,scaling=constrained,view=[-2..2,-1..1],tickmarks=[5,3]);



Curvas en forma polarOtra forma habitual de describir una curva (o, en general, un subconjunto de R2), es enforma

polar. En este caso, no se indican las coordenadas ( x, y) de los puntos, sino su módulo yun

argumento . Naturalmente, x, y, , están relacionadas mediante x cos( ) , y sen( ). O, en sentido contrario, x2 y2 , y fórmulas adecuadas para .Una forma cómoda de representar curvas dadas en forma polar es usar estas relaciones. Por

ejemplo, la curva dada en forma polar mediante 1 cos( ) :como x2 y2 y cos( ) x

, la ecuación en forma polar equivale a la forma implícita

x2 y2 1 x

x2 y2.> restart:with(plots):Warning, the name changecoords has been redefined

> implicitplot(sqrt(x^2+y^2)=1-x/sqrt(x^2+y^2),x=-3..3,y=-3..3,scaling=constrained);



Pero la orden implicitplot tiene también una opción específica que indica que la

ecuación es la forma polar de la curva que se quiere representar. Es la opción

coords=polar. La gráfica saldrá probablemente más fiel si la hacemos de esta manera.> implicitplot(r=1-cos(theta),r=0..2,theta=0..2*Pi,coords=polar,scaling=constrained);



Otro ejemplo: la espiral . Como curiosidad, añadimos la opción grid , que permite

fijarla finura con que Maple hace las gráficas. Indica la resolución (en horizontal y en vertical)

con

que Maple hace la gráfica. Cuidado: cuantos más resolución se pida, más tiempo tarda

Maple

en calcular la gráfica. El valor por defecto es grid=[25,25], y en general es suficiente.

> implicitplot(r=theta,r=0..40,theta=0..6*Pi+Pi/4,coords=polar,scaling=constrained,grid=[100,100]);



2. Superficies en R3

Superficies en forma explícita

Así como y f( x) es la forma explícita de describir una curva plana, una superficie en R3 en

forma explícita es la gráfica de una función real de dos variables, es decir, z f( x, y). Lo

mismo que con las curvas, en general se imponen condiciones (por ejemplo, decontinuidad) a

la función f , que ahora no vamos a tratar. Veamos un ejemplo:> restart:> f:=(x,y)->x^2+y^2;

f := ( x, y) x2 y2

La gráfica de esta función es un subconjunto de R3. La representamos mediante la orden

plot3d :> plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2);



Lo mismo que plot, esta orden admite muchas opciones. No vamos a examinarlas con

detalle. Pero con las gráficas en R3 tenemos otra manera de modificarlas muy interesante:

con

el ratón, situamos el cursor sobre la gráfica, picamos y, sin soltarlo, lo movemos encualquier

dirección. También, una vez que hemos picado sobre la gráfica, podemos modificar su

aspecto

con los botones del menú.

Superficies en forma paramétrica

Son superficies cuyos puntos ( x, y, z) vienen dados en la forma x f(t , u) , y g(t ,u) ,

z h(t ,u) . Se representan de forma parecida a las curvas planas, aunque los corchetes secolocan de distinta manera. En el ejemplo siguiente, f(t , u) t , g(t ,u) u t ,h(t ,u) t 2 3 u2 8

sen

t 2 u2

4

.> plot3d([t,u-t,t^2+3*u^2+8*sin((t^2+u^2)/4)],t=-4..10,u=-6..6);



Superficies en forma implícitaSon superficies cuyos puntos ( x, y, z) son las soluciones de una ecuación de la forma

f( x, y, z) 0. Como en el caso de las curvas, hay que imponer ciertas condiciones a la

función

f para que se trate de lo que entendemos por una superficie. Pero no entraremos aquí en

detalles. En Maple se representan mediante la orden implicitplot3d . Esta orden

pertenece al paquete plots.> restart:with(plots):Warning, the name changecoords has been redefined

Por ejemplo, representemos el elipsoide de ecuación 2 x2 3 y2 4 z2 8.> implicitplot3d(2*x^2+3*y^2+4*z^2=8,x=-2..2,y=-1.7..1.7,z=-

1.5..1.5);

Si en la orden anterior variamos el rango de las variables x , y , z , la superficie es la misma(o



un trozo de ella) pero la resolución con que se dibuja puede variar un poco.

Superficies en coordenadas cilíndricasDe manera análoga a lo que sucede en el plano, en R3 cada punto ( x, y, z) se puederepresentar

de la siguiente manera: x cos( ) , y cos( ) , z . Aquí, x2 y2 es la distancia

del punto al eje z. Esta manera se denomina coordenadas cilindrícas. A continuaciónrepresentamos la superficie z 2, con en el intervalo [0, 3] y en el intervalo

,3 4

3 4

. Es un trozo de paraboloide.> restart:with(plots):Warning, the name changecoords has been redefined

> implicitplot3d(rho^2=z,rho=0..3,theta=-3*Pi/4..3*Pi/4,z=0..9,coords=cylindrical,grid=[15,15,15]);

Superficies en coordenadas esféricasCada punto de R3 se puede escribir como ( x, y, z) , donde x cos( )sin( ) , y sin( )sin( ) , z cos( ) . Esta manera se llama en coordenadas esféricas. Aquí, es

la distancia al origen y se puede encontrar un en el intervalo [0, ] y un en el intervalo

[ , ] . Cambiando grados por radianes, viene a tener el mismo papel que la latitud deun

punto en una esfera (solo que se toma latitud 0 en el polo norte y latitud en el polo sur), y



tiene el papel de la longitud.> restart:with(plots):Warning, the name changecoords has been redefined

> implicitplot3d(rho=sin(phi)*2^(theta/2),theta=-2*Pi..2*Pi,phi=0..Pi,rho=0..5,coords=spherical);

Superficies de revolución En torno al eje de ordenadas

> restart:with(plots):Warning, the name changecoords has been redefined

Consideremos una curva plana f : A ---> R. Por ejemplo,> f:=x->136*x^3/375-78*x^2/25+107*x/15;

plot(f(x),x=0..5,y=0..5.1,scaling=constrained);

f := x 136

375

x3 78



25

x2 107

15

x

Si imaginamos que la figura gira alrededor del eje de ordenadas (vertical), la curva da

lugar a una superficie, que se denomina de revolución (en torno al eje y). Representemosla curva en R3 antes de girar:> spacecurve([0,y,f(y)],y=0..5,scaling=constrained,axes=norm al,color=red,orientation=[15,60]);

Ob

servemos que hay un cambio de notación, ya que el eje vertical es ahora el eje z, lacurva está en el plano zy, y el giro va a ser en torno al eje z. Con este cambio de notación,

la curva tiene la ecuación z = f(y), x=0. Es decir, los puntos de la curva son de la forma (0,

y, f(y)). Además, y pertenece al conjunto A; en nuestro ejemplo, al intervalo [0,5].

Un punto (0, r , f(r )) , al girar, recorre los puntos de la forma ( x, y, z), donde x2 y2 r 2 ,

z f(r ) . Dicho de otra forma, la ecuación de la superficie es z f( x2 y2) . Además,

hay que imponer que x2 y2 pertenezca al conjunto A; en nuestro ejemplo, al intervalo[0,5].> plot3d(f(sqrt(x^2+y^2)),x=-5..5,y=-sqrt(25-x^2)..sqrt(25-x^2),view=[-5..5,-5..5,0..5.1],scaling=constrained);



También se puede representar la superficie en coordenadas cilíndricas; en este caso, las

ecuaciones que describen la superficie se convierten en x cos( ) , y sen( ) , z f() .> implicitplot3d(z=f(rho),rho=0..5,theta=0..2*Pi,z=0..5.1,coords=cylindrical,grid=[20,20,20]);



En torno al eje de abscisas

Ahora hagamos girar también la curva alrededor del eje de abscisas. Representamos de

nuevo la curva antes de girar:> spacecurve([0,y,f(y)],y=0..5,scaling=constrained,axes=norm al,color=red,orientation=[15,60]);

Re

cordemos que, después de un cambio de notación, los puntos de la curva son de laforma (0, y, f(y)), donde y pertenece al conjunto A (en nuestro ejemplo, el intervalo

[0,5]). Ahora, el giro es alrededor del eje horizontal y.

Al girar, un punto (0, r, f(r)) recorre los puntos (x,y,z), donde y r , x2 z2 f(r )2. Dicho

de otra forma, la superficie tiene la ecuación x2 z2 f( y)2. Además, hay que imponerque y pertenezca al conjunto A; en nuestro ejemplo, al intervalo [0,5].> implicitplot3d(x^2+z^2=f(y)^2,x=-5..5,y=0..5,z=-5..5,scaling=constrained);



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