Upload
others
View
23
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
2
1−
5−
ECUACIONES
1. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) 201623 −=+ xxx 0201623 =+−+⇒ xxx
Posibles raíces = {divisores de 20} = }20,10,5,4,2 ,1{ ±±±±±±
20 16 1 1 +−+ 20 6 2 −++
0 10 3 1 −+ )103)(2(2016 223 −+−=+−+⇒ xxxxxx
Luego
∗=−+
=⇒=−⇔=−+−⇔=+−+
)( 0103
202
0)103)(2(020162
223
xx
xx
xxxxxx
−==
=±−=+±−=⇒=−+∗5
2
273
24093
0103 )( 2
x
xxxx
Soluciones:
5y (doble) 2 −== xx
b) 03452035523)1(52 23233 =+−−⇒=++−−⇒−−=+− xxxxxxxxxxx
Posibles raíces = {divisores de 3} = }3 ,1{ ±±
3 4 5 2 +−− 3 7 2 −+−
0 3 7 2 +− )372)(1(3452 223 +−+=+−−⇒ xxxxxx
Luego
∗=+−
−=⇒=+⇔=+−+⇔=+−−
)( 0372
101
0)372)(1(034522
223
xx
xx
xxxxxx
=
==±=−±=⇒=+−∗
2
1
3
457
424497
0372 )( 2
x
x
xxx
Soluciones:
21
y 3 , 1 ==−= xxx
c) 0524256 23 =+−+ xxx
Posibles raíces = {divisores de 5} = }5 ,1{ ±±
5 24 25 6 +−+ 5 25 30 −+−
0 1 5 6 +− )156)(5(524256 223 +−+=+−+⇒ xxxxxx
1−
Luego
∗=+−
−=⇒=+⇔=+−+⇔=+−+
)( 0156
505
0)156)(5(05242562
223
xx
xx
xxxxxx
=
==±=−±=⇒=+−∗
31
2
1
12
15
12
242550156 )( 2
x
x
xxx
Soluciones:
31
y 21
, 5 ==−= xxx
d) 02773 2345 =+++−− xxxxx
1) Extraemos “x” factor común y tenemos:
∗=+++−−
=⇔=+++−−⋅⇔=+++−−
)( 02773
0
0)2773(02773234
2342345
xxxx
x
xxxxxxxxxx
2) Resolvemos la ecuación )( 02773 234 ∗=+++−− xxxx
Posibles raíces = {divisores de 2} = }2 ,1{ ±±
2 7 1 7 3 +++−−
2 5 4 3 −−++ 0 2 5 4 3 ++−− )2543)(1( 23 ++−−+⇒ xxxx 2 7 3 −−−
0 2 7 3 −−− )273)(1)(1( 2 −−−−+⇒ xxxx
∗∗=−−−=⇒=−
−=⇒=+⇔=−−−−+⇔=+++−−
)( 0273
101
101
0)273)(1)(1(027732
2234
xx
xx
xx
xxxxxxxx
Finalmente resolvemos la ecuación (**)
−=⇒−
=
−=⇒−
==
−±=
−−±=⇒=−−−
31
62
26
12
657
624497
0273 2
xx
xxxxx
3) Por tanto,
Soluciones: 31
y 2 1 1 0 −=−=−=== xxxxx
1+
1−
e) 0365 24 =++− xx
1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
03652 =++− tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
=
−==
−±−=
−+±−=⇔=++−
9
4
2
3152
14425503652
t
t
ttt
3) Deshacemos el cambio de variable
realsolución existe no444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
3999 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt
Soluciones: 3y 3 =−= xx
f) 021619 36 =−− xx
1) Hacemos el cambio de variable tx =3 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
0216192 =−− tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
−=
==±=+±=⇔=−−
8
27
2
35192
864361190216192
t
t
ttt
3) Deshacemos el cambio de variable
3272727 33 =⇒=⇒=⇒=• xxxt
2888 33 −=⇒−=⇒−=⇒−=• xxxt
Soluciones: 2y 3 −== xx
g) 03520332233)1(2 23432243222 =+−−+⇒=−++−−⇒+−−=−− xxxxxxxxxxxxxx
Posibles raíces = {divisores de 3} = }3 ,1{ ±±
3 1 5 1 2 +−−+
3 4 1 2 −++− 0 3 4 1 2 +−− )342)(1( 23 +−−+⇒ xxxx 3 1 2 −++
0 3 1 2 −+ )32)(1)(1( 2 −+−+⇒ xxxx
∗=−+=⇒=−
−=⇒=+⇔=−+−+⇔=+−−+
)( 032
101
101
0)32)(1)(1(03522
2234
xx
xx
xx
xxxxxxxx
1+
5
Finalmente resolvemos la ecuación (*)
−=⇒−=
=⇒==±−=+±−=⇒=−+
23
46
144
451
42411
032 2
xx
xxxxx
3) Por tanto,
Soluciones: 23
y 1 )doble(1 −=−== xxx
h) 04359 24 =−+ xx
1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
04359 2 =−+ tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
−=−=
==
=±−=+±−=⇔=−+
41872
91
182
18
3735
18
14412253504359 2
t
t
ttt
3) Deshacemos el cambio de variable
realsolución existe no444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
3
1
9
1
9
1
9
1 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt
i) 025159 2345 =++− xxxx
1) Extraemos “x2” factor común y tenemos:
∗=++−
=⇒=⇔=++−⋅⇔=++−
)( 025159
(doble) 00
0)25159(02515923
2
2322345
xxx
xx
xxxxxxxx
2) Resolvemos la ecuación )( 025159 23 ∗=++− xxx
Posibles raíces = {divisores de 25} = }25,5 ,1{ ±±±
25 15 9 1 ++− 25 20 5 −−+
0 5 4 1 −− )54)(5(25159 223 −−−=++−⇒ xxxxxx
Luego
∗∗=−−
=⇒=−⇔=−−−⇔=++−
)( 054
505
0)54)(5(0251592
223
xx
xx
xxxxxx
5
1− 3+
−==
=±=+±=⇒=−−∗∗1
5
264
220164
054 )( 2
x
xxxx
Soluciones:
1y (doble) 5 (doble) 0 −=== xxx
j) 0152142 234 =−+−+ xxxx
Posibles raíces = {divisores de 15} = }15,5,3 ,1{ ±±±±
15 2 14 2 1 −+−+
15 3 15 3 ++++ 0 5 1 5 1 +++ )55)(3( 23 +++−⇒ xxxx 5 0 5 −−
0 1 0 1 + )1)(5)(3( 2 ++−⇒ xxx
⇒−=⇒=+
−=⇒=+
=⇒=−
⇔=++−⇔=−+−+
realsolución tieneno101
505
303
0)1)(5)(3(0152142
22
2234
xx
xx
xx
xxxxxxx
Soluciones: 5y 3 −== xx
k) 0593 2345 =+++− xxxx
1) Extraemos “x2” factor común y tenemos:
∗=+++−
=⇒=⇔=+++−⋅⇔=+++−
)( 0593
00
0)593(059323
2
2322345
xxx
xx
xxxxxxxx
2) Resolvemos la ecuación )( 0593 23 ∗=+++− xxx
Posibles raíces = {divisores de 5} = }5 ,1{ ±±
5 9 3 1 +++− 5 10 5 −−− 0 1 2 1 −−− )12)(5()593( 223 −−−−=+++−⇒ xxxxxx
Luego
∗=−−−
=⇒=−⇔=−−−−⇔=+++−
)( 012
505
0)12)(5(05932
223
xx
xx
xxxxxx
5−
−=
−==
−±=
−−±=⇔=−−−∗∗
1
1
202
2442
012 )( 2
x
x
xxx
Soluciones:
5y (doble) 1 (doble) 0 =−== xxx
l) 01690196 2442 =+−⇒=++− xxxx
1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
0169 2 =+− tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
==
==
=±=−±=⇔=+−
31
186
31
186
18
06
18
363660169 2
t
t
ttt
3) Deshacemos el cambio de variable
33
3
131
31
31 andoracionaliz2 ±= →±=⇒=⇒=⇒=• xxxxt
2. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
a) 246
10
42
1
63
12
2
−−=
++−
−+
x
x
x
x
x
x
• Factorizamos los denominadores: (sacando factor común y utilizando identidades notables)
)2(363 −=− xx
)2(242 +=+ xx
)2)(2(6)4(6246 22 +−=−=− xxxx
La ecuación queda:
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)2)(2(610
)2)(2(6)1)(2(3)1)(2(2 2
+−−=
+−+−−++
xx
x
xx
xxxx
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
210)1)(2(3)1)(2(2 xxxxx −=+−−++
• Operamos y reducimos términos semejantes:
222 10)22(3)22(2 xxxxxxx −=−−+−+++ 222 10)2(3)23(2 xxxxx −=−−−++⇒ 222 10633462 xxxxx −=++−++⇒ ⇒=+−++−++⇒ 010633462 222 xxxxx
09 =⇒ x
• Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida: 009 =⇒= xx ”Posible solución”
En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
comprobación de las posibles soluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
que no se puede dividir por cero.
En este caso 0=x no anulan los denominadores por eso es solución de la ecuación.
Por tanto,
La solución de la ecuación es 0=x
)2)(2(6
10
)2(2
1
)2(3
1 2
−−−=
++−
−+
xx
x
x
x
x
x
b) 99
12
5
815 +
−=
−−
xx
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)9)(5()9)(5(9)5(12
)9)(5()9(8)9)(5(15
xx
xxx
xx
xxx
−−−−+−=
−−−−−−
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
)9)(5(9)5(12)9(8)9)(5(15 xxxxxx −−+−=−−−−
• Operamos y reducimos términos semejantes:
)9545(91260872)9545(15 22 xxxxxxxx +−−+−=+−+−−)4514(91260872)4514(15 22 +−+−=+−+− xxxxxx
4051269126087267521015 22 +−+−=+−+− xxxxxx
04056072675126128210915 22 =−−−++++−− xxxxxx
0693230138646 22:2 =+−→=+− xxxx
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 69 32 3069323 2 =−==⇒=+− cbaxx
=
==±=±=−±=
⋅⋅⋅−±
=3
618
323
646
61432
619632
6828102432
32
6934)32(32 2
x ”Posibles soluciones”
En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
comprobación de las posibles soluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
que no se puede dividir por cero.
En este caso 3
23y 3 == xx no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son 3=x y 323=x
c) 22
1416
2 −+
++=
−+
x
x
x
x
x
x
• Factorizamos los denominadores:
221
)2)(2(16
−+
++=
+−+
x
x
x
x
xx
x
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)2)(2()2()1)(2(
)2)(2(16
+−+++−=
+−+
xx
xxxx
xx
x
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
)2()1)(2(16 +++−=+ xxxxx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
xxxxxx 2)22(16 22 ++−−+=+ 035222216 222 =−−⇒++−−+=+⇒ xxxxxxxx
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 3 5 20352 2 −=−==⇒=−− cbaxx
−=−
==±=+±=
⋅−⋅⋅−−±
=
21
42
34
12
475
424255
22
)3(24)5(5 2
x ”Posibles soluciones”
En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la
comprobación de las posibles soluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.
Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya
que no se puede dividir por cero.
En este caso 2
1y 3 −== xx no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son 3−=x y 21−=x
d) 12
1
13
23 2
−=++−
xxx
xx
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
xx
xxx
xx
xxxx
2)13()1(2)13(
2)13()13(1)23(2 2
+−+=
+++−
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
)1(2)13()13(1)23(2 2 −+=++− xxxxxxx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
)1)(26(1346 223 −+=++− xxxxxx ⇒−+−=++−⇒ xxxxxxx 22661346 22323
⇒=+−+−++−⇒ 022661346 22323 xxxxxxx 015 =+x
• Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida: 5
115015 −=⇒−=⇒=+ xxx
5
1−=x no anula los denominadores por eso es solución de la ecuación.
Por tanto,
La solución de la ecuación es 51−=x
e) 9
1
3
1
3
12 −
=−
++ xxx
• Factorizamos los denominadores:
)3)(3(1
)3(1
)3(1
+−=
−+
+ xxxx
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)3)(3(1
)3)(3()3(1)3(1
+−=
+−++−
xxxx
xx
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
1)3(1)3(1 =++− xx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
133 =++− xx 012 =−⇒ x
• Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida: 2
112012 =⇒=⇒=− xxx
2
1 =x no anula los denominadores por eso es solución de la ecuación.
Por tanto,
La solución de la ecuación es 21=x
f) 1
17
1
2
1
332
2
−+=
+++
−−
x
x
x
x
x
x
• Factorizamos los denominadores:
)1)(1(17
)1(2
)1(33 2
+−+=
+++
−−
xx
x
x
x
x
x
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)1)(1(17
)1)(1()1)(2()1)(33( 2
+−+=
+−−+++−
xx
x
xx
xxxx
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
17)22()1)(33( 2 +=−+−++− xxxxxx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
06521752217223333 2323232 =−−+⇒+=−++⇒+=−+−+−−+⇒ xxxxxxxxxxxxxx
• Resolvemos la ecuación obtenida: 0652 23 =−−+ xxx
6 5 2 1 −−+
6 1 1 +−− 0 6 1 1 −+
−=
==±−=+±−=⇒=−+
−=⇒=+
⇒=−++⇒=−−+
3
2
251
22411
06
r)denominado al anula puessolución es (no 101
0)6)(1(06522
223
x
xxxx
xx
xxxxxx
3−=x y 2=x no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son 3−=x y 2=x
1−
g) xxxxxxx
x
++=
++−
+++
2322 2
1
12
1
23
2
• Factorizamos los denominadores:
� )2)(1(232 ++=++ xxxx
2 3 10232 ===⇒=++ cbaxx
)2)(1(23 2
24
122
213
2893
12
214)3(3 22
++=++⇒
−=−
−=−
=±−=−±−=⋅
⋅⋅−±−= xxxxx
� notable) (identidad )1(12 22 +=++ xxx
� notable) identidad ecomún foactor (sacar )1()12(2 2223 +=++=++ xxxxxxxx
Luego la ecuación queda:
22 )1(1
)1(1
)2)(1(2
+=
+−
+++
xxxxx
x
• Simplificamos la primera fracción:
22 )1(1
)1(1
)1(1
+=
+−
+ xxxx
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
22 )1(1
)1()1(
+=
+−+
xxxx
xxx
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
1)1( =−+ xxx
• Operamos y reducimos términos semejantes: 0101 22 =−⇒=−−+⇒ xxxx
• Resolvemos la ecuación obtenida:
=
−=⇒=⇒=⇒=−
1
r)denominado al anula porquesolución es (no 1
1101 22
x
x
xxx
1=x no anula los denominadores por eso sí es solución de la ecuación.
Por tanto,
La solución de la ecuación es 1=x
h) 1264
22 −=−
xx
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
2
2
2
4 1264x
x
x
x −=−
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
24 1264 xx −=−
• Operamos y reducimos términos semejantes: 06412 24 =−+⇒ xx
• Resolvemos la ecuación obtenida: a)(bicuadrad 06412 24 =−+ xx
1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
064122 =−+ tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
−=
==±−=+±−=⇔=−+
16
4
2
2012
2
25614412064122
t
t
ttt
3) Deshacemos el cambio de variable
2444 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt
realsolución tieneno161616 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
2−=x y 2=x no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son 2−=x y 2=x
i) 24223
1
1
1
2
1
xxxxxx
x
−=
−+
+−−
• Factorizamos los denominadores:
� 2223 )1()12(2 −=+−=+− xxxxxxxx
� )1)(1(12 +−=− xxx
� )1)(1()1( 22224 +−=−=− xxxxxxx
La ecuación queda:
)1)(1(1
)1)(1(1
)1(1
22 +−=
+−+
−−
xxxxxxx
x
• Simplificamos la primera fracción:
)1)(1(1
)1)(1(1
)1(1
2 +−=
+−+
− xxxxxxx
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)1)(1(1
)1)(1()1(
22
2
+−=
+−++
xxxxxx
xxx
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
1)1( 2 =++ xxx
• Operamos y reducimos términos semejantes: 01201 222 =−+⇒=−++ xxxxx
• Resolvemos la ecuación obtenida: 012 2 =−+ xx
−=
=
=±−=+±−=⇒=−+res)denominado los anula porquesolución es (no 1
21
431
4811
012 2
x
x
xxx
21=x no anulan los denominadores por eso es solución de la ecuación.
Por tanto,
La solución de la ecuación es 21=x
j) xxxxx
x
51
231
10173)1(7
22 +=
+−
+++
• Factorizamos los denominadores:
� )5)(23(10173 2 ++=++ xxxx
10 17 3010173 2 ===⇒=++ cbaxx
)5)(23)(5(32
310173
5
630
32
64
61317
612028917
32
1034)17(17
2
2
+++
+=++⇒
−=−
−=−
=±−=−±−=⋅
⋅⋅−±−=
xxxxxx
x
� )""común factor (sacar )5(52 xxxxx +=+
Luego la ecuación queda:
)5(1
)23(1
)5)(23(77
+=
+−
+++
xxxxx
x
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
)5)(23(23
)5)(23()5()77(
+++=
+++−+
xxx
x
xxx
xxxx
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
23)5()77( +=+−+ xxxxx
• Operamos y reducimos términos semejantes: 02623577 222 =−−⇒+=−−+⇒ xxxxxxx
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 2 1 6026 2 −=−==⇒=−− cbaxx
−=−
==±=+±=
⋅−⋅⋅−−±
=
21
126
32
128
1271
124811
62
)2(64)1(1 2
x ”Posibles soluciones”
32=x y
21−=x no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son 32=x y
21−=x
3. Resuelve las siguientes ecuaciones radicales:
a) xx 2323 =++
• Aislamos el radical en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términos:
3232 −=+ xx
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22 )32()32( −=+ xx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
⇒+−=+ 912432 2 xxx 0372061440329124 2)2(:22 =+−→=+−⇒=−−+− xxxxxxx
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 3 7 20372 2 =−==⇒=+− cbaxx
=
==±=−±=
⋅⋅⋅−−±=
21
42
34
12
457
424497
22
324)7(7 2
x
COMPROBACIÓN
• 3=x
solución es sí 3323323632
6333323 =⇒⋅=+⋅+⇒
=⋅=+=+⋅+
x
• 21=x
• solución es no 2
1
2
123
2
123
121
2
523321
23=⇒⋅≠+⋅+⇒
=⋅
=+=+⋅+x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 3=x
b) 66 =++ xx
• Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términos:
xx −=+ 66
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22 )6()6( xx −=+
• Operamos y reducimos términos semejantes:
22 )(6266 xxx +⋅⋅−=+
xxx +−=+ 12366
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
• Aislamos el radical en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términos:
xxx ++−−= 36612
3012 =x
• Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación por 6:
25
52 =⇒= xx
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22
25
)(
=x
• Finalmente:425=x
COMPROBACIÓN
• 425=x
solución es sí 4
25
4
2566
4
253
27
25
6425
6
27
449
6425
=⇒−=++⇒
=−=−
==+x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 425=x
c) 3123 =−+− xx
• Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términinos:
1323 −−=− xx
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22 )13()23( −−=− xx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
22 )1(132323 −+−⋅⋅−=− xxx
116923 −+−−=− xxx
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
• Aislamos el radical en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términos:
192316 −+++−=− xxx
xx 21016 −=−
• Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación por 2:
xx −=− 513
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22 )5()13( xx −=−
• Operamos y reducimos términos semejantes:
21025)1(9 xxx +−=− 03419102599 22 =+−⇒+−=−⇒ xxxxx
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida 34 19 1034192 =−==⇒=+− cbaxx
=
==±=−±=
⋅⋅⋅−−±
=2
2
4
172
34
2
1519
2
13636119
12
3414)19(19 2
x
COMPROBACIÓN
• 17=x
solución es no 17311471172173 =⇒≠=+=−+−⋅ x
• 2=x
solución es sí 2311212223 =⇒==+=−+−⋅ x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 2=x
d) 3 2 11 −=+ xx
• Elevamos los dos miembros de la ecuación a 6)3,2.(.. =mcm :
63 26 )1()1( −=+ xx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
223 )1()1( −=+ xx 03512133 2342423 =−−−⇒+−=+++⇒ xxxxxxxxx
• Resolvemos la ecuación obtenida: 035 234 =−−− xxxx
∗=−−−
==−−−⇒=−−−
)( 035
0
0)35(03523
23234
xxx
x
xxxxxxxx
)( 03523 ∗=−−− xxx
3 5 1 1 −−−
3 2 1 ++−
0 3 2 1 −− )32)(1(35factor es )1( raíz es 1 223 −−+=−−−⇒+⇒−⇒ xxxxxxx
−==
=±=+±=⇒=−−
−=⇒=+⇒=−−+⇒=−−−
1
3
2
42
2
1242032
101
0)32)(1(035 2223
x
xxxx
xx
xxxxxx
COMPROBACIÓN
• 0=x
solución es no 01010110
1103 2
3 2=⇒−≠+⇒
−=−
=+x
• 1−=x
solución es sí 11)1(1101)1(
0113 2
3 2−=⇒−−=+−⇒
=−−
=+−x
• 3=x
solución es sí 31)3(1321)3(
2133 2
3 2=⇒−=+⇒
=−
=+x
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son 1−=x y 3=x
e) 2
11
1 xx
x=−+
−
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
12
1
12
)1(22 2
−−=
−−+
x
xx
x
x
1−
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
1)1(22 2 −=−+ xxx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
1212221)1(22 −=⇒−=−+⇒−=−+ xxxxxxxxx
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22 )1()2( −= xxx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
)1(4 22 −= xxx 054 23232 =−⇒−=⇒ xxxxx
• Resolvemos la ecuación obtenida: 05 23 =− xx
=⇒=−=
⇒=−⇒=−505
00)5(05 223
xx
xxxxx
COMPROBACIÓN
• 0=x
solución es no 0
020
existe no1010
1
=⇒
=
=−+− x
• 5=x
solución es sí 525
1515
1
25
25
221
1515
1
=⇒=−+−
⇒
=+=−+− x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 5=x
f) x
xx6
2 =++
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
xx
xxx 62)( 2
=+⋅+
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
62)( 2 =+⋅+ xxx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
622 =++ xxx
• Aislamos el radical en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términos:
xxx −=+ 622
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
222 )6()2( xxx −=+
• Operamos y reducimos términos semejantes:
22 12362 xxxx +−=+ 03614 =−⇒ x
• Resolvemos la ecuación obtenida: 7
18
14
36361403614 =⇒=⇒=⇒=− xxxx
COMPROBACIÓNx
xx6
2 =++
• 12=x
⇒
=====
=+=+⋅=+=+=++
142
272
23
76
18
76
7
18
6
718
6
147
1441437
727
732
7
327
718732
7
182
718
718 52
solución es sí 718=⇒ x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 718=x
g) )3(4740 2 +=+− xxx
• Aislamos el radical en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términos:
xxx 712440 2 −+=−
xx 31240 2 −=−
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
222 )312()40( xx −=−
• Operamos y reducimos términos semejantes:
22 97214440 xxx +−=− 05236501047210 2)2(:2 =+−→=+−⇒ xxxx
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 52 36 5052365 2 =−==⇒=+− cbaxx
=
==±=−±=
⋅⋅⋅−−±
=2
10
205
26
10
52
10
1636
10
1040129636
52
5254)36(36 2
x
COMPROBACIÓN
• 2=x
solución es sí 2)32(42724020)32(4
2014627240 22
=⇒+=⋅+−⇒
=+=+=⋅+−
x
• 526=x
solución es no 526
5164
541
45
152643
526
4
405
2005
1825
185
18225
3245
18225676
40526
7526
402
=⇒
==
+=
+
==+=+=+−=⋅+
−x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 2=x
h) xxx −+=+ 1223
• Aislamos el radical en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términos:
1233 +=+ xx
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22 )12()33( +=+ xx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
)1(49189 2 +=++ xxx 05149449189 22 =++⇒+=++⇒ xxxxx
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 5 14 905149 2 ===⇒=++ cbaxx
−=−
−=−
=±−=−±−=⋅
⋅⋅−±−=
118
189
5
18
10
18414
1818019614
92
594)14(14 2
x
COMPROBACIÓN
• 1−=x
solución es sí 1)1(112)1(231)1(112
1)1(23−=⇒−−+−=−⋅+⇒
=−−+−
=−⋅+x
• 95−=x
⇒
−−+−=
−⋅+⇒
=+=+⋅=+=
−−+−
=−=
−⋅+
9
51
9
52
9
523
9
17
9
5
3
4
9
5
3
22
9
5
9
42
9
51
9
52
9
17
9
103
9
523
solución es sí 95−=⇒ x
Por tanto,
Las soluciones de la ecuación son 1−=x y 95−=x
i) 523 =−++ xx
• Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro lo demás términos:
253 −−=+ xx
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22 )25()3( −−=+ xx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
22 )2(25253 −+−⋅⋅−=+ xxx
2210253 −+−−=+ xxx
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
• Aislamos el radical en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términos:
2253210 −+++−=− xxx
20210 =−x
• Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación entre 10:
22 =−x
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22 )2()2( =−x
• Operamos y reducimos términos semejantes:
42 =−x 6=⇒ x
COMPROBACIÓN
• 6=x
solución es sí 175232636 =⇒=+=−++ x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 6=x
j) 47354 −=+−− xx
• Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro lo demás términos:
47354 −+=− xx
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22 )473()54( −+=− xx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
16724)7(9)5(16 ++−+=− xxx
167246398016 ++−+=− xxx
Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos
• Aislamos el radical en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términos:
166398016724 ++++−=+ xxx
xx 7159724 −=+
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22 )7159()724( xx −=+
• Operamos y reducimos términos semejantes:
249222625281)7(576 xxx +−=+ 021249280249492226252814032576 22 =+−⇒+−=+⇒ xxxxx
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida:
21249 2802 49021249280249 2 =−==⇒=+− cbaxx
=
==±=±=
⋅⋅⋅−−±
=9
98
88249
2361
98
4722
9819202802
9836864002802
492
21249494)2802(2802 2
x
COMPROBACIÓN 47354 −=+−− xx
• 49
2361=x
solución es no 49
2361
44728
7156
7184
752
3746
449
27043
492116
4749
236135
492361
4
=⇒
⇒−≠==−=⋅−⋅=⋅−⋅=+⋅−−⋅
x
• 9=x
solución es sí 94128432416344793594 =⇒−=−=⋅−⋅=⋅−⋅=+⋅−−⋅ x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 9=x
k) 20
4020
−=+−
xxx
• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:
20
40
20
20)20( 2
−=
−−⋅+−
xx
xxx
• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:
4020)20( 2 =−⋅+− xxx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
40)20(20 =−+− xxx
402020 2 =−+− xxx
• Aislamos el radical en un miembro, pasando al otro lo demás:
xxx −=− 60202
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
222 )60()20( xxx −=−
• Operamos y reducimos términos semejantes:
22 120360020 xxxx +−=− 03600100 =−⇒ x
• Resolvemos la ecuación obtenida: 36100
360036001000360010 =⇒=⇒=⇒=− xxxx
COMPROBACIÓN20
4020
−=+−
xxx
• 36=x
⇒
==−
=+=+−
10440
2036
40
1064362036solución es sí 36=x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 718=x
l) 3
1
2
2
−+=
+−
x
x
x
x
• Multiplicamos en cruz y nos queda la ecuación:
)1()2()3()2( +⋅+=−⋅− xxxx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
22623 +++=+−− xxxxxx
2365 ++=+− xxxx
x84 =
x=21
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22
)(21
x=
• Operamos y reducimos términos semejantes:
x=41
4
1=⇒ x
COMPROBACIÓN
• 41=x
341
141
252
3
241
241
53
25
23
321
121
341
141
53
2523
221
221
24
1
24
1
−
+−=
+
−⇒
−=−
=−
+=
−
+
−=−
=+
−=
+
−
solución es sí 41=x
Por tanto,
La solución de la ecuación es 41=x
4. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) 10244 =x
5102222)2( 102102 =⇒=⇒=⇒= xxxx
b) 50054 =⋅ x
35512554
5005 3 =⇒=⇒=⇒= xxxx
c) 250055 2 =⋅ x
25log500log
5log500log
5log2500log
500log5log2500log5log50055
25005
2
222
=⇒=
⇒=⇒=⋅⇒=⇒=⇒=
xx
xxxxx
d) 56737 1 =⋅ +x
341338137
5673 4111 =⇒=+⇒=⇒=⇒= +++ xxxxx
e) 8
12
21 =−x
243122 2231 2
±=⇒=⇒−=−⇒= −− xxxx
f) 12
1
31
3−−
−
=x
x
03
00311212133 121 =⇒
−=⇒=−⇒−=−−⇒+=−⇒= +− xxxxxxxxx
g) 17 652
=+− xx
06577 20652
=+−⇒=+− xxxx
==
=±=−±= 2
3
215
224255
x
xx
h) 22 442
=+− xx
03414422 221442
=+−⇒=+−⇒=+− xxxxxx
==
=±=−±= 1
3
224
212164
x
xx
i) 1213 8127 ++ = xx
1483933)3()3( 4839124133 =⇒+=+⇒=⇒= ++++ xxxxxxx
j) 7222 11 =++ +− xxx
� 722222 =⋅++ xx
x
� Hacemos el cambio de variable tx =2
21472
142
4272
2=⇒=⇒=++
⇒=++ ttttt
ttt
� Deshacemos el cambio de variable
1222 =⇒=⇒= xt x
k) 9602222 4321 =+++ −−−− xxxx
� 96022
22
22
22
432=+++
xxxx
� Hacemos el cambio de variable tx =2
1024153601516
1536016
248960
16842=⇒=⇒=+++
⇒=+++ tttttttttt
� Deshacemos el cambio de variable
1022102422 10 =⇒=⇒=⇒= xt xx
l) 117333 11 =++ +− xxx
� 11733333 =⋅++ xx
x
� Hacemos el cambio de variable tx =3
9117133
1173
931173
3=⇒=⇒=++
⇒=++ ttttt
ttt
� Deshacemos el cambio de variable
2939 =⇒=⇒= xt x
m) 198422222 423222122 =++++ −−−− xxxxx
� 198422
22
22
22
24
2
3
2
2
222 =++++
xxxxx
� Hacemos el cambio de variable tx =22
⇒=++++⇒=++++
1631744
1624816
198416842
tttttttttt 10243174431 =⇒= tt
� Deshacemos el cambio de variable
510222102421024 1022 =⇒=⇒=⇒=⇒= xxt xx
n) 775555 21 =++ ++ xxx
� 77555555 2 =⋅+⋅+ xxx
� Hacemos el cambio de variable tx =5
2531775
77531775255 =⇒=⇒=⇒=++ tttttt
� Deshacemos el cambio de variable
25525525 2 =⇒=⇒=⇒= xt xx
o) 081329 2 =+⋅− +xx
� 081332)3( 22 =+⋅⋅− xx
081318)3( 2 =+⋅− xx
� Hacemos el cambio de variable tx =3
081182 =+− tt
=±=−±=⋅
⋅⋅−−±=
9
9
2018
232432418
12
8114)18(18 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
2939 =⇒=⇒= xt x
p) 04254 =+⋅− xx
� 0425)2( 2 =+⋅− xx
0425)2( 2 =+⋅− xx
� Hacemos el cambio de variable tx =2
0452 =+− tt
=±=−±=⋅
⋅⋅−±=
1
4
235
216255
12
414)5(5 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
2424 =⇒=⇒= xt x
0121 =⇒=⇒= xt x
q) 065975 42 =+⋅− xx
� 01296597)5( 2 =+⋅− xx
� Hacemos el cambio de variable tx =5
01296972 =+− tt
=±=±=⋅
⋅⋅−−±=
16
81
26597
2422597
12
129614)97(97 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
5log
81log81log5log81log5log81581 =⇒=⋅⇒=⇒=⇒= xxt xx
5log
16log16log5log16log5log16516 =⇒=⋅⇒=⇒=⇒= xxt xx
r) 0101616 1 =−+ −xx
� 0101616
16 =−+x
x
� Hacemos el cambio de variable tx =16
01610010161016 22 =+−⇒=−+⇒−+ ttttt
t
=±=±=−±=⋅
⋅⋅−−±=
2
8
2610
23610
26410010
12
1614)10(10 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
43
34222)2(8168 3434 =⇒=⇒=⇒=⇒=⇒= xxt xxx
41
14222)2(2162 1414 =⇒=⇒=⇒=⇒=⇒= xxt xxx
s) 012553052 =+⋅− xx
� 0125530)5( 2 =+⋅− xx
� Hacemos el cambio de variable tx =5
0125302 =+− tt
=±=±=⋅
⋅⋅−−±=
5
25
22030
240030
12
12514)30(30 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
25552525 2 =⇒=⇒=⇒= xt xx
155555 1 =⇒=⇒=⇒= xt xx
t) 05136132 =+⋅− xx
� 05136)13( 2 =+⋅− xx
� Hacemos el cambio de variable tx =13
0562 =+− tt
=±=±=⋅
⋅⋅−−±=
1
5
246
2166
12
514)6(6 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
13log
5log5log13log5log13log5135 =⇒=⋅⇒=⇒=⇒= xxt xx
013131131 0 =⇒=⇒=⇒= xt xx
u) 9502510 21 =⋅− −− xxx
� 95022
55
102
=⋅−xx
x
9502010
10 =−x
x
� Hacemos el cambio de variable tx =10
1000190001920
1900020
20950
20=⇒=⇒=−
⇒=− ttttt
t
� Deshacemos el cambio de variable
310101000101000 3 =⇒=⇒=⇒= xt xx
v) 223324 +⋅=+ xx
� 22 22332)2( ⋅⋅=+ xx
xx 21232)2( 2 ⋅=+
032212)2( 2 =+⋅− xx
� Hacemos el cambio de variable tx =2 032122 =+− tt
=±=±=⋅
⋅⋅−−±=
4
8
2412
21612
12
3214)12(12 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
322828 3 =⇒=⇒=⇒= xt xx
222424 2 =⇒=⇒=⇒= xt xx
w) 6551 =+− xx
� 6555 =+ xx
� Hacemos el cambio de variable tx =5
0566565 22 =+−⇒=+⇒=+ tttttt
=±=±=⋅
⋅⋅−−±=
1
5
246
2166
12
514)6(6 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
155555 1 =⇒=⇒=⇒= xt xx
055151 0 =⇒=⇒=⇒= xt xx
x) 22282 22 −=+ +− xx
� 2222822 2
2−⋅=+ x
x
� Hacemos el cambio de variable tx =2
8120151128168161124
8164112
24284
=⇒−=−⇒−−=−⇒−=+⇒−=+
⇒−=+ tttttttt
tt
� Deshacemos el cambio de variable
322828 3 =⇒=⇒=⇒= xt xx
y) 43
13
1=+ −x
x
� 433 1 =+ −xx
43
33 =+
xx
� Hacemos el cambio de variable tx =3
0344343 22 =+−⇒=+⇒=+ ttttt
t
=±=±=⋅
⋅⋅−−±=
1
3
224
244
12
314)4(4 2
t
� Deshacemos el cambio de variable
133333 1 =⇒=⇒=⇒= xt xx
033131 0 =⇒=⇒=⇒= xt xx
5
z) 265
15
12 =+ −x
x
� 2655 12 =+ −xx
265
5)5( 2 =+
xx
� Hacemos el cambio de variable tx =5
0526265265 332 =+−⇒=+⇒=+ ttttt
t
5 26 0 1 +− 5 25 5 −++ 0 1 5 1 −+ )15)(5()526( 23 −+−=+−⇒ ttttt
Luego
∗=−+
=⇒=−⇔=−+−⇔=+−
)( 015
505
0)15)(5(05262
23
tt
tt
ttttt
+−=
−−=
=±−=+±−=⇒=−+∗
2295
2295
2295
24255
015 )( 2
t
t
ttt
� Deshacemos el cambio de variable
155555 1 =⇒=⇒=⇒= xt xx
xat xx 0 que yasolución tieneno 2
2955
2
295 ∀>⇒−−=⇒
−−=
5log2log)529log(
2log)529log(5log2
295log5log
2295
52
295
−−=⇒
⇒−−=⋅⇒
+−=⇒+−=⇒
+−=
x
xt xx
1
5. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) 450loglog =+x
410log)50log( =⋅x
20050
100001000050 =⇒=⇒=⋅ xxx
b) 0100loglog =+x
1log)100log( =⋅x
1001
1100 =⇒=⋅ xx
c) 10log2 2 =x
3225log2
10log10log2 5
222 =⇒=⇒=⇒=⇒= xxxxx
d) 10loglog2log 3 =− xx
10logloglog 23 =− xx
1010loglog10loglog2
3
=⇒=⇒=
xx
x
x
e) 0)12(loglog 52
5 =−+ xx
1log)]12([log 52
5 =−xx
0121)12( 232 =−−⇒=− xxxx
1 0 1 2 −− 1 1 2 +++ 0 1 1 2 ++ )12)(1()12( 223 ++−=−−⇒ xxxxx
La solución de la ecuación es 200=x
La solución de la ecuación es 1001=x
La solución de la ecuación es 32=x
La solución de la ecuación es 10=x
Luego
∗=++
=⇒=−⇔=++−⇔=−−
)( 012
101
0)12)(1(0122
223
xx
xx
xxxxx
realsolución tieneno 2
811012 )( 2 ⇒
−±−=⇒=++∗ txx
f) )2log(2log3)1log()1log( −+=++− xxx
)2log(2log)]1()1log[( 3 −+=+⋅− xxx
)]2(8log[)1log( 2 −⋅=− xx
01581681)2(8)1( 222 =+−⇒−=−⇒−⋅=− xxxxxx
=
==±=−±=
⋅⋅⋅−−±=
326
52
10
228
260648
12
1514)8(8 2
x
g) 2log)63log(2
1)2log( =−−− xx
2log)63log()2log( 2
1
=−−− xx
2log63log)2log( =−−− xx
6322263
22log
63
2log −=−⇒=
−−
⇒=
−−
xxx
x
x
x
� Tenemos que resolver la ecuación radical: 632)2( −=− xx
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22 )632()2( −=− xx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
⇒−=+− )63(4442 xxx 02816241244 22 =+−⇒−=+− xxxxx
• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 28 16 1028162 =−==⇒=+− cbaxx
=
==±=±=−±=
⋅⋅⋅−−±
=2
2
4
142
28
2
1216
2
14416
2
11225616
12
2814)16(16 2
x
La solución de la ecuación es 1=x
Las soluciones de la ecuación son 5=x y 3=x
COMPROBACIÓN
14=x
radicalecuación la desolución es sí 146143221412626143 2
12214=⇒−⋅=−⇒
=⋅=−⋅
=−x
2=x
radicalecuación la desolución es sí 2623222002623 2
022=⇒−⋅=−⇒
=⋅=−⋅
=−x
� Ahora debemos comprobar si también son solución de la ecuación logarítmica:
2log63log)2log( =−−− xx
2=x no es solución, porque al sustituir en la ecuación inicial aparece 0log
que no existe. (Recuerda que
0 existe log >⇔ xxa )
14=x
sí es solución (al sustituir no hay problemas)
h) 1227log 59 −= x
Aplicamos la definición de logaritmo: )(log xayx ya =⇔=
⇒=−⇒=−⇒=⇒=⇒=⇒−= −−− 3102053
24333)3(2791227log 5
3245 3122512
)(
59 xxx xxx
Definición
2013
1320 =⇒=⇒ xx
i) 4,02
8log
5
−=x
Aplicamos la definición de logaritmo: )(log xayx ya =⇔=
22222
22
28
4,028
log 5
2
5
21
5
3
5
2
1
5
3
5
25 310
454,0
)(
5
=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒−=−−−−−−− xxxxxx
Definiciónx
La solución de la ecuación es 14=x
La solución de la ecuación es 2013=x
La solución de la ecuación es 2=x
j) 73128log 32 +−= x
Aplicamos la definición de logaritmo: )(log xayx ya =⇔=
⇒=+−⇒=+−⇒=⇒=⇒=⇒+−= +−+−+− 721937
732222128273128log 3
7733 773373
)(
32 xxx xxx
Definición
914
149 =⇒−=−⇒ xx
k) )72(log1)2(log)2(log 777 −−=+−− xxx
)72(log7log2
2log 777 −−=
+−
xx
x
−=
+−
72
7log
2
2log 77 xx
x
→=−⇒+=+−−⇒+=−−⇒
−=
+− )2(:22 018214714472)2(7)72)(2(
72
7
2
2xxxxxxxxx
xx
x
=
=⇒=−⋅⇒=−
9
solución) es no que comprueba seecuación laen sustituir (al 0
0)9(092
x
x
xxxx
l) )13log(1)403log( 2 −+=++ xxx
)13log(10log)403log( 2 −+=++ xxx
)]13(10log[)403log( 2 −=++ xxx
050271030403)]13(10[)403( 222 =+−⇒−=++⇒−⋅=++ xxxxxxxx
=
==±=−±=
⋅⋅⋅−−±
=2
24
25250
22327
220072927
12
5014)27(27 2
x
La solución de la ecuación es 9
14=x
La solución de la ecuación es 9=x
Las soluciones de la ecuación son 25=x y 2=x
m) 5loglog3loglog 2 +=− xx
)5log(3
log2
⋅=
x
x
=⇒=−
=⇒=−⇒=−⇒=⇒=
15015
vale)(no 0
0)15(0151553
222
xx
x
xxxxxxxx
n) 2)53log(log =++ xx
100log)]53(log[ =+⋅ xx
010053100)53( 2 =−+⇒=+ xxxx
−=−
==±−=+±−=
⋅−⋅⋅−±−=
vale)(no 320
640
5630
6355
61200255
32
)100(34)5(5 2
x
o) 3ln)2ln(ln2 2 =++ xx
3ln)2ln(ln 22 =++ xx
3ln)]2(ln[ 22 =+xx
)bicuadrada (ecuación 0323)2( 2422 =−+⇒=+ xxxx
1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:
0322 =−+ tt
2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:
−=
==±−=+±−=⇔=−+
3
1
2
42
2
12420322
t
t
ttt
3) Deshacemos el cambio de variable
realsolución existe no333 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt
−==
⇒=⇒=⇒=• vale)(no 1
1111 2
x
xxxt
La solución de la ecuación es 15=x
La solución de la ecuación es 5=x
La solución de la ecuación es 1=x
p) 6loglog2 4 =+ xx
642 10logloglog =+ xx 642 10log)log( =⋅ xx
101066 =⇒= xx
q) 2ln5lnln2 =− xx
2ln5lnln 2 =− xx
2ln5
ln2
=
x
x
1025
=⇒= xx
r)
+=10
log4log2x
x
+=10
log10000loglog 2 xx
⋅=10
10000loglog 2 xx
=⇒=−=
⇒=−⇒=−⇒=100001000
vale)(no 00)1000(010001000 22
xx
xxxxxxx
s) xx
log223
log3 =
+
2log23
log1000log xx =
+
2log23
1000log xx =
⋅
2log1500log xx =
=⇒=−=
⇒=−⇒=−⇒=150001500
00)1500(015001500 22
xx
xxxxxxx
La solución de la ecuación es 10=x
La solución de la ecuación es 10=x
La solución de la ecuación es 1000=x
La solución de la ecuación es 1500=x
t) )3log(2log1)2log( −−+=− xx
)3log(2log10log)2log( −−+=− xx
−⋅=−
)3(210
log)2log(x
x
⇒−
=−)3(
20)2(
xx ⇒=−−⇒=+−−⇒=−− 01452062320)3)(2( 22 xxxxxxx
−−=±=+±=⇒
existe) no )2log( porque vale(no 2
7
2
95
2
56255x
La solución de la ecuación es 7=x
u) )7log(1log xx −−=
)7log(10loglog xx −−=
−=
)7(
10loglog
xx
)7(
10
xx
−= 010710710)7( 22 =+−⇒=−⇒=−⇒ xxxxxx
=±=−±= 2
5
2
37
2
40497x
v) 32log15log13log −+=++ xx
32log10log)513log( −+=⋅+ xx
)3210log()135log( −=+ xx
322133210)135 )5(: −=+→−=+ xxxx
� Tenemos que resolver la ecuación radical: 32213 −=+ xx
• Elevamos al cuadrado los dos miembros:
22 )322()13( −=+ xx
• Operamos y reducimos términos semejantes:
513
13512813)32(413 =⇒−=−⇒−=+⇒−=+ xxxxxx
Las soluciones de la ecuación son 5=x y 2=x
COMPROBACIÓN
513=x
radicalecuación la desolución es sí 544
511
2511
23526
235
1322
544
1539
15
133
2 ⇒
=⋅==−=−⋅
=+=+⋅
� Ahora debemos comprobar si también son solución de la ecuación logarítmica:
32log15log13log −+=++ xx
513=x
sí es solución (al sustituir no hay problemas)
w) 4log20log5log)55( 2 =++− xx
20log4log5log )55( 2
−=+− xx
=+−
204
log5log )55( 2 xx
=+−
51
log5log )55( 2 xx
1)55( 5log5log2 −+− =xx
065155 22 =+−⇒−=+− xxxx
=±=−±= 2
3
215
224255
x
x) 3125log2log)95( 2 =++− xx
1000log125log2log )95( 2
=++− xx
125log1000log2log )95( 2
−=+− xx
=+−
1251000
log2log )95( 2 xx
8log2log )95( 2
=+− xx
La solución de la ecuación es 513=x
Las soluciones de la ecuación son 3=x y 2=x
3)95( 2log2log2
=+− xx
065395 22 =+−⇒=+− xxxx
=±=−±= 2
3
215
224255
x
y) 2)43log(
)16log( 2
=−
−x
x
)43log(2)16log( 2 −=− xx
22 )43log()16log( −=− xx
⇒=−→=−⇒+−=−⇒−=− 0125024101624916)43()16( 2)2(:22222 xxxxxxxxx
=⇒=−
=⇒=−⋅⇒=−
5
120125
vale)(no 00)125(0125 2
xx
xxxxx
La solución de la ecuación es 5
12=x
z) 3)4log(
)43log( 3
=−−
x
x
)4log(3)43log( 3 xx −=−
33 )4log()43log( xx −=−
07164021481212486443)4()43( 2)3(:232333 =+−→=+−⇒−+−=−⇒−=− xxxxxxxxxx
=
==±=−±=
⋅⋅⋅−−±
=
21
84
vale)(no 4
15830
81216
811225616
42
744)16(16 2
x
Las soluciones de la ecuación son 3=x y 2=x
La solución de la ecuación es 21=x