8/16/2019 Ecuaciones Del Campo de Einstein

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Ecuaciones del campo de Einstein

Representación de la curvatura dada por la ecuación de campo de Einstein sobre el plano de

la eclíptica de una estrella esférica: Dicha ecuación relaciona la presencia demateria con la

curvatura adquirida por elespacio-tiempo.

En física, las ecuaciones del campo de Einstein, ecuaciones deEinstein o ecuaciones de Einstein-Hilbert (conocidas comoEFE, por Einstein fieldequations son un con!unto de "# ecuaciones de la teoría de la relatividad$eneral de  %lbert Einstein que describen la interacción fundamental de la $ravitación comoresultado de que el espacio-tiempo est& siendo curvado por la materia ' la ener$ía."

ublicadas por ve) primera por Einstein en "*"+ como una ecuación tensorial, lasecuaciones EE equiparan la curvatura del espacio-tiempo local (epresada por el tensorde Einstein con la ener$ía local ' el momento dentro de ese espacio-tiempo (epresadopor el tensor de tensión-ener$ía./

0as ecuaciones de campo de Einstein relacionan la presencia de materia con la curvaturadel espacio-tiempo. 1&s eactamente cuanto ma'or sea la concentración de materia,representada por el tensor de ener$ía-impulso, tanto ma'ores ser&n las componentes

del tensor de curvatura de Ricci.

En el límite cl&sico no-relativista, esto es, a velocidades peque2as comparadas con la lu) 'campos $ravitacionales relativamente débiles, las ecuaciones del campo de Einstein sereducen a la ecuación de oisson para el campo $ravitatorio que es equivalente a la le' de$ravitación de 3e4ton.

Forma matemática de las ecuaciones del campo deEinstein5editar 6

En las ecuaciones de campo de Einstein, la $ravedad se da en términos de un tensormétrico, una cantidad que describe las propiedades $eométricas del espacio-

tiempotetradimensional ' a partir de la cual se puede calcular la curvatura. En la mismaecuación, la materia es descrita por su tensor de tensión-ener$ía, una cantidad quecontiene la densidad ' la presión de la materia. Estos tensores son tensores simétricos de7 8 7, de modo que tienen "# componentes independientes. Dada la libertad de elecciónde las cuatro coordenadas del espacio-tiempo, las ecuaciones independientes se reducena 9. 0a fuer)a de acoplamiento entre la materia ' la $ravedad es determinada porlaconstante $ravitatoria universal.

ara cada punto del espacio-tiempo, la ecuación del campo de Einstein describe cómoel espacio-tiempo se curva por la materia ' tiene la forma de una i$ualdad local entre untensor de curvatura para el punto ' un tensor que describe la distribución de materiaalrededor del punto:

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rg/wiki/Curvatura_del_espacio-tiempo

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donde:

•  es el tensor de curvatura de Einstein, que se forma a partir de derivadas

se$undas del tensor métrico 

•  es el tensor momento-ener$ía.

• , es el nmero ;

• , es la velocidad de la lu)

• , es la constante de la $ravitación universal.

Esa ecuación se cumple para cada punto del espacio-tiempo.

El tensor de la curvatura de Einstein se puede escribir como:

donde:

• , es el tensor de curvatura de Ricci

•  es el escalar de curvatura de Ricci

•  es la constante cosmoló$ica.

0a ecuación del campo por lo tanto también puede darse como si$ue:

 es un tensor simétrico 7 7, así que tiene "# componentes independientes.Dado la libertad de elección de las cuatro coordenadas del espacio-tiempo, lasecuaciones independientes se reducen en nmero a 9. Estas ecuaciones son labase de la formulación matem&tica de la relatividad $eneral. 3ótese queconsiderando la contracción sobre los dos índices de la ltima relación se

encuentra que el escalar de curvatura se relaciona con la tra)a del tensor ener$íaimpulso ' la constante cosmoló$ica mendiante:

Esa relación permite escribir equivalentemente las ecuaciones de campo como:

Interpretación geométrica de la Ecuación de Einstein5editar 6

0a ecuación de Einstein implica que para cada observador , la curvatura escalardel espacio es proporcional a la densidad aparente :

https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_momento-energ%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_momento-energ%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luzhttps://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_la_gravitaci%C3%B3n_universalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_la_gravitaci%C3%B3n_universalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_la_gravitaci%C3%B3n_universalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_de_curvatura_de_Riccihttps://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_de_curvatura_de_Riccihttps://es.wikipedia.org/wiki/Constante_cosmol%C3%B3gicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_sim%C3%A9tricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_generalhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaciones_del_campo_de_Einstein&action=edit&section=2https://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvaturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9tricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_momento-energ%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luzhttps://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_la_gravitaci%C3%B3n_universalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_de_curvatura_de_Riccihttps://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_de_curvatura_de_Riccihttps://es.wikipedia.org/wiki/Constante_cosmol%C3%B3gicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_sim%C3%A9tricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_generalhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaciones_del_campo_de_Einstein&action=edit&section=2https://es.wikipedia.org/wiki/Observadorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Curvatura

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donde:

• c  < / = "#"# 5cm s-"6 es la velocidad de la lu)

• G < 9,9> = "#-? 5cm/ s- $-"6 es la constante de la $ravitación universal.

De acuerdo con el si$nificado $eométrico de la curvatura escalar, esta i$ualdadafirma que en una esfera de masa M  ' densidad constante, el eceso radial (ladiferencia entre el radio real ' el radio que le correspondería en la $eometríaeuclídea a una esfera de i$ual &rea es i$ual a

or e!emplo, en el caso de la @ierra el eceso radial es de #,"+cm ' en el caso delAol es de unos 77## metros.

Es asombroso que esta ecuación, que introduce mínimas correcciones en lasfórmulas de la $eometría euclídea, reco!a casi todas las ecuaciones conocidas dela físicamacroscópica. En efecto, cuando la velocidad de la lu) c  tiende a infinito,de ella se derivan le' de $ravitación universal de 3e4ton, la Ecuación deoisson ', por tanto, el car&cter atractivo de las fuer)as $ravitatorias, lasecuaciones de la mec&nica de fluidos (ecuación de continuidad ' ecuaciones deEuler , las le'es de conservación de la masa ' el momento, el car&cter euclídeodel espacio, etc.

B$ualmente se derivan todas la le'es de conservación relativistas, ' que laeistencia de campos $ravitatorios ' de masa sólo es posible cuando el espaciotiene dimensión ma'or que . 1&s an, si se supone que el espacio tiene

dimensión 7 (las tres que vemos diariamente m&s una peque2ísima dimensióncircular etra, aproimadamente del tama2o de la llamada lon$itud de

lancC  cm de la ecuación de Einstein se deducen la teoría cl&sica delelectroma$netismo: las Ecuaciones de 1a4ell ', por tanto, la0e' de oulomb, la onservación de la car$a eléctrica ' la le' de 0orent).

Límite clásico5editar 6

 Artículo principal: 0ímite cl&sico0ímite cl&sico de la relatividad $eneral

En el límite cl&sico la nica componente no nula del tensor de Ricci es lacomponente temporal . ara obtener el límite cl&sico debe suponerse que elpotencial $ravitatorio es mu' peque2o en relación al cuadrado de la velocidad de

la lu) ' a continuación debe tomarse el límite de las ecuaciones cuando lavelocidad de la lu) tiende a infinito, haciendo esas manipulaciones se obtiene quelas ecuaciones de campo de Einstein para el campo $ravitatorio se reducen a laecuación diferencial de oisson para el potencial $ravitorio. Auponiendo que paracampos $ravitatorios débiles la métrica del espacio tiempo puede escribirse comouna perturbación de la métrica de 1inCo4sCi:

0a componente temporal del tensor de Ricci resulta ser:

https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_gravitaci%C3%B3n_universalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_gravitaci%C3%B3n_universalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poissonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poissonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poissonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_continuidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Euler_(fluidos)https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Euler_(fluidos)https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_conservaci%C3%B3n_de_la_masahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimientohttps://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_Planckhttps://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_Planckhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwellhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwellhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Coulombhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Coulombhttps://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctrica#Principio_de_conservaci.C3.B3n_de_la_cargahttps://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctrica#Principio_de_conservaci.C3.B3n_de_la_cargahttps://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_de_Lorentzhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaciones_del_campo_de_Einstein&action=edit&section=3https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_cl%C3%A1sico#L.C3.ADmite_cl.C3.A1sico_de_la_relatividad_generalhttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_cl%C3%A1sico#L.C3.ADmite_cl.C3.A1sico_de_la_relatividad_generalhttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_cl%C3%A1sicohttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_cl%C3%A1sicohttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9trica_de_Minkowskihttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9trica_de_Minkowskihttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_gravitaci%C3%B3n_universalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poissonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poissonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_continuidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Euler_(fluidos)https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Euler_(fluidos)https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_conservaci%C3%B3n_de_la_masahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimientohttps://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_Planckhttps://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_Planckhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwellhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Coulombhttps://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctrica#Principio_de_conservaci.C3.B3n_de_la_cargahttps://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_de_Lorentzhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaciones_del_campo_de_Einstein&action=edit&section=3https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_cl%C3%A1sico#L.C3.ADmite_cl.C3.A1sico_de_la_relatividad_generalhttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_cl%C3%A1sicohttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9trica_de_Minkowski

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0a ltima epresión es precisamente la ecuación de oisson que es la epresióncl&sica que relaciona el potencial $ravitatorio con la densidad de materia.

Soluciones de la ecuación del campo de Einstein5editar 6

Fna solución de la ecuación del campo de Einstein es cierta métrica apropiada

para la distribución dada de la masa ' de la presión de la materia. %l$unassoluciones para una situación física dada son como si$ue.

Distribución de masa esférica simétrica y estática5editar 6

0a solución para el vacío alrededor de una distribución de masa esférica simétrica,est&tica, es la métrica de Ach4ar)schild ' la métrica de GrusCal-A)eCeres. Aeaplica a una estrella ' conduce a la predicción de un hori)onte de sucesos m&s

all& del cual no se puede observar. redice la posible eistencia de un a$u!erone$ro de masa dada del que no puede ser etraída nin$una ener$ía, en elsentido cl&sico del término (i.e. no mec&nico-cu&ntico.

Véanse también: Radio de Ach4ar)schild y   %$u!ero ne$ro de Ach4ar)schild.

Masa de simetría aial en rotación5editar 6

0a solución para el espacio vacío alrededor de una distribución de masa desimetría aial en rotación es la métrica de Gerr . Ae aplica a una estrella que rota 'conduce a la predicción de la eistencia posible de un a$u!ero ne$ro en rotación

de masa dada ' momento an$ular , del cual la ener$ía rotatoria puede seretraída.

Véase también:  %$u!ero ne$ro de Gerr 

!ni"erso isótropo y #omogéneo $o uniforme%5editar 6

0a solución para un Fniverso isótropo ' homo$éneo, lleno con una densidadconstante ' de una presión insi$nificante, es la métrica de Robertson-HalCer . Aeaplica al Fniverso en su totalidad ' conduce a diversos modelos de su evoluciónque predicen un Fniverso en epansión.

Véanse también: riedman-0emaItre-Robertson-HalCer  y   %celeración de laepansión del Fniverso.

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