ecuaciones diferenciales parciales

Metodos Numericos para Ecuaciones enDerivadas Parciales

Luis Ferragut CanalsMabel Asensio Sevilla

12 de noviembre de 2012

Indice general

1. Espacios de Sobolev 7

1.1. Nociones sobre teora de distribuciones . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. El espacio de Sobolev H1() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. El espacio H10 () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Un teorema de la traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1. Caso A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2. Caso B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5. Aplicaciones del teorema de la traza . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6. Un resultado de compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7. Los espacios de Sobolev Hm() . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. Formulacion debil de problemas elpticos 31

2.1. Problemas variacionales abstractos . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Problema de Dirichlet homogeneo asociado al operador 4 . 35

2.3. Problema de Neumann homogeneo asociado al operador4+Id 38

2

INDICE GENERAL

2.4. Problema de Dirichlet no homogeneo asociado al operador 4 41

2.5. Problema de Neumann no homogeneo asociado al operador

4+ Id . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6. Problema de contorno asociado a un operador elptico de se-

gundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7. Un ejemplo sin unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.8. Deformacion elastica de un solido . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3. Aproximacion numerica mediante el Metodo de Elementos

Finitos 59

3.1. Aproximacion variacional abstracta . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2. Construccion de espacios de Elementos Finitos . . . . . . . . . 62

3.2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.2. Concepto de Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.3. Elementos Finitos de Lagrange en un dsimplex . . . . 66

3.2.4. Un metodo general para construir a partir de un ele-

mento nito (T^ ; P^ ; ^) toda una familia de elementos

nitos (T; P;) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.5. Construccion de subespacios de H1 . . . . . . . . . . . 77

4. Analisis numerico del Metodo de Elementos Finitos 82

4.1. Resultados generales de aproximacion en espacios de Sobolev . 82

4.2. Aplicacion al analisis numerico del M.E.F. en problemas elpti-

cos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3

INDICE GENERAL

5. Aspectos practicos y programacion del M.E.F. 97

5.1. Un Metodo de Elementos Finitos para el problema de Poisson 97

5.2. Calculo de la matriz del sistema de ecuaciones y del segundo

miembro: Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.3. Un metodo general para el calculo de matrices y vectores ele-

mentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4

Indice de guras

3.1. Ejemplo de triangulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2. triangulo de seis nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3. funcion p1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4. funcion p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5. funcion p3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6. funcion p4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.7. funcion p5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.8. funcion p6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.1. Ejemplo de triangulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2. Ejemplo de una funcion base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3. funcion 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.4. funcion 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.5. funcion 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.6. Triangulacion del cuadrado [0; 1] [0; 1] . . . . . . . . . . . . 104

5.7. Curvas de nivel de la funcion '41 . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5

INDICE DE FIGURAS

5.8. Soporte de la funcion '41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.9. Estrella asociada a la ecuacion 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6

Captulo 1

Espacios de Sobolev

1.1. Nociones sobre teora de distribuciones

Sea un abierto no vaco de Rd.

Denicion: D() es el espacio de funciones de clase C1() con soportecompacto en .

Utilizaremos la siguiente notacion para las derivadas en D(): si ' 2D() y = (1; : : : ; d) 2 Nd es un multientero, con jj = 1 + : : : + d,denotamos

@' = @@x1

1 : : : @@xd

d' = @jj'@x11 : : : @x

d2

Pseudotopologa en D()

Denicion: si f'ng es una sucesion de D() diremos que lmn!1

'n = '

en D() si:

1. el soporte de 'n permanece en un compacto jo K de 8n,2. 8 2 Nd se tiene convergencia uniforme, es decir,

supx2;2Nd

j@'n(x) @'(x)j !n!1

0

7

1.1. NOCIONES SOBRE TEORIA DE DISTRIBUCIONES

Denicion: Se denomina espacio de distribuciones sobre , D0(), aldual topologico de D(), es decir, el espacio de las formas lineales continuassobre D().

Pseudotopologa en D0()

Denicion: si fTng es una sucesion de D0() diremos que lmn!1

Tn = T

en D0() si hTn; 'i !n!1

hT; 'i, 8' 2 D().

Ejemplos:

1. Delta de Dirac:Sea a 2 , la delta de Dirac en a, a se dene ha; 'i = '(a)8' 2 D().

2. Espacio de funciones L2():

Recordemos que L2() = ff : ! R medibles : R

f 2dx < 1g es un

espacio de Hilbert con el producto escalar (f; g)0; =R

f(x)g(x)dx y

la correspondiente norma asociada kfk0; = R

f(x)2dx

1=2. Ademas

D() es denso en L2(). A cada f 2 L2() le asociamos la distribu-cion Tf denida por: hTf ; 'i =

R

f(x)'(x)dx 8' 2 D(). La aplicacion

L2() ! D0() que asigna a cada funcion f la correspondiente distri-bucion asociada Tf as denida es inyectiva y continua.

Derivacion en el sentido de las distribuciones

Denicion: Sea T 2 D0() una distribucion, se dene la derivada deT respecto a xi en el sentido de las distribuciones,

@T@xi

, como la siguiente

distribucion:

h @T@xi

; 'i = hT; @'@xi

i; 8' 2 D():

De manera general, sea T 2 D0() una distribucion y 2 Nd un multientero,se dene:

h@T; 'i = (1)jjhT; @'i; 8' 2 D():

Propiedades:

8

1.2. EL ESPACIO DE SOBOLEV H1()

1. Si f 2 C1(), su derivada clasica coincide con su derivada en el sentidode las distribuciones, es decir, T @f

@xi

=@Tf@xi

.

2. La aplicacion @@xi

: D0() ! D0() es continua.3. Una distribucion es innitamente derivable en el sentido de las distri-

buciones.

4. La aplicacion @ : D0() ! D0() es continua 8 2 Nd.

1.2. El espacio de Sobolev H1()

Sea f 2 L2() que puede ser o no derivable en el sentido clasico, peroentendida como distribucion, Tf 2 D0(), podemos derivarla en el sentidode las distribuciones

@Tf@xi

2 D0(); 1 i d. En general, esta distribucionno esta en L2(), pero si existe una funcion g 2 L2() tal que Tg = @Tf@xientonces podemos escribir g = @f

@xi2 L2() en el sentido de las distribuciones,

cumpliendose,Z

g'dx = hTg; 'i = h@Tf@xi

; 'i = hTf ; @'@xi

i = Z

f@'

@xidx; 8' 2 D()

Denicion: Se llama espacio de Sobolev de orden 1 sobre al espacio,

H1() = fv 2 L2(); @v@xi

2 L2(); 1 i dg

donde las derivadas son en el sentido de las distribuciones.

Se dota a este espacio del siguiente producto escalar,

(u; v)1; =

Z

(uv +dXi=1

@u

@xi

@v

@xi)dx;

y la correspondiente norma asociada,

kuk1; = (u; v)1=21; = (Z

u2 +dXi=1

(@u

@xi)2dx)1=2:

9

1.2. EL ESPACIO DE SOBOLEV H1()

Teorema: H1() es un espacio de Hilbert con la norma k k1;.

Demostracion: Recordemos que un espacio de Hilbert es un espacio vecto-

rial dotado de un producto escalar que es completo para la norma asociada,

es decir, que toda sucesion de Cauchy es convergente. Basta pues demostrar

que en H1() toda sucesion de Cauchy es convergente para la norma k k1;.

Sea fvmg1m=1 una sucesion de Cauchy en H1(), por lo tanto,

kvn vmk21; =Z

((vn vm)2 +dXi=1

(@vn@xi

@vm@xi

)2)dx !n;m!1

0

lo cual implica, R

(vn vm)2dx !n;m!1

0;R

Pdi=1(

@vn@xi

@vm@xi

)2dx !n;m!1

0:

Por lo tanto, las sucesiones fvmg1m=1 y f@vm@xi g1m=1 para i = 1; : : : ; d, enten-didas como sucesiones de L2() son de Cauchy. Como L2() es un espacio

completo, estas sucesiones son convergentes en este espacio, es decir, existen

funciones v y vi; 1 i d, en L2(), tales que,

vn !n!1

v;@vn@xi

!n!1

vi; 1 i d:

Basta demostrar que vi =@v@xi; 1 i d, en el sentido de las distribu-

ciones. Puesto que la inclusion canonica de L2() en D0() es continua, laconvergencia de las sucesiones en L2() implica la convergencia en D0(), esdecir,

Tvn !n!1

Tv;

T @vn@xi

!n!1

Tvi ; 1 i d:

Por otro lado, la continuidad de la derivada en el sentido de las distribuciones

implica,

@Tvn@xi

!n!1

@Tv@xi

; 1 i d:

10

1.3. EL ESPACIO H10 ()

Como ademas @Tvn@xi

= T @vn@xi

; 1 i d por ser vn 2 H1(), y el lmite esunico, entonces vi =

@v@xi; 1 i d, en el sentido de las distribuciones.

Teorema: H1() es separable, es decir, tiene una parte densa numerable.

Demostracion: La demostracion de este resultado se basa en las siguientes

propiedades de los espacios separables:

1. el producto cartesiano de espacios separables es separable,

2. un subespacio cerrado de un espacio separable es separable.

L2() es un espacio de Hilbert separable, entonces el espacio producto (L2())d+1

con la estructura hilbertiana producto es separable. Por otro lado, la aplica-

cion,

J : v 7! (v; @v@x1

; : : : ;@v

@xd)

de H1() en (L2())d+1 es una isometra, puesto que,

kJvk(L2())d+1 = (kvk20;) +dXi=1

k @v@xi

k20;)1=2 = kvk1;:

Identicando H1() con J(H1()), al ser este un subespacio cerrado del

espacio separable (L2())d+1, es separable, y por tanto H1() es separable.

1.3. El espacio H10()

Sabemos que D() es denso en L2() y H1() es un cierto subespacio deL2(). Nos preguntamos si D() es denso en H1(), en general NO, pero si

= Rd entonces si es cierto.

11


Denicion: Se dene H10 () como la adherencia de D() en H1(), esdecir, H10 () = D()

H1().

Teorema: D(Rd) es denso en H1(Rd), es decir, H10 (Rd) = H1(Rd).

Demostracion: La demostracion de este resultado se divide en dos partes:

truncamiento y regularizacion. Con la regularizacion demostramos que el

espacio D(Rd) es denso en el espacio de las funciones de H1(Rd) con soportecompacto, y con el truncamiento demostramos que este espacio es denso en

H1(Rd).1- Truncamiento

Queremos aproximar las funciones de H1(Rd) por funciones de H1(Rd) consoporte compacto. Para ello introducimos una funcion M 2 D(Rd) tal que:

8 2

Ahora, para todo numero real R > 0, denimos la funcion MR 2 D(Rd) dadapor:

MR(x) = M xR

donde

x

R=x1R; : : : ;

xdR

:

Entonces, si v 2 H1(Rd), la funcion MRv 2 H1(Rd) y es de soporte compactopues su soporte es el de MR. Veamos ahora que MR v !

R!1v en H1(Rd) y

habremos concluido. Para ello tenemos que demostrar dos cosas:

1- MR v !R!1

v en L2(Rd)2- @MRv

@xi!R!1

@v@xi

en L2(Rd) para i = 1; : : : ; d

1- Tenemos que ver que kMR v vk0;Rd !R!1

0, en efecto,

kMR v vk0;Rd =RRd(MR v v)2dx =R

jxj


2- Calculemos @MRv@xi

en el sentido de las distribuciones.

@MR v@xi

=@MR@xi

v +MR @v

@xi

El segundo termino evidentemente converge a 0 cuando R !1. Veamos elprimer termino. Tenemos que @MR

@xi(x) = 1

R@M@xi

xR

, por tanto 8i = 1; : : : ; d,

se tiene que lmR!1 supx2Rd@MR@xi

(x) = 0 . As podemos concluir

ZRd

@MR@xi

v2dx sup

x2Rdj@MR@xi

j2ZRdv2dx !

R!10

2- Regularizacion

Queremos demostrar que toda funcion de H1(Rd) con soporte compacto sepuede escribir como lmite en H1(Rd) de funciones v 2 D(Rd). Para ellodenimos una funcion ' 2 D(Rd) tal que:

8 1RRd '(x)dx = 1

Ahora, para cada > 0, construimos la funcion ' 2 D(Rd) denida por'(x) =

1d'(x

) que verica:

8 RRd '(x)dx = 1

Consideramos la funcion regularizada v = ' ? v, es decir,

v(x) =

ZRd'(x y)v(y)dy

Como v y ' son de soporte compacto, v tambien es de soporte compacto. Por

las propiedades del producto de convolucion y por ser ' 2 D(Rd) tenemosque v es C

1diferenciable.

13


Por ultimo, utilizando el resultado del lema que demostramos a continuacion,tenemos:

v !!0

v en L2(Rd)@v@xi

= ' ?@v@xi

!!0

@v@xi

en L2(Rd)

Y as tenemos que v !!0

v en H1(Rd).

Lema: Si f 2 L2(Rd) ) ' ? f !!0

f en L2(Rd).

Demostracion: Como D(Rd) es denso en L2(Rd), se puede considerar unasucesion fn 2 D(Rd) tal que fn !

n!1f en L2(Rd) y escribir,

' ? f f = ' ? f ' ? fn + ' ? fn fn + fn f

Tomando la norma k k0;Rd ,

k' ? f fk0;Rd k' ? f ' ? fnk0;Rd + k' ? fn fnk0;Rd + kfn fk0;Rd

Por un lado, por las propiedades del producto de convolucion, y por ser

k'k0;1;Rd = 1, tenemos,

k' ? f ' ? fnk0;Rd = k' ? (f fn)k0;Rd k'k0;1;Rdkf fnk0;Rd !n!1

0

Por otro lado, obviamente,

kfn fk0;Rd !n!1

0

Por ultimo, multiplicando porRRd '(x y)dy = 1

(' ? fn fn)(x) =RRd '(x y)fn(y)dy fn(x) =R

Rd '(x y)fn(y)dy RRd '(x y)dyfn(x) =R

Rd '(x y)(fn(y) fn(x)dy =Rjxyj '(x y)(fn(y) fn(x)dy;

tomando valor absoluto,

j(' ? fn fn)(x)j Rjxyj j'(x y)jj(fn(y) fn(x)jdy

supy:jxyj j(fn(y) fn(x)jRjxyj j'(x y)jdy =

supy:jxyj j(fn(y) fn(x)j

14


Tenemos que supy:jxyj j(fn(y) fn(x)j !!1

0 uniformemente, por tanto

j(' ? fn fn)(x)j !!1

0 uniformemente. Ademas ' y fn tienen soporte

compacto, luego su producto de convolucion tambien tiene soporte compacto.

Sea K = sop' [ sopfn, entonces,ZRdj' ? fn fnj2dx sup

y:jxyjj' ? (fn(x) fn(x)j2

ZK

1dx !!1

0;

es decir, tambien tiende a 0 el termino que faltaba para completar la demos-

tracion.k' ? fn fnk0;Rd !

!10:

Teorema (de prolongacion): Si v 2 H10 (), la funcion ev, prolongacionde v por 0 en Rd n , es una funcion de H1().

Demostracion: Para esta demostracion utilizaremos repetidamente el teo-

rema de prolongacion de aplicaciones lineales continuas: Sea E un subespacio

de un espacio normado E, con E denso en E, B un espacio de Banach y

f : E ! B una aplicacion lineal continua, entonces existe una prolongacionef : E ! B lineal y continua.Sea ' 2 D(), evidentemente e' prolongacion de ' por 0 en Rd n es una

funcion de D(Rd) pues ' en la frontera de es 0. Por tanto e' sigue siendo desoporte compacto y C1diferenciable en todo Rd. Ademas ke'k1;Rd = k'k1;

provisto D() de la norma inducida por la de H1(). Por tanto, la siguienteaplicacion es lineal y continua:

D() ! D(Rd) H1(Rd)' 7! e'

Por otro lado, D() es denso en H10 (), entonces utilizando teorema de pro-longacion de aplicaciones lineales continuas, esta aplicacion se prolonga a una

aplicacion lineal continua,

H10 () ! H1(Rd)v 7! ev

15


Para concluir tenemos que ver que ev es la prolongacion por 0 en Rd n .En efecto, sea f'ng una sucesion de funciones de D() que converge a v enH10 (), en particular converge en L

2(). Por la continuidad de la aplicacion

ampliada, f'n converge a ev en H1(Rd) y tambien en L2(Rd). Entonces pode-mos extraer una subsucesion ff'mg que converja a ev casi por todas partes enRd, y por tanto,

si x 2 se tiene que f'm(x) = 'm(x) ! v(x) = ev(x)si x 2 Rd n se tiene que f'm(x) = 0 ! 0 = ev(x)

Formula de Green para funciones de H10 ():

8u; v 2 H10 () se tieneZ

u@v

@xidx =

Z

@u

@xivdx 8i = 1; : : : ; d

Demostracion: La demostracion de basa en la formula de Green para

funciones de D() (integracion por partes) y la densidad de D() en H10 ().

Por la densidad de D() en H10 (), existen dos sucesiones fung1n=1 yfvng1n=1 de D() que convergen respectivamente a u y v en la norma deH1(), por tanto, 8i = 1; : : : ; d,

@un@xi

!n!1

@u@xi

en L2();@vn@xi

!n!1

@v@xi

en L2():

Aplicando la formula de Green clasica a las funciones de D(),Z

un@vn@xi

dx = Z

@un@xi

vndx+

Z

unvnids

Como son funciones de soporte compacto, la integral sobre la frontera es

nula, y pasando al lmite se concluye.

Denicion: Se dene la siguiente seminorma sobre H1():

v 7! jvj1; = (dXi=1

Z

(@v

@xi)2dx)1=2

16


Esta aplicacion es solo seminorma porque hay funciones de H1() que no

son nulas pero sus derivadas si lo son.

Teorema (Desigualdad de Poincare): Si es un abierto acotado de

Rd, existe una constante C = C() > 0 tal que,

8v 2 H10 () kvk0; C()(dXi=1

k @v@xi

k20;)1=2

Demostracion: Por la densidad de D() en H10 (), basta demostrar esteresultado para funciones v 2 D(), luego tomando sucesiones convergentesqueda demostrado 8v 2 H10 ().

Como esta acotado, podemos suponer que esta contenido en una banda

fx = (x0; xd); x0 = (x1; : : : ; xd1); a xd bg. Sea v 2 D() y ev su prolon-gacion por 0 en Rd n. Obviamente ev 2 D(Rd), y se tiene por la desigualdadde Cauchy-Schwarz,

ev(x0; xd) = Z xda

@ev@xd

(x0; )d Z xd

a

@ev@xd

(x0; )2d1=2Z xd

a

12d1=2

:

Tomando el cuadrado del valor absoluto,

jev(x0; xd)j2 (xd a)Z xda

@ev@xd

(x0; )2d (xd a) Z 1

1

@ev@xd

(x0; )2d;

integrando respecto a la variable x0,ZRd1

jev(x0; xd)j2dx0 (xd a)ZRd

@ev@xd

(x)2dx;

nalmente, integrando respecto a la variable xd,ZRdjev(x)j2dx = Z b

a

ZRd1

jev(x0; xd)j2dx0dxd 12

(b a)2ZRd

@ev@xd

(x)2dx;

obteniendo,

kvk20; = kevk20;Rd 12(b a)2 RRd @ev@xd (x)2dx = 12(b a)2k @ev@xdk20;

1

2(b a)2Pdi=1 k @ev@xik20; = 12(b a)2jvj21;:

17


Tomando raz cuadrada, concluimos kvk0; jbajp2 jvj1;.

Observar que en la demostracion anterior basta exigir que sea acotado

en una direccion.

Supongamos que es acotado y denimos v tal que v(x) = 1; 8x 2 ,esta funcion es de H1() pero no verica la desigualdad de Poincare. Por

tanto, podemos concluir el siguiente resultado:

Corolario: Si es un abierto acotado de Rd, entonces H10 () es un

subespacio propio de H1(), es decir, H10 ()6= H

1().

Corolario: Si es un abierto acotado de Rd, entonces la seminorma jj1;

es una norma sobre H10 () equivalente a la norma inducida por k k1;, esdecir, existen constantes C1 y C2 tales que

C1kvk1; jvj1; C2kvk1; 8v 2 H10 ()

Demostracion:

1. Es evidente que C2 = 1, en efecto,

jvj21; =dXi=1

Z

@v@xi

2dx

Z

v2 +dXi=1

@v@xi

2dx = kvk21;

2. Como es acotado y v 2 H10 (), utilizando la desigualdad de Poin-care obtenemos C1 = 1=

pC2() + 1 despejando de:

kvk21; = kvk20;+dXi=1

@v@xi

20;

(C2()+1)dXi=1

@v@xi

20;

= (C2()+1)jvj21;

18

1.4. UN TEOREMA DE LA TRAZA

1.4. Un teorema de la traza

Sea = @, dada una funcion v 2 H1(), queremos denir su valor enla frontera .

Para d = 1, se tiene H1(I) C0(I), entonces como toda ncion v 2H1(I) tiene un representante continuo en I, basta tomar el valor de este

representante en los extremos del intervalo I para denir vj. Sin embargo,para d 2, las funciones de H1() no son en general continuas y hacen faltaargumentos mas sosticados para denir su valor en la frontera.

Nuestro objetivo es estudiar si D() es denso en H1(), para as poderprolongar por continuidad la aplicacion 0,

0 : D() ! C0()v 7! 0v = vj

+

0 : H

1() ! L2()v 7! 0v = vj

y as dar sentido al valor de las funciones v 2 H1() en . Esta aplicacionprolongada se llama APLICACION TRAZA, y el valor de 0v de una funcion

v 2 H1() se llama TRAZA de v en .

D() sera denso en H1() para un abierto acotado de Rd con frontera sucientemente regular. Veamos cuales son estas condiciones de regularidad

sucientes.

1.4.1. Caso A

Consideremos el caso mas simple, = Rd+ donde

Rd+ = fx = (x0; xd) 2 Rd; xd > 0g:

Entonces, la frontera de es el hiperplano = fx = (x0; 0) 2 Rd; x0 2 Rd1g.

19


Teorema: D(Rd+) es denso en H1(Rd+).

Demostracion: De nuevo, esta demostracion se divide en fase de trunca-

miento y fase de regularizacion.

1- Truncamiento

Queremos aproximar las funciones de H1(Rd+) por funciones de H1(Rd+) consoporte compacto en Rd+. La demostracion es igual que en el caso anterior.

2- Regularizacion

Queremos demostrar que toda funcion de H1(Rd+) con soporte compacto se

puede escribir como lmite en H1(Rd) de funciones v 2 D(Rd+). Se procede denuevo mediante regularizacion por convolucion, pero en este caso se plantean

algunas dicultades.

Sea v 2 H1(Rd+) con soporte compacto en Rd+, para aplicar convolu-cion necesitamos que sea una funcion ampliada de todo Rd y luego volvera restringir a Rd+ el producto de convolucion. Sin embargo, si prolongamosv 2 H1(Rd+) por 0 a todo Rd, la funcion prolongada no pertenece a H1(Rd).Para resolver esta dicultad trasladamos la funcion.

Sea wh la siguiente funcion hv = wh(x0; xd) = v(x0; xd+h), denida para

xd h, y consideremos vh = whjRd+ . Veamos que vh !h!0 v en H1(Rd+), para

ello basta ver que vh !h!0

v en L2(Rd+) y observar que h @v@xi =@@xi

(hv).

Para demostrar que vh !h!0

v en L2(Rd+), por densidad, basta demostrarlo

para v 2 D(Rd+).

Sea v 2 D(Rd+), por tanto tiene soporte compacto dentro de Rd+, luegopodemos ampliarla por 0 en Rd n Rd+ y la funcion ampliada ev 2 D(Rd). PorCauchy-Schwarz, tenemos,

hev ev(x) = ev(x0; xd + h) ev(x0; xd) = R 10 h @ev@xd (x0; xd + th)dt R 1

0h2dt

1=2 R 10

@ev@xd

(x0; xd + th)2dt1=2

h R 1

0

@ev@xd

(x0; xd + th)2dt1=2

20


integrando el cuadrado en todo Rd,RRdhev ev2(x)dx h2 RRd R 10 @ev@xd (x0; xd + th)2dtdx =

h2R 10dtRRd@ev@xd

(x)2dx = h2

RRd@ev@xd

(x)2dx h2jevj2

1;Rd !h!0 0

y nalmente, siendo vh = hvjRd+ , tenemos,

kvhvk0;Rd+ =ZRd+

(vhv)2dx =ZRd+

(hevhev)2dx ZRd

(hevhev)2dx !h!0

0

Una vez que hemos demostrado que vh !h!0

0 en H1(Rd+), podemos

limitar nuestro estudio a funciones v que son restricciones a Rd+ de funcionesw 2 H1(Rdh) y de soporte compacto.

Sea 2 D(Rdh) tal que = 1 en el sopv y = 0 cuando xd h=2.Naturalmente wh 2 H1(Rdh), se anula en un entorno de la frontera deRdh y su prolongacion por 0 a todo Rd, g wh, pertenece a H1(Rd). Ahora yaestamos en condiciones de aplicar regularizacion por convolucion, por tanto,

existe una sucesion de funciones ' ? g wh tales que ' ? g wh !!0

g wh enH1(Rd). Por las propiedades del producto de convolucion, a partir de un sucientemente peque~no, se tiene,

sop' ? g wh sop' + sopg wh Rdhpor tanto, tomando restricciones a Rdh,

' ? g whjRdh !!0 wh en H1(Rdh);y tomando restricciones a Rd+,

' ? g whjRd+ !!0 whjRd+ en H1(Rd+);donde naturalmente

' ? g whjRd+ 2 D(Rd+)

21


Lema: Para toda funcion v de D(Rd+) se tiene la desigualdad

kv(; 0)k0;Rd1 kvk1;Rd+

Demostracion: Sea v 2 D(Rd+), por el teorema fundamental del calculointegral,

jv(x0; 0)j2 = Z 10

@

@xdjv(x0; xd)j2dxd = 2

Z 10

v(x0; xd)@v

@xd(x0; xd)dxd;

utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwartz,

jv(x0; 0)j2 2Z 1

0

jv(x0; xd)j2dxd1=2Z 1

0

j @v@xd

(x0; xd)j2dxd1=2

;

y la desigualdad 2ab a2 + b2,

jv(x0; 0)j2 Z 10

jv(x0; xd)j2 + j @v@xd

(x0; xd)j2dxd;

de modo que concluimos integrando en x0,

kv(; 0)k0;Rd1 =RRd1 jv(x0; 0)j2dx0 R

Rd+jv(x0; xd)j2 + j @v@xd (x0; xd)j2dxd kvk21;Rd+ :

Corolario (Teorema de la traza en Rd+): La aplicacion lineal continua

D(Rd+) ! D(Rd1) L2(Rd1)v 7! v(; 0)

se prolonga por continuidad a una aplicacion lineal continua

H1(Rd+) ! L2(Rd1)v 7! v(; 0)

vericandose ademas 8v 2 H1(Rd+)

kv(; 0)k0;Rd1 kvk1;Rd+ :

22


1.4.2. Caso B

Denicion: Un abierto de Rd se dice que es 1-regular si es acotado ysu frontera es una variedad de clase C1 de dimension d 1.

Esto signica que existe un numero nito de abiertos acotados i de Rd,0 i I, tales que 0 esta incluido en , figIi=0 es un recubrimiento abiertode , y para todo i = 1; : : : ; I existe una aplicacion invertible de clase C1

'i : x 7! y = 'i(x) de i en B, bola abierta de Rd de radio 1, cuya aplicacioninversa '1i tambien es de clase C

1 y tal que

'i(i \ ) = B [ Rd+ = fy = (y0; yd) 2 Rd; jyj < 1; yd > 0g;

'i(i \ ) = fy = (y0; yd) 2 Rd; jy0j < 1; yd = 0g:Diremos que fi; 'igIi=1 es un sistema de cartas locales que denen .

Vamos a demostrar el teorema de la traza para 2 Rd abierto 1-regular,pero tambien se puede generalizar a abiertos acotados con frontera de clase

C1 a trozos.

La demostracion se hace en varias etapas, a traves de los siguientes lemas.

Lema 1: Si es 1-regular, existe un operador P lineal continuo llamado

de 1-prolongacion P : H1() ! H1(Rd), tal que

8v 2 H1() Pv = v casi por todas partes en :

Demostracion: Veamos primero el caso de = Rd+ y luego por cartaslocales y particion de la unidad lo extenderemos al caso de un abierto

1-regular.

Caso: = Rd+Si v 2 D(Rd+), sea Pv su prolongacion por reexion,

Pv(x0; xd) =v(x0; xd) si xd 0v(x0;xd) si xd < 0

23


Pv es continua, esta en H1(Rd) y se tiene,

@Pv

@xi(x0; xd) =

8


Lema 2: Si es 1-regular, D() es denso en H1().

Demostracion: Sea v 2 H1() y Pv 2 H1(Rd) su prolongacion a todoRd. Como D(Rd) es denso en H1(Rd) existe una sucesion fwng1n=1 2 D(Rd)tal que wn !

n!1Pv en H1(Rd). Sea vn = wnj, la sucesion fvng1n=1 es una

sucesion de D() tal que vn !n!1

v en H1().

Para el tercer lema utilizaremos la siguiente notacion d denota la medida

supercial sobre , inducida por la medida Lebesgue dx. As denimos L2()

el conjunto de las funciones denidas sobre medibles para la medida d y

de cuadrado integrable, con la norma kvk0; = R

v2d

1=2.

De manera equivalente, utilizando la particion de la unidad, podemos

denir,

L2() = fv ! R; ^(iv) '1i (; 0) 2 L2(Rd1); 1 i Ig

con la norma

[jv[j0; = IXi=1

k ^(iv) '1i k20;Rd11=2

que es equivalente a la anterior, es decir, existen constantes C1 y C2 tales que

C1[jv[j0; kvk0; C2[jv[j0;.

Lema 3: Si es 1-regular, existe una constante C > 0 tal que

8v 2 D() k0vk0; Ckvk1;:

Demostracion: Sea v 2 D(), utilizando la particion de la unidad figIi=1,denimos en B+ las funciones wi = (iv) '1i , para 1 i I. Sea ewi suprolongada por 0 a todo Rd+. Segun el teorema de la traza en Rd+, se tieneque k ewi(; 0)k0;Rd1 k ewik1;Rd+ , y por las propiedades de i y 'i, se deducek ewik1;Rd+ Cikvk1;. Finalmente, por la equivalencia anterior de normas, se

25

1.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE LA TRAZA

concluye,

k0vk0; C2[j0v[j0; = C2PI

i=1 kw^i(; 0)k20;Rd11=2

C2PI

i=1 kC2i1=2

= Ckvk1;

El teorema de la traza es consecuencia directa de estos tres resultados.

Teorema (de la traza): Sea un abierto 1-regular de Rd. EntoncesD() es denso en H1() y la aplicacion lineal continua 0 : v 7! 0v = vj deD() en L2() se prolonga por continuidad a una aplicacion lineal continuade H1() en L2(), que denotamos tambien 0, llamada aplicacion traza.

1.5. Aplicaciones del teorema de la traza

Formula de Green para funciones de H1()

Denotamos por i la i-esima componente del vector normal unitario ex-

terior de .

Teorema: Sea un abierto 1-regular de Rd. Entonces 8u; v 2 H1() setiene, Z

u@v

@xidx =

Z

@u

@xivdx+

Z

uvid; 8i = 1; : : : ; d:

Demostracion: Si u; v 2 H1(), entonces existen sendas sucesiones fung1n=1y fvng1n=1 en D() tales que convergen respectivamente a u y v en H1().

Para un; vn 2 D() es valida la formula de Green,Z

un@vn@xi

dx = Z

@un@xi

vn +

Z

unvnid; 8i = 1; : : : ; d:

Se concluye pasando al lmite, puesto que por la continuidad de la aplicacion

traza, unj y vnj convergen respectivamente a ujn y vjn en L2().

26


Caracterizacion del espacio H10 ()

El teorema de la traza tambien nos permite caracterizar de forma mas

sencilla el subespacio H10 () de H1().

Teorema: Sea un abierto 1-regular de Rd. Entonces H10 () es el nucleode la aplicacion traza 0 : H

1() ! L2(), esto es,

H10 () = fv 2 H1() : vj = 0g

Demostracion: Sea v 2 H10 (), entonces existe una sucesion f'ng1n=1 deD() tal que 'n !

n!1v en H1(). Por la continuidad de la aplicacion traza,

k0'n 0vk0; Ck'n vk1;, de donde 0'n !n!1

0v en L2(). Como

las funciones 'n son de soporte compacto en , entonces 0'n = 08n, y portanto 0v = 0 en .

La demostracion del recproco es mas delicada. Lo demostraremos para

= Rd+, pues por cartas locales y particion de la unidad se generaliza al caso

abierto 1-regular.

Sea pues v 2 fv 2 H1(Rd+) : 0v = v(; 0) = 0g y queremos demostrar quev 2 H10 (Rd+), es decir, que se puede aproximar por funciones 'n 2 D(Rd+).Buscamos una sucesion f'ng1n=1 de funciones de D(Rd+) tal que 'n !

n!1v

en H1(v).

Sea ev la prolongacion por 0 de v a todo Rd. Es facil ver que ev 2 H1(Rd).Obviamente ev 2 L2(Rd) y tambien f@v

@xi2 L2(Rd), 8i = 1; : : : ; d. Basta de-

mostrar que @ev@xi

= f@v@xi

, 8i = 1; : : : ; d y tendremos que ev 2 H1(Rd). Enefecto, 8' 2 D(Rd), aplicando la formula de Green y teniendo en cuenta quev(; 0) = 0, tenemos que 8i = 1; : : : ; d,

h @ev@xi; 'i = hev; @'

@xii = RRd ev @'@xidx = RRd+ v @'@xidx = RRd+ @v@xi'dxR

f(x0;0);x02Rd1g v'id =RRd+

@v@xi'dx =

RRdf@v@xi'dx = hf@v

@xi; 'i

27


Como en los casos anteriores, tenemos que hacer producto de convolucion

por una sucesion regularizante, ' 2 D(Rd), pero de nuevo el soporte de' ? ev puede estar fuera de Rd+. Para evitarlo nos trasladamos una magnitudh deniendo hev(x0; xd) = ev(x0; xdh). Ya demostramos que hev !

!0ev y que

ademas sophev Rd+, por tanto hevjRd+ !!0 evjRd+ en H1(Rd+). Por otro lado,sop(' ?hev) Rd+ y como ya vimos ' ?hev !

!0hev en H1(Rd). Con ambas

cosas, ' ? hevjRd+ !!0;h!0 evjRd+ en H1(Rd+), siendo ' ? hevjRd+ 2 D(Rd+) lasucesion buscada.

Construccion de subespacios de H1() de dimension nita

Otra aplicacion muy util es la construccion efectiva de subespacios de

dimension nita de H1(). Sea = [Nr=1r una descomposicion de talque:

r es un abierto de Rd contenido en con frontera r de clase C1, paratodo r = 1; : : : ; N ,

r \ s = ; para r 6= s.

Teorema: Sea v 2 C0() tal que la restriccion vjr 2 H1(r) 8r =1; : : : ; N , entonces v 2 H1().

Demostracion: Sea v 2 C0() con vjr 2 H1(r), 8r = 1; : : : ; N . Eviden-temente v 2 L2(), veamos que tambien las derivadas en el sentido de lasdistribuciones @v

@xison tambien funciones de L2(), 8i = 1; : : : ; d. Denimos

vi 2 L2() tal que vijr = @v@xi jr , 8r = 1; : : : ; N , veamos que vi = @v@xi en elsentido de las distribuciones. En efecto, 8' 2 D(), se tiene,

h @v@xi; 'i = hv; @'

@xii = R

v @'@xidx = PNr=1 Rr v @'@xidx =PN

r=1

R

r

@v@xi'dx R

@rv'id

=PN

r=1

R

r

@v@xi'dxPN

r=1

R

rvi'dx =

R

vi'dx = hvi; 'i:

Entonces @v@xi

2 L2() y por tanto v 2 H1().

28

1.6. UN RESULTADO DE COMPACIDAD

1.6. Un resultado de compacidad

El siguiente resultado se llama teorema de Rellich, y sera util para las

sucesiones pues nos permite armar que en las condiciones del teorema de la

traza, dada una sucesion acotada enH1(), podemos extraer una subsucesion

convergente en L2().

Teorema: Sea un abierto 1-regular de Rd. Entonces la inyeccion canoni-ca de H1() en L2() es compacta, es decir, todo subconjunto acotado de

H1() es relativamente compacto en L2().

1.7. Los espacios de Sobolev Hm()

Generalicemos la denicion del espacio de Sobolev H1().

Denicion: Para todo entero m 1 llamamos espacio de Sobolev deorden m sobre al espacio

Hm() = fv 2 L2(); @v 2 L2(); jj mg;dotado del producto escalar,

(u; v)m; =

Z

Xm

@u@vdx;

la norma asociada,

kukm; = (u; u)1=2m; =Z

Xm

@u

2dx;

y la seminorma,

jujm; =Z

X=m

@u

2dx;

Teorema: Hm() es un espacio de Hilbert separable para la norma -

k km;.

29

1.7. LOS ESPACIOS DE SOBOLEV HM()

La demostracion es identica al caso m = 1.

Caso particular H2()

Si es 1-regular, se puede denir la traza de una funcion v 2 H2(),

0v = vj. Por otro lado, si v 2 H2() entonces @v@xi 2 H1(), 1 i d, y portanto tambien se pueden denir las trazas de estas funciones 0

@v@xi

= @v@xij,

1 i d, que pertenecen a L2(). La funcion i @v@xi j es entonces unafuncion de L2() por ser producto de una funcion de L1() y otra de L2(),y podemos denir la derivada normal,

@v

@j =

dXi=1

i@v

@xij

como una funcion de L2().

Sea u =Pd

i=1@2u@x2i

el Laplaciano de una distribucion u. Entonces si

u 2 H2(), se tiene para toda funcion v 2 H1(),

Z

(u)vdx = dXi=1

Z

@2u

@x2ivdx =

dXi=1

nZ

@u

@xi

@v

@xidx

Z

@u

@xivid

o;

de donde se obtiene la formula de Green generalizada.

Teorema: (Formula de Green generalizada) Si es 1-regular, para

toda funcion u de H2() y toda funcion v de H1(), se tiene:

Z

(u)vdx = Z

!ru !rvdxZ

@u

@vd:

Nota: para m > d=2 las funciones de Hm() son continuas, en particular,

si es un abierto de R2 o R3, entonces H2() C0().

30

Captulo 2

Formulacion debil de problemaselpticos

2.1. Problemas variacionales abstractos

Vamos a introducir un marco abstracto bien adaptado para problemas de

contorno asociados a ecuaciones en derivadas parciales. Sean:

1. V un espacio de Hilbert sobre R de norma k k,2. una forma bilineal a(; ) : V V ! R continua, es decir, existe una

constante M 0 tal que 8u; v 2 V; a(u; v) Mkukkvk, y V -elptica,es decir, existe una constante > 0 tal que 8v 2 V; a(v; v) kvk2,

3. y una forma lineal L : V ! R continua, es decir, 8v 2 V; jL(v)j kLk? kvk, donde kLk? = supv2V;v 6=0L(v)kvk

Consideramos el siguiente problema variacional:

(P ) Hallar u 2 V tal que a(u; v) = L(v) 8v 2 V

La existencia y unicidad de la solucion de este problema nos la da el

teorema de Lax-Milgram.

31

2.1. PROBLEMAS VARIACIONALES ABSTRACTOS

Teorema de Lax-Milgram: Si se verican las condiciones 1, 2 y 3, el

problema P tiene solucion unica.

Observar que si suponemos que la forma bilineal a(; ) es ademas simetri-ca, entonces a(; ) es un producto escalar en V con norma asociada kvkE =a(v; v)

1=2, que es equivalente a la norma k k de V . En este caso, la exis-

tencia y unicidad de la solucion del problema (P ) viene dada por el teorema

de Riesz-Frechet.

Demostracion: Introducimos el siguiente operador,

A : V ! Vu 7! Au

denido por (Au; v) = a(u; v) 8v 2 V donde (; ) designa el producto es-calar en V . Esta aplicacion esta bien denida pues jado u, la aplicacion

v 7! a(u; v) es lineal y continua de V en R, y por el teorema de Riesz-Frechetse puede representar dicha aplicacion por un unico elemento de V que lla-

maremos Au.

Evidentemente la aplicacion A es lineal y continua por serlo a(; ), yademas verica,

kAuk = supv2V;v 6=0 a(u;v)kvk Mkuk(Av; v) kvk2

Por otra parte, al ser L una forma lineal continua sobre V , aplicando de

nuevo el teorema de Riesz-Frechet, existe un unico L 2 V tal que 8v 2 Vse tiene L(v) = (L; v).

Observar que esto dene una biyeccion lineal,

: V 0 ! VL 7! L

que es una isometra puesto que,

kLk = supv2V;v 6=0

(L; v)

kvk = supv2V;v 6=0L(v)

kvk = kLk?

32


Entonces el problema (P ) se puede escribir de la siguiente forma,

Hallar u 2 V tal que (Au; v) = (L; v) 8v 2 V;esto es,

Hallar u 2 V tal que Au = L:

Para demostrar que este problema, en su ultima version, tiene solucion

unica utilizaremos el teorema de Punto Fijo de Banach para contracciones

estrictas. Para ello, dado un > 0 que elegiremos mas adelante de forma

apropiada, escribimos nuestro problema de la siguiente forma,

Hallar u 2 V tal que u = u (Au L):

De este modo, tenemos denida una aplicacion,

T : V ! Vv 7! v (Av L)

cuyo punto jo sera solucion de nuestro problema. Para demostrar que esta

aplicacion tiene un unico punto jo bastara demostrar que es una contraccion

estricta puesto que al ser V un espacio de Hilbert y por tanto completo,

podremos aplicar el teorema de Banach que asegura en este caso la existencia

de un unico punto jo.

En efecto, se tiene que,

kTv1 Tv2k2 = kv1 v2 (A(v1 v2))k2 =kv1 v2k2 2(A(v1 v2); v1 v2) + 2kA(v1 v2)k2 (1 2+ 2)kv1 v2k2

luego para que T sea una contraccion estricta basta tomar de modo que

1 2+ 2 < 1, y esto es cierto para 0 < < 2=M2.

Por tanto para cada entre 0 y 2=M2 hemos demostrado que existe una

solucon del problema (P ), veamos que esta es unica independientemente del

valor de elegido. Supongamos que existen u1 y u2 dos soluciones de (P ),entonces,

a(u1; v) = L(v) 8v 2 V;a(u2; v) = L(v) 8v 2 V:

33


Restando a(u1u2; v) = 0, 8v 2 V , en particular, a(u1u2; u1u2) = 0, y porla V -elipticidad de la aplicacion bilineal, 0 = a(u1u2; u1u2) ku1u2k2.Por tanto u1 = u2.

Cuando la aplicacion bilineal a(; ) es ademas simetrica, el problema (P )es equivalente a un problema de optimizacion.

Teorema: Si se verican las condiciones 1, 2 y 3, y ademas a(; ) esssimetrica y verica a(v; v) 0 8v 2 V , entonces el problema (P ) es equiva-lente al siguiente problema de optimizacion,

(Q) Hallar u 2 V tal que J(u) = mnv2V

J(v)

donde J(v) = 12a(v; v) L(v).

Demostracion: Sea u solucion del prolema (P ). Sea v 2 V cualquiera conv 6= u, es decir, v = u+ w con w 6= 0, entonces,

J(v) = J(u+ w) = 12a(u+ w; u+ w) L(u+ w) =

12a(u; u) + a(u;w) + 1

2a(w;w) L(u) L(w) =

J(u) + a(u;w) L(w) + 12a(w;w):

Como u es solucion de (P ), entonces a(u;w) = L(w), por otro lado a(w;w) 0, por tanto,

J(v) = J(u) +1

2a(w;w) J(u);

y esto es cierto 8v 2 V con v 6= u.

Veamos la demostracion del recproco. Sea u solucion del problema de

optimizacion (Q), entonces 8v 2 V y > 0,

J(u) J(u+ (v u))J(u) 1

2a(u+ (v u); u+ (v u)) L(u+ (v u))

J(u) 12a(u; u) + a(u; v u) + 2

2a(v u; v u) L(u) L(v u)

0 a(u; v u) + 22a(v u; v u) L(v u)

0 2a(v u; v u) + a(u; v u) L(v u):

34

2.2. PROBLEMA DE DIRICHLET HOMOGENEO ASOCIADO ALOPERADOR 4

Tomando el lmite cuando !! 0+, tenemos,

0 a(u; v u) L(v u):

Como esta desigualdad es cierta 8v 2 V , podemos tomar v + u en lugar deu, de donde,

0 a(u; v) L(v); 8v 2 V;y de la misma forma, tomandov en lugar de v,

0 a(u; v) L(v); 8v 2 V;

de donde se deduce,

a(u; v) = L(v); 8v 2 V:

2.2. Problema de Dirichlet homogeneo aso-

ciado al operador 4

Sea un abierto acotado de Rd con frontera de clase C1 a trozos. Elproblema a resolver es:

(PDH1) Dada f 2 L2(), hallar u denida en y solucion de,

4u = f en

u = 0 sobre

Supongamos que u es sucientemente regular de modo que la ecuacion

anterior tenga sentido, por ejemplo u 2 H2(), entendiendo las derivadas enel sentido de las distribuciones. Multiplicando la primera ecuacion por una

funcion test v 2 H10 () e integrando en ,Z

4uvdx =Z

fvdx:

35


Utilizando la formula de Green, teniendo en cuenta que vj = 0, tenemos,Z

4uvdx =Z

ru rvdx;

de modo que la ecuacion anterior queda,Z

ru rvdx =Z

fvdx; 8v 2 H10 ():

Esta ecuacion tiene sentido aunque u no este en H2(!), basta con que u 2H1(). Por otro lado, al ser u = 0 sobre y por las propiedades de

tenemos que u 2 H10 (). As podemos reemplazar el problema anterior porel siguiente, que recibe el nombre de FORMULACION VARIACIONAL O

DEBIL,

(PDH2) Dada f 2 L2(), hallar u 2 H10 () tal que,Z

ru rvdx =Z

fvdx; 8v 2 H10 ():

Teorema: El problema anterior tiene solucion unica.

Demostracion: Basta demostrar que se verican las condiciones del teo-

rema de Lax-Milgram, siendo,

V = H10 ();a(u; v) =

R

ru rvdx;

L(v) =R

fvdx:

Evidentemente a(; ) es bilineal. La continuidad se obtiene gracias a ladesigualdad de Cauchy-Schwartz, en efecto,

a(u; v) =R

ru rvdx = Pdi=1 R @u@xi @v@xidx

Pd

i=1

R

@u@xi

2dx1=2Pd

i=1

R

@v@xi

2dx1=2

=

= juj1;jvj1; kuk1;kvk1;:

36


La V -elipticidad se obtiene por la equivalencia de normas en H10 (), por ser

acotado, ya que en este caso se verica la desigualdad de Poincare, en

efecto,

a(v; v) =dXi=1

Z

@v@xi

2dx = jvj21; kvk21;:

Finalmente L : H10 () ! R con L(v) =R

fvdx, es evidentemente lineal,

y ademas L(v) =R

fvdx kfk0;kvk0; kfk0;kvk1;, y por tanto conti-

nua.

Comentarios:

1. Observar que evidentemente una solucion del problema fuerte (PDH1)

es solucion del problema debil (PDH2). Recprocamente, si u 2 H10 ()es solucion del problema debil (PDH2), entonces podemos recuperar las

ecuaciones de la formulacion fuerte en el sentido de las distribucionesy el teorema de la traza. En efecto, como D() es denso en H10 (),tenemos que la ecuacion de la formulacion debil tambien es cierta 8' 2D(), Z

ru r'dx =Z

f'dx; 8' 2 D();

que interpretandolo como productos de dualidad entre D() y D0(),equivale a,

hru;r'i = hf; 'i; 8' 2 D();y aplicando la denicion de derivada en el sentido de las distribuciones,

hu; 'i = hf; 'i; 8' 2 D():

De este modo recuperamos la primera ecuacion en el sentido de las

distribuciones,

u = f; en D();en particular, como f 2 L2(), se tiene,

u = f; en L2();

37

2.3. PROBLEMA DE NEUMANN HOMOGENEO ASOCIADO ALOPERADOR 4+ ID

y por las propiedades de las funciones de L2()

u = f; en c.t.p. de :

Por ultimo, por las condiciones de la frontera del dominio, podemos

aplicar el teorema de la Traza de modo que, al ser u 2 H10 (), entoncesuj = 0.

2. Observar tambien que al ser la aplicacion bilineal de este caso simetrica,

el problema debil es equivalente al siguiente problema de optimizacion,

Dada f 2 L2(), hallar u 2 H10 () tal que,

J(u) = mnv2V

J(v)

donde J(v) = 12

R

Pdi=1

@v@xi

2dx R

fvdx.

2.3. Problema de Neumann homogeneo aso-

ciado al operador 4 + Id


(PNH1) Dada f 2 L2(), hallar u denida en y solucion de,

4u+ u = f en

@u@

= 0 sobre

Supongamos que u es sucientemente regular, por ejemplo u 2 H2().Multiplicamos la primera ecuacion de (PNH1) por una funcion test v 2H1() e integramos en ,Z

4uvdx+Z

uvdx =

Z

fvdx:

38


Utilizando la formula de Green, teniendo en cuenta que @u@j = 0, tenemos,Z

4uvdx =Z

ru rvdx;

de modo que la ecuacion anterior queda,Z

ru rvdx+Z

uvdx =

Z

fvdx; 8v 2 H1():

Podemos reemplazar el problema anterior por la correspondiente FOR-

MULACION VARIACIONAL O DEBIL,

(PNH2) Dada f 2 L2(), hallar u 2 H1() tal que,Z

ru rvdxZ

uvdx =

Z

fvdx; 8v 2 H1():


Demostracion: Se demuestra aplicando el teorema de Riesz-Frechet sien-

do,

V = H1();

a(u; v) =Pd

i=1

R

@u@xi

@v@xidx+

R

uvdx = (u; v)1;;

L(v) =R

fvdx:

donde como vimos antes L() es lineal y continua, y como la aplicacion bilineala(; ) es directamente el producto escalar en H1(), aplicando directamenteel teorema de Riesz-Frechet, tenemos que el problema (PNH2) tiene solucion

unica.

Comentarios:

1. Es evidente que una solucion del problema fuerte (PNH1) es solu-

cion del problema debil (PNH2). Veamos en que medida una solu-

cion del problema debil (PNH2) es tambien solucion del problema

39


fuerte (PNH1). Si u es solucion del problema debil (PNH2), como

D() H(), se verica,Z

ru r'dx+Z

u'dx =

Z

f'dx; 8' 2 D():

Interpretando las integrales como productos de dualidad entre D0() yD(), podemos escribir,

hru;r'i+ hu; 'i = hf; 'i; 8' 2 D();

y como por denicion de derivada en el sentido de las distribuciones

hru;r'i = hu; 'i, podemos recuperar la ecuacion de la formula-cion fuerte en el sentido de las distribuciones,

u+ u = f en D0():

De hecho, como f 2 L2(), se tiene,

u+ u = f en L2():

Para recuperar la condicion de contorno se necesita cierta regularidad

en la solucion. En efecto, si suponemos que u 2 H2(), tiene sentidointegrar por partes en la ecuacion de la formulacion debil tenemos,Z

(u+ u)vdx+Z

@u

@vd =

Z

f'dx;

pero como ya hemos recuperado u+ u = f en L2(), entonces,Z

@u

@vd = 0; 8v 2 H1=2():

Como u 2 H2() entonces @u@j 2 L2(), y al ser H1=2() denso en

L2(), se tiene que @u@j = 0 en L2().

Observar que para recuperar la condicion de contorno es imprescindible

la hipotesis de regularidad u 2 H2().

40

2.4. PROBLEMA DE DIRICHLET NO HOMOGENEO ASOCIADO ALOPERADOR 4

2. Al ser a(; ) el producto escalar en H1(), es simetrico, y tenemos laequivalencia del problema (PNH2) con el problema de optimizacion,

Dada f 2 L2(), hallar u 2 H1() tal que,

J(u) = mnv2V

J(v)

donde J(v) = 12

R

Pdi=1

@v@xi

2dx+

R

uvdx

R

fvdx.

3. En el problema de Neumann las condiciones de contorno se recogen

directamente en la formulacion variacional, mientras que en el problema

de Dirichlet aparecen en el espacio funcional elegido para resolver el

problema.

2.4. Problema de Dirichlet no homogeneo aso-

ciado al operador 4


(PD1) Dada f 2 L2() y g 2 H1=2(), hallar u denida en solucionde,

4u = f en

u = g sobre

Supongamos que u 2 H2(), multiplicamos la primera ecuacion de (PD1)por una funcion test v 2 H10 () e integramos en . Aplicando la formula deGreen obtenemos que la funcion u verica,Z

ru rvdx =Z

fvdx; 8v 2 H10 ():

Esta formulacion no encaja en el marco abstracto del teorema de Lax-

Milgram puesto que u 2 H1() con uj = g y v 2 H10 (). Sin embargo, como

41

2.4. PROBLEMA DE DIRICHLET NO HOMOGENEO ASOCIADO ALOPERADOR 4

g 2 H1=2(), existe una funcion u0 2 H1() tal que u0j = g. Sea w = uu0,entonces wj = 0, y si u es solucion de la ecuacion anterior, entonces w lo esde la siguiente,Z

rw rvdx =Z

fvdxZ

ru0 rvdx; 8v 2 H10 ():

De esta forma hemos trasladado el problema al caso homogeneo, de modo

que el problema variacional es,

(PD2') Dada f 2 L2() y g 2 H1=2(), hallar w 2 H10 () tal que,Z

rw rvdx =Z

fvdxZ

ru0 rvdx; 8v 2 H10 ()

donde u0 2 H1() con u0j = g.Resuelto este problema, la soluccion que buscamos es u = w+u0. Por tanto,

el problema variacional que realmente resolvemos es,

(PD2) Dada f 2 L2() y g 2 H1=2(), hallar u 2 H1() tal que,R

ru rvdx = R

fvdx; 8v 2 H10 ()

uj = g


Demostracion: Sea u0 2 H1() tal que u0j = g y w solucion del problema(PD2'), veamos que w existe y es unica. Si demostramos que la siguiente

aplicacion,

H10 () ! Rv 7! R

ru0 rvdx

es lineal y continua, estaremos en las condiciones del teorema de Lax-Milgram

como en el caso homogeneo. Evidentemente es lineal, la continuidad se ob-

tiene gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwartz y al hecho de ser u0 jo,

en efecto, R

ru0 rvdx =

Pdi=1

R

@u0@xi

@v@xidx

Pd

i=1

R

@u0@xi

2dx1=2

Pd

i=1

R

@v@xi

2dx1=2

=

= ju0j1;jvj1; ju0j1;kvk1;

42

2.5. PROBLEMA DE NEUMANN NO HOMOGENEO ASOCIADO ALOPERADOR 4+ ID

Por tanto tenemos,

V = H10 ();a(u; v) =

R

ru rvdx; bilineal, continua y H10 ()-elptica

L(v) =R

fvdx R

ru0 rvdx; lineal y continua:

y por el teorema de Lax-Milgram existe una unica w 2 H10 () solucion delproblema (PD2'). Entonces u = w+u0 es solucion del problema (PD2), pero

como la eleccion de u0 no es unica, tenemos que demostrar la unicidad de u.

Sean u1 y u2 dos soluciones del problema (PD2), entonces se verica,R

ru1 rvdx =

R

fvdx; 8v 2 H10 ()

u1j = gR

ru2 rvdx =

R

fvdx; 8v 2 H10 ()

u2j = g

restando las dos expresiones,R

r(u1 u2) rvdx = 0; 8v 2 H10 ()

(u1 u2)j = 0

tomando v = u1 u2 2 H10 (), resulta,

Cku1 u2k21; ju1 u2j21; =Z

r(u1 u2) ru1 u2dx = 0;

por tanto ku1 u2k21; = 0 en H1(), luego u1 = u2 en H1().

2.5. Problema de Neumann no homogeneo

asociado al operador 4 + Id


43

2.5. PROBLEMA DE NEUMANN NO HOMOGENEO ASOCIADO ALOPERADOR 4+ ID

(PN1) Dadas f 2 L2() y g 2 L2() (o bien g 2 H1=2()), hallar udenida en y solucion de,

4u+ u = f en

@u@

= g sobre

Supongamos que u 2 H2(), multiplicamos la primera ecuacion de (PN1)por una funcion test v 2 H1() e integramos en . Aplicando la formula deGreen obtenemos,Z

ru rvdx+Z

uvdxZ

@u

@vd =

Z

fvdx; 8v 2 H10 ():

El correspondiente problema variacional o formulacion debil es,

(PN2) Dadas f 2 L2() y g 2 H1=2(), hallar u 2 H1() tal que,Z

ru rvdx+Z

uvdx =

Z

fvdx+

Z

gvd; 8v 2 H1():


Demostracion: La demostracion es como en el caso homogeneo, aplicando

el teorema de Riesz-Frechet donde,

V = H1();

a(u; v) =Pd

i=1

R

@u@xi

@v@xidx+

R

uvdx = (u; v)1;;

L(v) =R

fvdx+

Rgvd:

Basta demostrar que la siguiente aplicacion es lineal y continua,

H1() ! Rv 7! R

gu0 rvd:

Evidentemente es lineal, veamos la continuidad, que se obtiene gracias a la

desigualdad de Cauchy-Schwartz, al teorema de la traza y al hecho de ser g

jo, en efecto, Rgvd

Rg2d

1=2 Rv2d

1=2=

= kgk0;kvk0; Ckgk0;kvk1;

44

2.6. PROBLEMA DE CONTORNO ASOCIADO A UN OPERADORELIPTICO DE SEGUNDO ORDEN

Por tanto, estamos en condiciones de aplicar el teorema de Riesz-Frechet que

nos asegura la existencia y uniicidad de la solucion.

2.6. Problema de contorno asociado a un ope-

rador elptico de segundo orden

Sea un abierto acotado de Rd con frontera de clase C1 a trozos. SeaV un subespacio cerrado de H1() tal que,

H10 () V H1():

Sean ai;j; 1 i; j d y a0 funciones medibles y acotadas en , es decir,funciones de L1(). Denamos la siguiente aplicacion,

a(; ) : V V ! Ru; v 7! a(u; v) = R

Pdi;j=1 ai;j

@u@xj

@v@xi

+ a0uvdx

que es una forma bilineal y continua en H1() H1(). Supongamos queai;j; 1 i; j d y a0 verican las hipotesis de elipticidad:

1. Existe un numero real > 0 tal que,

8 2 Rd;dX

i;j=1

ai;j(x)ij jj2; c.t.p. en :

2. Existe un numero real 0 tal que,

8x 2 ; a0(x) 0; c.t.p. en :

De estas hipotesis se deduce que a(; ) es V -elptica si 0 > 0. CuandoV = H1() la condicion 0 > 0 es necesaria y suciente para que la forma

bilineal a(; ) sea V -elptica. Por el contrario, cuando V = H10 (), para que

45


la forma bilineal a(; ) sea V -elptica, basta que 0 0, o incluso es sucienteque 0 > C2() , donde C() es la constante de la desigualdad de Poincare.

Finalmente, sea f 2 L2() y denamos,

L() : V ! Rv 7! L(v) = R

fvdx

que es lineal y continua en V .

Denamos el siguiente problema,

(PV) Dadas a(; ) y L() denidas sobre V como antes, hallar u 2 H1()tal que,

a(u; v) = L(v) 8v 2 V:

Si la forma bilineal a(; ) es V -elptica, el teorema de Lax-Milgram nosda la existencia y unicidad de la solucion de (PV).

Veamos como recuperar el problema fuerte a partir de esta formulacion

variacional. Si elegimos una funcion ' 2 D() en lugar de v 2 V , utilizandolas reglas de derivacion en el sentido de las distribuciones, obtenemos,

a(u; ') = hAu; 'i;donde A es el operador diferencial elptico de segundo orden con coecientes

variables denido por,

Au = dX

i;j=1

@

@xi

ai;j

@u

@xj

+ a0u:

Por otra parte, L(') = hf; 'i. Por tanto, se verica la ecuacion en derivadasparciales de segundo orden,

Au = f

en el sentido de las distribuciones sobre . Pero como f 2 L2(), entoncesla distribucion Au 2 L2(), y la igualdad anterior es cierta en L2(), y enconsecuencia,

Au(x) = f(x) c.t.p. en :

46


Teniendo en cuenta que Au = f 2 L2(), deducimos tambien,

a(u; v) =

Z

Auvdx 8v 2 V;

relacion que tenemos que traducir en terminos de condiciones de contorno.

Para esto es para lo que necesitamos suponer que la frontera de es de

clase C1 a trozos, es decir, que estamos en las condiciones del teorema de la

traza. Supongamos ademas que las funciones ai;j; 1 i; j d son funcionesde C1() y que u 2 H2(), por tanto las funciones Pdj=1 ai;j @u@xj ; 1 i d,pertenecen a H1(). Entonces, aplicando la formula de Green generalizada,

tenemos que 8u 2 H2() y 8v 2 H1(),R

Auvdx = R

Pdi;j=1

@@xi

ai;j

@u@xj

vdx+

R

a0uvdx =

=R

Pdi;j=1 ai;j

@u@xj

@v@xidx+

R

a0uvdx

R

Pdi;j=1 ai;j

@u@xj

ivd =

= a(u; v) R

@u@A

vd;

donde el operador @@A

=Pd

i;j=1 ai;j@@xj

i se denomina derivada conormal

asociada al operador A.

Por lo tanto, despejando,

a(u; v) =

Z

Auvdx+

Z

@u

@Avd;

por lo que podemos deducir que,Z

@u

@Avd = 0; 8v 2 V:

Observar que si las hipotesis de regularidad no se verican, la derivada

conormal no tiene sentido.

En resumen, la solucion u de (PV) verica:8


donde esta ultima ecuacion, en condiciones de regularidad sucientes se puedesustituir por, Z

@u

@Avd = 0; 8v 2 V:

Veamos que problema fuerte estamos resolviendo segun la eleccion de V .

1. V = H10 () ) PROBLEMA DE DIRICHLET HOMOGENEOEl problema resuelto es,

Au = f en ;u = 0 sobre :

En este caso 0 0 o 0 > C2() es suciente para que el problemavariacional tenga solucion unica.

2. V = H1() ) PROBLEMA DE NEUMANN HOMOGENEOEl problema resuelto es,

Au = f en ;@u@a

= 0 sobre :

En este caso es necesario suponer 0 > 0 para que el problema varia-

cional tenga solucion unica.

3. V = fv 2 H1(); v = 0 sobre 0g ) PROBLEMA MIXTOEl problema resuelto es,

Au = f en ;u = 0 sobre 0;

@u@a

= 0 sobre 1;

donde 0 y 1 son dos partes de la frontera tales que = 0 [ 1 ycon interiores disjuntos.

La aplicacion composicion de la aplicacion traza H1() ! L2() y de laaplicacion restriccion de L2() sobre L2(0) es evidentemente continua

de H1() en L2(0). Es sencillo comprobar que V es un subespacio

cerrado de H1() y por lo tanto espacio e Hilbert con la norma inducida

48


por la de H1(). Si suponemos que 0 > 0 entonces la aplicacion

bilineal a(; ) es V -elptica y el correspondiente problema variacionaltiene solucion unica.Este resultado se puede generalizar al caso 0 0 si suponemos que

es conexo y la parte de la frontera con condiciones de tipo Dirichlet 0,

tiene medida no nula, pues en este caso la V -elipticidad de la aplicacion

bilineal a(; ) es consecuencia del siguiente teorema.Teorema: Si es un abierto acotado de Rd con frontera de claseC1 a trozos y 0 una parte de la frontera de medida supercial no

nula, entonces la seminorma j j1; induce una norma sobre el espacioV = fv 2 H1(); v = 0 sobre 0g equivalente a la norma k k1;.Demostracion:

Veamos que la siguiente aplicacion es una norma sobre V ,

V ! Rv 7! jvj1; =

Pdi=1 k @v@xik20;

1=2Basta demostrar que si v 2 V es tal que jvj1; = 0 entonces v = 0. Enefecto, si jvj1; = 0 entonces @v@xi = 0 en , 8i = 1; : : : ; d, por tanto v esconstante en en virtud de su conexidad, pero como ademas vj0 = 0,entonces v = 0 en .Veamos ahora la equivalencia de las normas, es decir, que existen dos

constantes C1 y C2 positivas tales que 8v 2 V ,

C1kvk1; jvj1; C2kvk1;:

Evidentemente, la segunda desigualdad es cierta para C2 = 1. La prime-

ra desigualdad se deduce por reduccion al absurdo. Supongamos que es-

ta desigualdad no es cierta, entonces 8n entero positivo, existe una fun-cion wn 2 V tal que kwnk1; > njwnj1;. Sea vn = wn=kwnk1;, as ob-tenemos unan sucesion fvng V tal que kvnk1; = 1 y jvnj1; < 1=n.Por el teorema de Rellich, la inyeccion canonica de H1() en L2()

es compacta, por tanto, podemos extraer una subsucesion convergente

fvg convergente en L2(),

v !!1

v en L2():

49

2.7. UN EJEMPLO SIN UNICIDAD

Pero tenemos que jvj1; < 1= !!1

0, por tanto para i = 1; : : : ; d,

se tiene @v@xi

< 1= !!1

0, es decir, @v@xi

= 0. Luego v 2 H1() y esconstante en y como vj0 = 0, entonces v = 0 en , pero esto no esposible porque kvk1; = lm!1 kvk1; = 1.

Ejemplo:Problema mixto asociado ala ecuacion de transmi-

sion de calor.

Consideremos el problema de la determinacion de la distribucion de la

temperatura u de un cuerpo que ocupa una region del espacio Rd, siendod = 1; 2 o 3. En fsica e ingeniera se conoce con frecuencia la temperatura

de una parte 0 de la frontera de , y en el resto de la frontera 1, se conoce

sino el ujo de calor, una relacion que liga este con la temperatura en 1, que

suele ser una condicion de transmision de calor por conveccion en la frontera

y que depende de un coeciente h de conveccion.

Las ecuaciones que rigen este fenomeno son,

Pdi;j=1 @@xi Ki;j @u@xj = f en

Pdi;j=1Ki;j @u@xj i = h(u u1) sobre 1

u = g sobre 0

donde Ki;j 2 L1() es el tensor de conductividad, que se supone elptico, esdecir, existe una constante > 0 tal que Pdi;j=1Ki;jij jj2 8 2 Rd. SiK = kId, se dice que el medio es isotropo, es decir, el calor se transmite igual

en todas direcciones. h 2 L1(1), es el coeciente de conveccion, u1L2(1)es la temperatura ambiente, f 2 L2() es la fuente de calor y g 2 H1=2(0)es la temperatura en 0.

2.7. Un ejemplo sin unicidad

Observemos el problema de Neumann asociado al operador de Laplace,

50


(P1) Dadas f 2 L2() y g 2 L1=2() ( o mas generalmente, g 2 H1=2())hallar u denida en y solucion de,

4u = f en

@u@

= g sobre

En caso de que tenga solucion, esta no sera unica pues cualquier solucion

mas una constante sera tambien solucion. En ese caso podemos caracterizar

el conjunto de soluciones.

Razonemos desde el punto de vista fsico de la ecuacion del calor, u repre-

senta la temperatura de un cuerpo, f 2 L2() son las fuentes volumetricasde calor, y g 2 L2() las fuentes superciales de calor. Estamos buscandouna solucion estacionaria, es decir, independiente del tiempo, pero si el apor-

te global de calor al cuerpo es positivo (resp. negativo), la temperatura del

mismo aumentara (resp. disminuira) con el tiempo y por tanto la solucion no

sera estacionaria. Luego parece un requisito indispensable para que nuestro

problema tenga al menos una solucion, que el aporte global de calor sea nulo,

lo que matematicamente se expresa,

Z

fdx+

Z

gd = 0

El correspondiente problema variacional, procediendo como de costumbre,es,

(P2) Dadas f 2 L2() y g 2 L2(), hallar u 2 H1() tal que,Z

ru rvdx =Z

fvdx+

Z

gvd; 8v 2 H1():

Inicialmente nuestro espacio de trabajo sera V = H1(), y la forma

bilineal a(u; v) =R

ru rvdx, que no es elptica sobre H1(), y por tanto

no podemos aplicar el teorema de Lax-Milgram.

51


Sin embargo, el hecho de que una solucion venga determinada salvo cons-

tantes, nos lleva a introducir un nuevo espacio de clases de funciones, elespacio cociente

V = H1()=R;

cuyos elementos son clases de equivalencia eu, donde dos funciones u1; u2 2H1() pertenecen a la misma clase de equivalencia si u1 u2 = cte.

Este espacio cociente V , es un espacio vectorial normado con la suma,

producto por escalares y norma habituales,

eu+ ev = ]u+ v;eu = fu;keukV = infu2eukuk1;:

Ademas V es un espacio completo por ser H1() completo con la norma

k k1; y R un subespacio cerrado de H1().

Por otro lado, podemos denir un producto escalar en V ,

(eu; ev)V = Z

ru rvdx;

con u 2 eu y v 2 ev, y su correspondiente norma asociada,jeujV = (eu; eu)1=2V = dX

i=1

Z

@u@xi

2dx1=2

:

Teorema: La norma jeujV = (eu; eu)1=2V es equivalente a la norma cocienteen V = H1()=R.

Demostracion: En concreto, vamos a demostrar que existe una constante

C > 0 tal que CjjeujjV jeujV jjeujjV .Primero observemos que 8u 2 eu, se tiene,

jeuj2V = dXi=1

Z

@u@xi

2dx

dXi=1

Z

@u@xi

2dx+

Z

u2dx = kuk21;;

52


y como es 8u 2 eu, tomando nmos,jeuj2V infu2eukuk1; = keukV :

Recprocamente, por reduccion al absurdo, supongamos que no es cierta

la desigualdad inversa, es decir, que para todo entero positivo n, existe una

clase fwn tal que jfwnjV < kfwnkV =n. Denotemos fun = fwn=kfwnkV , formandouna sucesion ffung V tal que kfunkV = 1 y jfunjV < 1=n. Como kfunkV =nfu2eu kuk1;, existira, cualquiera que sea n, un " > 0 y un representanteun 2 fun tales que kunk1; 1 + ". Entonces fung forman una sucesionacotada en H1(), por tanto existe una subsucesion fug convergente enL2(), sea u su lmite. Por otra parte, como j eu jV < 1= ! 0, tenemos que@u@xi

! 0 en L2(), y por la continuidad de las derivadas en el sentido de lasdistribuciones, @u

@xi= 0; 8i = 1; : : : ; d. Por tanto, u es constante, luego,

k eukV = nfu2fu kuk1; ku uk1; ! 0;

pero esto no es posible porque k eukV = 1. Por tanto es cierta la desigualdadjeujV CkeukV ; 8eu 2 V .

Por tanto, V = H1()=R es un espacio de Hilbert en el que k kV y j jVson normas equivalentes.

Por otro lado, denamos la siguiente forma lineal,

: V ! Rev 7! (ev) = R

fvdx+

Rgvd; 8v 2 ev:

Es facil comprobar que esta bien denida, en efecto, sean v1; v2 2 ev, entonces,Z

f(v1 v2)dx+Z

g(v1 v2)d = C(Z

fdx+

Z

gd) = 0:

La linealidad es trivial, y la continuidad se obtiene por la desigualdad de

Cauchy-Schwartz y el teorema de la traza, en efecto,

j (ev)j j R

fvdxj+ j R

gvdj kfk0;kvk0; + kgk0;kvk0;

(kfk0; + C()kgk0;)kvk1;; 8v 2 ev;53

2.8. DEFORMACI ON ELASTICA DE UN S OLIDO

y como esta desigualdad sigue siendo cierta tomando nmos en v 2 ev, tene-mos,

j (ev)j (kfk0; + C()kgk0;)kevkV :Por tanto, simplemente aplicando el teorema de Riesz-Frechet en V , te-

nemos la existencia y unicidad del problema siguiente,

Hallar una clase eu 2 V = H1()=R unica que verica(eu; ev)V = (ev); 8ev 2 V:

2.8. Deformacion elastica de un solido

Consideremos un cuerpo solido que se deforma elasticamente bajo la ac-

cion de fuerzas exteriores. El cuerpo ocupa una region del espacio Rd

(d = 2; 3). Supongamos que una parte de la frontera 0, de medida no nula

en Rd1, se mantiene ja. En el resto de la frontera 1 = n0, supongamosque se ejercen unas fuerzas superciales !g = (g1; : : : ; gd) 2

L2()

d. En

se ejercen unas fuerzas volumetricas!f = (f1; : : : ; fd) 2

L2()

d. Debido a

la accion de estas fuerzas exteriores!f y !g , el cuerpo se deforma y cada pun-

to sufre un desplazamiento !u = (u1; : : : ; ud). Al deformarse, se generan enel cuerpo unas tensiones elasticas, caracterizadas por el tensor de tensiones

i;j(!u ), hasta que se logra un equilibrio con las fuerzas exteriores.

Las ecuaciones que rigen este fenomeno se estudian en la teora de la

elasticidad y son,

Pdj=1 @@xj i;j(!u ) = fi en ; i = 1; : : : ; d;ui = 0 sobre 0; i = 1; : : : ; d;Pd

j=1 i;j(!u )i = gi sobre 1; i = 1; : : : ; d:

Las primeras y ultimas ecuaciones representan el equilibrio entre las fuerzas

exteriores y las fuerzas elasticas. Las segundas ecuaciones representan que en

la parte de la frontera 0 no hay desplazamiento.

54


El tensor de tensiones viene dado por la ley del comportamiento del ma-

terial o ley de Hook,

i;j(!u ) = (div!u )i;j + 2"i;j(!u )

donde,

(div!u ) = Pdi=1 @ui@xi"i;j(

!u ) = 12

@ui@xj

+ @ui@xi

i;j = 1; si i = j; 0; resto, (delta de Kronecker),; 0; coecientes de Lame.

Los coecientes de Lame dependen del material, estan directamente relacio-

nados con el modulo de Young y el coeciente de Poisson del material.

Veamos la correspondiente formulacion variacional. Consideramos el es-

pacioH1()

d= H1() d

:::H1(), que es un espacio de Hilbert con el

producto,

(!u ;!v )H1()

d = dXi=1

(ui; vi)1;:

El espacio donde buscamos la solucion, llamado espacio de desplazamientos

admisibles es,

V = f!v 2 H1()d : vi = 0 sobre 0; i = 1; : : : ; dg:Multiplicando escalarmente el primer grupo de ecuacion por !v 2 V , inte-grando en y aplicando la formula de Green, tenemos,

Z

dXi;j=1

i;j(!u ) @vi

@xjdx

Z1

dXi;j=1

i;j(!u )jvid =

Z

dXi=1

fividx:

Teniendo en cuenta que i;j(!u ) es simetrico, y utilizando el tercer grupo de

ecuacion, queda,

dXi;j=1

Z

i;j(!u )"i;j(!v )dx =

dXi=1

Z

fividx+dXi=1

Z1

givid:

55


Por tanto, el correspondiente problema variacional a resolver es, (PE) Dadas!f 2 L2()d y !g 2 L2()d, hallar !u 2 V tal que,

dXi;j=1

Z

i;j(!u )"i;j(!v )dx =

dXi=1

Z

fividx+dXi=1

Z1

givid; 8!v 2 V:

Esto signica que la posicion de equilibrio se obtiene para !u 2 V vericandoesta ecuacion para cualquiera que sea !v 2 V . Es lo que se conoce en fsicacomo principio de trabajos virtuales : el primer miembro representa el tra-

bajo de las fuerzas elasticas y el segundo miembro el trabajo de las fuerzasexteriores.

Para poder demostrar la existencia y unicidad de la solucion de este pro-

blema se necesitan los siguientes resultados.

Lema (Desigualdad de Korn): Supongamos que es un abierto aco-

tado de Rd de frontera de clase C1 a trozos. Entonces,

E = f!v 2 L2()d; "i;j(!v ) 2 L2(); i; j = 1; : : : ; dg = H1()d;y existe una constante C = C() > 0 tal que 8!v 2 H1()d,

dXi;j=1

k"i;j(!v )k20; + k!v k20; Ck!v k21;:

Se han utilizado sobre los espaciosL2()

dyH1()

dlas normas hil-

bertianas,

k!v k20; = dX

i=1

kvk20;

1=2

; k!v k21; = dX

i=1

kvk21;

1=2

:

La desigualdad de Korn no es en absoluto trivial pues el primer miembro

solo hace intervenir ciertas combinaciones lineales de las primeras derivadas,

mientras que en el segundo miembro intervienen todas las derivadas.

56


Como consecuencia de la desigualdad de Korn, tenemos el siguiente resul-

tado que nos va a permitir demostrar la existencia y unicidad de la solucion

del problema variacional de la elasticidad (PE).

Teorema (Corolario de la desigualdad de Korn): Supongamos que

es un abierto acotado de Rd de frontera de clase C1 a trozos. Entoncesexiste una constante C0 > 0 tal que, 8!v 2 V ,

dXi;j=1

k"i;j(!v )k20; C0k!v k21;:

Como consecuencia de estos dos resultados tenemos la existencia y unici-

dad de la solucion del problema variacional de la elasticidad (PE).

Teorema: El problema (PE) tiene solucion unica.

Demostracion: Denotemos,

a(!u ;!v ) = Pdi;j=1 R i;j(!u )"i;j(!v )dx; (!v ) = Pdi=1 R fividx+Pdi=1 R1 givid:

Por tanto el problema (PE) se escribe ahora,

Hallar !u 2 V tal que a(!u ;!v ) = (!v ); 8!v 2 V:

Es facil ver que () es lineal y continua, y que a(; ) es bilineal y continua.La V -elipticidad es consecuencia del corolario de la desigualdad de Korn, en

efecto,

a(!v ;!v ) = R

(div!v )2dx+ 2 R

Pdi;j=1("i;j(

!v ))2dx 2Pdi;j=1 k"i;j(!v )k20; 2C0k!v k21;:

Y en estas condiciones, el teorema es consecuencia del Lax-Milgram.

Equivalencia con un problema de optimizacion.

La forma bilineal a(; ) es simetrica, por tanto,

57


Teorema: La solucion !u del problema (PE) verica,

J(!u ) = mn!v 2V J(!v );

donde,

J(!v ) = 12

dXi;j=1

Z

i;j(!v )"i;j(!v )dx

dXi=1

Z

fividx+dXi=1

Z1

givid:

La formulacion del problema de elasticidad de esta forma se conoce en

fsica como el principio de mnima energa, e indica que el estado de equilibrio

de un cuerpo elastico se corresponde al de la mnima energa. La aplicacion

bilineal a(; ), representa el trabajo de deformacion elastica, la aplicacionlineal (), el trabajo de las fuerzas exteriores, y el funcional J(!v ), la energatotal del sistema correspondiente al estado !v .

58

Captulo 3

Aproximacion numericamediante el Metodo deElementos Finitos

3.1. Aproximacion variacional abstracta

Consideremos el siguiente problema abstracto: Sean

V un espacio de Hilbert

a(:; :) : V V :! R bilineal continua y elptica

< l; : >: V ! R lineal y continua

Hallar u 2 V tal que

a(u; v) =< l; v > 8v 2 V (P ) (3.1.1)

El correspondiente problema aproximado sera: Sea Vh V un subespacio dedimension nita de V .

Hallar uh 2 Vh tal que

a(uh; vh) =< l; vh > 8vh 2 Vh (Ph) (3.1.2)

59

3.1. APROXIMACI ON VARIACIONAL ABSTRACTA

Teorema El problema aproximado (Ph) tiene solucion unica.

Demostracion: a(:; :) es bilineal, continua y elptica sobre Vh y < l; : > es

lineal y continua en Vh.

Resolucion Practica

Sea ['1; :::; 'N ] una base de Vh. (Ph) se escribe

Hallar uh =PN

j=1 ujh'j tal que

NXj=1

a('j; 'i)ujh =< l; 'i > i = 1; :::; N (3.1.3)

Es decir, un sistema algebraico lineal de ecuaciones.

Teorema de aproximacion: lema de Cea

Existe una constante C > 0 independiente de Vh tal que

jju uhjj C nfvh2Vh

jju vhjj (3.1.4)

Demostracion:

a(u; v) =< l; v > 8v 2 Va(uh; vh) =< l; vh > 8vh 2 Vh

tomando en la primera v = vh 2 Vh y restando

a(u uh; vh) = 0 8vh 2 Vh

de donde

jju uhjj a(u uh; u uh) = a(u uh; u vh) M jju uhjj:jju vhjj

jju uhjj Mjju vhjj 8vh 2 Vh

60

3.1. APROXIMACI ON VARIACIONAL ABSTRACTA

y nalmente

jju uhjj M

nfvh2Vh

jju vhjj

Comentarios:

1. Si a(:; :) es simetrica, se puede mejorar el resultado anterior. En efecto,

para todo vh 2 Vha(u vh; u vh) = a(u uh + uh vh; u uh + uh vh) =a(u uh; u uh) + 2a(u uh; uh vh) + a(uh vh; uh vh)

En el segundo miembro, el segundo termino es nulo y el tercero es

mayor o igual que cero. De donde

jju uhjj2 a(u uh; u uh) a(u vh; u vh) M jju vhjj2

y nalmente

jju uhjj rM

jju vhjj 8vh 2 Vh

es decir

jju uhjj rM

nfvh2Vh

jju vhjj.

2. Si a(:; :) es simetrica la solucion obtenida es la mejor posible en el

sentido de la norma

jjvjjA = a(v; v)1=2En efecto:

a(u uh; vh) = 0 8vh 2 Vhjjuuhjj2A = a(uuh; uuh) = a(uuh; uvh) jjuuhjjA:jjuvhjjAy nalmente

jju uhjjA = nfvh2Vh

jju vhjjA

Interpretacion geometrica: uh es la mejor aproximacion de u en el espacio Vh,

con respecto a la norma jj:jjA.

61

3.2. CONSTRUCCI ON DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS

3.2. Construccion de espacios de Elementos

Finitos

El metodo de Elementos Finitos consiste en elegir un subespacio de Vh y

mas precisamente una base de este subespacio en el que la funciones de dicha

base son de peque~no soporte.

3.2.1. Generalidades

Sea Rd, un abierto poliedrico de Rd (un polgono si estamos en R2)de frontera .

Vamos a considerar una descomposicion nita de :

= [T2ThTtal que:

1. Cada elemento T de Th es un poliedro de Rd de interior no vaco.2. Los interiores de dos poliedros distintos de Th son disjuntos.3. Toda cara de un poliedro T1 2 Th es o bien una cara de otro poliedroT2, en cuyo caso T1 y T2 son adyacentes, o bien una parte de la frontera

de

Denicion: Toda descomposicion de vericando las propieades ante-

riores se llama triangulacion de . En la gura 3.1 se muestra un ejemplo.

Notacion: Th designara en general una triangulacion de tal que h =maxT2Th hT donde hT es el diametro del poliedro T .

Un subespacio de Vh de dimension nita de H1() se puede construir,

como se vera mas adelante, tomando por ejemplo,

Vh = fv 2 C0(); vjT 2 Pk 8T 2 Thgdone Pk designa un espacio de polinomios de grado k en el poliedro T .

62


Figura 3.1: Ejemplo de triangulacion

3.2.2. Concepto de Elemento Finito

Un Elemento Finito es una terna (T; P;) donde

1. T Una parte compacta T de Rd conexa de interior no vaco.

2. P es un espacio vectorial de dimension nita N cuyos elementos son

funciones de T en R.

3. es una base del espacio dual de P , es decir, N funciones lineales de

P en R linealmente independientes.

Base asociada a un elemento nito

La base dual de en P es la base asociada, es decir si = fLigNi=1, labase asociada al elemento nito (T; P;) sera el conjunto fpjgNj=1 P talque Li(pj) = ij.

Elementos Finitos de Lagrange

63


Denicion: Se dice que el conjunto fajgNj=1 es Punisolvente si y solosi, dados N escalares reales cualesquiera j 1 j N , existe una funcionp del espacio P y una sola tal que

p(aj) = j 1 j N

Un Elemento Finito de Lagrange es entonces un Elemento Finito (K;P;)

en el que = faigNi=1 y donde faigNi=1 es un conjunto de puntos de T ,Punisolvente.

Interpretemos la denicion: Los puntos faigNi=1 se pueden considerar comoformas lineales del dual de P , en efecto

ai : P ! Rp ! ai(p) = p(ai)

Un Elemento Finito de Lagrange es entonces una terna (K;P;) donde

1. T es una parte compacta de Rd conexa de interior no vaco.

2. = fajgNj=1 es un conjunto nito de N puntos Punisolvente de T

3. P es un espacio vectorial de dimension nita y compuesto por funciones

denidas sobre T a valores reales.

Dado un elemento nito (T; P;) se llaman funciones de base a la base

dual de , es decir, a las N funciones pi 1 i N denidas por

pi(aj) = ij 1 j N

Comentario: Una condicion necesaria para que el conjunto sea Punisolventees que la dimension de P sea igual al cardinal de = N . Una vez vericada es-

ta condicion, tenemos dos criterios sencillos que aseguran la Punisolvenciade .

64


1. Basta vericar que la unica funcion p 2 P que se anula en es lafuncion nula. En efecto, cuando esta propiedad se satisface, la aplicacion

lineal

L : P ! RNp ! (p(aj))Nj=1

es inyectiva y por lo tanto biyectiva pues P es de dimension N

2. Basta hallar las funciones fpigNi=1 del espacio P vericando pi(aj) = ijpara probar la Punisolvencia. En efecto, si estas funciones existen, atodo conjunto de N escalares reales fjg1jN le asociamos la funcion

p =X

jpj

Esta funcion es una funcion de P tal que p(aj) = j 1 j N . Estoprueba que la aplicacion

L : P ! RNp ! (p(aj))Nj=1

es sobreyectiva y por tanto biyectiva.

Denicion: Operador de Pinterpolacion sobre T .

Se llama operador de Pinterpolacion de Lagrange sobre T al operadorque a toda funcion v denida en T le asocia la funcion Tv denida por

Tv =Pv(ai)pi. Tv se llama la funcion interpolada de v.

La funcion Tv verica

Tv(aj) =X

v(ai)pi(aj) =X

v(ai)ij = v(aj) 1 j N

Es pues la unica funcion p de P vericando p(aj) = v(aj).

65


3.2.3. Elementos Finitos de Lagrange en un dsimplex

Vamos aconstruir una clase de elementos nitos de Lagrange (T; P;)

donde T sera un dsimplex de Rd. Recordemos la nocion de dsimplex:

Consideremos d+ 1 puntos aj = (aij)di=1 2 Rd 1 j d+ 1 no situados

en un mismo hiperplano de Rd, es decir, que la matriz

A =

266664a1;1 a1;2 ::: a1;d+1a2;1 a2;2 ::: a2;d+1::: ::: ::: :::

ad;1 ad;2 ::: ad;d+11 1 ::: 1

377775sea no singular.

Se llama dsimplex T de vertices aj a la envolvente convexa de los puntosaj. Si d = 2 se llaman triangulos y si d = 3 tetraedros.

Coordenadas baricentricas: Todo punto x de Rd de coordenadas cartesia-nas xi 1 i d, esta caracterizado dando d+ 1 escalares j = j(x) 1 j d+ 1 denidos como solucion del sistema lineal

d+1Xj=1

aijj = xi

d+1Xj=1

j = 1

cuya matriz es precisamente la matriz regular A.

Los escalares j(x) 1 j d+1 se llaman las coordenadas baricentricasdel punto x con respecto a los puntos aj. Cada una de estas funciones es una

funcion an de Rd en R y se tiene para todo x 2 Rd

x =d+1Xj=1

j(x)aj

66


El dsimplex T denido por los vertices aj esta caracterizado por

T = fx 2 Rd; x =d+1Xj=1

j(x)aj 0 j(x) 1; 1 j d+ 1g

Observemos que i(aj) = ij para 1 i; j d+ 1.

Ejemplos

1. Tria-p1-c:

K: Triangulo.

P : Polinomios de grado 1.

: Los tres vertices del triangulo.

Es el ejemplo que hemos estudiado. Las funciones de la base local son

pi = i.

2. Tria-p2-c:

K: Triangulo.

P : Polinomios de grado 2.

: Los tres vertices y los puntos medios de las aristas.

Las funciones de P son pues funciones de la forma p(x; y) = a+bx+cy+

dxy+ex2+fy2. P es un espacio de dimension seis. La base asociada de

P estara formada por las seis funciones pi vericando pi(aj) = ij. Para

hallar las seis funciones de la base, podemos proceder de la manera

siguiente: Llamemos ai; i = 1; 2; 3 los tres vertices y ai; i = 4; 5; 6

los tres puntos medios de las aristas (ver gura 3.2). Para hallar p1, es

decir una funcion que verique

p(a1) = 1 p(aj) = 0 j 6= 1Observemos que 1 la coordenada baricentrica que vale 1 en el nodo a1 y

cero en a2; a3; a4 no se anula en a5; a6 donde vale 1(a5) = 1(a6) = 1=2.

Por tanto si tomamosp1 = 1(21 1)

verica las propiedades requeridas. Analogamente las otras dos funcio-

nes asociadas a los vertices seran

p2 = 2(22 1)

67


p3 = 3(23 1)Busquemos ahora p4,p5 y p6, las funciones asociadas a los puntos medios

de los lados. Basta observar que la funcion 2 se anula en la recta

a1 a5 a3, y 3 se anula en la recta a1 a6 a2, por lo tanto 23 seanula en todos los puntos de salvo en a4 donde vale 2(a4)3(a4) =

1=2;1=2 = 1=4, de donde nalmente la funcion

p4 = 423

sera la funcion base asociada al nodo a4. Analogamente obtenemos

p5 = 413

p6 = 412

En las guras 3.3,3.4,3.5,3.6,3.7 y 3.8 se representan las gracas de las

funciones de la base pi; i = 1; :::; 6 en el triangulo de referencia de

vertices (0; 0); (1; 0); (0; 1).

3. Tetra-p1-c:

K: Tretraedro.P : Polinomios de grado 1 de tres variables.

: Los cuatro vertices del tetraedro.Las funciones de la base local son pi = i; i = 1; 2; 3; 4.

3.2.4. Un metodo general para construir a partir de

un elemento nito (T^ ; P^ ; ^) toda una familia de

elementos nitos (T; P;)

Consideremos un conjunto compacto T^ de Rd, convexo y de interior novaco. F una aplicacion de T^ en Rd. Supongamos que T = F (T^ ) es una partecompacta, conexa y de interior no vaca (por ejemplo exigiendo que F sea

biyectiva y bicontinua de T^ en T ).

Teorema: Supongamos que la aplicacion F es biyectiva. Entonces si

(T^ ; P^ ; ^) es un elemento nito de Lagrange, la terna (T; P;) donde T =

68


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

a1

a2

a3

a4

a5

a6

Figura 3.2: triangulo de seis nodos

0 0.2 0.40.6 0.8 10

0.5

10.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figura 3.3: funcion p1

69


00.2

0.40.6

0.81

00.2

0.40.6

0.81

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


00.2

0.40.6

0.81

00.2

0.40.6

0.81

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


70


00.2

0.40.6

0.81 0

0.20.4

0.60.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


00.2

0.40.6

0.81

00.2

0.40.6

0.810

0.2

0.4

0.6

0.8

1


71


00.2

0.40.6

0.81

00.2

0.40.6

0.810

0.2

0.4

0.6

0.8

1


F (T^ ) y donde P = fp : T ! R p F 2 P^g y = F (^) es un elementonito de Lagrange.

Demostracion: Sea (T^ ; P^ ; ^) un elemento nito donde ^ = fa^jgNj=1 es unconjunto de N puntos distintos de T^ .

Pongamos aj = F (a^j) 1 j N

Entonces = fajgNj=1 1 j N

Puesto que F es biyectiva de T^ en T = F (T^ )

card() = card(^) = dim(P^ ) = dim(P )

para demostrar que es P -unisolvente basta obtener las funciones de base

correspondientes a (T; P;).

Sean pî i = 1; :::N las funciones de base correspondientes a (T^ ; P^ ; ^),entonces

pi = pî F1 i = 1; :::; Nson las funciones de base correspondientes a P , en efecto pi 2 P pues

pi F = pî F1 F = pî 2 P^

72


y ademas si ai 2

pi(aj) = (pî F1)(aj) = pî(a^j) = ij

Denicion: Dos elementos nitos de Lagrange (T^ ; P^ ; ^) y (T; P;) se

dice que son equivalentes si existe una aplicacion F biyectiva de T^ en T

vericando:

P = fp : T ! R; p = p^ F 2 P^g

= F (^)

Cuando se puede elegir como aplicacion F una aplicacion afn, los elementos

nitos se llaman afn equivalentes.

Teorema: Sean (T^ ; P^ ; ^) y (T; P;) dos elementos de Lagrange equiva-

lentes y F una biyeccion de T^ en T vericando la condicion de equivalencia.

Si ^ es el operador de P^ -interpolacion sobre ^, el operador de P -

interoplacion sobre esta caracterizado por

(v) F = ^(v F )

para toda funcion v denida en T .

Ejemplo 1

Veamos como podemos construir una familia de elementos nitos (T; P;)

afn equivalentes al elemento nito (T^ ; P^ ; ^) siguiente:

T^ : Triangulo de R2 de vertices (0; 0); (1; 0); (0; 1)

P^ : Polinomios de grado 2 en T^ .

^: faîg6i=1, donde a^1; a^2; a^3 son los tres vertices de T^ , y a^4; a^5; a^6 son lospuntos medios de los las aristas de T^ .

73


Consideremos la aplicacion an F que lleva los vertices de T^ , fa^igi=1;2;3a los vertices faigi=1;2;3 de T respectivamente. Esta aplicacion es facil deconstruir. Observemos que

^1 = 1 x^

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