Embed Size (px)
Citation preview
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADOPRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
EDO de primer orden.- La forma general es
F(x,y,y’)=0A la formay’=f(x,y) Se le denomina resuelta respecto a la
derivada. También aparecen en la forma:dy
dx fx,y
MÈTODOS DE SOLUCIÓNMÈTODOS DE SOLUCIÓN
El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo de ED que se quiere resolver.
Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente
Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido
SEPARACIÓN DE VARIABLESSEPARACIÓN DE VARIABLES
La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas:
Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x.
Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:
dxxgdyyf )()(
x
x
y
ydxxgdyyf
00
)()(
SEPARACIÓN DE VARIABLESSEPARACIÓN DE VARIABLES
La ED de la forma
Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas:
dyxgyfdxxgyf )()()()( 2211
dxxg
xgdy
yf
yf
)(
)(
)(
)(
2
1
1
2
SEPARACIÓN DE VARIABLESSEPARACIÓN DE VARIABLES
Ejemplo: Resolver la ecuación
Solución: Separando variablesydy = -xdxintegrando
Reescribiendo x2+y2 = c2
dydx xy .
1
22
22c
xy
ED EXACTASED EXACTAS
La ecuación de la formatiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0y por consiguiente la solución: u(x,y) = c
si cumple la condición de Euler:
En tal caso
y la función u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x:
y se puede determinar c(y) derivando
x)y,x(N
y)y,x(M
0dy)y,x(Ndx)y,x(M
y)y,x(u
)y,x(N,x)y,x(u
)y,x(M
)y(cdx)y,x(M)y,x(u
ED exactasED exactas
Ejemplo: La siguiente ED
Es exacta puesto que
Integrando respecto a xEs decir, Derivando respecto a y
De dondeFinalmente la solución general es
0dy)3yx(dx)1yx( 2
x
yx
y
yx
)3()1( 2
)()1(),( ycdxyxyxu
)(),( 2
2
ycxxyyxu x
3)(' 2
yxycxy
u
12 )3()( cdyyyc
