Upload
ivan-lenin-rivera-rodriguez
View
23
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Ecuaciones en derivadas parciales de Segundo Orden con dos variables
Ecuaciones en derivadas parciales de Segundo Orden con dos variables
Forma general
La naturaleza o tipo de una EDP puede ser
Hiperblica
Parablica
Elptica si
Muchas veces es necesario un cambio de coordenadas para simplificar la parte principal.
Si la EDP tiene coeficientes constantes en su parte principal, es posible reducirla a una forma cannica mediante un cambio lineal de las variables independientes.
Supongamos las nuevas coordenadas y ; expresemos ahora la EDP en funcin de ellas
de similar forma
Remplazando en la ecuacin principal y agrupndolos obtenemos:
sea:
y la parte principal se reduce a:
Si A = C = 0
A cualquiera de estas dos ecuaciones se les llama ecuacin caracterstica y nos sirve para hallar las curvas caractersticas de la EDP. (Si elegimos , sera inversa de la pendiente; si elegimos, sera la inversa de la pendiente )
Ejercicios
Determine la naturaleza de cada EDP
1)
2)
3)
4)
5)
Soluciones:
1) a = 3 b = 2 c = -1 Hiperblica
2) a = 1 b = -1 c = 1 Parablica
3) a = 4 b =0 c = 1 Elptica
4) a = 1 b = 2 c = 4 Parablica
5) a = 2 b = 0 c = 1 Elptica
Aplicacin del cambio de coordenada de la pagina 1
Practiquemos con la ecuacin de Euler
( I )
Hagamos el siguiente cambio p, q, r, s arbitrarios
luego al remplazar en ( I )
sea A = C = 0
hagamos p = 1, r =1
hallemos las races de q mediante la frmula cuadrtica
remplazando en el trmino central C ( las races de q y s son las mismas)
Supongamos que ( podra ser negativo o positivo ), entonces
Hallemos la forma o solucin general de u
luego
Caso I
Apliquemos los resultados hubiramos obtenido ,como es el caso de la ecuacin de ondas
hallemos las races
Caso II
Apliquemos los resultados hubiramos obtenido , tal es el caso de la Ecuacin de Laplace
Veamos de una vez la Ecuacin de Laplace
Otro ejemplo mas
Recordemos
Las races sirven para hallar la familia de curvas caractersticas o simplemente caractersticas de una ecuacin diferencial
La familia de caractersticas pueden ser usadas para definir un cambio de variables para transformar una ecuacin diferencial a una forma estndar ( cannica )
Ejemplo
donde elegiremos a = 9, b = 5, c = 1, ( tomando como inicio y no aunque pudo haberse tomado lo inverso )
La inversa de esta transformacin es
luego
Definimos as la nueva funcin
utilizando el cambio de variable tenemos
luego al sustituir obtenemos:
forma cannica
_1205002324.unknown
_1205005694.unknown
_1205009771.unknown
_1205037462.unknown
_1205038877.unknown
_1205039364.unknown
_1205039983.unknown
_1205039991.unknown
_1205039654.unknown
_1205039061.unknown
_1205039177.unknown
_1205038983.unknown
_1205038344.unknown
_1205038746.unknown
_1205037772.unknown
_1205037851.unknown
_1205037618.unknown
_1205036883.unknown
_1205036919.unknown
_1205037357.unknown
_1205036918.unknown
_1205036628.unknown
_1205036793.unknown
_1205036595.unknown
_1205007054.unknown
_1205009185.unknown
_1205009451.unknown
_1205007656.unknown
_1205006408.unknown
_1205006890.unknown
_1205006258.unknown
_1205006407.unknown
_1205002992.unknown
_1205004854.unknown
_1205005316.unknown
_1205005413.unknown
_1205005227.unknown
_1205003249.unknown
_1205003291.unknown
_1205003050.unknown
_1205002409.unknown
_1205002726.unknown
_1205002796.unknown
_1205002679.unknown
_1205002354.unknown
_1205002377.unknown
_1205002325.unknown
_1204988256.unknown
_1205001577.unknown
_1205001969.unknown
_1205001970.unknown
_1205001968.unknown
_1205001951.unknown
_1205000670.unknown
_1205000794.unknown
_1205000584.unknown
_1204985161.unknown
_1204986794.unknown
_1204986856.unknown
_1204985256.unknown
_1204984882.unknown
_1204984896.unknown
_1204984762.unknown
_1204984826.unknown