INTEGRANTES:

Henry Guarnizo

Juan Pablo Arrobo

Oswaldo Alvarado

INTRODUCCIN: El mtodo de eliminacin sistemtica para resolver

sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se basasistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se basa

en el principio algebraico de eliminacin de variables. Se ver que la

operacin anloga de multiplicar una ecuacin algebraica por una

constante es operar en una EDO con cierta combinacin de derivadas

ELIMINACIN SISTEMTICA: La eliminacin de una incgnita en un sistema deecuaciones diferenciales lineales se agiliza al escribir una vez ms cada ecuacindel sistema en notacin de operador diferencial. Recuerde que una sola ecuacinlineal

)(... 01)1(

1)( tgyayayaya nnn

n =++++

Donde las son constantes, puede escribirse de nuevo como:niai ,...,1,0, =i

)()...( 01)1(

1)( tgyaDaDaDa nnn

n =++++

Si el operador diferencial de n-simo orden se factorizaen operadores diferenciales de orden menor, entonces los factores conmutan.

01)1(

1)( ... aDaDaDa nnn

n ++++

EJEMPLO: Escriba otra vez el siguiente sistema en trminos del operador D

SOLUCIN: Primero se renen en un lado los trminos con variablesdependientes y segundo se agrupan las mismas variables y tercero se reescribecada una de las ecuaciones del sistema en notacin de operador diferencial (D).

teyxyx

sentyxyxx++=+

++=++

24

32

sentyyxxx =++ 32teyyxx =+ 24

teyDxD

sentyDxDD=+

=++

)2()4(

)3()12( 22

Notacin de operador diferencial

EJEMPLO: Escriba otra vez el siguiente sistema en trminos del operador D

tsenyyxyxx

tyxxyyxx

25432

cos3422

+++=+

++=+

SOLUCIN:

tsenyyyxxx

tyyyxxxx

25423

cos3242

=+

=++

tsenyyyxxx 25423 =+

tsenyDDxDD

tyDDxDDD

2)542()3(

cos)32()42(22

223

=+++

=++

PROCEDIMIENTO PARA EL MTODO DE SOLUCIN DE SISTEMAS DE EDO LINEALES POR ELIMINACIN SISTEMTICA

PASO 1: Se cambia el sistema de la notacin Leibniz a la notacin Prima

PASO 2: Se renen en un lado los trminos con variables dependientes y seagrupan las mismas variables.

PASO 3: Se reescribe el sistema en trminos del operador D. (Sistematransformado)

PASO 4: Se elimina la variable x; multiplicando la ecuacin (I) por el coeficientePASO 4: Se elimina la variable x; multiplicando la ecuacin (I) por el coeficientede x de la ecuacin (II) y, multiplicando la ecuacin (II) por el coeficiente de xde la ecuacin (I), tratando de que al multiplicarse ambas ecuaciones quedencon coeficientes de signo contrario para poder eliminarlos realizando la suma.

PASO 5: La ecuacin factorizada obtenida en el paso (4) se resuelve utilizandola ecuacin caracterstica (mtodo de las m) para obtener las races.

PASO 6: Observando el tipo de races obtenidas en el paso (5) se decide lasolucin complementaria y (t) que se tendr.

PASO 7: Al realizar de nuevo los pasos (4), (5) y (6), se elimina la variable y yse obtiene x (t)

PASO 8: Sustituyendo las ecuaciones obtenidas en los pasos (6) y (7) (x (t), y(t)) en la ecuacin (I) del sistema transformado obtenido en el paso (3) secalculan c3 y c4 en trminos de c1 y c2 respectivamente.

PASO 9: se encuentra la solucin del sistema original en trminos de c1 y c2.

PROCEDIMIENTO PARA EL MTODO DE SOLUCIN DE SISTEMAS DE EDO LINEALES POR ELIMINACIN SISTEMTICA

EJEMPLO 1: Por el mtodo de eliminacin sistemtica resuelva el siguientesistema de ecuaciones lineales de primer orden.

xdtdy

ydtdx

2

3

=

=

PASO 1: Se cambia el sistema de la notacin Leibniz a la notacin Prima

yx 3=

xy

yx

2

3

=

=

PASO 2: Se renen en un lado los trminos con variables dependientes y seagrupan las mismas variables.

02

03

=

=

yx

yx

PASO 3: Se reescribe el sistema en trminos del operador D. (Sistematransformado)

)(02

)(03

IIDyx

IyDx

=

=

PASO 4: Se elimina la variable x; multiplicando la ecuacin (I) por el coeficientede x de la ecuacin (II) y, multiplicando la ecuacin (II) por el coeficiente de xde la ecuacin (I), tratando de que al multiplicarse ambas ecuaciones quedencon coeficientes de signo contrario para poder eliminarlos realizando la suma.

02)(

03)2(

=

=

DyxD

yDx

02

0622 =

=+

yDDx

yDx

062 =+ yyD

0)6(06 22 == yDyyD Ecuacin factorizada0)6(06 22 == yDyyD Ecuacin factorizada

PASO 5: La ecuacin factorizada obtenida en el paso (4) se resuelve utilizandola ecuacin caracterstica (mtodo de las m) para obtener las races.

6,6606 221122 ====== DmDmmm

PASO 6: Observando el tipo de races obtenidas en el paso (5) se decide lasolucin complementaria y (t) que se tendr. (en este caso la solucincomplementaria corresponde al de races reales y distintas)

tmtm ececty 21 21)( +=

)()( 626

1 Aecectytt +=

PASO 7: Al realizar de nuevo los pasos (4), (5) y (6), se elimina la variable y yse obtiene x (t)

)()( 646

3 Becectxtt +=

PASO 8: Sustituyendo las ecuaciones (A) y (B) en la ecuacin (I) del sistematransformado se calculan c3 y c4 en trminos de c1 y c2 respectivamente.

0(366 626

16

46

3 = tttt ecececec

0)36()36( 6246

13 =++ tt eccecc

0)36(0)36( 2413 =+= cccc

1311131313 26

26

663

66

63

63

36 cccccccccc ======

2422242424 26

26

663

66

63

63

36 cccccccccc ==

=

=

==

PASO 9: se encuentra la solucin del sistema original en trminos de c1 y c2.

tttt ecectyecectx 626

16

26

1 )(,26

26

)( +==