11/03/13 Ecuaciones Racionales - Ejemplos Resueltos - Matemática y Listo - Polinomios

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Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

Temario | Expresiones Algebraicas Racionales | Respuestas

ECUACIONES RACIONALES / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:

3 + (x + 2).(x + 1) = x.(x - 1)

3 + x2 + x + 2x + 2 = x2 - x

x2 + 3x - x2 + x = -2 - 3

4x = -5

x = -5/4

Condición de existencia: x ≠ 1 y x ≠ -1

Conjunto solución: {-5/4}

Una de las formas de resolver estas ecuaciones es buscando undenominador común entre todos los denominadores de las fraccionesde ambos miembros (ver otros métodos). En la EXPLICACIÓNmostraré otras formas de resolver esta ecuación.Luego de buscar el denominador común y modificar los numeradorescomo se hace en la suma de fracciones, se pueden cancelar losdenominadores de ambos miembros, ya que son iguales. Entoncessólo queda una ecuación entre los numeradores, la cual ya no es

racional. Y hay que aclarar la Condición de existencia, es decir quévalores no puede tomar la x, ya que los denominadores deben serdesiguales a 0. Luego, la solución que se encontró tiene que cumplircon la Condición de existencia, sino no es solución de la ecuación.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

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EJEMPLO 2: (Uno de los miembros es un solonúmero)

(x + 2).(x + 3) + 3 = 1.(x + 3)2

x2 + 3x + 2x + 6 + 3 = x2 + 6x + 9

x2 + 5x - x2 - 6x = 9 - 6 - 3

-x = 0

x = 0

Condición de existencia: x ≠ -3

Conjunto solución: {0}

En el segundo miembro hay sólo un número entero, no unafracción ni operaciones. En este ejercicio sería más prácticousar otro de los métodos para resolver estas ecuaciones(ver métodos), y en la EXPLICACIÓN lo muestro tambiénresuelto de esa manera.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (La ecuación es una proporción)

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(7 + x).(x + 2) = (x + 3).(x + 5)

7x + 14 + x2 + 2x = x2 + 5x + 3x + 15

9x + x2 - x2 - 5x - 3x = 15 - 14

x + x2 - x2 = 1

x = 1

Condición de existencia: x ≠ -5 y x ≠ -2.

Conjunto solución: {1}

Esta ecuación es una proporción: la igualdad de dosfracciones o "razones". La forma más práctica de resolverlasería usar la Propiedad fundamental de las proporciones, peroaquí usé en mismo método que vengo usando en todos losejemplos (en general se aprende un sólo método y hay quesaber aplicarlo en cualquier ejemplo). Pero en laEXPLICACIÓN lo muestro resuelto usando la mencionadapropiedad.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Uno de los miembros es el númerocero)

(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0

x2 + 2x + 5x + 10 - (x2 - 2x - 4x + 8) = 0

x2 + 7x + 10 - x2 + 2x + 4x - 8 = 0

13x = 0 + 8 - 10

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13x = 0 + 8 - 10

13x = -2

x = -2/13

Condición de existencia: x ≠ 2 y x ≠ -2.

Conjunto solución: {-2/13}

Caso particular en que uno de los dos miembros es cero.Aquí no hace falta poner el denominador común en elsegundo miembro, aunque podría hacerse. En realidad, si unafracción es igual a cero, es porque su numerador es igual acero, sin que importe el denominador (que no puede sercero, por supuesto). Usando este concepto es que secancela el denominador en el tercer paso.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5:

3x - 2 + 5x2 - 2x = 5x2

3x + 5x2 - 2x - 5x2= 2

x = 2

Condición de existencia: x ≠ 0

Conjunto solución: {2}

Al igual que en el EJEMPLO 2, sería más práctico hacerlo deotra manera, que muestro en la EXPLICACIÓN. Pero preferímostrar aquí todos los ejemplos resueltos con el mismoprocedimiento para no confundir. En las EXPLICACIONESestán todos los comentarios al respecto.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

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EJEMPLO 6: (No se cumple la Condición deexistencia)

x2 - 1 - x2 - 2x = 3x - 1

-2x - 3x = -1 + 1

-5x = 0

x = 0:(-5)

x = 0

Condición de existencia: x ≠ 0

Conjunto solución: Ø (vacío) (no tienesolución)

Este es un ejemplo donde la ecuación no tiene solución.Porque la única solución posible sería x = 0. Pero ésta noverifica la ecuación, ya que hace que los denominadores dencero. Es decir: no cumple la Condición de existencia.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE ECUACIONES RACIONALES

¿Qué son las ecuaciones racionales?

Ecuaciones donde hay alguna x (o la incógnita) en algúndenominador. Por ejemplo:

(¿y qué es una ecuación?)

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(¿y qué es una ecuación?)

Como en toda el ecuación, el objetivo es encontrar el o los valoresde x que verifican la igualdad. Es decir, despejar la x (o la letra quetenga como incógnita) para llegar a un resultado que diga: "x =algo". "Que verifican la igualdad" significa que, si reemplazamos atodas las x del ejercicio con el número que nos dió como solución, yhacemos las operaciones entre los números, tenemos que llegar auna igualdad verdadera (3 = 3 por ejemplo).

¿Cómo se resuelven las ecuaciones racionales?

Hay varias formas de hacerlo, y a veces una u otra conviene másdependiendo de la forma del ejercicio:

1) Buscando el denominador común entre todos los denominadoresde las fracciones que aparecen en ambos miembros de la ecuación(¿qué es un miembro?). Y luego de transformados los numeradores(como se hace en la suma de fracciones), los denominadores sepueden cancelar.

2) Pasando todos los términos de un lado, y que del otro quede 0("igualar a cero"). Luego se busca denominador común, setransforman los numeradores como en la suma de fracciones, y sepuede cancelar el denominador común.

3) Buscar denominador común entre las fracciones de un miembro,y luego pasar ese denominador común multiplicando al otromiembro (ya que el denominador es algo que está dividiendo, enuna ecuación se lo puede pasar multiplicando).

4) Si es una proporción (igualdad de dos fracciones), se puede usarla Propiedad fundamental de las proporciones ("El producto de losmedios es igual al producto de los extremos", o "Igualar losproductos cruzados"). Pero si no es una proporción, también sepuede buscar denominador común en cada término para que lo sea,y luego aplicar la propiedad.

En la EXPLICACIÓN de los EJEMPLOS mostraré cómo se los puederesolver de otra forma, y explicaré más sobre ellas y sufundamento. Y también se verá para qué forma de ejercicio esrecomendable cada procedimiento, aunque eso no quiere decir quehaya que saberlos a todos. Simplemente es para quienes tenganinterés en conocerlos.

¿Qué es la Condición de Existencia (C.E.)?

El denominador de una fracción no puede ser 0 (cero), porque eldenominador de una fracción está dividiendo al numerador, y dividirpor cero no se puede. Entonces, en una ecuación racional, la

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por cero no se puede. Entonces, en una ecuación racional, lasolución no puede ser un número que haga que un denominador dé

cero. Por ejemplo, en la siguiente ecuación:

(x + 5) debe ser desigual a cero. Y (x + 2) debe ser desigual a cero.Porque son los denominadores de las fracciones. Hallemos quenúmeros cumplen eso:

x + 5 = 0x = -5

x + 2= 0 x = -2

Eso quiere decir que la solución de esa ecuación no debe ser ni -5 ni-2. Porque esos números harían que un denominador sea igual acero. Cuando se cancela el denominador y se resuelve la ecuaciónque quedó en el numerador, puede pasar que la solución sea unnúmero distinto de ésos, por ejemplo x = 1. El 1 sería solución de laecuación, porque cumple la Condición de Existencia: no es ni el -5,ni el -2. El 1 no va a hacer que ningún denominador dé cero.Probemos reemplazando la x por 1 (así se verifica la solución de unaecuación):

4

3

Pero a veces, la solución que nos dá la ecuación del numerador,puede ser un número que no cumpla la Condición de existencia, porejemplo podría habernos dado -5 ó -2. En ese caso, esa solución

que encontramos no sirve, no es una solución válida, porque haceque un denominador sea igual a cero, y hay que quitarla delConjunto solución.Si una ecuación tiene dos soluciones (en el numerador queda unaecuación cuadrática), puede ser que una de ellas no cumpla laCondición de existencia y la otra sí. O ninguna de las dos la cumpla.

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Condición de existencia y la otra sí. O ninguna de las dos la cumpla.O la cumplan las dos. En el EJEMPLO 6 se puede ver que la soluciónencontrada no cumple con la condición de existencia.

¿Qué es el Conjunto Solución?

Hay ecuaciones que tienen una sola solución, otras que tienen dos,ninguna, etc. El conjunto formado por esas soluciones es el llamadoConjunto solución. Por ejemplo, si hallamos que las soluciones deuna ecuación cuadrática (¿qué es una ecuación cuadrática?) son:

x1 = 2

x2 = 3

El Conjunto solución es: {2,3}. Las llaves son porque en la teoría deconjuntos (que ahora ya no se enseña mucho, pero nos hacen usarsu lenguaje), se define a los conjuntos poniendo sus elementosentre llaves. {2,3} significa: "el conjunto formado por los elementos2 y 3".

En este tema se hace incapié en esto del Conjunto solución, porquela Condición de existencia (¿y eso que es?) puede hacer que haya quequitar alguna de las soluciones que se obtienen en un principio. Aveces, se obtienen supuestas soluciones que no verifican laecuación, que no cumplen con la Condición de existencia. Entonces,para aclarar bien cuáles son las soluciones que sí son válidas, sepone como respuesta final el Conjunto solución. Por ejemplo:

1) La Condición de existencia de una ecuación racional es: C.E: x ≠3 y x ≠ -1.

2) Resolvemos la ecuación siguiendo el procedimiento, y nos dá quex = -2 ó x = 3.

3) Pero x = 3 no cumple la Condición de existencia, que decía que x≠ 3. Eso significa quex = 3 no verifica la ecuación, que si reemplazo en la ecuación la xpor el número 3 tendré algún denominador igual a cero (eso porque

es una ecuación racional, en otro tipo de ecuaciones puede ser porotra cosa). Entonces, x = 3 no es una solución válida. No es soluciónde la ecuación, y hay que quitarla del Conjunto solución.

4) Entonces, para aclarar que la única solución válida es x = -2, yque x = 3 no es solución, se responde que el Conjunto solución de laecuación es {-2}. Es decir, que la solución es una sola.

Otros ejemplos:

C.E: x ≠ 4

Soluciones posibles: x = 9 ó x = 3

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Soluciones posibles: x = 9 ó x = 3

Conjunto solución: {9,3}

C.E: x ≠ 1 y x ≠ 0

Soluciones posibles: x = 0

Conjunto solución: {} ó Ø (Conjunto vacío, no tiene solución)

En el EJEMPLO 6 se puede ver una ecuación que no tiene solución,porque la posible solución no cumple la Condición de existencia.

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